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Modellierung der Strahlfuehrung einer Partikeltherapieanlage mit
Hilfe des Monte-Carlo-Codes FLUKAMaster Thesis zur Erlangung des
akademischen Grades Master of Science
Modellierung der patientennahen Strahlführung einer
Partikeltherapieanlage mit Hilfe des
Monte-Carlo-Codes FLUKA unter exakter Berücksichtigung
modulierender Elemente
vorgelegt von
Kilian-Simon Baumann
aus München
13.02.2015
Referent: Prof. Dr. rer. nat. Klemens Zink Korreferent: Dr. rer.
nat. Uli Weber
II
Inhaltsverzeichnis
2.1.2 Anwendung der Partikelstrahlen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 7
2.1.3 Energiemodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 8
2.2.2 Näherung von Highland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 13
2.3 Magnetische Strahlfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 14
2.4.1 Der Monte-Carlo-Code FLUKA zum Transport geladener Teilchen
19
2.5 Strahlkopf der Partikeltherapieanlage . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 21
2.5.1 Ionisations- und Multi-Wire-Kammern . . . . . . . . . . . . .
. . 22
2.5.2 Ripple-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 23
3.1 Analyse der Anoden- und Kathoden-Folien der Dosiskammern . . .
. . . 24
3.1.1 Untersuchung der Modulationseffekte durch die Gewebefolien .
. . 26
3.1.1.1 Methode I: Energiemodulation . . . . . . . . . . . . . .
26
3.1.1.2 Methode II: Geometrische Modulation der Dicke . . . .
30
3.1.2 Untersuchung der Streuwinkelverteilung der Folien der
Dosiskam- mern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 32
III
3.2 Modellierung des Strahlkopfs . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 34
3.3 Strahlfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 36
3.4 Vergleich zwischen Molières Theorie der Vielfachstreuung und
der Nähe- rung von Highland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 37
4 Ergebnisse & Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 39
4.1.1 Methode I: Energiemodulation . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 39
4.1.2 Methode II: Geometrische Modulation der Dicke . . . . . . . .
. . 41
4.1.3 Untersuchung der Streuwinkelverteilung der Folien der
Dosiskam- mern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 44
4.1.3.1 Untersuchung der Streuwinkelverteilung bei Variation des
Nickelanteils der Folien . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Modellierung des Strahlkopfs . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 48
4.3 Strahlfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 53
4.4 Vergleich zwischen Molières Theorie der Vielfachstreuung und
der Nähe- rung von Highland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 57
5 Zusammenfassung & Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 59
2.2 Der Effekt des Ripple-Filters auf die Tiefendosiskurve bei
verschiedenen Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Aufbau eines 2-dimensionalen Ripple-Filters . . . . . . . . . .
. . . . . . 10
2.4 Aufbau und magnetisches Feld eines Quadrupolmagneten . . . . .
. . . . 15
2.5 Der schematische Aufbau des Strahlkopfes des Beschleunigers . .
. . . . 21
3.1 Raster-Elektronen-Mikroskop-Aufnahme und Querschnitt der
Polyester- Nickel-Folien aus den Dosiskammern . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 25
3.2 Schematischer Aufbau der FLUKA-Simulationen zur Untersuchung
der Folienmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 26
3.3 Tiefendosiskurven und Faltungskern für elf Folien als Gitter .
. . . . . . 28
3.4 Gauss’sche Wahrscheinlichkeitsverteilung der Dicke von elf bzw.
einer Folie 31
3.5 Der schematische Strahlengang bei Verwendung des Strahlkopfes
und zwei Quadrupolmagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 36
4.1 Tiefendosiskurven der Folien als Gitter und der mittels
USRmed-Routine modulierten homogenen Folien für 80 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen . . . . . 40
4.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Dicke einer
Folie . . . . . . 41
4.3 Tiefendosiskurven der Folien als Gitter und der mittels den
Source-Routinen modulierten homogenen Folien für 80 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen . . . . . 42
4.4 Tiefendosiskurven der Folien als Gitter und der mittels
Benutzerroutinen modulierten homogenen Folien für 150 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen . . . . . 44
4.5 Streuwinkelverteilung der verschiedenen Folien für 80 MeV/u
Kohlenstoff- Ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 Die Breiten σ der Streuwinkelverteilungen für verschiedene
Nickelanteile α und Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 46
4.7 Tiefendosiskurven bei Verwendung des Strahlkopfes für
verschiedene Kom- binationen der Bauteile bei 80 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen . . . . . . . . . 48
V
4.8 Auswahl an Tiefendosiskurven bei Verwendung des Strahlkopfes
für ver- schiedene Kombinationen der Bauteile . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 49
4.9 Tiefendosiskurven bei Verwendung des Strahlkopfes für
verschiedene Kom- binationen der Bauteile bei 400 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen . . . . . . . . . 51
4.10 Fluenz in der x-z-Ebene im Bereich des Strahlkopfes und des
anschlie- ßenden Nahfeldes für 270 MeV/u Kohlenstoff-Ionen . . . .
. . . . . . . . 53
4.11 Fluenzen in der x-z- und y-z-Ebene bei Verwendung von
Quadrupolma- gneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 54
4.12 Fluenzuntersuchung der Kohlenstoff-Ionen im Isozentrum für
fokussierte Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 55
4.13 Vergleich der Breite σ der Streuwinkelverteilung nach Molière
und der Näherung nach Highland bei Variation des Nickelanteils . .
. . . . . . . . 57
VI
ZUSAMMENFASSUNG
In dieser Arbeit wurde der Strahlkopf einer Partikeltherapieanlage
detailliert erfasst
und der Teilchentransport von 80 MeV/u und 400 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen durch die-
se Bestrahlungsanlage mithilfe des Monte-Carlo-Codes FLUKA
simuliert. Der Strahl-
kopf besteht aus drei Ionisationskammern, 2 Multi-Wire-Kammern und
einem 4 mm
Ripple-Filter. Es wurden die Effekte der verschiedenen Dosiskammern
und des 4 mm
Ripple-Filters auf die Tiefendosiskurven untersucht. Die Anoden-
und Kathodenfolien
der Dosiskammern bestehen aus einem feinmaschigen Gewebe, welches
einen modulie-
renden Effekt auf die Tiefendosiskurven hat. Dieser Effekt wurde
mathematisch durch
einen normalverteilten Faltungskern beschrieben. Mithilfe dieses
Faltungskernes ließen
sich für FLUKA Benutzerroutinen programmieren, die die Rechenzeit
um 90% verkür-
zen. Es wurde gezeigt, dass die Multi-Wires ebenfalls einen
modulierenden Effekt haben,
welcher aber schwächer ausgeprägt ist. Der 4mm Ripple-Filter wurde
ebenfalls mithilfe
einer Benutzerroutine in FLUKA implementiert. Es wurde gezeigt,
dass der Spread-Out
Bragg Peak des Ripple-Filters die modulierenden Effekte der
Gewebefolien und Multi-
Wires verschmiert.
Des Weiteren wurde die Strahlfokussierung zweier Quadrupolmagnete
berechnet. Hier-
für wurde in Matlab ein Werkzeug entwickelt, mit dem sich die
Magnetfeldstärken der
Magnete für ein gegebenes ionenoptisches System optimieren lassen.
Diese Magnetfeld-
stärken konnten dann in FLUKA übergeben werden, um den
Teilchentransport exakt
zu berechnen.
(ϑ) von 80
MeV/u Kohlenstoff-Ionen nach durchlaufen verschiedener Materialien
untersucht und
die Theorie der Vielfachstreuung nach Molière mit einer Näherung
von Highland vergli-
chen. Es wurde gezeigt, dass die Näherung nach Highland zu
Abweichungen von unter
7% in der Breite der Winkelverteilungen gegenüber der Theorie von
Molière führt.
VII
ABSTRACT
In this work the beammonitor system (BAMS) of a particle therapy
facility was analyzed
in a detailed manner. Therefore the transport of 80 MeV/u and 400
MeV/u carbon-
ions through the BAMS was simulated by using the Monte Carlo code
FLUKA. The
BAMS consists of three ionization chambers, two Multi-Wire chambers
and a 4 mm
ripple filter. The effects of these chambers and the ripple filter
on the depth-dose curve
were analyzed. The chamber’s anodes and cathodes consists of a
mesh-like foil that
results in a modulating effect due to its heterogenity that
broadens the Bragg Peak. To
describe this effect a mathematic modell was developed, that uses a
normally distributed
convolution. Using this convolution a user-routine for FLUKA was
programmed, which
results in a shortening of the computing time of about 90%. It was
also shown, that
the Multi-Wires have an modulating effect, which is however more
subtle compared to
the modulating effect of the mesh-like anode- and cathodefoils. The
4mm ripple filter
was implemented in FLUKA by using a user-routine. It was shown,
that the spread-out
Bragg Peak induced by the ripple filter smears out the modulating
effects of the foils
and the Multi-Wires.
Furthermore the beam-focussing by two quadrupole magnets was
analyzed. Therefore a
Matlab-tool was developed, which can optimize the magnetic field
strength for a given
system. These magnetic field strengths can be transfered to FLUKA
to exactly simulate
the particle transport.
In an additional examination the distribution of the scattering
angles dNd (ϑ) of 80 MeV/u
carbon-ions after traversing various materials was analyzed. The
theory of multiple
scattering by Molière was compared to an approximation by Highland.
It was shown,
that the approximation by Highland leads to aberration less than 7%
in the width of
the distribution compared to Molière’s theory.
VIII
1.1 Motivation & Einleitung
Nach Erkrankungen des Herz-Kreislaufsystems (über 350 000
Todesfälle im Jahr 2013) sind Krebsleiden (über 230 000 Todesfälle
im selben Jahr) die häufigste Todesursache in Deutschland [1].
Aufgrund der demografischen Entwicklung in Deutschland ist zwischen
den Jahren 2010 und 2030 mit einem Anstieg der Krebsneuerkrankungen
von 20% zu rechnen [2]. Die häufigsten Lokalisationen maligner
Erkrankungen sind die männliche Prostata, weibliche Brustdrüsen,
der Darm und die Lunge [2]. Neben operativen Eingriffen und der
Chemotherapie stellt die Strahlentherapie ein wich- tiges Standbein
in der kurativen sowie palliativen Behandlung maligner Erkrankungen
dar. Um optimale Heilungschancen zu erzielen, bietet sich in den
meisten Fällen eine Kombination dieser drei Modalitäten an [3, 4,
5]. Ziel der Strahlentherapie ist es, durch ionisierende Strahlung
Schädigungen der DNS im Zellkern hervorzurufen, sodass die
Tumorzelle nicht mehr überlebensfähig ist [6]. Dabei ist in erster
Näherung die Anzahl der Schädigungen proportional zur deponierten
Ener- gie. Die Chance der Abtötung der Tumorzellen steigt also mit
der applizierten Dosis im Zielvolumen an. Allerdings muss das
Risiko unerwünschter Nebenwirkungen durch Dosisbelastungen des
umliegenden, gesunden Gewebes gering gehalten werden, weshalb die
Dosisapplikation im Zielvolumen begrenzt ist. Bei der perkutanen
Strahlentherapie, bei der sich zwangsläufig immer auch gesundes
Gewebe im Strahlengang befindet, liegt die Herausforderung also in
der Optimierung der Dosisverteilung. Eine Lösung hierfür bietet die
intensitätsmodulierte Strahlenthe- rapie mit Photonen (IMRT) in
Kombination mit bildgebenden Systemen. Nachteil der
Photonentherapie ist aber zum einen, dass aufgrund der
Wechselwirkungsmechanismen stets die maximale Dosis in geringen
Tiefen appliziert wird. Zum anderen ist es auf- grund der
Streueigenschaften nur schwer möglich, steile Dosisgradienten am
Rand des Zielvolumens zu erhalten.
1
Ein anderer Ansatz ist die Bestrahlung mit schweren geladenen
Teilchen, also zum Bei- spiel Protonen und Schwerionen [7]. Im
Gegensatz zur Photonenstrahlung wird bei der Bestrahlung mit
schweren geladenen Teilchen ein Großteil der Dosis in einer
definier- ten Tiefe deponiert [7, 8, 9]. Diese Tiefe hängt von der
primären Energie der Teilchen ab, kann also an die Lage des
Zielvolumens angepasst werden. Die am häufigsten ver- wendeten
Teilchen sind Protonen und Kohlenstoff-Ionen. Während bei Protonen
die biologische Wirksamkeit vergleichbar mit der der Photonen ist,
ist sie für schwerere Io- nen, also insbesondere Kohlenstoff-Ionen,
signifikant größer [10, 11]. Des Weiteren kann bei Verwendung der
Teilchenstrahlung in vielen Fällen eine bessere Konformität der
Dosis gegenüber der IMRT erreicht werden [12]. Zudem können die
Teilchenstrahlen im Gegensatz zur Photonentherapie mithilfe von
Magneten fokussiert werden, was eine Bestrahlung mit Pencil-Beams
ermöglicht. Insgesamt ist es möglich, eine höhere Dosis homogen im
Zielvolumen zu applizieren, während die Dosis im umliegenden,
gesunden Gewebe gering gehalten wird. Die Bestrahlung mit schweren
geladenen Teilchen hat also für bestimmte Lokalisationen von
Tumoren signifikante Vorteile gegenüber der Bestrah- lung mit
Photonen [11, 13].
Problemstellung und Ziele dieser Arbeit
Allerdings birgt diese Form der Bestrahlung auch Nachteile. Neben
hohen Kosten für den Bau und die Wartung eines
Teilchenbeschleunigers besteht noch ein großer Bedarf an
kostenintensiver Forschungsarbeit [14]. Diese ist zwingend
notwendig, um die Präzision der Dosisapplikation zu verbessern,
sodass die physikalischen Vorteile der Teilchenthe- rapie
bestmöglich klinisch umgesetzt werden können. In dieser Arbeit
wurde mithilfe des Monte-Carlo-Codes FLUKA der Teilchentransport
durch den Bestrahlungskopf der Beschleunigeranlage am
Partikel-Therapie-Zentrum in Marburg simuliert. Die einzelnen
Bestandteile wurden detailliert in Hinsicht auf Ma- terial, Aufbau,
Abmessung und Position im Strahlengang analysiert. Die wichtigsten
Bestandteile des Strahlerkopfes sind neben dem Vakuumfenster die
drei Ionisations- kammern zur Dosisüberwachung und zwei
Multi-Wire-Kammern zur Überwachung der Strahlposition und
-richtung. Wahlweise kann ein Ripple-Filter zur Verbreiterung des
Bragg Peaks verwendet werden. Untersucht wurden die
Tiefendosiskurven in einemWas- serphantom im Isozentrum bei
Bestrahlung mit Kohlenstoff-Ionen. Als Energien wurden meist 80
MeV/u und 400 MeV/u gewählt. Diese Energien entsprechen Reichweiten
von 2 bis 30 cm in Wasser und stellen die Grenzenergien dar, welche
am Beschleuniger er-
2
zeugt werden können. Aufgenommen wurden die Tiefendosiskurven bei
verschiedenen Kombinationen der genannten Bauteile, um deren
jeweiligen Effekte sichtbar zu machen. Insbesondere wurden dabei
die Anoden und Kathoden der Ionisationskammern unter- sucht. Der
Grund hierfür liegt in ihrer gewebeartigen Struktur, die zu einer
Modulation der Tiefendosiskurve führt. Problematisch war dabei die
hohe Rechenzeit, die FLUKA benötigt, um solche heterogenen
Geometrien zu berechnen. Aus diesem Grund wurde der Effekt der
Modulation durch ein schnelleres, mathematisches Modell ersetzt.
Dieses Modell wurde programmtechnisch über eine Benutzerroutine in
FLUKA eingebunden. Dies bietet den Vorteil, dass FLUKA eine
homogene Geometrie berechnet, die Routine die Geometrie aber so
verändert, dass die Effekte der heterogenen Geometrie zu sehen
sind. So lässt sich ein Vielfaches an Rechenzeit sparen. Weiterhin
wurde die Strahlfokussierung in FLUKA auf Basis zweier
Quadrupolmagnete implementiert. Hierfür wurden die optimalen
Magnetfeldstärken für gegebene Teilchen und Energien mithilfe von
Abbildungsmatrizen in Matlab bestimmt. Zusätzlich wurden
Untersuchungen zu Molières Theorie zur Vielfachstreuung gemacht.
Dabei wurde mittels FLUKA die Streuwinkelverteilung für
verschiedene Materialien be- rechnet. Parallel wurde für dieselben
Materialien mithilfe einer Näherung von Highland ebenfalls die
Streuwinkelverteilung bestimmt. Die Ergebnisse wurden
verglichen.
3
2.1.1 Wechselwirkung geladener Teilchen mit Materie
Auf ihrem Weg durch ein Medium übertragen geladene Teilchen ihre
kinetische Energie auf die Targetatome durch Stöße mit deren Kernen
und Hüllenelektronen. Den über- wiegenden Anteil an der Gesamtdosis
haben diejenigen Wechselwirkungen, bei denen der Stoßparameter
(anschaulich: Abstand des geladenen Teilchens zum Atom) größer als
der Atomradius ist und es zu inelastischen Stößen der geladenen
Teilchen mit den Targetelektronen kommt [7, 15, 16]1. Dieser
Energieverlust wird als elektronisches Stoß- bremsvermögen
bezeichnet, welches als deponierte Energie dE pro zurückgelegter
Weg- strecke dx definiert ist und durch die klassische
Bethe-Bloch-Gleichung beschrieben wird [19, 20]: (
dE dx
) − β2
] (2.1)
Hierbei ist n die Anzahl der Targetelektronen pro Volumen, z die
Ladung des Projektils, cβ seine Geschwindigkeit, e die
Elementarladung, me die Ruheenergie des Elektrons, ε0 die
elektrische Feldkonstante und I das sogenannte mittlere
Anregungspotential der Targetatome. Aus der reziproken
Proportionalität des Energieverlustes zum Quadrat der Geschwin-
digkeit folgt der charakteristische Bragg Peak der
Tiefendosiskurven schwerer geladener Teilchen [6, 7, 8] (vgl.
Abbildung 2.1).
1Bei einem Stoßparamter kleiner dem Atomradius kann es zu einem
inelastischen Stoß mit dem Atomkern kommen [7]. Allerdings trägt
dieser Mechanismus nur geringfügig zum gesamten Energie- übertrag
bei [7, 17]. Noch seltener sind Wechselwirkungen, bei denen es zu
direkten Stößen des Teilchens mit den Hüllenelektronen
(Stoßparameter liegt in der Größenordnung des Atromradius) oder dem
Nu- kleus des Targetatoms (Stoßparamter ist kleiner als der
Kernradius und die kinetische Energie des Teilchens ist größer als
∼ 100 MeV) kommt [7, 18].
4
Die Reichweite eines Teilchens in einem Material lässt sich über
die Integration des reziproken Stoßbremsvermögens berechnen
[7]:
R =
∫ E0
0
( 1
ρ
dE (2.2)
Hierbei ist ρ die Dichte des Targetmaterials und E0 die
Primärenergie des Teilchens. Es folgt, dass die Reichweite
geladener Teilchen in einem Medium mit größer werdender
Primärenergie des Projektils zunimmt [9]. Des Weiteren hängt die
Reichweite von der Massen- und Ladungszahl des Teilchens ab. Zur
Abschätzung der Reichweite von Pro- tonen und Alpha-Teilchen in
Wasser wurde im ICRU Report Nummer 49 eine Formel zur Verfügung
gestellt [21]:
R(E,Z,A) ≈ 2, 56 · 10−3 · E1,74 · Z 2
A (2.3)
Hierbei ist E die Energie der Teilchen in MeV/u, A die Massen- und
Z die Ordnungs- zahl. Das Ergebnis der Reichweite ist in cm. Da der
in Gleichung (2.1) beschriebene Energieverlust von der Verteilung
der Elektronen im Targetmaterial abhängt, welche nicht homogen ist,
ist der Energieverlust ein stochas- tischer Prozess. Dies bedeutet,
dass manche Teilchen auf ihrem Weg durch das Material mehr Stöße
und damit einen größeren Energieverlust erfahren, als andere
Teilchen, was in einer endlichen Ausdehnung des Bragg Peaks
resultiert. Dieser Mechanismus wird als Energieverlust-Straggling
bezeichnet [8]. Teilchen mit höheren Primärenergien wei- sen neben
einer größeren Eindringtiefe folglich auch einen breiteren Bragg
Peak auf, da der Effekt des Energieverlust-Stragglings mit
zunehmendem, zurückgelegten Weg größer wird [8] (siehe Abbildung
2.1). Ein weiterer Effekt, den man gut in Abbildung 2.1 sehen kann,
ist die Fragmentierung [9]. Projektile mit mehr als einem Nukleon
können durch Stöße mit den Atomkernen Protonen oder Neutronen
verlieren. Für den Fall, dass die Teilchen Protonen verlieren,
sinkt ihre Ladungszahl. Folglich nimmt also das Stoßbremsvermögen
nach Gleichung (2.1) ab. Dies wiederum resultiert in einer größeren
Reichweite der Fragmente [6, 8]. Aus diesem Grund fällt die
Dosisverteilung nach dem Bragg Peak nicht direkt auf 0 ab, sondern
zeigt noch einen flachen Dosisausläufer (vgl. Abbildung 2.1), der
aus einem Gemisch von Projektilen resultiert. Diese Projektile
besitzen Ladungszahlen kleiner der Primärladung und weisen ein
breites Energiespektrum mit Energien kleiner der Primär- energie
auf.
5
Abbildung 2.1: Relative Tiefendosiskurven von Kohlenstoffionen in
Wasser für verschie- dene Energien. Normiert wurde die Dosis auf
den Wert in der Tiefe 0 cm. Mit zunehmender Energie rutscht der
Bragg Peak in größere Tiefen und wird aufgrund des
Energieverlust-Stragglings breiter.
Eine Erweiterung der Bethe-Bloch Gleichung für die Abschätzung des
Stoßbremsvermö- gens in inhomogenen Materialien findet sich in der
Bragg’schen Regel [22]:
1
ρges
homogenen Materials ist. Die Terme 1 ρi
( dE dx
) i sind die mit ihrer Dichte normierten
Stoßbremsvermögen des jeweiligen Bestandteils i, die mit den
Faktoren wi gemäß ihres Massenanteils gewichtet werden:
wi = aiAi∑ i aiAi
(2.5)
6
Hierbei steht ai für die Anzahl der Atome einer bestimmten Sorte i
im Molekül mit seiner Massenzahl Ai. Formel (2.4) liefert aber
lediglich eine Näherung für das Stoßbremsvermögen in einem
inhomogenen Material, da sich das Anregungspotenzial I und die
Elektronendichte n (vgl. Gleichung (2.1)) eines Elements in einem
Verbund anders verhalten können, als im elementaren Zustand. Jedoch
weicht das so berechnete Stoßbremsvermögen vom Tatsächlichen um
maximal 20% ab [23, 24].
2.1.2 Anwendung der Partikelstrahlen
Zur erfolgreichen Behandlung einer Tumorerkrankung wird in der
Regel bei den kli- nischen Anwendungen der Partikelstrahlen eine
homogene Dosisverteilung im maligen Gewebe gefordert2. Hierfür gibt
es zwei grundsätzlich verschiedene Anwendungsmetho- den: Die ältere
und häufig verbreitete Methode ist die passive Strahlapplikation.
Dabei wird der Strahl durch passive Bauteile wie Scatterer,
Kollimatoren, Boli und Kompen- satoren an die laterale Ausdehnung
des Zielvolumens angepasst [13, 25]. Zur Anpassung des Strahls an
die Tiefe können bei Zyklotrons passive Bauteile verwendet werden.
Syn- chrotrons bieten die Möglichkeit der Extraktion von Teilchen
der benötigten Energie. Die zweite Methode ist das sogenannte
Raster-Scan-Verfahren [25, 26, 27]. Bei diesem Verfahren wird das
Volumen in Schichten gleicher Tiefe aufgeteilt. Jede dieser
Schichten wird mit einem Raster belegt. Der Partikelstrahl wird
durch Scanning-Magnete so ab- gelenkt, dass er nach und nach jede
durch das Raster festgelegte Strahlposition belegt. Die
Intensitätsmodulation kann durch Variation der Intensität des
Beschleunigers sowie über die Verweildauer des Strahls auf einer
Position verwirklicht werden [25, 27]. Der klare Vorteil des
Raster-Scan-Verfahrens ist eine verbesserte Dosiskonformität ge-
genüber der passiven Strahlführung [13, 25, 27].
2Es gibt aber auch neuere Ansätze mit dem sogenannten
Dose-Painting, bei dem definiert inhomo- gene Dosisverteilungen
geplant werden.
7
Spread-Out Bragg Peak
Um bei der Bestrahlung eines Tumors eine homogene Dosisverteilung
in Strahlrichtung (also der Tiefe des Tumors) zu erreichen, werden
mehrere Bragg Peaks unterschiedlicher Energien und Intensitäten
übereinander gelegt. Durch die Superposition der einzelnen
Tiefendosiskurven ergibt sich eine Tiefendosiskurve mit einem
homogenen Dosisplateau, dem sogenannten Spread-Out Bragg Peak
(kurz: SOBP) [9]. Je nach Anzahl der abge- tasteten Energien kann
die Breite des SOBP variiert werden. Bei Verwendung kleiner
Energien sind die Bragg Peaks, aus denen der SOBP geformt werden
soll, sehr scharf; wie in Abbildung 2.1 zu sehen ist.
Dementsprechend müssen viele Energien abgetastet werden, um einen
breiten SOBP zu erhalten, was in einer unverhältnismäßig langen
Bestrahlungszeit resultieren würde. Aus diesem Grund wurden passive
Strahlelemente entwickelt, die den Bragg Peak der Tiefendosiskurve
einer Energie definiert verbreitern. Hierzu zählen zum Beispiel
”Modulator Wheels” (Koehler et al. [28]) und ”Ridge Filter”
(Nakagawa und Yoda [29]). Diese Elemente bestehen aus einer
heterogenen Material- struktur und verbreitern den Bragg Peak der
Tiefendosiskurve einer Primärenergie um bis zu 15 cm. Bei
Verwendung solcher Strahlelemente reicht es, eine Primärenergie zu
verwenden.
Inhomogene Materialien
Der Effekt, der beim Durchstrahlen solcher Elemente zu einem
breiteren Bragg Peak führt, tritt generell beim Bestrahlen
inhomogener Materialien auf. Dies wurde bereits 1986 von Urie et
al. durch Untersuchungen der Tiefendosiskurven bei Bestrahlen inho-
mogener Materialien mit Protonen und Schwerionen festgestellt [30].
Heutzutage spielt die Berücksichtigung solcher Inhomogenitäten zur
genauen Berechnung der Dosisver- teilung im Zielvolumen eine
wichtige Rolle im klinischen Alltag [31, 32]. Generell un-
terscheidet man zwei Kategorien von Inhomogenitäten [27, 30]: Zum
einen einfache Zusammensetzungen makroskopischer Strukturen und zum
anderen komplexe Konfigu- rationen heterogener Strukturen.
Geometrien der ersten Kategorie führen dazu, dass sich
Materialübergänge parallel zum Strahl im Strahlengang befinden.
Dadurch dass die Teilchen unterschiedliche Materiali- en
durchlaufen, kommt es zu zwei unterschiedlichen Tiefendosiskurven,
die sich zu einer
8
überlagern. Dies resultiert in einer Tiefendosiskurve mit zwei
Bragg Peaks [33]. Bei Geometrien der zweiten Kategorie durchlaufen
die Teilchen unterschiedliche Dicken an Material. Dadurch erfahren
die Teilchen nach Gleichung (2.1) verschieden starke
Energieverluste, die ihrerseits nach Gleichung (2.3) in
unterschiedlichen Eindringtiefen resultieren. Die Superposition der
Tiefendosiskurven dieser einzelnen Teilchen ergibt ei- ne
Tiefendosiskurve mit einem breiten Bragg Peak. Die Breite dieses
SOBP hängt dabei von der Feinheit der Inhomogenität des Materials
ab. Der Effekt einer solchen Inhomogenität auf die Dosisverteilung
kann durch verschiedene Modelle beschrieben werden. Sawakuchi et
al. haben zum Beispiel die Auswirkungen verschiedener
Pixelgeometrien untersucht [32]. So konnte ein Zusammenhang
zwischen verschieden feinen Strukturen und dem distalen Dosisabfall
der Tiefendosiskurve unter- sucht werden. Pflugfelder et al. haben
eine ”Heterogenitäts-Nummer” eingeführt, die in der Lage ist,
laterale Inhomogenitäten mathematisch zu beschreiben [34].
Ripple-Filter
Ein weiteres Strahlelement, welches den Bragg Peak verbreitert, ist
der ”Ripple-Filter” (kurz: RiFi) (Weber und Kraft [35]). Der Effekt
des Ripple-Filters auf die Tiefendosis- kurve ist in Abbildung 2.2
zu sehen. Die Verbreiterung eines Bragg Peaks durch den RiFi
beträgt wenige Millimeter und ist somit wesentlich feiner gegenüber
der Verbreiterung des Peaks durch ”Modulator Wheels” oder ”Ridge
Filter”. Bei Verwenden eines Ripple-Filters wird die Anzahl der
abzutastenden Energien reduziert, die nötig sind, um einen SOBP zu
erhalten. Neben der Verbreiterung des Bragg Peaks wird die
Reichweite der Teilchen etwas verkürzt. Dies resultiert aus der
zusätzlichen Massenbelegung durch das passive Strahlelement im
Strahlengang, die zu einem zusätzlichen Energieverlust nach
Gleichung (2.1) führt. In Abbildung 2.3 ist der Aufbau der neuen
Generation von Ripple-Filtern zu sehen. Während die erste
Generation eine eindimensionale Struktur hatte, die aus Gründen der
Stabilität mit einer Grundplatte versehen war, besteht die neue
Generation aus einer zweidimensionalen Struktur aus periodisch
angeordneten Noppen [36]. Bei dieser Struktur benötigt man keine
Grundplatte mehr, die in der ersten Generation noch für einen
erhöhten Streuanteil gesorgt hatte. Durchläuft ein Partikelstrahl
endlicher Ausdehnung den Ripple-Filter, so durchqueren die Teilchen
in Abhängigkeit ihrer lateralen Position unterschiedliche Dicken
des Fil- termaterials, was zu einer Verbreiterung des Bragg Peaks
führt. Die Verbreiterung ist
9
dabei direkt mit der geometrischen Form des Filters verknüpft und
kann analytisch beschrieben werden [36].
Abbildung 2.2: Vergleich der Tiefendosiskurven von
Kohlenstoff-Ionen in Wasser für drei unterschiedliche
Primärenergien mit und ohne Ripple-Filter. Neben der Verbreiterung
des Bragg Peaks kommt es zu einer reduzierten Reich- weite der
Teilchen, welche durch die zusätzliche Massenbelegung des
Filterelements im Strahlengang verursacht wird (aus [35]).
Abbildung 2.3: Aufbau des 2-dimensionalen Ripple-Filters der neuen
Generation (aus [37]).
10
Bei jeder Wechselwirkung geladener Teilchen mit den
Targetelektronen kann es zu einer Richtungsänderung kommen [6].
Diese Richtungsänderungen folgen einer statistischen Verteilung. Je
nach Anzahl der Streuprozesse in einem Medium spricht man von Ein-
zelstreuung, Mehrfachstreuung (2-20 Streuereignisse) oder
Vielfachstreuung (mehr als 20 Streuereignisse) [6]. Bei der Mehr-
und Vielfachstreuung werden dabei die einzelnen Streuereignisse zu
einer Gesamtstreuung mit einem entsprechenden Gesamtstreuwinkel
zusammengefasst. Da die Berechnung der Einzelstreuung kompliziert
ist, bietet es sich an, Verteilungsfunktionen für die
Vielfachstreuung zu benutzen, wann immer dies mög- lich ist. Es
wurden mehrere, verschiedene Theorien zur Vielfachstreuung
veröffentlicht [38]. Mo- lière [39] sowie Snyder und Scott [40, 41]
veröffentlichten Theorien, bei denen unter der Annahme kleiner
Streuwinkel die Streuwinkelverteilung als Entwicklung der
Besselfunk- tionen beschrieben wird [38]. In Arbeiten von Goudsmit
und Saunderson [42, 43] wurden Legendre-Polynome verwendet, um eine
Theorie der Streuwinkelverteilung für beliebig große Winkel zu
entwickeln [38]. In einer Arbeit von Lewis [44] wurde ebenfalls
eine all- gemeingültige Theorie auf Basis der Entwicklung mit
Legendre-Polynomen vorgestellt. Zusätzlich konnte Lewis zeigen,
dass diese Theorie mit einer Kleinwinkelnäherung in die Theorie von
Molière, Snyder und Scott übergeht [38].
2.2.1 Molières Theorie der Vielfachstreuung
Im Folgenden wird die Theorie der Vielfachstreuung nach Molière
vorgestellt. Dabei wird auf eine exakte Herleitung verzichtet3.
Grundlage dieser Theorie ist die Kleinwin- kelnäherung, sodass gilt
sin(θ) ≈ θ. Für die in ein Intervall dθ gestreute Anzahl an
Teilchen f(θ)θdθ gilt [38]:
f(θ)θdθ = ϑdϑ [ f (0)(ϑ) +B−1f (1)(ϑ) +B−2f (2)(ϑ) + . . .
] (2.6)
4 u2
)]n (2.7)
3Die Herleitung findet sich in mehreren Veröffentlichungen, wie zum
Beispiel in einer Arbeit von Bethe [38].
11
Dabei ist J0 die Besselfunktion erster Gattung, u = B 1 2y, wobei
über y integriert wird.
ϑ = θ/ ( χcB
( χc χ′a
)2 definiert. Der Winkel χc hat dabei die Eigenschaft des minimalen
Streuwinkels bei einer Einfachstreuung und wird über folgende
Gleichung berechnet [38]:
χ2 c =
(pv)2 (2.8)
Hierbei ist n die Anzahl an Elektronen pro Volumen im Material der
Dicke t mit Ord- nungszahl Z. e ist die Elementarladung. Die
gestreuten Teilchen mit Ladungszahl z haben den Impuls p und die
Geschwindigkeit v. Der Winkel χ′a ist ein von Molière eingeführter,
sogenannter Screening-Winkel, der wie folgt definiert ist [38,
45]:
(χ′a) 2 = 1, 167 · χ2
a = 1, 167 · c2
β2
) (2.9)
Hierbei ist p der Impuls der Teilchen mit der relativistischen
Geschwindigkeit β. Die Größen c1 und c2 lassen sich dabei wie folgt
berechnen [38]:
c1 ≡ [(
e2
~c
) zZ
]2
(2.10)
c2 ≡ [
1
]2
(2.11)
Hierbei ist ~ das Planksche Wirkungsquantum, z die Ladungszahl der
Teilchen, Z die Ordnungszahl des Targetmaterials und mec
2 ≈ 0, 511 MeV die Ruheenergie des Elek- trons mit Elementarladung
e.
Der Kern dieser Streuwinkelverteilung nach Molière (Gleichung
(2.6)) ist der Gauss’sche Term f (0)(ϑ) = 2e−ϑ, der für sehr kleine
Streuwinkel dominant ist. Die weiteren Terme f (n)(ϑ) ergänzen
diese Gauss’sche Verteilung und werden mit zunehmender Größe der
Streuwinkel wichtiger und sorgen dafür, dass die
Verteilungsfunktion für große Streu- winkel breiter als die
Normalverteilung verläuft. Das Besondere an dieser Formel ist, dass
die Streuwinkelverteilung nur vom Verhältnis der Winkel χc und χ′a
(also der Größe B) abhängt [38]. Die Größe B liegt in der Regel im
Bereich 5 ≤ B ≤ 20 und beinhaltet über die Winkel χc und χ′a die
Eigenschaften der Teilchen sowie des Targetmaterials. Aus Gleichung
(2.8) folgt, dass χ2
c proportional
12
zur Elektronendichte und Dicke sowie dem Quadrat der Ordnungszahl
des Targetma- terials ist. Je schwerer bzw. dicker das
Streumaterial ist, desto größer ist also χ2
c bzw. B.4 Für große B dominiert jedoch der Term der
Normalverteilung f (0)(ϑ) = 2e−ϑ aus Gleichung (2.6), da für höhere
Ordnungen von f (n)(ϑ) die Größe B im Nenner steht. Für dicke bzw.
schwere Materialien folgt die Streuwinkelverteilung also
näherungsweise einer Normalverteilung.
Wie bereits angesprochen, ist der Gauss’sche Term f (0)(ϑ) für sehr
kleine Streuwinkel ϑ . 2 dominant. Die Streuwinkelverteilung lässt
sich in diesem Fall mit einer Normal- verteilung der Breite θw
annähern [38]:
θw = χcB
1 2
2.2.2 Näherung von Highland
Allerdings haben Hanson et al. [46] gezeigt, dass für den Fall sehr
kleiner Streuwinkel die Näherung der Winkelverteilung mit einer
Gauss’schen Verteilungsfunktion besser ist, wenn die Breite etwas
kleiner gewählt wird, als in Gleichung (2.12) angegeben [38]. Für
die Standardabweichung θw gilt demnach:
θw = χc(B − 1, 2)
√ 2
(2.13)
Da B normalerweise im Bereich 5 ≤ B ≤ 20 liegt, weicht die so
berechnete Breite θw um 3% bis 12,8% von der Breite aus Gleichung
(2.12) ab. Für die in Gleichung (2.13) gegebene Näherung
entwickelte Highland [47] eine einfache Formel, um die Größe θw aus
Materialeigenschaften zu bestimmen [45]:
θw = 14, 1 MeV
( η
RL
)] (2.14)
Hierbei ist pv das Produkt aus Impuls und Geschwindigkeit des
Projektils mit La- dungszahl z. η = ρ · d ist die Massenbelegung5
des Targets als Produkt aus Dichte ρ
4Bei schweren Materialien ist die Elektronendichte zwar geringer,
aber die Ordnungszahl, welche quadratisch in χ2
c eingeht, größer. Insgesamt ist χ2 c also größer, je schwerer ein
Material ist.
5Der Energieverlust von Teilchen beim Durchlaufen eines Mediums ist
nicht nur von dessen Dicke, sondern vor allem von der Dichte
abhängig. Die Massenbelegung verbindet diese beiden Eigenschaften
eines Materials.
13
und geometrischer Dicke d. RL ist die Strahlungslänge in g/cm2. Die
Strahlungslänge RL eines Elements6 kann dabei über folgende Formel
abgeschätzt werden [48, 49]:
RL ≈ 716, 4 · A
mol cm2
(2.15)
Mit Z als Ordnungs- und A als Massenzahl des Targetmaterials. Setzt
man die Massen- zahl A in g/mol ein, so hat die Strahlungslänge die
Einheit g/cm2. Für heterogene Materialien kann die resultierende
Strahlungslänge aus den Strahlungs- längen der Bestandteile
folgendermaßen ermittelt werden [49]:
RL = 1∑ i αi RLi
(2.16)
Dabei ist RLi die Strahlungslänge des Stoffes i und αi sein Anteil
an der Gesamtmasse.
2.3 Magnetische Strahlfokussierung
Um einen Strahl beschleunigter geladener Teilchen zu fokussieren,
werden Quadrupol- magnete verwendet [50]. In einem solchen Magneten
sind vier Spulen so angeordnet, dass sich zwischen je zwei Spulen
abwechselnd magnetische Nord- und Südpole aus- bilden. Zusätzlich
sind zwischen den Spulen hyperbolische Eisenjoche eingebracht, um
die Feldlinien zu krümmen und den magnetischen Fluss zu erhöhen.
Die daraus resul- tierenden Feldlinien sind in Abbildung 2.4 zu
sehen. Bewegt sich ein positiv geladenes Teilchen senkrecht zur
Zeichenebene, so wirkt die Lorenzkraft, die zu einer Beschleuni-
gung senkrecht zur Bewegungsrichtung führt. Aufgrund der Richtung
des Magnetfeldes wirkt ein Quadrupol nur in einer Ebene
fokussierend [51]. In der dazu senkrecht stehen- den Ebene ist eine
defokussierende Wirkung zu beobachten. Aus diesem Grund benötigt
man zur Strahlfokussierung immer zwei Quadrupolmagnete, die in
Strahlrichtung einen bestimmten Abstand zueinander besitzen und
deren Ausrichtung um 90 gegeneinander gedreht ist [51].
6Die Strahlungslänge ist diejenige Länge eines Materials, an der
die Energie der Partikel auf 1/e abgefallen ist [48].
14
Abbildung 2.4: Links: Der Aufbau eines Quadrupolmagneten und die
daraus resultie- renden Feldlinien (grau) und auf ein positiv
geladenes Teilchen wirkende Lorenzkraft (blau), bearbeitet nach
[52]. Rechts: Schematische Darstel- lung der Magnetfeldstärke eines
Quadrupolmagneten in Abhängigkeit der lateralen Position.
Für die mathematische Beschreibung der Quadrupole lässt sich das
magnetische Feld wie folgt definieren:
Bx = g · y
By = g · x
Bz = 0
wobei Bx, By und Bz die Komponenten des magnetischen Feldvektors ~B
sind. g be- schreibt den Gradienten der Feldstärke in T/m und legt
über das Vorzeichen die Rich- tung der Fokussierung fest. Die
Ausbreitungsrichtung der Teilchen ist in positiver z- Richtung, das
magnetische Feld steht also stets senkrecht zur zentralen
Strahlachse und ist auf dieser gleich Null . Die Bewegung eines
Teilchens durch ein solches magnetisches Feld lässt sich mithilfe
von Abbildungsmatrizen beschreiben [51, 53]. Dem Teilchen wird vor
dem Eintritt in das Quadrupolfeld eine initiale laterale Position
(x0, y0) und eine Steigung der Teilchenbahn (x′0, y
′ 0) zugeordnet. Die Steigung x′ = dx
dz gibt dabei die Änderung des lateralen Abstandes des Teilchens in
x-Richtung zur Sollbahn (x = 0)
entlang der z-Achse an. Die Position (x, y) und Steigung (x′, y′)
des Teilchens nach dem Durchlaufen eines Ma-
15
gneten lassen sich mittels einer Matrixmultiplikation berechnen
[51, 53]: x
x′
y
y′
= M ·
x0
Hierbei steht M für den in x-Richtung fokussierenden und y-Richtung
defokussierenden (MFx, g > 0) bzw. in x-Richtung
defokussierenden und in y-Richtung fokussierenden (MDx, g < 0)
Quadrupolmagneten [51, 53]:7
MFx =
− √ |k| sin cos 0 0
0 0 cosh 1√ |k|
sinh
(2.18)
MDx =
|k| sinh cosh 0 0
0 0 cos 1√ |k|
sin
(2.19)
wobei k = e·g |~p| definiert ist. Die Einheit von k ist 1/m2. e
gibt die Ladung des zu fokus-
sierenden Teilchens an, ~p ist sein Impuls und g steht für den
Gradienten der Magnetfeld- stärke in T/m. Der Term =
√ |k| ·L beinhaltet die Länge des Quadrupolmagneten L.
Die Größen k und L sind Größen, die das ionenoptische System des
Quadrupolmagneten beschreiben. Aus k lassen sich die
korrespondierenden Magnetfeldstärken für Teilchen einer gewissen
Energie und Ladung berechnen. Für eine feldfreie Driftstrecke (k →
0) der Länge l lassen sich die Abbildungsmatrizen vereinfachen
[51]:8
MFx = MDx = MD =
Lösung dieser Gleichung findet sich im Appendix. 8Eine Herleitung
der vereinfachten Abbildungsmatrizen findet sich im Appendix.
16
Ebenfalls vereinfachen lassen sich die Matrizen, falls die
Ausdehnung L des Quadrupol- magneten in Strahlrichtung klein
gegenüber der Brennweite f = 1
kL ist. Für einen in
x-Richtung fokussierenden Quadrupolmagneten folgt:
1
(2.20)
Für einen in x-Richtung fokussierenden Magneten ist k > 0,
dementsprechend also auch f > 0. In Analogie zur geometrischen
Strahloptik steht − 1
f für eine Fokussierung (Sam-
mellinse), falls f > 0. Andernfalls liegt eine defokussierende
Wirkung vor (Streulinse). Mithilfe dieser Matrizen lässt sich nun
die Strahlführung für beliebige Anordnungen von Quadrupolmagneten
und Driftstrecken berechnen. Wird ein Strahl zum Beispiel durch
einen in x-Richtung fokussierenden Magneten ge- führt, dem
anschließend eine Driftstrecke der Länge l und ein in y-Richtung
fokussie- render Quadrupolmagnet folgt, erhält man für die gesamte
Matrix:
M = MQuad−Fy·MD·MQuad−Fx =
1 L 0 0 1 f
1 0 0
− l f2
l + 2L
(2.21)
Wählt man neben der kleinen Ausdehnung des Quadrupolmagneten L f
auch eine kurze Driftstrecke l f , sowie eine geringe Steigung der
Teilchenbahn x′, so folgt l+L f 1 und (l + 2L) · x′ x. Für die
Abbildungsmatrix M ergibt sich:
M ≈
1
(2.22)
17
Gut zu sehen an dieser Form ist, dass die Kombination aus einem in
x-Richtung fo- kussierenden und einem in x-Richtung
defokussierenden Quadrupolmagneten insgesamt fokussierend wirkt, da
f 2 > 0, die Brennweite also positiv ist. Die charakteristische
Größe eines Quadrupolmagneten ist die Brennweite f = 1
k·L = |~p| e·g·L , die angibt, in welchem Abstand hinter dem
Quadrupolmagneten die maximale Fokussierung erreicht wird [51].
Will man den Ort dieser Fokussierung konstant halten, muss die
Magnetfeldstärke angepasst werden, falls Teilchenstrahlen gleicher
Ladung aber anderer Energie fokussiert werden sollen. Die Länge des
Quadrupolmagneten lässt sich nicht anpassen. Bei Teilchenstrahlen
hoher Energie muss der relativistische Effekt be- rücksichtigt
werden. Für den Zusammenhang zwischen kinetischer Energie pro
Nukleon Ek, Ruheenergie pro Nukleon E0 und dem relativistischen
Impuls p eines Teilchens mit Massenzahl A gilt:
|~p| = A
√ E2 k + 2EkE0 (2.23)
Für die Anpassung des Gradienten g der Feldstärke an die Energie
der Teilchen bei gleicher Massenzahl (A1 = A2) und Ladungszahl (e1
= e2) gilt somit:
f1 = f2 ⇒ |~p1| e1g1L
Unter der Monte-Carlo-Methode versteht man das numerische Lösen
komplexer Integra- le unter der Verwendung von Zufallszahlen [54].
Hierfür wird ein mathematisches Modell benötigt, welches die
Aufgabenstellung in Form von Funktionen und Wahrscheinlich-
keitsverteilungen beschreibt. Das so aufgebaute Zufallsexperiment
wird anschließend mehrmals wiederholt und so die gewünschte Größe
angenähert [55]. Der Durchschnitt der berechneten Größe aus den
einzelnen Experimenten wird dann gegen die wahre Lösung des
Problems konvergieren [55]. Die Genauigkeit des Ergebnisses ist
dabei pro- portional zu 1/
√ N , wobei N die Anzahl der Wiederholungen ist [56]. Der Einsatz
von
Monte-Carlo-Methoden ist immer dann sinnvoll, wenn klassische
numerische Methoden eine zu geringe Konvergenzgeschwindigkeit
besitzen. Hierzu zählen Problemstellungen aus der Meteorologie und
der Finanzwelt sowie der Strahlungstransport [18, 27]. Für die
Berechnung des Strahlentransportes benötigt man die physikalischen
Wechsel- wirkungsquerschnitte, welche die
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verschiedenen
18
Ereignisse liefern. Neben der Anzahl der verwendeten Teilchen wird
in diesem Fall die Genauigkeit des Ergebnisses durch die
Unsicherheiten der physikalischen Größen be- grenzt [55]. Ein
großer Vorteil der Monte-Carlo-Methoden liegt in ihrer Fähigkeit,
die Berechnun- gen zu parallelisieren. Dies ermöglicht die
Verwendung von Rechenclustern, sodass die Simulationszeiten
drastisch verkürzt werden können [56].
2.4.1 Der Monte-Carlo-Code FLUKA zum Transport geladener
Teilchen
FLUKA ist ein Monte-Carlo-Code zur Berechnung der Wechselwirkungen
und den Transport von Teilchen in Materie [57, 58]. Die erste
Version von 1962 wurde am CERN (European Organization for Nuclear
Research) entwickelt und konnte lediglich hoch- energetische
Protonen berechnen [55]. Die neue Version von FLUKA, die seit 1992
in einer Zusammenarbeit zwischen CERN und dem INFN (National
Institut for Nuclear Physics in Frascati) stetig weiterentwickelt
wird, basiert auf fünf vollständig integrier- ten Modulen, welche
es möglich machen, verschiedene Teilchen und Wechselwirkungen zu
simulieren. Unter anderem zählen hierzu Hadronen, Elektronen,
Photonen, nieder- energetische Neutronen sowie Schwerionen [55].
Außerdem wurde die Energiespanne der Teilchen vergrößert, sodass
Energien bis in den TeV-Bereich berechnet werden können. Der
Strahlungstransport wird mithilfe verschiedener physikalischer
Modelle berechnet, die je nach Bedarf aktiviert werden können. Der
Energieverlust durch Stöße mit den Hüllenelektronen eines Materials
wird mithilfe der Bethe-Bloch-Gleichung (Gleichung (2.1))
beschrieben [59]. Für die Berechnung der effektiven Ladungszahl
wird dabei die Barkas-Formel verwendet [27, 59]. Da der
Energieverlust dieser Soft-Collisions sehr gering ist, geschehen
viele solcher Ereig- nisse, bis ein Teilchen und die von ihm
produzierten Sekundärteilchen zur Ruhe kommen. Würden all diese
Ereignisse einzeln berechnet werden, würde dies in
unverhältnismäßig langen Rechenzeiten resultieren. Daher wird in
FLUKA die Condensed-History-Technik verwendet [60]. Dies bedeutet,
dass die Energieverluste und Richtungsänderungen meh- rerer solcher
Soft-Collisions zu einer Richtungsänderung zusammengefasst werden.
Die bei diesen Ereignissen abgegebene Energie wird zu Teilen auf
Sekundärteilchen über- tragen, der Rest wird lokal deponiert.
Grundlage der Condensed-History-Methode sind Theorien der
Vielfachstreuung. FLUKA verwendet die in Kapitel 2.2.1 beschriebene
Theorie nach Molière und entwickelt Gleichung (2.6) bis zur zweiten
Ordnung [61]. In
19
Geometrien kleiner Ausdehnung kann es sein, dass die Anzahl der
Streuereignisse kleiner als 20 ist. In diesen Fällen ist die
Vielfachstreuung nicht gültig (vgl. Kapitel 2.2) und es muss ein
Streualgorithmus für die Einzelstreuung verwendet werden. Die
Umschaltung zwischen den beiden Algorithmen geschieht in FLUKA
vollautomatisch [27]. Im Gegensatz zu den Soft-Collisions stehen
die Hard-Collisions, bei denen es zu Kern- reaktionen
(einschließlich Fragmentierung) sowie großen Energieverlusten der
primären Teilchen kommen kann. Zur Berechnung der nuklearen
Wechselwirkungen werden abhängig von der Energie verschiedene
Modelle verwendet: Bei Energien E < 100 MeV/u findet ein Modell
An- wendung, welches die Boltzmanngleichung löst [27, 62]. Für
Energien 100 MeV/u < E <
5 GeV/u wird das RQMD (Relativistic Quantum Molecular Dynamics
Model) verwen- det [62]. Kern-Wechselwirkungen für Protonen werden
mit dem PEANUT-Modell (Pre- Equilibrium Approach to NUclear
Thermalisation) berechnet [63, 64]. Alle diese Modelle sind in der
Literatur gut beschrieben, in FLUKA seit längerer Zeit
implementiert und es wurden Benchmarks durchgeführt, um die
Richtigkeit dieser Mo- delle zu zeigen [65]. Alle Einstellungen der
Modelle, die FLUKA vollautomatisch einsetzt, können vom Be- nutzer
geändert werden. So können Cut-Off Energien9 für verschiedene
Teilchen fest- gelegt werden. Außerdem kann der Benutzer zur
Reduktion der Rechenzeit Wechsel- wirkungsquerschnitte für
bestimmte Reaktionen erhöhen und die mittleren freien Weg- längen
verändern. In FLUKA sind verschiedene Kombinationen solcher
Grenzenergien und Wechselwirkungsquerschnitte für verschiedene
Teilchen und Wechselwirkungen vor- definiert, die der Benutzer je
nach Problemstellung verwenden kann. Zudem hat der Benutzer die
Möglichkeit, mittels sogenannter Benutzerroutinen direkt in die
Transportwege der Teilchen einzugreifen. So wird es möglich,
spezielle Fragestel- lungen zu bearbeiten. Diese Routinen werden in
Fortran 77 programmiert und erlauben zum Beispiel das Verwenden von
Magnetfeldern, Energiespektren für eine Teilchenquelle oder das
Manipulieren von Geometrien. Grundlage eines jeden
Monte-Carlo-Codes ist das Erzeugen von Zufallszahlen. FLUKA benutzt
einen deterministischen Generator, der mittels eines mathematischen
Algorith- mus Zufallszahlen erzeugt, die benutzt werden, um das
Schicksal eines Teilchens (Art einer Wechselwirkung,
Energieübertrag, Richtungsänderung, etc.) zu ermitteln.
9Die Cut-Off Energie gibt an, bis zu welcher Energie die
Wechselwirkungen von Teilchen einer bestimmten Art berechnet
werden. Sinkt die Energie des Teilchens unterhalb diese Schwelle,
so wird das Teilchen vernichtet und seine Restenergie lokal
deponiert.
20
Die Unsicherheit des mit FLUKA berechneten Ergebnisses setzt sich
aus einer syste- matischen und stochastischen Unsicherheit
zusammen. Die systematische Unsicherheit ist bedingt durch die
Genauigkeit der von FLUKA benutzten physikalischen Größen. Durch
fortwährende Verbesserung der Datenbänke wird dieser Anteil an der
Gesamtun- sicherheit immer kleiner. Die stochastische Unsicherheit
der mit FLUKA berechneten Größe hängt von der Anzahl der
berechneten Ereignisse ab. Hierbei nutzt man die Tatsache aus, dass
das Ergebnis mit steigender Anzahl an Wiederholungen gegen eine
Normalverteilung geht, dessen Mittelwert µ gegen den wahren Wert
konvergiert. Die Breite σ dieser Normalvertei- lung entspricht der
stochastischen Unsicherheit des Ergebnisses. FLUKA gibt demnach als
Wert der gesuchten Größe µ ± σ aus. Dementsprechend wird in dieser
Arbeit die Unsicherheit aller mit FLUKA berechneten Größen zu 1σ
angegeben.
2.5 Strahlkopf der Partikeltherapieanlage
Der schematische Aufbau des Strahlkopfes und seine Position
bezüglich des Isozentrums ist in Abbildung 2.5 zu sehen. Zur
Orientierung ist in der Abbildung ein Koordinaten- system
eingezeichnet. Das Isozentrum befindet sich im Punkt (0,0,0). Der
Strahl geht stets in positiver z-Richtung. x und y werden als die
lateralen Richtungen definiert. Der in dieser Arbeit untersuchte
Strahlkopf ist ähnlich zu dem an der GSI in Darmstadt verwendeten
und ist in der Literatur gut beschrieben [66, 67, 68, 69, 70,
71].
Abbildung 2.5: Der schematische Aufbau des
Beschleunigerstrahlkopfes und seine Posi- tion in Bezug zum
Isozentrum.
21
Der Strahl kommt von links und verlässt das vakuumierte Strahlrohr
in einem Abstand von 142 cm zum Isozentrum. Der Abschluss des
Beschleunigerrohrs wird durch zwei Austrittsfenster markiert. Diese
Austrittsfenster dichten das Rohr ab und erhalten so das Vakuum
aufrecht. Sie bestehen aus einem Doppelsystem aus je einer Schicht
Polyester mit einer Massenbelegung von 14 mg/cm2 und einer Schicht
Kevlargewebe mit einer Massenbelegung von 6,1 mg/cm2. Das Polyester
sorgt für die erforderliche Dichtheit und erhält durch das
Kevlargewebe die nötige Stabilität.
2.5.1 Ionisations- und Multi-Wire-Kammern
Der eigentliche Strahlkopf besteht aus fünf Dosiskammern. Diese
sind zur Überwachung der Strahlqualität und applizierten Dosis
unerlässlich. Beginnend mit einer Multi-Wire- Kammer (WMK1) folgen
drei Ionisationskammern (IK) und abschließend die zweite
Multi-Wire-Kammer (MWK2) (vgl. Abbildung 2.5). Jede dieser Kammern
besitzt eine Länge von 4 cm und ist mit einem Gas gefüllt, das zu
80 Volumenprozent aus Argon und 20 Volumenprozent aus
Kohlenstoffdioxid besteht. Die resultierende Massenbele- gung des
Gases beträgt 6,8 mg/cm2 pro Kammer. Abgedichtet sind die Kammern
mit je einer Schicht Polyester am Anfang und Ende mit einer
geometrischen Dicke von je 24 µm, was einer Massenbelegung von 1,4
mg/cm2 entspricht. Hinter jeder Kammer befinden sich je 3 cm Luft.
In den drei Ionisationskammern befinden sich je zwei Anoden und
eine Kathode. Diese bestehen aus einer in Kapitel 3.1 näher
beschriebenen Folie. Kern dieser Folien ist ein Polyestergewebe,
welches mit Nickel bedampft wurde, um die für die Funktionalität
der Dosiskammern erforderliche elektrische Leitfähigkeit zu
erhalten. Durch die heterogene Struktur dieses Gewebes kommt es wie
in Kapitel 2.1.3 beschrieben zu einer Modulati- on der
Tiefendosiskurve, welche in den folgenden Kapiteln näher untersucht
wird. Die Kathode ist mittig in der Ionisationskammer angebracht.
Die Anoden stehen in Strahl- richtung in einem Abstand von 0,5 cm
vor und hinter der Kathode. Durch Anlegen einer Spannung an den
Folien bildet sich zwischen diesen ein homogenes, elektrisches Feld
aus. Durchlaufen Teilchen die Kammern, werden durch
Wechselwirkungen die Gasatome io- nisiert und die so entstandenen
freien Ladungsträger je nach Ladung zur Kathode bzw. den Anoden hin
beschleunigt [8]. Die Elektronen werden an den Anoden abgesaugt und
es ist ein Strom messbar. Die Anzahl der erzeugten und abgesaugten
Elektronen ist dabei proportional zur deponierten Energie der
Teilchen. Über eine Kalibrierung kann ein Zusammenhang zwischen
gemessenem Strom und der in der Kammer applizierten
22
Ionendosis hergestellt werden [6]. In den Multi-Wire-Kammern
besteht lediglich die Kathode aus dem mit Nickel be- dampften
Polyestergewebe. Anstatt der beiden äußeren Anodenfolien ist je
eine Viel- Draht-Ebene vor und hinter der Kathode verbaut. Diese
bestehen aus 50 µm dicken Wolframdrähten, die in einem Abstand von
1 mm zueinander angeordnet sind. Dabei stehen diese Drähte der in
Strahlrichtung ersten Anode in x- und die der zweiten in
y-Richtung. Die jeweilige Position der Anoden und Kathoden ist
analog zu den Posi- tionen in den Ionisationskammern. Die
Funktionsweise dieser Multi-Wire-Kammern ist ähnlich wie die der
Ionisationskammern. Nur wird der Strom an jedem einzelnen Draht der
Anoden gemessen, wodurch eine Positionsbestimmung des
Partikelstrahls möglich ist [72]. Die Kammer kann also
Informationen über die horizontale und vertikale Positi- on des
Strahls liefern. Verwendet man zwei Kammern, so kann man über die
Änderung der lateralen Position des Strahls zwischen den Kammern
Aussagen über die Richtung des Strahls treffen.
2.5.2 Ripple-Filter
Den Kammern folgt ein 4 mm dicker Ripple-Filter (”RiFi”).10 Dieser
besteht aus PMMA (H24C21O4) und hat wie in Kapitel 2.1.3
beschrieben eine noppenartige Struktur. Die Höhe der Noppen beträgt
dabei 4 mm. Zwischen dem RiFi und dem Isozentrum befindet sich
Luft.
10Eigentlich ist zwar der 3 mm RiFi der Standardfilter am
Strahlkopf, allerdings soll in dieser Arbeit der neue 4 mm RiFi
untersucht werden.
23
Dosiskammern
Die wichtigsten Bauteile des im Beschleuniger benutzten
Strahlkopfes sind die Ionisations- und Multi-Wire-Kammern. Dabei
bestehen die Anoden und Kathoden der Ionisations- kammern sowie die
Kathoden der Multi-Wire-Kammern wie in Kapitel 2.5 beschrieben aus
einer Folie. Diese Folie ist aus einem feinen Polyestergitter
aufgebaut, welches mit Nickel bedampft wurde, um die für die
Funktion der Dosiskammern wichtige elektrische Leitfähigkeit zu
erhalten. Insgesamt befinden sich elf solcher Folien im
Strahlkopf1. Für die genaue Analyse dieser Folien wurde ein Stück
der Folie unter einem Raster- Elektronen-Mikroskop untersucht. So
kann die Größe der Strukturen und der Aufbau des Gitters untersucht
werden. In Abbildung 3.1 ist eine Aufnahme zu sehen. Zudem bietet
ein Raster-Elektronen-Mikroskop die Möglichkeit, die Größe von
Strukturen zu vermessen. Der Radius der Drähte des Gitters r konnte
zu ∼20 µm bestimmt werden. Die Periodizität λ der Drähte beträgt
∼83 µm. Die Unsicherheit des Radius beträgt 1 µm, die der
Periodizität 3 µm. Diese beiden Unsicherheiten kommen vor allem
daher, dass die Drähte an den Knotenpunkten zusammengedrückt
werden, der Durchmesser der Drähte also nicht konstant ist. Um
festzustellen, wie groß der Anteil des auf die Folien gedampften
Nickels an der Gesamtmasse ist, wurde zudem das Folienstück mit
einer Feinwaage gewogen. Die Mas- senbelegung η (Gewicht pro
Fläche) beträgt 6,7±0,1 mg/cm2. Aus diesen Größen lassen sich nun
alle weiteren Größen aus geometrischen Überlegun- gen berechnen.
Dabei ist ρPET = 1,4 g/cm3 die Dichte von Polyester und ρNi = 8,902
g/cm3 die Dichte von Nickel2. Die Unsicherheiten aller berechneten
Größen ergeben sich
1Zwei Multi-Wire-Kammern à eine Folie und drei Ionisationskammern à
drei Folien. 2Die Angaben zu den Dichten wurden der
ICRU-Materialliste [73] entnommen
24
aus der Gauss’schen Fehlerfortpflanzung der Unsicherheiten von r, λ
und η:3
• Gesamtdichte: ρges = λ·η 2·π·r2 = (2, 2± 0, 25) g/cm3
• Massenanteil des Nickels: α = ρNi ρNi−ρPET
− 1 ρges · ρNi·ρPET ρNi−ρPET
= 0, 36± 0, 09
• Radius des Polyesterkerns: rPET =
π·(ρPET−ρNi) = (18, 9± 0, 1) µm
• Dicke der Nickelschicht: rNi = r − rPET = (1, 1± 0, 1) µm
Abbildung 3.1: Raster-Elektronen-Mikroskop-Aufnahme des mit Nickel
bedampften Po- lyestergitters aus den Dosiskammern (links) und eine
schematische Dar- stellung des Querschnitts eines Drahtes, aus dem
das Gitter aufgebaut ist (rechts)
Da die Unsicherheit des Massenanteils α mit 25 % sehr groß ist,
wurde zusätzlich eine zweite Methode gewählt, um den Wert genauer
zu bestimmen. Hierfür wurde ein Stück der Folie mit Alkohol
gereinigt und mit einer Feinwaage gewogen. Anschließend wurde die
Folie 24 Stunden lang in einer Petrischale in 1-molariger Salzsäure
eingelegt. Durch die Salzsäure wurde das Nickel vom Polyesterkern
gelöst. Dabei wurde die Petrischa- le mithilfe eines Shakers leicht
geschüttelt, um ein gleichmäßiges Lösen des Nickels zu erreichen.
Anschließend wurde die Folie erst mit Wasser gereinigt und in einem
Trocken- schrank bei 50 C 60 Minuten lang getrocknet. Anschließend
wurde die Folie mit Alkohol gereinigt und das Gewicht wieder mit
der Feinwaage bestimmt. Die Differenz der Masse zum ersten Wiegen
entspricht genau der Masse des Nickels auf der Folie. Hieraus
ergab
3Eine Herleitung der benutzten Formeln ist im Appendix zu
finden.
25
sich ein Massenanteil von α = 0, 43. Dieses Ergebnis stimmt mit dem
Ergebnis der geo- metrischen Überlegungen überein. Die Angabe einer
Unsicherheit dieses Ergebnisses ist nicht möglich, da keine Aussage
darüber getroffen werden kann, ob das Nickel zu 100% durch die
Salzsäure entfernt wurde.
3.1.1 Untersuchung der Modulationseffekte durch die Gewebe-
folien
3.1.1.1 Methode I: Energiemodulation
Die heterogene Struktur der Folien führt wie in Kapitel 2.1.3
beschrieben zu einer Modu- lation der Tiefendosiskurve. Um diese
Modulation qualitativ und quantitativ zu bestim- men, wurden
Berechnungen mit dem Monte-Carlo-Code FLUKA vorgenommen. Dafür
wurde eine Quelle an der Position z = -140 cm definiert, die einen
parallelen Strahl monoenergetischer Kohlenstoff-Ionen mit einer
Energie von 80 MeV/u in positiver z- Richtung emittiert (siehe
Abbildung 3.2). Die Energie wurde deshalb so niedrig gewählt, da
wie in Kapitel 2.1.1 beschrieben für höhere Energien der Effekt des
Energieverlust- Stragglings ansteigt. Dadurch könnten kleinere
Effekte wie die Modulation der Tiefen- dosiskurve durch die
heterogene Geometrie der Folien verschmiert werden.
Abbildung 3.2: Schematischer Aufbau der FLUKA-Simulationen zur
Untersuchung der Folienmodulation. Vergleiche Abbildung 2.5
Die laterale Intensitätsverteilung des simulierten Teilchenstrahls
wurde gaussförmig in x- und y-Richtung mit einem FWHM von 2 mm
gewählt. Dadurch ist gewährleistet, dass die Ausdehnung des Strahls
deutlich größer als die zu untersuchende Struktur (Periode des
Gitters von ∼83 µm) ist. An der Position z = 0 cm wurde ein
zylinderförmiges Was- serphantom platziert. In einer ersten
Simulation wurde die Tiefendosiskurve im Was- serphantom
aufgenommen, ohne, dass sich etwas im Strahlengang befand. Diese
Kurve
26
wird als Referenzkurve bezeichnet. In einer zweiten Simulation
wurden die elf Folien aus den Dosiskammern im Strahlengang
entsprechend Abbildung 3.2 eingebracht. Um die Gitterstruktur der
Folien zu verwirklichen, wurden die Folien aus Zylindern aufgebaut,
die einen Radius von 18,9 µm haben und aus Polyester bestehen.
Umgeben waren diese Zylinder mit einer 1,1 µm dicken Schickt aus
Nickel. Die Zylinderachsen hatten einen Abstand von λ = 83 µm
zueinander (vgl. Kapitel 3.1). Jede Folie bestand aus einer Reihe
Zylindern, die in x-Richtung ausgerichtet waren und einer Reihe aus
Zylindern in y-Richtung. Die Folien waren zudem lateral zufällig
gegeneinander verschoben. Der Mittelpunkt der ersten Folie wurde
auf die Strahlachse gelegt. Die Mittelpunkte der anderen zehn
Folien waren jeweils um einen Wert a in x- und y-Richtung gegenüber
dem Mittelpunkt der ersten Folie verschoben. Die Werte für a wurden
für jede einzel- ne Folie zufällig aus dem Intervall [0:83] µm
bestimmt. Auf ein Loch einer Folie folgte also nicht das Loch einer
anderen Folie. Dies wurde deshalb gemacht, da im Strahlkopf des
Beschleunigers die Folien ebenfalls zufällig gegeneinander
verschoben sind. Lateral hatten die Folien eine Ausdehnung von 2 cm
x 2 cm. Die laterale Ausdehnung wurde so gewählt, dass keine
Teilchen an den Folien vorbeigehen. Die Tiefendosiskurve, bei der
sich elf Folien als Gitter im Strahlengang befanden, ist gegenüber
der Referenzkurve wegen der größeren Massenbelegung im Strahlengang
ver- schoben und aufgrund des modulierenden Effekts verbreitert. Um
die Verschiebung und Verbreiterung der Kurve quantitativ zu
beschreiben, wurde analog zu einer Arbeit von M. Witt [27], in der
die Modulationseffekte bei Durchstrahlen von inhomogenem Lun-
gengewebe untersucht wurden, mittels Matlab ein normalverteilter
Faltungskern nach den Größen µ und σ so optimiert, dass die
Referenzkurve gefaltet mit diesem Fal- tungskern der
Tiefendosiskurve der elf Folien als Gitter entspricht. Ein Beispiel
ist in Abbildung 3.3 zu sehen. Der Mittelwert µ beträgt 0,062 cm
und die Breite σ = 0, 0123
cm. Allgemein ist eine Tiefendosiskurve die Superposition der
Tiefendosiskurven der ein- zelnen Teilchen. Der normalverteilte
Faltungskern ist also so zu verstehen, dass er die
Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Schwerpunkt der
Tiefendosiskurve eines einzelnen Teilchens gegenüber der
Referenzkurve um einen bestimmten Wert verschoben wird. Der
Mittelwert µ entspricht also der Verschiebung des Schwerpunktes der
Referenzkur- ve durch das Einbringen der elf Folien in den
Strahlengang. Somit gibt er die mittlere wasseräquivalente Dicke
der elf Folien wieder. Diese Größe stellt allgemein den Zusam-
menhang zwischen der Dicke eines beliebigen Materials und der
entsprechenden Dicke des Materials Wasser dar.
27
Das Berechnen der Folien als Gitter mit FLUKA bedarf einer hohen
Rechenzeit. Der Grund hierfür liegt darin, dass für die elf Folien
mit einer lateralen Ausdehnung von 2 cm x 2 cm mehr als elftausend
Geometrien (Zylinder) benötigt werden. Je mehr Geometrien verwendet
werden und je kleiner diese sind, desto mehr Rechenzeit benötigt
FLUKA zum Einlesen der Geometrien und berechnen der
Wechselwirkungsschritte. Aus diesem Grund soll eine Methode
gefunden werden, die Rechenzeit zu verkürzen.
Abbildung 3.3: Oben: Relative Tiefendosiskurven bei Bestrahlung
eines Wasserphan- toms mit 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen mit und ohne
elf Folien als Gitter im Strahlengang. Die Dosis ist dabei jeweils
auf den Dosiswert in der Tie- fe 0 normiert. Der Graph zeigt
vergrößert den Ausschnitt um die Bragg Peaks. Unten:
Normalverteilter Faltungskern, der den Zusammenhang zwischen den
beiden Kurven oben beschreibt.
28
Grundlage dieser Methode ist sinnvollerweise, anstatt der Folien
als Gitter alle Folien aus einer homogenen Geometrie gleichen
Materials einzulesen. So reduziert man die Anzahl der Geometrien
von elftausend auf elf. Die Umrechnung der Folien als Gitter in
homogene Geometrien kann leicht vorgenommen werden. Aus der
gemessenen Massen- belegung η = 6,7±0,1 mg/cm2 und der berechneten,
mittleren Dichte ρges = 2,2 g/cm3
lässt sich die Dicke d der homogenen Geometrie berechnen:
d = η
ρges = 30, 5 µm (3.1)
Anstatt der elf Folien als Gitter können also elf Folien aus einer
homogenen Struktur mit einer Dicke von jeweils 30,5 µm verwendet
werden. Für das Material dieser Folien wird ein Stoffgemisch
(entsprechend der Folien als Gitter) aus Polyester und Nickel ver-
wendet. Der Massenanteil α von Nickel beträgt dabei wie bei den
Folien als Gitter 0,43 (vgl. Kapitel 3.1). Dadurch, dass bei diesen
Folien homogener Struktur dasselbe Materi- al verwendet wird, wie
bei den Folien als Gitter, ist gewährleistet, dass der Schwerpunkt
der entsprechenden Tiefendosiskurven in der gleichen Tiefe liegt.
Allerdings geht von der homogenen Geometrie kein modulierender
Effekt aus. Um den modulierenden Effekt zu erhalten, kann der
gefundene Faltungskern aus Ab- bildung 3.3 verwendet werden. Der
durch den Mittelwert dieser Verteilung definierte Verschub wird
durch das Einbringen der homogenen Folien im Strahlengang erreicht.
Um von der unmodulierten Tiefendosiskurve dieser Folien auf die
Tiefendosiskurve der Folien als Gitter zu kommen, muss die Kurve
entsprechend der inhomogenen Gitter- struktur verbreitert werden.
Diese Verbreiterung wird dabei durch die Streuung der
Normalverteilung aus Abbildung 3.3 beschrieben. Es kann also eine
neue Verteilung de- finiert werden, die den Mittelwert Null und
dasselbe σ hat. Diese Verteilung beschreibt nun anschaulich die
Wahrscheinlichkeit für die Änderung der Reichweite z eines Teil-
chens ausgehend vom Schwerpunkt der Tiefendosiskurve der elf
homogenen Folien. Mit der in den Grundlagen gegebenen Gleichung
(2.3) kann die Reichweite eines Teilchens in Wasser in Abhängigkeit
seiner Energie abgeschätzt werden. Mithilfe der Ableitung dieser
Gleichung kann also aus der Änderung der Reichweite z eine Änderung
der Energie E berechnet werden:
R(E,Z,A) ≈ 2, 56 · 10−3 · E1,74 · Z 2
A ⇒ E ≈ 224, 5 · Z2
A · E0,74 ·z (3.2)
Für die Teilchen wird nun anhand der neuen um Null verteilten
Normalverteilung eine
29
Modulation z der Reichweite bestimmt. Mit Gleichung (3.2) wird
daraus eine Ände- rung der Energie E bestimmt, die zu der Energie
der Teilchen nach Durchlaufen der elf homogenen Folien addiert
wird. In FLUKA kann dies mithilfe der Benutzerroutine USRmed
verwirklicht werden. Diese Benutzerroutine wurde so programmiert,
dass sie auf die Teilchen nach Durchlaufen der elf Folien homogener
Struktur zugreift. Für jedes Teilchen wird eine Reichweitenände-
rung z nach der beschriebenen Verteilung gewürfelt, daraus eine
Energieänderung E
berechnet und somit die neue Energie der Teilchen bestimmt. Für die
Simulation wur- de dieselbe Teilchenquelle und derselbe Aufbau wie
in der Simulation zuvor verwendet (vgl. Abbildung 3.2). Lediglich
die Folien als Gitter wurden in diesem Aufbau durch die Folien
homogener Struktur ersetzt. Hinter der letzten Folie wurde eine
Grenze definiert. Passieren die Teilchen diese Grenze, so wird die
Benutzerroutine aufgerufen und die Energie der Teilchen nach dem
beschriebenen Konzept manipuliert.
3.1.1.2 Methode II: Geometrische Modulation der Dicke
Verschiedene Experten der FLUKA-Gemeinschaft raten jedoch davon ab,
in FLUKA die Energie der Teilchen zu verändern, da dies zu Fehlern
im Code und zu falschen Berechnungen führen kann. Aus diesem Grund
wurde eine zweite Methode entwickelt, die ebenfalls mit homoge- nen
Folien arbeitet und trotzdem die Modulationseffekte liefert.
Hierfür wurde von der Energiemodulation der Teilchen direkt zu
einer Modulation der Foliendicke d überge- gangen. Ausgangspunkt
ist wieder die Verteilungsfunktion aus Abbildung 3.3. Wie bereits
in Kapitel 3.1.1.1 beschrieben, kann aus dem Mittelwert dieser
Funktion und der Dicke der elf homogenen Folien die
wasseräquivalente Dicke des Folienmaterials hergestellt werden. Die
Dicke von elf Folien ist 11 mal 30,5 µm, also 335,5 µm. Der
Schwerpunkt der Verteilungsfunktion ist 0,062 cm (=620 µm)
Wasseräquivalent (vgl. Kapitel 3.1.1.1). 1 cm Folie entspricht also
≈ 1,84 cm Wasser. Über diesen Zusammenhang kann aus der Verteilung
des Verschubes gegenüber der Referenzkurve eine Verteilung der
Dicke der elf Folien hergeleitet werden. Hierfür muss lediglich der
Verschub in Wasser über die wasseräquivalente Dicke in die Dicke
des Folienmaterials umgerechnet werden. Dies be- deutet, dass die
Werte für den Mittelwert µ und die Streuung σ der
Verteilungsfunktion des Verschubes durch 1,84 geteilt werden
müssen. Die so berechnete Verteilung ist in Abbildung 3.4 (links)
zu sehen. Ihr Mittelwert ist 335,5 µm (also die Dicke von elf
ho-
30
mogenen Folien) und ihre Streuung ist σ = 67 µm. Anschließend wurde
eine Source-Routine programmiert. In dieser Benutzerroutine wird
für jedes Teilchen anhand der Verteilungsfunktion aus Abbildung 3.4
(links) eine Dicke für die Folie bestimmt und dem Teilchen
zugeordnet. Jedes Teilchen sieht also eine andere Dicke der
Folie.
Abbildung 3.4: Normalverteilte Wahrscheinlichkeit der Dicke für elf
homogenen Folien (links) und die daraus entwickelte Verteilung für
die Dicke einer Folie (rechts). Die Kurve wurde im negativen
Bereich gestrichelt dargestellt.
Der Nachteil dieser Methode ist, dass anstatt elf geometrisch
voneinander getrennten Folien nur eine Folie, die elfmal so dick
ist, verwendet ist. Dies kann veränderte Streu- eigenschaften zur
Folge haben, sowie weitere Artefakte verursachen. Aus diesem Grund
wurde aus dem normalverteilten Faltungskern für elf Folien der nor-
malverteilte Faltungskern für eine Folie berechnet. Hierbei gilt
gemäß den bekannten Faltungsregeln für Normalverteilungen für den
Mittelwert µ1 Folie = 1
11 · µ11 Folien und
für die Standardabweichung σ1 Folie = 1√ 11 · σ11 Folien.
Die so gefundene Normalverteilung ist in Abbildung 3.4 (rechts) zu
sehen. Problema- tisch ist, dass als Ergebnis dieses Verfahrens
endliche Wahrscheinlichkeiten bei negativen Dicken auftreten, die
physikalisch nicht sinnvoll sind. Um eine realistische
Verteilungsfunktion für die Dicke einer Folie zu finden, wurde ein
iterativer Ansatz gewählt. Es wurde eine Funktion gewählt, dessen
Bedingung ist, dass ihr Funktionswert für alle Werte kleiner gleich
Null gleich Null ist (f(x < 0) = 0). Außerdem sollte das
Integral über die Funktion gleich 1 sein. Diese Normierung ist Vor-
aussetzung für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Funktion wird
für diskrete Werte definiert. Diese Werte werden iterativ so
optimiert, dass deren elffache Faltung mit sich
31
selber eine minimale Abweichung (definiert über die
Fehlerquadratsumme) zur Aus- gangsfunktion aus Abbildung 3.4
(links) hat. Der Graph der so optimierten Modula- tionsfunktion für
die Dicke einer Folie ist in Abbildung 4.2 in Kapitel 4.1.2 zu
sehen. Um die Modulation der Folien mithilfe dieser
Verteilungsfunktion zu simulieren, wurden in FLUKA elf homogene
Folien verwendet. Ihre Positionen entsprachen den ursprüng- lichen
Positionen der Folien als Gitter. Außerdem wurde wieder dieselbe
Teilchenquelle wie in den Simulationen zuvor verwendet (vgl.
Abbildung 3.2). Zusätzlich wurde wieder eine Source-Routine
programmiert. In dieser Benutzerroutine wird für alle Teilchen nach
der in Abbildung 4.2 gegebenen Verteilungsfunktion die Dicke für
jede der elf Folien bestimmt. Dafür werden zwei Zufallszahlen
verwendet: Die erste Zufallszahl A wird gleichverteilt zwischen 0
und 80 gewürfelt (Dies entspricht demjeni- gen Intervall, in dem
die Funktion Werte ungleich 0 annimmt). Diese Zahl entspricht der
Dicke der Folie in µm. Anschließend wird eine zweite Zufallszahl B
gleichverteilt zwischen 0 und dem maximalen Wert der Verteilung
(0,13) gewürfelt. Ist diese gewür- felte Zahl B kleiner als der
Funktionswert der Modulationsfunktion an der Stelle der Zufallszahl
A, so wird diesem Teilchen die Dicke der Folien entsprechend der
Zufallszahl A zugeordnet. Ist die Zufallszahl größer als der
Funktionswert, so wird für das Teilchen erneut eine Zufallszahl A
gewürfelt und der Vorgang wiederholt.
Um die Gültigkeit aller Benutzerroutinen auch bei anderen Energien
zu zeigen, wurden alle Simulationen auch für 150 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen durchgeführt. Die Benutzer- routinen und die
entsprechenden Geometrien der Simulationen wurden gleich
gelassen.
3.1.2 Untersuchung der Streuwinkelverteilung der Folien der
Dosiskammern
Neben den Tiefendosiskurven als Charakteristik der Strahlqualität
ist auch die Strahl- breite von Bedeutung. Aus diesem Grund wurde
neben den Tiefendosiskurven in einem Wasserphantom die
Streuwinkelverteilung der Kohlenstoff-Ionen nach Durchqueren der
elf Folien bestimmt. Hierfür wurden mit FLUKA fünf Simulationen
durchgeführt. Bei jeder Simulation wurde dieselbe Teilchenquelle
benutzt, die einen parallelen Strahl mo- noenergetischer
Kohlenstoff-Ionen mit 80 MeV/u emittiert. Anstelle des Wasserphan-
toms wurde an der Position z = 0 cm eine Grenze definiert, an der
die Fluenz dN
d (ϑ)
in Abhängigkeit des Polarwinkels ϑ durch FLUKA berechnet wurde. Der
Winkel ϑ ist dabei zwischen der Trajektorie eines Teilchens und der
Sollbahn definiert. Die Folien
32
wurden dabei wie im vorherigen Teil besprochen in der Simulation
eingelesen:
• elf Folien als Gitter (vgl. Kapitel 3.1)
• elf Folien homogener Struktur (vgl. Kapitel 3.1.1.1)
• elf homogene Folien mit Verwendung der Benutzerroutine USRmed
(vgl. Kapitel 3.1.1.1)
• eine homogene Folie mit Verwendung der Source-Routine und der
Verteilungs- funktion für die Dicke von elf Folien (vgl. Kapitel
3.1.1.2 und Abbildung 3.4, links)
• elf homogene Folien mit Verwendung der Source-Routine und der
Verteilungsfunk- tion für die Dicke einer Folie (vgl. Kapitel
3.1.1.2 und Abbildung 4.2)
3.1.2.1 Untersuchung der Streuwinkelverteilung bei Variation des
Nicke- lanteils der Folien
Da die Unsicherheit des in Kapitel 3.1 bestimmten Nickelanteils der
Folien mit 25% sehr groß ist, soll untersucht werden, wie groß die
Unsicherheit der Breite der Streuwinkelver- teilung aufgrund der
Unsicherheit des Nickelanteils ist. Hierfür wurden in einer
weiteren Simulation elf Folien homogener Struktur eingelesen und
die Fluenz in Abhängigkeit des Streuwinkels berechnet. Da es bei
der Streuung wie in Kapitel 2.2.2 beschrieben lediglich auf die
Massenbelegung im Strahlengang ankommt, wurden die Folien aus Zeit-
gründen nicht als Gitter eingelesen. Für die Berechnung der
winkelabhängigen Fluenz wurde der Nickelanteil der Folien zwischen
10 und 90 Massenprozent in 10er-Schritten variiert. Für jeden
Nickelanteil wurde anschließend die berechnete Streuwinkelvertei-
lung mit einer Normalverteilung gefittet, um so die Breiten σ der
Winkelverteilungen in Abhängigkeit des Nickelanteils zu ermitteln.
Diese Untersuchung wurde sowohl für 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen als
auch für Kohlenstoff-Ionen der Energie 400 MeV/u ge- macht. Diese
beiden Energien stellen die Grenzen des am Beschleuniger
einstellbaren Energiespektrums dar.
33
3.2 Modellierung des Strahlkopfs
Nachdem nun die Effekte der Folien der Dosiskammern untersucht
wurden, wurde der gesamte Strahlkopf wie in Kapitel 2.5 beschrieben
und in Abbildung 2.5 skizziert nach- gebaut.
Implementierung des Ripple-Filters
Der 4 mm Ripple-Filter4 wurde nach einer Methode von Bassler et al
[36, 74] in FLUKA implementiert. Um Rechenzeit zu sparen, wird der
Filter nicht aus Geometrien aufge- baut. Es wird stattdessen eine
Benutzerroutine verwendet. Trifft ein Teilchen auf den
Ripple-Filter, so sieht es abhängig von seiner lateralen Position
eine gewisse Dicke des Ripple-Filter-Materials, je nachdem, an
welcher Stelle es die Noppen der Struktur trifft. In FLUKA wird an
der Stelle des Ripple-Filters eine 4 mm dicke Platte aus dem
Ripple- Filter-Material eingelesen. Die Benutzerroutine ruft für
jedes Teilchen, das diese Region betritt, eine externe Datei auf.
In dieser Datei ist die Höhe des Ripple-Filters in Ab- hängigkeit
der lateralen Position (x,y) hinterlegt. Das Teilchen wird so weit
im Material ohne Energieverlust oder Richtungsänderung nach vorne
gesetzt, dass die verbleibende Dicke des Materials der Höhe des
Ripple-Filters an dieser lateralen Position entspricht. Da der
Ripple-Filter aus periodisch angeordneten Noppen aufgebaut ist,
reicht es, in der aufgerufenen Datei die Höhe des Ripple-Filters in
Abhängigkeit der lateralen Po- sition (x,y) für eine einzige Noppe
auf der Strahlachse zu definieren. Der Betrag der lateralen
Position eines jeden Teilchens wird solange um die Breite einer
Noppe in x- und y-Richtung verringert (ohne das Teilchen selber zu
verschieben), bis er kleiner als die Breite einer Noppe ist. Wäre
das Teilchen an dieser neuen lateralen Position, würde es die
mittlere Noppe treffen. Das Teilchen wird anschließend anhand der
aufgerufenen Datei in Strahlrichtung verschoben. Die laterale
Position des Teilchens wird durch die- sen Prozess nicht
verändert.
Tiefendosiskurven
Zur Vermessung der Tiefendosiskurven wurde ein zylinderförmiges
Wasserphantom im Isozentrum positioniert.
4Wie bereits in Kapitel 2.5 erwähnt, ist zwar der 3 mm RiFi der
Standardfilter am Strahlkopf, allerdings soll in dieser Arbeit der
neue 4 mm RiFi untersucht werden.
34
Die Teilchenquelle befand sich 10 cm vor den Austrittsfenstern. Sie
emittierte 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen. Wie auch zuvor wurde die
Energie so niedrig gewählt, um die Effekte der Bauteile am besten
sehen zu können. Die Intensität war lateral normalverteilt mit
einem FWHM von 5 mm. Der Strahl besaß keine Divergenz. Es wurden
insgesamt acht Simulationen durchgeführt, bei denen die
verschiedenen Bau- teile RiFi, Folien und Multi-Wires kombiniert
wurden:
• mit 4 mm RiFi, Folien als homogene Struktur, mit
Multi-Wires
• mit 4 mm RiFi, Folien als Gitterstruktur, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als homogene Struktur, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als Gitterstruktur, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, ohne Folien, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als homogene Struktur, ohne Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als Gitterstruktur, ohne Multi-Wires
• ohne RiFi, ohne Folien, ohne Multi-Wires
Die Folien als Gitterstruktur wurden dabei nicht aus den einzelnen
Zylindern aufgebaut, sondern mithilfe der in Kapitel 3.1.1.2
beschriebenen Source-Routine und der Modula- tionsfunktion für die
Dicke einer Folie simuliert, um Rechenzeit zu sparen. Alle diese
Berechnungen wurden ebenfalls für Kohlenstoff-Ionen mit einer
Energie von 400 MeV/u durchgeführt, um die Effekte der einzelnen
Bauteile bei höheren Energien zu bestimmen.
Untersuchung der Fluenz innerhalb des Strahlkopfes und im
Nahfeld
In einer Veröffentlichung von Ringbæk et al. [36] wird beschrieben,
dass die Struktur des Ripple-Filters zu Inhomogenitäten der Fluenz
führt. Aus diesem Grund wurde in einer weiteren Untersuchung die
Fluenz der Kohlenstoff-Ionen in der x-z-Ebene innerhalb des
Strahlkopfes und im Bereich bis 50 cm dahinter (Nahfeld) berechnet.
Die Teilchenquelle wurde wie bei der Berechnung der
Tiefendosiskurven 10 cm vor den Austrittsfenstern positioniert. Sie
emittierte in Anlehnung an Ringbæks Arbeit 270 MeV/u Kohlenstoff-
Ionen. Die Intensität war lateral gleichverteilt mit einer Breite
von 2 cm. Der Strahl wies eine normalverteilte Divergenz mit einem
FWHM von 3 mrad.
35
Abbildung 3.5: Der schematische Strahlengang bei Verwendung des
Strahlkopfes und zwei Quadrupolmagneten zur
Strahlfokussierung.
Die Teilchen werden nach Erreichen der gewünschten Energie aus dem
Synchrotron aus- gekoppelt. Danach werden sie durch Dipolmagnete
zum Bestrahlungsraum gelenkt. Die Quelle in diesem Aufbau markiert
den Punkt nach der letzten Umlenkung. Um die benötigte Stärke der
Magnete zu bestimmen, wurden die in Kapitel 2.3 be- schriebenen
Abbildungsmatrizen verwendet. Dafür wurden in Matlab Teilchen
anhand von Vektoren definiert, die die Positionen x und y sowie die
Steigung der Teilchenbahn in x- und y-Richtung (x′ und y′)
enthalten. Dabei waren die Positionen x und y um Null
normalverteilt mit einem FWHM von 5 mm. Die Steigung der
Teilchenbahnen in x- und y-Richtung waren normalverteilt mit einem
FWHM von 3 mrad.5 Die Strahlaus- breitung durch den in Abbildung
3.5 gezeigten Aufbau wurde mithilfe der Matrizen aus den
Gleichungen (2.18), (2.19) und (2.20) berechnet. Hierfür wurden die
Driftstrecken 3 und 4, sowie der Strahlkopf zu einer Dirftstrecke
zusammengefasst, da die Streuung der Teilchen durch den Strahlkopf
nicht mithilfe solcher Matrizen beschrieben werden kann. Außerdem
wurde der Magnet 1 als in x-Richtung fokussierend und der Magnet 2
als in y-Richtung fokussierend festgelegt. Für jedes Teilchen, das
in Matlab mithilfe der beschriebenen Vektoren dargestellt wird,
kann also durch die Multiplikation mit den Abbildungsmatrizen die
Position und Flugrichtung des Teilchens im Isozentrum berech- net
werden (vgl. Gleichung (2.17)). In Matlab wurden für verschiedene
Kombinationen aus Magnetfeldkonstanten k1 und k2 der
Abbildungsmatrizen des ersten und zweiten Magneten für 50 000 nach
der beschriebenen Vorgehensweise erzeugten Teilchen die Po-
sitionen im Isozentrum berechnet. Anschließend wurde zu jeder
dieser Kombinationen
5Dies entspricht einer normalverteilten Divergenz des
Teilchenstrahls mit einem FWHM von 3 mrad.
36
der so errechnete Strahlfleck im Isozentrum analysiert. Unter der
Voraussetzung, dass der Strahl rund ist, wurde derjenige Strahl
gesucht, der den kleinsten Durchmesser hat. Aus den so ermittelten
Werten von k1 und k2 aus den Abbildungsmatrizen lässt sich der
Gradient der Magnetfeldstärken der Quadrupole für Teilchen einer
bestimmten Art und Energie über die Formel k = e·g
|~p| berechnen, wobei |~p| der Impuls nach Gleichung (2.23), e die
Ladung der Teilchen und g der Gradient der Magnetfeldstärke in T/m
ist. Die so berechneten Größen g1 und g2 (analog zu k1 und k2)
konnten dann in FLU- KA zur Simulation der Strahlfokussierung
benutzt werden. In FLUKA wurde dafür der Strahlkopf wie in den
Kapiteln 2.5 und 3.2 beschrieben, sowie die Magnete aus Ab- bildung
3.5 an den entsprechenden Positionen eingelesen. Die Magnete
bestehen dabei aus Vakuum. Mittels der Benutzerroutine MAGFLD kann
dann ein Magnetfeld in den Regionen dieser Magnete definiert
werden. Dabei ist die Magnetfeldstärke genau die, die mit Matlab
optimiert und für FLUKA umgerechnet wurde. Die Umrechnung wurde für
80 MeV Kohlenstoff-Ionen vorgenommen, welche von der Quelle in
FLUKA emittiert werden. Genau wie bei der Berechnung mit MATLAB
hatte der Strahl lateral eine nor- malverteilte Intensität mit FWHM
gleich 5 mm und wies eine ebenfalls normalverteilte Divergenz mit
einem FWHM von 3 mrad auf. Berechnet wurde die Fluenz der
Kohlenstoff-Ionen in der x-z- und y-z-Ebene entlang der Strahlachse
sowie in der x-y-Ebene an der Position z = 0, was der Lage des
Isozen- trums entspricht. Anhand der Fluenz in der x-y-Ebene kann
die Strahlbreite berechnet werden. Es wurden zwei Simulationen
vorgenommen, bei denen die Quadrupolmagnete einmal aktiviert und
einmal ausgeschaltet waren, um den Effekt der Quadrupolmagnete
sichtbar machen zu können.
3.4 Vergleich zwischen Molières Theorie der Vielfach-
streuung und der Näherung von Highland
In dieser Berechnung soll analog zur Veröffentlichung von
Gottschalk [45] geprüft wer- den, ob die in Gleichung (2.14)
gegebene Formel eine gute Näherung für die Breite der
Streuwinkelverteilung der Vielfachstreuung nach Molière ist. Die
Winkelverteilung nach Molière wurde mithilfe von FLUKA berechnet,
da dieser Code wie in Kapitel 2.4.1 beschrieben genau diese Theorie
verwendet. Dabei entwickelt FLUKA die Formel aus Gleichung (2.6)
bis zur zweiten Ordnung. Dafür wurde die Streuwinkelverteilung von
160 MeV Protonen nach Durchlauf verschiedener Materialien
berechnet. Es wurde derselbe
37
Aufbau wie in Abbildung 3.2 verwendet. Als Streumaterial wurden elf
Folien homoge- ner Struktur eingelesen. Die verwendete Quelle
emittierte wie in der Veröffentlichung von Gottschalk [45] 160 MeV
Protonen in positiver z-Richtung. Der Strahl war dabei parallel und
hatte ein FWHM von 2 mm. Anstatt des Wasserphantoms wurde an der
Position z = 0 cm eine Grenze definiert, an der die Fluenz in
Abhängigkeit des Streu- winkels berechnet wurde. Das Material der
elf Folien war dabei wie in Kapitel 3.1.2 das
Polyester-Nickel-Gemisch, wobei der Nickelanteil zwischen 10 und 90
Massenprozent in 10er-Schritten variiert wurde. Die so berechneten
winkelabhängigen Fluenzverteilungen wurden anschließend mit einer
Normalverteilung gefittet und die Standardabweichun- gen σ gegen
den Nickalanteil aufgetragen. Parallel dazu wurden die
Standardabweichungen σ nach der Formel aus Gleichung (2.14)
berechnet. Anschließend wurden die Werte gegen den Nickelanteil in
dasselbe Diagramm eingetragen. Für die Berechnung nach dieser
Formel werden die Massenbelegung und die Strahlungslänge des
Streumaterials benötigt. Die Massenbelegung wurde bereits in
Kapitel 3.1 für eine Folie zu η = 6, 7 mg/cm2 bestimmt. Diese
Massenbelegung ist unab- hängig vom Nickelanteil stets für alle
Berechnungen gleich. Dies ist z