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Physik A – VL19 (22.11.2012)Physik A VL19 (22.11.2012)
Hydrodynamik II - Viskositäty y
Di Vi k ität• Die Viskosität
• Das Gesetz von Hagen-Poiseuille
• Die Stokes‘sche Reibung
• Die Reynolds-Zahl
1
Viskosität
Vi k Fl id• bisher: Kräfte zwischen dem strömenden Medium und den Wänden
oder Kräfte zwischen den Teilchen des Mediums vernachlässigt
Viskose Fluide
oder Kräfte zwischen den Teilchen des Mediums vernachlässigt
• Bernoulli-Gleichung: Druck in einem sehr langen Rohr ist konstant
B b ht• Beobachtung:Druckabfall:
Adhäsionskräfte bremsen !p1⇒ Reale Flüssigkeiten und Gase besitzen
eine innere Zähigkeit:
p3
p2Viskosität
Ad Beobachtung:◦ bei Rohrströmungen ist die Geschwindigkeit
in der Mitte am größten, an der Wand ist sie nahezu Null:
Adhä i k äf b !
2
Adhäsionskräfte bremsen !
Viskosität
Vi k Fl id D k bf llViskose Fluide - Druckabfall
• nach der Bernoulli-Gleichung gilt für den Druckabfall zwischen zwei Bereichen
)(21)( 21
221221 vvhhgppp −⋅+−⋅⋅=−=Δ ρρ
0 und 1212 =Δ⇒==⇒ pvvhh
⇒ Für ideale Medien (Bernoulli-Gleichung gültig):
• reale Medien: andere Ursache für den Druckabfall:
1212 p
Massestrom ist abhängig von Ort, vom Material
VΔΔ vAtV
tmI ⋅⋅=
ΔΔ⋅=
ΔΔ
= ρρMassestrom
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Viskosität
Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )
Modellsystem:
Z i b Pl tt it d Flä h A i Ab t d d
Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)
• Zwei ebene Platten mit den Flächen A im Abstand d, zwischen denen sich eine dünne Schicht einer Flüssig-keit befindet.
• Einer der Platten wird gegen die andere durch eine Kraft F mit der Geschwindigkeit v0 verschoben.
• Durch Adhäsionskräfte zwischen den Plattenoberflächen und der Flüssigkeit werdendiese aneinander haften.
• Betrachtung: Z l d tZerlegung der gesamten Flüssigkeitsschicht in ebene Schichten, welche sich bei Bewegung dersich bei Bewegung der Platten gegeneinander verschieben können.
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Viskosität
Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )
→ Adhäsion: die Flüssigkeitsschichten direkt an den Platten haben die Geschwindigkeit der jeweiligen Platte
Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)
de jeweiligen latte
unten: v = 0, oben: v = v0
→ Di ( h ä h ) K hä i k äft i h d S hi ht (i R ib ) d→ Die (schwächeren) Kohäsionskräfte zwischen den Schichten (innere Reibung) werden die unteren die Bewegung der darüber liegenden Schichten verzögern.
⇒ Geschwindigkeitsprofil v(z)der Flüssigkeitsschichten in Abhängigkeit vom vertikalen Abstand zvon der ruhenden Platte.
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Viskosität
Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )
• Die Viskosität ist definiert über die Kraft F, welche notwendig ist, die obere Platte mit konstanter Geschwindigkeit v0 gegen die untere Platte zu verschieben.
Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)
latte mit konstante Geschwindigkeit v0 gegen die unte e latte u ve schieben.
→ F ist proportional zur Fläche A der Platten und dem Geschwindigkeitsgefälle dv/dz:
N t ‘ h R ib tdvAF
• Die Proportionalitätskonstante η wird als Viskosität bezeichnet und gibt den
Newton‘sches Reibungsgesetzdz
AF ⋅⋅=η
Widerstand an, den die Flüssigkeitsschichten gegen die relative Ver-schiebung gegeneinander leisten.
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Viskosität
Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )
• Annahme:Bei relativ geringen Geschwindigkeiten und kleinem Plattenabstand ist das
Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)
Bei relativ geringen Geschwindigkeiten und kleinem Plattenabstand ist das Geschwindigkeitsprofil als lineare Funktion von z darstellbar:
zdvzv ⋅= 0)( Viskosität
eingesetzt in ergibt sich:
d
dzdvAF ⋅⋅=η
0
0
vAdF
dvAF
⋅⋅
=⇔⋅⋅= ηη
Viskosität
• Einheit der Viskosität:
[ ] sPakgsN ⋅==⋅=η V d Vi k i ä b l i G öß[ ] sPasmm2 =⋅==η
◦ Auch heute noch vielfach verwendet wird die cgs
Von der Viskosität abgeleitete Größen:
Fluiditätη
η 11 =−
verwendet wird die cgs-Einheit Poise (P) bzw. Zentipoise (cP):
g
Kinematische Viskositätρη
=kinV
7
sPa 0,1 cP 100scm
g1 P 1 ⋅==⋅
=
Viskosität
Vi k Fl id Di Vi k ität
• Viskosität einiger Stoffe: je höher die Viskosität
Viskose Fluide – Die Viskosität
je höher die Viskosität, desto zäher fließt der Stoff
→ Flüssigkeiten: die Viskosität nimmt mit steigender Temperatur ab. g g p
→ Gase: die Viskosität nimmt bei Gasen mit steigender Temperatur zu.Ursache: zunehmende „Verzahnung“ benachbarter Gasschichten bei
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gzunehmender kinetischer Wärmebewegung der Gasteilchen.
Viskosität
Vi k Fl id D R ib k ffi i t
• Ein viskoses Medium übt auf die sich darin bewegenden Teilchen einen Reibungswiderstand aus welcher durch den Reibungskoeffizienten f
Viskose Fluide – Der Reibungskoeffizient
Reibungswiderstand aus, welcher durch den Reibungskoeffizienten f charakterisiert wird.
• Der Reibungswiderstand tritt in Form einer auf das Teilchen wirkenden Kraft, der g f f ,Reibungskraft FR , auf, die proportional zur Geschwindigkeit v des Teilchens ist:
FfvfF RR −=⇔⋅−=
• Der Proportionalitätsfaktor ist der Reibungskoeffizient f.
v
[ ] kgsN ⋅Die Einheit ist [ ]s
kgm
sN=
⋅=f
→ Stoke’sche Gesetz
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Viskosität
D G t H P i ill St ö d h R h
• im Inneren eines Rohres (Radius R) wird ein Flüssigkeitszylinder mit Radius r bewegt
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille - Strömung durch enge Rohre
• die Reibungskraft zwischen dem Zylinder und der angrenzenden Flüssigkeitsschicht ist proportional zur Mantelfäche A und dem Geschwindigkeitsgefälle dv/dr:
d
RdrdvAFR ⋅⋅=η lrA ⋅⋅⋅= π2
d rdrdvlrFR ⋅⋅=⇒ πη 2
• Der Betrag der Reibungskraft ist gleich der Druckkraft, die auf den Zylinder wirkt
)( 212 ppRpAFp −⋅⋅=Δ⋅= π
10
Viskosität
D G t H P i ill St ö d h R h
• Gleichsetzen von Reibungskraft FR und Druckkraft Fp
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille - Strömung durch enge Rohre
ddrdvlrFR ⋅⋅= πη 2 )( 21
2 ppRpAFp −⋅⋅=Δ⋅== π
)(2 2 ppRdvlr⇒ ππη )(2 21 ppRdrlr −⋅⋅=⋅⋅⇒ ππη
und nachfolgende Integration ergibt für die Geschwindigkeit
)(4
)( 2221 rRl
pprv −⋅⋅⋅
−=
η
• Die Geschwindigkeitsverteilung v(r) ergibt ein parabolisches• Die Geschwindigkeitsverteilung v(r) ergibt ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil für laminare Strömungen
2221)0( RRpprv ∝⋅−==
⇒ Geschwindigkeit proportional zu R2
4)0( RR
lrv ∝⋅
⋅⋅==
η
0)( R h d k d k
11
g p p z 0)( == Rrv ⇒ Geschwindigkeit direkt an den Wänden ist Null!
Viskosität
D G t H P i ill St ö d h R h
• Massestrom/Massefluß im Hohlzylinder (Radius R, Länge l)
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille - Strömung durch enge Rohre
dRRvdAvdtdmdI
tmI
elldifferentiπρρ 2⋅⋅=⋅⋅==⇒
ΔΔ
=
221
4R
lppv ⋅⋅⋅
−=
ηmit dem Ausdruck für die Geschwindigkeit
ergibt sich:
4421 )( RRl
ppI ∝⋅−⋅⋅= ρπ8 l⋅⋅η
Gesetz von Hagen-Poiseuille
⇒ Massestrom proportional zu R4
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Viskosität
D G t H P i ill
• Beispiel: Pipeline (z.B. Erdgas)
D i k M fl i t
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille
◦ Der viskose Massefluss ist- proportional zur Druckdifferenz- umgekehrt proportional zur Länge des Rohresg p p g
⇒ lange Pipelines brauchen Pumpstationen, um den Druckabfall zu kompensieren !
)( 4218
)( Rl
ppI ⋅⋅⋅−⋅⋅
=η
ρπ
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Viskosität
Di St k ‘ h R ibDie Stokes‘sche Reibung
• mit der Definition des Massestroms und dem Kräftegleichgewicht zwischen Reibung und Außendruck folgt für eine mittlere Geschwindigkeit g ß f g f g
vlFR ⋅⋅⋅= ηπ8
⇒ Reibungskraft bei der Rohrströmung: proportional zur mittleren Geschwindigkeit
• einen ähnlichen Ausdruck erhält man für die Reibungskraft bei der Umströmung einer Kugel
Stokes‘sches Reibungsgesetz: Kraft proportional zu v
vRFR ⋅⋅⋅= ηπ6
• Die Reibung ist gleich, egal ob die Kugel in Ruhe ist und von der Flüssigkeit umströmt wird
oder
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oder sich mit der Geschwindigkeit v durch eine ruhende Flüssigkeit bewegt.
Viskosität
Di St k ‘ h R ib
• Frage: wie schnell sinkt eine Kugel aufgrund der Stokes‘schen Reibung?
Id d K lf ll i k i t (St k )
Die Stokes‘sche Reibung
→ Idee des Kugelfallviskosimeters (Stokes):◦ Kugel sinkt mit konstanter Geschwindigkeit◦ Gleichgewicht zwischen
Schwerkraft, Auftrieb und Reibungskraft:
gRv tFlüssigkeiKugel ⋅⋅−⋅
= 29
)(2ησσ
Sinkgeschwindigkeit einer Kugel
⋅9 η
Das Stokes‘sches Gesetz und der Reibungskoeffizient:
◦ Für kugelförmige Teilchen mit Radius R gilt das Stoke’sche Gesetz:
RF 6
und es ergibt sich mit FR = -f · v ⇔ f = - FR / v
vRFR ⋅⋅⋅= ηπ6
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für den Reibungskoeffizienten: Rf ⋅⋅= ηπ6
Viskosität
Di R ld Z hl
• Frage:Wo liegt bei viskosen Medien die Grenze zwischen laminarer und turbulenter
Die Reynolds-Zahl
gStrömung ?
⇒ Ein Maß für diese Grenze ist durch das Verhältnis von Dichte und
Geschwindigkeit zur Viskositätgegeben, die
ld hlReynolds-Zahl
ηρ vl ⋅⋅
=Reη
◦ l ist eine für den jeweiligen Strömungsvorgang charakteristische Länge:Beispiele: Strömung durch Rohr → l = Durchmesser des Rohres
Kugel in Strömung (Kugelfallviskosimeter) → l = Durchmesser der Kugel
◦ Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Kenngröße
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◦ Die Reynolds-Zahl stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar.
Viskosität
Di R ld Z hlReynolds-Zahl
Die Reynolds-Zahl
ηρ vl ⋅⋅
=Re• physikalische Bedeutung der Reynolds-Zahl:◦ Die Reynolds-Zahl ist proportional zum Quotienten aus
- der kinetischen Energie eines Volumenelementes mit Kantenlänge l (oder hier: kugelförmiges Flüssigkeitsteilchen mit Durchmesser l=2r):
d
2323
2
121
21
34
21
21 vlvlmvEkin πρπρ =⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅==
und- der Reibungsarbeit, die beim Verschieben des Teilchens aufgebracht werden muss
(Produkt aus der Reibungskraft nach Stokes‘schem Gesetz und der Strecke l):1 23)216( lvlvlER ηπηπ =⋅⋅⋅⋅=
1
ηρ
ηπ
πρ vllv
vl
EE
R
kin ⋅⋅⋅==⇒361
3121
2
23
R
kin
EE⋅=⇒ 36Re
17
Viskosität
Di R ld Z hl d äh li h St öReynolds-Zahl
Die Reynolds-Zahl und ähnliche Strömungen
• Eine Strömung verläuft laminar bei „kleinen“ Red t b l t b i ß “ R
ηρ vl ⋅⋅
=Re
und turbulent bei „großen“ Re
• „klein“ und „groß“ sind relativ und stark abhängig vom jeweiligen Experiment
◦ bei Strömungen in Röhren laminarer Fluss bei Re < 2000-2500◦ bei fallenden Kugeln in Flüssigkeiten laminarer Fluss bei Re < 0,2 !
Üb i h l i d t b l t Fl b i k iti h R ld Z hl R
• „Ähnliche Strömungen“:
• Übergang zwischen laminarem und turbulentem Fluss bei kritischer Reynolds-Zahl Rekrit
Geometrisch ähnliche Körper erzeugen hydrodynamisch ähnliche Strömungen, wenn ihre Reynolds-Zahlen gleich sind
⇒ bei Modellierung von Strömungen zu beachten: ◦ Verhältnis von kinetischer Energie des strömenden Mediums und der
Reibungsarbeit muss wie beim Original seinÄ
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◦ zusätzlich muss geometrisches Ähnlichkeitsverhältnis vorhanden sein
Viskosität
Di R ld Z hl d äh li h St öReynolds-Zahl
Die Reynolds-Zahl und ähnliche Strömungen
ηρ vl ⋅⋅
=Re• Beispiel: Reynolds-Zahlen für Komponenten von RohrleitungssystemenReynolds-Zahlen für Komponenten von Rohrleitungssystemen
Über die Reynolds‐Zahlen der Komponenten von Rohrleitungssystemen kann deren St ö h ltStrömungsverhalten und damit z.B. Drücke und Durchflussraten an beliebigen Stellen gberechnet werden.
• Beispiel-Frage: Bei welcher kritischen Geschwindigkeit tritt in einer Kapillare mit d = 1mm turbulente Wasserströmung auf ?
2300Re;sPa0010 ==η 2300Re ;sPa001,0 krit2 =⋅=OHη
m/s 3,2m1010102300Re
33
3krit
krit =⋅
=⋅
= −−
dv η
19
s1010 33 ⋅⋅dρ
Viskosität
Di R ld Z hl d äh li h St öDie Reynolds-Zahl und ähnliche Strömungen
F K Bl k l f (A d 2 10 2
• Beispiel 2: Anwendung in der Medizin
Frage: Kann im Blutkreislauf (Aorta: dA= 2·10-2 m; Kapillargefäße dK = 8·10-6 m) Turbulenz auftreten ?
◦ Aorta: vA = 1 m/s◦ Kapillargefäße vK = 5·10-3 m/s ◦ ρBlut = 103 kg/m3; η = 4·10-3 Pa⋅s
5000Re , =⋅⋅
=⇒η
ρ AABkritA
vd→ Aorta: Turbulenzen möglich
010Re ⋅⋅⇒ ρ AAB vd → Kapillargefäße: keine01,0Re , ==⇒ ηρ AAB
kritK → Kapillargefäße: keine Turbulenz
◦ „Abhilfe“ der Natur:
- Dehnung: Mittel zur Unterdrückung der Turbulenz
„ f„Windkesseleffekt“ – Dehnung der Aorta
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u bulen- falls dies nicht mehr funktioniert:
→ Herzflimmern !
Zusammenfassung
• Kraft beim Verschieben von Platten erzeugt Scherung im Medium
Newton‘sches ReibungsgesetzdzdvAF ⋅⋅=η
• Geschwindigkeitsverteilung: v(r) parabolisches Geschwindigkeitsprofil in Röhren
2221
4)0( RR
lpprv ∝⋅−==
η
• Massestrom: im Hohlzylinder (Radius R, Länge l) strömt der Massenstrom
G H P i ill
4 l⋅⋅η
4421 )( RRppI −⋅⋅ ρπ Gesetz von Hagen-Poiseuille
• Reibungskraft bei der Rohrströmung: Kraft proportional zu v
4421
8)( RR
lppI ∝⋅
⋅⋅=
ηρ
• Stokes‘sches Reibungsgesetz: Reibungskraft auf eine Kugel in Strömung proportional v
vlFR ⋅⋅⋅= ηπ8
vRFR ⋅⋅⋅= ηπ6
• Die Reynolds-Zahl als dimensionslose Kenngröße für Strömungen – laminar vs. turbulentl
21η
ρ vl ⋅⋅=Re
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