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Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende

Primzahlen und die Riemannsche Vermutung

Benjamin Klopsch

Mathematisches InstitutHeinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf

Tag der Forschung ◦ November 2005

„Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen“

Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?

„Der Stoff, aus dem die Zahlen sind“Was sind Primzahlen?Wie viele Primzahlen gibt es?

Riemann – Mitbegründer der FunktionentheorieVon unendlichen Reihen und komplexen FunktionenRiemann und die Zetafunktion ζ(s)

„Eine wundersame Formel“Die Riemannsche FormelDie Riemannsche Vermutung

Was sind Primzahlen?

DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl

und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.

1001 = 7 · 143.

und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.

1001 = 7 · 11 · 13

und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.

1001 = 7 · 11 · 13

und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.

1001 = 7 · 11 · 13

und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.

Das Sieb des Erathostenes

Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99

2 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 2325 27 29 31 33 3537 39 41 43 45 4749 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 7173 75 77 79 81 8385 87 89 91 93 9597 99

2 3 5 7 1113 17 19 2325 29 31 3537 41 43 4749 53 55 5961 65 67 7173 77 79 8385 89 91 9597

2 3 5 7 1113 17 19 23

29 3137 41 43 4749 53 5961 67 7173 77 79 83

89 9197

2 3 5 7 1113 17 19 23

29 3137 41 43 4749 53 5961 67 7173 77 79 83

89 9197

2 3 5 7 1113 17 19 23

29 3137 41 43 47

53 5961 67 7173 79 83

2 3 5 7 1113 17 19 23

29 3137 41 43 47

53 5961 67 7173 79 83

Es gibt unendlich viele Primzahlen

Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis.

• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!

Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?

Beweis.

Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe

DefinitionFür jede reelle Zahl x bezeichne π(x) dieAnzahl der Primzahlen zwischen 1 und x .

x π(x) x/π(x)

100 25 4.01000 168 ≈ 6.0

10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4

1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0

100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4

x π(x) x/π(x)

100 25 4.01000 168 ≈ 6.0

10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4

1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0

100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4

x π(x) x/π(x)

100 25 4.01000 168 ≈ 6.0

10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4

1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0

100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4

Der Integrallogarithmus

Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Li(x) :=

1log(t)

dt ≈ 1log(2)

log(3)+ . . .+

1logbxc

Wir bilden unendliche Summen

• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:

∞∑n=1

= 1 +12

+ . . . = ∞.

zum Beweis

Denn∞∑

= 1 +12

)+ . . .

Denn∞∑

= 1 +12

)+ . . .

≥ 1 +12

)+ . . .

Denn∞∑

= 1 +12

)+ . . .

≥ 1 +12

)+ . . .

= 1 +12

+ . . .

Denn∞∑

= 1 +12

)+ . . .

≥ 1 +12

)+ . . .

= 1 +12

+ . . .

= 1 +12

+ . . . = ∞.

∞∑n=1

= 1 +12

+ . . . = ∞.

zum Beweis

∞∑n=1

= 1 +12

+ . . . = ∞.

• Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte

∞∑n=1

1n2 = 1 +

132 + . . . = 1 +

+ . . .

nach oben beschränkt und konvergiert. zum Beweis

Denn∞∑

1n2 = 1 +

∞∑n=2

Denn∞∑

1n2 = 1 +

∞∑n=2

1n2 ≤ 1 +

∞∑n=2

1(n − 1)n

Denn∞∑

1n2 = 1 +

∞∑n=2

1n2 ≤ 1 +

∞∑n=2

1(n − 1)n

= 1 +∞∑

n − (n − 1)

(n − 1)n= 1 +

∞∑n=2

n − 1− 1

Denn∞∑

1n2 = 1 +

∞∑n=2

1n2 ≤ 1 +

∞∑n=2

1(n − 1)n

= 1 +∞∑

n − (n − 1)

(n − 1)n= 1 +

∞∑n=2

n − 1− 1

)= 1 +

(1 − 1

(12− 1

(13− 1

)+ . . .

Denn∞∑

1n2 = 1 +

∞∑n=2

1n2 ≤ 1 +

∞∑n=2

1(n − 1)n

= 1 +∞∑

n − (n − 1)

(n − 1)n= 1 +

∞∑n=2

n − 1− 1

)= 1 +

(1 − 1

(12− 1

(13− 1

)+ . . .

= 1 + 1 +

)+ . . .

Denn∞∑

1n2 = 1 +

∞∑n=2

1n2 ≤ 1 +

∞∑n=2

1(n − 1)n

= 1 +∞∑

n − (n − 1)

(n − 1)n= 1 +

∞∑n=2

n − 1− 1

)= 1 +

(1 − 1

(12− 1

(13− 1

)+ . . .

= 1 + 1 +

)+ . . .

= 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + . . . = 2.

∞∑n=1

= 1 +12

+ . . . = ∞.

∞∑n=1

1n2 = 1 +

132 + . . . = 1 +

+ . . .

nach oben beschränkt und konvergiert. zum Beweis

∞∑n=1

= 1 +12

+ . . . = ∞.

∞∑n=1

1n2 = 1 +

132 + . . . = 1 +

+ . . .

nach oben beschränkt und konvergiert.

Frage: Wogegen konvergiert die Summe der quadratischenKehrwerte?

Euler und die „reelle Zetafunktion“

Es gilt∞∑

6≈ 1.6449,

wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.

Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion

ζ(s) =∞∑

1ns für s > 1

und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,4, 6, . . .

Es gilt∞∑

6≈ 1.6449,

ζ(s) =∞∑

1ns für s > 1

Es gilt∞∑

6≈ 1.6449,

ζ(s) =∞∑

1ns für s > 1

Die Eulersche ProduktformelEin Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) undPrimzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel

ζ(s) = 1 +12s +

16s + . . .

122s +

123s + . . .

1 +13s +

132s +

133s + . . .

1 +15s +

152s +

153s + . . .

)· · ·

p Primzahl

1p2s +

1p3s + . . .

∏p Primzahl

11 − p−s .

ζ(s) = 1 +12s +

16s + . . .

122s +

123s + . . .

1 +13s +

132s +

133s + . . .

1 +15s +

152s +

153s + . . .

)· · ·

p Primzahl

1p2s +

1p3s + . . .

∏p Primzahl

11 − p−s .

ζ(s) = 1 +12s +

16s + . . .

122s +

123s + . . .

1 +13s +

132s +

133s + . . .

1 +15s +

152s +

153s + . . .

)· · ·

p Primzahl

1p2s +

1p3s + . . .

∏p Primzahl

11 − p−s .

ζ(s) = 1 +12s +

16s + . . .

122s +

123s + . . .

1 +13s +

132s +

133s + . . .

1 +15s +

152s +

153s + . . .

)· · ·

p Primzahl

1p2s +

1p3s + . . .

∏p Primzahl

11 − p−s .

Die komplexe Zahlenebene

Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

3.5 + 1.5 i

z + w =

w = 1 − 0.5 i

Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

3.5 + 1.5 i

z + w =

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

3.5 + 1.5 i

z + w =

w = 1 − 0.5 i

Von komplexen Funktionen

Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wiezum Beispiel die Polynomfunktion

f (z) = f (x + iy) := z3 − 64z

werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.

f (z) = f (x + iy) := z3 − 64z

Georg Friedrich Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin• 1851 Promotion mit der epochemachenden

Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeineTheorie der Functionen einer veränderlichen complexenGrösse“

• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernenDifferentialgeometrie

• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlenunter einer gegebenen Grösse“

• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, LagoMaggiore, Italien

Die Riemannsche Zetafunktion

Die unendliche Reihe

ζ(s) =∞∑

1ns = 1 +

14s + . . .

konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteilx > 1.Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Polsbei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.

ζ(s) =∞∑

1ns = 1 +

14s + . . .

ζ(s) =∞∑

1ns = 1 +

14s + . . .

Der kritische Streifen

Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung

Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

0.5 + i (14.13...)

0.5 + i (21.02...)

0.5 − i (21.02...)

0.5 − i (14.13...)

Nullstellen

nicht−triviale

Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.

Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.

Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

0.5 + i (14.13...)

0.5 + i (21.02...)

0.5 − i (21.02...)

0.5 − i (14.13...)

Nullstellen

nicht−triviale

Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

0.5 + i (14.13...)

0.5 + i (21.02...)

0.5 − i (21.02...)

0.5 − i (14.13...)

Nullstellen

nicht−triviale

Die Chebyshevsche ψ-Funktion

Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahlπ(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch denIntegrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik

Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktionπ(x) =

∑p≤x 1 erweist sich die von

Chebyshev eingeführte Variante

ψ(x) :=∑pk≤x

log(p),

bei der die Primzahlen mit logarithmischenGewichten gezählt werden.

Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)äquivalent zu ψ(x) ≈ x .

ψ(x) :=∑pk≤x

log(p),

ψ(x) :=∑pk≤x

log(p),

ψ(x) :=∑pk≤x

log(p),

Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion

Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe derkomplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionausdrücken:

ψ·(x) = x − log(2π) −∑

ρ− 1

(1 − 1

Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise dieApproximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x)mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der RiemannschenZetafunktion. Graphiken

ψ·(x) = x − log(2π) −∑

ρ− 1

(1 − 1

ψ·(x) = x − log(2π) −∑

ρ− 1

(1 − 1

Schrittweise Approximation von ψ(x)

Die Riemannsche Vermutung

Riemannsche VermutungAlle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionliegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.

Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung istdie Aussage:

Äquivalente Form der Riemannschen VermutungEs gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr alsC ·

√x log(x) abweicht.

„. . . Man findet nun in der That etwa so viel reelleWurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehrwahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervonwäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ichhabe indess die Aufsuchung desselben nach einigenflüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seitegelassen, da er für den nächsten Zweck meinerUntersuchung entbehrlich schien. . . . “

Riemann

Nach Riemann . . .

. . . von Mangoldt . . . Hadamard . . . de la Vallée Poussin. . . Hardy . . . Littlewood . . . Selberg . . . Montgomery . . .

Vielen Dankfür Ihre Aufmerksamkeit

und herzlichen Dank anTobias Ebel

für die computer-technische Unterstützung

Anhang mit Bildern und Graphiken

Beweis.

x π(x) x/π(x)

100 25 4.01000 168 ≈ 6.0

10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4

1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0

100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4

x π(x) x/π(x)

100 25 4.01000 168 ≈ 6.0

10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4

1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0

100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4

Es gilt∞∑

6≈ 1.6449,

ζ(s) =∞∑

1ns für s > 1

Es gilt∞∑

6≈ 1.6449,

ζ(s) =∞∑

1ns für s > 1

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

3.5 + 1.5 i

z + w =

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

3.5 + 1.5 i

z + w =

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

3.5 + 1.5 i

z + w =

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

w = 1 − 0.5 i

reelle Achse

1 2 3−1

imaginäre Achse

z = 2.5 + 2 i

3.5 + 1.5 i

z + w =

w = 1 − 0.5 i

f (z) = f (x + iy) := z3 − 64z

ζ(s) =∞∑

1ns = 1 +

14s + . . .

ζ(s) =∞∑

1ns = 1 +

14s + . . .

Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

0.5 + i (14.13...)

0.5 + i (21.02...)

0.5 − i (21.02...)

0.5 − i (14.13...)

Nullstellen

nicht−triviale

Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

0.5 + i (14.13...)

0.5 + i (21.02...)

0.5 − i (21.02...)

0.5 − i (14.13...)

Nullstellen

nicht−triviale

Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

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1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

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1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

0.5 + i (14.13...)

0.5 + i (21.02...)

0.5 − i (21.02...)

0.5 − i (14.13...)

Nullstellen

nicht−triviale

Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).

−10 i

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1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

−20 i

1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

−10 i

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1−1−2−3−4

reelle Achse

imaginäre Achse

kritischer Streifen

0.5 + i (14.13...)

0.5 + i (21.02...)

0.5 − i (21.02...)

0.5 − i (14.13...)

Nullstellen

nicht−triviale

ψ(x) :=∑pk≤x

log(p),

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