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TEIL I: Analoge Filter
Version vom 1. April 2019
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 1
Literatur:
L. D. Paarmann, Design And Analysis of Analog Filters: A
Signal Processing Perspective.Kluwer Academic Publishers, 2001.
M. Meyer, Signalverarbeitung — Analoge und digitale Signale,
Systeme und Filter.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1998.Herausgegeben von Otto Mildenberger.
O. Mildenberger, Entwurf analoger und digitaler Filter.Vieweg, 1992.
R. Schaumann and M. E. V. Valkenburg, Design of Analog
Filters.Oxford University Press, 2001.
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2
Kapitel 1
Grundlagen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 3
1.1 Phasen- und Gruppenlaufzeit, Dampfung
Annahme: Ubertragungsfunktion G (f ) = |G (f )|ejϕ(f )
Dampfung:
a(f ) = −10 · log10 |G (f )|2 = −20 · log10 |G (f )| dB
Phasenlaufzeit:
tph(f ) = − 1
2π· ϕ(f )
f
Gruppenlaufzeit:
tg(f ) = − 1
2π· dϕ(f )
df
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4
1.2 Paley-Wiener-Theorem
ist |G (f )| quadratisch integrierbar, d.h, gilt∫ ∞
−∞|G (f )|2 df < ∞,
dann (und nur dann) ist die Bedingung∫ ∞
−∞
| ln |G (f )||1 + (2πf )2
df < ∞
notwendig und hinreichend fur die Existenz einer kausalenImpulsantwort g(t)
Hinweis 1: die quadratische Integrierbarkeit ist z.B. beiHochpassfiltern oder Bandsperren nicht erfullt
Hinweis 2: auch wenn zu einem vorgegebenen |G (f )|2bzw. a(f ) eine kausale Impulsantwort existiert, ist das Filternicht notwendigerweise auch realisierbar
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5
1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung
ein (lineares, zeitinvariantes) Netzwerk mit N unabhangigenSpeicherelementen kann durch eine Differentialgleichung N-terOrdnung beschrieben werden
entsprechend ergibt sich fur die Ubertragungsfunktion Gp(p)eine gebrochen rationale Funktion gemaß
Gp(p) =
∑Mµ=0 αµp
µ
∑Nν=0 βνp
ν=
α0 + α1p + · · ·+ αMpM
β0 + β1p + · · ·+ βNpN.
in Pol-Nullstellenform gilt
Gp(p) = kp(p − p01) (p − p02) . . . (p − p0M)
(p − p1) (p − p2) . . . (p − pN)mit kp =
αM
βN.
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6
1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung
Netzwerkmodell fur Analogfilter:
U1(p)
U2(p)
α0 α1 αM
−βM 1−βN−βN−1−β1−β0
1p
1p
1p
1p
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 7
1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung
wichtige Randbedingungen:
alle Filterkoeffizienten αµ und βν sind reell
die Nullstellen p0,µ, µ = 1, 2, . . . ,M, und die Polstellen pν ,ν = 1, 2, . . . ,N, sind entweder reell oder sie treten inkonjugiert komplexen Paaren auf
fur BIBO-Stabilitat wird gefordert:
M ≤ N
der Realteil aller Polstellen ist negativ / das Nennenpolynomist ein Hurwitzpolynom (fur βN = 1 muss fur alle Koeffizientendes Nennerpolynoms gelten: βν > 0, ν = 0, 1, 2, . . . ,N .)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8
1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung
Kettenschaltung von Teilsystemen 1. und 2. Ordnung:
die Ubertragungsfunktion Gp(p) kann als Produkt vonGliedern erster und zweiter Ordnung ausgedruckt werden
Gp(p) = kp
M1∏µ=1
(p − p0µ) ·M2∏µ=1
(p2 + γµp + δµ)
N1∏ν=1
(p − pν) ·N2∏ν=1
(p2 + ǫνp + ην)
p0µ und pν sind dabei reelle Null- und Polstellen
die Nullstellen (Polstellen) der Ausdrucke p2 + γµp + δµ(p2 + ǫνp + ην) sind entweder konjugiert komplex oder reell
es gilt also : M = M1 + 2M2; N = N1 + 2N2
damit kann jedes Filter N-ter Ordnung durch Filter 1. und 2.Ordnung kaskadiert werden
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 9
1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration:
Allpasskonfiguration:
ein (fiktives) Teilsystem Gp(p) =p+p∗1p−p1
hat einen konstantenAmplitudengang
⇒ bei einem Allpass liegen allen Polstellen spiegelbildlich zurjω-Achse Nullstellen gegenuber
da komplexe Pole als konjugiert komplexe Paare auftretenmussen, gilt demnach:
Gp(p) =(p + p1) (p + p2) . . . (p + pN)
(p − p1) (p − p2) . . . (p − pN)
die Gruppenlaufzeit eines Allpasses ist niemals negativ
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 10
1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration:
Minimalphasenkonfiguration:
bei einem Minimalphasensystem liegen alle Nullstellen in derlinken Halbebene oder auf der jω-Achse
da die Gruppenlaufzeit eines Allpasses niemals negativ ist,besitzt ein Minimalphasensystem von allen moglichenSystemen mit identischem Dampfungsverlauf die kleinsteGruppenlaufzeit
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 11
1.5 Randbedingungen fur den Dampfungsverlauf
haufig wird beim Filterentwurf ein bestimmterDampfungsverlauf a(f ) bzw. |G (f )|2 angestrebt
Frage: Welche Kriterien muss der Dampfungsverlauf erfullen,damit damit das Filter realisierbar ist?
Ausgangspunkt:
Y (f ) = |G (f )2| = G (f ) · G (f )∗ = G (f )G (−f )
mit G (f ) = Gp(p)|p=j2πf und Y (f ) = Yp(p)|p=j2πf folgt auch
Yp(p) = Gp(p) · Gp(−p)
Yp(p) muss in Gp(p) und Gp(−p) faktorisiert werden konnenund ist ebenfalls eine gebrochen rationale Funktion
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 12
1.5 Randbedingungen fur den Dampfungsverlauf
|G (f )|2 ist nur dann ein geeigneter Dampfungsverlauf — mitzugehorigem Gp(p) —, wenn
|G (f )|2 nur geradzahlige Potenzen von f enthalt (f 0, f 2, . . . )
die Ordnung des Zahlerpolynoms nicht großer als die Ordnungdes Nennerpolynoms ist
|G (f )|2 keine reellen Polstellen hat (entspricht der Bedingung,dass Yp(p) keine Polstellen auf der jω-Achse hat)
|G (f )|2 keine reellen Nullstellen hat, die mit ungerader Anzahlvorkommen
das zugehorige Yp(p) in Gp(p) und Gp(−p) faktorisiertwerden kann
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 13
Kapitel 2
Filter 1. Ordnung
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 14
2.1 Tiefpass
Realisierung und PN-Diagramm
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 15
2.1 Tiefpass
Amplitudengang
10−2
10−1
100
101
−25
−20
−15
−10
−5
010
log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fg
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 16
2.1 Tiefpass
Phasengang
10−2
10−1
100
101
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0ϕ(f)in
Grad
normierte Frequenz f /fg
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 17
2.1 Tiefpass
Verlauf der Gruppenlaufzeit
10−2
10−1
100
101
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1t g(f)/T
normierte Frequenz f /fg
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2.2 Hochpass
Realisierung und PN-Diagramm
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 19
2.2 Hochpass
Amplitudengang
10−1
100
101
102
−20
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fg
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 20
2.2 Hochpass
Phasengang
10−2
10−1
100
101
102
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90ϕ(f)in
Grad
normierte Frequenz f /fg
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 21
2.2 Hochpass
Verlauf der Gruppenlaufzeit
10−2
10−1
100
101
102
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1t g(f)/T
normierte Frequenz f /fg
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 22
2.3 Shelving-Tiefpass
Passive Realisierung und PN-Diagramm
Ubertragungsfunktion
G (f ) =1 + j2πfTz
1 + j2πfTp
=1 + jf /fgz1 + jf /fgp
mit fgz =1
2πTz
, fgp =1
2πTp
⇒ ϕ(f ) = arctan(f /fgz)− arctan(f /fgp), wobei fgz > fgp
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 23
2.3 Shelving-Tiefpass
Impulsantwort (passive Realisierung)
aus der Ubertragungsfunktion
G (f ) =1
1 + j2πfTp+
j2πfTz
1 + j2πfTp
folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunachst
g(t) =1
Tpe− t
Tp · s(t) + d
dt
(Tz
Tpe− t
Tp · s(t))
und damit
g(t) =Tz
Tpδ(t) +
1
Tpe− t
Tp ·(1− Tz
Tp
)· s(t)
dabei ist s(t) der Einheitssprung
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 24
2.3 Shelving-Tiefpass
Aktive Realisierung und PN-Diagramm
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 25
2.3 Shelving-Tiefpass
Amplitudengang (passive Realisierung)
10−2
10−1
100
101
102
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
010
log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fgp
Darstellung fur fgz =√10fgp (passives Filter)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 26
2.3 Shelving-Tiefpass
Phasengang
10−2
10−1
100
101
102
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Darstellung fur fgz =√10fgp
ϕ(f)in
Grad
normierte Frequenz f /fgp
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 27
2.3 Shelving-Tiefpass
Verlauf der Gruppenlaufzeit
10−2
10−1
100
101
102
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2t g(f)/(T
p−
Tz)
normierte Frequenz f /fgp
Darstellung fur fgz =√10fgp
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 28
2.4 Shelving-Hochpass
Passive Realisierung und PN-Diagramm
Ubertragungsfunktion
G (f ) =Tp
Tz· 1 + j2πfTz
1 + j2πfTp=
fgz
fgp· 1 + jf /fgz1 + jf /fgp
mit fgz =1
2πTz, fgp =
1
2πTp
⇒ ϕ(f ) = arctan(f /fgz)− arctan(f /fgp), wobei fgp > fgz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 29
2.4 Shelving-Hochpass
Impulsantwort (passive Realisierung)
aus der Ubertragungsfunktion
G (f ) =Tp
Tz· 1
1 + j2πfTp+
j2πfTp
1 + j2πfTp
folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunachst
g(t) =1
Tz
e− t
Tp · s(t) + d
dt
(e− t
Tp · s(t))
und damit
g(t) = δ(t) − e− t
Tp ·(
1
Tp− 1
Tz
)· s(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 30
2.4 Shelving-Hochpass
Aktive Realisierung und PN-Diagramm
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 31
2.4 Shelving-Hochpass
Amplitudengang (passive Realisierung)
10−2
10−1
100
101
102
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
010
log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fgz
Darstellung fur fgp =√10fgz (passives Filter)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 32
2.4 Shelving-Hochpass
Phasengang
10−2
10−1
100
101
102
0
5
10
15
20
25
30
35
Darstellung fur fgp =√10fgz
ϕ(f)in
Grad
normierte Frequenz f /fgz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 33
2.4 Shelving-Hochpass
Verlauf der Gruppenlaufzeit
10−2
10−1
100
101
102
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
t g(f)/(T
z−
Tp)
normierte Frequenz f /fgz
Darstellung fur fgp =√10fgz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 34
2.4 Shelving-Hochpass
Antwort auf einen (schmalbandigen) Raised-Kosinus Impuls
−100 −50 0 50 100−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ausgangsimpuls
Eingangsimpuls
normierte Zeit t/tg(0)
Amplitude
Darstellung fur fgp =√10fgz
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2.5 Allpass
Aktive Realisierung (1) und PN-Diagramm
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 36
2.5 Allpass
Ubertragungsfunktion (aktive Variante (1) )
G (f ) =1− j2πfT
1 + j2πfT=
1
1 + j2πfT− j2πfT
1 + j2πfT
zugehorige Impulsantwort
g(t) = −δ(t) +2
Te−
tT · s(t)
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2.5 Allpass
Aktive Realisierung (2) und PN-Diagramm
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 38
2.5 Allpass
Phasengang (Variante (1))
10−2
10−1
100
101
102
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0ϕ(f)in
Grad
normierte Frequenz f /fg
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 39
2.5 Allpass
Verlauf der Gruppenlaufzeit
10−2
10−1
100
101
102
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t g(f)/T
normierte Frequenz f /fg
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 40
Kapitel 3
Filter 2. Ordnung
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 41
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Realisierung und PN-Diagramm
Ubertragungsfunktion
Gp(p) =ω20
p2 + pω0Q
+ ω20
mit ω20 =
1
LC,Q =
1
R·√
L
C
⇒ |G (f )|−2 = [1− (f /f0)2]2 + (f /f0)
2/Q2
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 42
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Amplitudengang in Abhangigkeit der Gute
10−2
10−1
100
101
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Q=10
Q=2
Q=0.71
Q=0.510log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 43
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Amplitudengang: 3 dB-Breite der Resonanzuberhohung
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Q=20
Q=10
Q=5
normierter
Amplitudengangin
dB
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 44
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Amplitudengang: maximal flacher Verlauf fur Q = 1/√2
10−2
10−1
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
10
log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /f0
Q = 1/√2 =
√18/6
Q =√19/6
Q =√17/6
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 45
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Gruppenlaufzeit in Abhangigkeit der Gute
10−2
10−1
100
101
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Q=5
Q=2
Q=0.71
Q=0.5
t g(f)·π
f 0
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 46
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Gruppenlaufzeit: maximal flacher Verlauf fur Q = 1/√3
10−2
10−1
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
t g(f)/t g(0)
normierte Frequenz f /f0
Q = 1/√3 = 3/
√27
Q = 3/√28
Q = 3/√26
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 47
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Impuls- und Sprungantwort
0 1 2 3 4 5 6 7 8−6
−4
−2
0
2
4
6
Q=5
Q=2
g(t)/f 0
normierte Zeit t · f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 48
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Impuls- und Sprungantwort
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Q=5
Q=2
h(t)
normierte Zeit t · f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 49
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Impuls- und Sprungantwort
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Q=0.71
Q=0.5
Q=0.25
g(t)/f 0
normierte Zeit t · f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 50
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Impuls- und Sprungantwort
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Q=0.71
Q=0.5
Q=0.25
h(t)
normierte Zeit t · f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 51
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Realisierungsvariante: Sallen-Key Tiefpassfilter
fur R1 = R2 = R gilt: ω0 =1
R√C1C2
,Q = 12
√C2C1
(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 52
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (1)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 53
3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)
Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (2)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 54
3.2 Hochpass (zusatzliche doppelte Nullstelle)
Realisierung und PN-Diagramm
Ubertragungsfunktion
Gp(p) =p2
p2 + pω0Q
+ ω20
mit ω20 =
1
LC,Q =
1
R·√
L
C
⇒ Gp,HP(p/w0) = Gp,TP(w0/p)
aktive Realisierungsvariante
im Sallen-Key Tiefpassfilter Cs und Rs vertauschen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 55
3.2 Hochpass (zusatzliche doppelte Nullstelle)
vom Tiefpass zum Hochpass (Amplitudengang)
10−1
100
101
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Tiefpass, Q=2
Hochpass, Q=2
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 56
3.2 Hochpass (zusatzliche doppelte Nullstelle)
Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (1)
die folgenden 2 Folien zeigen den Amplitudengang, dieGruppenlaufzeit und die Sprungantwort fur f0 = 200 Hz
Gruppenlaufzeitverzerrungen sind bis ca. 1500 Hz horbar
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 57
3.2 Hochpass (zusatzliche doppelte Nullstelle)
Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (2)
101
102
103
104
−10
−5
0
Summe
Tiefton
Hochton
101
102
103
104
0
0.5
1
1.5
2
Summe
10log10|G
(f)|2
dB
t g(f)in
ms
Frequenz f in Hz
Frequenz f in Hz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 58
3.2 Hochpass (zusatzliche doppelte Nullstelle)
Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (3)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Sprungantworth(t)
Zeit t in ms
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 59
3.3 Bandpass (zusatzliche einfache Nullstelle)
Realisierung und PN-Diagramm
Ubertragungsfunktion
Gp(p) =pω0
Q
p2 + pω0Q
+ ω20
mit ω20 =
1
LC,Q =
1
R·√
L
C
⇒ fur Q ≤ 0.5 wie Kettenschaltung aus TP und HP ersterOrdnung
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 60
3.3 Bandpass (zusatzliche einfache Nullstelle)
3 dB Breite bei Q ≫ 1
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Q=20
Q=10
Q=5
Q=3
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 61
3.3 Bandpass (zusatzliche einfache Nullstelle)
aktive Realisierungsvariante (1): Sallen-Key Bandpassfilter
mit G0 = 1 + R2R1, ω0 =
1RC
und Q = 13−G0
gilt hier:
Gp(p) =Q
3−1/Q · pω0Q
p2+pω0Q+ω2
0
(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 62
3.3 Bandpass (zusatzliche einfache Nullstelle)
aktive Realisierungsvariante (2): “Multiple Feedback” Filter
mit ω0 =1C·√
R1+R3R1R2R3
und Q = ω02 · CR2 gilt hier:
Gp(p) = − R22R1
· pω0Q
p2+pω0Q+ω2
0
(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)
aktive Realisierungsvariante (3): Tow-Thomson-Biquad
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 63
3.4 Notch-Filter
Realisierung und PN-Diagramm
Ubertragungsfunktion
Gp(p) =p2 + pω0
Q+ ω2
0
p2 + p ω0Q·k + ω2
0
mit ω20 =
1
LC, Q =
1
R2·√
L
C, k =
R2
R1 + R2
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 64
3.4 Notch-Filter
Amplitudengang und 3 dB Breite
0.2 0.4 0.6 0.8 0.951.05 1.2 1.4 1.6 1.8−12
−9
−6
−3
0
Q=20, k=1/2
Q=10, k=1/2
Q=20, k=1/4
Q=10, k=1/4
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 65
3.5 Notch-Tiefpass
PN-Diagramm und moglicher Ansatz zur Umsetzung
Ubertragungsfunktion
Gp(p) =p2 + pω0·k1
Q·k2 + (ω0 · k1)2
p2 + pω0Q
+ ω20
mit k1 > 1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 66
3.5 Notch-Tiefpass
Amplitudengang und Anwendungsbeispiel
10−1
100
101
−20
−15
−10
−5
0
5
10
Beispiel mit k1=2, k
2=4
Notch−Tiefpass (Entzerrer)
Hochpass mit Boost (Q=2)
Hochpass entzerrt (Q=1/2)
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 67
3.6 Allpass
PN-Diagramm und mogliche Realisierung
(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)
Ubertragungsfunktion
Gp(p) = kp ·(p + p1)(p + p2)
(p − p1)(p − p2)mit p1/2 = − ω0
2Q±ω0
√1
(2Q)2− 1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 68
3.6 Allpass
Gruppenlaufzeit in Abhangigkeit der Gute
10−2
10−1
100
101
102
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Q=2
Q=1
Q=.577
Q=1/2
t g(f)·π
·f0
normierte Frequenz f /f0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 69
Kapitel 4
Standard Tiefpass-Approximationen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 70
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Ausgangspunkt: Amplitudengang
|G (f )|2 = 1
1 +(
ffc
)2N
Merkmal: maximal flache Charakteristik im Durchlassbereich(Phasengang wird erkauft)
Polstellen
mit |G (ω)|2 = G (ω)G (−ω) = Gp(p)Gp(−p)|p=jω folgtzunachst fur die 2N verschiedenen Pole pν ,ν = 0, 1, . . . , 2N − 1, von Yp(p) = Gp(p)Gp(−p):
pν = ωc ·ejϕν mit ϕν = π2N + ν · π
Nfur N gerade,
pν = ωc ·ejϕν mit ϕν = ν · πN
fur N ungerade
Gp(p) werden genau die N verschiedenen Pole von Yp(p)zugeordnet, die in der linken Halbebene liegen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 71
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
PN-Diagramme fur verschiedene Filterordnungen (1)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
c
σ/ωc
N = 2
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
cσ/ωc
N = 3
Anmerkung: kp = ωNc
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 72
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
PN-Diagramme fur verschiedene Filterordnungen (2)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
c
σ/ωc
N = 4
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
cσ/ωc
N = 5
Anmerkung: kp = ωNc
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 73
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Amplitudengang in Abhangigkeit des Filtergrads
10−1
100
101
−20
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
N=10
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fc
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 74
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Kaskadierung eines Filters 5. Ordnung
10−1
100
101
−20
−15
−10
−5
0
5
gesamt
reelle Polstelle
Polpaar 1
Polpaar 210log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fc−1 −0.5 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
c
σ/ωc
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 75
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Gruppenlaufzeit in Abhangigkeit des Filtergrads
10−1
100
101
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
t g(f)·π
f c
normierte Frequenz f /fc
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 76
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Sprungantwort
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N=2
N=3
N=4
N=5
h(t)
normierte Zeit t · fc
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 77
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Dampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (1)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 78
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Dampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (2)
notwendige Filterordnung:
N =
log
(√10amin/10−110amax/10−1
)
log(
fsfd
)
zugehorige 3 dB Grenzfrequenz fc
fd(10amax/10 − 1
) 12N
≤ fc ≤fs
(10amin/10 − 1
) 12N
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 79
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Dampfungstoleranzschema: Beispiel
fd = 20 kHz, amax = 0.25 dB, fs = 156.4 kHz, amin = 80 dB
ergibt: N = 6, 25.3 kHz≤ fc ≤ 33.7 kHz
10 20 30 50 80 100 1560
10
20
30
40
50
60
70
80
N=6
fc=25.3 kHz
fc=33.7 kHz
a(f)dB
normierte Frequenz f in KHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 80
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Normierte Reaktanzen, Widerstande und Frequenzen
Bezugs-Kreisfrequenz: ωB (in rad/s)
Bezugs-Widerstand: RB (in Ω)
normierter Widerstand: R = RRB
normierte Kapazitat: C = C · ωB · RB
normierte Induktivitat: L = L · ωB · 1RB
normierte Kreisfrequenz bzw. Bildvariable: ω = ωωB
; p = pωB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 81
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Dimensionierung eines passiven Polynomfilters
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 82
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Normierte Reaktanzwerte fur r2 = R2 = 1
(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 83
4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)
Normierte Reaktanzwerte fur r2 = R2 = ∞
(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 84
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Tschebyscheff Polynome erster Art
Polynome fur die Ordnungen 0 bis 5:
T0(x) = 1T1(x) = x
T2(x) = 2x2 − 1T3(x) = 4x3 − 3xT4(x) = 8x4 − 8x2 + 1T5(x) = 16x5 − 20x3 + 5x
rekursive Berechnung:
Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)
Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen:
Tn(x) =
cos (n · arccos(x) ) fur − 1 ≤ x ≤ 1cosh (n · arccosh(x) ) sonst
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 85
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Tschebyscheff Polynome — Verlauf fur n = 3 und n = 5
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 10
0.5
1
T n(x)
T2 n(x)
x
x
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 86
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Ausgangspunkt: Amplitudengang
|G (f )|2 =1
1 + δ2 ·T 2N
(ffd
)
Merkmal: Restwelligkeit von amax = 10 · log10(1 + δ2) dB imDurchlassbereich ⇒ “Equal Ripple Filter”
Phase wird erkauft
die Frequenz fd bestimmt die Grenze des Durchlassbereichs(mit T 2
N (1) = 1 gilt auch −10 · log10 |G (fd)|2 = amax)
da T 2N
(ffd
)den Term
(ffd
)2Nenthalt, steigt die Dampfung im
Sperrbereich mit N×20 dB pro Dekade.
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 87
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Polstellen
zunachst werden wieder die Pole von Yp(p) = Gp(p)Gp(−p)bestimmt
fur die Pole pY ,ν, ν = 1, . . . , 2N, von Yp(p) muss gelten
δ2 · T 2N
(pY ,ν
jωd
)= −1 bzw. δ · TN
(pY ,ν
jωd
)= ±j
der Ubertragungsfunktion Gp(p) werden die Pole in der linkenHalbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1, . . . ,N)
pν = −σHA·sin((2ν − 1)π
2N
)+jωHA·cos
((2ν − 1)π
2N
), wobei
σHA = sinh
(1
Narcsinh
1
δ
)ωHA = cosh
(1
Narcsinh
1
δ
)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 88
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Polstellen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 89
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
PN-Bilder fur verschiedene Filterord., 1.25 dB Ripple (1)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
d
σ/ωd
N = 2 (Q = 1)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
d
σ/ωd
N = 3
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 90
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
PN-Bilder fur verschiedene Filterord., 1.25 dB Ripple (2)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
d
σ/ωd
N = 4
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
jω/ω
d
σ/ωd
N = 5
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 91
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Amplitudengang in Abhang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple)
10−2
10−1
100
101
−20
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 92
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Amplitudengang im Durchlassbereich (1.25 dB Ripple)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
N=2
N=3
N=4
N=5
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 93
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 dB Ripple)
10−2
10−1
100
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Tscheby1 (N=5)
Butterworth (N=5)
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 94
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 dB Ripple)
10−1
100
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Tscheby1 (N=5)
Butterworth (N=5)10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 95
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Gruppenlaufzeit in Abhang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple)
0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
t g(f)·π
f d
normierte Frequenz f /fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 96
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Sprungantwort in Abhang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple)
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
h(t)
normierte Zeit t · fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 97
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Dampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung
notwendiger Filtergrad: N =
arccosh
(√
10amin/10−1
10amax/10−1
)
arccosh(
fsfd
)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 98
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Dampfungstoleranzschema: Beispiel (1)
fd = 20 kHz, amax = 0.25 dB, fs = 156.4 kHz, amin = 80 dB
ergibt: N = 5
N = 5 genugt aber sogar fur einen Ripple von nur 0.0025 dB
10 10020 30 50 80 1560
10
20
30
40
50
60
70
80
amax
=0.25 dB
amax
=0.0025 dB
a(f)dB
normierte Frequenz f in KHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 99
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Dampfungstoleranzschema: Beispiel (2)
Dampfungsverlauf im Durchlassbereich fur amax = 0.25 dBund amax = 0.0025 dB
0 5 10 15 20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
amax
=0.25 dB
amax
=0.0025 dB
a(f)dB
normierte Frequenz f in KHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 100
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Dampfungstoleranzschema: Beispiel (3)
Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich fur amax = 0.25 dB undamax = 0.0025 dB
0 5 10 15 200
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
amax
=0.25 dB
amax
=0.0025 dB
t g(f)in
ms
normierte Frequenz f in KHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 101
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Dimensionierung eines passiven Polynomfilters
bzgl. der folgenden Tabellen wurde angenommen:
normierter Widerstand r2 = R2 = u
normierte Grenzkreisfrequenz Durchlassbereich: ωd = 2πfd = 1es ist gleichgultig, ob das erste Element s1 ein Querelement(Kapazitat) oder ein Langselement ist (Spule)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 102
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Normierte Reaktanzwerte fur amax = 0.18 dB
(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 103
4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass
Normierte Reaktanzwerte fur amax = 1.25 dB
(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 104
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Ausgangspunkt: Amplitudengang
|G (f )|2 = 1− 1
1 + δ2 ·T 2N
(fsf
) =δ2 ·T 2
N
(fsf
)
1 + δ2 ·T 2N
(fsf
)
Merkmal: Restwelligkeit im Sperrbereich; dieMinimaldampfung betragt von amin = 10 · log10(1 + 1
δ2) dB
Phase wird erkauft
die Frequenz fs bestimmt die Grenze des Sperrbereichs(mit T 2
N (1) = 1 gilt auch 10 · log10 |G (fs)|2 = amin)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 105
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Polstellen
zunachst werden wieder die Pole von Yp(p) = Gp(p)Gp(−p)bestimmt
bei identischem Parameter δ, der beim Typ 1 dieMaximaldampfung amax im Durchlassbereich und beim Typ 2die Minimaldampfung amin im Sperrbereich bestimmt, gilt furdie normierten Pole pY ,ν , ν = 1, . . . , 2N , von Yp(p)offensichtlich
pY ,ν = j · j 1
pY ,T1,ν= − 1
pY ,T1,ν
dabei sind pY ,T1,ν die normierten Polstellen von Yp,T1(p) furden Fall eines Typ 1 Filters
der Ubertragungsfunktion Gp(p) werden die Pole in der linkenHalbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1, . . . ,N)
pν = 1/pT1,ν
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 106
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Nullstellen
der Amplitudengang |G (f )|2 besitzt Nullstellen bei denFrequenzen
f0,k = fs ·1
cos((2k − 1) · π
2N
) , |k | = 1, 2, . . . ,
⌊N
2
⌋
die Nullstellen von Gp(p) sind demnach: j · 2πf0,k
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 107
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=3)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 108
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=5)
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
jω
σ
N = 5
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 109
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Amplitudengang in Abhang. des Filtergrads (amin = 20 dB)
0 2 4 6 8 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
N=2
N=3
N=5
|G(f)|2
normierte Frequenz f /fs
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 110
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Amplitudengang in Abhang. des Filtergrads (amin = 20 dB)
10−2
10−1
100
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
N=2
N=3
N=5
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fs
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 111
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)
10−3
10−2
10−1
100
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Butterworth, N=2
Tscheby T2, N=2
Butterworth, N=5
Tscheby T2, N=5,
Darstellung incl. Ubergangsbereich10
log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fs
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 112
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)
10−3
10−2
10−1
100
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Butterworth, N=2
Tscheby T2, N=2
Butterworth, N=5
Tscheby T2, N=5,
Darstellung des Durchlassbereichs10
log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fs
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 113
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Gruppenlaufzeit im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)
10−4
10−3
10−2
10−1
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Butterworth, N=2
Tscheby T2, N=2
Butterworth, N=5
Tscheby T2, N=5,
t g(f)/t g(0)
normierte Frequenz f /fs
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 114
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Sprungantwort im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Butterworth, N=5
Tscheby T2, N=5,
h(t)
normierte Zeit t · fs
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 115
4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass
Notwendige Filterordnung
notwendiger Filtergrad: N =
arccosh
(√
10amin/10−1
10amax/10−1
)
arccosh(
fsfd
)
gleiches Ergebnis wie beim Typ 1 Filter
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 116
4.4 Cauer Tiefpass
Ausgangspunkt: Amplitudengang
|G (f )|2 = 1
1 + δ2 ·R2N
(ffd, L)
Restwelligkeit im Durchlass- und Sperrbereich
geringste notwendige Filterordnung bei vorgegebenenParametern amin, amax,
fsfd
die Maximaldampfung im Durchlassbereich betragt
amax = 10 · log10(1 + δ2) dB; es gilt also δ =√
10amax/10 − 1
die Minimaldampfung im Sperrbereich betragt
amin = 10 · log10(1 + δ2 · L2) dB; es gilt also L2 = 10amin/10−110amax/10−1
RN
(ffd, L)ist eine rationale elliptische Funktion vom Grad N
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 117
4.4 Cauer Tiefpass
Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R2(x, 10)
-10 -8 -6 -4 -2.34 -1 0 1 2.34 4 6 8 10-20
-15
-10
-5
-11
5
10
15
20
R2(x,10)
x
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 118
4.4 Cauer Tiefpass
Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R4(x, 10)
-6 -4 -2 -1 0 1 2 4 6-20
-15
-10
-5
-11
5
10
15
20
R4(x,10)
x
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 119
4.4 Cauer Tiefpass
PN-Bilder fur verschiedene Filterordnungen (1)
Annahmen: amax = 0.5 dB, amin = 30 dB
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−6
−4
−2
0
2
4
6
jω/ω
d
σ/ωd
N = 2
−3 −2 −1 0 1 2 3
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
jω/ω
d
σ/ωd
N = 3
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 120
4.4 Cauer Tiefpass
PN-Bilder fur verschiedene Filterordnungen (2)
Annahmen: amax = 0.5 dB, amin = 30 dB
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−3
−2
−1
0
1
2
3
jω/ω
d
σ/ωd
N = 4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
jω/ω
d
σ/ωd
N = 5
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 121
4.4 Cauer Tiefpass
Amplitudengang fur N = 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
amax = 1 dB, amin = 30 dB10
·log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 122
4.4 Cauer Tiefpass
Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich
10−2
10−1
100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
N=2
N=3
N=4
N=5
amax = 0.5 dB, amin = 50 dBt g(f)/t g(0)
normierte Frequenz f /fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 123
4.4 Cauer Tiefpass
Sprungantwort fur N = 5
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
N=5, amin
=50 dB
amax
=1 dB
amax
=0.5 dB
amax
=0.1 dB
amax
=0.001 dB
h(t)
normierte Zeit t · fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 124
4.4 Cauer Tiefpass
Notwendige Filterordnung
naherungsweise gilt:amin + 20 log10(1/δ) ≈ 20 · log10(RN(fs/fd, L))
aus dem folgenden Diagramm kann fur jedeParameterkonstellation fs/fd, amin und δ
(δ =√
10amax/10 − 1) der notwendige Filtergrad abgelesenwerden
Beispiel: fur fs/fd = 1.5, amin = 50 dB und amax = 0.5 dBbzw. amin + 20 log10(1/δ) ≈ 59.1 dB folgt N = 5
das gleiche Verfahren kann auch fur den Potenztiefpass undden Tschebyscheff-Tiefpass angewendet werden; in diesenFallen gilt amin + 20 log10(1/δ) ≈ 20 · N · log10(fs/fd)bzw. amin + 20 log10(1/δ) ≈ 20 · log10(cosh(N · acosh(fs/fd)))
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 125
4.4 Cauer Tiefpass
Notwendige Filterordnung eines Cauer Tiefpasses
1.05 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.8 3.020
40
60
80
100
120
140
N=3
N=4
N=5
N=6
N=7
N=8
N=9
N=10
amin+
20log10(1/δ)dB
fs/fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 126
4.4 Cauer Tiefpass
Notwendige Filterordnung eines Tschebyscheff-Tiefpasses
1.05 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.8 3.020
40
60
80
100
120
140
N=3
N=4
N=5
N=6
N=7
N=8
N=9
N=10
amin+
20log10(1/δ)dB
fs/fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 127
4.4 Cauer Tiefpass
Notwendige Filterordnung eines Potenz-Tiefpasses
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.820
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
N=3
N=5
N=7
N=9
N=11
N=13
N=15
N=17
amin+
20log10(1/δ)dB
fs/fd
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 128
4.5 Besseltiefpass
Entwurfsziel
Polynomfilter mit maximal flacher Gruppenlaufzeit(Amplitudengang wird erkauft)
moglicher Ansatz: Storch-Methode
Besselpolynome
Polynome fur die Ordnungen 0 bis 4:
B0(x) = 1B1(x) = x + 1B2(x) = x2 + 3x + 3B3(x) = x3 + 6x2 + 15x + 15B4(x) = x4 + 10x3 + 45x2 + 105x + 105
rekursive Berechnung:
Bn(x) = (2n− 1)Bn−1(x) + x2Bn−2(x)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 129
4.5 Besseltiefpass
Storch-Methode
ideale Verzogerung (normiert): Gp(p) = e−p = 1ep
ep = sinh(p) + cosh(p)
Taylor-Reihe: cosh(p) = 1 + p2
2! +p4
4! +p6
6! . . .
Taylor-Reihe: sinh(p) = p + p3
3! +p5
5! . . .
Kettenbruch:
coth(p) =cosh(p)
sinh(p)=
1
p+
13p+ 1
5p+ 1
7p+...
Kettenbruch nach N Gliedern abbrechen und als gebrochenrationale Funktion darstellen; Zahlerpolynom wird mit cosh(p)identifiziert, Nennerpolynom mit sinh(p)Zahler- und Nennerpolynom addieren (ergibt Besselpolynom)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 130
4.5 Besseltiefpass
Ubertragungsfunktion
fur die normierte Bildvariable soll gelten p = p · tg(0)dabei ist tg (0) die Gruppenlaufzeit bei der Frequenz f = 0
in diesem Fall gilt fur die Ubertragungsfunktion als Funktionder normierten Bildvariablen:
Gp(p) =BN(0)
BN(p)
es gilt demnach G (f = 0) = 1
außerdem gilt fur die normierte Gruppenlaufzeit: tg(0) = 1
fur die Grafiken wurde außerdem f = f · tg(0) angenommen,also ausnahmsweise p = 2πf (und nicht p = f )
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 131
4.5 Besseltiefpass
Gruppenlaufzeit als Funktion der normierten Frequenz
0 0.5 1 1.5 20.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95
1
N=2
N=5
N=10
norm.Gruppenlaufzeit
normierte Frequenz f
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 132
4.5 Besseltiefpass
Dampfung als Funktion der normierten Frequenz
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
N=2
N=5
N=10
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 133
4.5 Besseltiefpass
relative Laufzeitabweichung als Funktion der Dampfung
−12 −10 −8 −6 −4 −2 00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N=2
N=5
N=10
10 log10 |G (f )|2 dB
relative
Lau
fzeitabw
eichungin
%
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 134
4.5 Besseltiefpass
Gruppenlaufzeit als Funktion der Frequenz
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
N=2
N=5
N=10
t g(f)·f
3dB
normierte Frequenz f /f3dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 135
4.5 Besseltiefpass
Dampfung als Funktion der Frequenz
10−1
100
101
102
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
N=2
N=5
N=10
10log10|G
(f)|2
dB
normierte Frequenz f /f3dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 136
4.5 Besseltiefpass
PN-Diagramm fur verschiedene Filterordnungen
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
N=3
N=5
N=8
jω·t
g(0)
σ · tg(0)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 137
4.5 Besseltiefpass
Impulsantwort
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
N=2
N=5
N=10
g(t)/f 3dB
normierte Zeit t · f3dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 138
4.5 Besseltiefpass
Sprungantwort
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
N=2
N=5
N=10
h(t)
normierte Zeit t · f3dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 139
Kapitel 5
Transformationen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 140
5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation
Ziel: aus gegebener Tiefpass-Ubertragungsfunktion GpTP(p)aquivalente Hochpass-Ubertragungsfunktion GpHP(p)gewinnen
schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitaten im Querzweigdes passiven Netzwerks (siehe S. 80) durch Induktivitatenersetzen; Induktivitaten im Langszweig durch Kapazitaten
die Transformationsvorschrift lautet demnach: p′ = 1/p
dabei ist p′ die normierte Bildvariable im TP-Bereichp ist die normierte Bildvariable im HP-Bereicheine Normierung von p′ bzw. p mit der Kreisfrequenz 2πfNfuhrt — bei logarithmischer Frequenzachse — zu einerSpieglung des TP-Amplituden(betrags)gangs an der FrequenzfN, denn es gilt log(fN/f ) = − log(f /fN)die Normierung kann beispielsweise mit der Grenzfrequenz fDdes Durchlassbereichs erfolgen, d.h., fN = fD
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 141
5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation
Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 HP- und TP-Filter 5. Ordnung
10−1
100
101
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Tiefpass
Hochpass (transformiert)
Hochpass (Matlab)
10log10|G
(f)|2
dB
f
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 142
5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation
Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenemDampfungstoleranzschema
1 HP-Dampfungstoleranzschema in normierte Form uberfuhren(z. B. Normierung mit fD)
2 durch Frequenztransformation f ′ = 1/f (das Vorzeichen spieltbeim Dampfungsverlauf keine Rolle) aquivalentesTP-Toleranzschema entwickeln
3 fur gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff, . . . )Filtergrad und TP-Ubertragungsfunktion GpTP(p
′) ermitteln
4 GpTP(p′) in HP-Ubertragungsfunktion GpHP(p) uberfuhren
gemaßGpHP(p) = GpTP(p
′)|p′=1/p
5 GpHP(p) entnormieren (im Beispiel: p = p · 2πfD)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 143
5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation
Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenemDampfungstoleranzschema
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 144
5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation
Transformierte Pole und Nullstellen
betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p′ν imTP-Bereich, ν ∈ 1, 2, . . . ,N ′es gilt: 1
p′−p′ν= 1
1p−p′ν
= − 1p′ν
· p
p− 1p′ν
fur die Pole im HP-Bereich gilt also mit N = N ′: pν = 1p′ν,
ν = 1, . . . ,N
es entstehen (N −M ′) Nullstellen im Ursprung sowie
M ′ Nullstellen gemaß: pµ = 1p′µ, µ = 1, . . . ,M ′
fur die Konstante kp folgt:
kp = k ′p · (−1)N+M′ ∏Nν=1
1p′ν
·∏M′
µ=1 p′µ
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 145
5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation
Beispiel: Pole und Nullst. vor und nach der Transformation
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3−3
−2
−1
0
1
2
3
Rep
j⋅ Im
p
rot: TP, blau: HP, Tscheby I−Filter
7
−4 −2 0 2 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Rep
j⋅ Im
p
rot: TP, blau: HP, Tscheby II−Filter
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 146
5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation
Ziel: aus gegebener Tiefpass-Ubertragungsfunktion GpTP(p)aquivalente Bandpass-Ubertragungsfunktion GpBP(p)gewinnen
das Amplitudenbetragsspektrum sei — bei logarithmischerFrequenzachse — symmetrisch zur Mittenfrequenz f0
fur die Mittenfrequenz gilt also
f0 =√fD · f−D =
√fS · f−S (geometrischer Mittelwert)
und demnach fDf0
= f0f−D
bzw. fSf0= f0
f−S
sowie
log(f0) =12 [log(fD) + log(f−D)] (linearer Mittelwert) bzw.
log(f0) =12 [log(fS) + log(f−S)]
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 147
5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation
Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 BP-Filter 5. Ordnung
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
010
log10|G
(f)|2
dB
f0
B = fD − f−D
fD fSf−S f−D
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 148
5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation
schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitaten im Querzweigdes passiven Netzwerks (siehe S. 80) durch Parallel-schwingkreise (Induktivitat und Kapazitat) ersetzen;Induktivitaten im Langszweig durch Serienschwingkreise
Transformationsvorschrift: p′ = (p + 1/p)/B
p′ ist wieder die normierte Bildvariable im TP-Bereich
p = p/ω0 ist die normierte Bildvariable im BP-Bereich;normiert wird demnach mit ω0 = 2πf0
es ist vorteilhaft, den Ausdruck p + 1/p zusatzlich mit der
normierten Bandbreite B = B/f0 =fD−f
−D
f0zu normieren
dadurch korrespondiert die Frequenz fD im BP-Bereich mit derFrequenz f ′D = 1 im TP-Bereich
fur f ′S folgt demnach: f ′S = fS−1/fSB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 149
5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation
Entwurf eines Bandpass-Filters bei gegebenemDampfungstoleranzschema
1 BP-Dampfungstoleranzschema in normierte Form uberfuhren,(Normierung mit f0)
2 durch Frequenztransformation f ′ = f−1/f
Baquivalentes
TP-Toleranzschema entwickeln
3 fur gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff, . . . )Filtergrad und TP-Ubertragungsfunktion GpTP(p
′) ermitteln
4 GpBP(p′) in BP-Ubertragungsfunktion GpBP(p) uberfuhren
gemaßGpBP(p) = GpTP(p
′)|p′=(p+1/p)/B′
5 GpBP(p) entnormieren
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 150
5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation
Entwurf eines BP-Filters bei gegebenem D.-toleranzschema
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 151
5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation
Transformierte Pole und Nullstellen
betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p′ν imTP-Bereich, ν ∈ 1, 2, . . . ,N ′es gilt: 1
p′−p′ν= 1
(
p+ 1p
)
/B−p′ν= B · p
p2−p(p′ν B)+1
fur die N = 2N ′ Pole im BP-Bereich gilt also:
pν1,2 =p′νB2
±√(
p′νB/2)2
− 1
es entstehen (N ′ −M ′) Nullstellen im Ursprung sowie
2M ′ Nullstellen gemaß: pµ1,2 =p′µB
2 ±√(
p′µB/2)2
− 1
fur die Konstante kp folgt: kp = k ′p · BN′−M′
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 152
5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation
Beispiel: Transformation eines Tschebyscheff I-Filters
−2 −1 0 1 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
7
Rep
j⋅ Im
p
rot: TP, blau: BP, Tscheby I−Filter
10−1
100
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Amplitudengang Bandpass und Tiefpass (normierte Frequenzachse)
normierte Frequenz
|G(f
)| in d
B
Tiefpass
Bandpass
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 153
TEIL II: Digitale Filter
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 154
Literatur:
A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, ZeitdiskreteSignalverarbeitung.R. Oldenbourg Verlag, 1999.
D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie.Oldenbourg Verlag, Munchen und Wien, 1990.
K.D. Kammeyer and Kristian Kroschel, DigitaleSignalverarbeitung.Vieweg + Teubner, 2009.
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 155
Kapitel 6
Rekursive zeitdiskreteFilter
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 156
6.1 Bilinear-Transformation
Ziel: aus gegebenen Ubertragungsfunktion Gp(p) eineszeitkontinuierlichen Filters Ubertragungsfunktion Gz(z) einesrekursiven diskreten Filters gewinnen
Ansatz: 1p(idealer Integrator) als “Elementarbaustein” des
kontinuierlichen Filters durch t02z+1z−1 ersetzen (diskreter idealer
Integrator, Stutzstellenabstand t0 = 1/fp)
die Transformationsvorschrift lautet demnach:
Gz(z) = Gp(p′)|p′= 2
t0
z−1z+1
(1)
der exakte Zusammenhang zwischen p und z ware durchp = 1
t0ln(z) gegeben (Gz(z) ware dann aber keine gebrochen
rationale Funktion mehr)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 157
6.1 Bilinear-Transformation
die Bilineartransformation fuhrt also zu einer Verzerrung derUbertragungsfunktion in Frequenzrichtung
der Zusammenhang zwischen f (unverzerrt) und f ′ (verzerrtdurch Bilineartransformation) lautet:
f ′ =1
t0· 1πtan (πft0) (2)
ist das Dampfungstoleranzschema eines Digitalfilters gegeben,dann werden die Eckfrequenzen fD und fS zunachstvorverzerrt; das auf die vorverzerrten Eckfrequenzen f ′D und f ′Szugeschnittene Analogfilter wird dann perBilineartransformation in ein Digitalfilter uberfuhrt
entfallt der Vorfaktor 1/t0 in (2), kann auch der Vorfaktor1/t0 in (1) entfallen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 158
6.1 Bilinear-Transformation
Verzerrung der Frequenz durch die Bilinear-Transformation
0.01 0.10.02 0.04 0.06 0.2 0.3 0.40.01
0.1
0.5
0.05
1
f′ ·t 0
f · t0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 159
6.1 Bilinear-Transformation
Transformierte Pole und Nullstellen
betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p′ν ,ν ∈ 1, 2, . . . ,N ′, des Analogfilters; es gilt
1
p′ − p′ν=
1
2fpz−1z+1 − p′ν
=1
2fp − p′ν· z + 1
z − 2fp+p′ν2fp−p′ν
fur die N Polstellen des rekursiven Digitalfilters gilt demnachin Abhangigkeit der N ′ = N Polstellen des Analogfilters
zν = (2fp + p′ν)/(2fp − p′ν), ν = 1, . . . ,N
besitzt das Zahlerpolynom des Analogfilters den Grad M ′,ergeben sich fur das Digitalfilter N −M ′ Nullstellen zµ bei −1sowie M ′ Nullstellen gemaß
zµ = (2fp + p′µ)/(2fp − p′µ), µ = 1, . . . ,M ′
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 160
6.1 Bilinear-Transformation
Beispiel: Transformation eines Cauer-Tiefpasses 9. Ordnung
−4 −2 0 2 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Rep
j⋅ Im
p
analoges Cauer Filter 9. Ordnung
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rez
j⋅ Im
z
digitales Cauer Filter 9. Ordnung
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 161
6.1 Bilinear-Transformation
Beispiel: digitaler Tschebyscheff I-HP 5. Ordnung
10−2
10−1
100
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
normierte Frequenz f/(fp/2)
|G(f
)| in d
B
digitaler Tschebyscheff I−HP, N=5, fD
/(fp/2)=0.083
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rez
j⋅ Im
z
5
digitaler Tschebyscheff I−HP, N=5, fD
/(fp/2)=0.083
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 162
6.2 Impulsinvariant-Methode
Grundidee:
Impulsantwort des Analogfilters durch Partialbruchzerlegungder Ubertragungsfunktion (und anschließende Transformationin den Zeitbereich) analytisch bestimmen
Impulsantwort abtasten und Einzelterme in den z-Bereichtransformieren
u.U. großer Fehler durch Aliasing (Verletzung des Abtastth.)
Partialbruchdarstellung von Gp(p):
Gp(p) = a0 +
nP∑
ν=1
rν∑
k=1
aν,k
(p − pν)k, wobei a0 =
0 furM < NαM
βNfurM = N
pν sind die nP unterschiedlichen Polstellen (Nullstellen desNennerpolynoms) mit den Vielfachheiten rν
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 163
6.2 Impulsinvariant-Methode
Impulsantwort des Analogfilters:
gc(t) = a0δ(t) +
nP∑
ν=1
rν∑
k=1
aν,k
(k − 1)!· tk−1 · epν t · s(t)
s(t) ist der Einheitssprung, wobei s(0) = 1/2 gilt
a0δ(t) ist der ‘direct feed-through term’ (nur fur M = N
vorhanden)
Impulsantwort des zeitdiskreten Filters:
g [n] = a0δ[n] +
nP∑
ν=1
rν∑
k=1
t0aν,k
(k − 1)!· (n · t0)k−1 · epνnt0 · s[n]
Hinweis: der ‘direct feed-through term’ darf nicht mit t0bewertet werden
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 164
6.2 Impulsinvariant-Methode
Ubertragungsfunktion des zeitdiskreten Filters:
Annahme: nur einfache Pole, d.h., nP = N
Gz(z) = a0 +
N∑
ν=1
t0 · aν2
· z + zν
z − zν, wobei zν = epν t0
zusatzl. Beitrag eines Pols pν mit der Vielfachheit 2:
t0 · aν,12
· z + zν
z − zν+ t20 · aν,2 ·
z · zν(z − zν)2
zusatzl. Beitrag eines Pols pν mit der Vielfachheit 3:
t0 · aν,12
· z + zν
z − zν+ t20 ·aν,2 ·
z · zν(z − zν)2
+ t30 ·aν,2 ·z · zν · (z + zν)
(z − zν)3
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 165
6.2 Impulsinvariant-Methode
Beispiel: Zielvorgaben: amin = 70 dB, amax = 0.005 dB,fd = 20 kHz, fs = 24 kHz, Cauer-Tiefpass Charakteristik
10 20 24 30 40 48−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Frequenz f in kHz
|G(f
)| in d
BCauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode
Analogfilter
fp=96 kHz
fp=192 kHz
fp=384 kHz
fp=768 kHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 166
6.2 Impulsinvariant-Methode
Beispiel (Forts.): Darstellung des Durchlassbereichs
10 20−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Frequenz f in kHz
|G(f
)| in d
BCauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode
Analogfilter
fp=96 kHz
fp=192 kHz
fp=384 kHz
fp=768 kHz
⇒ durch die Welligkeit im Sperrbereich tritt starkes Aliasing auf
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 167
6.2 Impulsinvariant-Methode
Beispiel (Forts.): Vergleich Bilinear-Tr. / Impulsinvariant-M.
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rez
j⋅ Im
z
Cauer−Filter 10. Ordnung, Bilineartransformation, fp=768 kHz
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rez
j⋅ Im
z
Cauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode, fp=768 kHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 168
6.2 Impulsinvariant-Methode
weiteres Beispiel: Zielvorgaben: amin = 70 dB, amax = 0.5 dB,fd = 20 kHz, fs = 24 kHz, Tschebyscheff I-Tiefpass Charakteristik
1 10 20 24 30−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Frequenz f in kHz
|G(f
)| in d
B
Tschebyscheff I−Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode
Analogfilter
fp=96 kHz
1 10 20 24 30−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz f in kHz
|G(f
)| in d
B
Tschebyscheff I−Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode
Analogfilter
fp=96 kHz
⇒ hier gibt es keine Aliasing-Probleme
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 169
6.2 Impulsinvariant-Methode
Anmerkungen zur Matlab-Implementierung ’impinvar’:
der ‘direct feed-through term’ des Analogfilters darf NICHTmit t0 gewichtet werden; die MATLAB-Funktion impinvar istin dieser Hinsicht falsch implementiert
bei der MATLAB-Implementierung wird den kausalenExpontentialimpulsen an der Sprungstelle t = 0 derrechtsseitige Grenzwert zugewiesen; dadurch folgt (fur denFall ausschließlich einfacher Pole) die etwas ungenauereZuordnung
Gz(z) = a0 +
nP∑
ν=1
t0 · aν ·z
z − zν, wobei zν = epν t0
⇒ der großte Fehler entsteht dabei bei f = 0
die Impulsinvariant Methode eignet sich hervorragend, um dieImpuls- oder Sprungantwort von Analogfiltern zu bestimmen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 170
6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen
Direktform 1:
Darstellung als Signalflussgraph
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 171
6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen
Direktform 2:
ergibt sich, wenn die vorherige Struktur (Direktform 1)transponiert wird
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 172
6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen
Kaskaden- und Parallelstruktur:
die Parallelstruktur folgt unmittelbar aus der Partialbruch-zerlegung
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 173
6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung
Annahme: quantisierter Koeffizient (Ruckkoppelzweig):
βν = βν +∆βν , ν = 0, . . . ,N − 1 (βN = 1)
∆βν ist der Quantisierungsfehler
Polstellen ohne Quantisierung: zi , i = 1, 2, . . . ,N(Annahme: nur einfache Pole)
Positionsfehler der i -ten Polstelle fur die Direktform 1:
∆zi =N−1∑
ν=0
∂zi∂βν
·∆βν = −N−1∑
ν=0
zνiN∏
k=1,k 6=i
(zi − zk)
·∆βν
der Positionsfehler wachst mit sinkendem Abstand |zi − zk |zwischen den (als verschieden vorausgesetzten) Polender Fehler wachst uberproportional mit der Anzahl der Pole(Produktterm beachten) ⇒ Kaskadenstruktur verwenden
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 174
6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung
Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, fD=20 kHz, N = 10)
10 20 40−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
ideal
Direktform 1, fs=96 kHz
20log10|G
(f)|dB
f in kHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 175
6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung
Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, fD=20 kHz, N = 10)
10 20 40−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
ideal
Direktform 1, fs=192 kHz
Kaskade, fs=192 kHz20
log10|G
(f)|dB
f in kHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 176
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Beispiel: 3 Bit Quantisierung
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Festkommadarstellung mit Matlab
Eingangsamplitude x
Au
sg
an
gsa
mp
litu
de
Q(x
)
RoundMode: nearest
RoundMode: ceil
RoundMode: floor
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 177
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Lineares Ersatzmodell eines Quantisierers
• hier: Runden zum nachsten Nachbarn
x[n]
e[n]
Q(x[n])
bei einem (B+1) BitQuantisierer gilt fur dieQuantisierungsstufenbreite:∆ = Xmax/2
B
fe(x)1/∆
x∆2−∆
2
Φee(f )
∆2/(12 · fp)
ffp2− fp
2
∆2/12
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 178
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1 (Bsp. mit N = 2)
x1[n] x1[n] y [n]
α0
α1
α2
−β0
z−1
z−1
z−1
z−1
−β1
QB1 QB
Annahmen:
(B+1) Bit Schieberegister
(2B+1) Bit Addierer (also keine Rundung nach derMultiplikation der (B+1) Bit Festkommazahlen)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 179
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1: Lineares Ersatzschaltbild
x1[n] x1[n]y [n]
α0
α1
α2
−β0
z−1
z−1
z−1
z−1
−β1
e1[n] e2[n]
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 180
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1:
Rauschvarianz σ21 von y [n] infolge der Rauschquelle e1[n]:
σ21 =
∆2B1
12· 1fp
·∫ fp/2
−fp/2|G (f )|2 df =
∆2B1
12·
∞∑
n=0
g2[n],
Rauschvarianz σ22 von y [n] infolge der Rauschquelle e2[n], also
infolge des internen Rundens:
σ22 =
∆2B
12· 1fp
·∫ fp/2
−fp/2|GR(f )|2 df =
∆2B
12·
∞∑
n=0
g2R[n],
wobei GR(z) die Ubertragungsfunktion des Ruckkoppelzweigsist:
GR(z) =zN
∑Nν=0 βνz
νmit βN = 1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 181
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1:
wird hingegen nach jeder Multiplikation gerundet, werden also(B + 1) Bit Addierer verwendet, dann konnen insgesamt(M + 1 + N) Rauschquellen (Anzahl der Multiplizierer) zurRauschquelle e2[n] zusammengefasst werden
fur die Rauschvarianz σ22 von y [n] infolge des internen
Rundens gilt dann
σ22 = (M + 1 + N) · ∆
2B
12· 1fp
·∫ fp/2
−fp/2|GR(f )|2 df
bei der Kaskadierung von Filtern muss berucksichtigt werden,dass jedes ausgangsseitige Rauschen durch die nachfolgendenStufen gefiltert wird
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 182
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Rauschvarianz durch Rundung innerhalb der Schaltung
• hier: Filter 2. Ordnung mit (2B+1) Bit AddierernHinweis: dargestellt wird σ2
2 · 12/∆2B
0 5 10 15 2010
0
101
102
quality factor Q
no
rmie
rte
Ra
usch
va
ria
nz a
m A
usg
an
g
IIR−Filter 2. Ordnung: Rauschbeitrag durch e2[n]
analytische Schaetzung
Simulation
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 183
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Grenzzyklus als Folge von Rundung
• hier: Filter 2. Ordnung, 16 Bit Quantisierung
0 20 40 60 80 100 120−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
Antwort auf einen Rechteckimpuls
200 250 300 350−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x 10
−4
n
y[n
]
Antwort auf einen Rechteckimpuls
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 184
Kapitel 7
Entwurf von FIR-Filternmit der Fenstermethode
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 185
7.1 Typen linearphasiger FIR-Filter
Typ 1:
fur die Stutzstellen der Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n](gerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M
2 t0)die Filterordnung M = N ist eine gerade ganze Zahl
fur G (f ) gilt damit G (f ) = Gg(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp
2 , wobei
Gg(f ) = g
[M
2
]+
M/2∑
n=1
2g
[n +
M
2
]cos(2πfnt0)
0 5 10−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
n
g[n
]
−0.5 0 0.5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f/fp
Gg(f
)
Anmerkung: Gg(f ) kanndurchaus biploar sein, alsoPhasensprunge ±π enthalten
⇒ man spricht von einerverallgemeinerten linearen Phase
entsprechendes gilt fur Gu(f )
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 186
7.1 Typen linearphasiger FIR-Filter
Typ 2:
fur die Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n](gerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M
2 t0)
M ist eine ungerade ganze Zahl
fur G (f ) gilt damit G (f ) = Gg(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp
2 , wobei
Gg(f ) =
(M+1)/2∑
n=1
2g
[n +
M − 1
2
]cos
(2πf
2n − 1
2t0
)
0 1 3 5 7 9 11−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
n
g[n
]
−0.5 0 0.5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f/fp
Gg(f
)
G (f ) verschwindetnotwendigerweise bei f = fp/2
wenig geeignet, wenn sich derDurchlass-Bereich bis fp/2erstrecken soll
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 187
7.1 Typen linearphasiger FIR-Filter
Typ 3:
fur die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n](ungerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M
2 t0)
M ist eine gerade ganze Zahl
fur G (f ) gilt damit G (f ) = jGu(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp
2 , wobei
Gu(f ) = −M/2∑
n=1
2g
[n +
M
2
]sin(2πfnt0)
0 5 10−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
g[n
]
−0.5 0 0.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f/fp
Gu(f
)
G (f ) verschwindet auch hiernotwendigerweise bei f = fp/2
im Beispiel wird der AnteilGu(f ) der Ubertragungsfunktioneines diskreten Hilbert-Transformators gezeigt
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 188
7.1 Typen linearphasiger FIR-Filter
Typ 4:
fur die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n](ungerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M
2 t0)
M ist eine ungerade ganze Zahl
fur G (f ) gilt damit G (f ) = jGu(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp
2 , wobei
Gu(f ) = −(M+1)/2∑
n=1
2g
[n +
M − 1
2
]sin
(2πf
2n − 1
2t0
)
0 1 3 5 7−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
g[n
]
−0.5 0 0.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f/fp
Gu(f
)
im Beispiel wird wieder derAnteil Gu(f ) der Ubertragungs-funktion eines diskreten Hilbert-Transformators gezeigt
Typ 4 ist hier gegenuber Typ 3vorzuziehen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 189
7.2 Amplitudengang bei verallgem. linearer Phase
wie erhalt man ein Typ 1, Typ 2, Typ 3 oder Typ 4 Filter?
Fensterfunktion: w [n], n = 0, 1, . . . ,M
vorausgesetzte Symmetrie: w [n] = w [M − n]
zugehoriges Spektrum: W (f ) = Wg(f ) · e−j2πft0M/2, |f | ≤ fp2
Wg(f ) ist eine gerade (Index ’g’) reelle Funktion
fur die zu approximierende ideale Ubertragungsfunktion Gi(f )gelte entweder
Gi(f ) = Gi(−f ) ⇒ Gi(f ) ist gerade und damit rein reell
oder
Gi(f ) = −Gi(−f ) ⇒ Gi(f ) ist ungerade und damit imaginar
fur |f | ≤ fp2 sei Gi(f ) = Gi(f ) · e−j2πft0M/2
gi(t) hat — bezogen auf den Zeitpunkt M2 t0 — entweder eine
gerade oder ungerade SymmetrieGi(f ) besitzt eine konstante Gruppenlaufzeit (|f | ≤ fp
2 )
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 190
7.2 Amplitudengang bei verallgem. linearer Phase
fur die Ubertragungsfunktion G (f ) des Filters folgt damit:
G (f ) = W (f )a∗ Gi(f ) =
1
fp
∫ fp/2
−fp/2Wg(ν)·Gi(f−ν)dν · e−j2πf M
2t0
aufgrund der vorausgesetzten Symmetrien von W (f ) undGi(f ) hat auch G (f ) eine konstante Gruppenlaufzeit
⇒ man erhalt ein FIR-Filter vom Typ 1, Typ 2, Typ 3 oder Typ 4
das Verhalten von G (f ) in der Umgebung einer Sprungsstellebei f = fc (hier: Ubergang vom Durchlass in den Sperrbereich,Typ 1 oder Typ 2 Filter) kann damit mit Hilfe des laufendenIntegrals
Gg(f ) ≈ 1− 1
fp
f−fc∫
−fp/2
Wg(ν)dν, wobei G (f ) = Gg(f )·e−j2πf M2t0
approximiert werden
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 191
7.2 Amplitudengang bei verallgem. linearer Phase
Zum Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen:
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 192
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Zeitverlaufe
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
w[n
]
M=48
Rechteck
Barlett
Hann
Hamming
Blackman
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 193
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Rechteck-Fenster, Spektrum
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0Rechteck−Fenster, M=48
f /fp
20·log10(W
(f)/W
(0))
dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 194
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Rechteck-Fenster, Verhalten an Sprungstelle
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10 |G
(f)|
dB
Rechteck−Fenster, M=48
δdB ≈ −21 dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 195
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Bartlett-Fenster, Spektrum
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0Bartlett−Fenster, M=48
f /fp
20·log10(W
(f)/W
(0))
dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 196
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Bartlett-Fenster, Verhalten an Sprungstelle
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10 |G
(f)|
dB
Bartlett−Fenster, M=48
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 197
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Vom Rechteck-Fenster zum Hann-Fenster (1)
mit Twin = M ·t0 gilt fur das Spektrum des Rechteckfensters
W (f ) ≈ M · si (πfTwin)︸ ︷︷ ︸Wg(f )
·e−j2πfTwin/2 |f | ≤ fp/2
die Breite der Hauptkeule betragt 2/Twin = 2/(M ·t0),normiert mit der Abtastfrequenz fp = 1/t0 also 2/Mdiese geringe Breite der Hauptkeule wird durch eine sehrgeringe Dampfung der Nebenkeulen erkauftdie Approximationsgute δ betragt nur 21 dB
die Nebenkeulendampfung lasst sich gezielt erhohen, wenn 2weitere si(·)-Funktionen spektral verschoben angeordnetwerden, vgl. folgende Abb.
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 198
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Vom Rechteck-Fenster zum Hann-Fenster (2)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Wg(f) (Hann)
Wg1
(f) (Rechteck)
Wg2
(f)
Wg3
(f)
f · Twin
Wg(f)/M
Wg(f ) = Wg1(f ) +Wg2(f ) +Wg3(f ), wobei Wg1(f ) ≈ M2· si (πfTwin)
Wg2(f ) ≈ M4· si
(
π(
f − 1Twin
)
Twin
)
Wg3(f ) ≈ M4· si
(
π(
f + 1Twin
)
Twin
)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 199
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Vom Rechteck-Fenster zum Hann-Fenster (3)
der Sprektralfunktion W (f ) = Wg(f ) · e−j2πfTwin/2,|f | ≤ fp/2, entspricht im Zeitbereich die Fensterfunktion
w [n] =
0.5− 0.5 · cos(2πn/M) 0 ≤ n ≤ M
0 sonst
⇒ Hann-Fenster
die relative Breite der Hauptkeule hat sich von 2/M auf 4/Merhoht
dafur betragt die Dampfung der ersten Nebenkeule statt13 dB nun 31,5 dB
die Approximationsgute erhoht sich von 21 dB auf etwa 44 dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 200
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Hann-Fenster, Spektrum
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10(
W(f
)/ W
(0)
) d
BHann−Fenster, M=48
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 201
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Hann-Fenster, Verhalten an Sprungstelle
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10 |G
(f)|
dB
Hann−Fenster, M=48
δdB ≈ −44 dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 202
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Hamming-Fenster, Spektrum
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10(
W(f
)/ W
(0)
) d
BHamming−Fenster, M=48
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 203
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Hamming-Fenster, Verhalten an Sprungstelle
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10 |G
(f)|
dB
Hamming−Fenster, M=48
δdB ≈ −54 dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 204
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Blackman-Fenster, Spektrum
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10(
W(f
)/ W
(0)
) d
BBlackman−Fenster, M=48
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 205
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Blackman-Fenster, Verhalten an Sprungstelle
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10 |G
(f)|
dB
Blackman−Fenster, M=48
δdB ≈ −75 dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 206
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Zusammenfassender Vergleich (1)
Rechteck-Fenster:
Fensterfunktion: w [n] =
1, 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst
Dampfung Nebenkeule: ≈ 13 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK
fp≈ 2/M
Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −21 dBrelative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f
fp≈ 0.9/M
Bartlett-Fenster:
Fensterfunktion:
w [n] =
2n/M , 0 ≤ n ≤ M/2,M gerade
2− 2n/M , M/2 < n ≤ M ,0, sonst
Dampfung Nebenkeule: ≈ 26.5 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK
fp≈ 4/M
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 207
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Zusammenfassender Vergleich (2)
Hann-Fenster:Fensterfunktion:
w [n] =
0.5− 0.5 · cos(2πn/M), 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst
Dampfung Nebenkeule: ≈ 31.5 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK
fp≈ 4/M
Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −44 dBrelative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f
fp≈ 3/M
Hamming-Fenster:Fensterfunktion:
w [n] =
0.54− 0.46 · cos(2πn/M), 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst
Dampfung Nebenkeule: ≈ 42.5 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK
fp≈ 4/M
Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −54 dBrelative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f
fp≈ 3.3/M
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 208
7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen
Zusammenfassender Vergleich (3)
Blackman-Fenster:
Fensterfunktion: w [n] =0.42− 0.5 · cos(2πn/M) + 0.08 · cos(4πn/M), 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst
Dampfung Nebenkeule: ≈ 58 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK
fp≈ 6/M
Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −75 dBrelative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f
fp≈ 5.5/M
⇒ bei Standardapproximationen (Tiefpass, Hochpass, etc.)richtet sich die Wahl des Fensters nach dem zulassigenApproximationsfehler
⇒ ein parametrisches Fenster, bei dem derApproximationsfehler einstellbar ist, ware vorteilhaft
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 209
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Fensterverlauf als Funktion von β
0 10 20 30 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kaiser−Fenster, M=48
n
w[n
]
β=0
β=3
β=6
β=9
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 210
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Fouriertransformierte als Funktion von β
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10(
W(f
)/ W
(0)
) d
BKaiser−Fenster, M=48
β=0
β=3
β=6
β=9
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 211
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Verhalten an spektraler Sprungstelle
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f/fp
20⋅ l
og
10 |G
(f)|
dB
Kaiser−Fenster, M=48
β=0
β=3
β=6
β=9
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 212
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Approximationsfehler und Breite Ubergangsbereich
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 213
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Approximationsfehler und Breite Ubergangsbereich
Parameter β in Abhangigkeit des Approximationsfehlers:
a0 = −20 log10(δ) dB
β =
0.1102(a0 − 8.7) a0 > 500.5842(a0 − 21)0.4 + 0.07886(a0 − 21) 21 ≤ a0 ≤ 500 a0 < 21
notwendige Fensterbreite (M + 1) in Abhangigkeit von β und
der spektralen Breite ∆f des Ubergangsbereichs:
M + 1 =⌈
a0−8
2.285·2π·∆f
⌉,
wobei ∆f eine mit fp normierte Breite ist
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 214
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (1)
Zielparameter:
konstante GruppenlaufzeitMinimaldampfung im Sperrbereich: amin = 60 dBEckfrequenz Durchlassbereich: fD = fD/fp = 0.2
Eckfrequenz Sperrbereich: fS = fS/fp = 0.3
abgeleitete Entwurfsparameter:
Grenzfrequenz fc des zu approximierenden idealenTiefpass-Filters: fc = 0.25(folgt aus der Symmetrie der Filterflanke, siehe Seite 213)Breite Ubergangsbereich: ∆f = 0.1 (Approximationsfehler von0.001 im Durchlassbereich wird erkauft)β = 0.1102(a0 − 8.7) = 5.653Filterordnung: ⌈(a0 − 8)/(2.285 · 2π · 0.1)⌉ − 1 = 36
Impulsantwort: g [n] = 2fcsi(π2fc(n −M/2))︸ ︷︷ ︸gi[n]
·w [n], 0 ≤ n ≤ 36
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 215
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (2)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
f⋅t0
20⋅ l
og
10(
G(f
) )
dB
M=36, β=5.653, fD
=0.2, fS=0.3, f
c=0.25, a
min=a
0=60 dB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 216
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (3)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1x 10
−3
f⋅t0
Ap
pro
xim
atio
nsfe
hle
r g
gb
. id
ea
lem
TP
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 217
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (1)
Zielparameter:
konstante GruppenlaufzeitMinimaldampfung im Sperrbereich: amin = 60 dBEckfrequenz Durchlassbereich: fD = fD/fp = 0.3
Eckfrequenz Sperrbereich: fS = fS/fp = 0.2
abgeleitete Entwurfsparameter:
fur die Impulsantwort des Hochpassfilters gilt:
g [n] =(si(π(n −M/2))− 2fcsi(π2fc(n −M/2))
)
︸ ︷︷ ︸gi[n]
·w [n], 0 ≤ n ≤ M ,
wobei der Subtrahend mit der Impulsantwort des aquivalentenTiefpass-Filters korrespondiertfur ein gerades M “entartet” si(π(n −M/2) zu δ(n −M/2)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 218
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (2)
abgeleitete Entwurfsparameter (Fortsetzung):
fur den aquivalenten Tiefpass ergeben sich die Parameter ausdem vorherigen Beispiel, also β = 5.653 und M = 36;allerdings wird der zulassige Approximationsfehler bei diesenParametern im Sperrbereich uberschritten; dieser Effekt istauch aus der Abb. auf Seite 216 ersichtlicheine Erhohung von β = 5.653 auf β = 5.8 sichert diegeforderte Approximationsgute (Minimaldampfung) imSperrbereich, allerdings muss auch M erhoht werdenbei M = 37 (ungerade Zahl) handelt es sich um ein FIR-Filtervom Typ 2, das immer eine Nullstelle bei z = −1 aufweist;dieser Sachverhalt ist fur die Approximationsgute imDurchlassbereich eines Hochpass-Filters ungunstig (unendlicheDampfung bei f = fp/2)eine Erhohung auf M = 38 (FIR-Filter Typ 1) bringt diegewunschte Approximationsgute
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 219
7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters
Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (3)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
M=37, β=5.652
M=38, β=5.8
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 220
7.6 Dezimations- und Interpolationsfilter
Dezimationsfilter, Direktform 2
Beispiel: Filterordnung M = 8, Dezimationsfaktor L = 3
falls sich alle (M +1) Filterkoeffizienten unterscheiden, werdenpro Ausgangstakt L · (M + 1) Multiplikationen benotigt⇒ sehr ineffektiv
3x
z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1x [n]
g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8
∑
w [n]
y [n] = w [0],w [3],w [6], . . .
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 221
7.6 Dezimations- und Interpolationsfilter
Dezimationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (1)
Beispiel wie zuvor, Downsampling nach der Filterung
immer noch L · (M + 1) Multiplikationen pro Ausgangstakt
3x
z−1
z−1
z−3
z−3
z−3
z−6
z−6
z−6
E0(z3) E1(z3) E2(z
3)
x [n]
g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8
∑∑∑
∑
y [n]
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 222
7.6 Dezimations- und Interpolationsfilter
Dezimationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (2)
Beispiel wie zuvor, Downsampling vor der Filterung
nur noch (M + 1) Multiplikationen pro Ausgangstakt
3x3x 3x
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−2
z−2
z−2
. . . , x[0], x[3], . . . . . . , x[−1], x[2], . . . . . . , x[−2], x[1], . . .
E0(z) E1(z) E2(z)
x [n]
g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8
∑
∑∑∑
y [n]
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 223
7.6 Dezimations- und Interpolationsfilter
Interpolationsfilter, Direktform 2
Beispiel: Filterordnung M = 8, Interpolationsfaktor L = 3
falls sich alle (M + 1) Filterkoeffizienten unterscheiden,werden pro Eingangstakt L · (M +1) Multiplikationen benotigt⇒ sehr ineffektiv
3x
z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1
x [n]
g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8
∑
w [n] = x [0],0, 0, x [1], 0, 0, x [2],0, 0, . . .
y [n]
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 224
7.6 Dezimations- und Interpolationsfilter
Interpolationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (1)
Beispiel wie zuvor, Upsampling vor der Filterung
immer noch L · (M + 1) Multiplikationen pro Eingangstakt
3x
z−1
z−1
w [n] = x [0],0, 0, x [1], 0, 0, x [2],0, 0, . . .
z−3
z−3
z−3
z−6
z−6
z−6
E0(z3) E1(z3) E2(z3)
x [n]
g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8
∑∑∑
∑ ∑
y [n]
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 225
7.6 Dezimations- und Interpolationsfilter
Interpolationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (2)
Beispiel wie zuvor, Upsampling nach der Filterung
nur noch (M + 1) Multiplikationen pro Eingangstakt
3x 3x 3x
z−1
z−1
z−1
z−1
z−1
z−2
z−2
z−2
E0(z) E1(z) E2(z)
x [n]
g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8
∑∑∑
∑ ∑
y [n]
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 226
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