Themen: Grundlagen Gleitpunktzahlen und Maschinengenauigkeitdobro/num1/f1.pdf · i ∈ {0,1,...,9},...

Grundlagen

GleitpunktarithmetikundRundungsfehlerEin Beispiel

Vektor- undMatrizennormenStabilität linearerGleichungssysteme

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die Cholesky-Zerlegung

Das Householder-Verfahren

WelchesVerfahren istvorzuziehen?

1 Grundlagen

Themen:

◮ Gleitpunktzahlen und Maschinengenauigkeit

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1 Grundlagen

Themen:

◮ Vektor- und Matrizennormen

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1 Grundlagen

Themen:

◮ Vektor- und Matrizennormen

◮ Stabilität linearer Gleichungssysteme

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.1 Gleitpunktarithmetik und Rundungsfehler

Eine Gleitpunktzahl, auch Gleitkommazahl genannt, imDezimalsystem ist von der Form

x = 0.d1d2 . . . dt×10k , di ∈ {0, 1, . . . , 9}, (= t gültige Stellen)

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

mitd1 6= 0 für x 6= 0 und − m ≤ k ≤ m.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

mitd1 6= 0 für x 6= 0 und − m ≤ k ≤ m.

Es gibt also nur endlich viele Gleitpunktzahlen!

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

mitd1 6= 0 für x 6= 0 und − m ≤ k ≤ m.

Es gibt also nur endlich viele Gleitpunktzahlen!

Setze m = ∞ voraus.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Maschinengenauigkeit

Es seiM = Menge der Gleitpunktzahlen.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die Maschinengenauigkeit eps ist die kleinste positive Zahl inM mit

1.+ eps > 1. == true.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.+ eps > 1. == true.

In die Maschinengenauigkeit geht ein:

◮ Zahl t der gültigen Stellen

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.+ eps > 1. == true.

◮ Art der Rundung (normales Auf- und Abrunden bzw.Abschneiden)

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.+ eps > 1. == true.

Beides hängt von der Programmiersprache und/oder demRechner ab.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.+ eps > 1. == true.

Beides hängt von der Programmiersprache und/oder demRechner ab.

Vorsicht: Das Rechenwerk arbeitet i.a. genauer.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Feststellung von eps

program

1 eps=0.99*eps

if(masch(1.+eps)==1) goto 1

write eps

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

program

1 eps=0.99*eps

write eps

Das aufgerufene Funktionsunterprogramm ist

function masch(q)

masch=0

if(q>1.) masch=1

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

program

1 eps=0.99*eps

write eps

Das aufgerufene Funktionsunterprogramm ist

function masch(q)

masch=0

if(q>1.) masch=1

Durch den Aufruf von masch muss 1.+q das Rechenwerkverlassen.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Resultate für den fortran90 ifort-Compiler

Bytelänge eps

4 0.6 · 10−7

8 1.0 · 10−16

16 1.0 · 10−34

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Bytelänge eps

4 0.6 · 10−7

8 1.0 · 10−16

16 1.0 · 10−34

Diese Werte stimmen genau mit der üblichen Belegung derSpeicherplätze überein, wonach ein Byte für den Exponentenund die übrigen Bytes für die Mantisse verwendet wird.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Bytelänge eps

4 0.6 · 10−7

8 1.0 · 10−16

16 1.0 · 10−34

Diese Werte stimmen genau mit der üblichen Belegung derSpeicherplätze überein, wonach ein Byte für den Exponentenund die übrigen Bytes für die Mantisse verwendet wird.

Für die Numerik sollte man 8 Bytes verwenden, wasmanchmal als double precision bezeichnet wird.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Rundungsfehler

Es gibt eine Abbildung rd : R→ M mit

rd (x) = x(1 + ε) mit |ε| ≤ eps.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Rundungsfehler

Es gibt eine Abbildung rd : R→ M mit

rd (x) = x(1 + ε) mit |ε| ≤ eps.

Nach dem oben Gesagten sind Rundungsfehler relativeFehler, was in diesem Modell berücksichtigt wird.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Gleitpunktoperationen

Die Gleitpunktoperationen ◦∗ : M × M → M sind danndefiniert durch

x ±∗ y = rd (x ± y), x ·∗ y = rd (x · y), x/∗y = rd (x

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Gleitpunktoperationen

Die Gleitpunktoperationen ◦∗ : M × M → M sind danndefiniert durch

x ±∗ y = rd (x ± y), x ·∗ y = rd (x · y), x/∗y = rd (x

Im Einklang mit dem oben Angeführten wird alsoangenommen, dass in M exakt gerechnet und anschließendgerundet wird.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Eigenschaften der Gleitpunktoperationen

Die Gleitpunktoperationen sind weder assoziativ nochdistributiv.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel Wir betrachten die Addition +∗ bei t = 1 undnormaler Auf- und Abrundung:

(0.8 +∗ 0.6) +∗ 0.3 = 0.1 × 101

0.8 +∗ (0.6 +∗ 0.3) = 0.2 × 101

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel Wir betrachten die Addition +∗ bei t = 1 undnormaler Auf- und Abrundung:

(0.8 +∗ 0.6) +∗ 0.3 = 0.1 × 101

0.8 +∗ (0.6 +∗ 0.3) = 0.2 × 101

Rechenzeiten: Was ist schneller für eine Gleitpunktzahl a

0.5 ∗ a, a ∗ 0.5, a/2, a/2. ?

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Numerische Stabilität

Die Funktion f : Rn → R sei stetig differenzierbar. DieAuswertung von f heißt numerisch stabil, wenn es eineKonstante K gibt mit

f (x)− f (x +∆x)

∣≤ K

|∆x ||x |

für alle ∆x ∈ Rn mit ∆x genügend klein.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

f (x)− f (x +∆x)

∣≤ K

|∆x ||x |

|x | =√

x21+ . . .+ x2

n ist hier die euklidische Norm des

Vektors x (siehe später).

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

f (x)− f (x +∆x)

∣≤ K

|∆x ||x |

|x | =√

x21+ . . .+ x2

n ist hier die euklidische Norm des

Vektors x (siehe später).

In der Regel hängt die Konstante K auch von x selber ab.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Anschaulich bedeutet die numerische Stabilität, dass dieRundungsfehler bei der Auswertung von f nur kontrolliertverstärkt werden: Die Konditionszahl K sollte möglichst kleinsein.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Anschaulich bedeutet die numerische Stabilität, dass dieRundungsfehler bei der Auswertung von f nur kontrolliertverstärkt werden: Die Konditionszahl K sollte möglichst kleinsein.

Da Rundungsfehler relative Fehler sind, müssen auch in derDefiniton der numerischen Stabilität relative Fehler stehen.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel

Für die Addition f (x1, x2) = x1 + x2 erhalten wir

f (x)− f (x +∆x)

∆x1 +∆x2

x1 + x2

∣≤ ?

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel

f (x)− f (x +∆x)

∆x1 +∆x2

x1 + x2

∣≤ ?

Es gilt

|∆x1 +∆x2| ≤√

2(∆x2

1 +∆x2

2 )1/2 =

√2|∆x |

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel

f (x)− f (x +∆x)

∆x1 +∆x2

x1 + x2

∣≤ ?

Es gilt

|∆x1 +∆x2| ≤√

2(∆x2

1 +∆x2

2 )1/2 =

√2|∆x |

und(x2

1 + x2

2 )1/2 ≤ |x1|+ |x2|,

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel

Falls x1, x2 > 0

f (x)− f (x +∆x)

∆x1 +∆x2

x1 + x2

∣≤

√2|∆x ||x | .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel

Falls x1, x2 > 0

f (x)− f (x +∆x)

∆x1 +∆x2

x1 + x2

∣≤

√2|∆x ||x | .

Die Addition zweier positiver Zahlen ist also numerisch stabilund die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen istinstabil.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel

Falls x1, x2 > 0

f (x)− f (x +∆x)

∆x1 +∆x2

x1 + x2

∣≤

√2|∆x ||x | .

Die Addition zweier positiver Zahlen ist also numerisch stabilund die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen istinstabil.

Auf die gleiche Weise leitet man her, dass Multiplikation undDivision numerisch stabile Operationen sind.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die Differenz als Bösewicht

Die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen istinstabil.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Vorkommen:

◮ Auswertung eines Polynoms in der Nähe einer Nullstelle

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Vorkommen:

◮ Auswertung eines Polynoms in der Nähe einer Nullstelle

◮ Bestimmung des Skalarprodukts zweier fast orthogonalerVektoren

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

◮ Akkumulation von Rundungsfehlern bei der Additionnichtnegativer Zahlen verläuft linear in der Anzahl derSummanden

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

◮ Sie kann durch die Verwendung einer höherenGenauigkeit ausgeglichen werden

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

◮ Sie kann durch die Verwendung einer höherenGenauigkeit ausgeglichen werden

Dagegen: Numerische Instabilität aufgrund Auslöschung kannnur durch modifizierte Algorithmen behoben werden.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.2 Ein Beispiel

Für die reellen Zahlen p, q > 0 mit p >> q > 0 soll derAusdruck

y = −p +√

p2 + q

in Gleitkommaarithmetik näherungsweise bestimmt werden.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.2 Ein Beispiel

Für die reellen Zahlen p, q > 0 mit p >> q > 0 soll derAusdruck

y = −p +√

p2 + q

in Gleitkommaarithmetik näherungsweise bestimmt werden.

y ist die kleinere der beiden Nullstellen von

y2 + 2py − q = 0.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Algorithmus 1

Das Standardverfahren zur Bestimmung von y ist sicherlichdie direkte Auswertung der obigen Formel

t = p2 + q

u =√

y = −p + u

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Algorithmus 1

Das Standardverfahren zur Bestimmung von y ist sicherlichdie direkte Auswertung der obigen Formel

t = p2 + q

u =√

y = −p + u

Unter der Voraussetzung p >> q > 0 ist p ∼ u, derAlgorithmus daher instabil.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Algorithmus 2

t = p2 + q

u =√

v = p + u

y = q/v

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Algorithmus 2

t = p2 + q

u =√

v = p + u

y = q/v

Liefert das gleiche wegen

p +√

p2 + q

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Algorithmus 2

t = p2 + q

u =√

v = p + u

y = q/v

Liefert das gleiche wegen

p +√

p2 + q=

p +√

p2 + q· p −

p2 + q

p −√

p2 + q

=q(p −

p2 + q)

p2 − (p2 + q)= −p +

p2 + q

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Algorithmus 2 ist numerisch stabil

In v = p + u haben wir nun zwei positive Zahlen addiert.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die Auswertung der Wurzel ist ebenfalls numerisch stabil.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die Auswertung der Wurzel ist ebenfalls numerisch stabil.

In der Tat erhalten wir bei zwölfstelliger Rechnung für

p = 1000, q = 0.018 000 000 081

die Ergebnisse

Alg. 1 : 0.900 030 . . .× 10−5

Alg. 2 : 0.899 999 999 999 999 × 10−5,

der exakte Wert ist 0.9 × 10−5.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.3 Vektor- und Matrizennormen

Sei X ein nicht notwendig endlich dimensionaler linearerVektorraum über K = R oder K = C.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Eine Abbildung ‖ · ‖ : X → R heißt Norm, wenn sie denfolgenden Bedingungen genügt:

(i) ‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

(i) ‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

(ii) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ für alle α ∈ K und x ∈ X .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

(i) ‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

(ii) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ für alle α ∈ K und x ∈ X .

(iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Diskussion der Norm

Anschaulich können wir uns vorstellen, dass die Norm von xdie Länge des Vektors x angibt oder, falls wir x als Punktansehen, die Entfernung dieses Punktes zum Nullpunkt. Indieser Interpretation sind alle Axiome sinnvoll:

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Diskussion der Norm

‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

Abstände sind positiv, sofern es sich nicht um den Nullvektorhandelt.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Diskussion der Norm

‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

‖αx‖ = |α| ‖x‖ für alle α ∈ K und x ∈ X .

Die Länge eines Vielfachen ist das Vielfache der Länge.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Diskussion der Norm

‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

‖αx‖ = |α| ‖x‖ für alle α ∈ K und x ∈ X .

Die Länge eines Vielfachen ist das Vielfache der Länge.

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Skalarprodukt und euklidische Norm

Für x , y ∈ Cn ist das Skalarprodukt definiert durch

(x , y) =n

xjy j .

Die euklidische Norm ist für Vektoren x ∈ Cn (oder x ∈ Rn)definiert durch

|x | =(

|xj |2)1/2

= (x , x)1/2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Euklidische Norm

|x | =(

|xj |2)1/2

= (x , x)1/2.

Aufgrund des Satzes von Pythagoras handelt es sich hierbeiin der Tat um die Entfernung des Punktes x zum Nullpunkt.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Euklidische Norm

|x | =(

|xj |2)1/2

= (x , x)1/2.

Aufgrund des Satzes von Pythagoras handelt es sich hierbeiin der Tat um die Entfernung des Punktes x zum Nullpunkt.

Die Normaxiome (i) und (ii) sind klar, für dieDreiecksungleichung benötigen wir ein Hilfsmittel:

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die Cauchy-Ungleichung

Lemma Für x , y ∈ Cn gilt

|(x , y)| ≤ |x | |y |.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die Cauchy-Ungleichung

Lemma Für x , y ∈ Cn gilt

|(x , y)| ≤ |x | |y |.

Beweis Für a, b ≥ 0 gilt die Youngsche Ungleichung

ab ≤ 1

die man aus der binomischen Formel beweist.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis der Cauchy-Ungleichung

Mit der Youngschen Ungleichung erhalten wir

|(x , y)| =∣

∣≤

2|xj |2 +

2|yj |2

2|x |2 + 1

2|y |2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

|(x , y)| =∣

∣≤

2|xj |2 +

2|yj |2

2|x |2 + 1

2|y |2.

Für |x | = |y | = 1 ist die Ungleichung damit bewiesen.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

|(x , y)| =∣

∣≤

2|xj |2 +

2|yj |2

2|x |2 + 1

2|y |2.

Für x , y 6= 0 schreibe wieder

x = αx , y = βy mit |x | = |y | = 1

und erhalte die Cauchy-Ungleichung.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

|(x , y)| =∣

∣≤

2|xj |2 +

2|yj |2

2|x |2 + 1

2|y |2.

Für x , y 6= 0 schreibe wieder

x = αx , y = βy mit |x | = |y | = 1

und erhalte die Cauchy-Ungleichung.

Beachte das Homogenitätsargument!

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Nun zum Beweis der Dreicksungleichung für die EuklidischeNorm:

|x + y |2 = (x + y , x + y) = |x |2 + 2(x , y) + |y |2

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Nun zum Beweis der Dreicksungleichung für die EuklidischeNorm:

|x + y |2 = (x + y , x + y) = |x |2 + 2(x , y) + |y |2

≤ |x |2 + 2|x | |y |+ |y |2 = (|x |+ |y |)2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Frobenius-Norm

Für die euklidische Matrixnorm, auch Frobenius-Normgenannt, schreiben wir entsprechend

|A| =(

|ajk |2)1/2

, A ∈ Cm×n oder A ∈ Rm×n.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Transponierte und adjungierte Matrix

Für Matrizen A ∈ Cm×n, A = (ajk)j=1,...,m, k=1,...,n setze

AT = (akj)k=1,...,n, j=1,...,m = transponierte Matrix

AH = (akj)k=1,...,n, j=1,...,m = adjungierte Matrix

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Transponierte und adjungierte Matrix

Für Matrizen A ∈ Cm×n, A = (ajk)j=1,...,m, k=1,...,n setze

AT = (akj)k=1,...,n, j=1,...,m = transponierte Matrix

AH = (akj)k=1,...,n, j=1,...,m = adjungierte Matrix

Beispiel

1 1 + 2i1 + 3i 2

1 1 + 3i1 + 2i 2

, AH =

1 1 − 3i1 − 2i 2

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Notation

Ist A ∈ Cn×n regulär, so gilt

(AH)−1 = (A−1)H .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Notation

(AH)−1 = (A−1)H .

Aus AA−1 = I folgt, dass

(A−1)HAH = IH = I .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Notation

(AH)−1 = (A−1)H .

Aus AA−1 = I folgt, dass

(A−1)HAH = IH = I .

Damit ist die Inverse von AH gerade die Matrix (A−1)H .Diese Beziehung rechtfertigt die Schreibweise

A−H = (A−1)H sowie A−T = (A−1)T .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Alternative Definition

Mit dem euklidischen Skalarprodukt (·, ·) gilt

(Ax , y) = (x ,AT y) ∀x , y ∈ Cn, A reell

(Ax , y) = (x ,AHy) ∀x , y ∈ Cn.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Alternative Definition

Mit dem euklidischen Skalarprodukt (·, ·) gilt

(Ax , y) = (x ,AT y) ∀x , y ∈ Cn, A reell

(Ax , y) = (x ,AHy) ∀x , y ∈ Cn.

Rechenregeln:

(AB)H = BHAH , insbesondere (AHA)H = AHA.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Skalarprodukt

Vektoren werden auch als Spaltenmatrizen aufgefasst, daher:

yHxZeile mal Spalte

y jxj = (x , y).

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Symmetrische und hermitesche Matrizen

A ∈ Rn×n heißt symmetrisch, wenn A = AT .

A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn A = AH .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Symmetrische und hermitesche Matrizen

A ∈ Rn×n heißt symmetrisch, wenn A = AT .

A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn A = AH .

Bei hermiteschen Matrizen ist die zugehörige quadratischeForm reellwertig

q(x) := (Ax , x) = (x ,AHx) = (x ,Ax) = (Ax , x) ⇒ q(x) ∈ R.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Äquivalenz der Normen im Endlichdimensionalen

Satz Auf endlich dimensionalen Räumen sind alle Normenäquivalent, d.h. zu zwei Normen ‖ · ‖1 und ‖ · ‖2 auf einemendlich dimensionalen Raum V gibt es Konstanten m,M > 0mit

m‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ M‖x‖2 für alle x ∈ V .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

m‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ M‖x‖2 für alle x ∈ V .

Anwendung In der numerischen Mathematik werden eineVielzahl von Matrixnormen verwendet, die demnach alleäquivalent sind.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

m‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ M‖x‖2 für alle x ∈ V .

Anwendung In der numerischen Mathematik werden eineVielzahl von Matrixnormen verwendet, die demnach alleäquivalent sind.

Aber die Konstanten c1, c2 hängen in der Regel von derRaumdimension ab.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Inverse Dreiecksungleichung

Lemma Für jede Norm gilt die inverse Dreiecksungleichung

‖x − y‖ ≥∣

∣ ‖x‖ − ‖y‖∣

∣ für alle x , y ∈ V .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

‖x − y‖ ≥∣

∣ ‖x‖ − ‖y‖∣

Beweis Mit der normalen Dreiecksungleichung folgt

‖x‖ = ‖(x − y) + y‖ ≤ ‖x − y‖+ ‖y‖,

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

‖x − y‖ ≥∣

∣ ‖x‖ − ‖y‖∣

Beweis Mit der normalen Dreiecksungleichung folgt

‖x‖ = ‖(x − y) + y‖ ≤ ‖x − y‖+ ‖y‖,

also‖x − y‖ ≥ ‖x‖ − ‖y‖.

Vertauschen wir hier die Rollen von x und y , so ist dasLemma bewiesen.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis des letzten Satzes

Es genügt, den Fall V = Cn (oder V = Rn) zu betrachten.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Jede Norm ‖ · ‖ : Cn → R, x 7→ ‖x‖ ist stetig, denn wennxk → x , so folgt aus dem letzten Lemma

∣ ‖xk‖ − ‖x‖∣

∣ ≤ ‖xk − x‖ → 0.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Jede Norm ‖ · ‖ : Cn → R, x 7→ ‖x‖ ist stetig, denn wennxk → x , so folgt aus dem letzten Lemma

∣ ‖xk‖ − ‖x‖∣

∣ ≤ ‖xk − x‖ → 0.

Die Einheitssphäre

S = {x ∈ Cn : |x | = 1}

ist kompakt.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Da die Normen ‖ · ‖j stetig sind, nehmen sie ihr Minimumund Maximum auf S an, also

mj ≤ ‖x‖j ≤ Mj für alle x mit |x | = 1.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Da die Normen ‖ · ‖j stetig sind, nehmen sie ihr Minimumund Maximum auf S an, also

mj ≤ ‖x‖j ≤ Mj für alle x mit |x | = 1.

Wegen 0 /∈ S , sind die mj > 0. Mit x = αx , |x | = 1, folgthieraus

mj |x | ≤ ‖x‖j ≤ Mj |x | ∀x ∈ Cn.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Nutzen der Homogenität

Die Ungleichungen

mj |x | ≤ ‖x‖j ≤ Mj |x | ∀x ∈ Cn.

sind homogen in x , d.h. sind sie für ein x erfüllt, so auch füralle αx mit α ∈ C.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Nutzen der Homogenität

Die Ungleichungen

mj |x | ≤ ‖x‖j ≤ Mj |x | ∀x ∈ Cn.

sind homogen in x , d.h. sind sie für ein x erfüllt, so auch füralle αx mit α ∈ C.

Es genügt also, die Ungleichung für alle x mit |x | = 1 zubeweisen (=Homogenitätsargument).

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die p-Normen

Die p-Normen auf Cn (oder Rn) sind definiert durch

‖x‖p =(

|xj |p)1/p

, 1 ≤ p < ∞,

‖x‖∞ = max1≤j≤n

|xj |.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die p-Normen

Die p-Normen auf Cn (oder Rn) sind definiert durch

‖x‖p =(

|xj |p)1/p

, 1 ≤ p < ∞,

‖x‖∞ = max1≤j≤n

|xj |.

Für die Numerik wichtig sind die Normen

‖x‖1 =∑

|xj |, ‖x‖2 = |x |, ‖x‖∞ = max(|x1|, . . . , |xn|).

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Die induzierte Matrixnorm

Sei ‖ · ‖1 eine Norm auf dem Cn und ‖ · ‖2 eine Norm aufdem Cm.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Der Ausdruck

‖A‖1→2 = supx∈Cn\{0}

‖Ax‖2

‖x‖1

, A ∈ Cm×n,

ist eine Norm auf dem Matrizenraum Cm×n.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Der Ausdruck

‖A‖1→2 = supx∈Cn\{0}

‖Ax‖2

‖x‖1

, A ∈ Cm×n,

‖A‖1→2 heißt (von ‖ · ‖1‖ und ‖ · ‖2) induzierte Matrixnorm.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Der Ausdruck

‖A‖1→2 = supx∈Cn\{0}

‖Ax‖2

‖x‖1

, A ∈ Cm×n,

‖A‖1→2 heißt (von ‖ · ‖1‖ und ‖ · ‖2) induzierte Matrixnorm.

Die induzierte Matrixnorm auf dem Rm×n ist analog definiert.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Zwei wichtige Tatsachen

Offenbar gilt

‖A‖1→2 = supx∈Cn\{0}

‖Ax‖2

‖x‖1

= sup‖x‖1=1

‖Ax‖2.

Homogenitätsargument!

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Offenbar gilt

‖A‖1→2 = supx∈Cn\{0}

‖Ax‖2

‖x‖1

= sup‖x‖1=1

‖Ax‖2.

Die Menge {x : ‖x‖1 = 1} ist kompakt, so dass die stetigeFunktion x 7→ ‖Ax‖2 das Maximum annimmt.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Offenbar gilt

‖A‖1→2 = supx∈Cn\{0}

‖Ax‖2

‖x‖1

= sup‖x‖1=1

‖Ax‖2.

Die Menge {x : ‖x‖1 = 1} ist kompakt, so dass die stetigeFunktion x 7→ ‖Ax‖2 das Maximum annimmt.

Wir können daher auch gleich

‖A‖1→2 = maxx∈Cn\{0}

‖Ax‖2

‖x‖1

schreiben.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis der Normeigenschaft

Aufgrund der letzten Darstellung existiert ‖A‖1→2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

‖A‖1→2 = 0 gilt genau dann, wenn Ax = 0 für alle x , alsoA = 0.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

‖A‖1→2 = 0 gilt genau dann, wenn Ax = 0 für alle x , alsoA = 0.

Die positive Homogenität folgt aus der positivenHomogenität von ‖ · ‖2

‖αA‖1→2 = sup‖x‖1=1

‖αAx‖2 = |α| sup‖x‖1=1

‖Ax‖2 = |α| ‖A‖1→2,

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis der Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung folgt analog aus derDreiecksungleichung für ‖‖2

‖A + B‖1→2 = sup‖x‖1=1

‖Ax + Bx‖2

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis der Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung folgt analog aus derDreiecksungleichung für ‖‖2

‖A + B‖1→2 = sup‖x‖1=1

‖Ax + Bx‖2

≤ sup‖x‖1=1

‖Ax‖2 + sup‖x‖1=1

‖Bx‖2

= ‖A‖1→2 + ‖B‖1→2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Verträglichkeit

Sei ‖ · ‖M eine Matrixnorm auf Cn×n und ‖ · ‖V eineVektornorm auf Cn.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Verträglichkeit

Sei ‖ · ‖M eine Matrixnorm auf Cn×n und ‖ · ‖V eineVektornorm auf Cn.

‖ · ‖M heißt verträglich mit ‖ · ‖V , wenn

‖Ax‖V ≤ ‖A‖M‖x‖V ∀A ∈ Cn×n ∀x ∈ Cn.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 1

Euklidische Normen sind verträglich,

|Ax | ≤ |A| |x |

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 1

|Ax | ≤ |A| |x |

was man mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung beweist,

|Ax |2 =∑

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 1

|Ax | ≤ |A| |x |

was man mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung beweist,

|Ax |2 =∑

≤∑

|ajk |2 ×∑

|xk |2)

|ajk |2∑

|xk |2 = |Ax |2|x |2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 2

Die von einer Vektornorm ‖ · ‖V induzierte Matrixnorm‖ · ‖V→V ist mit dieser Vektornorm verträglich

‖Ax‖V ≤ ‖A‖V→V ‖x‖V .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 2

Die von einer Vektornorm ‖ · ‖V induzierte Matrixnorm‖ · ‖V→V ist mit dieser Vektornorm verträglich

‖Ax‖V ≤ ‖A‖V→V ‖x‖V .

Dies folgt aus der Definition der induzierten Norm: ‖A‖V→V

ist nämlich die kleinste Konstante c, so dass

‖Ax‖V ≤ c‖x‖V

für alle x richtig ist.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Submultiplikativität

Sei ‖ · ‖M eine Matrixnorm auf Cn×n.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Submultiplikativität

Sei ‖ · ‖M eine Matrixnorm auf Cn×n.

‖ · ‖M heißt submultiplikativ, wenn

‖AB‖M ≤ ‖A‖M‖B‖M ∀A,B ∈ Cn×n.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 1

Euklidische Normen sind submultiplikativ

|AB| ≤ |A| |B |

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 1

|AB| ≤ |A| |B |

|AB|2 =∑

ajkbkl

≤∑

|ajk |2 ×∑

|bkl |2))

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 1

|AB| ≤ |A| |B |

|AB|2 =∑

ajkbkl

≤∑

|ajk |2 ×∑

|bkl |2))

= |A|2|B |2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 2

Die von einer Vektornorm ‖ · ‖V induzierte Matrixnorm‖ · ‖V→V ist auch submultiplikativ wegen der Verträglichkeit

‖AB‖V→V = sup‖x‖V=1

‖ABx‖V ≤ sup‖x‖V=1

‖A‖V→V ‖Bx‖V

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beispiel 2

Die von einer Vektornorm ‖ · ‖V induzierte Matrixnorm‖ · ‖V→V ist auch submultiplikativ wegen der Verträglichkeit

‖AB‖V→V = sup‖x‖V=1

‖ABx‖V ≤ sup‖x‖V=1

‖A‖V→V ‖Bx‖V

≤ sup‖x‖V=1

‖A‖V→V ‖B‖V→V ‖x‖V

= ‖A‖V→V ‖B‖V→V

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Notation

Sei A ∈ Cm×n. Wenn nichts anderes gesagt wird, ist

‖A‖ = supx 6=0

|Ax ||x | .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Notation

Sei A ∈ Cm×n. Wenn nichts anderes gesagt wird, ist

‖A‖ = supx 6=0

|Ax ||x | .

d.h. ‖ · ‖ ohne irgendwelche Indizes ist immer die von deneuklidischen Normen induzierte Matrixnorm.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Charakterisierung von ‖ · ‖

Lemma Für A ∈ Cn×n gilt

‖A‖ = ρ(AAH)1/2 = ρ(AHA)1/2,

wobei ρ(B) den betragsmäßig größten Eigenwert von Bbezeichnet.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Charakterisierung von ‖ · ‖

Lemma Für A ∈ Cn×n gilt

‖A‖ = ρ(AAH)1/2 = ρ(AHA)1/2,

wobei ρ(B) den betragsmäßig größten Eigenwert von Bbezeichnet.

Ist A ∈ Cn×n hermitesch, so gilt

‖A‖ = ρ(A).

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

Es gilt

‖A‖2 = supx 6=0

(Ax ,Ax)

(x , x)= sup

(AHAx , x)

(x , x).

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

Es gilt

‖A‖2 = supx 6=0

(Ax ,Ax)

(x , x)= sup

(AHAx , x)

(x , x).

Wegen (AHA)H = AHA ist AHA hermitesch und wegen

(AHAx , x) = (Ax ,Ax) = |Ax |2 ≥ 0

ist AHA positiv semidefinit.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

Es gilt

‖A‖2 = supx 6=0

(Ax ,Ax)

(x , x)= sup

(AHAx , x)

(x , x).

Wegen (AHA)H = AHA ist AHA hermitesch und wegen

(AHAx , x) = (Ax ,Ax) = |Ax |2 ≥ 0

ist AHA positiv semidefinit.

Sie besitzt daher einen vollständigen Satz von Eigenvektorenv1, . . . , vn mit

AHAvj = λjvj und λj nichtnegativ.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

‖A‖2 = supx 6=0

(AHAx , x)

(x , x).

setzen wir x =∑

j cjvj ein und erhalten wegen derOrthogonalität der vj

‖A‖2 = supc 6=0

(AHA∑

j cjvj ,∑

j cjvj)

j cjvj ,∑

j cjvj)= sup

j λj |cj |2∑

j |cj |2.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

‖A‖2 = supx 6=0

(AHAx , x)

(x , x).

setzen wir x =∑

j cjvj ein und erhalten wegen derOrthogonalität der vj

‖A‖2 = supc 6=0

(AHA∑

j cjvj ,∑

j cjvj)

j cjvj ,∑

j cjvj)= sup

j λj |cj |2∑

j |cj |2.

Dieses Optimierungsproblem wird natürlich durch cn = 1,cj = 0 für 1 ≤ j ≤ n − 1 gelöst, wenn λn der größteEigenwert von AHA ist.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

Ist A hermitesch, so erhalten wir die Eigenwerte undEigenvektoren von AHA = A2 aus den Eigenwerten undEigenvektoren von A:

Av = λv ⇒ AHAv = A2v = λ2v .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Weitere Beispiele von Matrizennormen

Auf dem Cm×n sind

(i) ‖A‖Z = maxj

∑nk=1

|ajk | (=Zeilensummennorm),

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Auf dem Cm×n sind

(i) ‖A‖Z = maxj

∑nk=1

(ii) ‖A‖S = maxk

∑mj=1

|ajk | (=Spaltensummennorm),

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Auf dem Cm×n sind

(i) ‖A‖Z = maxj

∑nk=1

∑mj=1

(iii) ‖A‖∞ = maxj ,k |ajk |.ebenfalls Matrizennormen.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Auf dem Cm×n sind

(i) ‖A‖Z = maxj

∑nk=1

∑mj=1

(iii) ‖A‖∞ = maxj ,k |ajk |.ebenfalls Matrizennormen.

(i) und (ii) sind submultiplikativ.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

‖A‖∞

ist nicht submultiplikativ wegen

1 11 1

2 22 2

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

1.4 Stabilität linearer Gleichungssysteme

Sei A ∈ Cn×n (oder A ∈ Rn×n). Wir wollen das lineareGleichungssystem

Ax = b für b ∈ Cn

lösen.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

lösen.

Satz Sei A regulär. Dann gilt für die Lösung x +∆x desgestörten Problems

A(x +∆x) = b +∆b

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

lösen.

Satz Sei A regulär. Dann gilt für die Lösung x +∆x desgestörten Problems

A(x +∆x) = b +∆b

die Abschätzung

|∆x ||x | ≤ ‖A‖ ‖A−1‖|∆b|

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Konditionszahl

Die Zahlcond (A) = ‖A‖ ‖A−1‖

gibt die Verstärkung des relativen Fehlers bei ungenauerAuswertung der rechten Seite an und heißt deshalbKonditionszahl der Matrix A.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

Aus A∆x = ∆b folgt

∆x = A−1∆b ⇒ |∆x | ≤ ‖A−1‖ |∆b|.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Beweis

Aus A∆x = ∆b folgt

∆x = A−1∆b ⇒ |∆x | ≤ ‖A−1‖ |∆b|.

Aus Ax = b erhalten wir entsprechend die Abschätzung|b| ≤ ‖A‖ |x | und damit die Behauptung.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Anwendung

Bei iterativen Verfahren zur Lösung von Ax = b erhalten wirNäherungen x , aber kennen den Fehler |x − x | nicht. Wannsollen wir abbrechen?

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Anwendung

Bestimme das Residuums r = b − Ax = A(x − x).

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Anwendung

x ist dann die exakte Lösung von Ax = b − r und für denrelativen Fehler gilt dann

|x − x ||x | ≤ cond (A)

|r ||b| .

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

Anwendung

x ist dann die exakte Lösung von Ax = b − r und für denrelativen Fehler gilt dann

|x − x ||x | ≤ cond (A)

|r ||b| .

Mit x sind r und b bekannt, die Kondition von A mussallerdings geschätzt werden.

Grundlagen

Direkte Lösung

linearer Glei-

chungssysteme

Gauß Elimination

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