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Termine und Spielregeln:
Vorlesung:
• Montag 12-14 Uhr und Mittwoch 12-14 Uhr im Großen Hörsaal
Übungsgruppen:
• Montag 8-10 Uhr (1.3.48) Assistent: H. Al-Jibbouri Sprache: englisch
• Dienstag 14-16 Uhr (1.3.48) Assistent: J. Brüggemann Sprache: deutsch
• Dienstag 16-18 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Ghabour Sprache: englisch
• Mittwoch 8-10 Uhr (1.3.48) Assistent: J. Petersen Sprache: deutsch
• Mittwoch 14-16 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Wohlgemuth: Sprache: deutsch
• Mittwoch 14-16 Uhr (1.4.03) Assistent: P. Lisinetskaya: Sprache: englisch
• Mittwoch 16-18 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Saidan Sprache: englisch
• Donnerstag 8-10 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Hayn Sprache: deutsch
Es besteht Teilnahmepflicht an den Übungen!
Inhalt der Vorlesung:
Analytische Mechanik:
• Newtonsche Mechanik (Wiederholung)
• Lagrangesche Mechanik
• Das Hamiltonsche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung)
• Symmetrien und Erhaltungsgesetze
• Anwendungen der Lagransgeschen Mechanik:
- Zentralkraftbewegung, der Starre Körper, Schwingungen...
• Hamiltonsche Mechanik
• Kanonische Transformationen
• Hamilton-Jacobi-Theorie
Statistische Physik:• Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
• Brownsche Bewegung
• Ensembles, Boltzmann Verteilung, Entropie
• Ideales klassisches Gas
• Verbindung zur Thermodynamik
Lehrbücher
Analytische Mechanik:• Herbert Goldstein: „Klassische Mechanik“ (deutsch oder englisch)
• L. D. Landau, E. Lifshitz: „Lehrbuch der theoretischen Physik-Mechanik I“ (deutsch, englisch, russisch...)
• T. Fließbach: „Mechanik“
• F. Kuypers: „Klassische Mechanik“
• W. Nolting: „Klassische Mechanik“
• V. I. Arnold: „Mathematical Methods of Classical Mechanics“
• C. Lanczos: „The variational principles of mechanics“
Statistische Physik:• T. Fließbach: „Statistische Physik“
• H. B. Callen: „Thermodynamics and Introduction to Thermostatics“
• L. D. Landau, E. M. Lifshitz: „Lehrbuch der theoretischen Physik-Statistische Physik III“
Termine und Spielregeln:
Scheinkriterien:
• mindestens 50 % der Punkte in den Übungsaufgaben (Übungen sollen zu zweit abgegeben werden)
• Eine der beiden Klausuren muss mit mindestens 50 % bestanden werden
• Die Scheinnote basiert ausschliesslich auf der bestandenen Klausur
Warum schon wieder Mechanik?
Während der Schwerpunkt in der TP 1 an der Newtonschen Mechanik und deren Anwendungen lag, wollen wir uns in diesem Semester mit der formalen Struktur der Mechanik beschäftigen.
Es werden neue Formulierungen der Mechanik entwickelt, die:
1. eine viel einfachere und elegantere Lösung der komplexen Probleme der angewandten Mechanik ermöglichen
2. aber vor allem die Basis und Sprache der gesamten modernen Physik (von Elektrodyamik, über allgemeine Relativitätstheore, Quantenmechanik, bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik und Stringtheorie) darstellen!
Newtonsche Mechanik (Wiederholung)
Newton Axiom I:
• Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme) in denen sich jeder unbeeinflusster Körper unbeschleunigt bewegt
Newton Axiom II:
• Sämtlliche äusseren Einflüsse auf die Bewegung eines Körpers können in einem Kraftvektor zusammengefasst werden. Die Bewegung des Körpers wird in einem Inertialsystem durch folgende Differentialgleichung bestimmt:
Grundgleichung der Mechanik
O
ImpulsOrtsvektor
Geschwindigkeitsvektor
Bemerkung: Die Newtonschen Gesetze der Bewegung haben die einfachste Form im kartesischen Koordinatensystem! Wir wollen aber die Gesetze der Mechanik so formulieren, dass die Bewegunggleichungen Invariant auf die Transformation der Koordinaten sind!
Arbeit, konservative Kräfte und Potentiale
Die Arbeit einer Kraft F entlang einer Kurve C zwischen den Punkten 1 und 2 ist definiert durch
das Kurvenintegral:
parametrische Darstellung der Kurve C, mit z. B. der Zeit als Parameter
O1
2
C
Nach dem zweiten Newtonschen Axiom (für m konstant) gilt:
kinetische Energie:
Arbeit, konservative Kräfte und Potentiale
Eine Kraft heißt konservativ wenn die Arbeit entlang eines beliebigen Weges nur vom Anfangspunkt und Endpunkt und nicht vom Verlauf der Kurve zwischen den beiden Endpunkten abhängt
1
2
Die Arbeit ist genau dann vom Weg unabhängig, wenn ein skalares Feld V(r) existiert so dass;
C1
C2
C3
Das skalare Feld V(r) heißt Potential oder potentielle Energie
oder equivalent:
für jede geschlossene Kurve
Arbeit, konservative Kräfte und Potentiale
Eine Kraft ist genau dann konservativ, wenn ihre Rotation verschwindet:
Beispiel:
Wir betrachten das Vektorfeld:
Ist dieses Feld konservativ?
Wenn ja, wie sieht das Potential aus?
- 0.10 - 0.05 0.00 0.05 0.10
- 0.10
- 0.05
0.00
0.05
0.10
Arbeit, konservative Kräfte und Potentiale
Um zu bestimmen ob das Feld konservativ ist, berechnen wir die Rotation:
Arbeit, konservative Kräfte und Potentiale
Das heißt: Das Feld ist konservativ!
Wie sieht das Potential aus?
Wie suchen eine skalare Funktion V so dass:
- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
Ein nichtkonservatives Feld...
Ist das Feld:
konservativ?
nicht konservativ!
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Impulserhaltung:
Aus folgt für
Drehimpulserhaltung:
Wir definieren den Drehimpuls eines Teilchens als:
Aus dem 2. Newtonschen Gesetz folgt durch Vektormultiplikation mit :
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Beispiel: Bewegung im Zentralfeld
Zentralfeld:
Beispiele: Schwerkraft, Coulomb-Kraft...
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Beispiel: Bewegung im Zentralfeld
Bei der Bewegung in einem Zentralfeld bleibt der Drehimpuls einer Punktmasse konstant!
Die Bewegung erfolgt immer in einer Ebene! Im Speziellen Fall wenn L=0, sind r und p kolinear, das heisst die Bewegung erfolgt auf einer Gerade!
L
r
p
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Energieerhaltung:
Aus dem 2. Newtonschen Gesetz für eine Punktmasse ,die sich
in einem konservativen Feld mit dem Potential V(r) bewegt, folgt:
Skalarmultiplikation mit
Es gilt:
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Daher gilt:
Diese Größe, die wir Energie nennen bleibt bei der Bewegung in einem konservativen Feld
erhalten!
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Beispiel: Bewegung im Zentralfeld
Zentralfeld sind immer konservativ!
Das Potential eines Zentralfeldes ist:
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Wir müssen zeigen, dass:
Berechnen wir den Gradient des Potentials:
Das heisst, bei der Bewegung in einem Zentralfeld bleibt die Energie!
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Beispiel:
Eindimensionale Bewegung:
Wenn sich eine Punktmasse unter Einfluss einer stetigen Kraft F(x) bewegt, dann ist diese Kraft immer konservativ!
Das Potential ist:
Die Energieerhaltung (Das erste Integral der Bewegungsgleichung) kann benutzt werden um die Bewegungsgleichung durch Integration zu lösen:
Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)
Separation von Variablen:
Bewegung möglich nur in den Bereichen wo:
Beispiel: Anharmonische Oszillationen in 1D-Potentialtopf
Ein Teilchen mit der Masse m bewegt sich in einer Dimension unter Einflusse einer Kraft deren Potential die folgende Form hat:
Mit welcher Periode Oszilliert das Teilchen für E<0?
Lösungg:
Wir bestimmen zuerst die Grenzen in denen sich das Teilchen bewegt:
Beispiel: Anharmonische Oszillationen in 1D-Potentialtopf
•Das Teilchen kann sich nur im Intervall [xmin,xmax] bewegen
•Mit steigender Energie (aber E<0) wird der Bereich in dem das Teilchen Oszilliert größer
Beispiel: Anharmonische Oszillationen in 1D-Potentialtopf
Die Halbperiode der Oszillation ist:Variablensubstitution:
Integrationsgrenzen:
Standardintegral!
In unserem Fall gilt:
Beispiel: Anharmonische Oszillationen in 1D-Potentialtopf
Die Lösung des Integrals:
Die volle Periode der Oszillation ist damit:
Die Periode ist energieabhängig!
Beispiel: Anharmonische Oszillationen in 1D-Potentialtopf
Bemerkung:
Das Potential das wir gerade untersucht haben heisst Morse Potential und spielt eine große Rolle in der Molekülphysik
Beispiel: Rb2
Beispiel: Anharmonische Oszillationen in 1D-Potentialtopf
Bemerkung:
Das Potential das wir gerade untersucht haben heisst Morse Potential und spielt eine große Rolle in der Molekülphysik
Beispiel: Rb2
Mehrteilchensysteme
Wir betrachten die Bewegung eines Systems aus N Teilchen:
1
2
3
i
j
N
System
Fi1
Fi2Fij
Fiext
F1i
F2i
Fji
Die Kraft auf das i-te Teilchen besteht aus einem externen und einem Inneren Anteil zusammen:
Wir nehmen an, dass:Das dritte
Newtonsche Axiom
Mehrteilchensysteme
Was sind externe Kräfte Fiext ?
1
2
3
j
System
Fiext
Umgebung
1‘
F11‘
2‘
F12‘
3‘
F13‘
Externe Kräfte stammen von den Wechselwirkungen mit Teilchen ausserhalb des Systems!entsprechende Reaktionskräfte liegen
auch ausserhalb des Systems!
Mehrteilchensysteme
Bewegung eines N-Teilchen Systems:
(Wir summieren alle Bewegungsgleichungen)
Wir definieren:
Gesamtimpuls
Mehrteilchensysteme
Daraus folt der Impulssatz:
Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses ist gleich der Summe aller externen Kräfte!
Mit der Einführung des Schwerpunktes, kann der Impulssatz auch so formuliert werden:
Gesamtmasse:
Ortsvektor des Schwerpunktes:
Mehrteilchensysteme
Somit können wir den Impulssatz in folgender Form schreiben:
Der Schwerpunkt eines N-Teilchen Systems bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm konzentriert wäre und als ob alle äußeren
Kräfte in ihm wirken würden.
Wenn
In Abwesenheit der äußeren Kräfte bleibt der Gesamtimpuls konstant. Innere Kräfte können die Impulse einzelner Teilchen
verändern, aber nicht den Gesamtimpuls!
Im Abwesenheit der äußeren Kräfte bewegt sich der Schwerpunkt unbeschleunigt!
Übungsgruppen, Übungsblätter, Skript...
Stand der Anmeldungen:
• Montag 8-10 Uhr (1.3.48) M. Hayn(deutsch) Anmeldungen: 0
• Dienstag 14-16 Uhr (1.3.48) J. Brüggemann(deutsch) Anmeldungen: 0
• Dienstag 16-18 Uhr (1.3.48) M. Ghabour(englisch) Anmeldungen: 0
• Mittwoch 8-10 Uhr (1.3.48) J. Petersen(deutsch) Anmeldungen: 26
• Mittwoch 14-16 Uhr (1.3.48) M. Wohlgemuth(deutsch) Anmeldungen: 27
• Mittwoch 14-16 Uhr (1.4.03) P. Lisinetskaya(englisch) Anmeldungen: 27
• Mittwoch 16-18 Uhr (1.3.48) M. Saidan(englisch) Anmeldungen: 25
• Donnerstag 8-10 Uhr (1.3.48) Al-Jibbouri(englisch) Anmeldungen: 0
Übungsblätter:
http://userpage/physik/fu-berlin.de/~mitric
Vorlesungsskripte:
http://userpage/physik/fu-berlin.de/~mitric
Mehrteilchensysteme
Beispiel: Hantelbewegung im Gravitationsfeld
g
Der Schwerpunkt bewegt sich auf einer parabolischen Bahn, wie die Masse M=m1+m2 unter Einfluss der Schwerkraft:
Mehrteilchensysteme
Drehimpulssatz:
i
Fjij
rj
ri
rij =ri - rj
FijWenn Kräfte parallel zu dem Verbindungsvektor rij sind (Zentrale Kräfte) verschwindet der Beitrag der inneren Kräfte:
Kommentar: Die Tatsache, dass
nennt man manchmal starkes Gesetz von „actio et reactio“
Mehrteilchensysteme
Wenn wir die Koordinaten der Teilchen im Bezug auf das Koordinatensystem mit Ursprung im Schwerpunkt beziehen, gilt:
i
rj
ri R
ri‘
j
rj‘
Wenn der Schwerpunkt im Ursprung liegt
Mehrteilchensysteme
Bahndrehimpuls, der die Bewegung des Schwerpunktes beschreibt
Eigendrehimpuls, der die Bewegung der Teilchen um den Schwerpunkt beschreibt
Wie ändert sich der Eigendrehimpuls mit der Zeit?
Wegen
Mehrteilchensysteme
Energie eines N-Teilchen Systems:
Multiplizieren mit
und
Wir nehmen an, dass innere und äußere Kräfte
konservativ sind
Mehrteilchensysteme
Energie eines N-Teilchen Systems:
Der Term auf der linken Seite ist die zeitliche Ableitung der kinetischen Energie:
Durch Verwendung der Kettenregel kann der erste Term auf der rechten Seite auch direkt als eine Zeitliche Ableitung geschrieben werden:
Wenn wir den dritten Term auch in eine zeitliche Ableitung umformen können haben wir eine erhaltene Größe gefunden!
Mehrteilchensysteme
Energie eines N-Teilchen Systems:
Schauen wir uns die zeitliche Ableitung von an:
Wegen
Damit ist die zeitliche Ableitung von
Mehrteilchensysteme
Energie eines N-Teilchen Systems:
In der Gleichung:
kommen diese zeitliche Ableitungen nicht direkt vor...
Also, addieren wir uns subtrahieren das was fehlt...
Faktor 1/2 nicht vergessen...
Mehrteilchensysteme
Energie eines N-Teilchen Systems:
Die konstante Größe in der Klammer nennen wir Energie eines N-Teilchen Systems:
Die Energie setzt sich aus zwei Termen zusammen:
kinetische Energie
potentielle Energie
Einteilchen-Anteil Zweiteilchen-Anteil
Zusammenfassung
Newtonsche Mechanik liefert in Prinzip die Lösung aller mechanischen Probleme, wenn alle Kräfte die auf die Teilchen wirken bekannt sind:
Wir haben aber gesagt, dass wir in dieser Vorlesungen andere (schönere) Formulierungen der Mechanik kennenlernen werden
Wozu brauchen wir andere Formulierungen der Mechanik?
•Newtonsche Gleichungen haben eine einfache Form nur in kartesischen Koordinaten. Viele Probleme sind aber viel einfacher in anderen Koordinaten lösbar. Die Transformation der Newtonschen Gleichungen in andere Koordinaten ist mühsam... Es wäre schön eine Form der Bewegungsgleichungen zu finden die in allen Koordinaten gleich ist...
•Nicht alle Kräfte sind immer von vornerein bekannt. Zum Beispiel in Systemen mit Zwangsbedingungen...
•Die Verbindung zur Quantenmechanik ist nicht gut erkennbar in der Sprache der Newtonschen Mechanik...
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