Manfred Dobrowolski Universität Würzburgdobro/e.pdf · periodische Parkette die folgenden Möglichkeiten: CCC, CC?C?, CGG. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen

Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierungen

Escher-Parkettierungen

Manfred Dobrowolski

Universitat Wurzburg


Escher-Parkettierungen

1 Maurits Cornelis Escher

2 Symmetrien periodischer Parkettierungen

3 Escher-Parkette

4 Analyse einiger bekannter Bilder

5 Parkettierungen der hyperbolischen Ebene


Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

Selbstportrat, Lithographie 1929


Fruhe Werke

Selbstportrat im Stuhl PapageiHolzschnitt 1920 Linolschnitt 1919


Erstes Parkett

Acht Kopfe, Holzschnitt 1922


Italienische Periode 1922-1935

Die Brucke CastrovalvaLithographie 1930 Lithographie 1930


Im Spiegel

Stilleben mit spharischem Spiegel, Lithographie 1934


Unmogliche Figuren

Belvedere, Lithographie 1958


Unmogliche Figuren

Druckgallerie, Lithographie 1956


Unmogliche Figuren

Wasserfall, Lithographie 1961


Aus dem Alhambra-Palast1


Beispiele symmetrischer Kacheln

Spiegelsymmetrische und drehsymmetrische Kacheln


Beispiele periodischer Parkette

v u

v

Translationssymmetrie



u

u

Gleitspiegelsymmetrie



Dreh- und Spiegelsymmetrie


Definition des periodischen Parketts

Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißtSymmetrie des Parketts.




Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungentranslationssymmetrisch ist.





Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß mannicht.





Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß mannicht.

Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen:Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien.


Die Symmetriegruppe eines Parketts

Die Symmetrien eines Parketts konnen hintereinander ausgefuhrtwerden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung:




Symmetrie: Umkehrung:

Spiegelung an g Spiegelung an g

Gleitspiegelung an u Gleitspiegelung an −u

Drehung um den Winkel α Drehung um den Winkel −α




Symmetrie: Umkehrung:

Spiegelung an g Spiegelung an g

Gleitspiegelung an u Gleitspiegelung an −u

Drehung um den Winkel α Drehung um den Winkel −α

Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist dieHintereinanderschaltung der Abbildungen.


Die Untergruppe der Translationen

Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenenRichtungen u und v , so sind die Translationen um ein (auchnegatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien.


Die Untergruppe der Translationen

Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenenRichtungen u und v , so sind die Translationen um ein (auchnegatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien.

Tij = TiuTjv , i , j ∈ Z

sind dann ebenfalls Symmetrien, die zur Gruppe (Z2, +) isomorphist. Jede Symmetriegruppe eines periodischen Parketts enthaltdamit diese Untergruppe.


Die kristallographische Beschrankung

Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form

α =2π

n=

3600

n.

n heißt Ordnung der Drehung.


Die kristallographische Beschrankung

Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form

α =2π

n=

3600

n.

n heißt Ordnung der Drehung.

Satz uber die kristallographische Beschrankung: In jedemperiodischen Parkett gibt es nur Drehungen der Ordnung 2, 3, 4oder 6.


Beweis der Kristallographischen Beschrankung

P

QP’

Q’

αα

Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf einDrehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum derOrdnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimalerEntfernung zu P (=Extremalprinzip).


Beweis der Kristallographischen Beschrankung

P

QP’

Q’

αα

Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf einDrehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum derOrdnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimalerEntfernung zu P (=Extremalprinzip).Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π/n und erhalten den PunktP ′, der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls einDrehzentrum der Ordnung n ist.


Die 17 ebenen kristallographischen Gruppen

werden folgendermaßen notiert:

Spiegelachse

Gleitspiegelachse

Drehung der Ordnung 2




Ein Escher-Parkett besitzt keine Spiegelachsen, daher kommennicht alle 17 Gruppen vor.


Gruppe p1

Es gibt nur Translationen, keine anderen Symmetrien.


Gruppe p2

Hell: Translative ZelleDunkel: Kachel


Gruppe p3


Gruppe p4


Gruppe p6


Gruppe pg


Gruppe pgg


Laves-Netzecharakterisieren periodische Parkette graphentheoretisch. Man gehtim Gegenuhrzeigersinn die Kachel entlang und notiert von jedemKnoten die Zahl der Nachbarknoten.

(6,3,3,3,3)

Anzahl der Ecken der Kachelist daraus auch zu ersehen.


Die 11 Laves-Netze I

(3,3,3,3,3,3) (6,3,3,3,3) (4,4,3,3,3)

(4,3,4,3,3) (6,4,3,4) (6,3,6,3)


Die 11 Laves-Netze II

(12,12,3) (4,4,4,4) (8,8,4)

(12,6,4) (6,6,6)


Definition des Escher-Parketts

Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geradenKanten und keine Spiegelsymmetrien gibt.




Die Halfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Halftemuss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Halftehervorgehen:





T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervorG Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervorC Linie ist punktsymmetrisch zur MitteCn Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor,

wobei n = 2, 3, 4, 6





T Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervorG Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervorC Linie ist punktsymmetrisch zur MitteCn Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor,

wobei n = 2, 3, 4, 6

Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammtvon Heinrich Heesch (1906-1995).


Ein Beispiel

A

B

C

DTyp 19

TGTG

Netz (4,4,4,4)

Gruppe pg


Die 28 grundlegenden Escher-ParketteEcken 6 5 4 3

Netze 333333 63333 43433 44333 6363 6434 4444 666 884 12,12,3

p1

p2

p3

p6

p4

pg

pgg

TTTTTT2

TTTT1

TCCTCC7

CCCC4 CCC

3TCTC5

TCTCC6

C3C3C3C3C3C3

9C3C3C2C2

8

CC3C3C6C6

13C3C3C6C6

12CC6C6

11CC3C3

10

CC4C4C4C4

16C4C4C4C4

15CC4C4

14

TG1G1TG2G2

18G1G1G2G2

17

TG1G2TG2G1

20TGTG

19

TCCTCC24

TCTGG23

CCGG22

CGCG25

CGG21CG1CG2G1G2

28 CG1G2G1G2

27G1G2G1G2

26


Ecken 6 5 4

Netze 333333 63333 43433 44333 6363 6434

p1

p2

p3

p6

p4

TTTTTT2

TCCTCC7 TCTCC

6

C3C3C3C3C3C3

9C3C3C2C2

8

CC3C3C6C6

13C3C3C6C

12

CC4C4C4C4

16

TG G TG G


Beispiel Dreieck

Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir furperiodische Parkette die folgenden Moglichkeiten:

CCC , CC?C?, CGG .


Beispiel Dreieck

Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir furperiodische Parkette die folgenden Moglichkeiten:

CCC , CC?C?, CGG .

CTT kannn nicht vorkommen, da zwei Dreiecksseiten immer einenPunkt gemeinsam haben.


Typ 3

B

AC

Typ 3

CCC

Netz (6,6,6)

Gruppe p2

Die Punkte A,B,C bilden ein beliebiges, nichtdegeneriertes Dreieck.Die Eckpunkte werden durch beliebige C-Linien miteinanderverbunden.


Typ 10:

A

C

B

1200

Typ 10

CC3C3

Netz (12,12,3)

Gruppe p6

Drehe die frei gewahlte Linie AB in A um 120o in die Position ACund verbinde BC durch eine beliebige C-Linie.


Typ 10:

A

C

B

1200

Typ 10

CC3C3

Netz (12,12,3)

Gruppe p6


Dies ist der einzige Typ, der von Escher nie realisiert wurde.


Typ 11

A

C

B

600

Typ 11

CC6C6

Netz (6,6,6)

Gruppe p6



Typ 14

A

C

B900

Typ 14

CC4C4

Netz (8,8,4)

Gruppe p4

Die Punkte A,B,C bilden ein rechtwinkliges gleichschenkligesDreieck. Eine Kathete wird frei gewahlt und auf die anderegedreht. Die dritte Seite besteht aus einer frei gewahlten C-Linie.


Typ 21

A

B

CTyp 21

CGG

Netz (6,6,6)

Gruppe pgg

Gleitspiegele die frei gewahlte Linie AB auf BC mit Achse parallelzu AC mit gleichem Abstand zu A und B. Verbinde A und C miteiner beliebigen C-Linie.


D

CB

A

TTTT

Laves-Netz (4,4,4,4)

Gruppe p1

Typ 1

”Pegasus“, Symmetriezeichnung 105, 1959


D

C

B

A

G G G G


Gruppe pg

Typ 17

1 1 2 2

”Reiter“, The Regular Division of the Plane, 1957


D

CB

A

C C C C


Gruppe p4

Typ 15

4 4 4 4

Symmetriezeichnung 104, 1959


C C C C C C

Laves-Netz (3,3,3,3,3,3)

Gruppe p3

Typ 9

3 3 3 3 3 3



A

B

C

E

D

F

TG G TG G

Laves-Netz (3,3,3,3,3,3)

Gruppe pg

Typ 18

1 1 2 2

K. Moser: Forellenreigen, 1899


A

BC

D

C C C CLaves-Netz (6,4,3,4)Gruppe p6Typ 12

3 3 6 6



AB

C

DE

CG G G GLaves-Netz (4,3,4,3,3)Gruppe pggTyp 27

1 2 1 2



Karten

Der Globus lasst sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eineEbene abbilden. Eine Karte heißt

winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhalt,


Karten



maßstabstreu, wenn die lokale Langenverzerrung in allenRichtungen die gleiche ist,


Karten




flachentreu, wenn sie alle Flacheninhalte korrekt wiedergibt.


Karten





Langentreue Karten des Globus kann es nicht geben.


Karten





Langentreue Karten des Globus kann es nicht geben.

”Normale“ Karten sind winkel- und maßstabstreu. Es gibt beliebig

viele solcher Karten (=Projektionen), bei denen die Kontinenteimmer etwas unterschiedlich aussehen.


Geometrien

Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten,einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik

genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet.


Geometrien



Fur diese Geometrie gelten die ublichen Regeln: Durch zweiverschiedene Punkte lasst sich genau eine Linie ziehen, zwei Linienschneiden sich hochstens in einem Punkt, die Strecke ist diekurzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter.


Geometrien




Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedemPunkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g ′

durch P.


Geometrien




Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedemPunkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g ′

durch P.

Hyperbolisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedemPunkt P, der nicht auf g liegt, gibt es mindestens zwei Parallele g ′

und g ′′ durch P.


Hyperbolische Geometrie

Durch das hyperbolische Parallelenaxiom und die ubrigen Axiomeder euklidischen Geometrie ist die hyperbolische Geometrieeindeutig bestimmt. Es gibt keine einfache Darstellung dieserGeometrie, sondern nur unterschiedliche Karten wie esunterschiedliche Karten des Globus gibt.


Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene

P

P

Q

”Punkte“: Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der

Stutzgeraden.

”Geraden“: Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der

Stutzgeraden einen rechten Winkel bilden.


Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene

P

P

Q

”Punkte“: Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der

Stutzgeraden.

”Geraden“: Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der

Stutzgeraden einen rechten Winkel bilden.

Diese Karte ist winkel- und maßstabstreu.


J. Leys: Monsters, 2005


Transformation auf den Einheitskreis

Wir bilden die obere Halbebene auf den Einheitskreis der Ebenemit Hilfe einer Mobius-Transformation ab, namlich in komplexerSchreibweise

z 7→z − i

z + i,

was sich weniger elegant reell schreiben lasst,

(

x

y

)

7→1

x2 + (y + 1)2

(

x2 + y2− 1

−2x

)

.


Transformation auf den EinheitskreisDie Mobius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildetKreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab:

(0,0)

(0,1) (1,0)


Transformation auf den EinheitskreisDie Mobius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildetKreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab:

(0,0)

(0,1) (1,0)

”Punkte“: Punkte innerhalb des Einheitskreises

”Geraden“: Kreissegmente des Einheitskreises, die den Rand

im rechten Winkel schneiden.


Circle Limit III, 1959 Circle Limit IV, 1960

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