Theoretische Physik I

Prof. Dr. Jürgen Schnack

WS 09/10

Mitschrift von: J. Mowedownload: http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/lwresch/cgi/theo1.php

Inhaltsverzeichnis

I Mechanik 4

1 Einführung 41.1 Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Kinematik 52.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Einfache Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 Geradlinig gleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . 82.3.3 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Mechanik nach Newton 83.1 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Inertialsysteme, Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Rotierende Bezugssysteme, Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Beliebig beschleunigte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 133.6 Einfache Probleme der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6.1 Lineare Di!erentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.2 Bewegungen im homogenen Schwerefeld der Erde mit Rei-

bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

INHALTSVERZEICHNIS 2

3.6.3 Linearer harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . 193.6.4 Freier gedämpfter linearer Oszillator . . . . . . . . . . . . 213.6.5 Getriebener gedämpfter linearer Oszillator . . . . . . . . . 223.6.6 Beliebige eindimensionale ortsabhängige Kraft . . . . . . 233.6.7 Grundlegende Begri!e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Mechanik nach Lagrange 244.1 Verallgemeinerte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Das Hamiltonsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Grundgedanke der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Euler-Lagrange-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Der freie Massepunkt (V = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 System wechselwirkender Massepunkte . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Lagrange-Funktionen konkreter Systeme . . . . . . . . . . . . . . 29

4.7.1 Ebenes Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.7.2 Fadenpendel im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.7.3 Ebenes Doppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.8 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.8.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.8.2 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.8.3 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.8.4 Zyklische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.9 Zwei-Körper-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.9.1 Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.9.2 Bewegung im Zentralfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.9.3 Das Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.10 Klassifizierung von Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 424.11 Methode der Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . 434.12 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Mechanik nach Hamilton 445.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Zeitentwicklung von Observablen, Poissonklammern . . . . . . . 46

II Elektrodynamik 47

6 Maxwell-Gleichungen 476.1 Ladung und Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.4 Transformationseigenschaften der beteiligten Größen . . . . . . . 486.5 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.5.1 di!erentielle Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.5.2 Integrale Form der Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . 50

INHALTSVERZEICHNIS 3

7 Elektrostatik 507.1 Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2 Felder spezieller Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2.1 Feld einer Kugelsymmetrischen Ladungsverteilung . . . . 517.2.2 Was ist eine Punktladung? . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2.3 Feld einer beliebigen Ladungsverteilung . . . . . . . . . . 517.2.4 Feld eines elektrischen Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . 527.2.5 Fernfeld einer beliebigen Ladungsverteilung . . . . . . . . 53

7.3 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3.1 Leiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . 557.3.2 Spiegelladungsmethode (Bildladungsmethode) . . . . . . . 567.3.3 influenzierte Flächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . 587.3.4 Kugelförmiger Leiter im asymptotisch homogenen Feld . . 60

8 Magnetostatik (stationäre Ströme) 618.1 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Leiterschleifen, Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.3 Fernfeld einer Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.4 Magnetische Induktion eines geraden Leiters . . . . . . . . . . . . 64

9 Elektromagnetisches Feld im Vakuum 659.1 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . 659.2 Elektrostatische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.3 Energie eines stationären Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . 679.4 Beispiele für Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.5 Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . 709.6 Felder zeitabhängiger Strom- und Ladungsverteilungen . . . . . . 73

9.6.1 Das Viererpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.6.2 Lösungen der homogenen Gleichungen . . . . . . . . . . . 749.6.3 Alternative Herleitung der freien Feldgleichungen . . . . . 759.6.4 Energie einer ebenen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.6.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 769.6.6 Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.6.7 Hertzscher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.6.8 Energieabstrahlung eines elektrischen Dipols . . . . . . . 79

10 Spezielle Relativitätstheorie 8010.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

10.1.1 Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.2 Michaelson-Morley-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.3 Einsteins Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.4 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.5 Relativität der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11 Eigenschaften der Lorentz-Transformation 8811.1 Die Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.2 Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.3 Ist die Längenkontraktion überhaupt sichtbar? . . . . . . . . . . 9111.4 Relativistische Geschwindigkeitsaddition . . . . . . . . . . . . . . 9311.5 Minkowski-Diagramme, Lichtkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

12 Der Doppler-E!ekt 9612.1 Der klassische Dopplere!ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.2 Der relativistische Dopplere!ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

13 Die relativistischen “Paradoxa” 9913.1 Das Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Teil I

Mechanik1 Einführung

1.1 KontaktJürgen Schnack

E5-120, 6193jschnack@uni-bielefeld.deobelix.physik.uni-bielefeld.de/~schnack

1.2 Überblick

Newton!F = d

Lagrange Hamilton

dtL(q, q, t), L = T ! V H = T + V = H(q, p)ddt

! !L!q!

= 0,"# q" = ! !H!q!

, p" = ! !H!q!

– Lagrange # Quantenfeldtheorie

VdxL($, $, t)

– Hamilton # QuantenmechanikH = T + Vi! d

dt |%(t)$ = H|%(t)$

2 KINEMATIK 5

2 Kinematik

2.1 Geschwindigkeit und BeschleunigungDefinitionen: Ortsvektor: !r(t), Geschwindigkeitsvektor: !v(t) = d

dt!r(t) = !r(t),Beschleunigungsvektor: !a(t) = d

dt!v(t) = !r(t)

– typische Aufgabenstellung:gg: !a(t) = !r(t), ges: !r(t)Integrieren:1. !v(t) =

´ tt0

dt!!a(t) + !v(t0)

2. !r(t) =´ t

t0dt!!!v(t!!) + !r(t0) =

´ tt0

dt!!´ t!!

t0dt!!a(t!) + !v(t0)(t! t0) + !r(t0)

% 2 Anfangsbedingungen für diese DGL 2. Ordnung: !r(t0),!v(t0)

2.2 Koordinatensysteme2.2.1 Kartesische Koordinaten

Definition:

!r(t) =

"x1(t)x2(t)x3(t)

"x(t)y(t)z(t)

xj(t)!ej

{!ej}, j & {1, 2, 3} ist die Standardbasis (ONB), raumfest!

% !v(t) = ddt!r(t) =

xj(t)!ej

% !a(t) = d2

dt2!r(t) =3%

xj(t)!ej

2.2.2 Ebene Polarkoordinaten

2 KINEMATIK 6

Definition: {r, $} : x1 = r cos($), x2 = r sin($)Umkehrtransformation: r =

1 + x22

$ = arctan(x2x1

)+Quadranten beachten, Problem im Ursprung

Satz: lokale Umkehrbarkeitallgemeine Bedingung für lokale Umkehrbarkeit von Koordinatentransforma-

tionen: xi = xi(y1, . . . , yd), i & {1, . . . , d}Funktionaldeterminante:

&(x1, . . . , xn)&(y1, . . . , yn)

!x1!y1

. . . !x1!yd

.... . .

...!xd!yd

. . . !xd!yd

($ '= 0

Beispiel für kartesische#Polarkoordinaten:!x1!r = cos $, !x1

!# = !r sin$; !x2!r = sin$, !x2

!# = r cos $

% det)

cos $ !r sin$sin$ r cos $

*= r # lokal umkehrbar außer bei r = 0

Definition: Koordinatenlinie!x = !x(y1, . . . , y2, . . . , y$) : Menge aller Ortsvektoren, die dadurch entstehen,

dass alle Koordinaten außer einer, z.B. yj festgehalten werden.yj parametrisiert die Raumkurve - die yj-Koordinatenlinie

Definition: Koordinatenflächezwei Koordinaten laufen, Rest fest

– für Krummlinige Koordinaten gilt:

!eyi :=!%r/!yi

|!%r/!yi|= !eyi(y1, . . . , yd)

Beispiel:

Ebene Polarkoordinaten:!%r!r =

)cos $sin$

*, |!%r

!r | = 1

!%r!# =

)!r sin$r cos $

*, | !%r

!# | = r

% !er =)

cos $sin$

*,!e# =

)! sin $cos $

Wir sehen: Ortsvektor !r = r!er

und !er,!e# nicht raumfest!

!r = r!er # d!r =3%

&yidyi

def.=3%

&yi|dyi!eyi

2 KINEMATIK 7

Beispiel: ebene Polarkoordinaten

totales Di!erential: d!r = dr!er + rd$!e#

% Geschwindigkeit: !v(t) = ddt!r(t) = r!er + r$!e# = d

dt (r!er) = r!er + r!er

da !er = $!e#, analog: !e# = !$!er

% Beschleunigung: !a(t) = !v(t) = (r ! r$2)!er + (r$ + 2r$)!e#

2.2.3 Zylinderkoordinaten

Definition: {r, $, z}x1 = r cos $x2 = r sin$

x3 = z

Ortsvektor: !r = r!er + z!ez, !er =

"cos $sin $

$, !e# =

"! sin$cos $

$, !ez =

% Geschwindigkeit: !v(t) = r!er + r$!e# + z!ez

% Beschleunigung: !a(t) = (r ! r$2)!er + (r$ + 2r$)!e# + z!ez

2.2.4 Kugelkoordinaten

Definition: {r, ',$} :x1 = r sin ' cos $x2 = r sin ' sin$

x3 = r cos '

Ortsvektor: !r = r!er, !er =

"sin ' cos $sin ' sin$

$ ,!e& =

"cos ' cos $cos ' sin $! sin '

$ ,!e# =

"! sin$cos $

% Geschwindigkeit: !v(t) = r!er + r'!e& + r sin '$!e#

% Beschleunigung: !a(t) = (r!r'2!r sin2 '$2)!er+(r'+2r'!r sin ' cos '$2)!e&+(r sin '$ + 2 sin 'r$ + 2r cos ''$)!e#

2.3 Einfache Bewegungen2.3.1 Geradlinig gleichförmige Bewegung

– !a(t) = 0, !v(t0) = v0, !r(t0) = !r0, % !v(t) = !v0,!r(t) = !r0 + !v0(t! t0)

3 MECHANIK NACH NEWTON 8

2.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

– !a(t) = !a0,!v(t0) = !v0,!r(t0) = !r0

% !v(t) = !v0 + !a0(t! t0),!r(t) = !r0 + !v0(t! t0) + 12!a0(t! t0)2

2.3.3 Kreisbewegung

!r(t) = R!er # !v(t) = !r(t) = R!er =R$!e# tangential!

!a(t) = !v(t) = R$!e# + R$!e#

= !R$2!er

radial nachinnen

+ R$!e#

Definitionen:Winkelgeschwindigkeit: $ = (

Betrag der Geschwindigkeit:|!v| = v = R(Zentripetalbeschleunigung:ar = !R$2

Tangentialbeschleunigung:a# = R(R = R$Gleichförmige Kreisbewegung:( = const.

% a# = 0, ar = !R(2

3 Mechanik nach Newton

3.1 Newtonsche AxiomeBemerkungen: Terminologie:

Axiome: Grundannahmen, die innerhalb der Theorie nicht beweisbar sind,allerdings dem Experiment nicht widersprechen dürfen.

Folgerungen: aus den Axiomen abgeleitete Aussagen

Problematik:

Ziel: Beschreibung der Ursachen von Bewegung (Statik kommt hier nichtso stark vor)

Problem: Einführung zweier Begri!e, Kraft und Masse, die nicht unabhängigsind

Definition: Kraft

– indirekt erkennbar an der Wirkung

– z.B. Änderung des Beweungszustandes oder Verformung (also Bewegungist nicht zwangsläufig die Folge von Kraft)

– vektorielle Größe

Definition: kräftefreier KörperKörper, der jeder äußeren Einwirkung entzogen ist (Idealisierung)

Satz: Axiom 1 (’lex prima’ / ’Galileisches Trägheitsgesetz’)Es gibt Koordinatensysteme, in denen ein kräftefreier Kröper im Zustand

der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung verharrt. Solche Systemeheißen Inertialsysteme.

– Erfahrungssache: der Bewegungsänderung wird ein Trägheitswiderstandentgegengesetzt

Satz: träge MassePostulat: Jeder Körper besitzt eine skalare Eigenschaft, die wir “träge Masse”

mt nennen, mt & R+

Definition: ImpulsDas Produkt aus träger Masse und Geschwindigkeit heißt “Impuls”

!p := mt!v

Satz: Axiom 2 (’lex secunda’ / ’Bewegungsgesetz’)Die Änderung des Impulses ist der bewegenden Kraft gleich

!F :=d

dt!p = mt!v + mt!v

Bemerkung:

1. Hängt mt nicht von der Zeit ab, dann mt = 0 und folglich !F = mt!r = mt!a

2. Beispiel für mt(t): Rakete, Auto mit Verbrennungsmotor

3. relativistische Mechanik: mt = m0q1" v2

, m0 ist die Ruhemasse; v << c %mt ( m0

Satz: Axiom 3 (’lex tertia’ / ’Reaktionsprinzip’ / ’actio=reactio’)!F12 sei die Kraft des Körpers 2 auf 1 und !F21 sei die Kraft des Körpers 2

auf 1, dann gilt !F12 = !!F21

Beispiel: Erde und Mond ziehen sich mit gleicher Kraft an

Bemerkung: “actio=reactio” hat nichts mit Kräftegleichgewicht zu tun!

– Kräftegleichgewicht ist+

i Fi = 0 und gleicher Angri!spunkt!

– bei “actio=reactio” sind die Angri!spunkte der Kräfte verschieden

Definition: Masse!F12 = !F21 d.h. mt1!a1 = !!mt2!a2

´ tt0

dt!!a(t!) = !mt2

´ t1t0

dt!!!a(t!!) mit v1/2(t0) = 0% mt1

mt2= |%v2(t)|

|%v1(t)| = |%a2(t)||%a1(t)|

Verhältnis materialabhängig von !F12, d.h. Masse ist eine Materialeigenschaft.Definition der Masse über Massennormal.

Satz: Axiom 4 (’corollarium’ / ’Superpositionsprinzip’)Wirken auf einen Massepunkt mehrere Kräfte, so addieren sie sich zu einer

resultierenden Kraft

!Fres =n%

3.2 KräfteDefinition: Kraftfeld

!F = !F (!r, !r, t)

Satz: elementare Kräfte (Wechselwirkungen)

1. Gravitationskraft- unendliche Reichweite, d.h. 1

r- Vermittlung durch Gravitonen (QFT)

2. Elektromagnetische Kraft- unendliche Reichweite- Vermittlung durch Photonen (QED)

3. schwache Kraft- endliche Reichweite: Vermittlung durch W&Z-Bosonen- verantwortlich z.B. für )-Zerfall

4. starke Kraft- endliche Reichweite, Vermittlung durch Gluonen (QCD)- verantwortlich für gebundene Hadronen (z.B. Proton, Neutron)- abgeleitete Kraft ist die Kernkraft

– Mechanik behandelt oft e!ektive Kräfte, die das genaue, mikroskopischeZustandekommen nicht berücksichtigen.

Beispiel:

– Gewichtskraft, Schwerkraft; !F = ms!g, !g = !(0, 0, g), g = 9, 81 ms2 ; Erdbe-

schleunigung/Ortsfaktorms = schwere Masse

Satz: ms = mt = mschwere Masse = träge Masse; Einsteinsches Äquivalenzprinzip: Wirkung von

Gravitation und Beschleunigung prinzipiell nicht unterscheidbar. (Bsp: Fahr-stuhl im Weltraum)

– Zentralkräfte: !F = f(r, r, t)!r (radial)a. isotroper harmonischer Oszillator: f(r) = const. < 0, f(r) = !k, k =Federkonstanteb. Gravitationskraft: f(r) = !!mM

r3 , M Masse im Koordinatenursprung,! die Gravitationskonstantec. Coulombkraft f(r) = qQ

4!'0r3 ; Q!Ladung im Urspung, *0!Dielektrizitätskonstante

– Lorentz-Kraft !F = !F (!r, !r, t) = q[ !E(!r, t) + !r(t)) !B(!r, t)]!E =elektrische Feldstärke, !B =magnetische Induktion

– Reibungskraft !F = !+(v)!vStokessche Reibung: +(v) = + = const., !F = !+!vNewtonsche Reibung +(v) = !+v, !F = !+v2!ev = !+v2 %v

3.3 Inertialsysteme, Galilei-TransformationBemerkung: Bewegungsbeschreibung vom Koordinatensystem abhängig

Beispiel 1: m ruhe in K; in K führt m eine beschleunigte/gleichförmigeBewegung aus

i) Wählen als natürliche Koordinatensysteme Inertialsysteme

ii) Inertialsysteme existieren in guter Näherung, z.B. Fixsternhimmel

iii) Beziehungen zwischen Inertialsystemen:K sei Inertialsystem; K ist dann Inertialsystem, wenn aus m!r = 0auch m!r = 0 folgt.

!r0 = (!r !!r)% d2

dt2!r0 = !r ! !r = 0# !r0(t) = !v0(t! t0) + !r(t0)

Satz: InertialsystemeEs gibt unendlich viele Inertialsysteme, die sich mit konstanten Geschwin-

digkeiten relativ zueinander bewegen. In ihnen gilt: !F = !F und !r = !r

Definition: Galilei-TransformationDie Transformation, die ein Inertialsystem in ein anderes überführt, heißt

Galilei-Transformation: !r = !v0t +!r, t = t (Œ !r = !r bei t = 0)

Satz: Die Zeit ist absolut, also unabhängig vom Koordinatensystem.

3.4 Rotierende Bezugssysteme, Scheinkräfte

K sei Inertialsystem, K rotiere um die z-Achse mit !( = const., K keinInertialsystem

K : {r, $, z}, K : {r,$, z} # r = r, $ = $ + (t, z = z!F = m!a # Fr = m(r ! r$2), F# = m(r$ + 2r$), Fz = mz

– Umrechnung auf das rotierende System:r = r, r = r, $ = $ + (, $ = $, z = z, z = z

Fr = m(r ! r$2) = m(r ! r$2) + 2mr($!mr(2 = Fr + 2m($ + mr(2

F# = m(r$ + 2r$) = m(r$ + 2r$)! 2mr( = F# ! 2mr(F z = mz = mz = Fz

Bemerkung:

1. wäre K Inertialsystem, dann !F = !F

2. in K treten zusätzliche Kräfte auf; diese heißen Scheinkräfte im Gegensatzzu den wirklichen Kräften Fr, F#, Fz (Gravitation, Lorentz, Coulomb . . .)

3. Scheinkräfte bringen gewissermaßen die Newtonsche Mechanik wieder inOrdnung

Beispiel:m ruhe in K: $ = $! ( = !( % Fr = Fr ! 2mr(2 + m(2r = Fr !m(2r

3.5 Beliebig beschleunigte BezugssystemeK : Inertialsystem mit !e1,!e2,!e3 ONB und Koordinaten x1, x2, x3

K : bzgl. K beschleunigt, zusammensetzbar aus Bewegung des Ursprungsund Rotationzeitabhängige Basisvektoren !e1,!e2,!e3 und Koordinaten x1, x2, x3

!# !r = !r0 +!r = !r0 ++3

j=1 xj!ej

Geschwindigkeit in K : r =+3

j=1 xj!ej , Geschwindigkeit die Beobachter in Kmisst.

Geschwindigkeit in K : !r = !r0+3%

, -. /Geschw. in K

, -. /Geschw. eines fest mit K verbundenen Punktes

r0 Relativgeschwindigkeit des Koordinatenursprungs

Betrachten der Rotationsbewegung von K:Einheitsvektoren in K # kanonisch% Einheitsvektoren in K # Spaltenvektoren der 3D Drehmatrix um z. z.B.

!e1(t) =

"cos((t)sin((t)

% !e1(t) = (

"! sin((t)cos((t)

"cos((t)sin((t)

$ = !( )!e1(t)

# |d!r| = |!r| sin+(dt#+3

j=1 xj!ej = !( ) !r

% !r = !r0 + !r + !( ) !r ddt (!r ! !r0) = d

dtr + !( ) !r, ddt in K, d

dt in K

betrachte jetzt Beschleunigung (!( = const.):

dt2(!r ! !r0) =

dt(!r ! !r0) =

dt(!r + !( ) !r) = !r + !( ) !r + !( ) !r + !( ) (!( )!r) + !( )!r

= !r + !( ) !r + !( ) !r + !( ) (!( )!r) + !( )!r

= !r + !( ) !r + !( )!r + !( ) !r + !( ) (!( ) !r)

% m!r = m!r !m!r0 !m!( ) (!( )!r), -. /FZ Zentrifugalkraft

!m(!( )!r) !2m(!( ) !r), -. /FC Corioliskraft

Beispiele:

a) Coriolis-Kraft

– Scheibe dreht sich mit !( = (!e3

– schieße Kugel radial nach außen

– in K fliegt Kugel geradlinig gleichförmig

– in K Ablenkung nach rechtsm!r = !F

=0!m!r0

=0!m!( ) (!( ) !r)!m!(

=0) !r ! 2m!( ) !r

– im Ursprung nur Corioliskraft (!r = 0):!2m!( ) !r nach rechts

– außerhalb des Ursprungs auch Zentrifugalkraft

b) ruhende Masse

– Masse ruht in K

– in K :

!r = r

"cos (t! sin (t

$# !r = (r

"! sin(t! cos (t

$ Geschw. in K

m!r = !m !( ) (!( )!r), -. /m(%( (!( ·!r), -. /

"%r%(2)

!2m!( ) !r (!( ) !r = (2!r)

= m!r(2 ! 2m(2!r = !m(2!r# radial nach innen

c) Auto fährt um die Kurve

– “Kiste auf Ladefläche”

– betrachten Moment, in dem das Auto von der Geraden in die Kreisbahneinfährt!r = 0, !( ( 0# m!r = !F

=0!m!r0 !m!( ) (!( ) !r,-./

!r0(t) = r0

"cos (tsin(t

$ % !r0 = r0(

"! sin(tcos (t

$ % !r0 = (2r0

"! cos (t! sin (t

!(2!r0(t)% m!r = m(2!r0(t)

d) Laborsystem Erde

K!InertialsystemK!mitbewegtes System!e3!radial nach außen!e2!nach Norden!e1!nach OstenBreitenkreis % : !90° * % * 90° (Nordpol)Rotationsgeschwindigkeit der Erde: |!(| = ( = 2!

24h = 7, 27 ·10"5s"1 = const.

d.i Bewegungsgleichungen

m!r = m!g !m!r0 !m!( ) (!( )!r), -. /$(2 und r auch

!2m(!( ) !r), !( = 0,!g =

d.ii Beschl. des Ursprungs von K bzgl. K

!r0(t) = R

"cos % cos (tcos % sin(t

# !r0(t) = R(

"cos %(! sin(t)

cos % cos (t0

# !r0 = R(2

"cos %(! cos (t)cos %(! sin (t)

$ = !( ) (!( ) !r0(t))

– !r0(t)&!r0(t) liegen in der !e2 !!e3!Ebene

– im System K : !r0 = R(2 cos %(sin%!e2 ! cos %!e3), !r0 in K nicht zeitab-hängig

d.iii Wie groß ist die in K gemessene “wahre” Erdbeschleunigung?

# mg!m!r0 = m!g( # !g( = !g!(2R cos %(sin%!e2!cos %!e3) =

!(2R cos % sin(t!g + (2R cos2 %

Erdoberfläche stellt sich so ein dass sie senkrecht zu !g( ist #Abplattung derErde

d.iv Abhängigkeit der Corioliskraft von der geographischen Breite

– ( in K : !( =

( cos %( sin%

, !r =

# !FC = !2m!( ) !r = !2m(

"x3 cos % ! x2 sin%

x1 sin%!x1 cos %

d.v Realistisches Koordinatensystem K !, in dem !e!3 senkrecht zurErdoberflächeda !g&!gw nur kleine Winkel einschließen # !F !C (

!FC und g( ( g!w

% m!r! = mg!w ! 2m!( ) !r! =

"!2m((x!3 cos % ! x!2 sin %)

!2m(x!1 sin%!mg( + 2m(x!1 cos %

d.vi Freier Fall aus Höhe hAnnahmen: x!1 ( 0&x!2 ( 0 während des Falls% x!1 = !2(x!3 cos %, x!2 = 0, x!3 = !g(

AB: !r!(t = 0) =

, !r!(t = 0) =

# !r!(t) =

"13(g(t3 cos %

2 t2 + h

Ostabweichung weil größere Tangentialgeschwindigkeit in Höhe h

Fall mit x!3(tF ) = 0, tF =0

, Ostabweichung x!1(tF ) = 13( cos %gw( 2h

2stets> 0

3.6 Einfache Probleme der Dynamik3.6.1 Lineare Di!erentialgleichungen

Definition: Di!erentialgleichung n!ter Ordnungx(n)(t) = dn

dtn x(t), n!te Ableitung; f(x(n), x(n"1), . . . , x, x, t) = 0 heißt Di!e-rentialgleichung n!ter Ordnung, wenn die höchste auftretende Ableitung n!terOrdnung ist.

Bsp: mxi ! Fi(x1, x2, x3, x1, x2, x3, t) = 0

Satz: Lösung der DGlDie allgemeine Lösung einer DGl n!ter Ordnung ist eine Lösungsschar x =

x(t, ,1, . . . , ,n) die von n unabhängigen Parametern ,1, . . . , ,n abhängt. Jederkonkrete Satz ,1, . . . , ,n führt zu einer speziellen Lösung.

Satz: UmkehrungHängt eine Lösung der DGl von n unabhängigen Parametern ab, so ist es

die allgemeine Lösung.

Definition: lineare DGl+nj=0 +j(t)x(j)(t) = )(t), )(t) = 0%homogen, )(t) '= 0 inhomogen

i. homogen: gilt Superpositionsprinzip, d.h. x1(t)&x2(t) Lösung %c1x1(t) + c2x2(t) auch Lösung

Definition: linear unabhängigm Lösungen heißen linear unabhängig falls

+mj=1 +jxj(t) = 0 nur für +1 =

+2 = . . . = +m = 0 erfüllt ist

Satz: allgemeine LösungDer homogenen linear DGl n!ter Ordnung ist die Linearkombination von n

linear unabhängigen n linear unabhängigen Lösungsfunktionen

ii. inhomogen

Satz: Lösung der inhomogenen linearen DGl n!ter Ordnung: x(t, ,1, . . . , ,n) =x(t, ,1, . . . , ,n) + x0(t) mit x =allg. Lösung der homog. GDl und x0 spezielleLsg. der inhom.

Wichtiges Bsp:x + 2,x + (2x = 0 Ansatz: x = ept

% p2 + 2,p + (2 = 0% p1/2 = ±&

,2 ! (2 ! ,2

# x(t) = x(0)G(t) + x(0)H(t), G(t) = ep1t"ep2t

p1"p2, H(t) = p1ep2t"p2ep1t

3.6.2 Bewegungen im homogenen Schwerefeld der Erde mit Reibung

Annahme: Inertialsystem

m!r = m!g! +!rStokes

, !g =

$, d.h. inhom. lin. DGl 2. O.: m!r ++!r!m!g = 0

homogen: mxi ++xi = 0, i = 1, 2, 3 Ansatz xi = e)t, , unabh. von i% ,1 =0, ,2 = ! $

m% xi,1(t) = 1, xi,2(t) = e"

#m t #allg. xi(t) = +i + )ie"

inhomogen: mx3 + +x3 = !mg %Überlegung: Grenzgeschwindigkeit stelltsich ein, d.h. x3 = const., x3 = 0# x3 = !mg

$ + x3(t) = !m$ gt

%allg. Lsg.

"x1(t)x2(t)x3(t)

"+1 + )1 exp(!+t/m)+2 + )2 exp(!+t/m)

+3 + )3 exp(!+t/m)! m$ gt

-Geschwindigkeit

!v(t) = ! $me"

$ + m$ !g lim

t%&!v(t) = m

Anfangsbed. senkrechter Fall:

!r0 = !r(t = 0) =

$, !v0 = v(t = 0) = 0 ! )1 = )2 = +1 = +2 = 0

% x1(t) = x2(t) = 0außerdem: h = x3 + )3 und 0 = "$

m )3 ! m$ g # )3 = !m2

$2 g&+3 = h + m2

$2 g% v3(t) = m

$ g(e" #m t ! 1);x3(t) = h + m

$ g[m$ (1! e"

#m t)! t]

3.6.3 Linearer harmonischer Oszillator

Bedeutung:

– eines der bedeutensten physikalischen Systeme/Modelle

– Anwendung: Mechnaik, Elekrodynamik (Licht in Medien), Quantenme-chanik, Quantenfeldtheorie

– universal in dem Sinne, dass kleine Schwingungen oft als harmonischerOszillator ablaufen

V (x) = V (x0)!d

dxVx0(x! x0)

, -. /=0

dx2 Vx0(x!x0)2, x0!Gleichgewichtslage

( V (x0), -. /=const.

+12m(2

, -. /=m(2= d2

dx2 Vx0

(x! x0)2

– mechanischer Oszillator:

!F = !kx!ex, mx + kx = 0, x + kmx = 0, k

m = (20 , (0-Eigenfreq.

– elektrischer Schwingkreis:

LI + 1C I = 0, (2

0 = 1LC

i. x(t) = A sin((0t) + B cos((0t) oder C sin((0t + +)

ii. komplexe Schreibweise: Ansatz e(t # x(t) = A+ei(t + A"e"i(t

iii. typische Anfangsbedingungena. t = 0, x(0) = x0, x(0) = 0% x(t) = x0 cos((t)b. t = 0 : x(0) = 0, x(0) = v0 % x(t) = v0

(0sin((0t)

3.6.4 Freier gedämpfter linearer Oszillator

nach Modell:

elektrisches Modell:

LI + RI + 1C I = 0

DGl: x + 2)x + (20x = 0 hatten wir schon: x(t) = e*t # -1/2 = !) ±&

)2 ! (20

3 Fälle:

a) schwache Dämpfung (Schwingfall): ) < (0 #&

)2 ! (20 imaginär

# -1/2 = !) ± i(,( =&

(20 ! )2 & R

# x(t) = e"+t(a1ei(t + a2e"i(t)# exponentiell gedämpftAB: x(t = 0) = x0, x(t = 0) = v0

% x(t) = e"+t(x0 cos((t) + v0++x0( sin((t)) oder

x(t) = Ae"+t sin((t + $);A = 1(

&x0(2 + (v0 + )x0)2, $ = arctan( (x0

v++x0)

- keine periodische Bewegung- . = 2!

( = 2!+(0"+2

- Ae"+t Einhüllende der gedämpften Schwingung

b) kritische Dämpfung (aperioder Grenzfall): ") = (0 , ( = 0 ,+2 = 4km

- Ansatz eit liefert nur eine Lösung e"+t

- bescha!en uns zweite Lösung aus x(t) = e"+t(x0 cos((t)+ v0++x0( sin((t))

für ( # 0 : lim(%0

x(t) = e"+t[x0 + (v0 + )x0t] fertigBem.: 2 unabh. Fkt., 2 unabh. Koordinaten

c) starke Dämpfung (Kriechfall): ) > (0 reelle Lösungen, -1/2 = !) ±,, 0 < , =

&)2 ! (2

0 < )allg. Lsg. x(t) = e"+t(a1e)t + a2e")t)AB: x0, v0 # a1 = 1

2 (x0 + v0++x0) ), a2 = 1

2 (x0 ! v0++x0) )

3.6.5 Getriebener gedämpfter linearer Oszillator

nach Modell:

mechanisch bzw. elektrisch:

x + 2)x! (20x = 1

mF (t) hier F (t) = f cos((t)- Lsg. der homogenen DGl bekannt- suchen spezielle Lsg. der inhom. DGlkomplexe DGl z + 2)z + (2

0z = 1mei(t

nach einer Einschwingkeit wird der Oszillator der erregenden Kraft folgenAnsatz: z(t) = Aei(t. A & C% [A(!(2 + 2i)( + (2

0)! fm ]ei(t = 0

% A = ! fm

1((2"(2

0)"2i+(= |A|ei(; |A| = f/m+

((2"(20)2+4+2(

-(A) = !mf |A|2((2 ! (2

0); .(A) = !2mf )|A|2( * 0

tan($) = '(A)((A) = 2+(

(2"(20# $ & [!u, 0] d.h. !u * $ * 0

%allg. Lsg. x(t) = xhom(t) + xinh(t), xinh(t) = |A| cos((t + $)- hom. Teil wird exp. weggedämpft- Diskussion des inhom. Anteils:

i) Amplitude:( = 0 : |A| = f

( #/ : |A| 0 1(2

Extremwerte: d|A|d( = 0 = ! 1

2 (((2!(20)2+4)2(2)" 3

2fm {2((2 ! (2

0)2( + 8)2(}, -. /=0

0% (1 = 0,(± = ±

0 ! 2)2 für 2)2 < (20

1. Maximum=Resonanz2. ) = 0, lim

(%(0|A| =/ Resonanzkatastrophe

3.6.6 Beliebige eindimensionale ortsabhängige Kraft

mx = F (x)# mxx = F (x)x# ddt (

12mx2) = d

dtV (x), V (x) = !´ x

F (x!)dx!

, ddt (

2x2 + V (x))

, -. /=F

Lösung durch Trennung der Variablendt = dx+

2m (E"V (x))

% t! t0 =´ x

dx!+2m (E"V (x))

erhalte t(x)#invertiere

3.6.7 Grundlegende Begri!e

i. Arbeit W2,1 = !´ x2

x1F (x)dx = V (x2)! V (x1) eindimensional

W2,1 = !´

C( %x1,%x2)!F (!x, !x,!t)d!x, ganz allg; C(!x1, !x2) - spezieller Weg

von !x1 und !x2

ii Potential - 1 zu F (x) Stammfunktion V (x), so heißt F (x) konservativ undV (x) Potential der Kraft !F . Gilt für 1-dim für ortsabhängige Kraftimmer.- eine Kraft heißt konservativ, wenn 1V (x) mit !F (!x) = 2V (!x)

4 MECHANIK NACH LAGRANGE 24

Satz: konservative KraftSei !F ein Vektorfeld, dann sind äquivalent:

!Fd!r = 0

2. 2) !F = 0

3. 1V (!x) mit 2V (!x) = !F (x)

iii. kinetische Energie

Definition: kinetische EnergieT = m

Definition: GesamtenergieE = T + V = m

2 !x2 + V (!x)

Satz: EnergieerhaltungssatzFür konservative Kräfte gilt d

dtE = 0, E = const.

iv. klassische Teilchenbahnen:

da T 3 0 Bewegung nur für E 3 V (!x) ungl. x1, x2 Umkehrpunkt

4 Mechanik nach Lagrange

4.1 Verallgemeinerte KoordinatenDefinition: Verallgemeinerte Koordinaten

Wenn die Gesamtheit irgendwelcher (krummliniger) Koordinaten q1, . . . , qn

die Lage eines Systems völlig charakterisiert, so nennt man diese Größen ver-allgemeinerte Koordinaten und die Geschwindigkeiten qi verallgemeinerte Ge-schwindigkeit.

Beispiele:

i) Punktteilchen im Raum: !x1, !x2, !x3 = 9 Koordinaten, !x1, !x2, !x3 = 9Geschwindigkeiten

ii) Fadenpendel im Raum: ',$ = 2 Koordinaten, ', $ = 2 Geschwin-digkeiten

Definition: mechanischer ZustandDer mechanische Zustand ist durch die Angabe der verallgemeinerten Koor-

dinaten eindeutig bestimmt.

4.2 Das Hamiltonsche PrinzipSatz: Hamilton’sches Prinzip

Ein mechanisches System lässt sich durch eine Funktion L(q1, . . . , qs, q1, . . . , qs, t)ab, die Lagrange-Funktion genannt wird. Die Bewegung des Systems erfolgt so,dass das Wirkungsintegral

S =ˆ t2

L(q, q, t)dt

extremal wird.

Bemerkung:

1. Das Hamiltonsche Prinzip wird machmal auf “Prinzip der kleinsten Wir-kung” genannt. Das ist nicht ganz richtig, da manchmal auch nur als Sat-telpunkt. Nötig ist, dass 1. Variation verschwindet.

2. L hängt nur von q&q ab nicht von höheren Ableitungen, da mechanischerZustand nur von q und q charakterisiert.

3. Diese Formulierung nutzt die Variationsrechnung. Vorteile:i. sehr elegantii. Zwangsbedingungen können gut verarbeitet werden (Methode der Lagrange-Parameter)iii. verallgemeinerte Koordinateniv. leichtes Erkennen von Erhaltungsgrößen

4.3 Grundgedanke der Variationsrechnung– Ziel: Funktionen finden die bestimmte DGl, Anfangsbedingungen bzw.

Zwangsbedingungen erfüllen

– Bedingungen werden als Wirkungsintegral über eine Lagrange-Funktionausgedrückt

Beispiel:

i. die wahre Bahn macht das Wirkungsintegral extremal

ii. welche Funktion beschreibt die hängende Kette?

iii. kürzeste Verbindung in der Ebene?

Extremwertproblem VariationsproblemFunktion f(x) gegeben Funktional S =

x1L(q, q, t)dt gegeben

Extremum von f gesucht Extremum von S gesuchtf sei extrem bei x0: S extrem bei q0(t):notw. Bed.: "f = 0 notw. Bed. "S = 0"f = f(x + "x), -. /

f(x)+ ddx f ·,(x)

!f(x) = 0 #variiere Fkt.

% ddtf(x)"x = 0 da "x belibig # d

dxf(x) = 0

4.4 Euler-Lagrange-Gleichungen– Hamiltonsches Prinzip "S = "

x1L(q, q, t)dt = 0

– Sei q(t) die Bahn die S extremal macht, dann ändert sich S nur wenig mitjeder kleinen Abweichung "q(t)

wichtig: "q(t1) = "q(t2) = 0, Anfangs- und Endpunkt fest

– Also

"S =ˆ t2

L(q, q, t)dt =ˆ x2

224L(q + "q, q + "q, t), -. /L(q,q,t)+ $L

$q ,q+ $L$q ,q

!L(q, q, t)

=ˆ t2

&q"q +

mit "q = ddt"q

"S =ˆ t2

9=ˆ t2

&q! "q

&q"q|t2t1

, -. /= 0, da

"q(t1) = "q(t2) = 0

=ˆ t2

muss für beliebige Variationen "q(t) gelten, deshalb

&qi! &L

&qi= 0 "i

Euler-Lagrange-Gleichungen

Eindeutigkeit der Lagrange-Funktion L

i. Lagrange-Funktion eines Gesamtsystems aus zwei Teilsystemen A&B,die weit genug (mathematisch /) von einander entfernt sind ist

L = LA + LB

ii. L kann mit einer Konstanten multipliziert werden

iii. Sei L!(q, q,t) = L(q, q, t) + ddtf(q, t) dann:

S! =´ t2

t1dtL!(q, q, t) =

´ t2t1

dtL(q, q, t) +´ t2

t1dt d

dtf(q, t)% S! = S + f(q(t2), t2) ! f(q(t1), t1) % "S! = "S da "f = 0, da"q(t1) = "q(t2) = 0# Euler-Lagrange-Gleichungen sind invariant unter Addition vontotalen Zeitableitungen zu L

Satz: für konservative Systeme ist L = T ! V , T =+

i12mi!x2

i , V!Potential

4.5 Der freie Massepunkt (V = 0)

Satz: L für freie MassepunkteIst m ein freier Massepunkt, dann ist L = 1

– Wiederholung:

!x2 = x2 + y2 + z2 kartesische Koordinaten= r2 + (r$)2 + z2 Zylinderkoordinaten= r2 + (r$ sin ')2 + (r')2 Kugelkoordinaten

– Euler Lagrange-Glg. ddt

! !L!xi

iddt (mxi) = 0

4.6 System wechselwirkender MassepunkteSatz: Lagrange-Glg.

L = T ! V , V = V (!x1, !x2, . . . , !xs)% L =+s

i=112mi!xi ! V (!x1, . . . , !xs)

Bemerkung:

– Änderung von V wirkt sich instantan aus

– tiefere Ursache: absolute Zeit in klassischer Mechanik, Korrektur durchRelativitätstheorie

– Euler-Lagrange Gleichung ddt

!L!%xi

! !!%xi

V = 0 , ddt (m!xi) = ! !

!%xiV =!pi =

4.7 Lagrange-Funktionen konkreter Systeme4.7.1 Ebenes Fadenpendel

T = m2 !x2 = m

2 l2$2, V = mgz = mgl(1! cos $)% L = T ! V = m

2 l2$2 !mgl(1! cos $)% d

dt!L!# !

!L!# = d

dtml2$ + mgl sin$ = ml2$ + mgl sin$ = 0Näherung für kleine Amplituden sin$ ( $ bekannt!jetzt richtig! Dazu “massieren” wir das Integral jetzt erst einmal etwas:$ = ! g

l sin$% $$ = ! g

l $% d

dt (12 $2) = d

dt (gl cos $)

% ddt (

12 $2 ! g

l cos $) = 0% 1

2 $2 ! gl cos $ = const. 4 ! g

l cos $0

% $2 = 2 gl (cos $! cos $0)

% $ =&

2 gl (cos $! cos $0) für $ 3 0

d#+2 g

l (cos #"cos #0)=´ t0 dt! = t

´ ##0

d#+2 g

l (cos #"cos #0)= 1+

´ ##0

d#+(cos( %

2 + %2 )"cos #0)

= 1+2 g

´ ##0

d#+2(sin2 %0

2 "sin2 %2 )

=1+2 g

1+2 sin2 %0

´ ##0

1"(sin %

2sin %0

substituieren:u = arcsin( sin(#/2)

sin(#0/2)

du = 1r1" sin2(%/2)

sin2(%0/2)

1sin(#0/2)

12 cos #

2 d$ und cos #2 =

01! sin2 #

01! sin2 #0

2 sin2 u

. . . =2&4 g

ˆ arcsin( sin(%/2)sin(%0/2) )

arcsin( %(0)/2%0/2 )

du01! sin2 #0

2 sin2 u

betrachte 14 Schwingung z.B. cos $ = 0 bei $0, $(0) = $0

T4 = 1+

1"sin2 %02 sin2 u

% T ($0) = 4(0

1"sin2 %02 sin2 u

Bemerkung:

1. Schwingungsdauer T hängt von Amplitude $0 ab

2. K(+) =´ !/20

du+1"sin2 $ sin2 u

vollständiges elliptisches Integral erster Gat-tung% T ($0) = 4

(0K(#0

4.7.2 Fadenpendel im Raum

T = m2 (l2'2 + l2 sin2 '$2), V = !mgz = !mgl cos '

L = T ! V = m2 l2('2 + sin2 '$2) + mgl cos '

# Euler-Lagrange-Gleichungen$ : d

dt!L!# !

!L!# = d

dt (m)2 l2 sin2 '$ ' 2) = 0 % ml2 sin2 '$ = const. aber

verstehen wir das physikalisch?

R* = l sin '!vz = l sin '$# Lz = R*mvz

z-Komponente von !L = !r ) !p Drehimpuls

% ml2 sin2 '$ = Lz = const. (Erhaltungsgröße)

% $ = Lz

ml2 sin2 &

# neues L =m

2l2' + mgl cos ' +

2l2 sin2 '

m2l4 sin4 '

2l2'2 + mgl cos ' +

2ml2 sin2 '

4.7.3 Ebenes Doppelpendel

T = 12m1!x2

1 + 12m2!x2

2, !x21 = l21$

21 und !x2 = x2!ex + y!e1

mit x2 = l1 sin$1 + l2 sin$2, y2 = l1 cos $1 + l2 cos $2

!x22 = x2

2 + y22

= (l1$1 cos $1 + l2$2 cos $2)2 + (!l1$1 sin$1 ! l2$2 sin $2)2

= l21$21 + l22$

22 + 2l1l2$1$2 (cos $1 cos $2 + sin$1 sin$2), -. /

cos(#1"#2)

V = !m1gy1 !m2gy2 = !m1gl1 cos $1 !m2gl1 cos $1 !m2gl2 cos $2, also:L = m1+m2

2 l21$21 + m2

2 l22$22 +m2l1l2$1$2 cos($1!$2)+(m1 +m2)gl1 cos $1 +

m2gl2 cos $2

# Euler-Lagrange-Gleichungen:&L

&$1= (m1 + m2)l21$1 + m2l1l2$2 cos($1 ! $2)

!m2l1l2$2 sin($1 ! $2)$1 + m2l1l2$2 sin($1 ! $2)$2

&$1= !m2l1l2$1$2 sin($1 ! $2)! (m1 + m2)gl1 sin $1

&$2= m2l

22$2 + m2l1l2$2 cos($1 ! $2)

&$2= m2l

22$2 + m2l1l2$1 cos($1 ! $2)!m2l1l2$

21 sin($1 ! $2) + m2l1l2$1$2 sin($1 ! $2)

Bemerkung:

– gekoppelte nicht-lineare DGl # chaotische Bewegung

Definition: deterministisches Chaos

– Bewegungsgleichung deterministisch

– Bahnen sind stark von den Anfangsbedingungen abhängig

– Abstand zweier Bahnen ($1, $2, $1, $2)&($!1, $!2, $!1, $!2) wächst exponen-tiell: d 0 e*t, - =Ljapumor-Exp.

– wenn Anfangsbedingung nur ungenau bekannt, dann Zeitentwicklung (überlängere Zeit) unvorhersagbar

4.8 ErhaltungssätzeBemerkung:

1. Bei der Bewegung eines Systems mit s Freiheitsgraden ändern sich dieq1, . . . , qs und q1, . . . , qs mit der Zeit.

2. Oft 1 Funktionen von q&q, die bei der Bewegung konstant bleiben undnur von den Anfangsbedigungen abhängen% Erhaltungsgrößen, Bewegungsintegrale; z.B. Gesamtenergie, Lz bei Pendel. . .

3. Konstanz einiger Größen hat tiefere Ursachen:Homogenität der Zeit # EnergieerhaltungHomogenität des Raumes # Erhaltung GesamtimpulsesIsotropie des Raumes # Erhaltung des Drehimpuls

4.8.1 Energie

– Homogenität der Zeit:Es gibt keinen ausgezeichneten Zeitnullpunkt, eine Zeiteinheit ist immergleich lang# L kann nicht explizit von t abhängen, L = L(q, q, ' t)

&qiqi +

&qiqi+ '

& ' L& ' t nutze

&qiELG

&qi)qi +

&qi! L

Satz: Energieerhaltung

&qi! L = const.

Bemerkung:

1. E = Energie des Systems

2. Wenn L = T ! V , d.h. konservativ d.h. V = V (q)#

= 2T % E = 2T ! L = T + V "

3. E ist wie L additiv für Teilsysteme, deren Wechselwirkung vernachlässigtwerden kann.

4.8.2 Impuls

– Homogenität des Raumes: kein ausgezeichneter Ursprung, kann Koordi-natensystem beliebig verschieben, d.h. !ri # !ri + !*

– L invariant unter infinitesimaler Verschiebung !* = "!ri"i"L = 0 =

!L!%ri

"!ri = !*+

i!L!%ri

%%' beliebig

!L!%ri

= 0 mit ELG

!L!%ri

Beispiel: T =+

i12mi!r2

i!L!%ri

i mi!ri = !P

Bemerkungen:

i. !P heißt Gesamtimpuls des Systems

ii. !P ist stets additiv

iii. !P ist nur in abgeschlossenen Systemen erhalten. Unter Einwirkungäußerer Potentiale können aber immer noch Komponenten von !Perhalten bleiben.

Beispiel 1:Gravitation an der Erdoberfläche 5 !ez # Px&Py erhalten (“schräger Wurf”)

Beispiel 2:

V1 konst. im linken Halbraum, V2 konst. im rechten Halbraum, (V1 > V2)-Symmetrie # Py erhalten- Py = mv1 sin '1 = mv2 sin '2

# v2v1

= sin &1sin &2

mv1(V1 ! V2)

, -. /Energieerhaltung

mi!r1 =d

mi!r1, mi const

+i mi!ri+k mk, -. /

Schwerpunkt %R

Impuls des Systems = Impuls des Schwerpunkts

4.8.3 Drehimpuls

Definition: Isotropie des Raumeskeine Richtung ausgezeichnet; kann Koordinatensystem drehen, ohne dass L

sich ändert.

– betrachte kleine Drehungen, fordere dass L unverändert bleibt

Drehung um "!$# "!r = "!$) !r, "!v = "!$) !v

&!ri"!ri +

("!$) !r) +&L

("!$) !ri)9

mit !L!%ri

= !pi und !L!%ri

= ! !V!%ri

= !Fi = !pi

=!pi("!$) !ri) + !pi("!$) !ri)

= "!$%

=!ri ) !pi + !ri + !pi

>= "!$

!ri ) !pi

, -. /=0, da ,%# beliebig

i !ri ) !pi =: !L = const.

Definition: Drehimpuls!L heißt (Gesamt-) Drehimpuls des Systems

Satz: !L ist additiv

Theorem: ErhaltunsgrößenJedes abgeschlossene System aus mindestens 2 Teilchen besitzt 7 Bewegungs-

integrale:Energie (1), Impuls (3), Drehimpuls (3).

Satz: Noether-TheoremJeder kontinuierlichen Symmetrietransformation der Lagrange-Funktion L

entspricht eine Erhaltungsgröße

4.8.4 Zyklische Koordinaten

Betrachte ddt

!L!qi! !L

!qi= 0

Definition: verallgemeinerter Impuls!L!qi

Definition: zyklische Koordinateqi heißt zyklisch, wenn !L

!qi= 0

% qi zyklisch # pi = !L!qi

= const. = Erhaltungsgröße (!)

4.9 Zwei-Körper-Probleme4.9.1 Reduzierte Masse

– Lagrange-Funktion zweier Massen:

L = m2 !r2

1 + m2 !r2

2 ! V (!r1 ! !r2)V hängt vom Relativabstand ab, oft sogar nur von |!r1 ! !r2|

– Relativ- & Schwerpunktskoordinaten:

!R = m1%r1+m2%r2m1+m2

Schwerpunktskoordinate!R = m1%r1+m2%r2

m1+m2Geschwindigkeit des SP

!r = !r1 ! !r2 Relativkoordinate!r = !r1 ! !r2 Relativgeschwindigkeit

% L = M2

!R2 + µ2 !r2 ! V (!r)

M = m1 + m2 Gesamtmasse, µ = m1m2m1+m2

reduzierte Masse

4.9.2 Bewegung im Zentralfeld

Definition: ZentralfeldV (!r) = V (|!r|) = V (r)# !F = !2V (r) = !!r

!%r!!r V (r) = !!V

!r !er

Bemerkung: im Zentralfeld hat Kraft radiale Richtung

Beispiel:

Gravitation VG(r) = !, m1m2r

elektrostat. VC(r) = q1q24!'0r

% L = M2

!R2 + µ2 !r2 ! V (r)

Bemerkungen:

1. SP bewegt sich geradlinig gleichförmig, wird im weiteren nicht betrachtet

2. L ist invariant unter Drehungen # Drehimpulserhaltung !L

3. L nicht explizit zeitabhängig # E erhalten

4. Energie von SP- und Relativbewegung separat erhalten, da die beidennicht wechselwirken.

Relativbewegung!L = µ(!r ) !r), E = µ

2 !r2 + V (r)

Bemerkung: aus Drehimpulserhaltung folgt, dass Bahn in einer Ebene(!r · !L = 0)

wähle Polarkoordinaten in der Ebene; !L 5 !ez; Lagrange-Funktion: L =µ2 (r2 + r$2)! V (r)

L hängt nicht von $ ab (zyklische Koordinaten)ddt

!L!# = 0 = d

dt (µr2$)# µr2$ = p# = const.=Lz = |!L|betrachten Lz = µr2$

Fläche im Dreieck dA = 12r · r"$, Lz = µr2 d#

dt = 2µA

% Flächensatz (2. Keplersche Gesetz)# Erhaltung des Drehimpulses bedeutet Konstanz der Flächengeschwindig-

keitDer Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

– betrachte die Energieerhaltung$ = |%L|

% E =µ

2(r2 + r2$2) + V (r)

2µr2+ V (r)

, -. /+Veff (r)

# Veff verhält sich wie radialsymmetrisches Potential, da !L = const.

2µr2 wird auch Zentrifugalpotential genannt

Beispiel: GravitationV (r) = !, m1m2

Aus Veff = E1 ergeben sich der maximal und minmal mögliche Radius rAus Veff = E2 folgt der minimale Radius: Teilchen verschwindet ins Unend-

– zurück zur Energieerhaltung:

2r2 + Veff (r)

% r =dr

dt= ±

[E ! Veff (r)]

für r,0%ˆ t

dt! =ˆ r

dr!02µ [E ! Veff (r)]

% r(t) in impliziter Form

oder mit $ = Lzµr2 = d#

2µ [E"Veff ]

= dt = d#Lzµr2

% $(r)! $(r0) =´ r

Lzr2 dr!+

2µ[E"Veff (r!)]

$ als Funktion von r von $[r($)] % geom. Bahnkurve

– allgemeine Bahn des gebundenen Systems

– nur dann geschlossen, wenn"$ = 2

´ rmax

(Lz/r2)dr+2µ[E"Veff (r)]

= 2!mn , m, n & N

– geschlossene Bahnen für V 0 1r oder V 0 1

zur Konstruktion der Bahnkurve genügt ein Abschnitt zwischen rmax undrmin # dann symmetrisch fortsetzen

4.9.3 Das Kepler-Problem

– betrachte Potential der Form

V (r) = !$r + L2

z2µr2

E < 0 gebundenes System, E 3 0 ungebundenes SystemBahnformel:

$(r)! $(r0) =ˆ r

Lzr2 dr

&2µ[E ! Veff ]

=Lz+2µ

dr!&Er!4 + Veffr!4

= arccos

@Lzr! !

µ$Lz0

2µE + µ2$2

% cos $ =Lzr "

µ#Lzq

2µE+ µ2#2Lz

mit p = L2z

µ$ & e =0

1 + 2EL2z

% pr = 1 + e cos $ oder r($) = p

1+e cos #

– Bahngleichung ist Kegelschnitt

– p heißt Parameter, e Exzentrizität der Bahn

– $ = 0 % r($ = 0) = rmin (“Perihel”)

– Brennpunkt im Ursprung

Bemerkung: da !r1&!r2 aus !r folgt: beide Massen bewegen sich auf Kegel-schnitten um gemeinsamen Brennpunkt

– gebundenes System: E < 0

% 0 * e < 1 Ellipse (1. Keplersches Gesetz)

% Halbachsen: a = p1"e2 = $

2|E| große Halbachseb = p-

1"e2 = Lz+2µ|E|

kleine Halbachse

– minimal mögliches E :

Emin = !$2µ2L2

z% Kreis (e = 0)

Bewegung des Potentialminimums von Veff

# rmin = p1+e = a(1! e), rmax = p

1"e = a(1 + e)% Umlaufzeit T# es war Lz = 2µA% TLz = 2µA% T = 2µ

LzA mit A = !ab#Ellipse

= 2µLz! $

2|E|Lz+2µ|E|

= µ!$

2µ|E|= 2!a 3

$ %T 2

$3 = const. (3. Keplersche Gesetz)

– ungebundenes System E 3 0

# E > 0 : % e > 1 Bahn Hyperbel rmin = pe+1 = a(e ! 1); a = p

e2"1 = $2E

Halbachse# E = 0 : % e = 1 Bahn eine Parabel; rmin = p

Bemerkung: - Tatsache, dass sich Bahn nicht “dreht”, d.h. geschlossen ist,deutet auf eine Erhaltungsgröße hin: Lenz-Vektor

4.10 Klassifizierung von ZwangsbedingungenBemerkung:

– bisher solche Probleme, wo Zwangsbedingung durch Reduktion auf gene-ralisierte Koordinaten berücksichtigt werden konnten

a) holonome und nicht-holonome Zwangsbedingungen

Definition: holonome ZwangsbedingungHolonome Zwangsbedingungen sind durch Gleichungen der Form fk(!x1, !x2, . . . , t) =

0, k = 1, . . . , s darstellbar; ansonsten nicht-holonom.

Beispiel:

i. holonom: Pendel f(!x) = x2 + y2 + z2 ! l2 = 0

ii. nicht-holonom: Gas im Kasten der Länge L: 0 * x * L

– Zwangsbedingung können di!erentiell gegeben sein:+N

k=1 ak(x1, . . . , xN )dxk =0 (6)

Bemerkung: Wenn (6) totales Di!erential einer Funktion F , dann holo-nom.

Satz: Kriterium für vollständiges Di!erential!ak!xi

= !ai!xk

b) rheonome und skleronome Zwangsbedingung

Definition: rheonome Zwangsbedingung.... ist explizite Funktion der Zeit, z.B. Perle auf bewegtem Draht

Definition: skleronorme Zwangsbedingung... hängen nicht explizit von der Zeit ab.

Eliminierung der Zwangsbedingung: bei holonomen Zwangsbedingungenlassen sich s abhängige Koordinaten eliminieren% !x1 = !x1(q1, . . . , q3N"s, t)% !xN = !xN (q1, . . . , q3N"s, t)

% !xi =+3N"s

k=1!%ri!qk

qk +&!ri

&t,-./=0, falls skleronome ZB

“Satz”: Selbststudium: d’Alembertsches Prinzip% Euler-Lagrange-Gleichungen erster (!) Art:

&qi! &T

&qi= Qi =

!Fi&!xj

Bemerkungen:

– T =kin Energie, qi=generalisierte Koordinaten

– gilt auch für nicht-konservative Kräfte !Fj

– wenn !Fj = ! !!%xj

V # Qi = !+

j!V!%xj

!qi= ! !V

!L!qi! !L

!qi= 0 mit L = T ! V , E.-L.-Gl. 2. Art

4.11 Methode der Lagrange-MultiplikatorenBemerkung:

– Anwendung für di!erentielle ZB, also holonome und spezielle nicht-holonome

– Vorteil: Zwangskräfte können mit ausgerechnet werden

z.B.:Zwangsbedingungen gegeben

al"dq" + al

tdt = 0

n= Zahl der Konservativen, s= Zahl ZB % l & {1, . . . , s}

&q"! &T

&q"!Q" !

-lal" = 0 , # & {1, . . . , n}

für konservative Systeme Q" = ! !V!q!

&q"! &L

-lal" = 0 , # & {1, . . . , n}

Bemerkung:

– -l= Lagrange-Parameter

– n E.-L.-Gl., aber n + s Unbekannte: n Koordinaten, s L-Multiplikatoren,s Gleichungen für die ZB

"=1 al"dq" + al

t = 0 : "l = 1, . . . , s

– Q." =+s

l=1 -lal" ist Zwangskraft auf Koordinate q"

5 MECHANIK NACH HAMILTON 44

4.12 ReibungBemerkung:

– Reibungskräfte haben kein Potential

– Reibungskräfte sind im Allgemeinen keine Zwangskräfte

– E.L. 1.A.:ddt

!T!qj! !T

!qj= Qj = Q(k)

j,-./konservativ

+ Q(R)j, -. /

Reibung

!L!qj! !L

!qj= Q(R)

brauchbarer Ansatz für Reibungskräfte:Q(R)

j = !+n

l=1 )jlqk, )jl = )lj

Bemerkung: ) nicht Zwangsläufig symmetrisch, nehmen diesen (häufi-gen?) Fall an.

Definition: Rayleighsche DissipationsfunktionD = 1

+nl,j=1 )lmql ˙qm

% unmodifizierte E-L-Gl.ddt

!L!qj! !L

!qj+ !D

!qj= 0 : "j

– physikalische Bedeutung der Dissipationsfunktion:- Reibung # T + V '= const.

- Ursache: Arbeit der Reibungskräfte dW (R) = !+

j Q(R)j dqj vom System

an der Umgebung geleistete Arbeit# d

dtW(R) = !

+j Q(R)

j qj =+

j,l )jlqlqj = 2D=abgegebene Leistung# d

dt (T + V ) = ! ddtW

5 Mechanik nach Hamilton

– hatten Energie: E =+

&qi,-./pi

qi ! L

– Einführung einer neuen Funktion: H(q1, . . . , p1, . . .), die Hamiltonfunktiongenannt wird

Definition: HamiltonfunktionH(q, p, t) =

qi ! L(q, q, t) und pi = !L!qi

Bemerkung: Das ist letztlich eine Legendre-Transformation von q, q aufq, p als unabhängige Variablen.

Beispiel: L = T ! V = m2 q2 ! m

2 m(2q2

p = !L!q = mq % H(q, p) = mq2 ! m

2 q2 + 12m(2q2 = p2

2m + m2 (2q2

5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungeni.

(dpiqi + pidqi)!%

&qidqi +

&qidqi)!

(qidpi ! pidqi)!&L

ii.dH =

&qidqi +

&pidpi) +

&tdt da H = H(q, p, t)

Koe"zientenvergleich:

% pi = !&H

&qi, qi =

&pi,&H

&t= !&L

Bemerkung:

– statt einer DGl 2.Ordnung jetzt 2 DGl erster Ordnung

– p und q spannt Phasenraum von qi & pi aufgespannt

– es gilt: Phasenraumkurven schneiden sich nicht; geht nicht, da q & p Zu-stand vollständig beschreiben. Zeitentwicklung damit eindeutig.

– zyklische Koordinaten werden weitervererbt

– H wichtig als Konzept und Grundgröße für QM & TD/Stat.

Lösungschema:1. Generalisierte Koordinaten festlegen (holonome ZB) q1, . . . , qn

2. Transformationsgleichungen: !xi = !xi(q1, . . . , qn, t), !xi = !xi(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t)

3. L = T ! V konservativ aufstellen: L = L(q, q, t) # 3a. E.-L.-Glg.

4. generalisierte Impulse: pi = !L!qi

= pi(q, q, t)

5. H aufstellen, H = H(q, p, t)

6. Hamiltonsche Bewegungsgleichungen lösen

Beispiel:

Pendel Masse m, Zwangsbedingung z = 0, x2 + y2 ! l2 = 0 #generalisierteKoordinaten

x = l sin $ x = l$ cos $#

y = l cos $ y = !l$ sin$T = 1

2m(x2 + y2 + z2) = 12ml2$2, V = !mgy = !mgl cos $

L = T ! V = 12ml2$2 + mgl cos $, p = !L

!# = ml2$

H = !L!q q ! L = ml2$2 ! m

2 l2$2 !mgl cos $ = p2

2ml2 !mgl cos $Hamiltonsche Bewegungsgleichungen:p = !!H

!# = !mgl sin$, $ = !H!p = p

% $ = pml2 = ! g

l sin $ “Aha!”

5.2 Zeitentwicklung von Observablen, PoissonklammernObservable f sei Funktion von q, p, t

ddtf =

qi + !f!pi

pi) + !f!t =

!H!pi! !f

) + !f!t

Definition: Poisson-Klammer:{f, g} :=

!g!pi! !f

dtf = {f, H} + !f!t Bemerkung: manchmal [·, ·] statt {·, ·}

Satz: Erhaltungsgrößensei f Observable, nicht explizit von der Zeit abhängig; wenn {f, H} = 0 dann

ist f Erhaltungsgröße

Beispiel: H = p2

2m + m2 (2q2, q = {q, H} = p

Beispiel: suchen Zeitentwicklung einer Funktion g(q, p)Taylor: g(q(t), p(t)) = g|t=0 + d

dtg|t=0t + 12

dt2 g|t=0t2 + . . .ddtg = {g, H}; d2

dt2 = {g, H} = {{g,H}, H}

% g(q(t), p(t)) = g|t=0 ++&

i=1 {{{g, H}, H} . . .}, -. /i"Poisson-Kl.

sei H = p2

2m + mgz, untersuchen g = x{x, H} = p

m , {{x, H}, H} = { pm , H} = 1

m{p, p2m} + 1

m{p, mgx} = !g,{{{x, H}, H}, H} = 0 allg. {f, H} = 0 für f = const.

x(t) = x|t=0 + pm |t=0t + 1

2 (!g)|t=0t2

Teil II

Elektrodynamik6 Maxwell-Gleichungen

6.1 Ladung und FeldDefinition: Feld

Felder machen sich durch ihre Wirkung auf Proben bemerkbar. Das elektro-magnetische Feld durch auf elektrische Ladungen (& Magnete).

Definition: LadungVielfaches der Elementarladung e = 1, 602 · 10"19As

Beispiel: Proton qp = e, Neutron qN = 0, Elektron qe = !e

6.2 Lorentz-KraftSatz: Lorentz-Kraft

!F = q( !E + !v ) !B), wobei!E = !E(!r, t) elektrische Feldstärke; Vektorfeld!B = !B(!r, t) magnetische Induktion; Vektorfeld

Bemerkung:

– elektromagnetisches Feld =( !E, !B)

– Aufteilung in !E & !B vom Bezugssystem abhängig (weil !v vom Bezugssys-tem abhängt und !F für Inertialsysteme gleich)

6.3 KontinuitätsgleichungDefinition: Ladungsdichte

/(!r, t) = lim!V%0

!Q!V = dQ

!# Ladung im Volumen V: QG(t) =ˆ

V/(!r, t)d3r

6 MAXWELL-GLEICHUNGEN 48

Definition: elektrische Stromdichte!j(!r, t) (Ladung pro Zeit und Fläche)

!# elektrische Stromstärke (el. Strom durch Fläche A): IA(t) =ˆ

!j(!r, t)d !A

Satz: elektrische Ladung bleibt erhaltenLadungsänderung ergibt sich durch Zu- oder AbflussddtQG(t) + I!G(t) = 0mit Satz von GaußI!G(t) =

G!2 ·!j(!r, t)d3r

Ladungserhaltung gilt für alle Zeiten & GebieteVolumenintegrale # Kontinuitätsgleichung

% /(!r, t) +&

&!r·!j(!r, t) = 0

mit !2= !!%r

6.4 Transformationseigenschaften der beteiligten GrößenAusgangspunkt: Kraft !F = q( !E + !v ) !B) soll unabhängig von Wahl des

Koordinatensystems und der Zeitrichtung sein.

i. Raumspiegelung (Inversion) !r 7# !!ra. / 7# /b. !j 7# !!j (!j 0 /!v)c. !E 7# ! !E, da !F im invertierten Koordinatensystem in die Gegen-richtung zeigt.d. !B 7# !B, da !F 7# !!F und !v 7# !!v

ii. Verhalten unter Zeitspiegelung t 7# !ta. / 7# /b. !j 7# !!j, da !v 7# !!vc. !E 7# !E, da !F = q !E und !F 7# !Fd. !B 7# ! !B

% / - skalares Feld (Skalar)!j - Vektorfeld (Vektorfeld)!E - Vektorfeld (Vektor)!B - Vektorfeld (Pseudo-Vektor)

Beispiel: !!%r · !B Pseudo-Skalar

6.5 Maxwell-Gleichungen6.5.1 di!erentielle Form

– heuristische Ableitung aus folgenden Überlegungen

6 MAXWELL-GLEICHUNGEN 49

i. Superpositionsprinzip (/1,!j1)# ( !E1, !B1), (/2,!j2)# ( !E2, !B2)%

C(/1 + /2), (!j1 +!j2)

C( !E1 + !E2), ( !B1 + !B2)

% el. mg. Feld ist linear in / und !j

ii. nur Ausdrücke mit gleichem Transformationsverhalten dürfen (kombiniertgleichgesetzt

werden

\ t# !t !r # !!r Feld ddt grad div rot

S + + / !2 · !ES + !S ! + / !2 ·!jS ! ! !2 · !B

V + + !B !2) !E

V + ! !E !j grad/

V ! + !B !2)!j

V ! ! !j !E !2) !B

1. Zeile: *0!!%r · !E = / Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes

2. Zeile: -

3. Zeile: / + !!%r

!j = 0 Kontinuitätsgleichung

4. Zeile: !!%r · !B = 0 Es gibt keine magnetischen Monopole

5. Zeile: !B + !!%r ) !E = 0

6. Zeile: a !E + b!j + c !!%r · / = 0 Es gibt Felder im Vakuum # a = 0 & wegen

Kontinuitätsgleichung # b = c = 0

7. Zeile: a !B + b !!%r ) !j = 0 Vakuumargument # a = 0. # b = 0 (sonst

!!%r )!j = 0)

8. Zeile: 1µ0

!!%r ) !B = !j + *0

Bemerkung: µ0 = 4! · 10"7V sA"1m"1 Permeabilität des Vakuums*0 = 8, 854 · 10"12AsV "1m"1 Dielektrizitätskonstante

Satz: Vakuumlichtgeschwindigkeit*0µ0c2 = 1, c Vakuumlichtgeschwindigkeit

7 ELEKTROSTATIK 50

Maxwell-Gleichungen

*0!!%r · !E = /

!!%r · !B = 0

!!%r ) !E + !B = 0

!!%r ) !B = !j + *0

6.5.2 Integrale Form der Maxwell-Gleichungen

Satz: Satz von Gauß´

V!!%r · !fdV =

!V!fd !A

Satz: Satz von Stokes´

A(d !A) !!%r )!f =

!A!fd!r

(1) *0!!%r

!E = /

!%r dV = QV

(2) !!%r · !B = 0,´

!V!B · d !A = 0

(3) !!%r ) !E + !B = 0

A( !!%r ) !E)d !A =

, -. /Uind

A!Bd !A “Induktionsgesetz”

(4) 1µ0

!!%r ) !B = !j + *0

, 1µ0

!A!B · d!r =

A!j · d !A + *0

A!Ed !A = IA + *0

A!Ed !A

7 ElektrostatikBemerkung: Definition von Elektrostatik:ddt

!B = ddt

!E = !j = !B = 0%

Maxwell*0

!E = / & !!%r ) !E = 0

d.h. !E ist wirbelfrei , 1f mit gradf = !E!f 4 $ heißt Elektrisches Potential

7.1 Elektrisches PotentialSatz: !E = ! !

!%r $% Maxwell !*0!!%r

!!%r$ = !*0 · "$ = /

7 ELEKTROSTATIK 51

7.2 Felder spezieller Ladungsverteilungen7.2.1 Feld einer Kugelsymmetrischen Ladungsverteilung

Kugelsymmetrisch bedeutet / = /(r)% $ = $(r) & !E = E(r)!er

- Integrale Maxwell-Gleichung

&!r!Ed3r = *0

!Ed !A

Kugelsymm.= *0

!KugelE(r)

#%dA. /, -!erd !A

!Kugelr2d$ sin 'd'E(r)

= *04!r2E(r) =ˆ

Vd3r/(r) = QV = Q(r)

% E(r) =Q(r)4!*0

% $(r) = $(r0)!ˆ r

!E(!r)d!r auf beliebigem Weg da !E = ! &

= $(r0)!ˆ r

E(r)dr ,r0 = ”/” zur Def von $(r0) = 0

% $(r) =ˆ &

rE(r)dr =

Q(r)4!*0r2

7.2.2 Was ist eine Punktladung?

i. /(!r) überall 0 außer bei !r0

V /(!r)dV = Q, wenn !r0 in V , sonst 0

% Dirac "in 3D: "(!r ! !r0) 4 "(3)(!r ! !r0) =: "(x! x0) · "(y ! y0) · "(z ! z0)

– Punktladung im Ursprung: /(!r) = Q"(!r)

% *04!r2E(r) =´

V Q"(!r)dV = Q

% E(r) = Q4!'0r2 % $(r) =

Q4!'0r2 dr = Q

4!'0r 8 Analogie: GravitationPunktladung bei !r0: $(!r) = Q

4!'|%r"%r0|

7.2.3 Feld einer beliebigen Ladungsverteilung

– eine Punktladung $(!r) = Q4!'|%r"%r0|

7 ELEKTROSTATIK 52

– mehrere Punktladungen $(!r) =+

4!'0|%r"%ri|

% Potential kontinuierlicher Ladungsverteilungen:

$(!r) =ˆ

/(r!)4!*0|!r ! !r !|d

Probe: !*0!2

!%r2 $(!r) = /(!r), benötige !2

|%r"%r !| = !4!"(!r ! !r !)

Bemerkung:

– konstruktive Vorschrift: /(!r)# $(!r) (im Gegensatz zu DGl)

7.2.4 Feld eines elektrischen Dipols

$(!r) = Q4!'0

( 1|%r| !

1|%r+%a| ) oft |!r| >> |!a| # Taylor

1|%r+%a| = 1

|%r| + !a !!%r

1|%r+%a| |%a=0 . . . = 1

r !%a·%rr3

% $(!r) ( Q4!'0

( 1r !

1r + %a·%r

r3 ) = Q%a·%rr3 , Q!a = !p heißt Dipolmoment

!E(r) = ! !!%r$(!r) = ! 1

%p·%rr3 und !

!%r (!p · !r) = !p, !!%r

1r3 = !r

!%r!!r

1r3 = !"3%r

% !E(r) = ! 14!'0

( %pr3 ! 3 (%p·%r)%r

r5 ) = 14!'0

!p · ( 3%r/%r"r2

wobei !r 9 !r =

$ · (!!!) =

"! ! !! ! !! ! !

$ “Dyadisches Produkt”

Bemerkung:

– E fällt wie 1r3 ab

– auch elektrisch neutrale Systeme können also ein el. Feld besitzen

– typisches Beispiel: H2O

7 ELEKTROSTATIK 53

7.2.5 Fernfeld einer beliebigen Ladungsverteilung

|!r| >> a, d.h. Fernfeld$(!r) =

´ -(r!)4!'0|%r"%r !|d

3r! mit |!r !| << |!r| für / '= 0Taylor-Reihe für 1

|%r"%r !| :

1|!r ! !r!| =

(!!r! · &

&!r)n 1

|!r ! !r!| |%r!=0 =

(!!r! · &

&!r)n 1

=1r! (!r! · &

&!r)1r

+12(!r!

&!r)(!r!

&!r)1r

+ . . .

+!r! · !rr3

3(!r! · !r)2 ! !r!2r2

r5+ . . .

#Multipolentwicklung:

$(!r) =1

4!*0[1r

d3r!/(!r!) ”Monopol”

r3·ˆ

d3r!/(!r!)!r! ”Dipol”

d3r!/(!r!)[3!r! 9 !r! ! r!2] · !r ”Quadropol”

+ . . .]

Anwendungen:– Antennendesign, d.h. suche spezielles $, wie muss / aussehen?

– beobachte $, z.B. von Sonne, wie sieht eigentlich / aus?

7 ELEKTROSTATIK 54

7.3 Randwertprobleme– Maxwell: !*0"$ = / d.h. DGl 2. Ordnung

formale Lösung $(!r) =´ -(r!)

4!'0|%r"%r !|d3r!

– oft bestimmen Randbedingungen das Problem

Beispiele:(i)

geerdete Metallplatte

Leiter

7 ELEKTROSTATIK 55

Dipolschicht

Randbed.

1. $(!r2), $ auf Rand gegeben; Dirichlet-Randbedingung (RB)

2. !#!n = !n · !

!%r$ = !!n !E = !En gegeben (Normalkomp.); Neumann-RB

3. gemischte RB, stückweise 1&2

formale Lsg: !*0"$ = / mit $ = $p + $n so dass$p =

d3r! -(%r!)|%r"%r!|

und "$n = 0, Wahl von $n so, dass RB erfüllt

7.3.1 Leiter im elektrostatischen Feld

Definition: LeiterSto!e, die frei bewegliche Ladungsträger enthalten, z.B. Metalle mit Elek-

tronen im LeitungsbandLeiter im Feld # Gleichgewichtszustand

7 ELEKTROSTATIK 56

Ladungen verschieben sich so lange, bis !F = 0, d.h. !E = 0 im Leiter % $ =const. im Leiter und auf seiner Oberfläche (Äquipotentialfläche)% !E senkrecht auf Oberfläche im Außenraum#Ladungen werden im Inneren so verschoben, dass !E im Inneren abge-

schirmt, insbesondere werden Ladungen auf der Oberfläche des Leiters influ-enziert.# “Influenzladungen”. Gilt auch für hohle Leiter (Faraday-Käfig).

7.3.2 Spiegelladungsmethode (Bildladungsmethode)

Idee: simuliere Äquipotentialfläche durch zusätzliche Ladungen (außerhalb desbetrachteten Gebiets)

/(!r!)+RB%

/(!r!) + Bildladungenohne RB , aber so, Äquipotentialfläche an gleicher Stelle!

Beispiel: Punktladung über geerdeter, unendlich ausgedehnter Metallplat-te.

7 ELEKTROSTATIK 57

so dass $ = 0 auf Oberflächeaus Symmetriegründen liegt qB auch auf z!Achse% 4!*0$(!r) = 1

|%r"%r!| + qB

|%r"%r!B | = q+x2+y2+(z"z!)2

+ qB+x2+y2+(z"z!B)2

RB: $ = 0 in x! y- Ebene, d.h. für z = 00 = q+

x2+y2+("z!)2+ qB+

x2+y2+("z!B)2"x, y

geht nur für qB = !q und z!B = !z! (z!B = z! ist physikalisch sinnlos) also:!rB = !!r!

% $(!r) = q4!'0

( 1|%r"%r!| !

1|%r"%r!| ) = $p + $n

z.z.: "$n = 0"$n = ! q

|%r+%r!| = q4!'0

4!"(!r + !r!) = 0 oberhalb Metallplatte, d.h. imbetrachteten Raum

elektrisches Feld: !E = ! !!%r $ = q

4!'0{ %r"%r!

|%r"%r!|3 !%r+%r!

|%r+%r!|3 }, !r! = z!!ez

7 ELEKTROSTATIK 58

auf der Oberfläche: z : 0

|!r ! !r!| = |!r + !r!|# Ex = Ey = 0!E = Ez!ez = ! q

((x2+y2+(z!)2)3/2!ez

7.3.3 influenzierte Flächenladungsdichte

&!r· !EdV = *0

!E · d !A!x%0!# A!n · ( !Ea ! !Ei) (eig. di!erentiell)

V/(!r)d3r = A · 0

wobei 0 Flächenladungsdichte in diesem Feld auf der Oberfläche# !n · ( !Ea ! !Ei) = .

hier: metallischer Halbraum # !Ei = 0

7 ELEKTROSTATIK 59

!n · !Ea = E0 = .'0# 0 = *0E0 = ! q

(x2+y2+z!2)3/2

induzierte Flächenladung:

z=00dA = ! q

(x2 + y2

, -. /=r2

+z!2)3/2

= !qz!ˆ &

(r2 + z!2)3/2dr = qz!

r2 + z2

= !q "

Bildkraft:

eine Fläche d !A;!ez trägt Ladung 0dA und auf sie wirkt die Kraft d!F =0dAE!ez

E ist der Beitrag von q allein zu Feld E0, das ist gerade die Hälfte.E = 1

auf der Oberfläche

# !F =ˆ

d!F = !ez1

z=002dA

= !ez1

4!2z!2

(x2 + y2

, -. /=r2

+z!2)3rdrd$

1(2z!)2

Bemerkung: Ladung und Metallplatte ziehen sich genau mit der Kraftder zwei Punktladungen q und q! = !q im Abstand 2z! an.

7 ELEKTROSTATIK 60

7.3.4 Kugelförmiger Leiter im asymptotisch homogenen Feld

homogenes Feld !E0 : $0 = !!r · !E0 , r > aRandbedingungen: r #/ : !E = !E0, r = a : $ = 0außerdem: r > a : "$ = 0 keine Ladungen außerhalb der KugelLösung mit Ansatz:$ = $(!r, !E0, a) = ! !E0 · !rg(r, a)dann:"$ = 0% !"( !E0 · !r)g(r, a) = 0mit

"( !E0 · !r)g(r, a) =&

&!r· ( &

&!r( !E0 · !r)g(r, a)) =

8!E0g(r, a) + !E0 · !r

&rg(r, a)

= !E0 ·&

&!rg +

&!r· ( !E0 · !r

=!E0 · !r

!E0 · !rr

&r+ !E0 · !r

!r · !rr

(! 1r2

&r+ !E0 · !r

= !E0 · !r8

9!= 0 "r : r > a

i.A. !E0 · !r '= 0Trennung der Variablen:h = g!

4rh(r) = !h!(r)%

4rdr = !

h% 4 ln(r) = ln(

% e4 ln(r) =1h% h =

# g = !13

r3+ C2

8 MAGNETOSTATIK (STATIONÄRE STRÖME) 61

mit RB:r #/ : g # 1 = c2 und r = a : g(r = a, a) = 0 = 1 + c2

a3 # C2 = !a3

! $(!r) = ! !E0 · !rC1! a3

D= ! !E0 · !r +

!p · !r4!*0r3, -. /Dipolfeld!

mit !p = 4!*0a3 !E0

8 Magnetostatik (stationäre Ströme)

– gilt: !j '= 0, !!t # 0

mit Kontinuitätsgleichung: /,-./=0

+ !!%r ·!j = 0

% !!%r ·!j = 0

# Maxwell Glg.: *0!!%r · !E = /, !

!%r · !B = 0, !!%r ) !E = 0, 1

!!%r ) !B = !j

wenn !!%r · !B = 0 dann lässt sich !B als Rotation schreiben.

8.1 VektorpotentialDefinition: !B = !

!%r ) !A

– Maxwell: 1µ0

!!%r ) ( !

!%r ) !A) = 1µ0

C!!%r ( !

!%r!A)! !2

!%r!AD

Bemerkung: Ansatz legt !A nicht eindeutig fest, z.B. Transformation !A#!A! mit !A! = !A + !

!%r 1, 1 bel. skalares Feld, lässt !B unverändert!

Definition: EichtransformationTransformation !A# !A! heißt Eichtransformation

Definition: Eichinvarianz... bedeutet, dass sich die physikalisch relevanten Größen !E& !B unter Eichtrans-

formation nicht ändern.eine mögliche Eichung: Coulomb-Eichung !

!%r · !A = 0% ! 1

µ0" !A = !j analog: !*0"$ = /

# $(!r) = 14!'0

d3r! -(r!)|%r"%r!|

# !A(!r) = µ04!

d3r%j(%r!)|%r"%r!|

8.2 Leiterschleifen, Biot-Savart-Gesetz

dr!||!j||d!S!, d3r!!j = (d!r!d!S)!j ! d!r(d!S!!j)!A = µ0

´ d3r!%j(%r)|%r"%r!| = µ0

d!r!´

d!S!!j(!r) 1|%r"%r!|

Idee / Näherung: Drahtdicke klein gegen |!r!!r!|, dann ändert sich |!r!!r!| kaumbei Integration über d!S

!A = µ04!

d!r I|%r"%r!| eine geschlossene Leiterschleife mit Stromdurchfluss I

% !A = µ04! I¸

|%r"%r!|

Satz: Biot-Savart-Gesetz

&!r) !A =

)(!r ! !r!)|!r ! !r!|

&|!r ! !r!|!A

d!r! ) (!r ! !r!)|!r ! !r!|3

Bemerkung: mehrere Schleifen:I¸

8.3 Fernfeld einer Leiterschleife!A(!r) = µ0

4! I¸

|%r"%r!| = µ04! I¸

1r ! !r! · !

!%r1r + . . .

d!r! 1r = 0 kein Monopolbeitrag

b. !AD(!r) = !µ04! I¸

d!r!(!r! · !!%r

d!r!(!r! ! !a) =12[d!r!(!r · !a)! !r!(d!r! · !a)]

=12[d!r!(!r · !a) + !r!(d!r! · !a)]

=12!a) (d!r! ) !r!) +

12d[!r!(!r! · !a)]

% !AD(!r) = !µ04! I¸

d!r(!r! · !!%r

1r ) = !µ0

4! I¸

d!r 12 (!r! ) d!r!)) !

12!r!)d!r! = d!S!

= !µ04! I

, -. /-!

) !!%r

1r = !µ0

4! I!S ) !

Definition: magnetisches Dipolmoment !m = I !S!AD(!r) = µ0

4! !m) %rr3

# !BD = !!%r) !A = µ0

4!!!%r)!m) %r

r3 = µ04! {!m(

r3, -. /

= !" 1r =4!"(!r)

unwichtig für !B Feld

)!(!m· !!%r ) %r

# BD = !µ0

4!(!m · &

r3oder

&!r[µ0

4!!m · !rr3

] vgl.: !ED = ! &

!p · !rr3

3!r 9 !r ! r2

r5) Dipolfeld

Beispiel: Punktladung läuft im Kreis (z.B. Atom)I = U

/ , . Umlaufzeit

!S =12

!r! ) d!r! =12

0!r! ) d!r!

0!r! ) !p!dt =

!Ldt ; !L konst.

% !m = I !S = Q/

!L = Q2m

Definition: gyromagnetischer FaktorQ2m =: gB heißt gyromagnetischer Faktor des Bahndrehimpulses

8.4 Magnetische Induktion eines geraden Leitersa. mittes Biot-Savart

!B = µ04! I´ d%r!0(%r"%r!)

|%r"%r!|3

Zylinderkoordinaten !r! = z!!ez, d!r! = dz!!ez

!r ! !r! = /!e- + (z ! z!)!ez

d!r! ) (!r ! !r!) = dz!!ez ) /!e- = /dz!!e#

!B(!r) =µ0

4!I/!e#

(/2 + (z ! z!)2)3/2

4!I/!e#

dz!C1 + ( z"z!

- )2D3/2

x = z"z!

dx = ! 1-dz!

(1 + x2)3/2

, -. /=2

b. mittels Ampereschen Durchflutungsgesetzes!!%r ) !B = µ0

&!r) !B = µ0

Sd!S!j = µ0IS d!S 5 !j

!Sd!r · !B %

!Sd!r · !B = µ0IS

9 ELEKTROMAGNETISCHES FELD IM VAKUUM 65

Kreisfläche mit Leiter im Zentrum, !/ 5 !e#´

!S d!r · !B = µ0I

aus Symmetriegründen !B 0 !e# & B = B(/)sowieso d!r 5 !e#, da Int. auf Kreisrand% !B = B(/)!e-, d!r = /d$!e#

% B(/) =´ 2!0 d$/B = µ0I % B = µ0I

% !B = µ0I2!-!e#

9 Elektromagnetisches Feld im VakuumMaxwell-Gl.

*0!!%r · !E = /, !

!%r . !B = 0!!%r ) !E + !B = 0, 1

!!%r ) !B = !j + *0

9.1 Energiebilanz des elektromagnetischen FeldesVorbemerkung:

a(!r, t)dV a 4 Dichte= !IA + NA IA = Storm durch Oberfläche des Vol.

NA = ErzeugungsrateIA =

!V!jAd!S !jA! Stormdichte

NA =´

#AdV #A = Erzeugungsratendichte

% 0 =´

=!a!t + !

!%r ·!jA ! #A

>dV =!a

!t + !!%r ·!jA = #A

Bemerkung:

1. #A = 0% Erhaltungssatz, z.B. Ladungserhaltung

2. #A > 0 Produktion von a

betrachten vom elektromagnetischen Feld an Punktladung erbrachte LeistungN

N = !F · !v mit !F = q( !E + !v ) !B)

– N = q( !E + !v ) !B)!v = q !E · !v Leistung abgegeben an Ladung.

– für Feld Nelmag = !q !E · !v

– Verallgemeinerung für Ladungsverteilung:

#elmag = !/ !E · !v = !!j · !E , da !j = !/!v &!j =1µ0

&!r) !B ! *0

= *0!E · !E ! 1

&!r) !B

*· !E

&!r· ( !B ) !E)! 1

" %B. /, -(

&!r) !E)

% #elmag =&

2!E2 +

&!r·:

!E ) !B

Bemerkung:

1. Form: # = !!t!a + !

!%r!ja

2. ( = '02

!E2 + 12µ0

!B2 Energiedichte

3. Def: !Sp = 1µ0

!E ) !B Energiestromdichte (“Poyntingvektor”)!Sp nur bis auf zusätzliche Rotation bestimmt.

Beispiel: Ohmsche Wärme

#elmag = !!j · !E ; !j = 0 !E , 0 < Leitfähigkeit

= ! 10!j2 < 0% ständige Ohmsche Verluste

9.2 Elektrostatische FeldenergieElektrostatik: !B = 0, !E = ! !

!%r $, !*0" !E = /

(el =ˆ

2!E2dV

, -. /,0

!E !!%r$dV = !

!!%r ·

'02 $ !

!%r · !EdV

% (el = !´

!E$d!S +ˆ

&!r· !EdV

, -. /= 1

d!S · !E = !dSEn, En = .'0

, 0!Oberflächenladungsdichte

(el =12

Beitrag derOberflächenladungen

Beitrag der Ladungenim Volumen

Beispiel:

– nur Raumladungen (Oberflächen im Unendlichen)(el = 1

0/dV = 18!'0

d3r! -(%r)-(%r!)|%r"%r!|

– speziell Punktladungen/(!r) =

+i qi"(!r ! !ri)# (el = 1

|%ri"%rk|

Bemerkung:

1. = WW-Energie zweier Ladungen qi & qk hier Abst. |!ri ! !rk| ( 12(j Dop-

pelzähl.)

2. i = k # divergente Terme (#/), konzeptionelles Problem: Ladungen inihrem eigenen Feld # “Selbstenergie” (SE)% (el = 1

+i )=k

4!'0|%ri"%rk| + SE

Beispiel:

– nur Oberflächenladungen (Kondensator)(el = 1

0$dS = 12

Si0i$idS für mehrere Flächen, $i ist auf Leiter

konst.= 1

, -. /Qi auf Fläche Si

+i $iQi

speziell Q1 = !Q2 = Q% (el = 1

2Q($1 ! $2) = 12QU = 1

2CU2 mit Q = CU

Satz: Thomsonscher SatzLadungen verteilen sich auf Leitern so, dass (el minimal wird.

9.3 Energie eines stationären Magnetfeldes

!B2dV =1

!B · ( &

&!r) !A)dV

&!r· ( !A) !B)dV

, -. /1

!V d!S · ( !A) !B)= 0 für Oberflächen im Unendlichen

! 12µ0

!A · ( &

&!r) !B)

, -. /=µ0%j

% (m =1

!A · (µ0!j)dV =

!A ·!jdV =µ0

d3r!!j(!r) ·!j(!r!)|!r ! !r!|

Beispiel: Leiterschleifen dV!j = d!rI

(m =µ0

|!r ! !r!|

4!IiIk

|!r ! !r!| + SE

SE=Selbstenergie, Leiterschleife wechselwirkt mit ihrem eigenen Magnetfeld

9.4 Beispiele für Energiestromdichtea. stromdurchflossener gerader Leiter

B = µ0I2!r"

, Sp = 1µ0| !E ) !B|

%E* %B= 1µ0

EB = EI2!r"

– Interpretiere Sp über Zylindermantel

# Sp2!r*L = EIL , mit E · L = U

= UI Leistung

ROhmsche Verluste werden durch Feldenergie ersetzt

b. Doppelader

Bemerkung: !Sp : Energiestromdichte von Kraftwerk zum VerbraucherEnergiestrom durch FlächeLeistung:

!Sp · d!S =1µ0

( !E ) !B) · d!Sp = ! 1µ0

&!r) !B) · d!S

= ! 1µ0

&!r) ($!B) · d!S +

&!r) !B · d!S

= ! 1µ0

!S($!B) · d!r +

!j · d!S !E = 0 Gleichstrom

% N =ˆ

!j$d!S =%j,#1const.

I($1 ! $2) = IU

c. homogene Felder

#em = !!t (

!E2 ! 12µ0

!B2) + !!%r · ( %E0 %B

für homogene Felder ist zwar !Sp '= 0, aber !!%r · !Sp = 0, da E&B unabhängig

vom Ort.

Beispiel: !E = E

$, !B = B

% !Sp = !EBµ0

$ '= 0

!!%r · !Sp = 0, da E&B const.

– allgemein: !Sp nur eindeutig bis auf Rotation

– möglich: !Sp '= 0 , aber !!%r · !Sp = 0

9.5 Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes– !pem = !!pmech = !!FL

– Übergang zur Impulsdichte !g und zur Lorentzkraftdichte, die als Impul-serzeugungsratendichte wirkt

% !g!t + !

!%r ·2T = !!fL

Ausgangspunkt:!!fL = !(/ !E +!j ) !B) Maxwell= !*0( !

!%r · !E) !E + 1µ0

!B ) !!%r ) !B + *0

!E ) !BEinschub:!E ) !B = !

!t ( !E ) !B) ! !E ) !B, -. /

=%E0( $$&r0%E)=

&!r· !E · !E

, -. /12

"(%E· $$&r )%E

ebenso !B ) !!%r ) !B = 1

!B2 ! ( !B · !!%r ) !B

! !!fL = !*0!E(

&!r· !E) +

&!r!B2 ! 1

µ0( !B · &

&!r) !B

&t( !E ) !B) +

&!r!E2 ! *0( !E · &

&!r) !E ! 1

&!r!B)

, -. /eh Null

!E ) !B), -. /=%g Impulsdichte

22E,-./

Einheitsmatrix

!3!E 9 !E

$ +1µ0

3!B 9 !B

7, -. /

=#T Impulsstromdichte

in Komponenten

&t*0( !E) !B)k+

!E2"ik !3EiEk) +

2"ik !

3BiBk)

Bemerkung: !g = *0!E ) !B = *0µ0

!g =1c2

gilt in allen relativistischen Theorien

Beispiel: Strahlungsdruck

Impuls "!p im Volumen c"t"S"!p = !gc"t"S# !p

!t!S = ”FS ” = Druck = pStr = cg

Bemerkung:2T Impulsstromdichte 4 “Maxwellscher Spannungstensor”

Satz:2T = (Tik)i,k , Tki = Tik

[Tik] = [FS ] = N

m2 Einheit der mechanischen Spannung

stationärer Fall (fL)k = !+

!xiTik

% Kraft (FL)k =´

(fL)kdV = !´ +

!xiTikdV = !

!V TikdSi

Beispiel: Kondensator

(FL)x = !%

!VTixdSi nur Innenfläche trägt bei

TxxdSx da dSy = dSz = 0

Txx =*0

2!E2 ! *0

!E2 , da Ex = E

% (FL)x =ˆ

2E2dSx mit E = En =

0dSx =12EQ

Beispiel: Spule

B = µ0INL , N= Zahl der Windungen

(FL)x = !´

innenTxxdSx

!B = B!ex

Txx = ! 12µ0

(FL)x = 12µ0

B2S Querschnittsfläche der SpuleInterpretation! # Spule zieht sich zusammen

9.6 Felder zeitabhängiger Strom- und Ladungsverteilun-gen

9.6.1 Das Viererpotential

– gegeben:

/(!r, t), !j(!r, t)

– Maxwell:

/ = *0!!%r · !E, !

!%r · !B = 0!!%r ) !E + !B = 0, 1

!!%r ) !B = !j + *0

– außerdem:

!B = !!%r ) !A % 3. Maxwell: !

!%r ) ( !E + !A) = 0

% !E + !A = ! !!%r $ , d.h. !E = ! !

!%r $! !A

– einsetzen in 1. Maxwell-Glg.

*0!!%r · !E = !*0"$! *0

!!%r · !A = /

= ( 1c2

!t2 !")$! !!t (

!!%r · A + 1

c2!!%r $)

– einsetzen in 4. Maxwell-Glg.

!!%r ) ( !

!%r ) !A) + *0!!%r $ + *0

!A = !j

% ( 1c2

!t2 !") !A + !!%r ( 1

c2!#!t + !

!%r · !A) = !jmit *0µ0c2 = 1

Definition: d’Alembert-Operator: $ = 1c2

!t2 !"

a. $$! !!t (

!!%r · !A + 1

c2!!t$) = -

b. $ !A + !!%r ( !

!%r!A + 1

c2!!t$) = !j

– Idee: eiche !A&$ so, dass ( 1c2

!#!t + !

!%r · !A) = 0 !

– bekannt: !A# !A! = !A + !!%r1, dann !B! = !B

– da !E = ! !!%r$! !A, muss $# $! = $! !

überprüfe: !E! = ! !!%r $! !A! = ! !

!%r $! !A + !!%r

!!%r 1 "

Definition: Lorentz-Konvention: 1c2

!!t$ + !

!%r · !A = 0

% $$ =/

*0& $ !A = !j , ($, !A) 4 Viererpotential

Bemerkung: andere mgl. Eichungen

1. Coulomb-Eichung: !!%r · !A = 0

Vorteil: !"$ = -'0

wie ElektrostatikNachteil: $ !A = µ0

!j ! 1c2

2. $ = 0% 1

c2!A + !

!%r ) ( !!%r ) !A) = µ0

!j “transversale Wellengleichung”!*0

!A = 0

9.6.2 Lösungen der homogenen Gleichungen

a. $$ = 0, ( 1c2

!t2 !")$ = 0 Ansatz: $ = $0ei(%k·%r"(t)

c2 ! (!)!k2 = 0

Definition:

( > 0 : ( = |!k|c = kc

b. $ !A = 0 mit Ansatz: !A = !A0ei(%k·%r"(t)

untersuche Lorentz-Konvention: 1c2

!!t$ + !

!%r · !A = 0% 1

c2 $0(!i()ei(%k%r"(t) + !A0 · (i!k)ei(%k%r"(t) = 0, ! (c2 $0 + !A0 · !k = 0

% $0 = c2

(!k · !A0 = c2k

( !ek · !A0 = c!ek · !A0

– !E& !B :

&!r) !A = i!k ) !A0e

i(%k%r"(t) = !B0ei(%k%r"(t)

% !B0;!k (!k= Wellenvektor = Ausbreitungsrichtung)

!E = ! &

&!r$! !A = !$0i!kei(%k%r"(t) + !A0i(ei(%k%r"(t) = !i($0

!k ! ( !A0)ei(%k%r"(t)

= !i(!kc!ek · !A0 ! ( !A0) · ei(%k%r"(t) = !i((!ek!ek · !A0 ! !A0)ei(%k%r"(t) = !E0ei(%k%r"(t)

!E0 = !i(!ek ) (!ek ) !A0) = !c!ek ) !B0 % !E0;!k& !E0; !B0

% für !E& !B gilt ebenfalls die homogene DGl$ !B = 0&$ !E = 0

Bemerkungen: allg. Lsg. der homogene DGl. sind Superpositionen!A(!r, t) = -(

!A(!k)ei(%k·%r"(kt)d3k)

9.6.3 Alternative Herleitung der freien Feldgleichungen

– sei / = 0, !j = 0; *0!!%r · !E = 0, !

!%r · !B = 0, !!%r ) !E + !B = 0, 1

!!%r ) !B = *0

% !B = ! !!%r ) !E = ! 1

!!%r ) ( !

!%r ) !B) = ! 1µ0'0

{ !!%r (

&!r· !B)

, -. /=0

!" !B} = 1µ0'0

% ( 1c2

!t2 !") !B = 0 " ... !E analog

9.6.4 Energie einer ebenen Welle

!E = !E0ei(%k%r"(t); !B = !B0ei(%k%r"(t) % physikalisch: Realteile(c = 1

2*0!E2 = 1

2*0E20 cos2(!k!r ! (t)

(m = 12µ0

!B2 = 12µ0

B20 cos2(!k!r ! (t)

(em =12(*0E

B20) cos2(!k!r ! (t) wir wissen !B0 =

12!ek ) !E0, B0 =

= *0E20 cos2(!k!r ! (t)

Mittelung über Schwingungsdauer bzw. Wellenlänge: (em = 12*0E2

Poynting-Vektor:

!Sp =1µ0

!E ) !B =1µ0

!E0 ) !B0 cos2(!k · !r ! (t) =1

µ0c!E0 ) (!ek ) !E0) cos2(!k!r ! (t)

= c*0{!ekE20 ! !E0(!ek · !E0)} cos2(!k!r ! (t)

= c*0E20!ek cos2(!k!r ! (t)

= c!ek(em

9.6.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

Bemerkung:

– kleiner Vorgri! auf Theorie 4 bzw. Quantenoptik

1. ebene Welle: Wie groß ist die Geschwindigkeit der Phase?

Wähle konkrete Phase, z.B. 0 d.h. kr ! (t = 0% kr = (t% r

t = (k =: vp

Definition: Phasengeschwindigkeit vp = (k

im Vakuum: ( = ck % vp = c

2. Wellenpakete: Wie groß ist die Geschwindigkeit des Pakets?

Definition: Gruppengeschwindigkeit: vg = !(!k

im Vakuum: ( = ck % vg = c

– in dispersen Medien hängt ( nichtlin. von k ab und zwar:

((k) = ckn(k) , wobei n(k) der k!abhängige Brechungsindex ist

% vp = ((k)k = c

n(k) , vg = !(!k = c

n(k) !ck

n(k)2!n!k = vp(1! k

n!n!k )

Bemerkung: Wie groß können vp&vj werden? # 0 * vp < /,!/ <vg </

9.6.6 Retardierte Potentiale

– betrachte: $$ = -'0

&$ !A = µ0!j

– einige spezielle Lsg. ist

$(!r, t) = 14!'0

´ -(%r!,t" |&r$&r!|c )

|%r"%r!| d3r!

!A(!r, t) = µ04!

´ %j(%r!,t" |&r$&r!|c )

|%r"%r!| d3r!

Bemerkungen:

1. geht in bekannten, statischen Grenzfall über

2. Retardierung: |%r"%r!|c ist Laufzeit des Signals von !r nach !r!, Feld än-

dert sich bei !r um diese Zeit später als Ursache bei !r! auftrat.% I. Kausalität, II. endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit el. mag.Felder!

3. zu den spez. Lösungen können Lösungen der homogenen DGl. dazuaddiert werden.

4. wegen 1c2

!t2 ist DGl. symmetrisch mit ±c d.h. Lsg. mit “!c” ma-thematisch ebenfalls möglich

dann $(!r, t) = 14!'0

´ -(%r,t+ |&r$&r!|c )

|%r"%r!| d3r! dies verletzt Kausalitätmathematisch aber möglich # “avancierte Potentiale”

9.6.7 Hertzscher Dipol

– Modellvorstellung:

!j = !v/ = !aQ"(!r ! !a) = !p(t)"(!r ! !a)Dipol sei klein gegen typische Entfernungen% "(!r ! !a) ( "(!r)

% !j = !p(t)"(!r), damit´

!j(!r, t)d3r = !p(t)ˆ

"(!r)d3r, -. /

=1Vektorpotential:

!A(!r, t) =µ0

ˆ !j(!r!, t! |%r"%r!|c )

|!r ! !r!|d3r!

!p(t! |%r"%r!|c )

|!r ! !r!| "(!r!)d3r!

4!r!p(t! r

Berechnung von $ aus Lorentz-Konvention1c2 $ = ! !

!%r · !A% $ = ! 14!'0

!!%r · %p(t" r

Zeitintegration:$ = 1

!!%r ·

%p(t" rc )

r +f(!r), f(!r) bel. Zeitunabh. Fkt., (nicht weiter betrachtet)

% $ = ! 14!*0

!er ·K! !p

cr! !p

K!p · !rcr2

+!p · !rr3

beachte: !p 0 e"i(t, !p 0 !i(!p, # 1c !p 0 ! i(

% !E(!r, t) = ! &

&!r$! !A

= ! 14!*0

c! (!p · !r)!r

(!p · !r)!rcr3

r2! (!p · !r)!r

cr3! 3

(!p · !r)!rr4

= ! 14!*0

1r{ !p

c2! (!p · !r)!r

cr2, -. /

(!p · !r)!rcr3

, -. /$ p

(!p · !r)!rr4

, -. /$ p

!B = !!%r ) !A = %r

r )!!r

!A = ! µ04!r

%rr ) (

c,-./$ pc

r,-./$ pc

Bemerkung:

– zeitunabh. Dipol

# !E = 14!'0

[ 3(%p·%r)%rr5 ! %pr3 ], !B = 0

Fernfeld: r >> -# Terme 0 1

* dominant!E = ! 1

%pc2 ! (%p·%r)%r

c2r2 }ret = ! 14!'0c2

14{!p! (!p · !er)!er}ret

!B = ! µ04!r

%rr ) { %p

c}ret = µ04!rc !pret ) !er % !E = µ0

4!r (!pret ) !er)) !er = c !B ) !er

Bemerkung:

– !pret = !p(t! rc ), wegen Abh. von r = |!r| radial nach außen laufende Welle

– Welle ist transversal, d.h. !E& !B;!er und !E; !B

– Amplitude fällt mit 1r ab, d.h. schwächer als bei Punktladung!

9.6.8 Energieabstrahlung eines elektrischen Dipols

(em = '02

!E2 + 12µ0

!B2 = '02 c2( !B ) !er)2 + 1

2µ0B2 = 1

!Sp = 1µ0

!E ) !B = cµ0

( !B ) !er)) !B = cµ0

(!erB2 ! !B ( !B · !er), -. /=0

) = c(em!er

Sp = µ0(4!)2c

1r2 (!pret ) !er)2 = µ0

(4!)2cr2 !p2ret sin2 '

10 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE 80

– Abstrahlung charakteristisch für Dipol

– Abstrahlung ; zu !p am stärksten

– Abstrahlung 5 !p = 0

– außerdem: da p 0 e"i(t # p 0 (2e"i(t # Sp 0 (4

Bem.: Sp 0 (4 erklärt Himmelsblau und Abendrot (Dank sei Lord Ray-leigh)

10 Spezielle Relativitätstheorie

10.1 Grundlagen– Fahrplan:

- Relativität: Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit physikalischer Aussagenvom Bezugssystem

– speziellen Relativitätstheorie:- Gleichberechtigung aller Inertialsysteme- Transformation zwischen IS: Lorentz-Transformation- Postulate:1. Äquivalenzpostulat2. Prinzip der Kostanz der Lichtgeschwindigkeit

– Resultate:1. Revision der Begri!e Raum, Zeit & Gleichzeitigkeit2. Lichtgeschwindigkeit als absolute Grenzgeschwindigkeit3. Äquivalenz von Masse und Energie

– Allgemeine Relativitätstheorie:- behandelt alle raumzeitlichen Systeme, nicht nur I.S.- Ausgangspunkt:Postulat von der Proportionalität von träger und schwerer Masse- Resultate:1. Raumstruktur ist von der Materieverteilung abhängig2. Massen (auch Licht) nehmen den kürzesten Weg im Raum-Zeit-Kontinuum# Lichtablenkung im Gravitationsfeld# Rotverschiebung der Spektrallinien in starken Gravitationsfeldern

10.1.1 Inertialsysteme

– Newton:-Bahn !r(t), !r(t)- Bezugssysteme, Zeitmessung 4 Uhren- Newton II: !F = !p in Inertialsystemen- Inertialsystem: Kräftefreie Massen bewegen sich gleichförmig

Satz:+

sei ein Inertialsystem+! bewege sich gradlinig gleichförm. relativ zu+

, dann ist+! ebenfalls ein I.S.

Satz: Galilei-Transformation+! bewege sich mit !v = v!ez bzgl.+

t = 0:+

,+! Deckungsgleich

dann: Galilei-Transformationx = x!

y = y!

z = z! + vtt = t!

Satz: Newtonsche Fiktion

1. Es gibt den absoluten Raum (“Weltäther”). Dieser ist unveränderlich, un-beweglich und setzt der Bewegung keinen Widerstand entgegen. Der ab-solute Raum ist ein Inertialsystem.

2. Es gibt eine absolute Zeit.

Lichtquelle in+

: !r = c!er Kugelwellenwellenfrontvon

+! aus gesehen: !r! = c!er ! !v, d.h.1. |!r| '= c2. keine Kugelwelle in

+!, d.h. 1 Richtungsabhängigkeit der Lichtgeschwin-digkeit in

10.2 Michaelson-Morley-Experiment

L!LichtquelleS0! halbdurchlässiger Spiegel

S1, S2! SpiegelB! BeobachterGangunterschied" = (L02 + L20)! (L01 + L10)Lij =

´ tsj

tsicdt = c(tsj ! tsi) Optische Weglänge

– Laufzeiten "ji = tsj ! tsi

– in Äthertheorie (als Raum&Zeit) ist Laufzeit von Relativgeschwindigkeitbzgl. des Äthers abhängig

Vorbemerkungen zur Äthertheorie

1. dort und nur dort Lichtausbreitung mit c und isotrop

2. Äther Träger des Lichts wie Luft für Schall, d.h. nach Aussenden desSignals Ausbreitung im Äther mit c

Laufzeiten:

– S0 # S1 Apparatur läuft vor dem Licht weg "10 = l1c"v

– S1 # S0 Apparatur dem Licht entgegen: "01 = l1c+v

– S0 # S1 # S0 "1 = l1c"v + l2

c+v = 2 l1c

1" v2c2

S0 # S2 # S0 : Licht über Banda"20 = "02

L02 = L20 =&

l22 + v2"220 = c"20

# "2 = "02 + "20 = 2l2c

1q1" v2

Gangunterschied:" = c("2 !"1) = 2( l2q

1" v2c2

! l11" v2

– jetzt: Drehung der Apparatur um 90°

# l1&l2 tauschen ihre Rollen"90 = 2( l2

1" v2c2! l1q

1" v2c2

– S = "90 ! " = 2(l1 + l2)( 1

1" v2c2

) v<<c!# (l1 + l2)v2

– Verschiebung des Interferenzmusters um r Interferenzstreifen

r = S* = l1+l2

– experimentelle Realisierung: Annahme für Äthergeschwindigkeit Bahnge-schwindigkeit der Erdev = 3 ·104 m

s , - ( 5000 = 5 ·10"7m , wenn r = 1 sein soll # l1 + l2 = 50mMichelson: l1 = l2 = 1, 2m% r = 0, 05

Ergebnis: keine Interferenzverschiebung# Lichtgeschwindigkeit o!ensichtlich isotrop

mögl. Fazit:

1. Intertialsysteme nicht äquivalent# das geht zu weit!

2. Galilei-Transformation falsch

10.3 Einsteins PostulateBemerkung: Annahme einer absoluten Zeit eines absoluten Raumes unhalt-bar.

Problem: Zeitmessung und Synchronisation von Uhren an verschiedenen Or-ten

Synchronisation mittels elmag. Strahlung und Annahme, dass tAB = tBA =12 tABA

Postulat 1: ÄquivalenzpostulatAlle physikalischen Gesetze und Resultate aller Experimente sind in allen

gleichförmig geradlinig gegeneinander bewegten Inertialsystemen gleich.

Postulat 2: Kostanz der LichtgeschwindigkeitDie Lichtgeschwindigkeit hat im Vakuum zu allen Zeiten und an allen Orten

den konstanten Wert c.

Bemerkung: Postulat 2 fordert eine Transformation, die c zwischen allenI.S. erhält und für v << c in die Galilei-Transformation übergeht.

10.4 Lorentz-Transformation– Gedankenexperiment: I.S.

, t = 0 :+

t = 0 : Lichtquelle im Ursprung von+

) sendet Signal ausin

+: Kugelwelle: (ct)2 = x2 + y2 + z2

: auch hier Kugelwelle, Isotropie der Lichtausbreitung!(ct)2 = x + y2 + z2

Bem.: Jede Trafo, die das erfüllt, muss Zeit mittransformieren.

Definition: Koordinaten

– !x =

– vierte (“nullte”) Koordinate x0 = ct

– Michelson-Morley(x0)2 !

+3µ=1(x

µ)2 = (x0)2 !+3

µ=1(xµ)2

Bemerkung:

– Interpretation als invariantes Längenquadrat eines Vierervektors im Minkowski-Raum

– Lorentz-Transformation o!enbar eine Drehung im Minkowski-Raum (Län-ge konstant)

– Lorentz-Transform = spezielle LT9Raumdrehung

Definition: spezielle LTTransformation zwischen geradlinig-gleichförmig gegeneinander bewegten Sys-

temen mit parallelen Achsen.

– o.B.d.A. !vrel = v!ez

– Bem.: Transformation muss linear in den Koordinaten sein, da sonst gleich-förmige Bewegen in beschleunigte transformiert würde.

Ansatz:xµ =

+3*=0 Lµ*x*

da !v||!ez : keine Änderung in der x1 ! x2!Ebene, d.h. x1 = x1&x2 = x2

L00 0 0 L03

0 1 0 00 0 1 0

L30 0 0 L33

- x0&x3 können auch nicht von x1 oder x2 abhängennutze jetzt

(x0)2 ! (x1)2 ! (x2)2 ! (x3)2 = (x0)2 ! (x1)2 ! (x2)2 ! (x3)2

% (x0)2 ! (x3)2 = (L00x0 + L03x

3)2, -. /(x0)2

! (L30x0 + L33x

3)2, -. /(x3)2

= (L200 ! L2

30)(x0)2 + (L2

03 ! L233)(x

3)2 + 2(L00L03 ! L30L33)x0x3

Koe"zientenvergleich:

L200 ! L2

L233 ! L2

L00L03 ! L30L33

= 1= 1= 0

Ansatz: L33 = L00 = cosh 1, L30 = L03 = ! sinh1Ursprung von

+! bewegt sich von+

aus gesehen wie folgtx3 = vt = v

c x0, x3 = 0 = cosh 1x3 ! sinh1x0 = x0 (v

ccosh 1! sinh1)

, -. /!=0

% tanh1 = vc

% cosh 1 = 1+1"tanh2 0

= 1q1" v2

% sinh1 = cosh 1 tanh1 = v/cq1" v2

% Matrix der spez. Lorentz-Transformation

, 0 0 !),0 1 0 00 0 1 0!), 0 0 ,

(($, ) = vc , , = 1q

1" v2c2

Bemerkung: det L = ,2 ! )2,2 = 1# Drehung% Spezielle LT in kart. Koordinatenx = x, y = y

z = z"vtq1" v2

= ,(z ! )t), t = t" vzcq

1" v2c2

= ,(t! +c z)

Bemerkung:

i. v << c: LT# Galilei-Transformation

ii. v > c % " LT

iii. L"1 =

, 0 0 ),0 1 0 00 0 1 0

), 0 0 ,

(($ d.h. mit v # !v

iv. xµ =

(($ heißt Vierervektor; jeder Vektor, der sich so wie xµ

transformiert heißt Vierervektor, d.h.

aµ =)

*mit a0 ! Zeitkomponente

!a! Raumkomponente & (a0)2!!a2 ist Lorentzinva-

riante

10.5 Relativität der GleichzeitigkeitBemerkung:

– ex. keine absolute Zeit

– Zeit ist Fkt. des Bezugssystems

1. Uhrensynchronisation innerhalbs eines I.S. kein Problem, z.B. durch Licht-signale

2. versch. I.S.+: Uhren bei z1&z2 synchronisiert, in

+Ereignisse Gleichzeitig, t1 = t2+!: t!1 = ,(t1 ! v

c2 z1), t!2 = ,(t2 ! vc2 z2)

t!1 ! t!2 = "t! = , vc2 (z1 ! z2) '= 0 falls z1 '= z2

Problem: KausalitätGibt es I.S., in denen die Reihenfolge von kausalen Ereignissen vertauscht

ist?Überlegung: Kausal in

+: t2 > t1

Unter welchen Umständen bleibt t!2 ! t!1 > 0?

t!2 ! t!1 = ,(t2 ! t1 ! vc2 (z2 ! z1))

!> 0% t2 ! t1 > v

c2 (z2 ! z1) (*)Wenn v < c: wenn t2 ! t1 3 z2"z1

c dann gilt (*) auf jeden Fall

11 EIGENSCHAFTEN DER LORENTZ-TRANSFORMATION 88

– Kausale Verknüpfung der Ereignisse (t1, z1)&(t2, z2) in+

heißt t2 ! t1 =z2"z1

v mit v * c, d.h. Informationsübertragung von Ursache auf Wirkungmit unter Lichtgeschwindigkeit% Dann werden Ursache und Wirkung auch in

+! nicht vertauscht.

11 Eigenschaften der Lorentz-Transformation

11.1 Die Zeitdilatationa.)

Licht wird von Quelle ausgesandt, am Spiegel reflektiert, am Empfängerregistriert.

Prozess dauert "t = 2lc

b.) Wie sieht der Prozess im vorbeifliegenden System aus?

auch hier c = c! ... aber Weg länger!(c"t!)2 = 4[l2 + (v!t!

2 )2] = 4[(!tc2 )2 + (v!t!

2 )2]("t!)2(c2 ! v2) = ("tc)2 % "t! = y"t

Bemerkung:

– für bewegten Beobachter erscheint der Prozess gedehnt, da das Licht einenlängeren Weg zurücklegen muss & c = const.

– gleiches gilt, wenn die Apparatur an einem vorbeifliegt

– Herzschlag des vorbeifliegenden Raumfahrers erscheint für mich verlang-samt

– das gleiche denkt der Raumfahrer über mich

gleiche Herleitung mittels LT+: "t = t2 ! t1, z2 = z1+! : t!" = ,(t" ! v

c2 z"), # & {1, 2}t!2 ! t!1 = ,(t2 ! t1) , da z2 = z1

% "t! = ,"t

alternativer Versuch:

Q sendet zwei Signale aus, mit z2 = z1

in+! werden Signale an verschiedenen Orten gesehen.

t!2 ! t!1 = ,(t2 ! t1) und z!1 ! z!2 = ,(z1 ! vt1)! ,(z2 ! vt2) = ,v(t2 ! t1)

Bsp: Zerfall von Muonen µ

– mittlere Lebensdauer im Ruhesystem "t = 2 · 10"6s+: "t, z1 = z2 = 0

– in+! "t! = ,"t, z!1 ! z!2 = v(t!2 ! t!1) = ,v"t

v ( 0, 994c% "z! = 5, 45km, naive Betrachtung s = v"t = 600m

11.2 Längenkontraktion– Was ist eine Längenmessung?

Koordinaten der Endpunkte werden gleichzeitig abgelesen:

: l = z1 ! z2

in+! : bewegt sich mit v gegenüber

in+! wird gleichzeitig gemessen, t!1 = t!2

z!1 = ,(z1 ! vt1), z!2 = ,(z2 ! vt2)% t!2 ! v

c2 z2 = t1 ! vc2 z1

% t2 ! t1 = vc2 (z2 ! z1)

% l! = z!1 ! z!2 = ,(z1 ! z2 ! v(t1 ! t2) = ,(z1 ! z2 ! v2

c2 (z1 ! z2)) = ,"1l

Bemerkung:

– entscheidend war, dass bei Längenmessung die Positionen der Endpunktegleichzeitig (t!1 = t!2) bestimmt werden.

11.3 Ist die Längenkontraktion überhaupt sichtbar?“Bild”:

- gleichzeitig (z.B. mit Fotoapparat) eintre!endes Licht- betrachten als Beispiel einen bewegten Würfel

i. Würfel ruht. Draufsicht:

Fotoplatte

AB = BC = CD = AD =: l

ii. Würfel bewegt sich.

Perspektivisch:DA = )l und AB = l,"1

Licht von hinteren Positionen musste früher ausgesandt werden, um gleich-zeitig anzukommen.

Licht von D braucht tD = lc länger, Würfel fliegt dabei "l = vtD = v

c l = )lweiter.

iii. Optischer Eindruck:

auf dem Bild wird der Eindruck erweckt, der Körper sei garnicht verkürzt,sondern gedreht.

sin + = l+l = ), cos +! = l

1! )2 = cos + % + = +!

Bemerkung:

– im Bild erscheint ein Verzerrungsfrei gedrehter Würfel

– Verzerrung und Lorentz-Kontraktion ergeben optische Drehung

11.4 Relativistische GeschwindigkeitsadditionProblem: kann evtl. durch Folge von LT Relativgeschwindigkeiten > c erreichen?

Galilei: !v3 = !v1 + !v2

o.B.d.A. alle Geschw. in z!Richtung)i = vi

c , ,i =&

1! )2i , i & {1, 2, 3}

im KS+

3 # xµ(3) = (L2L1)xµ

L2L1 =

,2 0 0 !)2,2

0 1 0 00 0 1 0

!)2,2 0 0 ,2

,1 0 0 !)1,1

0 1 0 00 0 1 0

!)1,1 0 0 ,1

,1,2(1 + )1)2) 0 0 !,1,2()1 + )2)0 1 0 00 0 1 0

!,1,2()1 + )2) 0 0 ,1,2(1 + )1)2)

,3 0 0 !)3,3

0 1 0 00 0 1 0

!)3,3 0 0 ,3

L3!= L1L2

% ,3 = ,1,2(1 + )1)2) und )3,3 = ,1,2()1 + )2)

% )3 = +1++21++1+2

% v3 =v1 + v2

1 + v1v2c2

Satz: )1 < 1&)2 < 1% )3 < 1

– Lorentz-Transformation einer beliebigen Geschwindigkeit !u

$ mit ux = dxdt usw. !u =

"u!xu!yu!z

$ mit u!x = dx!

LT:dx! = dx, dy! = dy, dt! = ,(dt! v

c2 dz) = ,(1! vuzc2 )dt

dz! = ,(dz ! vdt)

u!x = dx!

dt! = ,"1 ux1" vuz

u!y = dy!

dt! = ,"1 uy

1" vuzc2

u!z = dz!

dt! = uz"v1" vuz

11.5 Minkowski-Diagramme, Lichtkegel– geometr. Veranschaulichung der SRT durch Minkowski-Diagramme

– Ortsvektor im Minkowski-Raum

(($ = (ct, !x)

– Längenquadrat. s2 = (ct2)!!x2 = (ct)2!+3

µ=1(xµ)2 ist Lorentzinvariante

Definition: Minkowski-Diagramm

– Achsen: ct, x, y, z (Längen!)

– Ereignisse: P = (ctP , !xp)

– Lichtsignal: s2 = 0

Raumartig,Zeitartigct-Achse zeigt von “Vergangenheit” nach “Zukunft”.

s2 = (ct)2 ! !x2 =

0 Lichtartig< 0 zeitartig> 0 raumartig

Definitionen:

Lichtkegel: s2 = 0

Weltlinien: Bahnen materieller Teilchen, liegen im Inneren des Lichtkegels, dav < c.

Satz: Da s2 Lorentzinvariant bleibt Charakter (Licht-, Zeit-, Raumartig) injedem I.S. erhalten.

– betrachten Abstand zweier Weltereignisse P1 = (ct, !x1), P2 = (ct, !x2) mito.B.d.A. !x1 ! !x2||!ez

# s212 = c(t1 ! t2)2 ! (z1 ! z2)2 und es sei z1 > z2

1. raumartiger Abstand s212 < 0

# (z1 ! z2)2 > c2(t1 ! t2)2 , |z1 ! z2| > c|t1 ! t2|# Ereignisse nicht durch Lichtsignale verbindbar!# es kann kein kausaler Zusammenhang bestehen!

12 DER DOPPLER-EFFEKT 96

– 1 I.S. mit t!1 = t!2?

– LT: c(t!1 ! t!2) = ,(c(t1 ! t2)! )(z1 ! z2))!= 0

|z1 ! z2| > c|t1 ! t2|#10 < ) < 1 mit )(z1 ! z2) = c(t1 ! t2)# 1 I.S., in dem t!1 = t!2 oder sogar t!1 < t

2 wenn vorher t2 > t1

2. zeitartiger Abstand s212 > 0

c2(t1 ! t2)2 > (z1 ! z2)2 oder c|t1 ! t2| > |z1 ! z2|# Ereignisse durch Lichtsignale verbindbar# kausaler Zusammenhang möglich

– weil c|t1 ! t2| > |z1 ! z2| gilt erst recht c|t1 ! t2| > )|z1 ! z2|

– durch keine LT ist Gleichzeitigkeit erreichbar

– wegen (z!1 ! z!2) = ,((z1 ! z2)! v(t1 ! t2))1 I.S., in dem z!1 ! z!2 = 0, also die Ereignisse am selben Ort stattfinden!

12 Der Doppler-E!ektBemerkung: wichtig, da elmag. Strahlung Kommunikations- und Informati-onsmittel (z.B. Astrophys.)

Grundidee: Phase einer ebenen Welle ist eine invariante Größe, d.h. hatin allen Koordinatensystemen den selben Wert.

ei(%k%x"(t) = ei# mit |!k| = (c % $ = !k!x! (t = ((%k%x

( ! t) = ((%ek%xc ! t)

12.1 Der klassische Dopplere!ekt

$ = ((%ek%xc ! t) = (!(%ek%x!

c ! t!)Galilei-Trafo.: !x = !x! + !vt!, t = t!

((%ek%x!

c + %ek%vc t! ! t!) = (!(%e!k·%x

c! ! t!), "x!, t!# Koe"zientenvergleich.:

i. t! : ((%ek%vc ! 1) = !(! % (! = ((1! %ek·%v

ii. !x! : ( %ekc = (! %e

c! = ((1! %ek·%vc )%e!k

% !ek = (1! !ek · !vc

c!, -. /=1

!ek = !ek!&(1! %ek·%v

c ) cc! = 1

% c! = c! !ek · !vklassischer Dopplere!ekt

1. !ek = !ek

2. (! = ((1! %ek·%vc )

3. c! = c! !ek · !v

Bemerkung:

– beschreibt Ausbreitung von Wellen in einem Medium (z.B. Schall)

– beschreibt Betrachtung durch einen bezüglich des Mediums bewegten Be-obachter

# betrachten jetzt Bewegte Quelle Q und bewegten Empfänger E; cs =Schallgeschwindigkeit

dann: (Q = (0(1! %ek%vQ

cs), (E = (0(1! %ek%vE

!vQ&!vE! Relativgeschw. im Vgl. zum Medium(Q

(E= cs"%ek%vQ

cs"%ek%vE= 1"%ek

1"%ek%+E

Was ist !ek?

!ek = !eQE = %rQE

|%rQE |

1! !eQE!)Q

1! !eQE!)E

(1! !eQE!)Q)(1 + !eQE

!)E + (!eQE · !)E)2...)

( 1 + !eQE · (!)E ! !)Q) + . . .

Bem.: klassischer Doppele!ekt hängt nur von radialer Relativgeschwindigkeitab, radial (||!eQE)

12.2 Der relativistische Dopplere!ekt

I.S.:+

: (,!k+! : (!,!k!

J$ = !k!x! (t = !k!!x! ! (!t!

es sei ( = ck0,(! = ck!0# jetzt LT für !x&t+ Koe"zientenvergleich% k!0 = ,(k0 ! !) · !k)k!|| = ,(k|| ! )k0)!k* = !k!*, ||&; bzgl !)

Bemerkung:

– ((,!k) = (ck0,!k) transformiert sich wie (ct, !x), d.h. ((c ,!k) = (k0, k) ist ein

Vierervektor!

– Phase ist der Produkt zweiter Vierervektoren (ct, !x)&(k0,!k)

– Licht im Vakuum |!k| = k0, |!k!| = k0 (lineare Dispersionsbeziehung)

(! = ,((1! ) cos '), ' = %(!k,!v)tan '! = sin &

)(cos &"+) , '! = %(!k!,!v) “Aberrationsgleichung”beschreibt Richtungsänderung der Lichtwelle im bewegten BezugssystemUrsache: k|| wird transformiert, !k* nicht

– alternative Betrachtung(Q

(E= 1 + !eQE · !)r, !)r = !)E ! !)Q

relativistisch:- Lichtquelle bewege sich relativ zum Empfänger mit !v, radialer Anteil vr

- Lichtquelle emittiere in ihrem Ruhesystem Lichtgerade im zeitl. Abstand"t (entspr. ( = 2!

– Empfänger:1. Zeitdilatation: Signalabstand ,"t2. Lichtquelle bewegt sich weiter!"l = vr,"t, zusätzliche zeitl. Verzögerung von "l/c

,"t(1 + vrc )

"t= ,(1 +

c) = ,(1 + !eQE · !)r) mit ,=

1&1! )2

(1+12)2+. . .

( (1 +12)2)(1 + !eQE · !)r) ( 1 + !eQE · !)r +

12)2 + . . .

Bemerkung:

– klass. Dopplere!ekt der dominierte Anteil

– relativistische Einflüsse in 2. Ordnung ()2)

13 DIE RELATIVISTISCHEN “PARADOXA” 99

– gilt !v 5 !eQE , dann vr = v % radialer Dopplere!ekt(Q

(E= ,(1 + )) =

M1 + )

– gilt !v;!eQE , dann vr = 0(Q

(E= , ( 1 + 1

13 Die relativistischen “Paradoxa”Bemerkung:

1. SRT widerspricht “gesunder Menschenverstand”, da dieser insbesonderevon der absoluten Zeit ausgeht.

2. Es geht um Gedankenexperimente, deren Auflösung zeigen soll, dass dieRelativitätstheorie zeigen soll, dass sie SRT widerspruchsfrei ist.

13.1 Das Zwillingsparadoxon– Gedankenexperiment

ein Zwilling bleibt auf der Erde, ein zweiter fliegt mit hoher Geschwindigkeitweg, dreht nach gewisser Zeit und kommt wieder zurück. Auf der Erde wird dasAlter der Zwillinge verglichen.

Paradoxon:

1. SRT besagt, dass bewegter Zwilling aufgrund der Zeitdilatation wenigergealtert ist.

2. Paradoxon entsteht dadurch, dass man meinen könnte, der Erdzwilling seivom Raumschi! aus betrachtet ja ebenfalls bewegt gewesen, also könnegenausogut er der Jüngere sein!

Kernpunkt: das Raumschi! ist kein IS, größtmögliche Simplifizierung: 2 IS (Hin-flug+Rückflug)

Ruhesystem+

EEndzwilling ruht bei x = 0, seine Weltlinie mit OP , idealisierte Bewegung

der Rakete ist entlang OQ&QP

– einfache Rechnung:

Zeitdilatation: "tE = ,"tR

– Hinflug: OQ... Erdzwilling wird T2 älter, Raketenzwilling vergeht "tR =

– Rückflug: QP analog

% Erdzwilling ist T älter geworden, Raketenzwilling 1) T

13 DIE RELATIVISTISCHEN “PARADOXA” 100

Bemerkung:

– bewegte Uhr wird also zeitlich kürzerer Datum von O nach P gebracht,obwohl die Strecke räumlich länger ist. Ursache: Raum & Zeit nicht un-abhängig.

– alternative Betrachtung: weichselseiter Austausch von Lichtsignalen

– Beispielgrößen: ) = vc = 8

10 , T = 20 Monate (Erdzeit), Raketenzwillingwird T

) = 610 · 20Mo = 12Mo älter

1. Erdzwilling

sendet Signal mit "t = 1Mo# (Q = 2!!t , Dopplere!ekt Hinweg: (Q

01++1"+ =

(E= !t!

!t = 3, "t! = 3"tRückweg:(Q

01++1"+ , v # !v, d.h. p# !p

= 13 % "t! = 1

3"tRaketenzwilling empfängt 20 Lichtsignale, 2 auf dem Hinweg, 18 auf dem

Rückweg. Raketenzwilling weiß, dass Erdzwilling 20 Monate älter.

2. Raketenzwilling

"t! = 1MoDopplere!ektHin.: "t = 3"t!

Rück.: "t = 13"t!

d.h. aus Sicht des EZ ist RZ 12 Monate älter.

Theoretische Physik I

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