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Geometrische Relationen und Toleranzen Linearisierung und Fehlerabschätzung Toleranzanalyse Schlussfolgerung
Toleranzanalyse fürGraphen geometrischer Relationen
Johannes Wallner Hans-Peter Schröcker
Institut für Diskrete Mathematik und GeometrieTechnische Universität Wien
Vorau, 9. Juni 2004
Johannes Wallner, Hans-Peter Schröcker:Toleranzanalyse für Graphen geometrischer Relationen
Geometrische Relationen und Toleranzen Linearisierung und Fehlerabschätzung Toleranzanalyse Schlussfolgerung
Geometrische Relationen
I Festlegen geometrischer Objekte (Punkte, Geraden, Ebenen,Kugeln, . . . ) durch gegebene Relationen zwischen denObjekten (Abstand, Winkel, Inzidenz, . . . )
I Auswirkungen von Ungenauigkeiten in den Eingabeobjekten
AnwendungenI parametrisches KonstruierenI Distanzgeometrie (Positionsbestimmung,
Molekülkonformation)I . . .
Johannes Wallner, Hans-Peter Schröcker:Toleranzanalyse für Graphen geometrischer Relationen
Geometrische Relationen und Toleranzen Linearisierung und Fehlerabschätzung Toleranzanalyse Schlussfolgerung
Beispiele
d1 d2
p1 p2
q1
BeispielZwei feste Punkte p1, p2 haben gege-bene Abstände d1, d2 zu einem drittenPunkt q1.
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Beispiele
q1
q2
q3
p1
p2
p3
BeispielDrei Punkte q1, q2, q3 mit festengegenseitigen Abständen dij sindinzident mit drei festen Geraden.
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Geometrische Relationen und Toleranzen Linearisierung und Fehlerabschätzung Toleranzanalyse Schlussfolgerung
Relationsgraphen
p1
p2
p3
q1
q2
q3Geometrische Objekte und Relatio-nen zwischen ihnen können durch Re-lationsgraphen visualisiert werden.
I Ecken: Geometrische ObjekteI Kanten: Relationen zwischen
den Objekten
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Relationsgraphen
p1
p2
p3
q1
q2
q3
q1
q2
q3
p1
p2
p3
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Rechnerische Lösung
I Die geometrischen Einheiten pi und qj werden durchgeeignete Koordinaten beschrieben: pi = (xξi , xξi+1, . . .),qj = (yηj , yηj+1, . . .). Diese Koordinaten werden in Vektorenx = (x1, . . . , xn) und y = (y1, . . . , ym) zusammengefasst.
I Die Relationen zwischen den Objekten werden durchBedingungsgleichungen modelliert:
c1(x , y) = · · · = cm(x , y) = 0.
I Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems
F (x , y) =(c1(x , y), . . . , cm(x , y)
)= 0.
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Lokale Lösungen
DefinitionEs sei (u, v) eine Lösung von F (x , y) = 0 und G : U → R seidefiniert in einer zusammenhängenden Umgebung U von u so dass
G (u) = v und ∀x ∈ U : F (x , G (x)) = 0.
Dann heißt G eine lokale Lösung, welche die Lösung (u, v)fortsetzt.
Die lokale Lösung existiert und ist im wesentlich eindeutig wennF,y (u, v) regulär ist.
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Toleranzanalyse
Man finde die möglichen Positionen von y = (q1, q2, . . .) wenn diefesten Objekte p1, p2, . . . in Toleranzzonen P1, P2, . . . variieren.
Erste Interpretation:
Man löse F (x , y) = 0, für x ∈ X := P1 × P2 × · · · .
Zweite Interpretation:Für eine lokale Lösung G berechne man G (X ) wobeiX := P1 × P2 × · · · .
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Ein einfaches Fachwerk
P1 P2
Q1BeispielDie exakte Toleranzzone der lo-kalen Lösungen wird von Kreis-bögen begrenzt.
Die komplette Lösung beinhaltetauch das Spiegelbild von Q1 ander Geraden p1p2.
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Linearisierte Lösung
Exakte Lösung kann schwierig sein =⇒ Linearisierung
PlanI Taylorentwicklung von F (x , y) =
(c1(x , y), . . . , cm(x , y)
).
I linearisierte lokale LösungI obere Schranke für den LinearisierungsfehlerI Toleranzanalyse
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Taylorentwicklung
Bedingungsfunktion F : Rn × Rm → Rm, (x , y) 7→ F (x , y).
F (u + h, v + k) = F (u, v)
+ F,x(u, v) · h + F,y (u, v) · k+ 1/2 F,xx(u + θh, v + θk)[h, h]
+ F,xy (u + θh, v + θk)[h, k]
+ 1/2 F,yy (u + θh, v + θk)[k, k]
mit θ ∈ [0, 1] und
DF = (F,x , F,y ), D2F =
(F,xx F,xyF,xy F,yy
)
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Linearisierte lokale Lösung
Taylorentwicklung der lokalen Lösung:
v = G (u), v + k = G (u + h) =⇒v + k = v + G,x(u) · h + 1/2 · G,xx(u + θh)[h, h]
Taylorentwicklung der Bedingungsfunktion:
0 = F (u + h, v + k) = 0 + F,x(u, v) · h + F,y (u, v) · k + · · ·
Es folgt:
Glin(u + h) = G (u) + G,x(u) · h, G,x(u) = −F,y (u, v)−1F,x(u, v)
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Ein einfaches Fachwerk II
P1 P2
Q1
G (1),x G (2)
,x
Beispiel
Glin(u + h) = G (u) + G,x(u) · h
G,x = F−1,y Fx = (G (1), G (2)) =
130
(−10 −25 −20 25−8 −20 8 −10
)
Die linearisierte Toleranzzone Q1ist ein Parallelogramm (Minkowski-Summe G (1)
,x P1 + G (2),x P2).
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Ein einfaches Fachwerk II
P1 P2
Q1
G (1),x G (2)
,x
P1 P2
Q1
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Toleranzanalyse
Wir betrachten nur Teilmengen von Rn × Rm wo
‖F,xx‖ ≤ α, ‖F,xy‖ ≤ β, ‖F,yy‖ ≤ γ
und definieren ∆(s, t) := 12(αs2 + 2βst + γt2).
Der Linearisierungsfehler einer lokalen Lösung ist begrenzt durch
‖k − klin‖ ≤ ‖F−1,y (u, v)‖ ·∆(‖h‖, ‖k‖).
Bemerkung: Die Berechnung von ∆ ist besonders einfach, wenn Fquadratisch ist.
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Toleranzanalyse
Satz
Cmax :=‖G,x(u)‖
‖F,y (u, v)−1‖ ·∆(1, 2‖G,x(u)‖),
‖h‖ ≤ C < Cmax,
C ′ := ‖G,x(u)‖C
2C ′C ′ + C ′′
C ′
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk klinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklin
=⇒ ‖klin‖ ≤ C ′ und ∃C ′′ < C ′ : ‖k‖ ≤ C ′ + C ′′, ‖k − klin‖ ≤ C ′′
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Ein einfaches Fachwerk III
P1 P2
Q1
2C ′
C ′ + C ′′
C ′
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Ein einfaches Fachwerk III
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Ein komplexeres Fachwerk
P1 P2
Q1
Q2
Q3
Q4
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Dreieck
Q1
Q2
Q3
ci (x , y) = 0 λici (x , y) = 0 =⇒C : C ′ bleibt unverändert, Cmax kann vergrößert werden.
Heuristik: Die Koeffizienten in den Gleichungen ci (x , y) = 0sollen dieselbe Größenordnung haben.
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Schlussfolgerung
I Konzept zur Toleranzanalyse geometrischer Relationenbasierend auf Linearisierung und Fehlerabschätzung
I Schranken für die Eingangsdaten die Schranken für dieLösungsdaten garantieren
I Besonders gut geeignet für quadratische Probleme (keinegroße Einschränkung)
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