Tutorat Statistik II im SS 09 zweifaktorielle Varianzanalyse ch-langrock@t-online.de

Tutorat Statistik II im SS 09zweifaktorielle Varianzanalyse

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Memo: Kontraste & post-hoc-Tests

Was fällt euch noch ein?

Kontraste oder post-hoc-Tests?

F-Test: signifikant?

keine Vermutung über Gruppenunterschiede

Vermutung über Gruppenunterschiede

post-hoc-Tests

Tukey-HSD-Test Scheffe-Test

paarweiser Vergleich von Mittelwerten

Vergleich von Mittel-wertskombinationen

Kontraste; ersetzen auch den F-Test

Memo- Beantworten die Frage, welche Mittelwerte sich bei einer ANOVA

signifikant unterscheiden - Kontraste: werden vorab formuliert; ersetzen F-Test- Post-hoc-Tests: prüfen nach signifikantem F-Test, welche Mittelwerte sich

unterscheiden- Vor- und Nachteile: Kontraste haben die höhere Power (→KTS), erlauben

dafür jedoch nur eine begrenzte Anzahl von Mittelwertsvergleichen (p-1)- Ob die gewählten Kontraste unabhängig sind, muss per Hand geprüft

werden – SPSS setzt die Unabhängigkeit voraus- Kontrasthypothesen können gerichtet oder ungerichtet formuliert sein

→ Was bedeutet dies bezüglich der Power?

Thema: zweifaktorielle Varianzanalyse

Gliederung

I. Funktion der 2-fak. ANOVAII. Haupt- und InteraktionseffekteIII. Quadratsummenzerlegung &

F-TestsIV. Interaktion und ihre Formen

I. Funktion der 2-fak. ANOVA

Zweifaktorielle Varianzanalyse

o Wenn wir den Einfluss einer UV bzw. eines Faktors (mit x Stufen) auf eine AV untersuchen, verwenden wir die einfaktorielle ANOVA

o Untersuchen wir den Einfluss von mehreren UVs bzw. Faktoren auf eine AV, können wir die von mehrfaktoriellen ANOVA nutzen

→ vgl. „einfache“ vs. multiple Regressiono Zusätzlich erkennen wir noch, ob die Faktorstufen

in Bezug auf die AV in Wechselwirkung treten (interagieren)

→ vgl. Regression: Moderatoranalyse

Übersicht ANOVA

einfaktorieller Versuchsplan

UV (3-stufig)

Mitarbeiter Team-leiter

Abteilungs-leiter

5,101 y 7,142 y 2,73 y

8,10y

zweifaktorieller VersuchsplanFaktor B

Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter

Kom. Training

Entsp. Training

1511 y 7,912 y 0,613 y

3,823 y7,1922 y0,621 y

5,101. y 7,142. y 2,73.. y

2,10.1 y3,11.2 y

8,10.. y

Indizes:jky → j = Zeile; k = Spalte

.xy → Zeilenmittelwert → Spaltenmittelwertxy.

..y → Gesamtmittelwert

II. Haupt- und Interaktionseffekte

Effekte

Effekt: Abweichung eines Gruppenmittelwerts vom Gesamtmittelwert → Gruppenzahl = Anzahl der Faktorstufen

Mathematisch:

einfaktorieller Versuchsplan

UV (3-stufig)

Mitarbeiter Team-leiter

Abteilungs-leiter

5,101 y 7,142 y 2,73 y

8,10y

6,38.102.7

9.38.107.14

3.08.105.10

33

22

11

yya

yya

yya

Berechnet die Effekte…

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA

Effekte des Faktors A (Haupteffekt A):

Effekte des Faktors B (Haupteffekt B):

sowie die Interaktionseffekte ( „Vorstufe“ Zelleneffekte) …

... yya jj

... yyb kk

zweifaktorieller Versuchsplan I

Faktor B

Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter

Kom. Training

Entsp. Training

1511 y 7,912 y 0,613 y

3,823 y7,1922 y0,621 y

5,101. y 7,142. y 2,73. y

2,10.1 y3,11.2 y

8,10.. y

Berechnet nun die Effekte für Faktor A…

5.08.103.11...

6.08.102.10...

22

11

yya

yya Was fällt hier auf?

Effektsumme ≠ 0

Rundungsfehler

Software!

zweifaktorieller Versuchsplan II

Faktor B

Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter

Kom. Training

Entsp. Training

1511 y 7,912 y 0,613 y

3,823 y7,1922 y0,621 y

5,101. y 7,142. y 2,73. y

2,10.1 y3,11.2 y

8,10.. y

Berechnet nun auch die Effekte für Faktor B…

6.38.102.7

9.38.107.14

3.08.105.10

33

22

11

yyb

yyb

yyb

Zelleneffekte

Der „Zelleneffekt“ ist nicht aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird.

..][ yyab jkjk 5.28.103.8

9.88.107.19

8.48.100.6

8.48.100.6

1.18.107.9

248.1015

23

22

21

13

12

11

[ab]

[ab]

[ab]

[ab]

[ab]

.[ab]Der Effekt eine Kombination bestimmter Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als:

Auch für Zelleneffekte gilt: Effektsumme = 0

Interaktionseffekte (A x B)

....

..).(..).(..)(

][)(

yyyy

yyyyyy

baabab

kjjk

kjjk

kjjkjk

Somit berechnen sich Interaktionseffekte als Differenz des jeweiligen Zelleneffekts und der beteiligten Haupteffekte:

Für Interaktionseffekte gilt wie für alle Effekte: Die Summe der Effekte beträgt null!

Berechnung: Interaktionseffekte

Faktor B

Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter

Kom. Training

Entsp. Training

1511 y 7,912 y 0,613 y

3,823 y7,1922 y0,621 y

5,101. y 7,142. y 2,73. y

2,10.1 y3,11.2 y

8,10.. y

Ergebnis: Interaktionseffekte

6.08.102.73.113.8)(

5.48.107.143.117.19)(

0.58.105.103.110.6)(

6.08.102.72.100.6)(

4.48.107.142.107.9)(

1.58.102.105.1015)(

....)(

23

22

21

13

12

11

ab

ab

ab

ab

ab

ab

yyyyab kjjkjk

Auch hier beträgt die Summe der Effekte aufgrund des kummulierten Rundungsfehlers nicht null…

Strukturgleichungen

jkjjk eayy 1-fak. ANOVA:

2-fak. ANOVA:

zweifak. ANOVA = einfak. ANOVA + Effekt Faktor B + Interaktionseffekt

Strukturgleichung des ALM

III. Quadratsummenzerlegung & F-Tests

Quadratsummenzerlegung

einfaktorielle ANOVA:

SStotal = SSbetween (Faktor A) + SSwithin

zweifaktorielle ANOVA:

SStotal = SSFaktor A + SSFaktor B + SSAxB + SSwithin

Quadratsummen 2-fak. ANOVA

n

i

p

j

q

kjkijkwithin

p

j

q

kkjjkqpAxB

q

kkqFaktorB

p

jjpFaktorA

yySS

yyyynSS

yynSS

yynSS

1 1 1

1 1,

1

1

)²(

..)²..(

..)².(

..)².(

Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade

df

SSMS

df

SSMS

FaktorBFaktorB

FaktorAFaktorA

1// qpdf BA

df

SSMS FaktorAxB

FaktorAxB

df

SSMS within

within

F-Tests

within

FaktorAA MS

MSF

within

AxBAxB MS

MSF

within

FaktorBB MS

MSF

Faktor A: Faktor B:

Interaktion:Nur der Zähler ändert sich, im Nenner steht jeweils die Fehlervarianz.

Und weiter…

Weiterhin analog zur 1-fak. ANOVA:

o Post-hoc-Tests, wenn mindestens ein F-Test signifikant wird

o Wenn im Vorhinein Hypothesen bestehen: Kontraste

o Dies wird jedoch nicht in der Vorlesung behandelt; interessierten sei Leonhart S. 401 ff. empfohlen

Rechenbeispiel

In einer kleinen Therapiestudie wurde der Einfluss der Faktoren Therapiemethode (VT=Verhaltenstherapie, GT=Gesprächstherapie, PA=Psychoanalyse)

und Altersgruppe (Mediansplit: jung/alt) auf den Therapieerfolg untersucht (Skala 1-10, hohe Werte = guter Erfolg).

Faktor B: Therapiemethode

Faktor A: Alter

VT GT PA

Obere 50 % 5 4 6

6 3 7

3 5 5

Untere 50% 9 6 2

10 4 1

8 5 3

a) Berechnet die Quadratsummen (SS)b) Berechnet die mittleren Quadratsummen (MS)c) Führt F-Tests für alle Effekte durch.

Lösungen: 4,67

9,00

6,83

4,00

5,00

4,50

6,00

2,00

4,00

4,89

5,33

5,11

alobere 50%

untere 50%

Gesamt

obere 50%

untere 50%

Gesamt

obere 50%

untere 50%

Gesamt

obere 50%

untere 50%

Gesamt

theVT

GT

PA

Gesamt

Mittelwert

SSA (Alter) = 0,89; df (p-1) = 1, MSA = 0,89SSB (Therapie) = 27,44; df (p-1) = 2; MSB = 13,72SSAxB = 52,78; df (p-1)*(q-1) = 2; MSAxB = 26,39SSwithin = 14,67; df p*q*(n-1)= 12; MSwith = 1,22FA = 0,73FB = 11,23FAxB = 21,6

IV. Interaktion und ihre Formen

Inhaltliches Beispiel

o zwei Schmerztherapien S1 und S2 (Faktor A)o an hoch Belasteten und niedrig Belasteten

getestet (Faktor B)o kein Haupteffekt der Intervention oder der

Probandengruppeo aber eine Wechselwirkung (Interaktion):

- bei hoch Belasteten wirkt Therapie 1 besser- bei niedrig Belasteten hingegen Therapie 2

Welche Formen der Interaktion kennt ihr?

o Ordinale Interaktion→ beide Haupteffekte global interpretierbaro Hybride Interaktion→ ein Haupteffekt global interpretierbaro Disordinale Interaktion → kein Haupteffekt global interpretierbar

Global intepretierbar: Auf jeder Faktorstufe des jeweils anderen Faktors tritt der Effekt des betreffenden Faktors gleichgerichtet auf.

Globale Interpretierbarkeit inhaltlich

o Wir untersuchen den Einfluss der jeweils 2-stufigen Faktoren Alter und Alkoholkonsum auf die AV Reaktionszeit.

o Ergebnis: Alle F-Tests sind signifikant und es liegt eine ordinale Interaktion vor: - jüngere sind sowohl unter Alkoholeinfluss als auch

nüchtern schneller als entsprechende ältere (Haupteffekt Alter; global interpetierbar)

- Menschen unter Alkoholeinfluss sind immer langsamer, als die nüchterne Vergleichsgruppe (Haupteffekt Alkoholkonsum; global interetierbar)

grafische Interpretation

o Ordinale Interaktion: gleicher Trend für beide Lininen in beiden Diagrammen

o Hybride Interaktion: gleicher Trend in einem, entgegengesetzter im anderen Diagramm

o Disordinale Interaktion: entgegengesetzter Trend in beiden Diagrammen

Welche Interaktion?

Welche Interaktion?

Welche Interaktion?

Übung InteraktionsformenEure F-Tests sagen euch, dass in folgendem Datensatz neben der Interaktion zwei Haupteffekte vorliegen. Um welchen Typ der Interaktion handelt es sich.

a) b) c)

a) Hybride Interaktion: Gleiche Trends in einem Diagramm, entgegengesetzte Trends im anderen

b) Ordinale Interaktion: Gleiche Trends für alle Linien in beiden Diagrammen

c) Disordinale Interaktion: Entgegengesetzte Trends in beiden Diagrammen

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Fleißarbeit I

Interpretiert die Ergebnisse der F-Tests aus unserer kleinen Therapiestudie (Folie 29). Hinweis: Es ist einfacher, jeden Effekt getrennt zu bewerten.

Fkrit (1,12) = 4,74; Fkrit (2,12) = 3,89

Ergebnis I

Man kann nicht sagen, dass das Alter allein einen Einfluss auf den Therapieerfolg hat (kein Haupteffekt A).Es darf behauptet werden, dass die Therapiemethode einen Einfluss hat (Haupteffekt B).

Weiterhin gibt es offenbar eine Wechselwirkung zwischen Alter und Therapiemethode (Interaktionseffekt): Offenbar sprechen ältere vergleichsweise gut auf Psychoanalyse an, jüngere vergleichsweise gut auf Verhaltentherapie. Bei Gesprächstherapie scheint es keinen Effekt des Alters zu geben. Um diese Aussagen zu verifizieren, müssten noch post-hocTests durchgeführt werden.

Fleißarbeit IIDie F-Tests zu unserem Versuchsplan von Folie 16 zeigen folgende Ergebnisse:

Welche praktischen Empfehlungen für die Geschäftsleitung leiten Sie aus diesen Daten ab? Ist ein Training besser als das andere?

Ergebnis II

Generell kann nicht gesagt werden, welches Training besser ist (weil es keinen Haupteffekt A gibt). Die Interaktion deutet aber darauf hin, dass die Trainings unterschiedlich gut für die Gruppen geeignet sind. Das Kommunikations-training sollte daher für Kundenberater und das Entspannungstraining für Mitglieder des mittleren Managements durchgeführt werden. Ob es einen Unterschied in der Wirksamkeit auch für Mitglieder des höheren Managements gibt, kann nur ein post-hoc Test entscheiden.