Visualisierung algebraischer Zusammenhänge€¦ · Addition ungerader Zahlen Addiert man die...

Visualisierung algebraischer

Zusammenhänge

Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.

Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.

Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.

Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, so ist die Summe n2.

Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.

Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, so ist die Summe n2.

1+ 3+ 5 + ...+ 2n −1= n2

Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.

Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.

Beispiel: 11 = 5 + 6

Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.

Beispiel: 11 = 5 + 6

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11unger. Zahl 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.

Beispiel: 11 = 5 + 6

Die n. ungerade Zahl kann man zerlegen in die Summe aus n und n-1.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11unger. Zahl 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Also:

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )

Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

n2 = Dn + Dn−1

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

n2 = Dn + Dn−1

Dn + Dn−1 =n n +1( )2

+n −1( )n2

= ...= n2

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

zweidimensional dreidimensional

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

zweidimensional dreidimensional

Folgerung für die Visualisierung: quadratische Platten, die geschickt zu einem Körper zusammengesetzt werden

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

Bielefelder Lösung

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

Bayreuther Lösung

Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler

Dn =n n +1( )2

Fläche, zweidimensional

Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler

Dn =n n +1( )2

Fläche, zweidimensional

Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler

Dn =n n +1( )2

= 1+ 2 + 3+ ...+ n

Fläche, zweidimensional

Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler

Dn =n n +1( )2

= 1+ 2 + 3+ ...+ n

Fläche, zweidimensional

aneinander gelegte Längen, eindimensional

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)6

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Summe der Quadratzahlen

3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Summe der Quadratzahlen

3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Länge

Summe der Quadratzahlen

3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Länge Länge

Summe der Quadratzahlen

3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

zweidimensional!

Länge Länge

Summe der Quadratzahlen3⋅12 = 1⋅3= 1⋅(2 ⋅1+1)Das ist für n = 13⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat…

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .D2 wird in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .

D1 füllt die Lücke links.D2 wird in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .

D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.

D2 wird in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .

D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.

D2 wird in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .

D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.

D2 wird in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)Das ist für n = 2

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .

D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.

D2 wird in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)Das ist für n = 23⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat…

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .Beide werden in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .

D2 füllt die Lücke links.Beide werden in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .

D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .

D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .

D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)Das ist für n = 3

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .

D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)Das ist für n = 33⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat…

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .Beide werden in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .

D3 füllt die Lücke links.Beide werden in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .

D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .

D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .

D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)Das ist für n = 4

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )

Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .

D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.

Beide werden in Streifen geschnitten.

3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)Das ist für n = 43⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Beispiel für n = 4:

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 20

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)6

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20

Summe der Dreieckszahlen

3⋅ Dkk=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20

Summe der Dreieckszahlen3⋅D1 = 3⋅1= 1⋅3= 1⋅(1+ 2)Das ist für n = 13⋅ Dk

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )

Das ist für n = 2

Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )

Das ist für n = 23⋅ Dk

k=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)

Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )

Das ist für n = 3

Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )

Das ist für n = 33⋅ Dk

k=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)

Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )

Das ist für n = 4

Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )

Das ist für n = 43⋅ Dk

k=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)

Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.

Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…

… und ergibt eine neue Schicht.

3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)

Summe der DreieckszahlenDie$Summe$von$Dreieckszahlen$

!Addiert!man!Dreieckszahlen,!so!erhält!man!die!Tetraederzahlen.!Für!die!explizite!Formel!der!Tetraederzahlen!!

!!Tn =

16n n+1( ) n+2( ) !

gibt!es!verschiedene!Herleitungen!und!Begründungen.!Hier!wollen!wir!analog!zur!Idee!des!jungen!Gauß!(Summe!1!bis!100)!arbeiten.!!Vorüberlegung!!

!

!!

Tn = D1 +D2 +D3 +D4 + ...+Dn−1 +Dn= !1!+ !1!+ !1!+ !1!+ ...+ !1!+ !1!+ 2!+ !2!+ !2!+ ...+ !2!+ !2+ 3!+ !3!+ ...+ !3!+ !3+ 4!+ ...+ !4!+ !4

...+ n−1+n−1+ n

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!

= n⋅1+ n−1( )⋅2+ n−2( )⋅3+ n−3( )⋅4!!!!!...+2⋅ n−1( )+1⋅n

!!!

!Grafisch:!In!der!Abbildung!rechts!sehen!wir!den!Tetraeder!der!Stufe!4.!Die!Schichten!von!links!hinten!nach!rechts!vorn!sind!die!Dreieckszahlen!D4,!dahinter!D3,!D2!und!D1.!Betrachtet!man!die!Schichten!von!vorn!links!nach!rechts!hinten,!so!hat!man!Rechtecke!der!Form!1x4,!2x3,!3x2!und!4x1.!!1.Variante!!Nun!addieren!wir!dreimal!die!Summe!der!DreiecksSzahlen,!ein!Mal!in!der!neu!hergeleiteten!Form!und!zwei!Mal!in!der!direkten.!

!!

Tn = n⋅1+ n−1( )⋅2+ n−2( )⋅3+ n−3( )⋅4+ ...+2⋅ n−1( )+1⋅nTn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!!+ !!!!!!D3 !!!!+ !!!!!!D4 !!!!!+ ...+ !!!!Dn−1 !!!+ !!DnTn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!!+ !!!!!!D3 !!!!+ !!!!!!D4 !!!!!+ ...+ !!!!Dn−1 !!!+ !!Dn

3Tn = n− k−1( )( )⋅k+2Dk⎡⎣

⎤⎦

k=1

n

∑

!

Erläuterung:!Jeder!Dreiersummand!in!einer!Spalte!hat!die!Form,!wie!sie!in!der!eckigen!Klammer!hinter!dem!Summenzeichen!steht.!!Grafisch:!Auf!jeder!!horizontalen!Ebene!werden!zwei!Dreieckszahlen!addiert!(oben!D1,!ganz!unten!D4).!

!!!das!kann!man!zeilenweise!zusammenfassen!

Sie!formen!Rechtecke!der!Struktur!!!k ⋅ k+1( ) .!Fügt!man!nun!den!dritten!Tetraeder!an,!so!addiert!man!Rechtecke!der!Struktur!!! n−k+1( )⋅k .!Das!Gesamtgebilde!besteht!aus!Dreiecken!(hier!Stufe!4),!von!denen!n+2!(hier!6)!nebeneinander!liegen.!!Den!Term,!über!den!summiert!wird![eckige!Klammer],!können!wir!zusammenfassen.

!!

n− k−1( )( )⋅k+2Dk = n− k−1( )( )⋅k+2k k+1( )2

= n−k+1( )⋅k+k k+1( )= k ⋅ n−k+1+k+1( )= k ⋅ n+2( )

!

!Setzen!wir!das!in!die!Summe!ein!und!lösen!den!Laufindex!k!auf,!erhalten!wir:!

!

!!

3Tn = k n+2( )⎡⎣ ⎤⎦k=1

n

∑=1⋅ n+2( )+2⋅ n+2( )+3⋅ n+2( )+ ...+(n−1)⋅ n+2( )+n⋅ n+2( )= n+2( )⋅ 1+2+3+4+ ...+(n−1)+n( )

n*te!Dreieckszahl! "##### $#####

= n+2( )⋅n n+1( )2

!

!Nun!muss!man!die!Gleichung!nur!noch!durch!3!teilen!und!leicht!ordnen.!

!!

Tn =16n n+1( ) n+2( )

!

!

!!2.Variante!!Diese!Variante!wollen!wir!grafisch!beginnen.!Man!verwendet!die!gleichen!Teile!wie!bei!der!ersten!Variante,!baut!sie!aber!etwas!anders!zusammen.!!Wieder!werden!zwei!Teile!zusammengefügt,!so!dass!die!Dreiecke!in!jeder!horizontalen!Ebene!Rechtecke!der!Struktur!!!k ⋅ k+1( ) !formen!(oben!1!x!2,!ganz!unten!4!x!5).!!!!!!!

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Beispiele:

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Beispiele:

n = 2 : k 3 = 13 + 23 = 1+ 8 = 9 = 32 = 1+ 2( )2k=1

2

∑

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Beispiele:

n = 2 : k 3 = 13 + 23 = 1+ 8 = 9 = 32 = 1+ 2( )2k=1

2

∑

n = 5 : k 3

k=1

5

∑ = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

= 1+ 8 + 27 + 64 +125 = 225 = 152 = 1+ 2 + 3+ 4 + 5( )2

Summe der Kubikzahlen

k 3k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9

Dreieck: A = 12gh = 1

2⋅3⋅2 ⋅ 1+ 2( ) = 9

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9

Dreieck: A = 12gh = 1

2⋅3⋅2 ⋅ 1+ 2( ) = 9

n = 2 : A = 12gh = 1

2⋅ n +1( )n ⋅Dn = Dn

2

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100

Dreieck: A = 12gh = 1

2⋅5 ⋅4 ⋅ 1+ 2 + 3+ 4( ) = 10 ⋅10 = 100

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100

Dreieck: A = 12gh = 1

2⋅5 ⋅4 ⋅ 1+ 2 + 3+ 4( ) = 10 ⋅10 = 100

n = 4 : A = 12gh = 1

2⋅ n +1( )n ⋅Dn = Dn

2

Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Beweis zum Fingerrechnen

5

10

5 108

7

Beweis zum Fingerrechnen

5

10

5 108

7

<–– abgeknickt ––> <gestreckt>

<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>

Beweis zum Fingerrechnen

5

10

5 108

7

<–– abgeknickt ––> <gestreckt>

<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>

Beweis zum Fingerrechnen

5

10

5 108

7

<–– abgeknickt ––> <gestreckt>

<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>

Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis

Beweis zum Fingerrechnen

5

10

5 108

7

<–– abgeknickt ––> <gestreckt>

<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>

Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b

<–– nach unten -–> <—nach              oben—>

<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b

<–– nach unten -–> <—nach              oben—>

<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b

<–– nach unten -–> <—nach              oben—>

<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>

Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b

<–– nach unten -–> <—nach              oben—>

<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>

Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis

Quadratzahlen und Teilbarkeit durch 4