Visualisierung algebraischer Zusammenhänge€¦ · Addition ungerader Zahlen Addiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl. Beispiel: 1 + 3 + 5 +

Visualisierung algebraischer

Zusammenhänge

Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.


Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42


Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, so ist die Summe n2.


Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, so ist die Summe n2.

1+ 3+ 5 + ...+ 2n −1= n2

Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.


Beispiel: 11 = 5 + 6



Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11unger. Zahl 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21



Die n. ungerade Zahl kann man zerlegen in die Summe aus n und n-1.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11unger. Zahl 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11







Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =

12n n +1( )


12n n +1( )

Also:


12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15


12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15


12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )


12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )


12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )


12n n +1( )

Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15

2 ⋅Dn = n n +1( )

Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen

Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.

Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100



Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6




Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6


n2 = Dn + Dn−1



Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6


n2 = Dn + Dn−1

Dn + Dn−1 =n n +1( )2

+n −1( )n2

= ...= n2







Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7




Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7




Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7

Summe der Quadratzahlenk2

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

zweidimensional dreidimensional


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

zweidimensional dreidimensional

Folgerung für die Visualisierung: quadratische Platten, die geschickt zu einem Körper zusammengesetzt werden


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

Bielefelder Lösung


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

Bayreuther Lösung

Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler

Dn =n n +1( )2

Fläche, zweidimensional


Dn =n n +1( )2



Dn =n n +1( )2

= 1+ 2 + 3+ ...+ n



Dn =n n +1( )2

= 1+ 2 + 3+ ...+ n


aneinander gelegte Längen, eindimensional


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)6


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Summe der Quadratzahlen

3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2


3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Länge


3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

Länge Länge


3⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

k2k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)

k2

k=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2

zweidimensional!

Länge Länge

Summe der Quadratzahlen3⋅12 = 1⋅3= 1⋅(2 ⋅1+1)Das ist für n = 13⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )


Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.


Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat…


Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .


Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .D2 wird in Streifen geschnitten.



D1 füllt die Lücke links.D2 wird in Streifen geschnitten.



D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.

D2 wird in Streifen geschnitten.





3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)





3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)Das ist für n = 2





3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)Das ist für n = 23⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )






Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .Beide werden in Streifen geschnitten.



D2 füllt die Lücke links.Beide werden in Streifen geschnitten.




Beide werden in Streifen geschnitten.





3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)





3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)Das ist für n = 3





3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)Das ist für n = 33⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )






Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .Beide werden in Streifen geschnitten.



D3 füllt die Lücke links.Beide werden in Streifen geschnitten.









3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)





3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)Das ist für n = 4





3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)Das ist für n = 43⋅ k2

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der DreieckszahlenDk

k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Beispiel für n = 4:


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 20


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20


k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)6



k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2



k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2



k=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2


Summe der Dreieckszahlen

3⋅ Dkk=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)

Dkk=1

n

∑ = 1

n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2


Summe der Dreieckszahlen3⋅D1 = 3⋅1= 1⋅3= 1⋅(1+ 2)Das ist für n = 13⋅ Dk

k=1

n

∑ = Dn ⋅(2n +1)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.



Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…



… und ergibt eine neue Schicht.




3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)


Das ist für n = 2

Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.



3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)


Das ist für n = 23⋅ Dk

k=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)




3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.











3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)


Das ist für n = 3




3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)



k=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)




3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )

Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.









3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)


Das ist für n = 4




3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)



k=1

n

∑ = Dn ⋅(n + 2)




3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)

Summe der DreieckszahlenDie$Summe$von$Dreieckszahlen$

!Addiert!man!Dreieckszahlen,!so!erhält!man!die!Tetraederzahlen.!Für!die!explizite!Formel!der!Tetraederzahlen!!

!!Tn =

16n n+1( ) n+2( ) !

gibt!es!verschiedene!Herleitungen!und!Begründungen.!Hier!wollen!wir!analog!zur!Idee!des!jungen!Gauß!(Summe!1!bis!100)!arbeiten.!!Vorüberlegung!!

!

!!

Tn = D1 +D2 +D3 +D4 + ...+Dn−1 +Dn= !1!+ !1!+ !1!+ !1!+ ...+ !1!+ !1!+ 2!+ !2!+ !2!+ ...+ !2!+ !2+ 3!+ !3!+ ...+ !3!+ !3+ 4!+ ...+ !4!+ !4

...+ n−1+n−1+ n

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!

= n⋅1+ n−1( )⋅2+ n−2( )⋅3+ n−3( )⋅4!!!!!...+2⋅ n−1( )+1⋅n

!!!

!Grafisch:!In!der!Abbildung!rechts!sehen!wir!den!Tetraeder!der!Stufe!4.!Die!Schichten!von!links!hinten!nach!rechts!vorn!sind!die!Dreieckszahlen!D4,!dahinter!D3,!D2!und!D1.!Betrachtet!man!die!Schichten!von!vorn!links!nach!rechts!hinten,!so!hat!man!Rechtecke!der!Form!1x4,!2x3,!3x2!und!4x1.!!1.Variante!!Nun!addieren!wir!dreimal!die!Summe!der!DreiecksSzahlen,!ein!Mal!in!der!neu!hergeleiteten!Form!und!zwei!Mal!in!der!direkten.!

!!

Tn = n⋅1+ n−1( )⋅2+ n−2( )⋅3+ n−3( )⋅4+ ...+2⋅ n−1( )+1⋅nTn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!!+ !!!!!!D3 !!!!+ !!!!!!D4 !!!!!+ ...+ !!!!Dn−1 !!!+ !!DnTn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!!+ !!!!!!D3 !!!!+ !!!!!!D4 !!!!!+ ...+ !!!!Dn−1 !!!+ !!Dn

3Tn = n− k−1( )( )⋅k+2Dk⎡⎣

⎤⎦

k=1

n

∑

!

Erläuterung:!Jeder!Dreiersummand!in!einer!Spalte!hat!die!Form,!wie!sie!in!der!eckigen!Klammer!hinter!dem!Summenzeichen!steht.!!Grafisch:!Auf!jeder!!horizontalen!Ebene!werden!zwei!Dreieckszahlen!addiert!(oben!D1,!ganz!unten!D4).!

!!!das!kann!man!zeilenweise!zusammenfassen!

Sie!formen!Rechtecke!der!Struktur!!!k ⋅ k+1( ) .!Fügt!man!nun!den!dritten!Tetraeder!an,!so!addiert!man!Rechtecke!der!Struktur!!! n−k+1( )⋅k .!Das!Gesamtgebilde!besteht!aus!Dreiecken!(hier!Stufe!4),!von!denen!n+2!(hier!6)!nebeneinander!liegen.!!Den!Term,!über!den!summiert!wird![eckige!Klammer],!können!wir!zusammenfassen.

!!

n− k−1( )( )⋅k+2Dk = n− k−1( )( )⋅k+2k k+1( )2

= n−k+1( )⋅k+k k+1( )= k ⋅ n−k+1+k+1( )= k ⋅ n+2( )

!

!Setzen!wir!das!in!die!Summe!ein!und!lösen!den!Laufindex!k!auf,!erhalten!wir:!

!

!!

3Tn = k n+2( )⎡⎣ ⎤⎦k=1

n

∑=1⋅ n+2( )+2⋅ n+2( )+3⋅ n+2( )+ ...+(n−1)⋅ n+2( )+n⋅ n+2( )= n+2( )⋅ 1+2+3+4+ ...+(n−1)+n( )

n*te!Dreieckszahl! "##### $#####

= n+2( )⋅n n+1( )2

!

!Nun!muss!man!die!Gleichung!nur!noch!durch!3!teilen!und!leicht!ordnen.!

!!

Tn =16n n+1( ) n+2( )

!

!

!!2.Variante!!Diese!Variante!wollen!wir!grafisch!beginnen.!Man!verwendet!die!gleichen!Teile!wie!bei!der!ersten!Variante,!baut!sie!aber!etwas!anders!zusammen.!!Wieder!werden!zwei!Teile!zusammengefügt,!so!dass!die!Dreiecke!in!jeder!horizontalen!Ebene!Rechtecke!der!Struktur!!!k ⋅ k+1( ) !formen!(oben!1!x!2,!ganz!unten!4!x!5).!!!!!!!

Summe der Kubikzahlenk 3

k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Beispiele:


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Beispiele:

n = 2 : k 3 = 13 + 23 = 1+ 8 = 9 = 32 = 1+ 2( )2k=1

2

∑


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

Beispiele:

n = 2 : k 3 = 13 + 23 = 1+ 8 = 9 = 32 = 1+ 2( )2k=1

2

∑

n = 5 : k 3

k=1

5

∑ = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

= 1+ 8 + 27 + 64 +125 = 225 = 152 = 1+ 2 + 3+ 4 + 5( )2

Summe der Kubikzahlen

k 3k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9

Dreieck: A = 12gh = 1

2⋅3⋅2 ⋅ 1+ 2( ) = 9


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9


2⋅3⋅2 ⋅ 1+ 2( ) = 9

n = 2 : A = 12gh = 1

2⋅ n +1( )n ⋅Dn = Dn

2


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100


2⋅5 ⋅4 ⋅ 1+ 2 + 3+ 4( ) = 10 ⋅10 = 100


k=1

n

∑ =n n +1( )2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Dn2

13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100


2⋅5 ⋅4 ⋅ 1+ 2 + 3+ 4( ) = 10 ⋅10 = 100

n = 4 : A = 12gh = 1

2⋅ n +1( )n ⋅Dn = Dn

2

Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Beweis zum Fingerrechnen

5

10

5 108

7


5

10

5 108

7

<–– abgeknickt ––> <gestreckt>

<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>


5

10

5 108

7


<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>


5

10

5 108

7


<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>

Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis


5

10

5 108

7


<abg

ekni

ckt>

<–––

ges

treck

t ––>


Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b

<–– nach unten -–> <—nach oben—>

<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b


<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>

Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b


<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>


Verallgemeinerung

H

2H

H 2Ha

b


<nac

h un

ten>

<––

nach

obe

n -–

>


Quadratzahlen und Teilbarkeit durch 4

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