Vorlesung 11.12.2006 Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten

1

Vorlesung 11.12.2006

Mehrstufige Zufallsexperimente und

bedingte Wahrscheinlichkeiten

A siegt

B siegt

A siegt

B siegt

1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel

Stand: 2:1 für A

2

Klausur:

Montag, 22.01.2007, 16.15-17.45 Uhr

Von Seckendorff-Platz 1 (Informatikgebäude), Raum 5.09

Hilfsmittel: 1 selbst beschriebenes A4-Blatt, Taschenrechner

Übungsaufgaben zur Vorbereitung: Auslage auf dem Flügel

Klausurschwerpunkte: Anwendung der behandelten Grundbegriffe auf konkrete Zufallsvorgänge

Literatur zur Klausurvorbereitung: Auslage auf dem Flügel

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Beispiel: Was ist gerecht?

Zwei gleichstarke Mannschaften bestreiten einen Wettkampf, der aus einzelnen Runden besteht.

Im Fall eines Rundengewinns bekommt die Siegermannschaft einen Punkt, die Verlierermannschaft geht leer aus. (Gleichstand in einer Runde gibt es nicht.)

Die Mannschaft, die als erste 3 Punkte zusammenhat, ist Gesamtsieger und bekommt das Preisgeld.

Die Bedingungen des Experiments „Wettkampf zwischen Mannschaft A und Mannschaft B“ sind damit festgelegt!

Alles wäre in Ordnung, wenn nicht der Wettkampf wegen eines Wolkenbruchs vorzeitig beim Spielstand 2:1 für die Mannschaft A hätte abgebrochen werden müssen.

Wie ist nun der Preis möglichst gerecht unter den beiden Mannschaften A und B aufzuteilen?

4

1. Runde: Mannschaft A gewinnt 1 Punkt für A

2. Runde: Mannschaft B gewinnt 1 Punkt für B

3. Runde; Mannschaft A gewinnt 1 Punkt für A

Möglicher bisheriger Verlauf:

Zum Spielstand 2:1 für Mannschaft A nach 3 Runden gibt es für den bisherigen Verlauf außer der oben genannten noch weitere 2 Verlaufsmöglichkeiten.

Kombinatorisches Problem: Auswahl von einer Nummer

aus einer Rundennummer-3er-Kette Möglichkeiten.3

1

5

Vorschlag: Aufteilung des Preisgeldes im Verhältnis 2:1

Mannschaft A bekommt des Preisgeldes,

Mannschaft B bekommt des Preisgeldes.

Einverstanden?

Mannschaft A war ja eigentlich schon „viel näher“ am Gesamt- sieg als Mannschaft B …

Es wäre gerechter, die zukünftigen Chancen zu berücksichtigen!

3

2

3

1

6

Blick in die Zukunft:

Aktueller Stand:

A hat 2 Runden gewonnen, B eine Runde

Weiterer möglicher Spielverlauf im Baumdiagramm dargestellt: verbleibende Spiele bis zum Wettkampf-Ende

A siegt

B siegt

A siegt

B siegt

1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel

Stand: 2:1 für A

Bisher erreichter Stans

7

Eintrittschancen?

Schritt für Schritt

A siegt

B siegt

A siegt

B siegt

1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel

Stand: 2:1 für A

2

1

2

1

2

1

2

1

und insgesamt: Produktregel!

Laplace-Modell für jedes der noch ausstehenden Spiele

Chancengleichheitfür die beiden möglichen Fälle

Chancengleichheitfür die beiden möglichen Fälle

8

Mögliche Wettkampfsverläufe: nach dem Spielstand 2:1 für A sind

A gewinnt im 1. ausstehenden SpieloderB gewinnt im 1 ausstehenden Spiel und A im 2. ausstehenden SpieloderB gewinnt im 1. und im 2. noch ausstehenden Spiel

Das zufällige Experiment „weiterer Wettkampfverlauf“ hat also 3 mögliche Ausgänge = 3 Elementarereignisse

A siegt

B siegt

A siegt

B siegt

1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel

Stand: 2:1 für A

9

Berechnung der Elementar-Wahrscheinlichkeiten:

P(A gewinnt das 1. ausstehende Spiel) =

P(B gewinnt im 1. und A im 2. ausstehenden Spiel) =

P(B gewinnt im 1. und im 2. ausstehenden Spiel) =

A siegt

B siegt

A siegt

B siegt

1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel

Stand: 2:1 für A

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

= 2 2 4

1 1 1

= 2 2 4

1

2

1

2

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A siegt

B siegt

A siegt

B siegt

1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel

Stand: 2:1 für A

1

2

1

2

1

2

2

1

Ereignis „ A gewinnt den Wettkampf“ = { A gewinnt das 1. ausstehende Spiel , B gewinnt das erste und A gewinnt das 2. ausstehende Spiel }

P( A gewinnt den Wettkampf) =

P(B gewinnt den Wettkampf) =

3

2 4

1

2

1 1

2

4

1 Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch die Summe der zugehörigen Elementarwahrscheinlichkeiten

11

Gerechte Verteilung des Preisgeldes?

Unsere Antwort: des Preisgeldes an Mannschaft A;

des Preisgeldes an Mannschaft B.

4

3

4

1

Welches stochastische Modell verbirgt sich hinter diesen Überlegungen?

mehrstufige Zufallsexperimente

12

n-stufiges Zufallsexperiment:

Das Experiment gliedert sich in n Teilexperimente, die man sich als Kette hintereinander angeordnet vorstellen kann.

Jeder Ausgang (=Elementarereignis) des n-stufigen Experiments ist eine Kette von n Teilausgängen:

= (1, 2, … , n) ,

wobei gilt: i = Ergebnis des i-ten Teilexperiments (i=1,…,n).

Achtung: Die Teilexperimente eines mehrstufigen Zufallsexperiments müssen nicht sämtlich identisch sein!

13

n-stufiges Zufallsexperiment Abfolge der Teilexperimente T1, …, Tn

Veranschaulichung durch einen Baum:

T1 T2 . . . Tn

. . .. . . . . .

mögliches Elementarereignis des n-stufiges Experiments

1

2

n-1

n

14

Beispiel Ziehen ohne Zurücklegen

9 Kinder stehen auf dem Schulhof – 5 Jungen und 4 Mädchen.Als Tino dazukommt, atmen alle auf: Jetzt gibt es 2 Völkerball-Mannschaften mit je 5 Kindern.

Tino stellt die Mannschaften so zusammen:

auf gut Glück wählt er die vier Kinder aus, die mit ihm in der gleichen Mannschaft spielen sollen.

Die „übrig gebliebenen“ fünf Kinder spielen dann in der anderen Mannschaft.

Versuchsbedingungen : 4-stufiges Zufallsexperiment

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4-stufiges Zufallsexperiment?

4 zufällige Versuche sind „hintereinandergeschaltet“.

Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments setzen sich aus 4 hintereinandergeschalteten Einzel-Ausgängen zusammen.

Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments sind also 4-er-Ketten von Ausgängen der 4 hintereinandergeschalten Versuche.

Darstellung durch ein Baumdiagramm mit 4 Ebenen

16

Abzweigung nach links: Tino wählt in diesem Schritt einen Jungen;Abzweigung nach rechts: Tino wählt in diesem Schritt ein Mädchen.

JungenMädchen

JungenMädchen

JungenMädchen

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Stochastisches Modell: 4-stufiges Zufallsexperiment „4x Wählen“

Ausgänge: (1. gewähltes Kind, 2. gewähltes Kind, 3. gewähltes Kind, 4. gewähltes Kind)

Dabei ist jeweils nur die Information Junge oder Mädchen interessant (möglich).

Elementarereignisse: 4-er-Ketten mit den Einträgen J(unge) oder M(ädchen)

18

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tinos Mannschaft aus 2 Jungen und 3 Mädchen besteht?

Ereignis E : Tino wählt 1 Jungen und 3 Mädchen aus

E = Menge aller möglichen Auswahlen von 1 Jungen und 3 Mädchen

Nach der Auswahl sind noch 4 Jungen und 1 Mädchen „übrig“.

Im Baum ist nach der End-Konstellation zu suchen.

1

4

19

JungenMädchen

JungenMädchen

JungenMädchen

20

Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “

Junge: in 4 der 9 möglichen Fälle

dann Mädchen: aus 4 der dann noch 8 (=4+4) wählbaren Kinder

dann Mädchen: aus 3 der dann noch 7 (=4+3) wählbaren Kinder

dann Mädchen: aus 2 der dann noch 6 (=4+2) wählbaren Kinder

4

4

3

4

2

4

1

4

Eine der Möglichkeiten (= ein Elementarereignis aus E):

„Pool“ der jeweils noch übrigen Kinder

21

Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “

Junge: in 5 der 9 möglichen Fälle Wahrscheinlichkeit:

dann Mädchen: davon in 4 der noch 8 (=4+4) möglichen Fälle

dann Mädchen: davon in 3 der noch 7 (=4+3) möglichen Fälle

dann Mädchen: davon in 2 der noch 6 (=4+2) möglichen Fälle

4

4

3

4

2

4

1

4

9

5

8

4

7

3

6

2

22

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) :

P(E) =

=

=

0,15673

6

5

7

2

8

3

9

4

6

2

7

5

8

3

9

4

6

2

7

3

8

5

9

4

6

2

7

3

8

4

9

5

6

2

7

3

8

4

9

54

63

10

Wir benutzen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) die Pfadregelund das Additivitätsaxiom .

Pfadregel: Multiplikation aller Einzelschritt-Wahrscheinlichkeiten des Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für dieses Pfad- Ereignisses zu berechnen.

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Besonderheit dieses 4-stufigen Experiments:

Die 4 Teilexperimente sind 4 unterschiedliche Zufallsversuche!

1. Teilexperiment: Auswahl des ersten Kindes aus einer Gruppe von 5 Jungen und 4 Mädchen

2. Teilexperiment: Auswahl des zweiten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 8 Kinder

3. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 7 Kinder

4. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 6 Kinder

Die Teilexperimente sind voneinander abhängig: Die Bedingungen jedes Teilexperiments hängen davon ab, wie das Vorgängerexperiment ausgegangen ist!

24

Wir benötigen einen Begriff, der die Abhängigkeit in der Sprache der Stochastik modelliert.

bedingte Wahrscheinlichkeiten

25

Beispiel:

26

Stochastisches Modell:

Für jede von ihm wählbare Kugel-Aufteilung auf die 2 Gefäße muss der Astrologe den folgenden zufälligen Versuch untersuchen:

Auswahl einer Gefäßes durch den König und Ziehen einer Kugel aus diesem Gefäß, Feststellen der Kugelfarbe

Schwarze Kugel

gezogen

Weiße Kugel gezogen

Gefäß A (A,s) (A,w)

Gefäß B (B,s) (B,w)

Wir interessieren uns für 2 Merkmale gleichzeitig: Gefäß und Kugelfarbe

Elementarereignisse:

(Gefäß A , schwarze Kugel ) (Gefäß A , weiße Kugel) (Gefäß B , schwarze Kugel ) (Gefäß B , weiße Kugel)

Darstellung der Ergebnisse des Versuchs in einer 4-Felder-Tafel

27

Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B

Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4

Mögliche Kugelverteilungen durch den Astrologen:

s w s w s s w w s s w w w s s w

Wir untersuchen zunächst Situation 1:

A B

s w s w

Ausgewähltes Gefäß

Gezogene Kugel

Achtung: Austauschen der Gefäßbezeich-nungen führt auf 4 analoge Situationen!

Wir betrachten deshalb nur die 4 oben darge-stellten Situationen.

28

A B

s w s w

B A

s w s w

Gefäß A links, Gefäß B rechts Gefäß B links, Gefäß A rechts

1

2

1

2Zufällige Festlegung der Gefäßaufstellung

Ausgewähltes Gefäß

Gezogene Kugel

Aufstellungsentscheidung(Festlegung der Gefäß-bezeichnung)

Austauschen der Gefäßbezeichnungen führt auf 4 analoge Situationen!

8 Elementarereignisse (=8 Pfade), jeweils mit der Eintrittswahrscheinlichkeit 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 4 8

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21

2

1

2

29

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für das reduzierte Modell:

P( Gefäß A gewählt ) = P( (A,s) , (A,w)) =

P( Gefäß B gewählt ) = P( (B,s) , (B,w)) =

P( Schwarze Kugel gezogen, falls vorher Gefäß A gewählt ) =

P( w, falls A gewählt) = , P( s, falls B) = , P( w, falls B) =

2

1

4

1

4

1

2

1

4

1

4

1

1

212

12

12

A B

s w s w

Ausgewähltes Gefäß

Gezogene Kugel

2

1P(A)= P(B)

P( s A) P( wA)

P( sB)

P( wB)

30

Definition bedingte Wahrscheinlichkeit:

Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P

Sei F ein Ereignis mit P(F) 0.

Für jedes Ereignis E heißt dann

die bedingte Wahrscheinlichkeit von E unter der Bedingung F

(=Wahrscheinlichkeit von E, unter Bedingung, dass F eingetreten ist).

:)FE(P)F(P

)FE(P

31

Schwarze Kugel gezogen

Weiße Kugel gezogen

Gefäß A

Gefäß B

Ereignis „Gefäß A wird gewählt“

Ereignis „Schwarze Kugel wird gezogen“

1. Einschränkung von auf das Ereignis „A“

2. Untersuchung des Ereignisses „s“ nur noch hinsichtlich der Einschränkung „A“

Untersuchung von Ereignis „s“ unter der Bedingung, dass Ereignis „A“ eingetreten ist

sA

Ziehen einer schwarzen Kugel, falls vorher Gefäß A gewählt wurde:

32

Multiplikationsregel:

1. Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P

Sei F ein Ereignis mit P(F) 0.

Dann gilt für jedes Ereignis E:

)F(P)FE(P)FE(P

2. Entsprechend gilt:

Sind Ereignisse E und F mit P(E) 0, so gilt:

)E(P)EF(P)FE(P

33

:)FE(P)F(P

)FE(P Multiplizieren mit P(F):

P(E F) P(F) = P(E F)

Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

Multiplikationsregel

P(F E) :P(E F)

P(E)

Multiplizieren mit P(E):

P(F E) P(E) = P(E F)

34

A B

s w s w

Ausgewähltes Gefäß

Gezogene Kugel

2

1P(A)= P(B)

1P(s A)

2 )Aw(P

)Bs(P

)Bw(P

Unser Astrologen-Beispiel, Situation 1:

Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten

)A(P)As(P)sA(P

)A(P)Aw(P)wA(P

)B(P)Bs(P)sB(P

)B(P)Bw(P)wB(P

35

Wahrscheinlichkeit, die unseren Astrologen interessiert:

P( gezogene Kugel ist weiß) = P(w)

Situation 1:

A B

s w s w

Ausgewähltes Gefäß

Gezogene Kugel

2

1P(A)= P(B)

)As(P )Aw(P

)Bs(P)Bw(P

s w s w

Gefäß A B

P(w)=

=

)B(P)Bw(P)A(P)Aw(P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Pfadregel und Additionsaxiom

36

Situation 2: s s w w

Gefäß A B

A B

s(l) s(r) w(l) w(r)

P(w)=

=

2

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1

)())(()())(( BPBrwPBPBlwP

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Pfadregel und Additionsaxiom

37

Situation 3: s w w s

Gefäß A B

A B

s s w(l) w(r)

2

12

1

3

1

3

1 3

11

P(w)=

=

)B(P)B)rechts(w(P)B(P)B)links(w(P

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

Pfadregel und Additionsaxiom

38

Situation 4: w s s w

Gefäß A B

A B

w ws(l) s(r)

2

1

2

1

13

13

1 3

1

P(w)=

=

)B(P)Bw(P)A(P)Aw(P

3

2

6

4

2

1

3

1

2

11 Pfadregel und

Additionsaxiom

Unser Astrologe sollte sich für die Kugelverteilung gemäß Situation 4 entscheiden:

Dann ist seine Chance, seiner Wege gehen zu dürfen, größtmöglich. Sie beträgt rund 66%.

39

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P.

Außerdem gelte

und Ø für alle Ereignispaare Bi und Bj..

Dann gilt für jedes Ereignis A:

nB...BB 21

ji BB

)B(P)BA(P...)B(P)BA(P)B(P)BA(P)A(P nn 2211

Beweis: Pfadregel auf das zugehörige Baumdiagramm anwenden!

40

B1 B2 Bn

A A AAA A

. . .

)()(...)()()()()( nn2211 BPBAPBPBAPBPBAPAP

Pfadregel und Additivität

1P(B )2P(B ) nP(B )

1P(A B )

1P(A B )

2P(A B )nP(A B )

2P(A B )nP(A B )

41

Veranschaulichung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit durch ein Venn-Diagramm:

B1

B2

B3

B4

B5

A

1 2 3 4 5A (A B ) (A B ) (A B ) (A B ) (A B )

für den Spezialfall n=5

42

1 2 3 4 5P(A) P(A B ) P(A B ) P(A B ) P(A B ) P(A B )

Begründung: Additionsaxiom

1 1 1P(A B ) P(A B ) P(B ) , ...

Begründung: Multiplikationsregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

1 1 2 2 5 5P(A) P(A B ) P(B ) P(A B ) P(B ) ... P(A B ) P(B )

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Beispiel:

In den zwei Körben befinden sich jeweils sowohl Schokoladenmäuse als auch Schokoladenkugeln:

Im Korb mit der roten Schleife sind 40 Schokomäuse und 20 Kugeln,

im Korb mit der blauen Schleife 30 Schokomäuse und 30 Kugeln.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei rein zufälligem Griff eine Schokoladenmaus herauszufischen?

44

Zufälliger Versuch:

Schritt 1: zufälliges Auswählen eines der beiden Körbe,

Schritt 2: zufälliges Auswählen einer Süßigkeit aus dem ausgewählten Korb.

Also: 2-stufiger Zufallsversuch;

Elementarereignisse: geordnete Paare (gewählter Korb, Art der Süßigkeit)

= { (rot, Maus) , (rot, Kugel) , (blau, Maus) , (blau, Kugel) }

Achtung: wir haben es nicht mit einem Laplace-Modell zu tun, da in beiden Körben die Anzahl der Mäuse der Anzahl der Kugeln ist.

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Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit:

Korb mit roterSchleife

Korb mit blauer Schleife

Schokomaus gezogen

Schokomaus gezogen

Kugel gezogen

Kugel gezogen

2

12

1

60

4060

20

60

30

60

30

P(Schokomaus)=12

7

2

1

60

30

2

1

60

40

Begründung:

Pfadregel und Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Schokomaus“

46

Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung:

Mehrstufiges Zufallsexperiment

Beschriftetes Baumdiagramm als Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Pfadregel

Bedingte Wahrscheinlichkeit

4-Felder-Tafel, Multiplikationsregel

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

im 2-stufigen Baumdiagramm: Pfadregel + Additionsaxiom