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Weihnachtliche Betrachtungen
Weihnachtliche Betrachtungen
Weihnachtliche Betrachtungen
1. Nimm einen Streifen Papier und mach einen Knopf.
2. Drücke den Knopf flach.
3. Was siehst Du?
Weihnachtliche Betrachtungen
1. Nimm einen Streifen Papier und mach einen Knopf.
2. Drücke den Knopf flach.
3. Was siehst Du?
4. Verbinde nun jede Ecke mit jeder anderen.
5. Was siehst Du?
Weihnachtliche Betrachtungen
1. Nimm ein leeres Blatt Papier und lege es quer vor Dich hin.
2. Teile mit es mit einem vertikalen Strich in zwei Teile.
3. Setze den Strich so, dass Du die Aufteilung möglichst ästhetisch ist.
Weihnachtliche Betrachtungen
1. Nimm ein leeres Blatt Papier und lege es quer vor Dich hin.
2. Teile mit es mit einem vertikalen Strich in zwei Teile.
3. Setze den Strich so, dass Du die Aufteilung möglichst ästhetisch ist.
4. Miss die breite des linken und des rechten Teils.
5. Teile den grösseren durch den kleineren Teil.
6. Welches Resultat erhältst Du?
Weihnachtliche Betrachtungen
Was fällt hier auf?
Weihnachtliche Betrachtungen
Was hat das mit Weihnachten zu tun?
Weihnachtliche Betrachtungen
Was hat das mit Weihnachten zu tun?
• An Weihnachten soll alles perfekt sein.
Weihnachtliche Betrachtungen
Was hat das mit Weihnachten zu tun?
• An Weihnachten soll alles perfekt sein.
• Menschen empfinden Verhältnisse wie 2:3 oder 5:8 als schön.
Weihnachtliche Betrachtungen
Was hat das mit Weihnachten zu tun?
• An Weihnachten soll alles perfekt sein.
• Menschen empfinden Verhältnisse wie 2:3 oder 5:8 als schön.
• Das perfekteste Verhältnis heisst GOLDENER SCHNITT.
Der Goldene Schnitt
Was ist ein goldener Schnitt?
Der Goldene Schnitt
Was ist ein goldener Schnitt?
DefinitionDefinitionDefinitionDefinition
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur
kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.
Der Goldene Schnitt
Was ist ein goldener Schnitt?
DefinitionDefinitionDefinitionDefinition
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur
kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.
Der Goldene Schnitt
Was ist ein goldener Schnitt?
DefinitionDefinitionDefinitionDefinition
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur
kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.
Es muss also gelten: a:b = (a+b):a
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als Goldener Schnitt als Goldener Schnitt als Goldener Schnitt als ZahlZahlZahlZahl
Wie berechnet man ihn ?
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als Zahl
s = � oder � = s ⋅
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als Zahl
s = � oder � = s ⋅
Daraus folgt: s = �+� = s⋅+s⋅
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als Zahl
s = � oder � = s ⋅
Daraus folgt: s = �+� = s⋅+s⋅
und umgeformt: �2 ⋅ = � ⋅ +
� ⋅ = � ⋅ +
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als Zahl
s = � oder � = s ⋅
Daraus folgt: s = �+� = s⋅+s⋅
und umgeformt: �2 ⋅ = � ⋅ +
und �2 − � − = 0
��2 − � − 1� = 0� ⋅ = � ⋅ +
und �2 − � − = 0
��2 − � − 1� = 0
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als Zahl
s = � oder � = s ⋅
Daraus folgt: s = �+� = s⋅+s⋅
und umgeformt: �2 ⋅ = � ⋅ +
und �2 − � − = 0
��2 − � − 1� = 0� ⋅ = � ⋅ +
und �2 − � − = 0
��2 − � − 1� = 0
Zum Schluss erhält man die Gleichung:
�2 − � − 1 = 0
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als Zahl
s = � oder � = s ⋅
Daraus folgt: s = �+� = s⋅+s⋅
und umgeformt: �2 ⋅ = � ⋅ +
und �2 − � − = 0
��2 − � − 1� = 0� ⋅ = � ⋅ +
und �2 − � − = 0
��2 − � − 1� = 0
Zum Schluss erhält man die Gleichung:
�2 − � − 1 = 0
Diese hat als Lösung:
� = √5 + 12 = 1.618033988 ….
Der Goldene Schnitt
Goldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als ZahlGoldener Schnitt als Zahl
Diese Zahl s heisst Goldener Schnitt.
Man bezeichnet sie meistens mit Φ (Phi).
Φ = √5 + 12 = 1.618033988 …. Φ = √5 + 12 = 1.618033988 ….
Der Goldene Schnitt
Was hat das mit Weihnachten zu tun?Was hat das mit Weihnachten zu tun?Was hat das mit Weihnachten zu tun?Was hat das mit Weihnachten zu tun?
Das Pentagramm
Das Pentagramm
Das Pentagramm
Einer von vielen Weihnachtssternen ist ein Pentagramm – ein fünfeckiger Stern.
Dieser hat es in sich:
Das Pentagramm
Einer von vielen Weihnachtssternen ist ein Pentagramm – ein fünfeckiger Stern.
Dieser hat es in sich:
• Er ist DAS Bild zum Goldenen Schnitt
Das Pentagramm
Einer von vielen Weihnachtssternen ist ein Pentagramm – ein fünfeckiger Stern.
Dieser hat es in sich:
• Er ist DAS Bild zum Goldenen Schnitt
• Die roten und die blauen Seiten stehen zueinander im goldenen Schnitt.
• Jede Seite teilt jede andere im goldenen Schnitt.Schnitt.
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
• Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten.
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
• Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten.
• Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern.
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
• Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten.
• Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern.
Kleiner Dialog aus dem Faust von Goethe:
Mephisto: Gesteh‘ ich‘s nur! Dass ich hinaus spaziere,
verbietet mir ein kleines Hindernis,
der Drudenfuss auf Eurer Schwelle.
Faust: Das Pentagramma macht die Pein?
Ei sage mir, du Sohn der Hölle,
Wenn dich das bannt, wie kamst du denn herein?
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
• Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten.
• Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern.
• Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken.
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
• Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten.
• Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern.
• Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken.
• Auf der Flagge von Marokko.
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
• Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten.
• Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern.
• Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken.
• Auf der Flagge von Marokko.
• Auch Drudenfuss genannt, da Druden (Kobolde) einen fünfeckigen Fussabdruck
hinterlassen sollen.
Das Pentagramm
Das Pentagramm hat magische Bedeutung und kommt in unzähligen
Zusammenhängen vor:
• Symbol der Venus (Planet und Göttin)
• Symbol der Freimaurer
• Stellt die fünf Wunden Christi dar.
• Im Mittelalter wurden Pentagramme benutzt, um Dämonen fernzuhalten.
• Ein Pentagramm auf die Schwelle gemalt hielt böse Geister fern.
• Hexen benutzten Pentagramme zu kultischen Zwecken.
• Auf der Flagge von Marokko.
• Auch Drudenfuss genannt, da Druden (Kobolde) einen fünfeckigen Fussabdruck
hinterlassen sollen.
• Symbol der Pythagoräer.
Die Pythagoräer
Der goldene Schnitt bei Pythagoras
Die Pythagoräer
Das Prinzip
• Pythagoras von Samos gründete 525 v. Chr. seine Schule• Beschäftigte sich mit Philosphie, Religion, Politik und
Mathematik.• Pythagoras war nicht nur Gründer, sondern auch Guru.• Alles an und in der Schule war geheim.• Die oberste Doktrin in der Pythagoräischen Schule war:• Die oberste Doktrin in der Pythagoräischen Schule war:
Alles ist ZahlAlles auf der Welt lässt sich als Verhältnis von natürlichen
Zahlen ausdrücken.
Die Pythagoräer
Das Problem
• Hippasos von Metapontion, ein Schüler von Pythagoras, berechnet die Länge der Diagonale im Quadrat:
Aus �2 + 2 = �2 berechnet er die Länge von �.
� = ��2 + 2
� � = ��2 + 2
Wenn � und beide die Länge 1 haben, ergibt sich
� = √2
Und er Beweist, dass √2 kein Bruch ist.
Es kommt noch besser!
Die Pythagoräer
Das Problem
Hippasos berechnet auch den goldenen Schnitt, das „schönste Verhältnis“ überhaupt.
Er findet heraus, dass es den Wert
√5 + 12 √5 + 12
hat. Das ist definitiv kein Bruch mit ganzen Zahlen.
Weil die Pythagoräische Schule wie eine Sekte funktioniert, muss Hippasos sein Resultat für sich behalten.Das tut er aber nicht!Der Legende nach wird er zur Strafe im Meer versenkt.
Konstruktion
Konstruktion des goldenen Schnitts
Konstruktion
Man braucht ein bestimmtes rechtwinkliges Dreieck!
Konstruktion
Man braucht ein bestimmtes rechtwinkliges Dreieck!
Die Seite a ist doppelt so lang wie die Seite b.
Konstruktion
Übertrage die Länge der Seite b auf die Seite c.
Konstruktion
Übertrage die Länge AE auf die Seite a.
Konstruktion
Der Punkt D teilt die Seite a im goldenen Schnitt!
Konstruktion
Wieso ist das so?
Wir wissen, dass = �2.
Mit dem Satz von Pythagoras kennt man die
Länge von c:
� = ��2 + ��2 2 = ��2 + �24 = �5�2
4 = �2 ⋅ √5 � = ��2 + ��2 2 = ��2 + �24 = �5�2
4 = �2 ⋅ √5
Konstruktion
Wieso ist das so?
Wir wissen, dass = �2.
Mit dem Satz von Pythagoras kennt man die
Länge von c:
� = ��2 + ��2 2 = ��2 + �24 = �5�2
4 = �2 ⋅ √5 � = ��2 + ��2 2 = ��2 + �24 = �5�2
4 = �2 ⋅ √5
Die Längen AE und AD sind deshalb
� − �2 = √5 ⋅ �2 − �2 = "√5 − 1# ⋅ �2 = � ⋅ √5 − 12
Konstruktion
Teilt D die Strecke a im goldenen Schnitt?
Wir rechnen �$ = �
�⋅√5−12= 1√5−12
= 2√5−1
Ist das wirklich Φ?
Erweitere mit √5 + 1! Man erhält:
2 ⋅ "√5 + 1# = 2 ⋅ "√5 + 1# =
√5 + 1!Man erhält:
2 ⋅ "√5 + 1#"√5 − 1#"√5 + 1# = 2 ⋅ "√5 + 1#5 − 1 =
2 ⋅ "√5 + 1#4 = √5 + 12 = Φ
Konstruktion
Noch einfachere Konstruktion!
Nehme ein beliebiges Quadrat!
Konstruktion
Halbiere eine Seite!
Konstruktion
Ziehe einen Kreis vom Mittelpunkt aus durch eine Ecke!
Konstruktion
In diesem Rechteck steht die Länge zur Breite im Goldenen Schnitt.
Das ist das „Goldene Rechteck“Das ist das „Goldene Rechteck“Das ist das „Goldene Rechteck“Das ist das „Goldene Rechteck“
Konstruktion
Schneidet man das Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck.
Konstruktion
Schneidet man das Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck.
Konstruktion
Schneidet man das Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck.
Konstruktion
Prüfe mit eine DIN-A4-Blatt, ob es ein goldenes Rechteck ist.
Wunder
Wundersame Eigenschaften
Wunder
Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften:
• Gebt in den Rechner ein: (√5+1�/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an.
Wunder
Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften:
• Gebt in den Rechner ein: (√5+1�/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 1.6180339887…
Wunder
Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften:
• Gebt in den Rechner ein: (√5+1�/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 1.6180339887…
• Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an.
Wunder
Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften:
• Gebt in den Rechner ein: (√5+1�/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 1.6180339887…
• Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 0.6180339887….
Wunder
Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften:
• Gebt in den Rechner ein: (√5+1�/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 1.6180339887…
• Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 0.6180339887….
• Jetzt drückt nochmals die Invers-Taste und danach die Quadrat-Taste und schaut
Euch die Nachkommastellen an.
Wunder
Der Goldene Schnitt hat einige wundersame Eigenschaften:
• Gebt in den Rechner ein: (√5+1�/2 und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 1.6180339887…
• Jetzt drückt mal die Invers-Taste (1/x) und schaut Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 0.6180339887….
• Jetzt drückt nochmals die Invers-Taste und danach die Quadrat-Taste und schaut
Euch die Nachkommastellen an.
• Resultat: 2.6180339887…
Kunst
Der Goldene Schnitt in der Kunst
Kunst
Welches der folgenden Portale eines griechischen Tempels gefällt Dir am besten?
Kunst
Das markierte Bild ist eine Ansicht des Parthenons in Athen. Er beinhaltet den
goldenen Schnitt!
Kunst
Das markierte Bild ist eine Ansicht des Parthenons in Athen. Er beinhaltet goldene
Rechtecke fast wo man hinschaut!
Kunst
Auch in Paris findet sich der goldene Schnitt - an der Notre Dame
Kunst
Oder am Castel del Monte in Apulien
Kunst
Oder in Leonardo da Vincis Abendmahl
Kunst
Oder in Leonardo da Vincis Mona Lisa
Kunst
Da Vinci war völlig vernarrt in den goldenen Schnitt,
hat ihn aber nicht selber erfunden für seine Bilder.
Er lernte dies von Luca Pacioli (1445-1514), einem
Franziskanermönch, der in Perugia Mathematik
unterrichtete.
Auf ihn geht das nebenstehende Bild zurück, das Da
Vinci nur gezeichnet hat.
Pacioli führte den goldenen Schnitt in der Malerei ein.
Seine grösste Erfindung war aber die doppelte
Buchhaltung.
Natur
Der Goldene Schnitt in der Natur
Natur
Messt mit dem Massstab die Länge der Glieder an Eurem Zeigefinger und
berechnet die Verhältnisse.
Was kommt heraus?
Natur
Messt mit dem Massstab die Länge der Glieder an Eurem Zeigefinger und
berechnet die Verhältnisse.
Was kommt heraus?
Ziemlich genau der Goldene Schnitt!
Natur
Messt mit dem Massstab die Länge der Glieder an Eurem Zeigefinger und
berechnet die Verhältnisse.
Was kommt heraus?
Ziemlich genau der Goldene Schnitt!
Natur
Das Kaninchen-Problem
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
A1
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
A1
A J2
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
A1
A
A AJ
J2
3
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
A1
A
A
A
A
AJ
J
J
A J
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5
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
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A
A
A
A
A
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J
J
J
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AJ J
J
A
2
3
5
8
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
A1
A
A
A
A
A
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AJ
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J
J
A
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AJ J
J
A
2
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Wie geht es weiter?
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
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A1
A
A
A
A
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J
J
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In jedem Jahr kommen so viele neue dazu wie es vor zwei Jahren hatte. Zudem bleiben die vom letzten Jahr einfach erhalten.
Natur
Wie vermehren sich Kaninchen?
Ein Kaninchen muss 1 Jahr alt sein, um alt (A) zu werden und ein Junges (J) zu
bekommen.
J1
A1
A
A
A
A
A
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J
J
J
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A
AJ J
J
A
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Das bedeutet: Im 7. Jahr sind es 5+8=13 Kaninchen.Im 8. Jahr sind es dann 8+13=21 Kaninchen. Etc.
Natur
Diese Folge von Zahlen ist eine der berühmtesten in Mathematik und heisst
FibonacciFibonacciFibonacciFibonacci----FolgeFolgeFolgeFolge
Natur
Diese Folge von Zahlen ist eine der berühmtesten in Mathematik und heisst
FibonacciFibonacciFibonacciFibonacci----FolgeFolgeFolgeFolge
Sie lautet:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…
Natur
Diese Folge von Zahlen ist eine der berühmtesten in Mathematik und heisst
FibonacciFibonacciFibonacciFibonacci----FolgeFolgeFolgeFolge
Sie lautet:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…
Sie geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa, aka Fibonacci,
zurück. Er wurde um 1180 geboren und starb ungefähr 1241. Er war einer der
ersten Lateiner, der mit den neuen Ziffern und nicht mehr mit den Römischen
Zeichen rechnete. Er unterrichtete die neue Art zu rechnen auch.
Natur
Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun?
Natur
Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun?
Nehmt zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge und teilt die grössere
durch die kleinere!
Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…
Natur
Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun?
Nehmt zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge und teilt die grössere
durch die kleinere!
Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…
Resultat:
Je grösser die Zahlen sind, desto genauer entspricht der Bruch dem goldenen
Schnitt.
Natur
Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun?
Nehmt zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge und teilt die grössere
durch die kleinere!
Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…
Resultat:
Je grösser die Zahlen sind, desto genauer entspricht der Bruch dem goldenen
Schnitt.
Das ist kein Zufall, sondern Mathematik!
Natur
Fibonacci in der Natur
Was kennt ihr für Blüten?
Natur
Fibonacci in der Natur
Was kennt ihr für Blüten?
Natur
Fibonacci in der Natur
Die Anzahl Blütenblätter vieler Blüten entspricht genau einer Fibonacci-Zahl!
Natur
Fibonacci in der Natur
Bei Tannzapfen, Ananas oder auch Sonnenblumen-Samen findet man Spiralen. Die
Anzahl nebeneinanderliegender Spiralen ist immer eine Fibonacci-Zahl.
Natur
Fibonacci in der Natur
Natur
Fibonacci in der Natur
Spiralen
Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun?
Spiralen
Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun?
Dazu betrachten wir das goldene Rechteck!
Spiralen
Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun?
Spiralen
Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun?
Spiralen
Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun?
Spiralen
Was hat die Spirale mit Fibonacci und dem Goldenen Schnitt zu tun?Und so weiter….
Spiralen
Das ist die Spirale des Goldenen SchnittesDas ist die Spirale des Goldenen SchnittesDas ist die Spirale des Goldenen SchnittesDas ist die Spirale des Goldenen Schnittes
Spiralen
Wir beginnen von Neuem
Spiralen
Spiralen
Spiralen
Spiralen
Spiralen
Spiralen
Spiralen
Das ist die FibonacciDas ist die FibonacciDas ist die FibonacciDas ist die Fibonacci----SpiraleSpiraleSpiraleSpirale
Spiralen
Was hat diese Spirale mit Fibonacci zu tun?
Spiralen
Berechne die Seitenlängen der verschiedenen Quadrate!
Spiralen
Das ist ein Schnitt durch eine Schnecke. Ziemlich schön, oder?
Spiralen
Das ist eine Galaxie im Weltall.
Spiralen
Zurück zu den Sternen!
Spiralen
Betrachtet man die Umlaufzeiten von Planeten, stellt man fest, dass diese ganzzahlige Verhältnisse bilden.Zum Beispiel dauert ein Jupiter-Jahr 12 Erdenjahren. Ein Saturn-Jahr dauert 30 Erdenjahren. à Verhältnis 2:5.
Spiralen
Betrachtet man die Umlaufzeiten von Planeten, stellt man fest, dass diese ganzzahlige Verhältnisse bilden.Zum Beispiel dauert ein Jupiter-Jahr 12 Erdenjahren. Ein Saturn-Jahr dauert 30 Erdenjahren. à Verhältnis 2:5.
Das ist kein Zufall. Diese ganzzahligen Verhältnisse stabilisieren die Bahnen der Planeten.
Spiralen
Betrachtet man die Umlaufzeiten von Planeten, stellt man fest, dass diese ganzzahlige Verhältnisse bilden.Zum Beispiel dauert ein Jupiter-Jahr 12 Erdenjahren. Ein Saturn-Jahr dauert 30 Erdenjahren. à Verhältnis 2:5.
Das ist kein Zufall. Diese ganzzahligen Verhältnisse stabilisieren die Bahnen der Planeten.
Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch ein Verhältnis von 1:Φ stabile Bahnen Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch ein Verhältnis von 1:Φ stabile Bahnen erzeugen könnte.
Spiralen
Ich wünsche Euch schöne Weihnachten Ich wünsche Euch schöne Weihnachten Ich wünsche Euch schöne Weihnachten Ich wünsche Euch schöne Weihnachten –––– mit vielen Sternstunden!mit vielen Sternstunden!mit vielen Sternstunden!mit vielen Sternstunden!
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