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Zentraliibung 77
heute : Wdh. kanonische Quant isierong
neichstes Mal : Sto rungs theorie,
tent rat potential ,. . .
7. Hilbert raum
Ht -- f 147 , lots , . . .
I, 14 's = ( : )
line are Funk tienen f : IH → ¢
f- ( at lost blots ) = af ( 1105ftb f ( 143 )
Schreibweise : f = E fl ,f ( 14 x ) = tf 147
Dual raum : HI #= f e fl
, Egl ,. . .
I
Basis von HI : f le.
>,
less, . . .
I ⇒ 14 7 = ¥ 4*1 eat
Basis von Htt " t ee ,I , Eez I
,. . .
I ⇒ Efl = ¥ fu leks
dual e Basis : E Ei legs=Sij =3 I f 147 = ¥.
fi Hj Eeiej 7 = ¥ fi Yi
↳ sie ht aus wie Skalarprodukt → schreiber Eft = C . - - )
definiere 14 's = EE the leks ← Ethel = ¥ 4¥ teal, EEK I = Eek I
Skalarprodukt : lots . 14 's = €01145 = ¥ 01¥ 4k
E 414 s = ¥ 14×12 Io ⇒ 1114k > It = Veolia
Voll stand igkeits relation : 14K¥ 4k leks ⇒ ceil 4S= Ee Yu Kei lek > = Yi
⇒ 14 > = ¥ teal 4S lek > = ¥ leuxekl 4II
Zusarnmenfassung :
145=1 :/,
← d) = ( ÷ It = c. . . . .
It
Edl 4S =L. . . . I * l ÷ I = C . )
101×41=41 c . . . . I = I
Operator en I : Ht → HI ⇒ A 143=14 't ⇒ A = I :/ , I 145=1 .
'
Il :/ -
- I :L'
off : to It 14 > =L . . . I* I I I :/ =L . . . . 1*1
'= 1.1
'
← Zahl
Worstell on gals Vektoren versa gt bei Ex, p ] = i
2. Axiom eP
,horse
⑦ Zustand wird be schrieber durch 145 ( eigentlich ItIQs )
② klassische Observable n ACH wird ersetzt durch einen hermit escher Operator↳ eigselbsadjungiert
I It ) ( also At = At .
Das Ergebnis einer Messing ist ein Eigen wert von A Itt
= > re ele Eigen wer te, orthogonal e Eigen vektoren
,die IH auf spanners
↳wegen hermitesch
③ Poisson Klammer wird ersetzt durch if - [ kommutator ] ( setzeh -- 71
Hassi sch- s quantenmechanisch
t ai , pj ] - =Sij l Ii ips. ] = ifij
orZeitentwick lung
At = .LA, HI Ai = ? LI ,
I ] Heisenberg sche Gleich ong
Heisenberg Bild : Operator en zeitabhangig , Zostande nicht
Sch - Edinger Bild : anders rum
④ System im 14 >, Erwartongswert einer Mes sung der Observable I
= 41 I let← A > =
=p , µ ,off 14143=7
ivormierungFEAT weg wenn Zostand schon normiert ist-
at Annahme : I hat diskretes Spektrum ,Al n 's =an In >
,Em In > = Smn
↳ Matrix
14 s = En 4N In >, 4h = = n 147
141 A I 4 > = n 4th 4N Eml I In > =¥4m*4n an Em In > = En an 14h12→
an In >
I 4h12 ist Wahrscheinliehkeit,
dass bei einer Mes sung von I am System
145 der Wert an gem essen wird I falls t 4145=2 )↳ sons f skalierte Wsk
= A > =
= 41114 > Ean 14h12=
¥ an
pnorwsktutus
=
¥1141'
En Pn
y
b) Annahme : A hat kontinuierliches Spektrum ,Ila > = at a >
14 s = fda 4cal la >
Vollstoindigkeits relation : fda taxa 1=1
la > = Ida ' la ' Xa ' lat ⇒ Ea' la > = Sla '
- at = Saa ,
4cal = eat 47
1=-414 > = Jdafda ' 4*144 la 't ea.la 's -- fda 146112
yeah, , *
a
< As = - 41114 > = Ida e 41 At la Xa 14 ) = Ida at 41 a > e a 145X I
ala > Idaall Call?
⇒ 14 Call'
ist Wahrscheinlichkeitsdichte
3. Heisenberg - and Schrodinger bild
ddt = FLA .si ] = it III - KAI ← Da
LEsong : I HI = eitet Ico , e-
int,
da
dat = isieititaio ,
e-itit-ieisetjcoygee-isite-isetzel.se
, I ] - o
-ACH A
unitarer Operator : Oct ) = e- int Heisenberg - Bild
⇒ I HI -- Oltl I Col Oltl
,It HI =D
- '
Itt
aist t
e Schrodinger Bild
6
EACH > = = 41A HI 14 s = E'41 Ut Htt lol Oltl 143=14411 Alot 14 HIX
,14415=04114 >
leite DGL her : i d- 14kt s = iddz e- itltlys -
- I e- ititlysjelyltls
dt
H in bei den Bit dern gleich
4.
Well enfonktionen
Orts operator : I ly > = y ly >, ex ,y sflx - yl
Im pols operator : B Iq> =ofIfs , Ep Iq > =f( p - q )
14 > =/ dx I x Xxl 47 =fdx 4Gt Ix >
Iwellenfonktion I Zostand im Ortsraom )
dx 1441'
ist Wahrscheinlichkeit, das Teil chen zwischen x und xtdx zu finders
wie immer : Jdx 144117--4147=7
analog for p
e 410 > =) dxe 41 x' Xx lots = Jdx 4*41 AH
-- Idp e 41 p Xp 1105=1 dp 45*1plIcp )
= xdI = Ext x ⇒ Ex I I 145 = x ex 147 = x 441
T iakg #41 ×
Tortsraum
Orts raum : Ortseigenzostande als Basis
Was ist mit dem Impels ?
✓( at =e
- iap
Behauptung : 0cal Its = txt as lndoktionsbeweis6
Beweis :L I,
B ] - i ⇒ L I,
pin ] = LI , pin"
] B + FML I, f ] = in pin - ^
ToIA : i ( n - 2) pin -2
E Ii viable ,
' Ii?"
rn ] = En tin?"
LI,
pin ] -- ¥
- in?: pn? = aurea ,
1-Iola) -0cal LII
Iical 1×5=0 Call It at 1×5=1 xtalucallx >
Tonite r
⇒ 0cal txt - I + t as → 0cal Ix > = Ix t as
Wahle a = E infinitesimal
✓ cells s =/ xt es = I 7 - ie fl Ix >
⇒ f L × , =
I HE > - I ⇒=
iItt E > - I ⇒
= i ¥ 1×7 so wirkt Fim Ortsraom- i e e
ex I B = - i ddx Ex I ⇒ e x I 514 s = - i ¥ ex 14 > = - i ¥4 L x )-
C Full #
analog : I Ip
s = - i Idf Ips,
e pl Illus = iadp 4 Cpl
B Ips =p Ip > e pl B I 4S =p 4 ( p )
Behaoptong : ex 1ps = IF ein
Bene is : ex IF I 45 = - ¥ ex 14 >,
setze Its = Ip >
=3 ex I f I p > =p Ex I p> = - i ¥ Ex 1ps = > ex 1ps = ceiP×
Ht -
y ) = Ex ly > = EH Idp Ip Xp I y > = CZ Jdp e'
' P' t - Y )
→ZIT the - y )
⇒ 4 I pl -- e pl 4S - Jdxeplx Xxl 4S =) e-
in441
→ Tex Ip # = It I im QQ Tfourier Transformation
wins che for ncichste Woehe an ? Christoph .Mueller 7 @ uni - moenchen.de
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