Embed Size (px)
Citation preview
ЛЕКЦІЯ 2
ПОТЕНЦІАЛ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ
2.1. Циркуляція вектора напруженості .Теорема про циркуляціювектора напруженості. Потенціальна енергія заряду.
2.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів.Принцип суперпозиції.
3.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля . Приклади розрахунку полів.
4.1. Циркуляція вектора напруженості. Теорема про циркуляціювектора напруженості. Потенціальна енергія заряду
Знайдемо роботу переміщення точкового заряду qо в електричномуполі точкового заряду q із точки 1 в точку 2 (рис 7.1)
q
1
2
F
rd
0q1r
2r
r
ld
Рис 2.1
На елементарному переміщенні d l
силою F
виконуєтьсяелементарна робота, яка дорівнює
А = ldF�
= F·dl·cos = 20
0
4 r
dr, (2.1.1)
де dr=dl cos - проекція переміщення d l
на напрям дії сили.Інтегруємо вираз ( 2 .1 .1) в межах від r1 до r2 , одержимо
A1,2 = 2
1
20
0
4
r
r r
drqq
=
0
0
4
21
11
rr. ( 2. 1. 2)
З формули ( 2 .1 .2) видно, що робота переміщення точковогозаряду qо із точки 1 в точку 2 поля статичного заряду q не залежить відформи шляху, а визначається лише положенням початкової й кінцевоїточок.
Цей висновок є доказом того, що поле точкового заряду єпотенціальним, а діючі в цьому полі сили є консервативними.
У випадку замкнутого контуру робота переміщення точковогозаряду qо в полі статичного заряду q буде дорівнювати нулю (рис 2.2).
dl
0q
Рис. 2.2
Елементарна робота сил поля на шляху d l�
дорівнює
А q E�
d l
= qoEcosdl = qoEedl,де Ee = Ecos.
Робота перенесення точкового заряду qo по замкнутому контуру в
цьому випадку буде дорівнювати нулю
qo ldE
�
= qo dlEe =0. ( 2.1 .3)
Оскільки qo 0, то
dlEe = 0. ( 2. 1 .4)
Вираз (2. 1. 4) називають теоремою про циркуляцію вектора E�
електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру.Силове поле, яке наділене такими властивостями, називають
потенціальним полем.Формула (2.1.4) має використання лише для статичних
(нерухомих) зарядів.
В потенціальних полях робота консервативних сил виконується зарахунок зменшення потенціальної енергії.
Скориставшись формулою (2.1.2), виразимо роботу сил поля попереміщенню точкового заряду qo з точки 1 в точку 2 поля заряду q,через потенціальні енергії заряду qo, в цих точках ( рис 2 .1)
2
A1,2 =0
0
4
21
11
rr=
10
0
4 r
-
20
0
4 r
= П1 – П2, (2.1.5)
де П1 = 10
0
4 r
- потенціальна енергія заряду q0 в точці 1 поля
точкового заряду q;
П2 = 20
0
4 r
- потенціальна енергія заряду qo в точці 2 поля
точкового заряду .Або виразимо цю роботу через зменшення потенціальної енергії,
при перенесенні заряду q0 з точки 1 в точку 2, тобто
А1,2 = - ( П2 – П1 ) . ( 2. 1. 6)
Якщо поле створюється системою точкових зарядів, топотенціальна енергія заряду qo, в полі системи точкових зарядів q,i
матиме вигляд
П = qo
n
i io
i
r
q
1 4. (2.1 .7)
Важливо знати, що для однойменних зарядів потенціальна енергіяїх взаємодії завжди додатна, а потенціальна енергія взаємодіїрізнойменних зарядів завжди від’ємна.
2.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів.Принцип суперпозиції
В лекціях з розділу “Механіка“ потенціальна енергія матеріальної точки або тіла визначалась через роботу переміщення тіла з будь-якої точки поля в деяке фіксоване положення, вибране за нульове положення, тобто
0
M
rdF�
= П . ( 2.2.1)
Для електричних зарядів сила F�
= qo E�
, тому
qo 0
M
rdE�
= П .
( 2.2.2.)
З рівності (2.2.2) можна зробити висновок, що відношення
q
П = const, тобто який би заряд qi не розміщувати в поле іншого заряду,
3
відношення потенціальної енергії заряду qi до величини цього заряду дляданої точки поля буде величиною сталою. Цю величину називаютьпотенціалом і позначають буквою , тобто
= 0q
П. (2. 2. 3)
Потенціал в будь-якій точці електростатичного поля є скалярноювеличиною, яка визначається потенціальною енергією позитивногопробного заряду, поміщеного в цю точку.
З урахуванням формули (2 .1. 5) потенціал поля точкового заряду qбуде дорівнювати
= r
q
04 . ( 2. 2. 4 )
При переміщенні одиничного позитивного заряду з точки 1 поля в
точку 2 виконану роботу можна виразити спочатку через різницю потенціальних енергій, а потім і через різницю потенціалів поля в цих точках, тобто
A1,2 = П1 – П2 = qo (1 - 2) =qo . ( 2. 2. 5 )
Різниця потенціалів в двох точках поля 1 - 2 визначаєтьсяроботою сил поля по переміщенню точкового позитивного заряду із точки1 в точку 2, тобто
1 - 2 = 0
2,1
q
A. ( 2. 2. 6 )
Якщо вибрати точку 2 за межами поля, скажемо на безмежності,то й потенціал поля там буде дорівнювати нулю. Тому потенціал поляточкового заряду з цих міркувань можна виразити ще й так:
= 0
,1
q
A
, ( 2. 2. 7 )
де A1, - робота переміщення заряду qo з даної точки 1 вбезмежність; qo - точковий позитивний заряд.
Потенціал точкового заряду, так само як і різниця потенціалів,вимірюється в Дж/Кл або вольтах ( В ).
Для системи точкових зарядів потенціал поля в довільний точціполя цих зарядів визначається за допомогою принципу суперпозиції полів,тобто
4
=
n
ii
1
, ( 2. 2. 8)
де I – потенціал і -го заряду в цій точці поля.Потенціал поля системи електричних зарядів дорівнює
алгебраїчній сумі потенціалів полів всіх цих зарядів. У випадкупросторового розміщення системи електричних зарядів, потенціал поляцих зарядів знаходиться шляхом інтегрування.
Розглянемо приклад розрахунку потенціалу просторово розміщенихелектричних зарядів. Для цього знайдемо потенціал поля рівномірно зарядженого стрижня довжиною l з лінійною густиною зарядів , в точці А,яка перебуває на продовженні осі стрижня на відстані а від його кінця (рис. 2.3).
dqA
ax
dx1
Рис 2.3
На стрижні виділимо безмежно малу ділянку, довжиною dx іззарядом dq, для якої потенціал в точці А можна записати, як для точковогозаряду, а саме
d = x
dq
o4 . (2.2.9)
Величина точкового заряду dq дорівнює dx, тому
d = x
dx
o
4 . (2.2.10)
Проінтегруємо цей вираз в межах зміни x від а до a+l, тобто
= la
ao x
dx
4 =
o
4 ln a
la .
Аналогічно можна виконувати розрахунки потенціалу простороворозміщених електричних зарядів та в інших випадках
2.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля. Приклади розрахунку полів
5
Як уже показано вище, робота переміщення одиничногопозитивного заряду qo в полі заряду q, виконується за рахунок зменшенняпотенціальної енергії, тобто
А1,2 = П1 – П2 = -(П2 – П1) = -q(2 - 1).
Запишемо цю роботу для безмежно малого переміщення, на якомуелектричний потенціал змінюється на безмежно малу величину
А = -qod,і
А = qo rdE�
. (2.3.1)
Прирівняємо праві сторони рівностей (2.3.1), одержимо зв’язок міжпотенціалом і напруженістю електростатичного поля:
rdЕ
= -d,звідки
E = -dr
d�
. (2.3.2)
Сам потенціал d є величиною скалярною, а градієнт змінипотенціалу в певному напрямі є величиною векторною.
В більш загальному випадку просторового переміщення точковогозаряду формула (2.3.2) набуває вигляду
E�
= - dagr�
= -
,
де
- вектор, який має назву оператора Гамільтона або його щеназивають “набла”.
Оператор
є вектором, який також можна записати так
= dx
di�
+ dy
dj�
+ dz
dk�
,
(2.3.3)
де i�
, j�
, k�
- одиничні вектори в напрямку осей x,y,z декартовоїсистеми координат.
Знайдемо різницю потенціалів 2 - 1, в двох точках поля білябезмежної поверхні з поверхневою густиною зарядів у відповідності зрисунком (рис.2.4)
6
x
1x
2x
Рис 2.4
Скористаємося формулою (2.3.2) зв’язку напруженості електрич-ного поля з потенціалом, одержимо
d = -Edr. (2.3.4)
Напруженість поля E біля безмежної поверхні розрахована в шостійлекції (6.3.3), тому скористаємось готовим результатом, який дорівнює
E = 02
.
Тоді
d = -02
dr.
Інтегруємо цей вираз в межах зміни координати від x1 до x2 і змінипотенціалу від φ1 до φ2, одержимо
2
1
d = -02
2
1
x
x
dr ,
звідки
2 - 1 = -02
(x2 – x1),
або
1 - 2 = 02
(x2 – x1). (2.3.5)
2. Потенціали поля в двох точках біля довгого, рівномірнозарядженого стрижня з лінійною густиною зарядів у відповідності зрисунком (рис. 2.5)
7
1x
2x
Рис 2.5
На довільній відстані x від стрижня напруженість електричногополя розраховується або за принципом суперпозиції (методомінтегрування), або за теоремою Гаусса. Скористаємось готовою формулоюнапруженості електричного поля (6.3.15) попередньої лекції
E = x02
.
Підставимо це значення напруженості у формулу (2.3.2) тавиконаємо інтегрування
d = - x02
dx, (2.3.6)
або
2
1
d = - 02
2
1
x
x x
dx,
звідки
1 - 2 = 02
ln
1
2
x
x. (2.3.7)
Аналогічно можуть бути виконані і будь-які інші розрахункирізниці потенціалів електричного поля статичних зарядів.
8
ЛЕКЦІЯ 3
ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В ПРОВІДНИКУ. ЕЛЕКТРОЄМНІСТЬ
3.1. Провідник в електростатичному полі. Розподіл зарядів упровіднику.
3.2. Електроємність окремого провідника. Конденсатори.Електроємність конденсаторів різної форми.
3.3. Енергія взаємодії електричних зарядів. Енергія окремогопровідника й конденсатора.
3.4. Енергія електростатичного поля. Густина енергіїелектростатичного поля.
3.1. Провідник в електростатичному полі. Розподіл зарядів упровіднику
У металевих провідниках завжди є вільні (не зв’язані з вузламикристалічної гратки) електричні заряди. Переважно це валентні електрони,які слабо зв’язані з атомами в кристалічній структурі й за цієї причинистали колективізованими. Вільні електрони у провіднику перебувають унеперервному хаотичному русі, рівномірно заповнюючи весь об’ємпровідника.
При внесенні такого провідника у зовнішнє електричне поле зсторони останнього на вільні електрони у провіднику, а також на вузликристалічної гратки, які втративши частину валентних електронів і сталипозитивними іонами, будуть діяти електричні сили. Під дією цих сил упровіднику відбувається перерозподіл електричних зарядів. Це призводитьдо виникнення власного електричного поля, направленого в протилеж-ному напрямку до зовнішнього електричного поля.
Перерозподіл зарядів у провіднику завершиться в той момент, коливнутрішнє поле повністю компенсує зовнішнє електричне поле. Будь-яказміна величини зовнішнього електричного поля завжди закінчуєтьсяадекватною зміною величини внутрішнього електричного поля. Так щорезультуюче поле у провіднику, згідно з принципом суперпозиції, будедорівнювати нулю. (рис. 3.1).
На рис.3.1 у випадку а) тіло є нейтральним і не таким, у якомувідсутні вільні електричні заряди. У випадку б) вільні електричні зарядипровідника змістились і утворили власне електричне поле Е
, яке
зрівноважило або знищило зовнішнє електричне поле оЕ
. В цьомувипадку поле у провіднику буде дорівнювати нулю, тобто
Е
+ оЕ
= 0. (3.1.1)
9
E
0E
а) б)
Рис 3.1
Електричне поле оЕ
провідником деформується. Силові лініїзовнішнього електричного поля входять у провідник перпендикулярно дойого поверхні й виходять з провідника теж перпендикулярно до йогоповерхні.
Поверхня провідника є еквіпотенціальною, тобто поверхнеюоднакового потенціалу.
Якщо такому провіднику надати додатково електричні зарядивеличиною q, то і в цьому випадку всередині провідника електричне полебуде відсутнім. Це означає, що і ці електричні заряди електричним полембудуть перерозподілені по поверхні провідника. У провіднику, щоперебуває у зовнішньому електричному полі, вільні електричні зарядиперерозподіляються лише на його поверхні.
Цю властивість провідників використовують для електростатичногозахисту чутливої електронної техніки. Корпуси різних електроннихпристроїв виготовляють із провідників. Якщо такий корпус заземлити, тотим самим можна захистити електронні пристрої від будь-яких зовнішніхелектричних і магнітних перешкод. Поверхня металевого корпусу стаєеквіпотенціальною і добре виконує покладені на неї екрануючівластивості.
Важливо знати:
1. В стаціонарному стані направлений рух вільних зарядів упровіднику відсутній. Електричне поле у провіднику дорівнює нулю. Цеозначає, що хаотичний рух вільних електричних зарядів у провідникуніколи не приводить до їх перерозподілу.
2. Якщо внести провідник у зовнішнє електричне поле, то власнівільні електричні заряди, а також додатково передані провіднику вільніелектричні заряди за допомогою зовнішнього електричного поля будутьперерозподілятись по поверхні провідника до тих пір, доки своє внутрішнєелектричне поле повністю не компенсує зовнішнє електричне поле. При
10
цьому в першу чергу будуть перерозподілені додатково внесені електричнізаряди.
3. Оскільки поверхня провідника є еквіпотенціальною, то елек-
тричне поле Е
, яке дорівнює dr
d , повинно бути перпендикулярним до
поверхні в кожній точці провідника.4. Поле Е
на поверхні провідника не дорівнює нулю, однак це
поле дорівнює нулю всередині провідника.
3.2. Електроємність окремого провідника. Конденсатори.Ємність конденсаторів різної форми
Надаючи провіднику різні електричні заряди можна виявити, щопотенціал провідника при цьому змінюється пропорційно величині заряду,тобто
constqqq
n
n
...2
2
1
1 . (3.2.1)
Цю сталу величину було названо електричною ємністю провідника.Таким чином, електрична ємність провідника дорівнює
С =
q, (3.2.2)
де q – заряд провідника, (додатково наданий провіднику); -потенціал, під яким перебуває його поверхня.
Якщо провіднику був переданий заряд в 1Кл, а його потенціал прицьому змінився на 1В, то ємність такого провідника дорівнює 1Ф (Фарад).
Ємність у 1Ф досить велика. Практично використовують значноменші, кратні значення ємності:
1мкФ = 10-6 Ф; 1пФ = 10-12 Ф.
У випадку провідника сферичної форми електрична ємність будедорівнювати:
С =
q,
але r
q
04 ,
тому rC 04 . (3.2.3)
11
Ємність сферичного провідника визначається величиною йогорадіуса.
Для прикладу знайдемо радіус сферичного провідника, ємністьякого буде дорівнювати 1Ф. З формули (3.2.3) маємо
ммC
r 912
0
109,8)(1085,814,34
1
4
.
Радіус такої кулі перевищує радіус Землі у 1400 разів.
Для практичних цілей ємність окремого провідникавикористовувати недоцільно через великі розміри. У цьому випадкувикористовують системи із двох окремих провідників, які називаютьсяконденсаторами. Обидва провідники конденсатора заряджаються рівнимиза величиною і протилежними за знаком електричними зарядами.
Конденсатори бувають різні. Найбільш широко використовуютьсяплоскі , циліндричні й сферичні конденсатори.
Для кожного типу конденсаторів справедливе співвідношення
21
qC , (3.2.4)
де 21 - різниця потенціалів між двома окремими провідникамиконденсатора; q – заряд кожного знаку на провідниках.
Знайдемо ємності окремих типів конденсаторів.
Плоский конденсатор
На рис.3.2 схематично зображений плоский конденсатор.
S
d
Рис.3.2
Плоский конденсатор складається із двох паралельних пластинплощею S кожна, які розміщені на відстані d одна від одної. Зарядиокремих пластин мають однакову поверхневу густину , тобто
12
. (3.2.5)
Для знаходження різниці потенціалів у формулі (3.2.4) тавизначення ємності плоского конденсатора скористаємось формулою(2.3.2) зв’язку напруженості електричного поля із потенціалом, тобто
Е = dr
d . (3.2.6)
Напруженість електричного поля між двома пластинами плоскогоконденсатора перевищує напруженість електричного поля біля однієїплощини у два рази (поля обох пластин збігаються за напрямком, а тому увідповідності з принципом суперпозиції накладаються). Тому увідповідності з формулою (6.3.3) маємо
0
E , (3.2.7)
деS
q - поверхнева густина зарядів.
Підставимо (3.2.7) у (3.2.6) і інтегруємо одержаний результат
drd0
,
2
1 00
d
drd ,
021
d . (3.2.8)
Підставимо (3.2.8) у (3.2.4), одержимо
d
S
d
qC 00
.
Ємність плоского конденсатора буде дорівнювати
d
SC 0
. (3.2.9)
З формули (3.2.9) видно, що величина ємності плоскогоконденсатора зростає при зростанні відносної діелектричної сталої іплощі пластини конденсатора S, а також при зменшенні відстані міжпластинами конденсатора d. Електрична константа вакууму дорівнює 0 =8,85 ·10-12 Ф/м.
13
Циліндричний конденсатор
Циліндричний конденсатор складається із двох циліндрів,розміщених один у одному, розділених шаром діелектричної речовини(рис.3.3).
1r2r
h
Рис 3.3Для знаходження ємності циліндричного конденсатора
скористаємось формулами (3.2.4), (3.2.6) . У цьому випадку внутрішнюциліндричну частину можна вважати тонким, дуже довгим циліндром.Напруженість електричного поля біля такого циліндра на відстані r від осіу відповідності з формулою (6.3.6) буде дорівнювати (рис.3.4)
rE
02
. (3.2.10)
r1r
2r
Рис.3.4
Підставимо вираз (3.3.10) у формулу (3.2.6), одержимо
drr
Edrd02
.
Інтегруємо цей вираз в межах r від r1 до r2
14
2
1
2
102
r
r r
drd ,
,ln2 1
2
021 r
r
(3.2.11)
де h
q .
Вираз (3.2.11) підставимо у (3.2.4), одержимо ємність циліндрич-ного конденсатора
.ln
2
1
2
0
r
rh
С
(3.2.12)
В цій формулі r1, r2 і h – параметри конденсатора у відповідності зрис.3.3 і 3.4. Діелектрична проникність - залежить від властивостейдіелектрика між циліндрами. Константа 0 = 8,85 ·10-12 Ф/м.
Сферичний конденсатор
Сферичний конденсатор складається з двох сферичних поверхонь,розділених шаром діелектричної речовини з діелектричною проникністю (рис.3.5).
r1r
2r
Рис.3.5
Напруженість електричного поля на відстані r можна розрахувати,як для точкового заряду
204 r
qЕ
. (3.2.13)
Знайдемо ємність сферичного конденсатора за аналогією зрозрахунками ємності плоского і циліндричного конденсаторів.
drr
qEdrd
204
,
15
2
1
2
1
204
r
r r
drqd , ,
11
4 21012
rr
q
або
.11
4 21021
rr
q
(3.2.14)
Вираз (3.2.14) підставимо у (3.2.4), одержимо ємність сферичногоконденсатора
12
2104
rr
rrC
. (3.2.15)
Конденсатори різних типів мають досить широке практичневикористання.
З’єднання конденсаторів
У випадку, коли до батареї конденсаторів прикладена стала різницяпотенціалів ( = const), будемо мати:
а). паралельне з’єднання конденсаторів
n
ii
n
ii
n
ii
CCq
qC
1
11
. (3.2.16)
б). послідовне з’єднання конденсаторів
n
i
n
i ii C
q
C
q
1 1
,
звідки
n
i iCC 1
11. (3.2.17)
3.3. Енергія взаємодії електричних зарядів. Енергія окремого провідника і конденсатора
Енергія системи нерухомих точкових електричних зарядів
Розглянемо систему двох електричних зарядів q1 і q2, якіперебувають на відстані r один від одного, кожний з яких в полі другогозаряду має потенціальну енергію
16
r
qqqW 2
012,111 4
1
;
1,221
022 4
1
q
r
qqW ,
де φ1,2 – потенціал першого заряду в полі другого заряду; φ2,1 – потенціал другого заряду в полі першого заряду.
Оскільки енергії 2,11q і 1,22q - однакові, то енергія системинерухомих електричних зарядів q1 і q2 буде дорівнювати
1,222,112
1 qqW . (3.3.1)
Якщо взаємодіють n електричних зарядів, то за аналогією з (3.3.1)будемо мати
n
iiiqW
12
1 . (3.3.2)
де i - потенціал в точці розміщення і-го заряду, створюванийвсіма n зарядами цієї системи.
Вираз (3.3.2) дає можливість розрахувати енергію взаємодії будь-якої системи статичних зарядів.
Енергія зарядженого окремого провідника
Розглянемо окремий провідник, заряд, ємність і потенціал якоговідповідно дорівнюють q, C, . Для зміни потенціалу провідника навеличину d слід виконати елементарну роботу по перенесенню заряду dqз безмежності в дану точку провідника
dCdqA .
Щоб зарядити провідник від нульового потенціалу до величини ,необхідно виконати роботу
0
2
2
CdCA . (3.3.3)
Тому енергія окремого зарядженого провідника визначаєтьсяформулою
2
2CW ,
17
а з врахуванням співвідношення
qC , будемо мати
222
22 q
C
qCW . (3.3.4)
Енергія зарядженого конденсатора
Для знаходження енергії зарядженого конденсатора слідрозрахувати роботу переміщення заряду q з однієї пластини на іншупластину.
Елементарна робота зовнішніх сил перенесення малого заряду dq зобкладки 2 конденсатора на обкладку 1 буде дорівнювати
C
qdqdqA .
Робота переміщення заряду q визначається інтегралом
q
C
q
C
qdqA
0
2
2.
З використанням співвідношення
q
C , енергія зарядженого
конденсатора буде дорівнювати
222
221
2
qC
C
qW . (3.3.5)
Оскільки різницю потенціалів двох точок поля можна виразитиоднією буквою U, то формули (3.3.5) матимуть вигляд:
222
22 qUCU
C
qW . (3.3.6)
3.4. Енергія електростатичного поля. Густина енергії електро-статичного поля
У загальному випадку електричну енергію системи зарядженихнерухомих тіл, провідників і непровідників, можна знайти за формулою:
,2
1
2
1
VS
dVdSW (3.4.1)
18
де і - відповідно поверхнева і об’ємна густини вільнихелектричних зарядів; - потенціал результуючого поля всіх вільних ізв’язаних електричних зарядів, заряджених поверхонь і об’ємів.
Інтегрування виразу (3.4.1) слід здійснювати по всім зарядженимповерхням S і по всьому об’єму V заряджених тіл системи.
Для прикладу знайдемо енергію поля плоского конденсатора.Скористаємось формулою (3.3.6), а саме
2
2CUW .
Для плоского конденсатора
d
SC 0
, U=Ed,
де Е – напруженість поля між пластинами конденсатора; d –відстань між пластинами.
В цьму випадку енергія поля зарядженого конденсатора будедорівнювати:
VE
dEd
SW
22
20220
, (3.4.2)
де V = Sd – об’єм діелектрика; Е – напруженість електричного поляв діелектрику.
Густину енергії електричного поля в діелектрику можна знайти,поділивши вираз (3.4.2) на об’єм V, тобто
2
20 E
V
W . (3.4.3)
За допомогою формули (3.4.3) знаходять густину енергіїелектричного поля в об’ємі діелектрика. Її інколи називають об’ємноюгустиною енергії поля конденсатора.
Вираз (3.4.3) показує, що вся енергія зарядженого конденсаторалокалізована в електростатичному полі діелектрика. Цією формулоюможна скористатись і для неоднорідних полів.
19
ЛЕКЦІЯ 4
ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В ДІЕЛЕКТРИКУ
4.1. Зв’язані і вільні електричні заряди. Поляризованність діелектрика . Діелектрична сприйнятливість.
4.2. Вектор електричного зміщення. Теорема Гаусса для поля в діелектрику. Діелектрична проникність.
4.3. Поле в діелектрику. Умови на межі двох діелектриків.4.4. Сегнетоелектрики (самостійно).
4.1. Зв’язані й вільні електричні заряди. Поляризованість діелектрика. Діелектрична сприйнятливість
Діелектриками (або ізоляторами) називають речовини, якіпрактично не проводять електричний струм. В таких речовинах відсутнівільні електричні заряди.
Однак, це зовсім не означає, що зовнішнє електричне поле не діє надіелектрики. За результатами дії електричного поля на діелектрики останніможна поділити на три групи:
а) полярні діелектрики H2O, NH3, BaTiO3, … б) неполярні діелектрики H2, N2, CO2, CH4,… в) іонні кристали NaCl, KCl,…
Зупинимося на більш детальній характеристиці кожної групи діеле-ктриків та дії на них зовнішнього електричного поля.
Полярні діелектрики
Існує ряд діелектриків, в молекулах яких уже від природи зміщеніцентри позитивних і негативних зарядів у відношенні один до одного. Такімолекули за своєю природою ще називаються диполями. Прикладомдипольної будови може бути молекула води. Атоми водню у такіймолекулі створюють ковалентні зв’язки з атомом кисню. Молекула маєнесиметричний характер (рис. 4.1).
eP
l
20
Рис.4.1.
Електричний дипольний момент такої молекули дорівнює добуткувеличини зміщеного електричного заряду q на відстань між центрамизміщених зарядів.
lqрe
. (4.1.1.)
Напрям вектора дипольного моменту направлений по лінії відпозитивного заряду в сторону негативного заряду, як це показано нарис. 4.1.
У формулі (4.1.1.) величина електричного заряду
qqq .
При внесенні полярного діелектрика у зовнішнє електричне полевін буде поляризуватись. Суть поляризації діелектрика зводиться доорієнтації полярних молекул у напрямку силових ліній електричного поля.Схематично цей процес можна подати за допомогою рис. 4.2.
Е 0
0E
а) б)
Рис.4.2.
На окрему дипольну молекулу зі сторони зовнішньогоелектричного поля буде діяти пара сил F
, моменти яких направлені від
нас за площину рис. 4.3.
eP
E
F
F
Рис.4.3.
21
Під дією цих моментів молекула повертається і займає положення,при якому її дипольний момент направляється по лінії напруженості(рис.4.4).
eP
E
Рис.4.4.
Покажемо це за допомогою розрахунків. На електричний диполь буде діяти пара сил F
, момент яких направлений за площину рисунка.
sinsin2
sin2
Fll
Fl
FM .
Враховуючи, що F = qE, одержимо
sinsin pEqlEM ,
або EрM
. (4.1.2)
При дії цього моменту сил відбувається повертання дипольноїмолекули до тих пір, доки р
і E
не будуть орієнтовані вздовж однієї лінії
(рис. 4.4).Реальна картина поляризації полярних діелектриків ускладнюється
за рахунок взаємодії між окремими дипольними моментами. В цьомувипадку розрахований момент сил в певній мірі зменшується.
Неполярні діелектрики
В неполярних молекулах при відсутності зовнішньогоелектричного поля центри позитивних і негативних зарядів у межахмолекули збігаються.
При внесенні таких молекул у зовнішнє електричне поле вонистають полярними. Це означає, що під дією зовнішнього електричногополя деформуються електронні оболонки молекул (рис. 4.5).
22
0E
eP
0E
l
Рис.4.5
Процес поляризації неполярних молекул має пружні властивості, подібно до пружної механічної деформації, яка пояснюється законом Гука.
Дослідним способом установлено, що величина дипольного моменту всіх молекул у зразку діелектрика пропорційна напруженості зовнішнього електричного поля Е, тобто
Ер�
0 , (4.1.3)
де 0 – діелектрична стала; - діелектрична сприйнятливість ( різнадля різних діелектриків, безрозмірна величина).
Для діелектриків завжди >0. Діелектрична сприйнятливість незалежить від величини напруженості електричного поля Е.
Іонні діелектрики При внесенні в зовнішнє електричне поле іонних діелектриків
(кристали кухонної солі NaCl та інші) кристалічні гратки останніхдеформуються. Вузли гратки, які заряджені позитивно, орієнтуються пополю, негативно заряджені вузли орієнтуються проти силових лінійелектричного поля.
Таким чином, і в іонних кристалах здійснюється поляризація.
Мірою поляризації діелектрика є відмінний від нуля в об’ємі Vдипольний момент діелектрика .
n
iiv рр
1 , (4.1.4)
де рі –дипольний момент однієї молекули.Кількісною мірою поляризації діелектрика є вектор поляризації.
Вектором поляризації діелектрика називають електричний момент одиниціоб’єму діелектрика.
n
iiр
VP
1
1 , (4.1.5)
23
де V – об’єм діелектрика;
n
iip
1
- векторна сума всіх дипольних
моментів окремих молекул в цьому об’ємі.
Помножимо і поділимо (4.1.5) на число окремих диполів у об’ємі V.
i
n
ii
pnN
p
V
NP
1 , (4.1.6)
де n – концентрація диполів, ip
- середнє значення дипольногомоменту однієї молекули.
Знайдемо зв’язок між вектором поляризації P
і величиноюзв’язаного заряду . Розглянемо діелектричну призму перерізом S ідовжиною L, розміщену в зовнішнє електричне поле з напруженістю E
(рис. 4.6).
L
S
E
n
Рис. 4.6
Під дією зовнішнього електричного поля у діелектрику відбудетьсязміщення електричних зарядів з утворенням поля Е. На торцях циліндрапоявляються заряди +S і -S. Відстань між цими зарядами дорівнює L.Тому електричний момент циліндра буде дорівнювати SL.
Але з другого боку електричний момент всього циліндра чисельнодорівнює значенню суми векторів моментів всіх молекул циліндра, тому
n
iip
1
=SL . (4.1.7)
Числове значення вектора поляризації діелектрика можна одержати,якщо поділити (4.1.6) на об’єм циліндра
V
SL
V
p
P
n
ii
/1
. (4.1.8)
24
Але об’єм циліндра дорівнює
V = SLcos , (4.1.9)
де - кут між напрямком нормалі до циліндра і вектором E
.Підставимо (4.1.4) у (4.1.8), знайдемо вираз для вектора поляризації P
.
cos
'P
,
звідки
= Р cos = Рn,
де Рn – проекція вектора поляризації на нормаль до поверхні циліндра.
Тому
=Рn, (4.1.10)
Густина поверхневих зв’язаних зарядів чисельно дорівнюєперпендикулярній складовій вектора поляризації. З урахуваннямспіввідношення (4.1.3) одержимо, що
= 0Еn. (4.1.11)
4.2. Вектор електричного зміщення. Теорема Гаусса для поля вдіелектрику. Діелектрична проникність
Розглянемо діелектрик, який розміщено між пластинамиконденсатора, площа яких досить велика порівняно з відстанню міжпластинами. Лише при цій умові електричне поле в центральній частиніконденсатора можна вважати однорідним (рис. 4.7).
З рисунка видно, що електричне поле 0E
, створюється вільнимизарядами, розміщеними на пластинах конденсатора. Електричне поле /E
створено зв’язаними електричними зарядами. Вектор поляризації P
безпосередньо відноситься до вільних зарядів на пластинах конденсатора.
25
E
0E P
d
Sh
Рис.4.7
В діелектрику поля 0E
і /E
паралельні, тому результуюче полевизначається за допомогою принципу суперпозиції
E
0E
+ /E
.
В скалярній формі
E
=Е0-Е,
де 0
//
E .
Скористаємося теоремою Гаусса до замкнутої поверхні увигляді циліндра з стороною h паралельною до вектора E
. Нехай висота
циліндра h0, тоді
0
qEdS ,
де Е = Е0 - 0
/
.
З урахуванням того, що Е і Рn мають протилежні знаки, одержимо(рис. 4.7)
.)(00
0
q
dSP
E n
(4.2.1)
Помножимо рівняння (4.2.1) на 0, одержимо:
qdSPE n )(
00 . (4.2.2)
Величину в дужках в лівій частині рівняння називають векторомелектричного зміщення і позначають буквою D
.
26
nPED
00 . (4.2.3)
Вектор електричного зміщення визначається лише вільнимизарядами і не залежить від властивостей діелектрика.
Теорема Гаусса для поля в діелектрику буде мати вигляд
S
qDds . (4.2.4)
Із викладеного вище відомо, що
nP
=о Е
о.Підставимо величину вектора поляризації nP
у співвідношення
(4.2.3), одержимо
)1(000000 EEED
. (4.2.5)
Величину 1+ у співвідношенні (4.2.5) називають відносноюдіелектричною проникністю середовища і позначають буквою , тобто
= 1+ . (4.2.6)
З урахуванням (4.2.6) вектор електричного зміщення буде мативигляд
00ED
(4.2.7)
Для вакууму =1; в діелектричному середовищі >1.Фізично відносна діелектрична проникність середовища показує у
скільки разів напруженість електричного поля у вакуумі більша занапруженість цього ж поля у деякому діелектричному середовищі.
4.3. Поле в діелектрику. Умови на межі двох діелектриків
Розглянемо плоский конденсатор, заповнений діелектриком(рис.4.8).
27
E
0E
Рис.4.8
На рисунку - поверхнева густина вільних електричних зарядів наобкладках конденсатора; - поверхнева густина зв’язаних зарядівдіелектрика.
В цьому випадку
0
0
E ,
в той же час
0
//
E .
Для поля в діелектрику одержимо співвідношення
0
//
0
EEE
. (4.3.1)
Напруженість поля у діелектрику збігається з напруженістю поля увакуумі у випадку рівності = .
Для вимірювання поля у діелектрику достатньо виміряти різницюпотенціалів на обкладках конденсатора і відстань між пластинамиконденсатора.
У цьому випадку
d
UE . (4.3.2)
Розглянемо умови на межі двох діелектриків. На межі поділу двохдіелектриків з різними діелектричними проникностями вектори E
і D
можуть стрибкоподібно змінювати свою величину. Розглянемо цей процесдещо детальніше.
28
h
n
SnE
2
12
1
Рис.4.10
Поблизу межі поділу в кожному із діелектриків електричні полястворені лише зв’язаними зарядами. Ці поля орієнтовані в різнихнапрямках.
Результуюче поле nE
в цьому випадку буде дорівнювати
nE
=0
/2
/1
,2,1
nn EE
. (4.3.3)
Скористаємось теоремою Гаусса для розрахунку потокунапруженості електричного поля крізь замкнуту поверхню циліндра зторцями S і висотою h (всі розміри досить малі)
01,2, dSDdSD nn .
Тут вільні електричні заряди відсутні, а тому й права сторонаспіввідношення дорівнює нулю.
Після інтегрування одержимо
Dn,2S = Dn,1S ,
або Dn,2 = Dn,1 (4.3.4)
Нормальні складові електричного зміщення на межі поділу двох діелектриків не розриваються.
З урахуванням того, що Dn,2 = 20En,2, а Dn,1 = 10En,1, одержуємо:
20En,2 = 10En,1,
звідки
1
2
2,
1,
n
n
E
E,
29
тому Еn,1 En,2 . (4.3.5)
Нормальні складові напруженостей електричного поля на межіподілу двох діелектриків розриваються.
Для дослідження дотичних складових векторів D
і E
на межіподілу двох діелектриків можна скористатися теоремою про циркуляціювектора E
.
h2
1
l
Рис. 4.11
У вибраному прямокутнику довжина сторони h наближено дорівнює нулю, тому
dlEdlE 2,1, .
Після інтегрування одержимо
21 ,, EE .
Дотичні складові вектора напруженості на межі поділу двохдіелектриків не розриваються.
Для дотичних складових вектора електричного зміщення будемомати
202101 ,, EE . Так як 12, то 21 ,, DD .
Дотичні складові електричних зміщень розриваються на межіподілу двох діелектриків.
30
ЛЕКЦІЯ 5
ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ
5.1. Провідники й ізолятори. Електричний струм. Умови існування струму. Сторонні сили.
5.2. Закон Джоуля-Ленца в інтегральній формі. Опір провідників. Потужність струму.
5.3. Закони Ома для ділянки кола, неоднорідної ділянки кола і замкнутого кола. Правила Кірхгофа.
5.4. Закони Ома й Джоуля-Ленца в диференціальній формі. Густина електричного струму в провідниках.
5.1. Провідники і ізолятори. Електричний струм. Умовиіснування струму. Сторонні сили
До провідників відносять будь-які речовини, які мають вільніелектричні заряди незалежно від агрегатного стану і від умов оточуючогосередовища. Деякі речовини стають провідниками лише при підвищеннітемператури, а при досить високих температурах практично всі речовини єпровідниками.
Ізолятори – це речовини, які при звичайних умовах не маютьвільних зарядів, або їх число можна вважати безмежно малим.
Електричний струм – це направлений рух електричних зарядів, якіприводяться в рух електричним полем або рухаються на протидіюелектричному полю. Чисельно електричний струм характеризуютьшвидкістю переміщення електричних зарядів, тобто
I = dt
dq.
Електричний струм вимірюється в амперах (А). Струм в 1Авідповідає заряду в 1Кл, який переноситься через поперечний перерізпровідника за час в 1с.
Одиниця електричного струму в 1А є основною одиницею системиСІ, а тому має більш загальне визначення, яке буде розглянуте пізніше.
Для існування електричного струму необхідне виконання певнихумов, серед яких:
а) наявність провідника;б) наявність джерела електрорушійної сили;в) наявність замкнутого кола.Невиконання цих умов, або будь-якої із них, робить неможливим
виникнення електричного струму в провіднику.
31
У джерелі струму перерозподіл зарядів на його клемахздійснюється за допомогою сторонніх сил, тобто сил неелектричногопоходження.
У випадку замкнутого провідника сили електричного походженняроботи не виконують. Робота таких сил дорівнює нулю. Перерозподілзарядів у джерелі здійснюється переважно силами хімічного, магнітного,механічного, й іншого походження. У цьому випадку в джерелі одночасноіснують два електричні поля:
- зовнішнє поле E
, утворене різницею потенціалів між клемамиджерела;
- внутрішнє, або поле сторонніх сил E * , яке діє лише у джерелі
(рис.5.1).
1 2I
I
Рис.5.1
Струм І існує у зовнішній ділянці кола і створюється полем E
. Струм І існує у джерелі і створюється полем сторонніх сил E
.
На будь-який заряд у цьому випадку діятиме сила, величина якоїдорівнює
F
= EEq
* . (5.1.1)
Під дією цієї сили виконується елементарна робота
A = ldF
. (5.1.2)
З урахуванням (5.1.1) елементарна робота A буде дорівнювати:
L L
ldEqldEqA
*
, (5.1.3)
де L
dlE 0
- теорема про циркуляцію вектора E
.
Тому величину L
ldEq
A *
- називають електрорушійною силою
джерела струму, тобто
32
ldEq
A
L
* . (5.1.4)
Електрорушійна сила джерела струму чисельно дорівнює роботіпереміщення точкового електричного заряду сторонніми силами взамкнутому колі, включаючи і саме джерело, до величини цього заряду,тобто
ldEL
* (5.1.5)
Причиною виникнення е. р. с. джерела струму може бути такожзмінне в часі магнітне поле, що видно із одного із рівнянь Максвелла
L S n
dSdt
dBEdl , (5.1.6)
де
dt
dB - змінне в часі магнітне поле;
S n
dSdt
dB - потік змінного в
часі магнітного поля крізь довільну замкнуту поверхню вперпендикулярному напрямку до цієї поверхні. Це та інші рівнянняМаксвелла будуть розглянуті в наступній лекції.
5.2. Закон Джоуля-Ленца в інтегральній формі. Опір провідників.Потужність струму
Найпростішою формою дії струму в провіднику є його теплова дія.Дослідним шляхом установлено, що:
а) кількість теплової енергії, яка виділяється у провіднику, прямопропорційна часу дії струму, тобто dQ ~ dt;
б) величина теплової енергії струму пропорційна квадрату струму впровіднику, тобто dQ ~ І2.
З урахуванням цих двох дослідних фактів можна зробити висновок,що кількість теплової енергії, яка ввиділяється у провіднику завдяки діїелектричного струму, пропорційна квадрату струму й часу йогопротікання, тобто
dQ ~ I2dt . (5.2.1)
Якщо у співвідношення (5.2.1) ввести коефіцієнт пропорційності, тоодержимо рівність
dQ = RI2dt. (5.2.2)
33
Рівність (5.2.2) називають законом Джоуля-Ленца в інтегральнійформі. Коефіцієнт пропорційності в цьому законі називають електричнимопором провідника.
З рівності (5.2.2) опір провідника буде дорівнювати
dtI
dQR
2 , (5.2.3)
де dQ – кількість теплової енергії, яка переноситься електричним струмом; І2 – квадрат величини електричного струму; dt – час проходження струму.
Розмірність електричного опору відповідно до (5.2.3) має значення
ОмсА
ДжR
2 .
Опір провідників вимірюється в омах (Ом).
Встановимо фізичну суть опору провідника, який має вільніелектричні заряди, що у випадку відсутності електричного поля рухаютьсяхаотично між вузлами кристалічної гратки з досить великимишвидкостями. Середнє значення швидкості хаотичного руху електронів уметалевому провіднику приблизно дорівнює 106 м/с.
Температура на швидкість хаотичного руху носіїв струму впровіднику практично не впливає.
Е
Рис.5.2
На рис.5.2 схематично показано ділянку кристалічної структури.Простір між вузлами кристалічної гратки заповнений вільнимиелектронами.
Електричний опір провідника чисельно дорівнює роботі, якавиконується сторонніми силами джерела струму для подоланняхаотичності руху вільних електронів, взаємодії їх один з одним і звузлами кристалічної гратки.
Слід відмітити, що найбільше енергії джерела струму витрачаєтьсяна подолання взаємодії носіїв струму з позитивно зарядженими вузлами
34
кристалічної гратки. В меншій мірі енергія джерела витрачається наподолання хаотичності руху й взаємодії носіїв між собою.
У масштабах країни на подолання електричного опору в лініяхелектропередач витрачається до 25% виробленої електричної енергії.
Опір провідників зростає при їх нагріванні. Пояснити це зростанняопору можна збільшенням амплітуди коливань вузлів кристалічної гратки,і як наслідок, зростанням частоти захоплення вузлами кристалічної граткивільних електричних зарядів. На хаотичність руху носіїв і взаємодію їходин з одним зростання температури практично не впливає (буде поясненов 3-й частині курсу фізики).
Вираз для потужності електричного струму можна отримати ізрівності (5.2.2).
У випадку нерухомого провідника робота струму дорівнює тепловійенергії, тому потужність струму буде дорівнювати
2RIdt
dQ
dt
dAN . (5.2.4)
З цієї рівності видно, що величина потужності струму пропорційнаквадрату струму, що протікає в колі.
5.3. Закони Ома для ділянки кола, неоднорідної ділянки кола йзамкнутого кола. Правила Кірхгофа
Розглянемо неоднорідну ділянку кола, опір якої дорівнює R + r(рис.5.3).
R r
1 2
Рис.5.3
На кінцях такої ділянки створена різниця потенціалів 1 - 2.Робота переміщення заряду dq вздовж цієї ділянки дорівнює
21 dqA , (5.3.1)
де - електрорушійна сила джерела струму; 21 - різницяпотенціалів на кінцях провідника.
Якщо ж провідник нерухомий, то цю ж роботу можна виразити іззакону Джоуля-Ленца, тобто
dtIrRA 2 , (5.3.2)
35
де rR - загальний опір ділянки кола й джерела струму; І –величина струму в ділянці кола; dt – час проходження струму.
Прирівняємо праві сторони цих рівностей
21 dq dtIrR 2 . (5.3.3)
Але заряд dq можна виразити через струм І і час проходженняструму dt, тобто
Idtdq . (5.3.4)
Підставимо вираз (5.3.4) у (5.3.3) і після відповідного скороченняодержимо:
dtIrR 2 = 21 Idt ,
звідки
rRI
21
. (5.3.5)
Рівність (5.3.5) називається законом Ома для неоднорідної ділянкикола, тобто ділянки кола , яка містить електрорушійну силу джерела .
У випадку відсутності електрорушійної сили у колі одержимозакон Ома для ділянки кола
RI 21
. (5.3.6)
Якщо коло замкнуте, то 1- 2 = 0, тому що початкова й кінцеваточки збігаються. У такому випадку одержимо закон Ома для замкнутогокола, тобто
rRI
. (5.3.7)
Закономірності (5.3.5), (5.3.6) і (5.3.7) називаються законами Ома вінтегральній формі. Ці закони мають широке практичне використання длярозрахунку електричних кіл в електротехніці.
Розглянемо ділянку розгалуженого кола, яке складається з трьох неоднорідних ділянок АВ, ВС і СА (рис.5.4)
На цьому рисунку точки А,В,С називаються вузловими точками. Вці точки входять і виходять не менше трьох струмів. Для вузлових точок увідповідності із законом збереження електричних зарядів, маєвиконуватись умова, згідно з якою
36
n
iiI
1
0 . (5.3.8)
Рівність (5.3.8) називають першим правилом Кірхгофа. Суть цьогоправила така:
Алгебраїчна сума всіх струмів будь-якої вузлової точкирозгалуження дорівнює нулю.
A
B
C
1R
2R
3R
1r
2r
3r
1I1
2
3
2I 3I
Рис.5.4
Запишемо закон Ома для кожної окремої неоднорідної ділянки кола(рис. 5.4):
11
11 rR
I AB
, (5.3.9)
22
22 rR
I BC
, (5.3.10)
33
33 rR
I AC
. (5.3.11)
Зведемо рівності (5.3.9) – (5.3.11) до спільного знаменника йдодамо їх
І1(R1+r1) + I2(R2+r2) + I3(R3+r3) = 1+ 2+ 3,
або
n
i
n
iiii RI
1 1
, (5.3.12)
37
де
n
iii RI
1 - алгебраїчна сума всіх спадів напруг в замкнутому колі;
n
ii
1
- алгебраїчна сума електрорушійних сил в цьому колі.
Рівність (5.3.12) називається другим правилом Кірхгофа. ПравилаКірхгофа значно полегшують розрахунки розгалужених кіл і широковикористовуються в електротехнічних дисциплінах.
5.4. Закони Ома й Джоуля-Ленца в диференціальній формі.Густина електричного струму в провіднику
Розглянемо елемент провідника перерізом S і довжиною dtL .Концентрація вільних електронів у такому провіднику дорівнює n (рис.5.5)
nS
dtL
Рис.5.5
Нехай в такому елементі за допомогою сторонньої сили джерела створений струм І. Величина струму в провіднику буде дорівнювати:
Snqdt
dtSnq
dt
dqI
0
0 , (5.4.1)
де 0ndVqdq - число зарядів у елементі провідника з об’ємомdtSdV ; n – концентрація вільних електронів; qo – елементарний
електричний заряд; - середня швидкість направленого руху носіїв струму.
Розрахунки показують, що наближено кілька міліметрів засекунду. Це дуже мала швидкість. Швидкість хаотичного руху електроніву металевому провіднику при звичайних умовах має порядок 106 м/с.
Густину струму провідності в провіднику легко знайти, поділивши(5.4.1) на переріз провідника S
00 nqS
Snq
S
Ij . (5.4.2)
38
Розрахунки показують, що у кабелі з двох жил перерізом 1 мм2
безпечним є струм, який не перевищує величини (12,5 15)А. Якщо цейструм, а також концентрацію вільних носіїв струму, яка для більшостіпровідників не перевищує 1029 м-3 , підставити у формулу (5.4.2), тоодержимо значення швидкості направленого руху електронів. Цяшвидкість буде дорівнювати лише кілька міліметрів за секунду. В процесінаправленого руху носії струму більшість часу перебувають у вузлахкристалічної решітки.
Знайдемо середню швидкість направленого руху носіїв струму упровіднику, які рухаються під дією сторонніх сил джерела струму.
Будемо вважати, що між двома сусідніми взаємодіями з вузламикристалічної решітки носії струму рухаються з прискоренням a. Нехайміж двома сусідніми взаємодіями кожен з електронів вільно рухаєтьсяпротягом часу . Перед взаємодією швидкість електрона досягаємаксимального значення max Вириваючись із вузла решітки швидкістьелектрона дорівнює нулю.
Тому середня швидкість направленого руху електрона між двомасусідніми взаємодіями буде дорівнювати
2
0max
. (5.4.3)
E
Fmax0
Оскільки рух рівноприскорений, то
max = a.
Прискорення руху носіїв струму простіше знаходити із 2-го законуНьютона, тобто
qоE = ma,
звідки
а = m
Eq0 .
Тому
max = m
Eq 0 , (5.4.4)
39
де qo – елементарний заряд; Е – напруженість електричного поля упровіднику; - час вільного руху між двома взаємодіями; m – масаелектрона.
Підставимо (5.4.4) у (5.4.3), одержимо
m
Eq
20
. (5.4.5)
Значення середньої швидкості підставимо у формулу (5.4.2),одержимо закон Ома у диференціальній формі
Em
nqj
2
20 , (5.4.6)
де n – концентрація вільних носіїв струму у провіднику; q0 –величина елементарного заряду; τ – час вільного руху носіїв струму міждвома сусідніми взаємодіями; m- маса носія струму у провіднику (убільшості випадків це маса електрона).
Величину = m
nq
2
20
називають питомою електропровідністю
провідника.
Знайдемо енергію, яка переноситься вільними електричнимизарядами у провіднику одиничного об’єму, за одиницю часу, тобто
Vt
W , (5.4.7)
де - енергія, яка переноситься електронами одиниці об’ємупровідника за одиницю часу.
Оцінити цю енергію можна так. За одиницю часу кожен з
електронів захоплюється вузлами кристалічної гратки
1 разів, щоразу
передаючи гратці кінетичну енергію 2
max2m
. Оскільки в одиниці об’єму
провідника міститься n вільних електронів, то енергія, яка переноситьсявсіма електронами одиниці об’єму провідника за одиницю часу будедорівнювати
2
1 max2
mn , (5.4.8)
де n – концентрація вільних електронів у провіднику;
1 - число
взаємодій кожного із електронів протягом 1с з вузлами кристалічної гратки
40
провідника; 2
2maxm
- кінетична енергія, яка щоразу передається кожним із
електронів в процесі взаємодії з вузлами кристалічної гратки.Підставивши в (5.4.8) значення max із (5.4.4), одержимо закон
Джоуля-Ленца в диференціальній формі
22
2
222
22
1E
m
nq
m
Emqn oo
, (5.4.9)
або = Е2. (5.4.10)
41
ЛЕКЦІЯ 6
МАГНЕТНЕ ПОЛЕ У ВАКУУМІ
6.1. Магнетне поле. Магнетна індукція. Закон Ампера.6.2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання в
найпростіших випадках:а) Магнетне поле прямолінійного провідника із струмом;б) Магнетне поле кругового провідника із струмом;в) Магнетне поле соленоїда.6.3. Магнетний момент контуру із струмом.
6.1. Магнетне поле. Магнетна індукція. Закон Ампера
Дослідним шляхом установлено, що подібно до електричнихзарядів, навколо яких виникає електричне поле, в просторі навколопровідників із струмом або постійних магнетів виникає магнетне поле.Магнетне поле – це одна із форм існування матерії, завдяки якійздійснюється взаємодія струмів і постійних магнетів.
Встановлено також, що:- магнетне поле діє лише на рухомі електричні заряди;- рухомі електричні заряди створюють у просторі магнетне поле;- магнетне поле не діє на статичні заряди.Характер дії магнетного поля на струм залежить:- від форми провідника, по якому тече струм;- від розміщення провідника в просторі.У якості пробного тіла для дослідження магнетного поля
використовують замкнутий пробний контур з струмом, лінійні розміриякого досить малі. Магнетне поле такого пробного контуру не повинностворювати зовнішнього магнетного поля. При розміщенні такої рамки удосліджуване зовнішнє магнетне поле, із сторони останнього, на рамкудіятиме обертальний момент сил М. Елементарна рамка із струмом займепевний напрям у просторі так, щоб магнетне поле рамки і досліджуваногомагнетного поля збігалися (рис 6.1).
n B
S
I
42
Рис6.1
Орієнтація контуру в просторі характеризується напрямком нормаліn
до контуру.Додатний напрям нормалі визначається правилом правого гвинта.
За позитивний напрям нормалі приймається напрям поступального рухуправого гвинта, обертання якого збігаються з напрямком струму в пробнійрамці.
За напрям магнетного поля у даній точці простору приймаєтьсянапрям, вздовж якого направляється позитивно орієнтована нормаль доконтуру.
Момент сил, який створюється зовнішнім магнетним полем у рамцііз струмом, визначається векторним добутком вектора магнетного моментурамки із струмом і магнетної індукції зовнішнього магнетного поля
ВрМ м
, (6.1.1)
де nISрм
- магнетний момент пробної рамки із струмом I іплощею S; B
- вектор магнетної індукції – силова характеристика
зовнішнього магнетного поля.Скалярна величина вектора моменту сили M
визначається
формулою
BрBрM мм
sin . (6.1.2)
Якщо в дану точку зовнішнього магнетного поля розміщуватиелементарні рамки із різними магнетними моментами мР
, то на них з
сторони магнетного поля будуть діяти різні обертальні механічні моменти
сил М
. Однак відношення мР
М
для кожного випадку буде сталою
величиною, яка є силовою характеристикою цього поля. Позначають цювеличину буквою В
і називають індукцією магнетного поля.
IS
М
Р
МВ
м
. (6.1.3)
Індукція магнетного поля вимірюється у теслах (Тл), розмірністьякого визначається з (6.1.3)
мА
Н
мА
мНТл
2 .
43
Подібно до електричного поля магнетне поле зображають здопомогою силових ліній магнетного поля, напрям яких у кожній точціполя збігається із напрямком вектора В
.
Лінії індукції магнетного поля завжди замкнуті й охоплюютьпровідники із струмом. Замкнутість силових ліній магнетного поляхарактеризує вихровий характер цього поля.
Природа магнетного поля зводиться або до руху електричнихзарядів, або до змінного в часі електричного поля. Про це свідчатьрівняння Максвела:
а)
L S ndS
dt
dBEdl , (6.1.4)
де L
Edl - циркуляція вектора електростатичного поля вздовж
довільного замкнутого контуру;
S ndS
dt
dB - потік змінного в часі
вихрового магнетного поля крізь довільну замкнуту поверхню;
б)
L S ndS
dt
dDjHdl , (6.1.5)
де S
jdS - струм провідності, який створюється в провіднику
вільними електричними зарядами; dSdt
dD
S n
- потік змінного в часі
електричного поля, що інколи називають струмом зміщення. Струмзміщення не пов’язаний з рухом будь-яких електричних зарядів.
Рівняння Максвелла (6.1.4) і (6.1.5) характеризують взаємозв’язокелектричних і магнетних явищ. З рівняння (6.1.4) чітко видно, що змінне вчасі магнетне поле є причиною виникнення вихрового електричного поля.Останнє, створює електричний струм у замкнутому провіднику.
З рівняння (6.1.5) випливає, що причиною виникнення магнетногополя може бути або струм провідності, або змінне в часі електричне поле,яке не обов’язково призводить до руху зарядів у провіднику.
Оскільки будь-який струм є причиною виникнення магнетногополя, то це пояснює дослідний факт силової дії магнетного поля напровідник із струмом.
Величину цієї сили знайшов Ампер, тому вона називається силоюАмпера
ldBIFd A
, (6.1.6)
44
де lId
- вектор елементу струму, що збігається з напрямкомструму у провіднику; B
- індукція зовнішнього магнетного поля.
N
S
B
AdF
I lId
B
AFd
+ +++++
Рис.6.2
На рис.6.2 струм створюється позитивними зарядами, напрям рухуяких збігається з напрямком струму.
Напрям сили Ампера визначається правилом лівої руки. Якщосилові лінії магнетного поля входять в долоню лівої руки, а чотири пальцінаправлені по напрямку струму у провіднику, то великий палець,відхилений на 900, покаже напрямок сили Ампера.
6.2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання унайпростіших випадках
Ще на початку 19-го сторіччя французькі фізики Біо і Савар,обробляючи величезний експериментальний матеріал вивченняхарактеристик магнетного поля провідників зі струмом за участюматематика Лапласа, одержали формулу, яка дістала назву у фізиці законуБіо-Савара-Лапласа.
У векторній формі цей закон має вигляд
3
0
4 r
rldIBd
, (6.2.1)
де - відносна магнетна проникність середовища, безрозмірна
величина; о – магнетна постійна (м
Гн70 104 ); I – струм у
провіднику; ld
- елемент провідника; r
- відстань від елемента струмудо точки, в якій знаходиться індукція магнетного поля Bd
(рис.6.3).
45
dlI
r
Bd
Рис.6.3
З видно, що вектор індукції магнетного поля Bd
є дотичною досилової лінії магнетного поля, яка охоплює провідник, і проходить черезточку, в якій визначається індукція магнетного поля.
Напрям силової лінії визначається за допомогою правила правогогвинта, як це показано на рисунку.
Поряд із індукцією магнетного поля B
магнетне полехарактеризується напруженістю Н
. Ця величина не залежить від
властивостей середовища і дорівнює
0
ВН
. (6.2.2)
Величина напруженості магнетного поля входить в одне із рівняньМаксвелла. Розмірність напруженості Н
буде встановлена трохи пізніше.
Закон Біо – Савара - Лапласа для напруженості магнетного поля Нмає вигляд
34 r
rldIHd
, (6.2.3)
або в скалярній формі
24
sin
r
rldIdldH
. (6.2.4)
Магнетному полю властивий принцип суперпозиції. Це означає, щополя від кількох джерел магнетного поля накладаються як вектори, тобто
46
n
iiBВ
1
. (6.2.5)
Знайдемо індукцію магнетного поля біля безмежного прямогопровідника із струмом (рис.6.4).
Скористаємось законом Біо – Савара - Лапласа в скалярній формі
2
0
4
sin
r
rldIdldB
, (6.2.6)
де кут - це кут між напрямком елемента провідника із струмом ld
ірадіусом-вектором r
, як це показано на рис.6.4; Bd
- дотичний вектор до
силової лінії, напрям якого збігаються з напрямком обертання правогогвинта.
dl dB
d dS
rI
0r
Рис.6.4
З рисунка видно, що
dS=dlsin і dS=rd,звідки
sin
rddl .
Радіус-вектор r
також можна виразити через ro і кут , тобто
sin0rr .
З урахуванням цих зауважень закон Біо – Савара - Лапласа набудевигляду
47
d
r
IdB sin
4 0
0 . (6.2.7)
Інтегруємо вираз (6.2.7) в межах зміни кута від 1 до 2, врезультаті чого одержимо
210
0 coscos4
r
IB . (6.2.8)
Якщо у виразі (6.2.8) 1 прямує до 0, а 2 прямує до , то одержимобезмежний прямий провідник із струмом.
У цьому випадку: а) індукція магнетного поля буде дорівнювати
0
0
2 r
IB
. (6.2.9)
б) напруженість магнетного поля буде дорівнювати
02 r
IH
. (6.2.10)
З останньої формули легко встановити розмірність напруженостімагнетного поля
м
А
r
IH
0.
Знайдемо магнетне поле на осі кругового витка із струмом (рис.6.5).
dl
R
xdBxx
dB
ydBI r
Рис.6.5
48
Елемент провідника із струмом dl, створює на осі x індукціюмагнетного поля dB. Вектор Bd
є дотичним до силової лінії, зображеної
на рисунку пунктирною лінією. Складова вектора індукції магнетного поляdBy буде скомпенсована аналогічним елементом з протилежної сторони.Результуючу індукцію магнетного поля від кругового витка із струмомслід шукати в напрямку осі x (принцип суперпозиції магнетних полів).
З рисунка видно, що
sindBdBx . (6.2.11)
Закон Біо – Савара - Лапласа запишеться
20
4 r
IdldB
, (6.2.12)
тут враховано, що 1sin rld
.
Підставимо вираз (6.2.12) у (6.2.11), одержимо
20
4
sin
r
IdldBx
. (6.2.13)
Але врахувавши, що
22 xRr ; і r
Rsin ,
одержимо
2
322
0
4 xR
IRdldBx
. (6.2.14)
Інтегруємо цей вираз в межах довжини витка від 0 до 2πR,R,одержимо
R
x
xR
IRdl
xR
IRB
2
02
322
20
2
322
0
24.
Таким чином, магнетна індукція на осі кругового витка дорівнюєвизначається за допомогою формули
49
2
322
20
2 xR
IRBx
. (6.2.15)
Напруженість магнетного поля у цьому випадку буде дорівнювати
2
322
2
2 xR
IRН x
. (6.2.16)
Для індукції та напруженості магнетного поля у центрі коловоговитка зі струмом одержимо
R
IB
20
0
, (6.2.17)
R
IH
20 . (6.2.18)
Знайдемо індукцію і напруженість магнетного поля на осі довгогосоленоїда з струмом (рис.6.6).
2
x 1
dX
dN
x
Рис.6.6
Виділений елемент соленоїда шириною dx, в якому dN витків, щощільно прилягають один до одного, можна розглянути як круговий виток,індукція якого розраховується за формулою (6.2.15)
2
322
20
2 xR
dNIRdB
, (6.2.19)
Кількість витків у виділеному елементі соленоїда дорівнює
dN = ndx,
50
де n – число витків на одиницю довжини соленоїда. З урахуванням цих позначень одержуємо
2
322
20
2 xR
ndxIRdB
. (6.2.20)
Виконаємо заміну змінних у співвідношенні (6.2.20), тобто
Rctgх , і
2sin
Rddx .
З урахуванням цих позначень одержимо, що
dnI
dB sin20
.
Інтегруємо цей вираз у межах зміни кута від 1 до 2. Післяінтегрування одержимо
210 coscos2
In
B . (6.2.21)
Якщо 10, а 2, одержимо соленоїд безмежної довжини. Уцьому випадку:
а) індукція магнетного поля на осі довгого соленоїда
InB 0 . (6.2.22)
б) напруженість магнетного поля на осі довгого соленоїда
InH . (6.2.23)
11.3. Магнетний момент контуру із струмом
Для плоского контуру із струмом I магнетний момент визначається
співвідношенням:
nISPм
, (6.3.1)
51
де I – струм у контурі; S – площа контуру; n
- нормаль до
площини контуру, яка збігається з поступальним рухом правого гвинта,
якщо його обертати за напрямком струму у витку.
мP
n
I
Рис.6.7
Якщо контур із струмом розмістити у зовнішнє магнетне поле, то
результуюча сила Ампера, яка діє зі сторони зовнішнього магнетного поля
на контур з струмом, буде дорівнювати нулю, тобто
0dlIBBldIF
.
У випадку неоднорідного магнетного поля результуючий вектор
сили Ампера не буде дорівнювати нулю.
Відповідні розрахунки показують, що в цьому випадку
,dn
BdPF м
(6.3.2)
де dn
Bd
- похідна вектора B
в напрямку нормалі або градієнт
вектора B
в напрямку нормалі до контуру; мР
- магнетний моментконтуру.
52
