Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Indi

ce1

Intro

ducc

ion

2C

once

ptos

Gen

eral

esde

MM

CM

edid

asde

defo

rmac

ion

yte

nsio

nD

ensi

dad

depo

tenc

iay

ener

gıa

libre

Prin

cipi

osde

las

ecua

cion

esco

nstit

utiv

as3

Hip

erel

astic

idad

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d4

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Vis

coel

astic

idad

Dan

o5

Con

clus

ione

sM

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

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alE

last

icid

ad,V

isco

elas

ticid

ady

Dan

o

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Indi

ce1

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ducc

ion

2C

once

ptos

Gen

eral

esde

MM

CM

edid

asde

defo

rmac

ion

yte

nsio

nD

ensi

dad

depo

tenc

iay

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gıa

libre

Prin

cipi

osde

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cion

esco

nstit

utiv

as3

Hip

erel

astic

idad

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d4

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Vis

coel

astic

idad

Dan

o5

Con

clus

ione

sM

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

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alE

last

icid

ad,V

isco

elas

ticid

ady

Dan

o

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Intro

ducc

ion

Mat

eria

lela

stic

oU

nm

ater

iale

sel

astic

ocu

ando

sues

tado

tens

iona

ldep

ende

excl

usiv

amen

tede

sude

form

acio

nin

stan

tane

a.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

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MC

Hip

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astic

idad

Vis

coel

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yD

ano

Con

clus

ione

s

Intro

ducc

ion

(con

t.)

Mat

eria

lhip

erel

astic

oU

nm

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ialh

iper

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tico

esun

mat

eria

lela

stic

oqu

ese

defo

rma

con

untra

bajo

inde

pend

ient

ede

lcam

ino

deca

rga.

Am

bos

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epto

sso

neq

uiva

lent

esen

prob

lem

asun

idim

ensi

onal

es,p

ero

nopa

rava

rias

dim

ensi

ones

.Lo

sej

empl

ostıp

icos

dem

ater

iale

shi

pere

last

icos

son

los

elas

tom

eros

.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

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deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

dede

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acio

ny

tens

ion

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

pios

dela

sec

uaci

ones

cons

titut

ivas

Indi

ce1

Intro

ducc

ion

2C

once

ptos

Gen

eral

esde

MM

CM

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rmac

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yte

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as3

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nsid

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gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

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Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

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d4

Vis

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astic

idad

yD

ano

Vis

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astic

idad

Dan

o5

Con

clus

ione

sM

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

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last

icid

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isco

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Dan

o

Intro

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Vis

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astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

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acio

ny

tens

ion

Den

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dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

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dela

sec

uaci

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cons

titut

ivas

Med

idas

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defo

rmac

ion

Gra

dien

tede

defo

rmac

ion

F:

F=

!x

!X

.

Lare

laci

onde

volu

men

eses

J=

det(

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Velo

cida

dde

defo

rmac

ion

D:

D=

sim

!!

v!

x

"=

1 2(L

+LT

),si

endo

L=

!v

!x

=F

·F!

1 .

Tens

orde

defo

rmac

ion

deG

reen

E:

dx·d

x!dX

·dX

=2d

X·E

·dX"

E=

1 2(F

T·F!

1)=

1 2(C!

1)

sien

doC

elte

nsor

deC

auch

y-G

reen

porl

ade

rech

a.

Met

odo

delo

sE

lem

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sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

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deM

MC

Hip

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astic

idad

Vis

coel

astic

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ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

dede

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acio

ny

tens

ion

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

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dela

sec

uaci

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cons

titut

ivas

Med

idas

dela

tens

ion

Tens

orde

tens

ione

sde

Cau

chy

!:

!·d

a=

df.

Prim

erte

nsor

deP

iola

-Kirc

hhof

f(P

K1,

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orde

Pio

la)P

:

P·d

A=

df"

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J!·F!

T.

(Se

pued

ede

mos

traru

sand

oda

=JF

!T·d

A.)

Tens

orde

tens

ione

sno

min

al:N

=P

T.

Seg

undo

tens

orde

Pio

la-K

irchh

off(

PK

2)S

:

S·d

A=

F!

1 ·df"

S=

JF!

1 ·!

·F!

T.

Tens

orde

tens

ione

sde

Kirc

hhof

f:"

=J!

.M

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

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alE

last

icid

ad,V

isco

elas

ticid

ady

Dan

o

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

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MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

dede

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acio

ny

tens

ion

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

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dela

sec

uaci

ones

cons

titut

ivas

Med

idas

dela

tens

ion

(con

t.)

Velo

cida

des

obje

tivas

dela

tens

ion

Velo

cida

dde

Jaum

ann:

!"J

=D

! Dt!

W·!!

!·W

T,

con

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D+

W.

Velo

cida

dde

True

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!"T

=D

! Dt

+di

v(v)

!!

L·!!

!·L

T

Velo

cida

dde

Gre

en-N

aghd

i:

!"G

=D

! Dt!

!·!!

!·!

T,

con

!=

R·R

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Met

odo

delo

sE

lem

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sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

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deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

dede

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acio

ny

tens

ion

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

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dela

sec

uaci

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cons

titut

ivas

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

re

Varia

bles

conj

ugad

asen

lapo

tenc

ia

Tens

ion

deC

auch

y/ve

loci

dad

dede

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acio

n:

W=

J!:D

.

Tens

ion

nom

inal

/vel

ocid

adde

lgra

dien

tede

defo

rmac

ion:

W=

P:F

.

Tens

ion

PK

2/ve

loci

dad

delt

enso

rde

Gre

en:

W=

S:E

.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

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ener

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MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

dede

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acio

ny

tens

ion

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

pios

dela

sec

uaci

ones

cons

titut

ivas

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

re(c

ont.)

En

unpr

oces

ote

rmod

inam

ico

reve

rsib

le(m

ater

ial

term

oela

stic

o)se

satis

face

" 0(T

#!

U)+

S:E

=0,

sien

do#(=

k Bln

!)

laen

tropı

ay

Ula

ener

gıa

inte

rna.

Se

defin

eco

mo

ener

gıa

libre

(de

Hel

mho

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=U!

T#.

Sil

ade

form

acio

nes

isot

erm

a,

S=

" 0!$

!E

,ad

opta

ndos

eW

=" 0

$.

Sil

ade

form

acio

nes

isoe

ntro

pica

,

S=

" 0!

U!

E,

adop

tand

ose

W=

" 0U

.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

dede

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acio

ny

tens

ion

Den

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dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

pios

dela

sec

uaci

ones

cons

titut

ivas

Prin

cipi

osde

las

ecua

cion

esco

nstit

utiv

as

Inva

rianc

iade

lsis

tem

ade

coor

dena

das.

Est

om

otiv

ael

desa

rrol

lode

las

ecua

cion

esen

form

ate

nsor

ial.

Det

erm

inis

mo

resp

ecto

ala

hist

oria

.P

rinci

pio

deac

cion

loca

l.S

iade

mas

seig

nora

nde

rivad

assu

perio

res

ala

spr

imer

as,e

nton

ces

elm

ater

iale

ssi

mpl

e.P

rinci

pio

deeq

uipr

esen

cia:

siun

ava

riabl

ein

depe

ndie

nte

apar

ece

enun

aec

uaci

onco

nstit

utiv

a,ta

mbi

ende

beap

arec

eren

elre

sto

salv

oqu

evi

ole

otro

prin

cipi

o.

Met

odo

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sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

dede

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acio

ny

tens

ion

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

ergı

alib

reP

rinci

pios

dela

sec

uaci

ones

cons

titut

ivas

Prin

cipi

osde

las

ecua

cion

esco

nstit

utiv

as(c

ont.)

Obj

etiv

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mat

eria

l:in

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ncia

resp

ecto

am

ovim

ient

osde

solid

orıg

ido

delm

arco

dere

fere

ncia

.A

dmis

ibili

dad

fısic

are

spec

toa

las

ecua

cion

esde

bala

nce

ya

lase

gund

ale

yde

late

rmod

inam

ica.

Sim

etrıa

sm

ater

iale

s:is

otro

pıa,

anis

otro

pıa

trans

vers

al,

mat

rizis

otro

pare

forz

ada

con

varia

sfa

mili

asde

fibra

s...

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

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MC

Hip

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idad

Vis

coel

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yD

ano

Con

clus

ione

s

Med

idas

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acio

ny

tens

ion

Den

sida

dde

pote

ncia

yen

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alib

reP

rinci

pios

dela

sec

uaci

ones

cons

titut

ivas

Prin

cipi

osde

las

ecua

cion

esco

nstit

utiv

as(c

ont.)

Eje

mpl

o:H

ipoe

last

icid

ad

Mat

eria

lhip

oela

stic

oU

nale

yhi

poel

astic

are

laci

ona

una

med

ida

obje

tiva

dela

velo

cida

dde

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nsio

nco

nla

velo

cida

dde

defo

rmac

ion

yla

tens

ion

inst

anta

nea,

!"

=f(

!,D

).E

sha

bitu

alla

rela

cion

linea

l!"

=C

:D.

Lafu

ncio

nf

debe

sero

bjet

iva

resp

ecto

ala

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ion.

Las

leye

shi

poel

astic

asse

usan

prin

cipa

lmen

tepa

rade

form

acio

nes

elas

ticas

pequ

enas

.Pa

ragr

ande

sde

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acio

nes,

eltra

bajo

real

izad

oen

cam

inos

cerr

ados

dede

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acio

nno

esne

cesa

riam

ente

nulo

(no

adm

isib

ilida

dfıs

ica)

,con

tens

ione

sre

sidu

ales

.M

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

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alE

last

icid

ad,V

isco

elas

ticid

ady

Dan

o

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

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deM

MC

Hip

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astic

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Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d

Indi

ce1

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ducc

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ptos

Gen

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MM

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ensi

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depo

tenc

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libre

Prin

cipi

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cion

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as3

Hip

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gıa

Tens

orde

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adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

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dy

cuas

i-inc

ompr

esib

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d4

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Vis

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astic

idad

Dan

o5

Con

clus

ione

sM

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

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alE

last

icid

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isco

elas

ticid

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o

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

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MC

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Vis

coel

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yD

ano

Con

clus

ione

s

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ion

dede

nsid

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ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

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imet

rıas

mat

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les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Mat

eria

lhip

erel

astic

oU

nm

ater

iale

shi

pere

last

ico

cuan

doex

iste

una

func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

dede

form

acio

nqu

ees

unpo

tenc

iald

ela

tens

ion:

S=

!W !E

.

SiW

=W

F (F

),en

tonc

esW

F (F

)=

WF (

Q·F

)pa

rato

doQ

orto

gona

l(ob

jetiv

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mat

eria

l).Po

rtan

to,s

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WF (

F)

=W

F (R

T·(R

·U))

=W

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)=

WC(C

)=

WE(E

).

Met

odo

delo

sE

lem

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sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

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deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d

Tens

orde

elas

ticid

ad

Lare

laci

onen

treS

yE

noes

linea

l.E

nun

esqu

ema

impl

ıcito

delM

EF

seap

roxi

ma

laso

luci

onlin

ealiz

ando

resp

ecto

ava

riaci

ones

deco

nfigu

raci

onin

stan

tane

a,pa

ralo

que

sene

cesi

tael

tens

orde

cuar

toor

den

C=

!S

!E

.

Sie

lmat

eria

les

hipe

rela

stic

o,

C=

!2 W

!E

!E

=4

!2 W

!C

!C

.

Port

anto

,en

este

caso

,ade

mas

dela

ssi

met

rıas

men

ores

,C ij

kl=

C jikl

=C ij

lk,s

edi

spon

ede

las

may

ores

,Cijk

l=

C klij

.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d

Sim

etrıa

sm

ater

iale

s

Isot

ropı

a

Sim

etrıa

mat

eria

l:

W(Q

T·C

·Q)

=W

(C),

para

todo

Qor

togo

nal.

Port

anto

,Wpu

ede

sere

xpre

sado

enfu

ncio

nde

los

inva

riant

esde

C,W

=W

(I1,

I 2,I

3),s

iend

o

I 1=

tr(C

),

I 2=

1 2

# (tr(

C))

2!

tr(C

2 )$

e

I 3=

det(

C)

=J2 .

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

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idad

yD

ano

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ducc

ion

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cept

osG

ener

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deM

MC

Hip

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astic

idad

Vis

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astic

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yD

ano

Con

clus

ione

s

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

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ticid

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imet

rıas

mat

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les

Inco

mpr

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dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d

Sim

etrıa

sm

ater

iale

s(c

ont.)

Isot

ropı

a(c

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Ele

stad

ote

nsio

nalq

ueda

dete

rmin

ado

segu

n

S=

!W !E

=2!

W !C

=2

3 % i=1

!W !I i

!I i

!C

,si

endo

!I 1

!C

=1,

!I 2

!C

=I 1

1!

Cy

!I 3

!C

=I 3

C!

1 .

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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clus

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s

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nsid

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sm

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iale

s(c

ont.)

Isot

ropı

a(c

ont.)

Eje

mpl

os:m

ater

ialn

eo-H

ooke

ano

(com

pres

ible

)

W=

1 2%

0(lo

gJ)

2!

µ0

log

J+

1 2µ

0(I 1!

3).

Eje

rcic

iopr

opue

sto.

Dem

ostra

rque

enpe

quen

asde

form

acio

nes

seve

rifica

laec

uaci

onde

Lam

e:

!=

2µ0#

+%

0tr(

#)1.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

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osG

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deM

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Hip

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idad

Vis

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ano

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clus

ione

s

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nsid

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ener

gıa

Tens

orde

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ticid

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imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

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d

Sim

etrıa

sm

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iale

s(c

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Mat

eria

les

com

pues

tos

refo

rzad

osco

nfib

ras

Se

cons

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aun

am

atriz

isot

ropa

refo

rzad

aco

nN

fam

ilias

defib

ras,

segu

nla

sdi

recc

ione

sde

finid

asen

laco

nfigu

raci

onde

refe

renc

iapo

rlos

vect

ores

unita

rios

A!

(&=

1,..

.,N

).La

func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

esde

lafo

rma

W(C

,A!).

Deb

ese

rinv

aria

nte

resp

ecto

aro

taci

ones

dela

mat

rizy

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sfib

ras

enla

confi

gura

cion

dere

fere

ncia

.S

igui

endo

aS

penc

er(1

984)

,Wpu

ede

expr

esar

seco

mo

W=

W(I

1,I 2

,I3,

I 4(!

"),

I 5(!

"),

# !"),

sien

doI 4

(!")=

A!·C

·A",I

5(!

")=

A!·C

2 ·A

",#

!"

=A

!·A

".

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

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nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

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deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Func

ion

dede

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adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

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dy

cuas

i-inc

ompr

esib

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d

Inco

mpr

esib

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dy

cuas

i-inc

ompr

esib

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d

Muc

hos

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tom

eros

tiene

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caco

mpr

esib

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den

com

para

cion

con

larig

idez

aco

rtan

te.

Lain

com

pres

ibili

dad

corr

espo

nde

con

lare

stric

cion

J=

1,re

sulta

ndo S=

2!

W !C

+'

C!

1 ,si

endo

'un

esca

lar.

Sie

lmat

eria

les

isot

ropo

,W=

W(I

1,I 2

).Fr

ecue

ntem

ente

lain

com

pres

ibili

dad

nose

fuer

zade

form

aes

trict

a,si

nope

naliz

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lade

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adde

ener

gıa

debi

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cam

bio

devo

lum

en.E

sto

sefa

cilit

aco

nla

desc

ompo

sici

onad

itiva

W=

Wis

o(C

)+

Wvo

l(J)

,si

endo

C=

J!2/

3 C.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

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cept

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ener

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deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

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dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

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elas

ticid

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rıas

mat

eria

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Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

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d

Inco

mpr

esib

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dy

cuas

i-inc

ompr

esib

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d(c

ont.)

Eje

mpl

os

Mat

eria

lneo

-Hoo

kean

om

odifi

cado

:

Wis

o=

1 2µ

0(I 1!

3).

Mat

eria

lde

Moo

ney-

Riv

lin:

Wis

o=

c 1(I

1!

3)+

c 2(I

2!

3).

Mat

eria

lde

Yeoh

:

Wis

o=

c 1(I

1!

3)+

c 2(I

1!

3)2

+c 3

(I1!

3)3 .

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

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deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

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ano

Con

clus

ione

s

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gıa

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ilida

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i-inc

ompr

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d(c

ont.)

Eje

mpl

os(c

ont.)

Mat

eria

lde

Ogd

en:

Wis

o=

N % p=1

&µ

p

&p

N % a=1

%!

pa

',

sien

do%

a=

J!1/

3 %a.

Mat

eria

liso

tropo

deD

emira

y(1

972)

para

mod

eliz

arpa

rede

sar

teria

les:

Wis

o=

c 1 c 2

# exp( c 2 2

(I1!

3))!

1$.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

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spa

raA

nalis

isN

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,Vis

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mpr

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dy

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i-inc

ompr

esib

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d(c

ont.)

Eje

mpl

os(c

ont.)

Mat

eria

lde

Hol

zapf

el,G

asse

ryO

gden

(200

0)pa

ram

odel

izar

pare

des

arte

riale

sco

ndo

sor

ient

acio

nes

pref

eren

cial

esde

las

fibra

sde

cola

geno

:

Wis

o=

c 1(I

1!

3)+

k 1 2k2

2 % !=

1

# exp( k 2

* ((I

1!

3)+

(1!

3()(

I 4(!

!)!

1)+ 2

)!

1$.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

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Intro

ducc

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deM

MC

Hip

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astic

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Vis

coel

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idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Vis

coel

astic

idad

Dan

o

Indi

ce1

Intro

ducc

ion

2C

once

ptos

Gen

eral

esde

MM

CM

edid

asde

defo

rmac

ion

yte

nsio

nD

ensi

dad

depo

tenc

iay

ener

gıa

libre

Prin

cipi

osde

las

ecua

cion

esco

nstit

utiv

as3

Hip

erel

astic

idad

Func

ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

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Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d4

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Vis

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astic

idad

Dan

o5

Con

clus

ione

sM

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

Line

alE

last

icid

ad,V

isco

elas

ticid

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Dan

o

Intro

ducc

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cept

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Vis

coel

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idad

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ano

Con

clus

ione

s

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coel

astic

idad

Dan

o

Vis

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astic

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Muc

hos

mat

eria

les,

com

olo

sel

asto

mer

os,p

rese

ntan

unco

mpo

rtam

ient

ode

pedi

ente

del

tiem

pode

nom

inad

ovi

scoe

last

icid

ad.

Lapr

inci

palc

arac

terıs

tica

dees

tare

spue

sta

esun

am

emor

iade

svan

ecie

nte.

Un

mod

elo

esqu

emat

ico

devi

scoe

last

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adlin

eale

sel

gene

raliz

ado

deM

axw

ell.

E!

Em

! m

"E

1! 1

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

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ano

Intro

ducc

ion

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cept

osG

ener

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deM

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Hip

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astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Vis

coel

astic

idad

Dan

o

Vis

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astic

idad

(con

t.)

Posi

ble

gene

raliz

acio

na

gran

des

defo

rmac

ione

sR

equi

sito

:W#

(C)

=W# vo

l(J)

+W# iso(C

).La

tens

ion

PK

2es

dela

form

a

S=

S# vo

l+

Sis

o,co

nS

iso

=S# is

o+

m % a=1

Qa.

Ecu

acio

nes

deev

oluc

ion:

Qa

+Q

a

) a=

Sis

o,a,

dond

e) a

son

los

tiem

pos

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laja

cion

()a

=# a

/Ea)

,yS

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ate

nsor

esde

finid

osa

part

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C.

Gov

indj

eey

Sim

opr

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enS

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a=

*# a

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o(C

).

Met

odo

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sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

coel

astic

idad

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ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

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deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Vis

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astic

idad

Dan

o

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o

Cua

ndo

seca

rga

defo

rma

cuas

i-est

atic

aun

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tom

ero,

habi

tual

men

tela

curv

ade

desc

arga

ypo

ster

iorr

ecar

gase

encu

entra

pord

ebaj

oqu

ela

inic

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efec

toM

ullin

s.

Met

odo

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sE

lem

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sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

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ales

deM

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Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Vis

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astic

idad

Dan

o

Dan

o(c

ont.)

Req

uisi

to:W

0(C

)=

Wvo

l(J)

+W

0,is

o(C

).U

nava

riabl

ein

tern

aes

cala

r+se

adop

tade

form

aqu

eW

=W

(C,+

).E

npa

rtic

ular

,

W(C

,+)

=W

vol(

J)+

(1!

+)W

0,is

o(C

),

dond

e(1!

+)es

elfa

ctor

dere

ducc

ion

pord

ano.

Lava

riabl

ede

dano

+de

pend

ede

&(t

)=

max

s$[0

,t]W

0(s)

,

Pore

jem

plo

(seg

unM

iehe

)+(&

)=

+ #* 1!

e!!

/#+

.

Met

odo

delo

sE

lem

ento

sFi

nito

spa

raA

nalis

isN

oLi

neal

Ela

stic

idad

,Vis

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astic

idad

yD

ano

Intro

ducc

ion

Con

cept

osG

ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Indi

ce1

Intro

ducc

ion

2C

once

ptos

Gen

eral

esde

MM

CM

edid

asde

defo

rmac

ion

yte

nsio

nD

ensi

dad

depo

tenc

iay

ener

gıa

libre

Prin

cipi

osde

las

ecua

cion

esco

nstit

utiv

as3

Hip

erel

astic

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ion

dede

nsid

adde

ener

gıa

Tens

orde

elas

ticid

adS

imet

rıas

mat

eria

les

Inco

mpr

esib

ilida

dy

cuas

i-inc

ompr

esib

ilida

d4

Vis

coel

astic

idad

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ano

Vis

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astic

idad

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o5

Con

clus

ione

sM

etod

ode

los

Ele

men

tos

Fini

tos

para

Ana

lisis

No

Line

alE

last

icid

ad,V

isco

elas

ticid

ady

Dan

o

Intro

ducc

ion

Con

cept

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ener

ales

deM

MC

Hip

erel

astic

idad

Vis

coel

astic

idad

yD

ano

Con

clus

ione

s

Con

clus

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s

Lael

astic

idad

linea

les

valid

apa

rape

quen

asde

form

acio

nes

(gen

eral

men

tein

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diam

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nla

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0

0.2

0.4

0.6

0.8 1

1 1

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2.5

3 3

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