· Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit (Binomialkoe zienten, ... ( Probabilistik, Metriken, ...) Veranstaltungen mit experimentellen, empirischen Methoden

Vorlesung”Mathematische Strukturen“

Sommersemester 2017

Prof. Janis VoigtlanderUbungsleitung: Dennis Nolte

Mathematische Strukturen Sommersemester 2017

Einfuhrung

Warum diese Lehrveranstaltung?

Brucke von Schulmathematik der Oberstufe:

Die Studierenden sollen in die Lage versetzt werden, mitgrundlegenden formalen Modellierungs- undAnalyseverfahren umgehen zu konnen, die den Bereichder ublichen Abiturkenntnisse ubersteigen.

Fakt: Sie hatten nicht alle die gleiche Qualitat von Mathematikun-terricht (und vielleicht auch nicht gleich kurzlich).

Auch ein Ziel: Ausgleich schaffen


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Fakt: Sie hatten nicht alle die gleiche Qualitat von Mathematikun-terricht

(und vielleicht auch nicht gleich kurzlich).



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Inhalt

Grundlagen(Mengen, Relationen, Funktionen)

Analysis(Grenzwerte, Ableitung, Kurvendiskussion)

Zahlentheorie(Teilbarkeit, Gleichungen in ganzen Zahlen)

Algebraische Strukturen(Gruppen, Korper, Vektorraume, Matrizen)

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit(Binomialkoeffizienten, Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten)


Einfuhrung

Inhalt

Diskrete Mathematik vs. Kontinuierliche Mathematik

In dieser Lehrveranstaltung geht es schwerpunktmaßig um diskreteMathematik, d.h., um das Arbeiten mit endlichen oder abzahlbarenMengen von Elementen.

Analysis gehort zur kontinuierlichen Mathematik, in der man mitreellen oder komplexen Zahlen arbeitet. (Ableitung, Integration vonFunktionen, etc.)


Einfuhrung

Inhalt

Grundlagen

Wir besprechen/wiederholen wichtige mathematische Konzepte.

Wie beschreibt man Ansammlungen von Elementen? Mengen

Wie beschreibt man Zusammenhange zwischen Mengen? Relationen, Funktionen

Außerdem: grundlegende Zahlentheorie (Primzahlen, etc.)

1

2

3

a

b

c

d


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Inhalt

Analysis

Wir betrachten Funktionen auf reellen Zahlen und wiederholenGrundlagen der Kurvendiskussion. Dabei gehen wir vor allem aufdas Ableiten (= Differenzieren) von Funktionen ein.

x

f (x)1

-1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


Einfuhrung

Inhalt

Algebraische Strukturen

Wir behandeln grundlegende Rechenstrukturen (Gruppen, Korper)und Anwendungen in der Kryptographie.

Anschließend: Vektorraume und Matrizen mit Anwendungen imUmgang mit mehrdimensionalen Raumen, Losen vonGleichungssystemen.

A =

1 2 34 5 67 8 9

y

x

(4,5)


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Inhalt

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Abzahlen von Mengen:”Ziehen aus Urnen“ und andere Modelle

mit praktischen Beispielen.

Wahrscheinlichkeit des Auftretens bestimmter Ereignisse, bedingteWahrscheinlichkeiten.


Einfuhrung

Mathematik im KOMEDIA-Studium

Statistik ( Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit)

Informatik allgemein ( u.a. Funktionen, Relationen)

Modellierung ( diverse Grundlagen und Abstraktionen, undkonkret etwa Matrizenrechnung)

Mensch-Computer-Interaktion ( diskrete Modelle, Graphen)

Digitale Medien ( Codierung)

Multimediale Systeme ( z.B. Vektorrechnung fur Grafik)

Datenbanken ( relationale Algebra)

diverse KI-Veranstaltungen ( Probabilistik, Metriken, . . . )

Veranstaltungen mit experimentellen, empirischen Methoden( Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit, Analysis)

in Praxisprojekten, in Bachelorarbeiten, im Master-Studium


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Allgemein:

Beschreibungsmachtigkeit formaler Methoden

Verwendung passender Abstraktionen

Darstellungsformen uber verschiedene Anwendungen hinweg

Gemeinsamkeiten in algebraischen Strukturen


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Anmerkungen

Auch bei Themen, die Ihnen fur sich selbst”nur“ als Wiederholung

aus der Schule erscheinen, verpassen Sie besser nicht, wo esstrukturell komplizierter wird.

Anders als vielfach im Mathematikunterricht ublich werden wir oftabstrakte Konstellationen betrachten, nicht alles in konstruierteModellierungsaufgaben und

”Textgebilde“ kleiden.

One rather curious conclusion emerges, that puremathematics is on the whole distinctly more useful thanapplied. [. . . ] For what is useful above all is technique,and mathematical technique is taught mainly throughpure mathematics.

(A Mathematician’s Apology, by G.H. Hardy, 1940)


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Anmerkungen








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Anmerkungen








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Anmerkungen

Vielleicht als Trost:Wir erwarten nicht, dass Sie selbst Mathematik

”produzieren“,

sondern sie verstehen.

Wieder aus der Modulbeschreibung:

Dabei geht es weniger darum, dass die Studierendeneigene Beweise fuhren, sondern darum, dass sie sicher mitden entsprechenden Methoden umgehen konnen.


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Anmerkungen

Vielleicht als Trost:Wir erwarten nicht, dass Sie selbst Mathematik

”produzieren“,

sondern sie verstehen.

Wieder aus der Modulbeschreibung:

Dabei geht es weniger darum, dass die Studierendeneigene Beweise fuhren, sondern darum, dass sie sicher mitden entsprechenden Methoden umgehen konnen.


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Literatur

Harald Scheid, WolfgangSchwarz. Elemente derArithmetik und Algebra.Springer, 2016

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-48774-7

(elektronische Version uber den Uni-Account)


http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-48774-7

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Literatur

Lutz Warlich. Grundlagen derMathematik fur Studium undLehramt: Mengen, Funktionen,Teilbarkeit, Kombinatorik,Wahrscheinlichkeit.Books on Demand, 2006


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Literatur

Gerald Teschl, Susanne Teschl.Mathematik fur Informatiker,Band 1: Diskrete Mathematikund Lineare Algebra.Springer, 2013

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-37972-7



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-37972-7

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Literatur

Angelika Steger. DiskreteStrukturen, Band 1:Kombinatorik, Graphentheorie,Algebra.Springer, 2007

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-46664-2



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-46664-2

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Literatur

Martin Aigner. DiskreteMathematik.Vieweg + Teubner, 2006

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-9039-9



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-9039-9

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Literatur

Dirk Hachenberger. Mathematikfur Informatiker.Pearson, 2008


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Literatur

Hinweise:

Die Bucher sind als Erganzung gedacht, sie prasentieren denStoff oft aus einem anderen Blickwinkel.

Sehen Sie sich die Bucher erst an, bevor Sie etwas kaufen.Nicht jede/r kommt mit jedem Buch zurecht.

Von einigen der Bucher konnen Sie uber Ihren Uni-Accounteine elektronische Version kostenlos erhalten.

Die Bibliothek (LK) ist ein guter Platz, um nach Buchern zustobern. (Mathematik-Abteilung im 1. Stock,Lehrbuchsammlung im Keller)


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