Beweisen derl nGeometrie

AB II CDc = p

AACD = AABC

A D - B C

a " = p "

AD ] I BC

Das kennen Sie schon

Rechengesetze anwendenSkalarprodukteLinearkombination von Vektoren

Geometrische Zusammenhänge können oftauf unterschiedliche Weise nachgewiesenwerden. Durch das Rechnen mit Vektorengel ingt in v ie len Fäl len e in sehr kurzer undgut nachvol lziehbarer Beweis.

Es sol l gezeigt werden: Wenn in einem

Viereck zwei Seiten paral lel und gleich

lang s ind , dann t r i f f t d ies auch fü r d ie

beiden anderen Seiten zu.

Elementargeometrischer Beweis: Vektoriel ler Beweis:

A B =

ÄE'* ad = + B D

+ D C

(Voraussetzung)

(Beidsei t ig + Bd)(Vertauschen)

(Zusa m menfassen)

t r \ / n r : r r c c e f z r r n o )

(Wechse lw inke l an Para l le len)

(Nach sws)

DC

DC

BD

BCAD

316

. . o

r'-\v.. .:.

.:

1 Eine neue Beweisidee

Beweis mit Vektoren:Bei diesem Beweis werden alle Aussagen mit Amöglichst wenigen Vektoren ausgedrückt. Inder Ebene gelingt dies mit zwei Vektoren,wenn diese nicht parallel sind.Hier wird ä = Äd unO 6 = Äi gewählt.Voraussetzung (,Wenn'rTeil des Satzes):

AF=Fd=lä uno od=0d=;6Behauptung (,Dann'rTeil des Satzes):pQ = t.ed, t= rR.

AE'l DcVersuchen Sie auf unterschiedlichen Wegen zubegründen.

Bisher wurde zum Beweisen eines geometrischen Satzes auf bekannte geometrische Aussagenzurückgegriffen, mit deren Hilfe die Richtigkeit der zu beweisenden Behauptung gezeigt wurde.Für dieses Vorgehen benötigt man einen umfassenden Überblick über die bekannten geomet-rischen Zusammenhänge, um das für den Beweis passende Hilfsmittel auszuwählen. Wird derBeweis mithilfe von Vektoren geführt, so sind die Beweisschritte eindeutiger festgelegt. Nachder Beschreibung des Sachverhaltes mit Vektoren, ist die Behauptung durch das Rechnen mitden Vektoren hezuleiten. Der Unterschied wird an einem Beispiel gezeigt: Die Verbindungs-strecke zweier Seitenmitten in einem Dreieck ist oarallel zur dritten Dreiecksseite.

Bisheriger Beweis:Man verwendet als Hilfsmittel einen Satz überdie Ahnlichkeit von Dreiecken: Wenn in zweiDreiecken für zwei Seiten die entsorechendenSeitenlängen das gleiche Verhältnis habenund der eingeschlossene Winkel gleich großist dann sind die Dreiecke ähnlich. Nachdiesem Satz sind die Dreiecke APQ und ABCähnlich, sie stimmen also in allen entspre-chenden Winkeln überein. Insbesondere ist inFig.1 {APQ = <ABC und damit Pq t l BC.

Zum Br'1. Skiz2. Die3. Aus'

und4. Die

als I

BeispielBeweisensowie der

Lösung2. AussagWenn in eund CD zrM2 die Sedann ist lt

3. Mit aVorausset

AM; = tr4.,

BM; = Ir&

bd = t.nrBehauptu

M+,r, = t

4. M/\,1, ,

Mrtt4; = -

MlAd = -

MrMz = [ ;

Die Vektorvoneinanrund AB si

Aufgab

1 BeweVektorenln e inem 'halbieren,paral le l .

2 Bewedann ist c

Fig.2

Die Behauptung wird nun unter Nutzung der Voraussetzung hergeleitet in dem alle Vektoren derBehauptung als Linearkombination derVektoren ä und b ausgedrückt werden.

m = -1ä + Jd und 0d = -e * b' . Atro, ra'=;(-ä - 6) = ;Bd.Die Vektoren { und Bd sind Vielfache voneinander; das heißt, PQ und BC sind parallel.

A (111 )

318 lX Beweisen in der Geometrie

II Zum Beweisen mit Vektoren geht man folgendermaßen vor:

1. Skizze anfertigen.2. Die zu beweisende Aussage in ,,Wenn-Dann-Form" angeben.

3. Auswahl zweier nichtparallelerVektoren ä und b, mit deren Hilfe dieVoraussetzungen

und die Behauptung formuliert werden.4. Die Behauptung wird durch das Rechnen mit Vektoren hergeleitet, wobei alle Vektoren

als Linearkombination von ä und b ausgedrückt werden.

llichen Wegen zu

Beispiel Beweis zur ParallelitätBeweisen Sie: Die Mi t te l l in ie M,, l i4u e inesTrapezes ABCD mitden paral le len Sei ten AB und CD

sowie den Mitten M1 und M2 der beiden anderen Seiten ist parallel zur Grundseite AB.

Lösung: 1. Skizze (Fig.'1)

2. Aussage in ,,Wenn-Dann-Form":Wenn in einem Trapez ABCD die Seiten AB

und CD zueinander para l le l s ind und M1 undM2 die Seitenmitten von AD bzw. BC sind,dann ist M1 lrl2 parallel zur Grundseite AB.

3. Mit ä = Aa' und 6 = ÄD' (Fie.2) gilt:

Voraussetzungen:

ÄMi = n&b' = ;6 (u, ist aie Mitte von AD)

BM; = M;d = ; Be (u, ist die Mitte ,on ec)

Dd = t 'Äs'= t 'ä (es und CD sind porottel)

Behauptung:

M+,1, = r..AE' ( fv t1 l2 und AB s ind poro t le l )

4. M,r\l; = -16 .d .;re1 t - + \

M r M z = - ; b + d + r ( - ä + b + D C /

1 l - ' \

M r M z = - j U + ä + j ( - ä + b + t . ä J

M r M z = ( Z * z t J u

Die Vektoren l,'t1@ und ÄB' sind Vielfachevoneinander; das heißt, die Strecken MJr42

und AB s ind paral le l .

Aufgaben

1 Beweisen Sie mithilfe der vorgegebenenVektoren ä und 6,In einem Viereck, bei dem sich die Diagonalenhalbieren, sind die gegenüberliegenden Seitenparal le l . A

2 Beweisen Sie: Sind Mr, Mz, M3 und M4 die Mittelpunkte der Seiten eines Parallelogramms,

dann ist das Viereck M1M2M3Ma auch ein Parallelogramm.

Fig. 1

Fio

ische Aussagen

I gezeigt wurde.

rnten geomet-

hlen. Wird der

;tgelegt. Nach

s Rechnen mit

/erbindungs-ite.

Fig. 1

Fig.2

:m al le Vektoren der

)n.

ind paral lel.

lX Beweisen in der Geometrie 319

3 Vektorielle Beweise zur Ofthogonalitätnd? r

I Um ein Regal so anzubringen, dass es gut aus-sieht muss man auf einiges achten. Die Kriteriendafür kann man als geometrische Sachverhalteausdrücken.

Bisher wurde Orthogonalität nur bei sich schnei-denden Geraden betrachtet.Darüber hinaus gibt es Strecken, die sich nichtschneiden, und windschiefe Geraden, die als zuei-nander orthogonal bezeichnet werden.In F ig. '1 s ind d ies zum Beispie l d ie Gerade g undh und die Strecken a und b. In diesen Fällen sinddie jeweil igen Richtungsvektoren zueinanderorthogonal.

Definit ion: Zwei Geraden bzw Strecken bezeichnet man als orthogonal, wenn ihre jeweil i-

gen Richtungsvektoren zueinander orthogonal sind.

Zwei Richtungsvektoren ä und b sind genau dann zueinander orthogonal,

wenn g i l t : a ' b = 0 .

Beispiel Beweis der OrthogonalitätBeweisen Sie die Aussage: In einem Quader mit quadratischer Grundfläche sind jeweils sichnicht schneidende Raumdiagonalen und Diagonalen der Grundfläche zueinander orthogonal.

Lösung: 1. Skizze (FiC. 2)2. Aussage in ,,Wenn-Dann-Form":Wenn ABCDEFGH ein Quader mit quadratischerGrundfläche ist, dann sind die Raumdiagonale DF Eund die Flächendiagonale AC zueinander orthogonal.

3 . M i t ä= DÄ, d=Dd und d= DH g i l t :

Voraussetzungen:

a ' b = 0 ,

ä-d = o,o"a = o.r - - r l ; ' lt a t = t o l

Rohar rn t r rnq '

d - L e , a l s o d ' e = 0 .

4 . e = b _ a u n d d = a + b + c .- ä ) = ä ' o - ä 2 + b ' - b ' a ' + i ' u - d ' ä .F ü r d a s S k a l a r p r o d u k t g i l t : d ' e = \ a + b + c / ' \ b

l + l )d.e = 0 - la l ' + lb l - - 0 + 0 - 0 = 0. Somit s ind d ie Diagonalen zueinander or thogonal .

ngig.

L

rnden zwei

l i e n + 1

= , .\D l l nea r

Fig. 1

1,2'

l lquote von

ren. Wie

ahrschein-

und 5.

Quader bedeutet insbesondere o Ib, ci Ic, b Ic

Als Richtungsvektor derStrecke AB bezeichnetman kurz den Richtungs-vektor der Geraden, aufder die Strecke RA tiegt.

Auch Strecken oderGeraden, die sich nichtschneiden, könnenorthogonal sein.

F t g . 2

lX Beweisen in der Geometrie 325