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Anhang 1. Elementare Zahlentheorie

In diesem Abschnitt wollen wir einige Tatsachen der elementa­

ren Zahlentheorie behandeln, die in den vorhergehenden Kapi­

teln oft benutzt werden. Außer den Regeln für Addition, Multi­

plikation und den Umgang mit dem ~-zeichen in der Menge ~ der

ganzen Zahlen werden wir dabei lediglich folgende Tatsachen

verwenden:

1) Unter den Elementen jeder nicht-leeren Menge natürlicher

Zahlen gibt es ein kleinstes.

2) Ist n eine natürliche Zahl, so gibt es nur endlich viele

ganze Zahlen m mit Iml < n.

~ (Division mit Rest). Zu je zwei ganzen Zahlen a und b

mit a * 0 gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit

b = qa + rund 0 < r < lai.

Beweis. Man braucht nur den Fall a > 0 zu behandeln, denn aus a < 0 fOlgt lai = -a > O. Sei also a > 0 und M:= {b-na:nE~}.

M enthält natürliche Zahlen, denn im Falle b > 0 liegt b in M

und im Falle b < 0 gilt b-ba = bel-al ElN. Sei r = b-qa die

kleinste in M enthaltene natürliche Zahl. Dann gilt b-(q+lla < b-qa = r, also b-(q+lla ( IN und daher r < a, so

daß man insgesamt

b = qa + rund 0 ~ r < a

erhält. Gilt außerdem

b = q'a + r' und 0 < r' < a,

so folgt q+l ~ q' aus q < q', also r' = b-q'a ~ b-(q+lla = = b-qa-a = r-a < O. Das ist ein Widerspruch. Da man den Fall

q' < q analog zum Widerspruch führen kann, erhält man q = q'

und daher auch r = r'.

Definition. Seien a und b ganze Zahlen. a heißt ~ von b,

wenn es ein c E ~ mit b = ca gibt. Wir schreiben alb, wenn a Teiler von b ist, sonst afb.

Als unmittelbare Folgerung aus dieser Definition erhält man

die

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Bemerkung 1. Für a ,b,c E 7l: gilt:

1) ala, (-a) la, lla, alO

2) alb und blc .. alc

3) alb und bla .. a = b oder a = -b

4) alb und alc .. al (bx+cy) für alle x,y E 7l:

5) alb und b*O - lai ~ Ibl

Wegen 5) hat jedes Element aus ~'{O} nur endlich viele Teiler.

Definition. Seien a und b ganze Zahlen. Ein Element d E ~

heißt $~t~~ ~emeins~e! ~ von a und b, wenn

1) d gemeinsamer Teiler von a und bist, d.h. wenn dia und

dlb gilt,

2) für jedes t E ~ mit tla und tlb auch tld gilt.

a und b heißen t~~le!~em~, wenn 1 größter gemeinsamer Teiler

von a und bist.

Bemerkung 2. Sind a,b E ~ nicht beide 0 und ist d größter ge­

meinsamer Teiler von a und b, so ist -d nach Teil 3) von Be­

merkung 1 der einzige weitere größte gemeinsame Teiler von a

und b.

Satz 2. Sind a,b E ~ nicht beide 0, so enthält die Menge

M:= {xa+yb: x,y E ~}

positive ganze Zahlen. Die kleinste unter ihnen ist größter

gemeinsamer Teiler von a und b.

Zu jedem größten gemeinsamen Teiler d von a und b gibt es

x,yE~mit d = xa + yb.

a und b sind genau dann teilerfremd, wenn es x,y E ~ gibt mit

1 = xa + yb.

Beweis. Daß die Menge M positive ganze Zahlen enthält, ist

klar. Sei d die kleinste und seien x,y E ~ so gewählt, daß

d = xa + yb gilt. Offensichtlich ist jeder gemeinsame Teiler

von a und b auch Teiler von d. Aus d1a würde mit Satz 1 fol­

gen, daß es q,r E ~ mit a = qd + rund 0 < r < d gibt. Wegen

r = a - qd = a - q(xa+yb) = (l-qx)a + (-qy)b E Mund 0 < r < d

würde man einen Widerspruch erhalten. Die Annahme d1b führt

man analog zum Widerspruch. Also ist d größter gemeinsamer

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Teiler von a und b. Wegen Bemerkung 2 ist damit alles bewiesen.

Korollar 1. Seien a,b E ~ nicht beide o. d E ~ ist genau dann

größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt:

1) dia und dlb.

2) Für jedes t E ~ mit tla und tlb gilt Itl ~ Idl.

Beweis. Ist d größter gemeinsamer Teiler von a und b, so gilt

tld, alsoltl~ Idl, für jedes t E ~ mit tla und tlb.

Sei umgekehrt d E ~ mit den Eigenschaften 1) und 2) gegeben.

Ist do größter gemeinsamer Teiler von a und b, so gibt es

x,y E ~ mit do = xa + yb. Wegen 2) gilt Idol ~ Idl. Anderer­

seits hat man aber auch Idl ~ Idol, denn aus dia und dlb folgt

dldo • Es gilt also d E {do,-do}' so daß d größter gemeinsamer

Teiler von a und bist.

Dieses Korollar zeigt, daß der positive größte gemeinsame Tei­

ler zweier ganzer Zahlen a und b, die nicht beide 0 sind, der

größte unter allen positiven gemeinsamen Teilern von a und b ist. Man hätte natürlich auch die im Korollar angegebenen Ei­

genschaften zur Definition des Begriffes "größter gemeinsamer

Teiler" verwenden können. Die hier gewählte Definition hat je­

doch den Vorteil, daß sie sich auf beliebige Ringe übertragen

läßt.

Korollar 2. Sind a,b,c E ~ und sind a und b teilerfremd, so

gilt:

1) albc • alc.

2) alc und blc • ablc.

Beweis. 1) Da a und b teilerfremd sind, gibt es x,y E ~ mit

1 = xa + yb, so daß man c = (cx)a + y(bc) erhält. Wegen ala

folgt aus albc daher alc.

2) Wegen alc gibt es ein d E ~ mit c ad. Da a und b teiler­

fremd sind, folgt bld aus blc.

Sind a,b,m E~, so nennen wir a k9nsr~ent ~ b ~ mund schreiben a • b mod m, wenn m ein Teiler von a-b ist. Man über­legt sich sofort, daß dadurch eine Äquivalenzrelation auf ~ er­

klärt ist und daß für a,b,c,d,m E ~ gilt: a • b mod mund c • d mod m • a t c • b ± d mod m.

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Satz 3. Sind m,n € ~ teilerfremd, so gibt es zu beliebig vor­

gegebenen a,b € 12: stets ein x € 12: mit

x • a mod m und x • b mod n

und für ein y € 12: gilt genau dann y • a mod mund y • b mod n,

wenn x • y mod(mn) ist.

Beweis. Da m,n teilerfremd sind, gibt es k, R. € 12: mit 1 = km+R.n.

Setzt man x:= aR.n+bkm, so erhält man x-a = a(R.n-l)+bkm

= -akm+bkm, also x • a mod m und analog x • b mod n.

Aus y • x mod(mn) folgt y • x mod mund y • x mod n und daher

y • a mod mund y • b mod n. Umgekehrt liefern die Kongruenzen

x • a mod m, y • a mod m

x • b mod n, y • b mod n

zunächst x-y • 0 mod mund x-y • 0 mod n, also ml (x-y) und

nl (x-y), so daß man mnl (x-y) und somit x • y mod(mn) erhält.

Definition. Eine natürliche Zahl p heißt p~~mz~hl, wenn gilt:

1) p > 1.

2) 1 und p sind die einzigen positiven Teiler von p.

Bemerkung 3. Ist p eine Primzahl und sind a,b €~, so folgt

pla oder plb aus plab.

Beweis. Gilt pfa, so sind p und a teilerfremd und mit Korollar

2 erhält man plb.

Bemerkung 4. Jede natürliche Zahl n > 1 besitzt eine Primzahl

als Teiler.

Beweis. Wegen nln ist die Menge aller Teiler t von n mit t > 1

nicht leer. Ihr kleinstes Element p ist eine Primzahl, denn

jeder positive Teiler q von p ist auch ein positiver Teiler

von n, so daß q = 1 oder q = p folgt.

Bemerkung 5. Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis (nach EUKLID). Gäbe es nur endlich viele Primzahlen

Pl, ••• ,Pn' so hätte die natürliche Zahl Pl· •••• Pn+l keine Prim­zahl als Teiler, was Bemerkung 4 widerspricht.

Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie.

Zu jeder natürlichen Zahl n > 1 gibt es paarweise verschiedene

Primzahlen Pl, ..• ,Pr und positive ganze Zahlen R.1, ••• ,R. r mit

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l1 lr n = P1 ·.·.·Pr •

Die Zahlen P1""'Pr und t 1 , ••• ,t r sind eindeutig bestimmt.

Beweis. 1) Die Existenz einer solchen Primfaktorzerlegung wird

durch vollständige Induktion bewiesen: Da 2 eine Primzahl ist,

ist der Induktionsanfang gesichert. Sei daher n > 2 und die

Behauptung richtig für alle natürlichen Zahlen m mit 1< m< n.

Ist n eine Primzahl, so hat man eine Zerlegung von n in Prim­

faktoren. Ist n keine Primzahl, so gibt es k,m €lN mit

1 < k,m < n und n = km. Nach Induktionsannahme sind kund m

und daher auch n in Primfaktoren zerlegbar.

2) Nimmt man an, daß es eine natürliche Zahl n > 1 mit zwei

verschiedenen Primfaktorzerlegungen gibt, so gibt es Primzah­

len P1""'Pr und q1, ••• ,qs mit

P1·····Pr = ql····· qs und {P1 , •• ·,Pr } n {ql,.~.,qs} = !1l.

Das ist aber nicht möglich, denn es gilt P1 'q1 •••• •qs und da­her PI = qi für ein i € {l, ••• ,s} nach Bemerkung 3.

Da aus dem Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie viele

der von uns ohne ihn hergeleiteten Eigenschaften folgen, stellt man ihn manchmal an die Spitze. Dann muß man seine Eindeutig­

keitsaussage natürlich ad hoc beweisen. Dies kann man nach ZERMELO wie folgt tun:

Nimmt man an, daß es natürliche Zahlen >1 mit verschiedenen

Primfaktorzerlegungen gibt, so gibt es eine kleinste derartige

Zahl, sagen wir n. Seien

zwei verschiedene Zerlegungen von n in Primfaktoren. Dann sind

die Mengen {P1 , ••• ,Pr} und {Ql, .•. ,qs} disjunkt, denn wäre et­

wa Pi ein gemeinsames Element, so hätte auch

Pl ••••• Pi-1·Pi+1 ••••• Pr < n zwei verschiedene Zerlegungen. Wir können daher ohne Einschränkung PI < ql annehmen. Setzt man

(*) m:= (ql-Pl) 'q2'" ··qs = PI (P2···· 'Pr - q 2" ···qs)'

so gilt offensichtlich m<n, so daß m eindeutig in Primfaktoren

zerlegbar ist. Wegen P1{(ql-Pl) und PI ~ {Q2, ••• ,qs} wider­

spricht dies (*).

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Anhang 2. Existenz transzendenter Zahlen

Wie man mit Hilfe der Cantorschen Verfahren zeigt, sind die

reellen Zahlen überabzählbar, die über ~ algebraischen reellen

Zahlen dagegen abzählbar. Daraus folgt die Existenz von reel­

len Zahlen, die über ~ transzendent sind. Beispiele für Dezi­

malbruchentwicklungen transzendenter Zahlen kann man auf diese

Weise jedoch nicht erhalten. Wir wollen deshalb eine - schon

1844, ein Jahr vor CANTORs Geburt, gefundene - Methode von

J. LIOUVILLE angeben, die es gestattet, auf einfache Weise

transzendente Zahlen zu konstruieren. Ausgangspunkt ist die

Beobachtung, daß sich nicht-rationale algebraische Zahlen

"schlecht" durch rationale Zahlen approximieren lassen (vgl.

etwa TH. SCHNEIDER (31).

Approximationssatz von Liouville. Zu jeder irrationalen reel­

len Zahl a, die über 0 algebraisch ist, gibt es eine reelle

Zahl c > 0 mit folgender Eigenschaft: Ist n der Grad des Mini­

malpolynoms von a über 0 und sind p,q € ~,q > 0, so ist

Beweis. Für das n = deg(f) > 2.

c n q

Minimalpolynom f von a über ~ gilt Sei bn € ~,{O} so gewählt, daß g:= bnf

gilt. Sind a = a 1 ,a2 , ••• ,an € ( die Nullstellen von f,

g(X) n bnX + .•. +b1X+bo also

€ ~[X)

so ist

g(.I2.) bn(.I2.q)n+ .•• +b1~q bo = b (.I2.-a ) (.I2.-a ) ••••• (.I2.-a ). q nq q 2 q n

Da 9 in O[X) irreduzibel ist, gilt g(~) * O. Daher ist

b:= qng(~) € ~,{O} und es folgt

(*)

Ist c' ~, so gilt für alle p,q € Z mit q > 0 und la - ~I ~ ~ auch la - .12.1 >

q

betrachten,

~. Wir brauchen daher nur mehr solche p,q zu qn

für die la - .12.1 < ! ist. Zunächst wählen wir N € m q q

so, daß für q ~ N und i € {2, ..• ,n}

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~ < la - ail und somit la - ~I < la - ail

für die betrachteten p,q gilt. Dann ist

I~ - ail ~ I~ - al + la - ail < 21a - ail.

Aus (*) folgt

E. n-1 1 Ibn{q - a)I·2 la - a21· ••• ·la - an l > n also q

IE. - al > c" q qyr

n-1 -1 für c":= (2 Ibnlla-a21 •••• ·la-anl) und q ~ N. Da es nur

endlich viele q E lN mit q < N gibt und zu jedem solchen q nur

endlich viele p E 1]; mit I a-~ I <~, kann man c wie behauptet

wählen.

Eine irrationale Zahl a E m nennt man L~O~vill~sshe ~, wenn

es kein (c,n) E:IR x:IN mit c > 0 und n ~ 2 gibt, so daß

c > - n

q

für alle p,q E ~ mit q > 0 gilt. Nach dem Approximationssatz

ist jede Liouvillesche Zahl transzendent.

Beispiel.

a:= t 10- (\I !) = 0 , 11 000 100000000000000000 1 000 ••• \1=1

ist eine Liouvillesche und damit eine transzendente Zahl.

Beweis. Wir zeigen, daß die Dezimalbruchentwicklung "zu

schnell" konvergiert. Sei dazu

~ 10-{\I!) am:= L-\1=1

mit Pm ElN. Angenommen, a wäre keine Liouvillesche Zahl. Wegen

la I 2 - am < 10(m+l)! würde

_c_ < 2 10m1n 10 (m+l) !

für alle m bei festem c und n mit c > 0 gelten, was offenbar

nicht sein kann. Inzwischen ist gezeigt worden, daß der Exponent n von q im

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Approximationssatz von Liouville verkleinert werden kann.

K.F. ROTH [28] zeigte 1955 daß man n durch jedes reelle ~ > 2

ersetzen kann.

Damit kann man die Transzendenz von vielen weiteren Zahlen

nachweisen, etwa von dem kuriosen Dezimalbruch

0,12345678910111213 ••• ,

der keine Liouvillesche Zahl ist (siehe [31]).

Weit wichtiger als die Konstruktion seltsamer transzendenter

Zahlen ist der Nachweis der Transzendenz in der Natur vorkom­

mender Zahlen, etwa der E~}~rschen ~ e und der Lu~~~hs~he~

~ w. Dabei ist e definiert durch

'" e:= L: nIl = 2,718 281 828 459 •••

n=o w und 2 ist erklärt als die kleinste positive Nullstelle des Co-

sinus, also w = 3,141 592 653 •••

wie man in der Analysis zeigt.

Im Jahre 1873 bewies C. HERMITE [19], daß e transzendent ist,

und mit den Methoden von HERMITE gelang F. LINDEMANN [23] 1882

der Nachweis der Transzendenz von w. Da e und w im Rahmen der

Analysis erklärt werden, ist es klar, daß die Transzendenzbe­

weise auch analytische Hilfsmittel benutzen. Obwohl es inzwi­

schen sehr elementare Beweise der Transzendenz von e und w gibt, würde es etwas über den Rahmen dieser Einführung in die Alge­

bra hinausgehen, sie hier zu reproduzieren. Wir verweisen da­

für zum Beispiel auf das Buch von SCHNEIDER [31]. Um das Inter­

esse des Lesers daran zu wecken, zeigen wir zumindest die Ir­

rationalität von e und w. Das ist viel einfacher und für den

praktischen Umgang mit e und n schon schlimm genug.

Bemerkung. Die Eulersche Zahl e ist irrational.

Der Beweis ist fast trivial. Für N E ~ gibt es nach der La­

grangesehen Form des Restgliedes der Taylorreihe ein 0 < 0 < 1

so daß

e 1 1 e 0 1 + 1 +TI+ ••• +NT+1N+TiT

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Nimmt man e = ~ mit p,q E lN an und wählt N > q, so ist NIe S S

und daher auch e e eine ganze Zahl. Andererseits NI (N+l)! = N+l ist aber eS < e, also 0 <

eS < 1. < 1, falls N > 3 ist. N+I 4

Schwieriger ist der zuerst 1761 von J.H. Lk~ERT bewiesene

~ Die Ludolphsche Zahl ~ ist irrational.

Beweis (siehe NIVEN [24). Wir nehmen an es wäre ~ = E mit q

p,q E lN und definieren für n E lN 1 n n ~

fn(x):= nr x (p-qx) und I := Sf (x).sin x dx. non

Es genügt, folgende beiden Aussagen zu beweisen:

1) Es gibt ein N ElN so daß 0 < In < 1 für n ~ N.

2) In E2Z für jedes nEIN.

Zum Nachweis von 1) überlegt man sich zunächst, daß f n im In­

tervall [O,~) an der Stelle ~ = ! ein Maximum hat. Daher folgt

T'> ". ~ n o < In ~ 11'.fn(~) = nr(4q) ,

was sofort 1) ergibt. Zum Beweis von 2) definieren wir

F = f - f (2) + f (4) _ + (-1) nf (2n) n n n n ••• n'

wobei wir mit f(V) die v-te Ableitung von f bezeichnen. Da f n n n ein Polynom vom Grad 2n in x ist, erhält man

d~(F~,sin x - Fn'coS x) = F~.sin x + Fn,sin x fn,sin x,

also ~

In = ~fn (x). sin x dx = [F~ (x) • sin x-F n (x) cos x]~ = F n (".) +F n (0) •

Es genügt also zu zeigen, daß f~V) (0) und f~V) (".) für 0~v~2n ganzzahlig sind. Ist gn(x):= fn(~X), so ist gn = f n , wie man

durch Einsetzen unmittelbar sieht. Da

f (v) (~) = g (v) (~) = (-1) Vf (v) (0) n n n

genügt es, f(V) (0) E 2Z zu zeigen. Für v < n iS~ sogar f(V) (0) = 0, denn f hat im Nullpunkt eine

n n Nullstelle n-ter Ordnung. Da n!fn ganzzahlige Koeffizienten hat, ist f(v) für v > n ein Polynom mit ganzzahligen Koeffi-

n -zienten, insbesondere ist f~V) (0) ganz.

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Anhang 3. Polynomringe in beliebig vielen Unbestimmten

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und I eine belie­

bige Menge, so kann man zu jedem i E I eine "Unbestimmte" Xi

bilden und für jede endliche Teilmenge {il, ••• ,in}cI den for­

malen Ausdruck

f =

betrachten, wobei die Koeffizienten a in R liegen und vI"" ,vn

fast alle gleich 0 sein sollen. Jeden dieser formalen Ausdrük-

ke kann man ein "Polynom" in I nennen. Ist g ein weiteres Poly­

nom, in dem nur die Unbestimmten X. , .•• ,XJ. vorkommen, so J l m

kann man wie üblich Polynome f+g und f·g bilden, in denen nur

die Unbestimmten Xi ""'Xi ,X. , ••• ,X. vorkommen. Zusammen 1 n Jl Jm

mit den dadurch erklärten Verknüpfungen ist die Menge aller

derartigen Polynome in endlich vielen Unbestimmten ein kommu­

tativer Ring mit Einselement, den man den Polynomring in I

über R nennt und mit R[I] oder R[(Xi)iEI] bezeichnet. Will man diesen Ring präzise erklären und als Lösung eines universellen

Problems erhalten, so ist etwas Aufwand nötig.

Zunächst wollen wir für den ganzen Abschnitt voraussetzen, daß

alle auftretenden Ringe kommutativ sind, daß sie ein Einsele­

ment besitzen und daß alle auftretenden Ringhomomorphismen die

Einselemente ineinander überführen. Ferner sollen alle auftre­

tenden Halbgruppen neutrale Elemente besitzen, die von den

Halbgruppenhomomorphismen respektiert werden.

Definition. Sei R ein Ring und I eine Menge. Ein Tripel

(R[I],l,K), bestehend aus einem Ring R[I], einem Homomorphismus

1: R ~ R[I] und einer Abbildung K: I ~ R[I] heißt P~l~~omri~

~ I ~ R, wenn folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Zu jedem Ring S zusammen mit einem Homomorphismus ~: R ~ Sund

einer Abbildung A: I ~ S gibt es genau einen Homomorphismus

~: R[I] ~ 5, so daß das Diagramm

- 222 -

kommutiert. Man nennt ~ auch Su~stlt~t~onsho~o~or~i~~us.

Wie üblich beweist man, daß ein solcher Polynomring bis auf

Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Zum Nachweis der Existenz

konstruieren wir zunächst eine von der Menge I erzeugte frei­

~p~ls~h~ ~~lb~r~e.

Ist I eine Menge, so erklären wir auf

IN(I):= {a: I -->~: a(i) = 0 für fast alle i E I}

durch

(a· ß) (i):= a (i) + ß (i)

eine (multiplikativ geschriebene) Verknüpfung •• Wie man sofort

sieht, wirdIN(I) dadurch zu einer abelschen Halbgruppe mit der

Nullabblldung e als neutralem Element. Man nennt IN (I) die x.sm I er.:.~~~t~ ~-~J?el.~c~e HalbJl.ruw.

Für i E I und n € :Il sei X~ E :Il(I> erklärt durch

In für j = i X~(j) :=

o sonst.

Offensichtlich ist X~ = e für alle i E I; wir setzen zur Ab­

kürzung xi =:xi • Die Abbildung X: I ~lN(I), i ~ Xi' ist injek­

tiv, denn aus Xi = Xj folgt 1 = Xi(i) = Xj(i), also i = j. Wir

wollen nun eine universelle Eigenschaft nachweisen.

Satz 1. Zu jeder abelschen Halbgruppe (H,·) und jeder Abbil­

dung A: I ~ H gibt es genau einen Halbgruppenhomomorphismus

A: IN (I) .. H so daß das Diagramm

IN{I) - ~ - > H

~/x I

kommutiert.

- 223 -

Beweis. Jedes a ElN(I) gestattet die Darstellung a = TIx<Xi(i), iEl

wie man durch Einsetzen von j E I sofort sieht. Hat A die ge-

wünschte Eigenschaft, so gilt für jedes a EIN(I)

(*) A(a) = A(TIxa(i» = n)'(i)a(i). iEl i iEl

Es gibt also höchstens ein solches A. Zum Nachweis der Exi­

stenz verwenden wir Gleichung (*) als Definition und es bleibt

zu zeigen, daß A ein Homomorphismus ist. Dies folgt aus

A(a.ß) = n)'(i) (a·ß) (i)= n)'(i)<X(i)+ß(i) = A(a) ·A(ß) iEI iE~

für a,ß E lN(I>.

Wir nennen die Elemente von IN (I) ~mi~iv~ ~. Um daraus

Polynome zu machen, muß man grob gesprochen endliche Linear­

kombinationen mit Koeffizienten in R bilden. Wir konstruieren

dazu den sogenannten H~lb~ru~enr~~~. Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und (H,.) eine abelsche Halb­

gruppe mit neutralem Element e. Auf der Menge

R[H]:= {f: H --> R: f(a) = 0 für fast alle a E H}

sind durch

(f+g) (a):= f(a) + g(a) und (f.g) (a):= L fex) .g(y) x,yEH x·y=a

Verknüpfungen erklärt, die R[H] zu einem kommutativen Ring mit

dem Einselement für a = e

H --> R, a 1--> sonst

machen. Wir erklären nun Abbildungen

I: für a = e , : R --> R[H], a 1--> 'a' durch la(a) sonst

und

I : für a ß ö: H --> R[H], a 1--> 0a' durch 0a(ß) =

sonst.

Wie man sich leicht überlegt, ist, ein injektiver Ringhomomor­

phismus und ° ein injektiver Homomorphismus von H in die Halb­gruppe (R[H],·).

- 224 -

Wir weisen nun folgende universelle Eigenschaft nach:

Satz 2. Zu jedem Ringhomomorphismus ~: R ~ S und jedem Halb­

gruppenhomomorphismus A: H ~ (5,.) gibt es genau einen Ring­

homomorphismus ~: R[H] ~ 5, so daß das Diagramm

R

y~~ R[H] - - - > S

öf /. H

kommutiert.

Man nennt R[H] den ~ H ~ R er~eu~te!l H!-}!>~~.P.2enri,!l.2.

Beweis. Wenn man Rund H mittels 1 und ö als Teilmengen von

R[H] betrachtet, so gilt für jedes f E R[H]

f = Lf(a) ·a. aEH

Definieren wir nämlich g durch die rechte Seite der Gleichung, so fOlgt

gIß) L(f(a).a)(ß) aEH

f (ß) •

L L f(a) (x) ·a(y) a€H x·y=ß

Hat ~ die verlangten Eigenschaften, so gilt

Lf(a) ·a(ß) aEH

(*) ~(f) = L~(f(a)).~(a) = L~(f(a)).A(a) aEH aEH

für jedes f E R[H]. Es gibt also höchstens ein solches ~.

Definiert man umgekehrt ~ durch Gleichung (*), so rechnet man

leicht nach, daß es die verlangten Eigenschaften hat.

Zusammenfassend erhalten wir das folgende Ergebnis.

Satz 3. Ist R ein Ring und I eine Menge, so ist R[IN(I)] zu­

sammen mit den kanonischen Inklusionen R ~ R[IN(I)] und

I ~ JN(I) ~ R[ JN(I)] ein Polynomring in I über R.

Zur Abkürzung schreiben wir wie üblich R[I) anstatt R[lN(I»).

Beweis. Die universelle Eigenschaft liest man mit Hilfe der

Sätze 1 und 2 sofort an folgendem Diagramm ab.

- 225 -

R

/,\ R[ :IN(1)] _ _ lb_ > S

öl IA :IN(1) <-X- I

Um die übliche Darstellung für die Elemente von R[1] zu gewin­

nen, benutzen wir die Beziehung

f = L f(a).a. aE IN(1)

Die Elemente f(a) E R heißen die K~~!i~i~nten von f, nur end­lich viele davon sind von 0 verschieden. Die entsprechenden

primitiven Monome a enthalten insgesamt auch

der U~~~~ttmmten Xi' etwa Xi ""'Xi ' wobei 1 n

mit erhalten wir eine Darstellung

L n ("I""'''n)EIN

f =

nur endlich viele

{i1 , ••• ,in}c1. Da-

wobei nur endlich viele der Koeffizienten a E R von "1""'''n

Null verschieden sind.

Damit sieht man leicht, daß der in 11,2.1.4 rekursiv erklärte Polynomring R[X 1 , .•• ,Xn ] mit dem Polynomring in I = {1, ••• ,n}

entsprechend obiger Konstruktion übereinstimmt.

- 226 -

Anhang 4. Transzendenzbasen

Nachdem in Kapitel III vorwiegend algebraische Körpererweite­

rungen untersucht wurden, sollen in diesem Abschnitt noch

einige grundlegende Aussagen über die Struktur nicht-algebra­

ischer Körpererweiterungen hergeleitet werden. Sie gehen auf

E. STEINITZ zurück ([32]).

Definition. Sei K~k eine Körpererweiterung.

Endlich viele Elemente al, ••• ,an € K heißen al~eq~a~sch ~

~~~~i~ ~ k, wenn es kein Polynom f € k[Xl, ••• ,Xn ] gibt mit

f * 0 und f(al, ••• ,an) = O.

Offenbar ist dies gleichbedeutend damit, daß der Substitutions­

homomorphismus

injektiv ist.

Eine Teilmenge BcK heißt al~~q~~~s;~ ~n~b~än~~ ~ k, wenn je endlich viele paarweise verschiedene Elemente von B alge­

braisch unabhängig über k sind. Elemente bzw. Teilmengen von K, die nicht algebraisch unabhän­

gig über k sind, nennt man al~~!~l~~~ abh~~2l~ ~ k. Die maximalen algebraisch unabhängigen Teilmengen von K nennt

man Transzendenzbasen von K~k. Eine Teilmenge BcK ist also

genau dann eine T!an~ze~den}b!!l~ von K~k, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) B ist algebraisch unabhängig über k.

2) Es gibt keine über k algebraisch unabhängige Teilmenge AcK

mit B~.

Offenbar sind über k algebraisch unabhängige Elemente von K

linear unabhängig im k-Vektorraum K, aber nicht umgekehrt.

Wir zeigen nun, daß man jede algebraisch unabhängige Menge zu

einer Transzendenzbasis ergänzen kann.

Satz 1. Sei K~k eine Körpererweiterung und AcK eine über k al­

gebraisch unabhängige Teilmenge. Dann gibt es eine Transzen­

denzbasis B von K~k mit AcB.

Beweis. Wir betrachten die Menge aller über k algebraisch

- 227 -

unabhängigen Teilmengen ecK mit AcC zusammen mit der Halbord­

nung durch die Inklusion. Ist darin eine Kette gegeben, so ist

die Vereinigung all der darin enthaltenen Mengen wieder alge­

braisch unabhängig über k, also eine obere Schranke. Wir kön­

nen daher das Zornsche Lemma anwenden und erhalten ein maxi­

males über k algebraisch unabhängiges BcK mit AcB.

Setzt man in diesem Satz A = ~, so erkennt man unmittelbar,

daß jede Körpererweiterung eine Transzendenzbasis besitzt.

Wir wollen diesen Sachverhalt benutzen, um Körpererweiterungen

"aufzuspalten" (Satz 2). Zunächst eine technische Vorbereitung.

~ Sei K~k eine Körpererweiterung, AcK algebraisch unab­

hängig über kund a E K'k(A). Dann sind folgende Bedingungen

äquivalent:

1) a ist transzendent über k(A).

2) AU{a} ist algebraisch unabhängig über k.

Beweis. 1) ~ 2) Angenommen, AU{a} ist algebraisch abhängig

über k. Dann gibt es paarweise verschiedene al, ••• ,an E A und

ein Polynom f E k[X,Xl, .•• ,xn ] mit f * 0 und

f(a,a1, .•• ,an, = o.

Wir schreiben f in der Form

f = f o + fIX + ••• + fmXm,

wobei fo, ••• ,fm E k[Xl, ••• ,xn ] und fm * 0 gilt. Dabei ist m~l, denn sonst wären al, ••• ,an algebraisch abhängig über k. Ist

so ist g

2) ~ 1).

mit f n *

* 0 Sei

m i g:= ,L:fi(a1, ... ,an)x E k(A)[X],

~=o

und g (a) = 0, also a algebraisch über

a algebraisch über k(A). Dann gibt es

f = f o + fIX + ••• + fnX n E k(A)[X]

o und f (a) = O. Man überlegt sich sofort,

k(A) •

ein

daß es

paarweise verschiedene al, .•. ,am E A gibt mit fo, ••. ,fn E

E k(al, ••• ,am). Nach III,1.3.2 gibt es weiter zu jedem

i E {O, •.. ,n} Polynome gi,hi E k[X1, .•• ,Xm] mit hi * 0 und

- 228 -

gi (al"" ,am) f = i hi(al, ••• ,am)

Nun genügt es, grob gesprochen, die Nenner in der Gleichung

f(a) = 0 zu beseitigen. Wir betrachten also das Polynom

F(X'Xl""'~):= gohl ••• hn +gl hoh2 ••• hnX+ ••• +gnho ••• hn_lxn

aus k[X,Xl, ••• ,Xm). Es gilt F * 0 und F(a,al, ••• ,am) = 0, so

daß AU{a} algebraisch über k ist.

Hieraus ergibt sich eine wichtige Charakterisierung von Trans­

zendenzbasen.

Korollar. Sei K~k eine Körpererweiterung und BcK algebraisch

unabhängig über k. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1) B ist eine Transzendenzbasis von K~k.

2) K~k(B) ist algebraisch.

Beweis. 1) • 2) fOlgt unmittelbar aus dem Lemma. Da Bu{a} für

jedes a E kIB) algebraisch abhängig über k ist, folgt auch

2) • 1) aus dem Lemma.

Definition. Eine Körpererweiterung K~k heißt ~ ~~ansz~~~e~~, wenn es eine über k algebraisch unabhängige Menge AcK gibt mit

k(A) = K.

Dies ist äquivalent dazu, daß K isomorph ist zum Quotienten­

körper des Polynomrings in A über k, d.h. zu einem Körper

rationaler Funktionen.

Diese Definition ist gerechtfertigt durch die

Bemerkung. Ist K~k eine rein transzendente Körpererweiterung,

so ist jedes x E K'k transzendent über k.

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine über k algebraisch un­

abhängige Teilmenge A von K mit k(A) = K. Zu jedem x E K,k

gibt es daher ein m E ~,{O} und paarweise verschiedene Elemen­

te al, ••• ,am E A mit x E k(al, ••• ,am). Somit genügt es, zu be­

weisen: Ist m € ~,{O} und sind al, ••• ,am E K algebraisch un­

abhängig über k, so ist jedes Element von k (al' ••• ,am) 'k

transzendent über k. Wir führen den Beweis durch Induktion

über m.

- 229 -

Ist a l transzendent über k und x E k(al)'k, so gibt es teiler-. g(a l )

fremde g,h E k[X] m~t x = h(al )' Wäre x algebraisch über k, so

könnte man das Minimalpolynom f = co+clx+ ••• +cnxn , cn * 0, von

x über k betrachten. Einsetzen von x und Multiplikation mit

h(al)n liefert n "c ihn-i 0 i~o i g ,

denn das Polynom, das links vom Gleichheitszeichen steht, hat

a l zur Nullstelle. Da die Polynome g,h teilerfremd sind, müßten

sie also konstant sein, und man würde den Widerspruch x E k er­

halten. Damit ist die Behauptung im Falle m = 1 bewiesen.

Sei also m > 1 und die betrachtete Aussage für m-l richtig.

Ferner seien al, .•. ,am E K algebraisch unabhängig über kund

x E k(al, .•. ,am). Ist x algebraisch über k, so auch über

L:= k(al, ••• ,am_l ). Da am transzendent über L ist, folgt mit

dem bereits bewiesenen Teil x E L, und die Induktionsannahme

liefert unmittelbar x E k.

Satz 2. Zu jeder Körpererweiterung K~k gibt es einen Zwischen­

körper L mit folgenden Eigenschaften:

1) L~k ist rein transzendent. 2) K~L ist algebraisch.

Beweis. Nach Satz 1 gibt es eine Transzendenzbasis B von K~k.

Der Zwischenkörper L:= k(B) hat die verlangten Eigenschaften

wie man mit Hilfe des Korollars unmittelbar sieht.

Der Zwischenkörper L ist keineswegs eindeutig bestimmt. Ist

etwa K = k(X) der Körper der rationalen Funktionen über k in

der Unbestimmten X, so ist nach obiger Bemerkung jedes f E K'k

transzendent über k, die Körpererweiterung k(f)~k also rein

transzendent. Da {X} nach dem Korollar eine Transzendenzbasis

von k(X)~k ist, zeigt der folgende Austauschsatz von STEINITZ,

daß für jedes g E K'k(f) die Menge {f,g} algebraisch abhängig

über k ist. Aus dem Lemma folgt daher, daß k(X)~k(f) algebra­isch ist.

Austauschsatz. Sei K~k eine Körpererweiterung, die eine endli­

che Transzendenzbasis besitzt. Dann enthalten je zwei Trans-

- 230 -

zendenzbasen von K~k gleich viele Elemente.

Beweis. Sei {al, ••• ,an } eine endliche und B eine beliebige

Transzendenzbasis von K~k, wobei al, ••• ,an paarweise verschie­

den seien. Es genügt offenbar zu zeigen, daß B nicht mehr als

n Elemente enthalten kann. Wir überlegen uns dazu, daß man

andernfalls die Elemente al, ••• ,an der Reihe nach gegen Ele­

mente von B austauschen kann.

Zunächst stellen wir fest, daß nicht jedes Element von B alge­

braisch über L:= k(a 2 , ••• ,an) sein kann. Wäre dies nämlich der

Fall, so wäre nach 111,1.6.2 die Körpererweiterung L(B)~L al­

gebraisch, denn zu jedem x E L(B) gibt es cl, ••• ,cm E B mit

x E L(CI, ••• ,cm). Da nach dem Korollar auch K~L(B) algebraisch

ist, wäre K~(a2, ••• ,an) algebraisch. Weil nach Voraussetzung

{al ,a2 , ••• ,an} eine Transzendenzbasis von K~k ist, hätte man

einen Widerspruch.

Es gibt also ein über k(a2 , ••• ,an) transzendentes blE B. Wir

wollen zeigen, daß {bl ,a2 , ••• ,an} eine Transzendenzbasis von K~k ist. Nach dem Lemma ist {bl ,a2 , ••• ,an } jedenfalls algebra­

isch unabhängig über k. Da a l algebraisch über k(bl ,a2 , ••• ,an)

ist (sonst ist {bl ,al ,a2 , ••• ,an} nach dem Lemma eine Transzen­

denzbasis von K~k) und K~k(al, ••• ,an) algebraisch ist, ist

auch K~k(bl,a2, ••• ,an) algebraisch. Das war aber gerade noch zu zeigen. Mit der neuen Transzendenzbasis {bl ,a2 , ••• ,an} kann man das

Verfahren wiederholen und eine Transzendenzbasis

{bl,b2,a3, ••• ,anl von K~k mit einem b2 EBerhalten.

Enthielte B mehr als n Elemente, so könnte man auf diese Weise

jedes a i gegen ein Element von B austauschen und würde eine

Transzendenzbasis {bl, ••• ,bn} von K~k mit {bl, ••• ,bnl i B be­kommen.

Damit ist der Austauschsatz bewiesen, und folgende Festlegung

ist sinnvoll.

Definition. Ist K~k eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis B, so nennen wir die Anzahl der Elemente von

B den T~ansz~nd~nz~ad von K~k. Er wird mit trdegk(K) bezeich­net. Besitzt die Körpererweiterung K~k keine endliche Trans-

- 231 -

zendenzbasis, so setzen wir trdegk(K):= ~.

Mit Hilfe mengentheoretischer Argumente kann man aus dem Aus­

tauschsatz folgern, daß es zu beliebigen Transzendenzbasen A

und B einer Körpererweiterung eine bijektive Abbildung A ~ B

gibt.

Wir überlassen es dem Leser zur Ubung, daraus die Existenz ei­

nes Automorphismus ~: ~ ~ ~ mit ~(e) = ~ abzuleiten (man be­

nutze auch 111,2.1.9). Ob e und ~ über ~ algebraisch unabhän­

gig sind, ist nicht bekannt.

Wir leiten noch ein Analogon zum Gradsatz 111,1.2.4 her.

Satz 3. Sind KjL und Ljk Körpererweiterungen mit trdegL(K) < ~

und trdegk(L) <~, so ist

trdegk (K)

Beweis. Ist {al, ••• ,am} Transzendenzbasis von Ljk und

{bl, ••• ,bn } Transzendenzbasis von KjL, so zeigen wir, daß

{al, ••• ,am,bl, ••• ,bn } Transzendenzbasis von Kjk ist.

Wir beweisen zunächst, daß al, ••• ,am,bl, ••• ,bn algebraisch un­

abhängig über k sind. Ist f € k[Xl, ..• ,Xm,Yl, ••• ,YnJ ein Poly­

nom mit f(al, ••• ,am,bl, ••. ,bn) = 0, und schreibt man f in der Form ~ i l in

f = ~gi i Yl •.• Y mit 1'···' n n

so ist (bl, ••• ,bn) Nullstelle des Polynoms

f(al, ••• ,am,Yl, ••• ,Yn) € L[Yl, ••• ,YnJ. Dieses ist also gleich dem Nullpolynom, denn bl, ••• ,bn sind algebraisch unabhängig

über L. Da al, ••• ,am algebraisch unabhängig über k sind, folgt

gi . = 0 für jedes (il, ••• ,in) und damit f O. l' ... , l.n

Wegen des Korollars hat man sich nur noch zu überlegen, daß

die Körpererweiterung K j k(al, ••• ,~,bl, ••• ,bn) algebraisch ist. Dies ist jedoch klar, denn die Körpererweiterungen

~L(bl, ••. ,bn) und Ljk(al, ••• ,am) sind algebraisch.

- 232 -

Anhang 5. Die Galois-Gruppe eines Polynoms vom Grad 3

Sei k ein Körper. Für ein Polynom f € k[X] vom Grad n mit den

Nullstellen xI"",xn in seinem Zerf~llungskörper nennt man

d:= n(Xi-Xj ) 2 i<J

die pj~fr~~~~ von f. Ihr Verschwinden zeigt an, daß mehr­fache Nullstellen vorliegen. Ist kein Teilkörper von ~ und

n = 3, so sind genau dann alle Nullstellen von f in ~ reell,

wenn d eine nicht-negative reelle Zahl ist. Unter gewissen Zu­

satzvoraussetzungen kann man schließlich die Galois-Gruppe ei­

nes Polynoms vom Grad 3 an seiner Diskriminante ablesen, wie

wir sehen werden. Entscheidend ist nun, daß man d auch dann be­

rechnen kann, wenn man die Nullstellen von f nicht kennt. Da die Diskriminante von f eine symmetrische Funktion in den Null­

stellen Xi ist, kann man sie nämlich nach 111,4.6.3 durch die

elementarsymmetrischen Funktionen (und das sind die Koeffizien­ten von f) ausdrücken. Im allgemeinen ist der Rechenaufwand er­heblich. Wir behandeln deshalb hier nur den für unsere Zwecke ausreichenden Spezialfall, daß f die Form

f = x3 + qX + r

hat. Wegen f = (X-xl) (X-x2) (X-x3) gilt xI +x2+x3=O,

xlx2+xlx3+x2x3=q und xl x2x3=-r. BerÜCkSichtigt man noch

xi=-qxi-r für jedes i und (Xi-Xj)2=(Xi+Xj)2_4XiXj für alle i,j,

so erh~lt man 2 2 2 2 2 2 (x l -x2) (xl -x3) (x2-x3) = (x3-4xl x2) (x2-4xl x3) (xl -4x2x3)

222 333 333333 - 63xl x2x3 + 16xlx2x3(xl+x2+x3) - 4(xlx2+xlx3+x2x3)

- 63r2 - 16r(-3r) - 4(q3+3r2) = -4q3-27r2.

Es ist also 3 2 d = -4q -27r •

Im folgenden sei nun k ein Körper, dessen Charakteristik von 2

und 3 verschieden ist, und es sei f = x3+ax2+bX+c € k[X] ein über k irreduzibles und separables Polynom. Mit K bezeichnen

wir dessen Zerf~llungskörper über k und mit x l ,x2 ,x3 seine

Nullstellen in K. Nach 111,3.1.4 ist die Galois-Gruppe von f über k isomorph zu einer auf der Menge {1,2,3} transitiv ope-

- 233 -

rierenden Untergruppe von ~. Man überlegt sich leicht, daß

{id}, {id,{l,2)}, Ud,<1,3)}, (id,(2,3)},~, 't3 die Untergruppen von 03 sind. Offenbar operieren von diesen

nur ~3 und ~ transitiv auf {1,2,3}. Die Galois-Gruppe von f

über k ist folglich entweder isomorph zu ~ oder zu 03'

Satz. Unter den obigen Voraussetzungen gilt

Gal(f'k) ;{~3 falls d Quadrat eines Elements von k ist , 0'3 sonst

Beweis. Ist 6:= (x l -x2) (x l -x3) (x2-x3), so gilt für jedes

a € Aut(K) a(6) (a(xl )-a(x2» (a(xl )-a(x3» (a(x2)-a(x3»

6 (xl -x2) (xl -x3) (x2-x3)

Ist also Gal(f;k) ;~, so gilt a(6) = 6 für jedes a € Gal(f;k),

woraus 6 € k folgt, denn Kjk ist eine Galois-Erweiterung. In

diesem Fall ist d folglich Quadrat des Elementes 6 von k.

Ist umgekehrt d = a 2 mit einem a € k, so ist 6 = a oder 6

also 6 € k. Man erhMlt a(6) = 6 für jedes a € Gal(f;k). Das

-a, be-

deutet aber, daß Gal(f;k) isomorph ist zu einer Untergruppe von

~3 und damit zu ~ selbst.

Um diesen Satz anwenden zu können, muß man natürlich in der La­

ge sein, d aus den Koeffizienten von f zu berechnen. Dazu geht

man zum Polynom a g(X):= f(X-3")

über. Man stellt fest, daß g ein Element von k[X] der Form

g(X) = x3 + qX + r

ist, wobei sich q,r aus den Koeffizienten von f ergeben. a a a xI +j,x2+3",x3+3" sind die Nullstellen von g in K. Daher stimmt

die Diskriminante von f mit der von g überein, und die kann

man berechnen, denn g hat die oben behandelte Gestalt.

Abschließend sei noch bemerkt, daß im Falle Gal(f;k) ; ~ ; ~/3~

die Körpererweiterung K~k nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie

keine echten Zwischenkörper besitzt. Ist hingegen Gal(f;k) ~ 0;, so entsprechen den oben angegebenen Untergruppen von (13 der

Reihe nach die folgenden Zwischenkörper von Kjk

K,k(x3) ,k(x2) ,k(xl ) ,k(6),k •

- 234 -

LITERATURHINWEISE

1) Einführungen

[1] ARTIN, E.: Galoissche Theorie. Harri Deutsch, Zürich, 1965.

[2] HUNGERFORD, Th.W.: Algebra. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1974.

[3] KOECHER, M.: Algebra. Vorlesungsausarbeitung, München, 1968.

[4] KUNZ, E.: Algebra I. Vorlesungsausarbeitung, Regensburg, 1972.

[5] LANG, S.: Algebra. Addison Wesley, Reading, 1965.

[6] REIFFEN, H.J., G. SCHEJA, U. VETTER: Algebra. Biblio­graphisches Institut, Mannheim, 1969.

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[8] VAN DER WAERDEN, B.L.: Algebra 1,11. Springer, Berlin, 1966/67.

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2) Weitere Literatur

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[11] BIEBERBACH, L.: Theorie der geometrischen Konstruktionen. Birkhäuser, Basel 1952.

[12] CANTOR, M.: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Teubner, Leipzig, 1880-1908.

[13] CARDANO, H.: Ars magna de Regulis Algebraicis. Nürnberg, 1545.

[14] COURANT, R., H. ROBBINS: Was ist Mathematik. Springer, Berl1n, 1967.

[15] FEIT, W., J.G. THOMPSON: Solvabilityof groups of odd order. Pac. J. Math. 11.775-1029 (1963).

[16] GALOIS, ~.: ~crits et memoires mathematiques. Gauthier­Villars, Paris, 1962.

[17] HERMES, H.: Einführung in die Verbandstheorie. Springer, Berl1n, 1955.

[18] HERMES, J.: Uber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Königl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl. 1894, 170-186.

[19] HERMITE, C.: Sur la fonction exponentielle. C.R.Acad.Sci. Paris 77, (1873).

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LINOEMANN, F.: Uber die Zahl ~. Math. Ann. 20, 213-225 (1882) • -

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PERRON, 0.: Eine neue Winkeldreiteilung des Schneider­meisters KOPF. Sitzungsber. bayr. Akad. d. Wiss., math.-nat. Abt. 1933, 439-445.

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*

- 236 -

STICHWORTVERZEICHNIS

ABEL, Niels Henrik (1802-1829) -sehe Gruppe 11

algebraisch - abgeschlossen 133 - abhängige Menge 226 -e Körpererweiterung 130 -e Zahlen 127, 134 -er Abschluß 134 -es Element 127 - unabhängige Menge 226

allgemeines Polynom 193 alternierende Gruppe 44 Approximationssatz von

Liouville 217 ARTIN, Ernil (1898-1962) assoziative Verknüpfung 7 assoziiert 103 auflösbare Gruppe 47 Automorphismengruppe (eines

Körpers) 143 Automorphismus 14, 75

innerer - 14 relativer - 143

Bahn 38 Bahnengleichung 39 Bahnenraum 39 Bild eines Homomorphismus 14 Buchstaben 54

CARDANO, Geronimo (1501-1576) CAUCHY, Augustin Louis

(1789-1857) CAYLEY, Arthur (1821-1895)

Satz von - 36 Charakter 146 Charakteristik 123 Chinesischer Restsatz 81 Coprodukt 57, 58

Darstellung, reduzierte 190 DEDEKIND, Richard (1831-1916) Delisches Problem 207 Derivation 154 Diedergruppe 65 Differentiation, formale 154 direktes Produkt 12, 50, 52, 72 Diskriminante 232 Division mit Rest 88

effektiv 37 einfache Körpererweiterung 127 einfache Nullstelle 153 einfach transitiv 37 Einheit (eines Ringes) 73 Einheitswurzel 168

primitive - 170 Einselement (eines Ringes) 70 EISENSTEIN, Gotthold

(1823-1852) -sches Irreduzibilitätskri­

terium 117 Element,

algebraisches 127 erzeugendes 32 größtes 99 irreduzibles 103 kleinstes 99 linksinverses 8 linksneutrales 8 maximales 99 minimales 99 neutrales 8 primitives 127 rechts inverses 8 rechtsneutrales 8 reduzibles 103 separables 154 transzendentes 127

elementare Konstruktions­schritte 201

elementarsymmetrische Funktionen 188

endliche Gruppe 31 endliche Körper 162 endliche Körpererweiterung 125 endlich erzeugtes Ideal 82 Endomorphismenring 72 Endomorphismus 14, 75 Epimorphismus 14, 75

kanonischer - 27 erzeugte frei-abelsche

Halbgruppe 222 erzeugter Halbgruppenring 224 erzeugter Unterkörper 126 erzeugter Unterring 126 erzeugtes Ideal 77 erzeugte Untergruppe 31 EUKLID (um 300 v. Chr.) euklidischer Algorithmus 112 euklidischer Ring 89

- 237 -

EULER, Leonhard (1707-1783) -sehe ~-Funktion 169 -sehe Zahl 219

Faktoren (einer Normal-reihe) 47

Faktorgruppe 27 faktorieller Ring 107 FEIT-THOMPSON, Theorem von 50 FERMAT, Pierre de (1601-1655)

-sehe Zahl 209 FERRARI, Ludovico (1522-1565) deI FERRO, Scipio (1465-1526) Fixk6rper 144 FONTANA, Nicol0 (1500-1557) formale Differentiation 154 Fortsetzung von K6rper-

isomorphismen 138 frei-abelsche Gruppe 56 frei-abelsche Halbgruppe 222 freie Gruppe 53, 55 freies Produkt 57 FROBENIUS, Georg (1849-1917)

- Homomorphismus 163 Fundamentalsatz

- der Algebra 197 - der elementaren Zahlen-

theorie 215 Funktion,

elementarsymmetrische 188 reduzierte Darstellung einer 190 symmetrische rationale 188

GALOIS, ~variste (1811-1832) -Erweiterung 145 -Feld 165 -Gruppe 143

ganze Gaußsehe Zahlen 89 GAUSS, Kar1 Friedrich

(1777-1855) Lemma von - 114 Satz von - 115, 209

gemeinsamer Teiler 108 gemeinsames Vielfaches 108 gerade Permutation 44 Grad

einer Körpererweiterung 125 eines Polynoms 87

Grad-Satz 125 größter gemeinsamer Teiler

109, 213

größtes Element 99 Gruppe,

abe1sche 11 alternierende 44 auflösbare 47 endliche 31 frei-abe1sche 56 freie 53, 55 Isotropie- 39 symmetrische 12

Halbgruppe 7 erzeugte frei-abe1sche 222 frei-abe1sche - 222 reguläre - 15

Halbgruppenring 223 erzeugter - 224

Halbordnung 98 Hauptidea1 82 Hauptidealring 82 HERMITE, Charles (1822-1901) HILBERT, David (1862-1943)

-scher Basissatz 91 Homomorphiesatz 29, 80 Homomorphismus 12, 74 Hülle, separab1e 158

Ideal 75 endlich erzeugtes - 82 erzeugtes - 77 maximales - 96 Produkt von -en 78 Summe von -en 78 triviale -e 76

Index 31 induktiv geordnet 99 innerer Automorphismus 14 innere Verknüpfung 7 Integritätsring 73 Interpolationsverfahren

Newton, Lagrange 94 Inverses 9 irreduzibles Element 103 isomorphe Gruppen 14 Isomorphiesätze 29, 30, 80 Isomorphismus 14, 75 Isotropiegruppe 39

kanonischer Epimorphismus 27 Kern 14, 75 Kette 98

- 238 -

Klassengleichung 41 KLEIN, Felix (1849-1925) -sche Vierergruppe 20

Kleiner Fermatscher Satz 34 kleinstes Element 99 kleinstes gemeinsames

Vielfaches 110 Körper 74

algebraisch abgeschlosse­ner - 133 Automorphismengruppe eines -s 143 Charakteristik eines -s 123 - der rationalen

Funktionen 102 endliche - 162 vollkommener - 154

Körperadjunktion 126 Körpererweiterung 124

algebraische - 130 einfache - 127 endliche - 125 Ga1ois-Gruppe einer - 143 Grad einer - 125 normale - 152 primitives Element einer - 127 rein transzendente - 228 separab1e - 154 transzendente - 130 Transzendenzgrad einer - 230

Körperisomorphismen Fortsetzung von - 138

kommutativer Ring 70 kommutative Verknüpfung 7 Kommutator 45 Kommutatorgruppe 45 kongruent (modu10 H) 23 Konjugation 38 konjugierte Elemente 40 konjugierte Untergruppen 41 Konstruierbarkeit regel-

mäßiger n-Ecke 208 Konstruktionsschritte,

elementare 201 Kreisteilungspolynom 172 KRONECKER, Leopo1d (1823-1891)

Verfahren von - 120 kubische Resolvente 182

LAGRANGE, Joseph Louis (1736-1813) Satz von - 31

LkMBERT, Johann Heinrich (1728-1777)

leeres Wort 54, 58 LEIBNIZ, Gottfried Wi1he1m

(1646-1716) Leitkoeffizient 87 LINDE~~NN, Ferdinand von

(1852-1939) 1inksinverses, Element 8 linksneutrales Element 8 Linkstranslation 7, 38 LIOUVILLE, Joseph (1809-1882)

Approximationssatz von - 217 -sehe Zahl 218

lösbar durch Radikale 184 LUDOLPH,van CEULEN (1540-1610)

-sche Zahl 219

maximales Element 99 maximales Ideal 96 mehrfache Nullstelle 154 minimales Element 99 Minimalpolynom 129 Monome, primitive 223 Monomorphismus 14, 75

Nebenklasse 21 neutrales Element 8 NEWTON, Isaac (1642-1727) NOETHER, Emmy (1882-1935) -scher Ring 82

normale Körpererweiterung 152 Normalisator 25 Normalreihe 47 Normalteiler 25 normiertes Polynom 87 Nullelement 70 Nullring 71 Nullstelle 93

einfache - 153 mehrfache - 154

Null teiler 72 nullteilerfrei 72

obere Schranke 98 Oberkörper 123 Orbit 38 Ordnung 30, 31, 98

induktive - 99 Operation 36

effektive - 37

- 239 -

transitive - 37 triviale - 37

Permutation 12 gerade - 44 ungerade - 44

Permutationsgruppe 36 p-Gruppe 59 PLATO (ca. 429-348 v. ehr.) Polynom,

allgemeines 193 durch Radikale lösbares 184 Grad eines 87 normiertes 87 Nullstelle eines 93 primitives 113 reines 177 separables 154 symmetrisches 188 Vie1fachheit eines 153

Polynomabbildung 95 Polynomring 84, 221 Potenzen 32, 70 Primelement 103 Primideal 95 primitives Element 127

Satz vom - 167 primitives Monom 223 primitives Polynom 113 primitive n-te Einheits-

wurzel 170 Primkörper 124 Primrestk1assengruppe 169 Primzahl 215 Produkt,

direktes 12, 50, 52, 72 freies 57 semidirektes 22 von Idealen 78

p-sy1ow-Gruppe 59 p-Untergruppe 59

Quadratur des Kreises 207 Quaternionengruppe 20 Quotientenkörper 100

Radika1erweiteruna 183 rationale Funktio~ 102

symmetrische - 188 rechts inverses Element 8 rechtsneutrales Element 8

Rechtstranslation 7 Reduktion 54 Reduktionsverfahren 119 reduzibles Element 103 reduzierte Darstellung 190 reduziertes Wort 54 regelmäßiges n-Eck 208 reguläre Halbgruppe 15 reines Polynom 177 Resolvente 182 Restklassenring 79 Ring 70

euklidischer - 89 faktorieller - 107 kommutativer - 70 noetherscher 82

Schiefkörper 74 Schranke 98 semidirektes Produkt 22 Separabi1itätsgrad 158 separab1e Hülle 158 separab1e Körpererweiterung 154 separab1es Element 154 separab1es Polynom 154 Signum 43 Spur 148 Stabilisator 39 STEINITZ, Ernst (1871-1928) Substitutionshomomorphismus

118, 222 Summe von Idealen 78 SYLOW, L. (1832-1918)

Theorem von - 60 symmetrische Gruppe 12 symmetrische rationale

Funktion 188 symmetrisches Polynom 188

Teiler 102, 212 gemeinsamer - 108 größter gemeinsamer - 109,213

teilerfremd 109, 213 Torsionsuntergruppe 69 Transitivitätsbereich 38 transitiv operieren 37 transzendente Köroererweite-

rung 130 . transzendentes Element 127 Transzendenzbasis 226 Transzendenzgrad 230 triviale Ideale 76 triviale Operation 37

ungerade Permutation 44 untere Schranke 98 Untergruppe 18

erzeugte - 31 Unterkörper 123

erzeugter - 126 Unterring 75

erzeugter - 126

Verknüpfung, assoziative 7 innere 7 kommutati ve 7

Verknüpfungstafel 7 Vielfaches 32

gemeinsames - 108

- 240 -

kleinstes gemeinsames - 110 Vielfachheit eines Polynoms 153 vollkommener Körper 154 vollständiges Vertretersystem 39

WILSON, Satz von 162 Winkeldreiteilung 207 Wort 54, 58

leeres - 54 Wurzel 177

Zahl, algebraische 127, 134 Eu1ersche 219 Fermatsche 209 Liouvillesche 218 Ludo1phsche 219

Zentralisator 40 Zentrum 40 Zerfällungskörper 138 ZERMELO, Ernst (1871-1953) Zornsches Lemma 99 ZPE-Ring 107 Zwischenkörper 125 zyklische Gruppe 32 Zyklus 41

Dreier - 42 Länge eines - 42

Teubner Studienbücher Fortsetzung

Ma Jeg, Exis

Kali 238

Kali Ein~

KOd IV.

Koh 192

Kra 208

Müller: Darstellungstheorie von endlichen Gruppen IX, 211 Seiten. DM 24,80

RauhutiSchmitz/Zachow: Spieltheorie Eine Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele 400 Seiten. DM 32,- (LAMM)

Schwarz: FORTRAN-Programme zur Methode der finiten Elemente 208 Seiten. DM 21,80

Schwarz: Methode der finiten Elemente 320 Seiten. DM 34,- (LAMM)

Stiefel: ElnfOhrung In die numerische ....... m.tlk 5. Aufl. 292 Seiten. DM 28,80 (LAMM)

Stlefel/Fässler: GruppentheoretIsche Methoden und Ihre Anwendung Eine Einführung mit typischen Beispielen aus Natur- und Ingenieurwissenschaften 256 Seiten. DM 26,80 (LAMM)

Stummel/Hainer: Praktische Mathematik 2 .. Aufl. 368 Seiten. DM 36,-

Topsee : InformationstheorIe Eine Einführung. 88 Seiten. DM 16,80

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Vogt: Grundkurs Mathematik fOr BIOlogen 224 Seiten. DM 21,80

Walter: ~Iomathematlk fUr MedizIner 2. Aufl. 206 Seiten. DM 21,80

Witting: Mathematische StatistIk Eine Einführung in Theorie und Methoden. 3. Auf!. 223 Seiten. DM 26,80 (LAMM)

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