Kernphysik I

Kernkräfte und Kernmodelle:

•Deuteron

Wiederholung: Ladungsunabhängigkeit der Kernkräfte

Neutronen und Protonen haben nicht nur fast die gleiche Masse,sondern sind auch in ihrer Kernwechselwirkung ähnlich.

Dies sieht man an ihren ähnlichen Bindungsenergien und, noch deutlicher, an den Energiezuständen der "Spiegelkerne".

Spiegelkerne sind Paare von Isobaren (gleiches A), bei denen die Protonenzahl des einen Nuklids gleich der Neutronen-zahl des anderen ist.

Beispiel:Isobare Kerne mit A=22 und 23

2311Na 23

12 Mg

2212Mg

2211Na

2210Ne

Isospin

• Beobachtung: mn ~ mpNur kleiner Massenunterschied von 1.29 MeV

• Proton und Neutron koppeln gleich stark an starke Wechselwirkung

• Starke Wechselwirkung kann Proton/Neutron nicht unterscheiden

• Proton und Neutron sind für starke WW Zustände eines Teilchens→ Nukleon• Unterschied im Isospin I=1/2 mit zwei Zuständen: Proton Neutron

• Unterscheidung durch z.B. elektromagnetische WW möglich

• Starke Wechselwirkung: erhält Isospin!

Proton

Neutron

Kernkräfte

Kraft

Naive Erwartung an Kern-Kern-Potential

abstoßender Kern

Erwarte V0~ x 10 MeV ?

Deuteron

• Das Deuteron ist das einfachste gebundene System von Nukleonen.Leider besitzt das Deuteron keine gebundenen angeregten Zustände(→ keine Analogie zum Wasserstoffatom). • Es existieren kein Zustände des Di-Protons oder Di-Neutrons.• Masse und BindungsenergieDas Deuteron hat eine Masse von m(2H) = 2,014 uBindungsenergie: B.E. = 2,225 MeV• Bindungsenergie ist gleich der Energie des emittierten Photons, γ-Quantsbei der Bildung eines Deuterons beim Neutroneneinfang am Proton.

Deuteron

Annahmen zur Lösung der Schrödingergleichung• Zweikörperproblem wird auf ein eindimensionales Problem reduziert, • Relativabstand r zwischen Proton und Neutron,• Annahmen: einfaches Zentralpotenzial mit Rechteckform, Potenzial hat die Tiefe -V0 und die Breite R0

• Die beiden Nukleonen befinden sich im niedrigsten Zustand des Systems in einem Zustand mit relativem Bahndrehimpuls l= 0

Einfachste Näherung: Kastenpotential

V(r)

-V0

R0

rB.E.

Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron

Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron

Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron

BBa

R/raa

0

B0iiii

iii0

ikrikr

0B22

2

0B022

2

lm

p

pn

pn2

22

mER mEikmit eA)r(u

ab Bereichm verboteneklassisch in llexponentietionWellenfunkfällt aussen) a(Rrfür

)EV(m1kmit rksinA)r(u

0)0(u ist wegen innen) i(Rrfür

ee)r(u :atzLösungsans

)R(r 0uEmdr

ud

)R(r 0u)EV(mdr

ud

),(Y)r(),,r( )r(r)r(u2m

2m

mmmm

mit 0u)E)r(V(dr

ud2

h

h

h

h

h

h

==⋅=

>

−=⋅=

β−=α=<

β+α=

>=+

<=−+

ϕϑ⋅ψ=ϕϑφψ=

≡≈+⋅

=μ=−+μ

−

−

−

- Radialgleichung- reduzierte Masse- Substitution u=rΨ

- Kein Bahndrehimpulsl=0

-Gleichung für Relativ-bewegung

- vgl. stehende Welle

-Wellenfunktion imInneren- Lsg verschwindet im Ursprung und Unendlich.

-Wellenfunktion im Äus--seren

Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron

B

BB

Bii

RRaiii

RRaii

aiai

EVEREVm

mER

Rkk

eRARkAk

eARkA

)(Ru)(Ru)(Ru)(RuRr

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=−=⋅

⋅−=⋅

⋅=⋅

′=′==

−

−

02

200

0

/0

/0

0000

0

)(cot

1cot

cos

sin

0

0

h

h :ergibt Division

für sbedingungStetigkeit

Die Gleichung läßt sich numerisch lösen.Abschätzung: Bindungsenergie des Deuterons EB = 2,225 MeV ist bekannt. Sättigung der Bindungsenergien ergibt Abschätzung für die Reichweite des Nukleon-Nukleon Potenzials: R0 ~1,4 fm

Mit diesem Werten erhält man eine Potenzialtiefe von: V0 ~ 50 MeVAus dieser Abschätzung kann man V0 >> EB folgern, d.h. rechte Seite << 1das Argument des cot auf der linken Seite ist ~ π/2 ist.

Deuteron: Wellenfunktion

MeV50Vist 1,4fm RFür

fm) in R MeV,in V( R100V

:chweiteseiner Rei und s Potenzialdes Tiefeder zwischen Beziehung

mR2V

2RmV

00

002

00

20

22

0

2

2

200

≈=

≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π≈→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

h

h

Das Nukleon-Nukleon Potenzial verursacht trotz seiner Tiefe von ca. 50 MeVnur eine Bindungsenergie von 2,225 MeV

Wellenfunktion:• Im Innenraum eine Sinusfunktion• bei r = R0 Übergang in eine exponentiell abfallende Amplitude• im Abstand r = R auf 1/e abfällt• R=4,3 fm ist wesentlich größer als die Reichweite der Kernkraft

Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron

Relativ langsamer Abfall der Wellenfunktion und damit große räumlicheAusdehnung ist auf die geringe Bindungsenergie des Deuterons zurückzuführen.

Die geringe Bindung bei der großen Potenzialtiefe läßt sich durch die große kinetischeEnergie der Relativbewegung von Proton und Neutron erklären.

MeV33 E vonwegung Relativbediefür Energiekinetische eine sichergibt daraus MeV/c180 kp zu Impuls ein sichergibt MeV50V-EVMit

kin

i0B0

≈≈=≈≈ h

Deuteron: Spin und ParitätDer totale Drehimpuls (Kernspin) des Deuterons ist gegeben durch die Kopplung der

Spins der Nukleonen ( ) und dem relativen Bahndrehimpuls zwischen Proton und Neutron:

Der g

n p

n p

J

s , s l

J s s l= + +

v

vv v

vv v v

2 2emessene Kernspin des Deuterons ist 1 , 1

Mögliche Kombinationen der Spins und des Bahndrehimpulses:

• und parallel und 0.

• und antiparallel und 1.

• und

n p

n p

n

J J J(J )

s s l

s s l

s

= = +

=

=

vh

v v

v v

v v parallel und 1.

• und parallel und 2.

p

n p

s l

s s l

=

=v v

Experiment !

Deuteron: Spin und Parität

Parität des Deuterons: Eigenschaften der emittierten Gammastrahlung beim Neutroneneinfang am Proton ergibt, dass die Parität des Deuterons positiv ( 1) ist.

Aus den Eigenschaften der Kugelfächenfun

π = +

ktionen ergibt sich die Parität zu 1 1, woraus folgt, dass nur gerade Bahndrehimpulse von 0 und 2 vorkommen können.

Das Resultat ist konsistent mit der Annahme, dass 0 ist. Höherer Dre

l(- )l l

l

= += =

=himpulswert von 2 ist jedoch nicht ausgeschlossen.l =

Experiment !

Deuteron: Magnetisches Moment

Das magnetische Moment des Deuterons, welches sich z.B. durch Kernspin- resonanz (NMR) bestimmen läßt, ergibt sich zu: 0 8574

Bei einer parallelen Ausrichtung der Nukleonenspins und einem angenom

kμ , μ=

menen Bahndrehimpuls von 0 ergibt die Summe der magnetischen Momente von Proton und Neutron:

Mit 3 8261und 5 5857 und 1 2 folgt

10 ( ) 02

sp ksn kp n n p

sn sp n p

p n k sn sp

l

gg s s

g - , g , s s /

μ(l ) μ μ μ g g

μμμ μ

=

+ = +

= = = =

= = + = + =

v vv v

h h

,8798

Dieser Wert liegt sehr nahe beim experimentellen Ergebnis. Er stimmt aber nicht vollständig mit dem gemessenen Wert des Deuterons überein.

kμ

Experiment !

Deuteron: Magnetisches Moment

'.eine nenteKraftkompo zentrale-nicht eine es gibt abhängt, und r von Kernkraft die Wenn

abhängt. Winkel dem und Radius von das aufbringen Drehmoment ein Kernkräfte die müssen Dafür

verändert. zu sich von Deuterons des Drehimpuls der sich Zeit der 4% für daß aber bedeutet Das

Zustand. einem aus 4% zu und Zustand einem aus 96% :Zustand gemischtem aus besteht Deuterons des tionWellenfunk Die und mit konsistent ist Moment emagnetisch gemessene Das

:Moment esMagnetisch

und :mplitudenMischungsa den mit :dann lautet Deuterons des tionWellenfunk Die

),( tionWellenfunk-s einer zu )( Komponente-d einer gBeimischun Abweichung der Erklärung

tTensorkraf'ϑ

ϑ

==

==

==

−−==

=μ+=μ=μ

=ψ+=ψ=ψ

==

r2l

0l

2l0 l

04,0a96,0a

)gg2(41)2l(μ

)2l(a)0l(a

aa)2l(a)0l(a

0l2l

2d

2s

spsn

2d

2s

dsds

Quadrupolmoment des Deuterons

Das freie Neutron und das freie Proton haben kein elektrisches Quadrupolmoment.

Das Deuteron kann nur aufgrund der Bahnbewegung von Proton und Neutron einQuadrupolmoment besitzen.

Eine reine l=0 Wellenfunktion hat aufgrund ihrer Rotationssymmetrie einverschwindendes Quadrupolmoment.

Das Deuteron hat ein experimentell bestimmtes Quadrupolmoment von

Q = 0,00282 eb

Der Wert ist mit den Mischungsamplituden von s- und d-Wellenfunktion, die ausdem magnetischen Moment abgeschätzt wurden, konsistent.

Experiment !

Eigenschaften des Deuteron

Deuteron besteht im wesentlichen aus dem 3S1-Zustand:

Bindungsenergie:Spin, Parität:Mag. Moment:Quadrupolmoment:Radius:

Warum gibt es keinen 1S0-Zustand?Warum existiert das Di-Proton und das Di-Neutron nicht?

Man erwartet eigentlich, dass die beiden Zustände des Deuterons mit Drehimpulsen J=0 und J=1 mit der gleichen Energie gebunden sind.

Jedoch nur der J=1 Zustand (↑↑) wird beobachtet.

Die Kernkraft ist spinabhängig!

Es existieren auch keine gebundenen Zustände des Dineutrons oder des Diprotons, diese würden ebenfalls mit antiparallelen Spins (↑↓) wegen desPauliprinzips zu J=0 koppeln.

Drehimpulserhaltung und Paritätserhaltung erfordern, dass bei einem spinabhängigen Potential der einfachste Term ein Skalar ist:

Spinabhängigkeit der Kernkraft

Dineutron Deuteron Diproton

SpinS=0Singulettantisymmetrisch

S=1Triplettsymmetrisch

IsospinT=1TriplettSymmetrisch

T=0Singulettantisymmetrisch

Spinabhängigkeit der Kernkraft

Daraus ergibt sich unterschiedliches Potential für Singulett- und Triplettzustand.

Spinabhängige Zentralkraft:- Kraft muss unabhängig vom Koordinatensystem sein.- Kraft muss invariant gegenüber der Paritätstransformation seinSkalar der die Spins der beidenNukleonen enthält.

Zusammenfassung

Eigenschaften des Deuterons: • Tiefe des Nukleonenpotenzials

V0 ~ 50 MeV für Kernradius R0 =1,4 fm.

• Kernkräfte sind spinabhängig.

• Nicht-zentraler, Tensorterm im zwei Nukleonenpotential

Vorläufiges Kernpotential:

Deuteron: - nur eine gebundener Zustand, keine angeregten Zustände.- Nicht genügend Information um Parameter des Potentials zu bestimmen.- Kein Zugang zu l≠0 Zustand.