03 Geostatistik 2012 - hydrogm.uni-jena.de · • Vergleich mit Histogramm mithilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate • Quantil-Quantil-Plots • Maximum Likelihood . 15.05.2012

15.05.2012 Geostatistik

Spezielle Verteilungen

Prof. Sabine Attinger Jun. Prof. Anke Hildebrandt


Beschreibende Statistik

Lagemaße:

1.  Mittelwert:

3.  Median=0.5 Perzentil

∑=

==n

iixn

x1

1µ



Streumaße:

1.  Reichweite:

3.  Varianz:

4.  Standardabweichung

5.  Variationskoeffizient:

)( minmax xxV −=

( )2

1

2 1∑=

−=n

ii xx

nσ

2ss =2σσ =

xsCV =

µσ

=CV



Schiefe: ( )3

3

111

s

xxn

n

ii

g∑ −

− ==


•  Beschreibende Statistik –  Stichproben/Ereignisse

–  Grundgesamtheit

–  Grafische Darstellung, Maße, Perzentile

•  Schließende Statistik: –  Wahrscheinlichkeit

–  Zufallsvariable

–  Spezielle Verteilungen

Statistik


Wahrscheinlichkeit Verteilungsfunktion F(x): = die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable kleiner oder

gleich als x zu sein

Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) für diskrete Zufallsvariablen =Wahrscheinlichkeit, exakt x_i anzunehmen


Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) (kontinuierliche Variablen):

Wahrscheinlichkeit

1)( =∫∞

∞−

xf


•  Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) (kontinuierlich):

•  Verteilungsfunktion F(x):

Wahrscheinlichkeit

1)( =∫∞

∞−

xf

∫∞−

=x

xfxF )()(


•  Mittelwert

Maße

∑=

⋅==N

iii xfxXE

1

)()( µ dxxfxXE ∫+∞

∞−

⋅== )()( µ

discrete continuous


•  Mittelwert

•  Varianz

Maße

∑=

⋅==N

iii xfxXE

1

)()( µ dxxfxXE ∫+∞

∞−

⋅== )()( µ

( )∑=

⋅−==N

iii xfxXVar

1

22 )()( µσ ( )∫+∞

∞−

⋅−== )()( 22 xfxXVar µσ

diskret kontinuierlich


Definition: Das -Quantil ist definiert als der Wert, bei dem der

te-Teil der Daten kleiner ist and 1- te-Teil größer ist als .

Die Definition für das Perzentil ist ähnlich, nur ein Prozenten ausgedrückt.

Perzentil

α αQ

αα =< )( QXP

α α

αQ

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%100αα PQ =


Perzentil p – Perzentil (- Quantil)

0.90 – Perzentil 0.75 – Perzentil (upper Quartile) 0.50 – Perzentil (Median) 0.25 – Perzentil (Lower Quartile) 0.10 – Perzentil


Box-Whisker-Plot


Spezielle Verteilungen/ Wahrscheinlichkeitsdichten

•  Binomial Verteilung •  Bernoulli Verteilung •  Poisson Verteilung •  Normal Verteilung •  Log-Normal Verteilung •  Gamma Verteilung


Bernoulli Verteilung Wenn die Ergebnisse eines Zufallsexperiments in zwei Ereignisse A

und B zusammengefasst werden können, gilt für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse

P(A=1)=p P(B=0)=q=1-p

diese Verteilung heißt Bernoulli Verteilung, nach dem Schweizer Jacob Bernoulli. Es ist eine diskrete Verteilung, die den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit p und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 − p annimmt.


Binomial Verteilung •  Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten

diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

•  Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“). Solche Versuchs-Serien werden auch Bernoulli-Prozesse genannt.

•  Der Spezialfall N=1 entspricht gerade der Bernoulli Verteilung.

xNx ppxN

xp −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )1()(


Beispiel Für ein See wurde in den letzten 220 Jahren aufgezeichnet, wann er

zugefroren war. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß der See 1.  im nächsten Jahr zufriert? 2.  genau einmal in den nächsten 10 Jahren zufriert? 3.  mindestens einmal in den nächsten 10 Jahren zufriert?

Jahre Jahre

1796 1904 1816 1912 1856 1934 1875 1961 1884 1979


Poisson Verteilung •  Die Poisson Verteilung ist eine diskrete Verteilung die die

Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse beschreibt. Die Verteilung wurde von Siméon Denis Poisson (1781–1840)

eingeführt.

•  Wenn die erwartete Anzahl von Ereignissen in einem Intervall gleich λ ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß es genau k Ereignisse gibt

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( ) λλ

λλ

λ

λ

λ

λ

=−=

==

==

−

−

−

∑

∑

!)()(

!)(

!)(

2

keXEkXVar

kekXE

kekXf

k

k

k


Beispiel Der Staat New York wird häufiger von Tornados heimgesucht. Die 30-

jährigen Aufzeichnungen sagen folgendes: Nehmen Sie an, daß das Auftreten von Tornados einer Poisson Verteilung gehorcht. Stellen Sie die Poisson Verteilung auf!

1959 3 1969 7 1979 3

1960 4 1970 4 1980 4

1961 5 1971 5 1981 3

1962 1 1972 6 1982 3

1963 3 1973 6 1983 8

1964 1 1974 6 1984 6

1965 5 1975 3 1985 7

1966 1 1976 7 1986 9

1967 2 1977 5 1987 6

1968 2 1978 8 1988 5


Normal Verteilung

2

21

21)(

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

⋅= σµ

πσ

x

exf

Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke, Gaußsche Glockenkurve oder schlicht Glockenkurve genannt.


Normalverteilung

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen im Grenzwert normalverteilt ist. Das bedeutet, dass man Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen kann, wenn sie durch Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im Verhältnis zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert.

Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

•  zufällige Messfehler, •  zufällige Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von

Werkstücken, •  Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.


Normalverteilung

( )2

21

Var(X)XE

21)(

2

σ

µ

πσσµ

=

=

⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

x

exf


Lognormal Verteilung

Die Lognormalverteilung ist eine Verteilung, die sich ergibt, wenn man normalverteilte logarithmierte Werte zugrunde legt.


Lognormal Verteilung


Gamma Verteilung

Viele atmosphärischen Variablen sind gamma-verteilt:

( )

2

1

Var(X)E(X)

exp)(

αβ

αβ

αβββ

α

=

=

Γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−xx

xf


Beispiel Wir nehmen an, daß die Verteilung der Januar Niederschlagswerte in

Ithaka (Tabelle A.2) einer Gamma-Verteilung folgt. Stellen Sie die Verteilung auf!


Fitten von Verteilungen

Anpassen der theoretischen Verteilung durch

•  Vergleich mit Histogramm mithilfe der

Methode der kleinsten Fehlerquadrate •  Quantil-Quantil-Plots •  Maximum Likelihood


Methode der kleinsten Fehlerquadrate

•  Die Methode der kleinsten Quadrate (engl.: method of least squares) ist das mathematische Standardverfahren zur Ausgleichungsrechnung.

•  Dabei wird zu einer Datenpunktwolke eine Kurve gesucht, die möglichst nahe an den Datenpunkten verläuft.

•  Die Methode der kleinsten Quadrate besteht dann darin, die Kurvenparameter so zu bestimmen, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der Kurve von den beobachteten Punkten minimiert wird. Die Abweichungen werden Residuen genannt.


Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Quelle: Wikipedia

( )( )∑=

−=N

iiji yxf

1

2,min! β


Quantil-Quantil-Plots Ein Quantile-Quantile-Plot (Q-Quantil-Diagramm) ist

ein exploratives, grafisches Werkzeug, in dem die Quantile zweier statistischer Variablen gegeneinander abgetragen werden, um ihre Verteilungen zu vergleichen.

Stammen die Messdaten tatsächlich aus der

angenommenen Verteilung, liegen die Wertepaare ungefähr auf einer Linie.

Wenn die Vergleichsverteilung für die Merkmalswerte

nicht passt, gibt es mehr oder weniger starke Abweichungen von der Linie; die Verteilung kann dann nicht als Ursprungsverteilung der Merkmalswerte angenommen werden.

Quelle: http://www.bb-sbl.de/tutorial/verteilungen/qqplot.html


Maximum Likelihood Die Maximum-Likelihood-Methode (von engl. maximale

Wahrscheinlichkeit) bezeichnet in der Statistik ein parametrisches Schätzverfahren.

•  Bei der Maximum-Likelihood-Methode wird von einer

Zufallsvariablen ausgegangen, deren Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion von einem Parameter abhängt. Liegt eine einfache Zufallsstichprobe mit unabhängigen und identisch verteilten Realisationen vor, so lässt sich die Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion wie folgt faktorisieren:

( ) ( )∏=

=N

ijij xfL

1

;ββ


Maximum Likelihood •  Wird diese Funktion in Abhängigkeit von den Parametern der

Verteilung maximiert, so erhält man die Maximum-Likelihood-Schätzung für diese Parameter.

•  Häufig arbeitet man auch mit dem Logarithmus von L und maximiert lnL.

( ) ( ) ( )∑∏==

==N

iji

N

ijij xfxfL

11

;ln;lnln βββ


Maximum Likelihood •  Wir stellen die Likelihood-Funktion bzw. Log-Likelihood Funktion

einmal für die Normalverteilung auf:


Beispiel Um die Parameter der Gamma-Verteilung zu schätzen wird gern die

Maximum-Likelihood Methode benutzt, allerdings muß man dabei auf Approximationen zu zurückgreifen, weil man nicht explizit nach den Parametern der Verteilung auflösen kann. Dazu wird die Größe D definiert:

Nach Thom (1958) folgen dann die Parameter zu: Es gibt auch noch andere Approximationen (siehe Wilks, Seite 97)

( ) ( )∑=

−=N

iixNxD

1

ln/1ln

DD

43/411 ++

=α



Übung 1


Übung 2 •  Bitte berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz der

Bernoulli-Verteilung!


Bernoulli Distribution


Übung 3 Auf der Erde gibt es pro Jahr im Mittel ein Erdbeben mit

einer Stärke 8 oder mehr auf der Richterskala. a)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt es im nächsten

Jahr mehr als zwei solche Erdbeben? b)  Wieviele Jahre im Zeitraum 2011 bis 2060 mit

höchstens einem solch starken Erdbeben können wir erwarten?

Hinweis: Die Anzahl Erdbeben pro Jahr soll Poisson-verteilt

sein.


Übung 3 In Japan, gibt es im Jahresmittel 50 Erdbeben.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich im nächsten Monat 3 Erdbeben ereignen, wenn man annimmt, daß die Erbeben einer Poisson Verteilung folgen?


Poisson Verteilung


Poisson Verteilung



Übung 4


Übung 4 •  Please plot the distribution of the porosities in sand

stone.

•  It looks like which specific probabiity distribution?

•  Please determine the parameters of this distribution! Write down explicitly the probability distribution!


Example


Solution - Mean


Solution - Variance

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