Eletromagnetismo IIEletromagnetismo II

55aa AulaAula

Professor Alvaro VaProfessor Alvaro Vannnuccinucci

Na aula passada, Na aula passada, dasdas EquaEquaçções de ões de MaxwellMaxwell, vimos, vimos::

11oo)) ConservaConservaçção de ão de EnergiaEnergia

( ) ˆES

H n dA− =× ⋅∫� �

�

(Vetor de Poynting)S�

VE J dV⋅+ ∫� �

1

2

∂ ⋅ + ⋅ + ∂ ∫� � � �

VH B E D dV

t ������� �������������

�������

Dissipação Joule

Densidade de Energia EM

22oo)) PropagaPropagaççãoão de Ondas Eletromagnde Ondas Eletromagnééticasticas(meios lineares, (meios lineares, ρρρρρρρρ == 00))

22

20εµ σµ

∂ ∂∇ − − =

∂ ∂

� �� E EE

t t

Espaço vazio: σ = 0, ε = ε0, µ = µ0 ; em 1D (eixo z):

( )( )

2 2

2 20

E zE z

z c

ω∂+ =

∂

��

0 0

1c

ε µ=

( ) ( )0,ω− ±

=�

i t KzE z t E e ( ) ( )0, cosE z t E t Kzω= ±

�

2K

c

π ω

λ

= =

Onda caminhando para a

“direita” ou para a

“esquerda”.

Solução:

→

;

Para dielPara dieléétricos ...tricos ...

�� σσ = 0, = 0, µµ ≅≅ µµ00; mas s; mas sóó que agora que agora c c →→ vv

cn

v=

1

cv

n

vεµ

=

=

Rn ε=

2π ω= =

f nK

v c

RKc

ωε=

;;

R0

εε

ε= ≡ Cte Dielétrica

00

1

Rε ε µ=

R

c

ε=

→→→→→→→→

e e ∴∴∴∴∴∴∴∴ Sendo que:

�� Como:Como:

Para dielPara dieléétricos ...tricos ...

�� σσ = 0, = 0, µµ ≅≅ µµ00; mas s; mas sóó que agora que agora c c →→ vv

cn

v=

1

εµ= =

cv

nR

n ε=

2π ω= =

f nK

v c

RKc

ωε=

;;

R0

εε

ε= ≡ Cte Dielétrica

00

1

Rε ε µ=

R

c

ε= →→→→→→→→

e e ∴∴∴∴∴∴∴∴ Sendo que:

�� Como:Como:

Potenciais Potenciais -- ElEléétrico e Magntrico e Magnééticotico

�� escalarescalar...... E ϕ= −∇��

B A= ∇ ×� ��

0

0

'1 ( )( )

4

( )(

''

'')

4 '

V

V

rr dV

r r

J rA r dV

r r

ρϕ

πε

µ

π

= −

= −

∫

∫

��

� �

� �� �� �

(2)

(1)

�� ... e ... e vetorvetor

No semestre passado, vimos que os campos e , estáticos podiam ser calculados através dos potenciais:

E�

B�

dV’

•P

0

'r r−� �

r�

'r�

2

0

ρϕ

ε

∇ = −

• Maneira alternativa para o cálculo dos potenciais, também já vista anteriormente:

2 µ∇ = −� �A J

Equação de Poisson→

• No entanto, estes resultados foram obtidos para campos estáticos.

�E

�B• A pergunta é: eles continuariam válidos para e

variando no tempo?

• Por exemplo, a 2a Eq. ( ) satisfaz diretamentea 2a Eq. de Maxwell:

= ∇×�� �

B A

∇ ⋅� �

B Sempre!

(Div do Rot é SEMPRE zero!)

• Este resultado indica, a princípio, que vale,mesmo para campos magnéticos variando no tempo

= ∇×�� �

B A

• Por outro lado é fácil verificar que a outra expressão: é inconsistente com a 3a Eq. de Maxwell !

( ) 0E ϕ−∇× = ∇ =× ∇� � � �

( )E ϕ= −∇� �

Sempre!

(Rot do Grad é SEMPRE zero!)

!B

Et

resultando∂

∇ −≠×∂

�� �

( ) 0A∇= ⋅ =×∇���

ϕ= −∇ +� � �E N

( )∂ ∇∇× = −

∂

��

� �N

A

t

( )ϕ∇× ∇×= − ∇×∇ +�� � ��E N

∂= −

∂

�B

t

∂= −∇×

∂

�� A

t

∂= −

∂

�� AN

t

• Para contornar esta dificulade podemos pensar em introduzir um termo extra (desconhecido) à Eq. :ϕ= −∇

� �E

(tomando o Rot dos 2 lados)⇒ ⇒

⇒0

• Usando a Eq. (2) :( )B A= ∇×�� �

⇒

Comparando:

/ρ ρ ε∇ ⋅ = ⇒∇ ⋅ =� � � �

D E( )2 A

t

ρϕ

ε

∂ ∇ ⋅−∇ − =

∂

� �

(4)

(3)ϕ∂

= −∇ −∂

�� � AE

t• Substituindo:

• Agora, subst. eqs. (2) e (3) na Lei de Ampère:

( )B A= ∇×�� �

• Subst. Eq. (3) na 1a Eq. de Maxwell:

∴

• Devemos agora verificar que eq. (3) e eq. (2) : satisfazem as duas eqs. de Maxwell restantes.

JE

Bt

µ µε∂

∇× = +∂

��

��

( )( ) 2

2µ µε

ϕµε

∂ ∇∇×

∂∇× =

∂−

∂−

� �� �

��J

t

A

tA⇒

;EA

N Nt

ϕ∂

+ = −∂

= −∇

�� �� �

(Rot do Rot)

(2)

( )2

22

AA

ttA J

ϕµ µε µε

∂∇ ∇

∂∇ ⋅ − ∇ = − −

∂ ∂

�� � �� ��

22

2

AA A J

t t

ϕεµ εµ µ

∂ ∂ −∇ ∇ ⋅ + =

∂ ∂+ + ∇

�� �� ��

(5)

• Substituindo o Rot do Rot:

⇒

• Ou seja, eqs. (4) e (5) – que só dependem das incógnitas – precisam ser simultaneamente satisfeitas.

• De forma que, resolvendo-se (4) e (5), obtem-se e, depois:

eA ϕ�

eA ϕ� AB

EA

tϕ

= ∇× ∂

= −∇ −∂

�

�

��

��

⇒

( )2 At

ρϕ

ε

∂ ∇ ⋅ −∇ − =

∂

��

• Mas, antes de passarmos à resolução das eqs. (4) e (5), talvez fosse interessante tentar simplificá-las um pouco.

• Além disso, como veremos, para um determinado problema com e específicos, não existe um único par que satisfaça e B A= ∇×

�� � AE

tϕ

∂= −∇ −

∂

�� �E

�B�

eA ϕ�

• Ou seja, é possível escolher um par que seja o mais adequado, para uma determinada situação, de forma que (4) e (5) sejam satisfeitas e (2) e (3) continuem válidas

' 'ϕ�A e

• Vejamos como eles diferem para que isto seja verdade.

(2) (3)

• Para ilustrar isso, supor 2 conjuntos e que correspondam aos mesmos campos e .

( ', ')A ϕ�

( , )A ϕ�

E�

B�

Equivalência de soluEquivalência de soluççõesões

' α= +� � �A A

'ϕ ϕ β= +

'

∇× =∇× =

�� �

�� �A B

A B⇒ ( )α α∇× = ∇× + = ∇× + ∇×

� � �� � � �� �A A A

0α∇× =� �

α λ= ∇��

(6)

(7)

• Vamos supor que os potenciais difiram entre si por parâmetros da forma:eα β

�

e E B� �; sendo que os 2 conjuntos

correspondem aos mesmos

• Então:

⇒

⇒

A '�

Ou seja, pode ser escritocomo o grad de algum escalar:

α�

i)

'A A λ=∴ ∇+� � �

ϕ∂

= −∇ −∂

�� � AE

t

ϕ∂

−∇ −∂

�� A

t

0α

β∂

∇ + =∂

��

t

0λ

β∂

∇ + = ∂

�

t

A

t t

αϕ β

∂ ∂= −∇ − ∇ − −

∂ ∂

� �� �

ii)

''ϕ

∂= −∇ −

∂

�� � AE

t

⇒

⇒

( );' 'ϕ ϕ β α= + = +� � �A A ⇒

⇒

⇒ Usando (7): ( )α λ= ∇��

⇒ ⇒

⇒ ⇒ Resolvendo:λ

β∂

+ =∂t

cte

Solução + simples:t

λβ

∂∴ = −

∂(8)

0=

'ϕλ

ϕ∂

−=∂t

e, então:

i.e., dada uma função escalar λλλλ qualquer,

podemos acrescentar em e, ao

mesmo tempo, subtrair de ,

que não se alteram!

λ∇� �

A

λ∂∂t ϕ

e � �E B

• Assim:'ϕ

λϕ

∂−=

∂t

' λ+ ∇=� � �A A

• Transformações em deste tipo, são denominadas ‘Transformações de Gauge’ ou ‘de Calibre’

eA ϕ�

• Há vários ‘calibres’ possíveis e a escolha depende do problema que se pretende resolver.

• Dois destes ‘calibres’ são mais frequentemente utilizados: o de Coulomb e o de Lorentz.

11oo) Gauge de Coulomb:) Gauge de Coulomb:

( )2t

A ρϕ

ε

∂ −∇ − =

∂

⋅

∇

��

0A∇ ⋅ =��

2 ρϕε

∇ = − Equação de Poisson

ϕ∂

= −∇ −∂

�� � AE

t

Transformações de “Gauge”

• Subst. na eq. (4) …

… e (5):

⇒

⇒

⇒2

22

AA J

t t

ϕεµ µ εµ

∂ ∂ −∇ + = − ∇

∂ ∂

�� � �

�������termo independente de A

�

≡ ‘eq. de onda’ nãohomogênea p/ A

�

Só o cálculo de ϕ não mais nos fornece !

�E

22

2( )

AA A J

t t

ϕεµ εµ µ∇ ⋅

∂ ∂−∇ + + ∇ + =

∂ ∂

��� �� �

At

ϕεµ

∂∇⋅ = −

∂

��22oo) Gauge de Lorentz:) Gauge de Lorentz:

É o mais interessante no estudo das ondas

EM

• Subst. nas eqs. (4):( )2

t

A ρϕ

ε

∂ −∇ − =

∂

⋅

∇

��

22

2

AA J

tA

t

ϕεµ εµ µ

∂ ∂−∇ + + ∇ + =

∂ ∂ ⋅

∇

�� � ���

e (5):

22

2t

ϕ ρϕ εµ

ε+ − =

∂−

∂∇

• Temos:2

22

A

A Jt

εµ µ+ − −∂

∇ =∂

�� �

Eqs. Desacopladas!(do mesmo tipo)

(9)

(10)

• Ou seja, escolhendo o gauge de Lorentz, tanto obedecem ao mesmo tipo de eq. diferencial não-homogênea.

oA qt ϕ�

22 2

2tεµ

∂= ∇ −

∂ �

2

2A J

ρϕ

ε

µ

= −

= −

� �

�

�

2

2A J

ρϕ

ε

µ

∇ = −

∇ = −

� �

e, no limite

estático:

• Em termos do d’Alembertiano

( )

0

'1( ) '

4 '

ρϕ

πε=

−∫�

�� �

V

rr dV

r r

( )0 '( ) '4 '

µ

π=

−∫� �

� �� �

V

J rA r dV

r r

e cujas soluções já foram obtidas em Eletromagnetismo I:

e

Como já

visto antes,

• Finalmente:

22

2t

ϕ ρϕ εµ

ε

∂∇ − = −

∂

22

2

AA J

te εµ µ

∂∇ − = −

∂

�� �

•P

0

'r r−� �

r�

'r�

• Novamente, lembrar que ≡ distância da fonte ao

ponto P onde o potencial écalculado

'−� �r r

• Mas, e no caso não estático?

• Mostraremos que as eqs. mantêm as formas acima; sóque agora surge um problema!

• Ao se calcular os potenciais em P, em um dado instante t, qual a configuração de cargas e correntes que se deve considerar? As correspondentes ao mesmo instante t?

dV’

{

'r

r rt t

c

−= −

� �

• Considerando-se que o ‘sinal’ propaga-se com velocidade c ⇒ deve-se utilizar as configurações de cargas e correntesrelativas a um instante anterior:

‘ tempo retardado ’

• assim:( )0 ,( ,

'4

') 'r

V

rJA dV

rr

r

tt

µ

π=

−∫�

�� �

��

( )

0

,1( , ) '

'

'

4r

V

r tr t dV

r r

ρϕ

πε=

−∫ � ��

�

≡ ‘Potenciais Retardados ’

• Notar que para pontos P próximos das fontes:'

0−

→

� �r r

c⇒ rt t→

resta mostrar que os potenciais retardados são soluções das eqs. diferenciais (caso não estático)

Um evento solar, quanto tempo demora Um evento solar, quanto tempo demora

para chegar para chegar àà Terra?Terra?

Um evento solar, quanto tempo demora Um evento solar, quanto tempo demora

para chegar para chegar àà Terra?Terra?

... e com rela... e com relaçção ao Universo?ão ao Universo?

* Velocidade da Luz: * Velocidade da Luz: cc = 300.000 km/s= 300.000 km/s

Via LVia Láácteactea:

* 200 bilhões de Estrelas! - Ainda existem?Ainda existem?

* 100.000 anos-luz de diâmetro.

* Sol encontra-se a 30.000 anos-luz do centro.

* Período de translação do Sol: 200 milhões de anos.

A Grande Nuvem de Magalhães

• É a galáxia mais próxima da Terra (160 mil anos-luz)

• É pequena, comparada com a Via Láctea (1/10 da massa)