1

Algebraische Zahlen

Mathematische Grundlagen und Rechnen mit algebraischen Zahlen

von Simon Schmidt

2

Inhaltliche Übersicht des Vortrags1. Was sind algebraische Zahlen?

1. Wie kann ich sie unterteilen??• Definitionen: reelle und ganzalgebraische Zahlen

2. Eigenschaften von algebraischen Zahlen• Minimalpolynom• Konjugierte• Norm• Grad

2. Beispiele für algebraischer Zahlen Quadratwurzel k-te Wurzel

3. Sätze über algebraische Zahlen

4. Rechnen mit algebraischen Zahlen Darstellung: als Polynom oder isolierendes Intervall Vergleichen von zwei algebraischen Zahlen

3

Eine algebraische Zahl heißt ganzalgebraisch, wenn:• ihr Minimalpolynom normiert ist, d.h.• alle Koeffizienten ganzzahlig sind:

Wenn eine algebraische Zahl reell ist, dann spricht man von reellen algebraischen Zahlen.

Algebraische Zahlen

Eine algebraische Zahl ist eine komplexe Zahl x, die Nullstelle eines Polynoms

mit rationalen oder ganzzahligen Koeffizienten ist.

012

21

1 ... axaxaxaxa nn

nn

nn

1naia

4

Algebraische Zahlen

zur Erinnerung:

letzter Vortrag am 06.05.04:

Polynom kann auf zwei weitere Arten dargestellt werden:

))...()(( 210

nn

n

i

ii xxxaxa

Diese komplexen Zahlen αi`s, die Lösungen dieser Gleichung sind, stellen unsere algebraischen Zahlen dar.

Aber nicht alle komplexen Zahlen sind algebraisch. Pi zum Beispiel ist nicht algebraisch. Man nennt solche Zahlen transzendent.

5

P(x) heißt genau dann Minimalpolynom von α, falls P irreduzibel ist bzw. minimalen Grad hat und die Koeffizienten von P als größten gemeinsamen Teiler die 1 besitzen.

Bsp.: Minimalpolynom von

• i ist das Polynom mit

•

Minimalpolynom

012 x

. )( 0)(mit Zahlhealgebraisc Sei xxPundP

07mit x Polynom dasist 7 33

6

Konjugierte

Die Konjugierten einer algebraischen Zahl α sind die Zahlen, die auch Nullstelle des Minimalpolynoms von α sind, d.h. bei einem Polynom vom Grad n kann α maximal n-1 Konjugierte haben.

In unserem Beispiel:

i hat eine Konjugierte, nämlich -i.

i

2

3

2

1*7-en Konjugiert diehat 7 33

7

Norm und der Grad von α

• Norm:

Die Norm von α ist das Produkt ihrer Konjugierten.• Grad:

Der Grad von α ist der Grad des Minimalpolynoms von α.

In unserem Beispiel: für i und sqrt(2)

• Norm:

• i * (-i) = 1

• sqrt(2) * (-sqrt(2)) = -2

• Grad:

• x 2 + 1 = 0 => Grad 2

• x 2 – 2 = 0 => Grad 2

8

Beispiel für algebraische Zahlen

• Quadratwurzel:• Minimalpolynom hat die Form: x 2 – a = 0, wobei die

algebraische Zahl α = ist.• Grad ist immer 2• Norm ist – a, Konjugierte ist – • α ganzalgebraisch, wenn a ganzzahlig, sonst reelle

algebraische Zahl (z.B. sqrt(0.5))

a

a

9

Beispiel für algebraische Zahlen

• k-te Wurzel:• Minimalpolynom hat die Form: x k – a = 0, wobei die

algebraische Zahl α = ist.• Grad ist immer k• Norm ist • α ganzalgebraisch, wenn a ganzzahlig, sonst reelle

algebraische Zahl (z.B. )

k a

k 5,0

ka 1*

10

Beispiel für algebraische Zahlen

• Andere algebraische Zahlen:– i bzw. – i

–

Für die letzte Zahl kann man aber nicht mehr so einfach ein Polynom finden dessen Nullstelle unsere Zahl ist.

Nicht alle algebraischen Zahlen können durch Wurzelausdrücke dargestellt werden.

in Z j und lk, undkönnen sein rational c und ba, wobei,j

lk

c

ba

11

Sätze über (ganz)algebraische Zahlen

Die Norm einer ganzalgebraischen Zahl ist eine ganze Zahl.

Beweis: Eine Zahl ist ganzalgebraisch, wenn das Minimalpolynom normiert ist (an = 1) und nur ganzzahlige Koeffizienten auftauchen (ai Element Z).

Jetzt wissen wir aus der linearen Algebra, dass a0 definiert ist als:

ganzzahlig Norm dieist 1anormiert da , (-1)*)N(

:eingesetzt (2)in )1(

(2) )()N(

:alsist definiert von Norm die dass r, wissen wiAußerdem

)(*

nn0

1

10

n

n

ii

n

iin

a

a

aa

12

Sätze über (ganz)algebraische Zahlen

Wenn α,β (ganz)algebraische Zahlen sind, dann sind auch:– α + β– α * β– α – β– α / β gilt nur für algebraische Zahlen–

(ganz)algebraische Zahlen.

Beweis dazu unter http://www.mpi-sb.mpg.de/~nicola/Vorlesung/proof.ps

Aber nicht jede algebraische Zahl kann in zwei andere „zerlegt“ werden. Dies sind dann Nullstellen von Polynomen des Grades ≥ 5 .

k a

13

Darstellung algebraischer Zahlen

Wir können algebraische Zahlen als Nullstelle eines Polynoms (z.B. Minimalpolynom) in einem isolierenden Intervall darstellen. (vgl. isolierte Intervalle: Vortrag von M. Arnold)

14

Vergleichen algebraischer Zahlen

Eine algebraische Zahl wird dargestellt durch das Paar (P,[l,r]), wobei f ein zugehöriges quadratfreies Polynom und [l,r] das isolierte Intervall unserer Zahl ist.

Quadratfrei deshalb, da somit klar ist, dass die Funktion f an der Stelle α keine mehrfache Nullstelle hat.

15

Vergleichen algebraischer Zahlen

Nun zum eigentlichen Gleichheitstest:

Wir nehmen uns 2 algebraische Zahlen a und b, mit a = (P,[l1,r1]) und b = (Q,[l2,r2]), die wir miteinander vergleichen wollen. Bei Nichtüberlappung der Intervalle vergleichen wir die rechte und linke Seite von jeweils einem Intervall mit dem anderen und können ablesen, welche Zahl größer ist. Wenn sich ihre Intervalle überlappen, dann konstruieren wir ein neues Intervall aus den Grenzen der Überlappungen.

16

Vergleichen algebraischer Zahlen

Nun müssen wir testen, ob wir auch unsere Zahl noch in diesem Intervall haben, oder ob vielleicht keine mehr im Intervall ist. Dies testen wir, indem wir unsere beiden neuen Grenzen e und f jeweils in die Polynome P und Q einsetzen: Liefern uns beide Polynome einen Vorzeichenwechsel zwischen P(e) und P(f) bzw. Q(e) und Q(f), so wissen wir, da unsere Polynome quadratfrei sind, dass die Nullstelle in unserem neuen Intervall liegen muss.

17

Vergleichen algebraischer Zahlen

Danach ermitteln wir den ggT der beiden Polynome, der uns den Faktor bzw. Anteil zurückliefert, der beiden gemeinsam ist. Dieses Polynom, das wir dadurch erhalten testen wir jetzt auf einen Vorzeichenwechsel zwischen e und f. Da das Polynom quadratfrei sein muss, bekommen wir entweder kein Vorzeichenwechsel und damit sind die beiden Zahlen nicht gleich gewesen, oder ein Vorzeichenwechsel und unsere Zahl ist jeweils eine Lösung beider Polynome P und Q. Wenn unsere Zahlen nicht gleich waren, dann können wir durch Einsetzen der Grenzen leicht herausfinden, welche größer oder kleiner ist.