1(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Grundgedanke der FEM

Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und anderer statischer Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammengeführt.

2(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

FEM als statisches Berechnungsverfahren

• Kraftgrössenverfahren– Kräfte und Momente

• Verschiebungsgrössenverfahren– Verschiebungen und Verdrehungen

Formulierung in Matrizenschreibweise

in der Regel lineares Gleichungssystem

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Benötigte Angaben

• Geometrie des Tragwerks

• Auflagerbedingungen

• Materialeigenschaften

• Lasteinwirkungen

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Lasteinwirkungen

• verteilte äussere Kräfte

• konzentrierte äussere Kräfte

• initiale Verzerrungen(von externen Einwirkungen)

• vorgeschriebene Rand- und Auflagerverschiebungen

• beschleunigungsproportionale Massenkräfte (z.B. Eigengewicht)

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Methode

• Erarbeiten eines mathematischen Modells auf Grund der physikalischen Wirklichkeit.

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Knotenpunkte, Freiheitsgrade, Finite Elemente

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Verschiebungsgrössenverfahren

Voraussetzung: lineares Tragwerk

das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen und -verdrehungen als Unbekannte.

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Lastvektor und Verschiebungsvektor

• Die in einem Knotenpunkt angreifenden Kräfte und Momente werden zum Lastvektor F zusammengefasst.

• Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen werden zum Verschiebungsvektor u zusammengefasst.

Es gilt: F = K•u

K ist die Systemsteifigkeitsmatrix

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Beispiel 3-4

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Das lineare Gleichungssystem

K • u = F

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Vorgehensweise

• numerische Erfassung des Tragverhaltens jedes einzelnen finiten Elements ( lokale Elementsteifigkeitsmatrizen)

• Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors

• Lösung der globalen Systemgleichungen

• Ermittlung der Auflagerkräfte

• Berechnung der Elementspannungen

12(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Beispiel 3-5

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Statisches System

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Knotenverschiebungen

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Koordinatensysteme

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Koinzidenztabelle

Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2)

1

2

3

4

5

6

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Knotenkräfte

18(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

K•u = F

Das System hat 5 Freiheitsgrade.

Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix K benötigt man die Elementsteifigkeitsmatrizen

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Der Fachwerkstab

• Es soll die Elementsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes hergeleitet werden, und zwar in einem lokalen Bezugssystem.

• Der Fachwerkstab hat einen Querschnitt A, die Länge l und sein Material hat den Elastizitätsmodul E.

• Entlang der Länge des Stabes wirkt die Normalkraft N und bewirkt eine Verlängerung .

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Der Fachwerkstab

21(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Die Spannungsmatrix S

Für die Verlängerung gilt:

Gleichzeitig ist:

Damit folgt: €

l

=1

E⋅

N

A und somit : δ =

N ⋅ lEA

€

=u2(lok ) − u1

( lok )

€

N =EA

l⋅δ =

EA

l⋅ −u1

(lok ) + u2( lok )

( ) =EA

l⋅ −1 1( )

u1( lok )

u2( lok )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= Se

( lok ) ⋅ue(lok )

22(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Die Elementsteifigkeitsmatrix

Die Elementsteifgkeitsmatrix ist aus den angreifenden Kräften und den Verschiebungen schnell angesetzt:

in Matrixform:

€

F1(lok ) = −N =

EA

lu1

(lok ) − u2( lok )

( )

F2(lok ) = N =

EA

l−u1

(lok ) + u2( lok )

( )

€

Fe(lok ) =

F1(lok )

F2(lok )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

−N

N

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

EA

l⋅

1 −1

−1 1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅

u1( lok )

u2( lok )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= Ke

( lok ) ⋅ue(lok )

23(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Koordinatentransformation

Beim Fachwerkstab werden beide Knoten transformiert. Das führt zu:

€

u( lok )

v( lok )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

cosα sinα

−sinα cosα

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅

u

v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

u1( lok )

u2( lok )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅

u1(e )

v1(e )

u2(e )

v2(e )

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

ue(lok) = T•ue

24(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Transformation der Kräfte

Für die Kräfte an den Stabenden gilt also:

€

Fx

Fy

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

cosα −sinα

sinα cosα

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅

Fx( lok )

Fy( lok )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

Fx1(e )

Fy1(e )

Fx 2(e )

Fy 2(e )

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=

cosα 0

sinα 0

0 cosα

0 sinα

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅Fx1

( lok )

Fx 2( lok )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Fe = TT•Fe(lok)

25(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Folgerungen

Es gilt im lokalen System: Fe(lok) = Ke

(lok)•ue(lok)

Einsetzen von: ue(lok) = T•ue

führt zu Fe(lok) = Ke

(lok)• T•ue

Somit gilt: Fe = TT•Fe(lok) = TT• Ke

(lok)• T•ue

Daraus kann man ablesen, dass die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten folgende ist:

Ke = TT•Ke(lok)•T

26(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Elementsteifigkeitsmatrix für den Fachwerkstab

€

€

Ke = TT ⋅K e(lok ) ⋅T =

cosα 0

sinα 0

0 cosα

0 sinα

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅EA

l

1 −1

−1 1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅

cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

=EA

l⋅

cosα −cosα

sinα −sinα

−cosα cosα

−sinα sinα

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

=EA

l⋅

cos2 α sinα cosα −cos2 α −sinα cosα

sinα cosα sin2 α −sinα cosα −sin2 α

−cos2 α −sinα cosα cos2 α sinα cosα

−sinα cosα −sin2 α sinα cosα sin2 α

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

27(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Die Spannungsmatrix für den Fachwerkstab

N = Se(lok)•ue

(lok)

Mit ue(lok) = T•ue erhält man:

N = Se•ue = Se(lok)•T•u

Somit gilt:

€

Se =EA

l⋅ −cosα −sinα cosα sinα( )

28(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Aufgabe

Es sind alle Elemetsteifigkeitsmatrizen und die Spannungsmatrizen für alle Elemente in globalen Koordinaten aufzuschreiben.

29(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Die Systemsteifigkeitsmatrix

Vorgehensweise:

• Anpassen der Verschiebungsgrössen der einzelnen Elemente an diejenigen des Knotenpunktes (Kompatibilitätsbedingungen)

• Gleichgewichtsbedingungen in den Knotenpunkten

Kf•uf=Ff

30(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Kf =

€

E ⋅A

l

1.35 −0.35 −1.0 0 −0.35 0.35 0 0

−0.35 1.35 0 0 0.35 −0.35 0 −1.0

−1.0 0 1.35 0.35 0 0 −0.35 −0.35

0 0 0.35 1.35 0 −1.0 −0.35 −0.35

−0.35 0.35 0 0 1.35 −0.35 −1.0 0

0.35 −0.35 0 −1.0 −0.35 1.35 0 0

0 0 −0.35 −0.35 −1.0 0 1.35 0.35

0 −1.0 −0.35 −0.35 0 0 0.35 1.35

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

31(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Koinzidenztabelle

Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2)

1 1 2

2 3 2

3 4 3

4 4 1

5 4 2

6 3 1

32(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Auflagerbedingungen

Hier gilt: v3 = 0, u4 = 0, v4 = 0

Damit werden in Kf die letzten 3 Spalten mit Nullen besetzt und man kann sie streichen.

Der Rang der Matrix Kf ist 5. Gestrichen werden die Zeilen, die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen, da rechts die Auflagerkräfte unbekannt sind.

33(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Gleichungssystem

€

E ⋅A

l

1.35 −0.35 −1.0 0 −0.35

−0.35 1.35 0 0 0.35

−1.0 0 1.35 0.35 0

0 0 0.35 1.35 0

−0.35 0.35 0 0 1.35

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅

u1

v1

u2

v2

u3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=

Fx1

Fy1

Fx 2

Fy 2

Fx 3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=

0

0

10

−10

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

€

E ⋅A

l

0.35 −0.35 0 −1.0 −0.35

0 0 −0.35 −0.35 −1.0

0 −1.0 −0.35 −0.35 0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟⋅

u1

v1

u2

v2

u3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=

Fy 3

Fx 4

Fy 4

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

34(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Lösung des Gleichungssystems

Zuerst wird das erste Gleichungssystem gelöst. Das ergibt die Werte für u1, v1, u2, v2 und u3.

Diese Lösungen werden in das zweite Gleichungssystem eingesetzt und man kann die Auflagerkräfte in den Knoten 3 und 4 berechnen.

35(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Lösungen

€

u =

0.86

0.18

1.04

−0.54

0.18

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅10−4

€

Fy 3

Fx 4

Fy 4

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟=

20.0

−11.0

−11.0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

36(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Elementkräfte

Die an den Elementen angreifenden Kräfte können mit den Spannungsmatrizen berechnet werden.

Es gilt: N=Se•ue