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1. Elektromagnetische Wellen1.1. Schwingkreise
1.1.1. Freie Schwingung
0QLQR
0ILRI
CQ
CQ
Maschenregel R
C
L
I
Q
D
γ m
xMechanisches Analogon:
0xmxγxD 0xmxγxD
Übersetzung: Mechanik Elektrodynamikx Qm L R
D C1
Elektrodynamik
0QLQR CQ 0QLQR CQ
R
C
L
I
Q
Lösung übersetzt aus Mechanik:
C
L2R
2tωiτt
τ
1
CL
1ω
R
L2τee~Q
Schwingfall:
C
L2R CLτe.constt~Q τt
Aperiodischer Grenzfall:
CL
1
L4
R
L2
R
τ
1e~Q
2
2τt
Kriechfall:
C
L2R
1.1.2. Erzwungene Schwingung ( Übersetzung aus Mechanik)
Serienschwingkreis:
U(t)R
C
L
Q
I
Resonanzfrequenz: Z R minimal CL
1ω
R
CL
1ω
R
Bandbreite: L
Rω
L
Rω
D
γ m
xF(t)
xQI
tFtU
DC
γRmL1
Parallelschwingkreis:
Bandbreite: L
Rω
L
Rω
m
xm
D
F(t)γ
x
U(t)
QCI
R
C
L
IL
Kleine Dämpfung
Resonanzfrequenz: maximal CL
1ω
R
CL
1ω
R
CR
LZ
DCγRmL
xxQxIxI
tFtU
1
mCmL
1.1.3. Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger )
Induktive Kopplung:R1
C1L1I1Q1
R2
C2L2 I2
Q2
L12
QLQQRQL
QLQQRQL
1122C1
2222
2121C1
1111
2
1
QLQQRQL
QLQQRQL
1122C1
2222
2121C1
1111
2
1
Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten
Beispiel: L1L2 L C1C2C R1R2 R
Normalkoordinaten: QQQ 21 QQQ 21
Eigenfrequenzen: αω 241
CLL1
12 αω 241
CLL1
12
0QQRQLL C1
12 0QQRQLL C
112
α 12LL
R α
12LLR
ee~Q tωitα21
ee~Q tωitα2
1
Normalmoden ( Schwingfall ):
Analoges Verfahren
R1
C1
L1 R2
C2
L2Ck
Kapazitive Kopplung:
Galvanische Kopplung:
R1
C1
L1 R2
C2
L2Rk
Lade-Widerstand
Puffer-Kondensator
npn-Transistor als elektronischer Schalter
Schwingkreis
CL1
0 ω
CL1
0 ω
1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
Beispiel: Meißner-Schaltung
L C
R1 C1
TCR τ0
ωπ2
11 TCR τ0
ωπ2
11
L C
R1 C1
sperrt
Schwingphase 1
autarker Schwingkreis
TCR τ0
ωπ2
11 TCR τ0
ωπ2
11
Lade-Widerstand
Puffer-Kondensator
npn-Transistor als elektronischer Schalter
Schwingkreis
CL1
0 ω
CL1
0 ω
L C
R1 C1
L C
R1 C1
leitet
Schwingphase 2
Nachladung
Beispiel: Meißner-Schaltung
1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
1.2. Elektromagnetische Wellen auf Leitern1.2.1. Die Telegraphengleichungviele gekoppelte Schwinger Kontinuumsübergang Wellen
Beispiele: , Leitermantel
x
I ( x , t )I ( x , t )
Doppelleitung( Flachbandkabel, Twisted Pair ) Koaxialkabel ( Koax-Kabel )
Voraussetzung: d c ≪ T bzw. c≪ dd. h. lokal gelten weiterhin die Gesetze der Quasistatik!
CLR xdCd
xdLd
xdRd CLR xd
CdxdLd
xdRd
dx dx dx dx
Ersatzschaltbild:
x
dR dL dR dL dR dL dR dLdC dC dC dC dC
dd
Beispiel: d mm ≪ 30 GHz
dC
Maschenregel:
t,xUt,xIRdt,xIdLt,xU 2xd
2xd
2xd
t2xd
xdRdt,xIRdxdLdt,xIdLt,xUxd tx
ΟΟ
xdRxdLt,xIRt,xILt,xU tx ΟΟ
für dx IR
t
IL
x
U
IRt
IL
x
U
Also:
Am Ort x zur Zeit t:
dx x
dR dL
dCdC
x
dR dL
t,xU 2xd t,xU 2
xd
t,xQ t,xI 2xd t,xI 2
xd
Knotenregel: t,xIxdxIxIt,xQ x2xd
2xd
t
t,xIxdt,xUCdt,xUCdt,xQ xt
t
UC
x
I
t
UC
x
I
Also:
Am Ort x zur Zeit t:
dx x
dR dL
dCdC
x
dR dL
t,xU 2xd t,xU 2
xd
t,xQ t,xI 2xd t,xI 2
xd
IRt
IL
x
U
IRt
IL
x
U
t
UC
x
I
t
UC
x
I
Folgerung:
t
UCR
t
UCL
x
IR
tx
IL
x
U
2
22
2
2
t
ICR
t
ICL
tx
UC
x
I
2
22
2
2
t
ICR
t
ICL
x
I
t
UCR
t
UCL
x
U
2
2
2
2
2
2
2
2
Telegraphengleichung
Wellengleichung mit Dämpfung
2
2
2
2
2
2
2
2
t
ICL
x
I
t
UCL
x
U
Wellengleichung
Spezialfall: ideale Leiter 0R 0R
CL
1v
Phasengeschwindigkeit
Lösung: ( Tafelrechnung, Handout )
0
tωixkik
xkik
W
0
tωixkik
xkik
kdeeBeAZ
1t,xI
kdeeBeAt,xU
0
tωixkik
xkik
W
0
tωixkik
xkik
kdeeBeAZ
1t,xI
kdeeBeAt,xU
Dispersionsrelation
Wellenwiderstand (Impedanz)
kvkωω kvkωω
C
L ZW
C
L ZW
Ak ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x
Bk ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x
Flachbandkabel
d r≫2 r
Koaxialkabel
2 a2 b
rd0
0
ln
1εεπC
r
dln
π
μμL
ab0
0
ln
1εεπ2C
a
bln
π2
μμL
r
dln
ε
μ
π
Z
r
dln
εε
μμ
π
1
C
LZ 0
0
0W
a
bln
ε
μ
π2
Z
a
bln
εε
μμ
π2
1
C
LZ 0
0
0W
n
c
μεμε
1
CL
1v
00
n
c
μεμε
1
CL
1v
00
377Z0
0
εμ
0
Vakuum-Wellenwiderstand
sm8
με1 103c
00
Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
μεn Brechungsindex
1.2.2. Signalkabel
Bemerkung: Die Phasengeschwindigkeit hängt nicht von k ab. Alle harmonischen Komponenten laufen gleich
schnell im Kabel. Pulsformen bleiben erhalten. Es gibt keine Dispersion.
CL
1v Phasengeschwindigkeit:
Bemerkung: Reales Kabel, . Die harmonischen Komponenten werden k-abhängig
absorbiert. Pulsformen bleiben nicht erhalten; Pulse zerfließen. Es gibt Dispersion.
0R
Behandlung von Übergängen zwischen Kabeln (exemplarisch):
1
1
1 C
LWZ
2
2
2 C
LWZ
0 x
Puls
Harmonische Komponenten für x 0: ωCLk 11
einlaufend:
reflektiert:
xktωi0 eU
xktωi0 eUρ
Reflexionskoeffizient
xkixkitωi
ZU
xkixkitωi0
eρeeI
eρeeUU
1W
0
xkixkitωi
ZU
xkixkitωi0
eρeeI
eρeeUU
1W
0
Harmonische Komponenten für x 0:
transmittiert: xk~
tωi0 eUτ
ωCLk~
22
Transmissionskoeffizient xk~
itωiZU
xk~
itωi0
eτeI
eτeUU
2W
0
xk
~itωi
ZU
xk~
itωi0
eτeI
eτeUU
2W
0
xkixkitωi
ZU
xkixkitωi0
eρeeI
eρeeUU
1W
0
xkixkitωi
ZU
xkixkitωi0
eρeeI
eρeeUU
1W
0
xk~
itωiZU
xk~
itωi0
eτeI
eτeUU
2W
0
xk
~itωi
ZU
xk~
itωi0
eτeI
eτeUU
2W
0
Stetigkeit von U und I bei x 0 (Grund: am Übergang endlich)
C ,Lτρ1:U
ρ1τρ1:I2W2W1W Z
1Z
1Z
1
12
12
2W1W2W1W
WW
WW
Z1
Z1
Z1
Z1
ZZ
ZZρρ )(
12
2
WW
W
ZZ
Z2ρ1τ
offenes Ende: 2τ1ρZ2W
kurzgeschlossenes Ende: 0τ1ρ0Z2W
perfekte Anpassung: 1τ0ρZZ21 WW
aber I x
x 0: x 0:
1.3. Elektromagnetische Wellen im Vakuum1.3.1. Hertzscher DipolÜbergang: offener Schwingkreis
B
E
getrennt undt lokalisier B ,E
B
E B
B
tlokalisier E nur
E
B
B ,E
erfüllen den ganzen Raum
• Quasistatik versagt• Eigendynamik der Felder wird wichtig• Abstrahlung elektromagnetischer Wellen
E
B
Antenne(Sender / Empfänger)
Dämpfung:1) Ohmscher Widerstand
der Antenne2) Abstrahlung elektro-
magnetischer Wellen
Sender mit induktiver Energieeinspeisung:
Ungedämpfter Oszillator
0
Energie L12
L
0 Resonanzfrequenz ?
Wechselstromleitung in Antenne (Dämpfung vernachlässigt):
Telegraphengleichung & Randbedingungen
zksinet,zI
zkcoseUt,zU 2π
W
0 tωi
ZU
tωi0
zksinet,zI
zkcoseUt,zU 2π
W
0 tωi
ZU
tωi0
Tafelrechnung
mit m ℕ
nL2
cmν
Ln
cπmω
m
L2λ
L
πmk
nL2
cmν
Ln
cπmω
m
L2λ
L
πmk
z
0
μεn ZW
L
Kontinuitätsgleichung
zkcoseρt,zUCt,zUcZ
nt,zρ tωi
0
UCρ
W
00
zkcoseρt,zUCt,zUcZ
nt,zρ tωi
0
UCρ
W
00
Tafelrechnung
Linienladungsdichte
epeρtp tωi0
ρptωi
π
L20
2π
2L200
2
2
epeρtp tωi0
ρptωi
π
L20
2π
2L200
2
2
Tafelrechnung schwingender Dipol
Hertzscher Dipol
Anschauliches mikroskopisches Modell:
feste Ionenrümpfe (Gesamtladung Q)
frei bewegliche Elektronen (Gesamtladung
Q)
L
Dipolnäherung Bewegung der Ladungsschwerpunkte
d0
tωi0 edQtp
d0 ist sehr viel kleiner als L
d0 ist sehr viel kleiner als L
Abstrahlung elektromagn. Wellen vom Hertzschen Dipol ( Theorie VL)
t
BErot
t
BErot
t
E
c
1jμBrot
20
t
E
c
1jμBrot
20
wechselseitige
Anregung
jμ0
jμ0
Dynamik des Stromflusses
(Quasistatik)
r
1B ,E
3
Nahfelder:
E- und B-Feld 90 phasenverschoben
Eigendynamik der Felder r
1B ,E
Fernfelder:t
E
c
12
t
E
c
12
E- und B-Feld phasengleichdominant für r » d0
Tt 21 Tt 21 Tt 4
3 Tt 43
Tt 81 Tt 81 Tt 4
1 Tt 41 Tt 8
3 Tt 83
Zeitentwicklung des E-Feldes
Zeitentwicklung des E-Feldes
Tt 87 Tt 87 Tt Tt
…
E- und B-Fernfelder
E
B
Qualitative Eigenschaften der Fernfelder:z
0
tp
rB
-Feld konzentrisch um Dipolachse
(max. in Äquatorialebene)
mittlere Energiestromdichte
mittlere abgestrahlte Leistung
Abstrahlcharakteristik
sin|B|
sin|E| , rE , BE
(max. in Äquatorialebene)
r
sin
cεπ61
ωpS,S
2
2
30
2
420
r
sin
cεπ61
ωpS,S
2
2
30
2
420
cεπ6
ωpP
30
420
cεπ6
ωpP
30
420
z
S
Abstrahlung 4
senkrecht zur Dipolachse
Strahlung in großem Abstand von der Sendeantenne, r » d:
Krümmung der Phasenflächen zu vernachlässigen Ebene Wellen, Polarisation ∥ e
Strahlung senkrecht zur Antenne (x-Richtung):
z
S
e
x
y
z
xktωi0 eeEt,xE
y
xktωic
E eet,xB 0
E
B
1.3.2. Abstrahlung einer beschleunigten Ladung
Interpretation
q
a Momentaufnahme eines
Hertzschen Dipols
q
a
Antenne
Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger
Beschleunigte Ladungen strahlen (in ihrem Ruhesystem) e.m.-Wellen aus (Dipolstrahlung mit Beschleunigungsrichtung als Dipolachse)
S
q
av
0v
0
q
v
cv
c
a
q
a
v cv c
1
1γ
θ
1
2
2
cv
1
1γ
θ
1
2
2
cv
Anwendung: Röntgenstrahlung
e
VakuumröhreGlühkathode Anode
Röntgenstrahlen (X-Rays) zur Patientin
Kern im Anodenmaterial
pp
nn
nn np
ppp
p
n
nnp
pnp nn
p
e,,Bremsstrahlung“
Anwendung: Synchrotronstrahlung ( Beispiel: BESSY II )
Elektronen-SynchrotronRadius typisch 100 m
ea
Synchrotronstrahlung
EB
Strahlung ist…• intensiv & eng gebündelt• kurz gepulst• breitbandig (bis X-Rays)• polarisiert
Beispiel: Himmelsblau
Streuung von Sonnenlicht an N- und O-Atomen der Atmosphäre
E
Elektronenhülle eines Atoms
Schwingung des Ladungsschwerpunkts Hertzscher Dipol
24 sinωθI
Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols
• Blau wird viel stärker gestreut als Rot blauer Himmel
• Streuung azimutal symmetrisch• Keine Streuung entlang der Dipolachse keine Streuung entlang des E-Vektors
des einfallenden Strahls
Polfilter-Anwendung in Fotografie:
• Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung
• Veränderung des Farbkontrasts
von Sonne
weißunpolarisiert
rötlichunpolarisiert
bläulichvoll polarisiert
1.3.3. Das elektromagnetische SpektrumCharakterisierung:• Frequenz• Wellenlänge• Photonenergie (Photon: Feldquant des e.m.-Feldes)
eVωνhE
mλ
Hzν
νc
π2ω
Plancksches Wirkungsquantum
h 6.6261034 Js π2h
400 nm 700 nm Violett Rot
Ultralangwelle: 1 Hz 300000 km
Ultralangwelle: 1 Hz 300000 km
kosmische Gammastrahlung: E ≲ 1014 eV 100 TeV ≳ 1020 m
kosmische Gammastrahlung: E ≲ 1014 eV 100 TeV ≳ 1020 m
1.4. Analogie: Mechanische Systeme
1.4.1. Erinnerung: Wellengleichungen
N 3: abstrakte Räume in Feldtheorie ... (x1,x2,,xN,t)
N: Dimension eines elastischen kontinuierlichen Mediums
N 2: Membran, Platte, Glocke, ... (x,y,t)
N 3: Festkörper, Flüssigkeitsvol., Gasvol., ... (x,y,z,t)
x,tN 1: Stab, Saite, ... x
x,t
Longitudinalwelle Transversalwelle
Linearer Elastizitätsbereich (Hookesches Gesetz)
Wellengleichung (isotropes Medium)
22
2
ct
x
N
1j2j
2
x
N
1j2j
2
c Phasengeschwindigkeit
Herleitung der Wellengleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip:
kj: mikroskopische Federkonstanten für den Auslenkungstyp
j
N1j1j1j xd
xdxdxdxdk
Isotrope elastische Materialkonst.
xd
xd2xd
xd1 N
22
N
21 kkη
z.B. Elastizitätsmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul
,x,xx 21 ,x,xdx 211
,xdx,x 221
k1
k2
Auslenkung t,x
dm
Massendichte:
xdρmd N
Kin. Energie:
xdρmdT N2
t21
2
t21
xdρmdT N2
t21
2
t21
Pot. Energie:
xdηxdη
dxk)x()xdx(kVd
N2N
1j21
N2
x21
N
1j
2
jxj21
2
jjj
N
1jj2
1
)(
)(
j
j][
xdρT N2
t21
xdρT N2
t21
xdηV N2
21
xdηV N2
21
Definition: c ρη c ρη
Lagrange-Funktion:
xdVTL N L
mit ][ 222
t21 cρ
L ][ 222
t21 cρ
L
xdL N L t,x ; ,, t
LLmit Lagrangedichte:
,, t kontinuierliche dynamische Variablen
t,x
gleichberechtigte Parameter
,x,xx 21 ,x,xdx 211
,xdx,x 221
k1
k2
Auslenkung t,x
dm
Massendichte:
xdρmd N
xdL N L xdL N L t,x ; ,, t
LL t,x ; ,, t
LL
Wirkung: tdxdtdLS N L
Hamiltonsches Prinzip: 0S
N
1i xit ixt
LLL
Euler-Lagrange-Gleichungen:
0 L
2N
1i i
2
i
N
1i xi
cρx
cρxx
i
L
2
2
t tρ
tρ
tt
L
ct
22
2
c
t 2
2
2
Wellengleichung
Unser Beispiel: cρ ][ 222
t21
L
Wellengleichung im isotropen Medium 22
2
ct
Allgemeine Lösung (vgl. Physik I): txkft,x txkft,x
mit Dispersionsrelation kcω ||
kcω ||
Spezielle Lösungsklassen:
et,x txki
harmonische Wellen:
Kugelwellen: N 3
N 2
tωirki
erk
et,r
erkJt,r tωi0
xr
1.4.2. Schwingende Saite
Kleine Auslenkung1
Auslenkung L L L V = SL
L
0
221
L
0
221
L
0
2 zdLzd1zd1LL zdSV
L
0
221 zdSV
L
0
221
xdηV N2
21
xdηV N2
21
Vergleich mit liefert: Sη Sη
z0 L
SS
Ruhelage
(z,t)
Spannung S (Kraft auf die Einspannung)
Saite: Masse m, Länge Lideal flexibel (keine Steifigkeit)
Lmρ Lmρ
m
LS
ρ
S
ρ
ηc
m
LS
ρ
S
ρ
ηc Phasengeschwindigkeit
Actio Reactio S Kraft zwischen benachbarten Saitensegmenten
m
LS
ρ
ηc
m
LS
ρ
ηc
Lösung der Wellengl.: Zerlegung in Superposition ebener Wellen ,ψtkωsinzksinAt,zf kkkk k0,kckω
Randbedingungen: ,2,1nkk0Lksin0t,Lz
00t,0z
Lπn
n
k
Allgemeine Lösung:
ψtωnsinzsinAt,z 1n
nLπn
n
ψtωnsinzsinAt,z 1n
nLπn
n
mit
ρS
L21
π2ω
ρS
Lπ
1
ν
ckω
Eigenschwingungen
z0 L
SS
Ruhelage
(z,t)
Spannung S (Kraft auf die Einspannung)
Saite: Masse m, Länge Lideal flexibel (keine Steifigkeit)
Lmρ Lmρ
Eigenschwingungen:
Allgemeine Lösung:
ψtωnsinzsinAt,z 1n
nLπn
n
ψtωnsinzsinAt,z 1n
nLπn
n
mit
ρS
L21
π2ω
ρS
Lπ
1
ν
ckω
Grundfrequenz
Eigenschwingungen
n 1Grundschwingung
n 21. Oberschwingung
νν1
ν2ν2
ν3ν3 n 32. Oberschwingung
1 Bauch0 Knoten
2 Bäuche1 Knoten
3 Bäuche2 Knoten
1n
nLπn
n ψtωnsinzsinAt,z
1n
nLπn
n ψtωnsinzsinAt,zAnwendung: Saiteninstrumente
a) Zupf-Anregung (Gitarre, Cembalo, Harfe, )
Anfangszustand: 0t,z
00t,z 2π
nψ
1n
Lπn
n zsinA
Fourier-Entwicklung
An ,,Frequenzspektrum”
Anschauliche Fourierentwicklung für Zupfen bei L :
0A1 groß
0A2 0A4
0A3 klein
Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt
Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt
πnβsinπβ1βn
2
h
A ,
L
cπnckω
zksintωcosAt,z
2n
nn
nn1n
n
πnβsinπβ1βn
2
h
A ,
L
cπnckω
zksintωcosAt,z
2n
nn
nn1n
n
Asymmetrisch gezupfte Saite:
0.001
0.01
0.1
1
10
1 6 11 16 21 26 31
h
An
β = 1/3
n
0.001
0.01
0.1
1
10
1 6 11 16 21 26 31
β = 1/10
n
L
h
β·L
0,z
00,z
Bewegung der gezupften Saite:
Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführtPeriode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück
Ruheposition der Saite
Ruheposition der Saite
Mittlere Auslenkung
Mittlere Auslenkung
Zeit
Auslenkung beim Bogen
• Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude
• Spektrum ähnlich zum Zupfen
b)Streich-Anregung (Geige, Cello, ) Helmholtz-Bewegung
πnβsincπn
V2 A ,
L
cπnckω
zksintωsinAt,z
nnn
nn1n
n
πnβsincπn
V2 A ,
L
cπnckω
zksintωsinAt,z
nnn
nn1n
n
V
cAn
0.001
0.01
0.1
1
1 6 11 16 21 26 31
β = 1/3
n
0.001
0.01
0.1
1
1 6 11 16 21 26 31
β = 1/10
n
Idealfall: 00,z
LβzδV0,z
L
V
β·L
z,0φΔc) Hammer-Anregung (Klavier, ):
Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als
beim Zupfen
Cello Konzertgitarre
Problem für Musikerzeugung mit Saiten:
Saiten sind schwache Schallstrahler langer, aber sehr leiser Klang
Ausweg: mechanische Kopplung ( z.B. Steg ) an andere Schwinger (Platten, Lufthohlräume Helmoltz-Resonator , die effektiv Energie abstrahlen
1.4.3. Schwingende Membran
Kleine Auslenkung
1
Auslenkung A A A V = SA
ydxdAydxd1
dyxd1AA2
21
2
21
2
xdηV N2
21
xdηV N2
21
Vergleich mit liefert: Sη Sη
Membran: Masse m, Fläche Aideal flexibel (keine Steifigkeit)
m
AS
ρ
S
ρ
ηc
m
AS
ρ
S
ρ
ηc Phasengeschwindigkeit
Spannung: S S ds Spannkraft senkrecht auf Rand ds jedes Flächenelements
x
yEinspannungAmρ Amρ t,y,x
ydxdSV 2
21
ydxdSV 2
21
x
yEinspannung t,y,x
Wellengleichung …
yxtc
1
2
2
2
2
2
2
2
yxtc
1
2
2
2
2
2
2
2
r
1
rr
rr
1
t
c
1
2
2
22
2
2
r
1
rr
rr
1
t
c
1
2
2
22
2
2
günstig für Rechteckmembran günstig für Kreismembran
… in kartesischen Koordinaten (x , y) … in Polarkoordinaten (r , )
Errechnung der Eigenmoden durch Faktorisierungsansatz ( Tafel) :
thygxft,y,x thgrft,,r
Zusätzlich: Randbedingung durch Einspannung: 0t,Rand
ψtsinth
θyksinyg
θxksinxf
yy
xx
ψtsinth
1,,0p , θpsing
rkJrf p
Besselfunktionen
kkc
kc 2y
2x
kkc
kc 2y
2x
Fall 1: Rechteckmembranen:
x
yLx
Ly
Lösung der Wellengleichung: Superposition ebener Wellen
,ψtkωsinθyksinθxksinAt,y,xfkk,yykx,xkk
)( ||)( kckω
Randbedingungen:
,2,1m,n,,k,kk
0LksinLksin0t,L,xt,y,L
0θθ0t,0,xt,y,0
yxmn Lπm
Lπn
yx
yyxxyx
k,yk,x
2y
2
2x
2
mn
Lm
Ln
ρS
2y
2xnm
π
kkcω
Eigenfrequenzen
Allgemeine Lösung:
ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n
nmnmLπm
Lπn
nm yx
ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n
nmnmLπm
Lπn
nm yx
Eigenschwingungen
n = 1 m = 1 n = 2 m = 1
n = 1 m = 2 n = 2 m = 2
n = 3 m = 1 n = 3 m = 2
• n Bäuche in x-Richtung
• m Bäuche in y-Richtung
• n1 Knotenlinien in x-Richtung
• m1 Knotenlinien in y-Richtung
Saite: n n 1 harmonischer Klang
Membran: nicht-harmonisches Spektrum Eine schwingende Membran erzeugt keinen Klang Chladni-Muster
2y
2
2x
2
mn
Lm
Ln
ρS
2y
2xnm
π
kkcω
Eigenfrequenzen
Allgemeine Lösung:
ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n
nmnmLπm
Lπn
nm yx
ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n
nmnmLπm
Lπn
nm yx
Eigenschwingungen
Fall 2: Kreismembranen: 2R
x
y
r
Randbedingung:
pnR1
pnp ξkk0RkJ 0t,,R Bezeichnung: pn n-te Nullstelle der p-ten Besselfunktion Jp (n ℕ)
,ψtωsinrkJθpsinAt,,rf kpkkk , pℕ0kcωLösung der Wellengleichung: Superposition von Kreiswellen
Allgemeine Lösung:
ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n
Rr
pnppn
ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n
Rr
pnppn
Eigenschwingungen
Eigenfrequenzen: ρS
R
ξ
pnpnpnkcω
p = 0 n = 1 p = 1 n = 1
p = 2 n = 1 p = 3 n = 1
p = 0 n = 2 p = 3 n = 2
ρS
R
ξ
pnpn
pn
kcω
ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n
Rr
pnppn
ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n
Rr
pnppn
• n Bäuche in r-Richtung
• 2p Bäuche in -Richtung
• n1 Knotenkreislinien
• p Knotendurchmesserlinien
2,405ξ01 2,405ξ01 unharmonische Nullstellenfolge kein harmonischer Klang
Chladni-Muster
Bemerkung: Transversal schwingende (dünne) Stäbe und Platten
• Ähnlich zu Saiten und Membranen• Unterschied (1): Nichtlinearer Dispersionsrelation c c()
• Unterschied (2): Enden bzw. Rand frei / unterstützt / eingespannt
Beispiel: Stab
κt
222
2
κ
t 22
2
2
kκ 2
kκ 2
κkκk
c
κkκk
c
0xx 3
3
2
2
frei:
0x2
2
unterstützt / eingehängt:
0x
eingeklemmt:
Chladni-Muster nur qualitativ wie bei Saite / Membran
1.5. Elektromagnetische Hohlleiter und Resonatoren
1.5.1. Hohlleiter Literatur: K. Wille, ,,Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen”, TeubnerLiteratur: K. Wille, ,,Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen”, Teubner
•Hochfrequenzsysteme zur Teilchenbeschleunigung
•Mikrowellentransport
•Lichtleiter, Optoelektronik
z
Ausbreitungs-richtung ( kz )total reflektierende Wand
( z.B. idealer Leiter )
k
Wellengleichung: Zusätzlich: EE tB
tE
c1
2
2
2
Zeitseparation:
iˆt
erBt,rB,erEt,rE titi
Einsetzen mit rErBωi
rEkrE 2
rErBωi
rEkrE 2
kcω kcω
rErBωi
rEkrE 2
rErBωi
rEkrE 2
kcω kcω
Separation für Ez in : )z,r(r
2rz k
zg
zg
rf
rfzgrfrE
2ck 2
zk
Bemerkung: Randbedingung ( reflektierende Wand )
stehende Wellen rf
0k2c
Ausbreitung in z-Richtung: 1kkkk 2
2c
k
k2c
2z 1kkkk 2
2c
k
k2c
2z
1
λλ
2c
2
λλ
z
1
λλ
2c
2
λλ
z
Benennung: kc heißt Grenzwellenzahl ( für die betrachtete Mode ) ,
heißt Grenzwellenlängeckπ2
cλ
z
Ausbreitungs-richtung ( kz )total reflektierende Wand
( z.B. idealer Leiter )
k
Fall 1:
exponentiell gedämpft bzw. unphysikalisch keine Ausbreitung
zk2zcc
2zezg0kλλ,kk
0zgkzg
zgrfrE 2z
z
0zgkzg
zgrfrE 2z
z
Fall 2:
Wellenausbreitung in z-Richtung
zz2zcc φzksinzg0kλλ,kk
rErBωi
rEkrE 2
rErBωi
rEkrE 2
kcω kcω
Ausbreitung in z-Richtung: 1kkkk 2
2c
k
k2c
2z 1kkkk 2
2c
k
k2c
2z
1
λλ
2c
2
λλ
z
1
λλ
2c
2
λλ
z
0zgkzg
zgrfrE 2z
z
0zgkzg
zgrfrE 2z
z
Dispersionsrelation: 2z
2cz kkckckω
c1cv 2z
2c
z k
kkω
φ Phasengeschwindigkeit:
cv2zk
2ck2
z2c
z
z1
c
kk
kckdωd
g
Gruppengeschwindigkeit:
rErBωi
rEkrE 2
rErBωi
rEkrE 2
kcω kcω
Ausbreitung in z-Richtung: 1kkkk 2
2c
k
k2c
2z 1kkkk 2
2c
k
k2c
2z
1
λλ
2c
2
λλ
z
1
λλ
2c
2
λλ
z
Fall 2: Wellenausbreitung in z-Richtung
zz2zcc φzksinzg0kλλ,kk
Beispiel: Rechteckhohlleiter kartesische Koordinaten günstig
z
x
y
a > b
bModen Produkte ebener Wellen (vgl. Membran)
Zusätzlich (Maxwellgleichungen): 0E
0E
Einzig mögliche Amplituden-Phasen-Kombination:
ψzkcosθyksinφxksinErE
ψzksinθykcosφxksinErE
ψzksinθyksinφxkcosErE
zyx0z
zyx0y
zyx0x
z
y
x
mit: 0Ek 0
0Ek 0
,0θφ bπm
yaπn
x k,k ( n,mℕ0 )
Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor am Rand Wand
0z,b,xEz,0,xEz,y,aEz,y,0E zzzz 0z,y,aEz,y,0Ez,b,xEz,0,xE yyxx
ψzkcosysinxsinErE
ψzksinycosxsinErE
ψzksinysinxcosErE
zbπm
aπn
0z
zbπm
aπn
0y
zbπm
aπn
0x
z
y
x
0Ek 0nm
0Ek 0nm
k
k
z
bπm
aπn
nm
kk
z
bπm
aπn
nm
ψzkcosθyksinφxksinErE
ψzksinθykcosφxksinErE
ψzksinθyksinφxkcosErE
zyx0z
zyx0y
zyx0x
z
y
x
0Ek 0
0Ek 0
ψzkcosysinxsinErE
ψzksinycosxsinErE
ψzksinysinxcosErE
zbπm
aπn
0z
zbπm
aπn
0y
zbπm
aπn
0x
z
y
x
0Ek 0nm
ψzksinycosxcosBrB
ψzkcosysinxcosBrB
ψzkcosycosxsinBrB
zbπm
aπn
0z
zbπm
aπn
0y
zbπm
aπn
0x
z
y
x
0Bk 0nm
EB ωi1
EB ωi
1
EkB 0nmωi1
0
EkB 0nmωi
10
BkE 0nmωic
0
2
BkE 0nmωic
0
2
BE ωic2
BE ωi
c2
Zwei Moden-Klassen:
Transversal elektrisch: TEnm
0E z0 0E z0 0B
z0 0B z0
Transversal magnetisch: TMnm
0B z0 0B z0 0E
z0 0E z0
TE10 TE01 TE20 TE11 TE02 TE30 TM11 TM21 TM12 TM31 TM22
k
k
z
bπm
aπn
nm
kk
z
bπm
aπn
nm
Beispiel: TE10-Mode ( Fundamentalmode)
x
y
za > b
b
0rE
ψzksinxsinErE
0rE
z
zaπ
0y
x
y
0rE
ψzksinxsinErE
0rE
z
zaπ
0y
x
y
ψzksinxcosBrB
0rB
ψzkcosxsinBrB
zaπ
0z
y
zaπ
0x
z
x
ψzksinxcosBrB
0rB
ψzkcosxsinBrB
zaπ
0z
y
zaπ
0x
z
x
xa
EyBx
Bz
y
xa
bEyBx
y
z
EyBz
b
x
z
a
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙ ⊙
⊙⊙
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗ ⊗
⊗⊗
B
E
Bemerkung:
2
2
2
2
bm
an2
y2xc
mnc
2
kk
π2
k
π2λ
zb
πmaπn
nm k,,k
,λ,λ,λλba11c20c01c01c
Wahl der Frequenz derart, dass gilt:
,λ,λ,λλλ 11c20c01cν
c01c ,λ,λ,λλλ
11c20c01cνc
01c
Folge: Nur die TE10-Mode wird geleitet Mono-Moden-Leiter
Bemerkung: Zylindrische Hohlleiter
Zylinderkoordinaten
zx
y
R
TE Moden: TE11 TE21 TE01 TE31 TE41 TE12 TE51
TM Moden: TM01 TM11 TM21 TM02 TM31 TM12 TM41
Fundamentalmode p=0, n=1 für Teilchenbeschleuniger
r z zksin z φpsin
p 0 , 1 ,
φpcos zkcos z
Rr
pnpJ
n 1 , 2 ,
Rr
pnpJ
pn Nullstellen von
TEJ
TMJ
p
p
Beispiel:
Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen
TE10
(Rechteckiger Querschnitt)
Reflexionsfreier Absorber
HF-Quelle (Klystron)
Teilchenpaket (e , e , p , )
Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure”Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle
TeilchengeschwindigkeitE
TE10
TM01-Mode E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage
des Teilchenpakets
Rechteckiger Wellenleiter
Wanderwellen-Beschleunigungskavität
1.5.2. Hohlraumresonator (Hohlleiter mit ideal leitenden ,,Deckeln“)
Deckel zusätzliche Randbedingung in z stehende Wellen
Hohlleiter ohne Deckel:
ψzkcosrE
ψzksinrE
ψzksinrE
zz
zy
zx
ψzkcosrE
ψzksinrE
ψzksinrE
zz
zy
zx
Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor an Deckeln Wand
00,y,xE0,y,xE yx 0ψ 0ψ
(q ℕ0) 0L,y,xEL,y,xE yx ,k qL2
zLπq
z ,k qL2
zLπq
z
Resonanzwellenlängen R:
2z
2c
2 kkk 21
2
2
2c L
q41
λ1
Rλ
21
2
2
2c L
q41
λ1
Rλ
Resonanzfrequenzen: R R c
Sehr kleine ohmsche Verluste in Wänden Hohlraumresonator ≙ Schwingkreis extrem hoher Güte
z
x
y
L
Deckel
Deckel
Deckel
z
xy
a
b
L
DeckelBeispiel: Rechteckresonator
ψzkcosysinxsinErE
ψzksinycosxsinErE
ψzksinysinxcosErE
zbπm
aπn
0z
zbπm
aπn
0y
zbπm
aπn
0x
z
y
x
ohne Deckel Hohlleiter
21
2
2
2
2
bm
an
c 2
21
2
2
2
2
bm
an
c 2
zcosysinxsinErE
zsinycosxsinErE
zsinysinxcosErE
Lπq
bπm
aπn
0z
Lπq
bπm
aπn
0y
Lπq
bπm
aπn
0x
z
y
x
Resonator-Schwingungsmoden 2
1
2
2
2
2
2
2
L
q
bm
an
R 2λ
21
2
2
2
2
2
2
L
q
bm
an
R 2λ
,,E Lq
bm
an
0 ,,E L
qbm
an
0
TEnmq: TMnmq: 0E z0 0E
z0 0B z0 0B
z0 (TE001: Fundamentalmode)
Beispiel:
Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen
Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure”Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle
Teilchengeschwindigkeit
HF-Quelle (Klystron)
Stehende-Wellen-Beschleunigungskavität
TM01q
r z
Teilchenpaket (e , e , p , )
E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage
des Teilchenpakets
Rechteckiger Wellenleiter
E
TE10