1 Erweiterung der Analysis I - bzm.debzm.de/download/2014_2015/bos/BOS_2014_Ma.pdf · Mathematik BOS 22.04.15, 21:10 BOS_2014_Ma.doc 1 © K.-B. Rohloff 1 Erweiterung der Analysis

Mathematik BOS

22.04.15, 21:10 BOS_2014_Ma.doc 1 © K.-B. Rohloff

1 Erweiterung der Analysis I

1.1 Kurvenscharen

1.1.1 Einleitendes Beispiel

Wir betrachten die 4 Parabeln f(x) = 1/4x² + 1/2x + 3 f(x) = 1/4x² + 1/2x + 2 f(x) = 1/4x² + 1/2x - 2 f(x) = 1/4x² + 1/2x - 3 und untersuchen in 2 Gruppen ihre NSTn:

Gruppe 1 (±3) Gruppe 2 (±2) 1/4x² + 1/2x + 3 = 0

x² + 2x + 12 = 0

x01,02 = -1 ± 1 - 12 k. L.

1/4x² + 1/2x + 2

x² + 2x + 8 = 0

x01,02 = -1 ± 1 - 8 k. L. 1/4x² + 1/2x - 3 = 0

x² + 2x - 12 = 0

x01,02 = -1 ± 1 + 12 = -1 ± 13

x01 = -1 - 13 ≈ -4,606

x02 = -1 + 13 ≈ 2,606

Probe nach Vieta:

x01 + x02 = -p; x01·x02 = q

-4,606 + 2,606 = -2

-4,606∗2,606 = -12

1/4x² + 1/2x - 2 = 0

x² + 2x - 8 = 0

x01,02 = -1 ± 1 + 8 = -1 ± 9 = -1 ± 3

x01 = -4

x02 = 2

Probe nach Vieta:

-4 + 2 = -2

-4∗2 = -8

Tafelskizze der Kurvenschar (s. Grafik nächste Seite)

Um eine mathematische Untersuchung (z. B. Anzahl der NST, Lage des Scheitelpunktes) nicht für jede Funktion wiederholen zu müssen, fasst man alle Funktionen zu einer Scharfunktion zusammen, indem man für die veränderbare letzte Zahl (das ‚c’) einen freien Parameter u einsetzt:

f(x;u) = 1/4x² + 1/2x + u (Schilling: fk(x) = 1/4x² + 1/2x + k)

Ggf. ist neben dem Definitionsbereich der Funktion (bez. x) auch noch der Wertebereich des Scharparameters u anzugeben, z. B.:

Df = Á, u ∈ Á.

Diese Angaben nehmen wir standardmäßig an. Wir werden sie daher nicht ständig wiederholen.

Mathematik BOS


Wiederholung der anderen Mengen:

ã: natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3…), aber ã* ohne die Null;

à: ganze Zahlen (0, ±1, ±2, ±3…), aber à* ohne die Null;

â: rationale Zahlen (Brüche ganzer Zahlen), â* ohne die Null;

Á: reelle Zahlen, wieder Á* ohne Null.

Was bewirkt u im Graphen der Funktion?

u=0: f(x;0) = 1/4x² + 1/2x

u > 0: nach oben verschoben: f(x;2) = 1/4x² + 1/2x + 2 usw.

u < 0: nach unten verschoben: f(x;-1) = 1/4x² + 1/2x - 1 usw.

u ist im Graphen als Achsenschnittpunkt erkennbar!

Zu den bisherigen Fragestellungen (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wende- und Sattelpunkte) kommen nun Fragestellungen hinzu, die sich auf den Scharparameter beziehen. Bezogen auf das obige Beispiel etwa:

a) Für welche u-Werte hat die Parabel 0|1|2 Nullstellen?

b) Welcher Wertebereich ergibt sich in Abhängigkeit von u?

c) Wo (auf welcher Kurve) liegen alle Scheitelpunkte der Schar (sog. Ortskurve)?

Zu a: Bestimmung der NST: 1/4x² + 1/2x + u = 0 | · 4

x² + 2x + 4u = 0 | p = 2; -p/2= -1; q = 4u

x01;02 = -1 ± 1 - 4u

Mathematik BOS


Diskriminante Null setzen (Grenzfall):

1 - 4u = 0 ⇒ 1 = 4u ⇒ u = 1/4

Fallunterscheidung:

1. u = 1/4: 1 doppelte NST: x01,02 = -1 (Berührstelle)

2. u > 1/4: D < 0 ⇒ keine NST

3. u < 1/4: 2 NST: x01;02 = -1 ± 1 - 4u

Beispielhafte Werte:

u x01 x02

1/4 -1 -1

1/8 -1- 1/2 ≈ -1,707 -1+ 1/2 ≈ -0,2929

0 -2 0

-3/4 -3 1

Zu b: Wertebereich

Lage des Scheitelpunkts SchP(xS|yS):

Bekannt ist: xS = -1 (=-p/2)

yS = f(-1;u) = 1/4 - 1/2 + u = -1/4 + u

Somit erhalten wir: SchP(-1|-1/4 + u)

Damit können wir auch den Wertebereich der Funktion angeben:

Wf = [-1/4 + u;∞)

Mit den Beispielwerten ergibt sich

u Wf

1/4 [0;∞)

1/8 [-1/8;∞)

0 [-1/4;∞)

-3/4 [-1;∞)

Zu c: Ortskurve des Scheitelpunkts

Alle Scheitelpunkte liegen auf einer senkrechten Geraden x = -1.

Der Term –p/2 einer quadratischen Gleichung ist zugleich auch die x-Koordi-

nate des Scheitelpunkts der Parabel.

Mathematik BOS


Hausaufgabe 1

Untersuchen Sie die Parabel f(x;u) = 1/2x² - 2x + u daraufhin, bei welchen u-Werten keine NST, eine NST oder zwei NSTn auftreten (und welche das sind). Beispielhafte Werte für u=1; 0; -2,5.

Lösung:

u=1: ;

u=0: ; u=-2,5: ;

Bei der Besprechung darauf eingehen, dass die x-Koordinate des Scheitel-punkts bereits bekannt ist, nämlich das –p/2 Glied aus der quadratischen Gleichung, also xs = 2. Einsetzen ergibt ys:

ys = f(2;u) = 1/2·2² - 2·2 + u = 2 – 4 + u = -2+u

Scheitelpunkt: SchP(2|-2+u)

Für die 3 beispielhaften Werte:

u=1: SchP(2|-1); u=0: SchP(2|-2); u=-2,5: SchP(2|-4,5)

Bestimmung des Scheitels mit Hilfe der Ableitung:

f’(x;u) = x – 2 | u ist wie eine Konstante zu behandeln!

x – 2 = 0 ⇒ xs = 2

Übungsaufgabe: Bestimmen Sie den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadra-tischen Gleichung und die Nullstellen, sofern möglich:

a) f(x) = 1/2x² + 2x – 2,5 1/2x² + 2x – 2,5 = 0 | ·2

x² + 4x – 5 = 0 | p=4, -p/2=-2; q=-5 ⇒ xs = -2

x01,02 = -2 ± 4 - (-5) = -2 ± 3

x01 = -5; x02 = 1

ys = 1/2(-2)² + 2(-2) – 2,5 = -4,5 ⇒ SchP(-2|-4,5)

b) f(x) = 3x² - x + 2

3x² - x + 2 = 0 | :3

x² - 1/3x + 2/3 = 0 | p=-1/3; -p/2 = 1/6 = xs; q = 2/3

x01,02 = 1/6 ± 1/36 - 2/3 nicht lösbar

ys = 3(1/6)² - 1/6 + 2 = 23/12 = 111/12 ⇒ SchP(1/6|1

11/12)

kann übersprungen werden

Mathematik BOS


Der Scheitelpunkt lässt sich immer bestimmen, auch wenn die Wurzel nicht gezogen werden kann!

Praktische Beispiele von Kurvenscharen:

• Wirksamkeit eines Medikaments als Funktion der Dosis, Parameter ist die Tageszeit der Einnahme (10:00h am günstigsten);

• Wirksamkeit eines Medikaments als Funktion der Dosis; Parameter ist die Blutgruppe (A, B, AB und 0);

• Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers als Funktion der Wellen-länge, Parameter ist die Temperatur des Körpers (Folie aus der Atom-physik);

• Kollektor-Emitter-Strom eines Transistors als Funktion der Kollektor-Emitter-Spannung, Parameter ist der Basisstrom (Folie Ausgangskenn-linie).

1.1.2 Zweites Beispiel mit Parameter im linearen Glied

f(x;u) = x² + ux + 2,25

Geometrische Bedeutung von u als Steigung im Achsenschnittpunkt erklären (D:\ownfiles\bzm\zeitlos\BOS\Mathe\Parabel1.ggb).

a) Wir untersuchen die Anzahl der NSTn,

b) die Lage des Scheitelpunkts und

c) die Ortskurve des Scheitelpunkts.

Zu a:

x² + ux + 2,25 = 0 | p = u; -p/2 = -u/2; q=2,25

x01,02 = -u/2 ± u2/4 - 2,25

Der Radikand wird auch Diskriminante genannt.

Lösbarkeitsbedingung: D = u²/4 – 2,25 ≥ 0

Ziehe nie die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl! Ebenso die 4., 6. usw.

Wurzel, d. h. alle geraden Wurzeln.

Wir betrachten zuerst den Grenzfall, dass das Gleichheitszeichen gilt. Dann gibt es nur eine NST:

u²/4 –2,25 = 0 | ·4

u² - 9 = 0

u² = 9

u = ±3 oder |u| = 3

Mathematik BOS


Es gibt eine Nullstelle x01 = -u/2 = -1,5 wenn u=31,5 wenn u=-3

Z. B. u=3: f(x;3) = x² + 3x + 2,25

x01,02 = –1,5 ± 9/4 - 2,25 = -1,5 (=xs und ys=0, SchP(-1,5|0))

Größerzeichen:

u² > 9 ⇒ |u| > 3, folglich

u > 3 oder u < -3 es gibt dann 2 NST,

z. B. u=-5: f(x;-5) = x² -5x + 2,25

x01,02 = 2,5 ± 25/4 - 2,25 = 2,5 ± 2,

x01 = 0,5; x02 = 4,5

xs = 2,5, ys = 2,5² -5·2,5 + 2,25 = -4, SchP(2,5|-4)

sonst (d. h. u² < 9) gibt es keine NST.

Z. B. u=1: f(x;1) = x² + x + 2,25

x01,02 = -1/2 ± 1/4 - 2,25 nicht lösbar, aber xs = -1/2 und ys = (-1/2)² + (-1/2) + 2,25 = 2, SchP(-1/2|2)

Veranschaulichung der Parameterwerte am Zahlenstrahl.

Hausaufgabe 2

Für welche u-Werte haben die beiden Funktionen g(x) = 1/2x – 2 und f(x;u) = 4x² + 16,5x + u keine gemeinsamen Punkte?

Lösung: ;

;

;

;

Mathematik BOS


;

;

Zu b: Lage des Scheitelpunkts

x-Koordinate des Scheitelpunkts: xs = -u/2

y-Koordinate durch Einsetzen:

f(-u/2;u) = (-u/2)² + u(-u/2) + 2,25 = u²/4 – u²/2 + 2,25 =

-u²/4 + 2,25

SchP(-u/2|-u²/4 + 2,25)

Z. B. u = -1: xs = 1/2; ys = -(-1)²/4 + 2,25 = -1/4 + 2,25 = 2 SchP(1/2|2)

Z. B. u=-2: xs = 1; ys = -1 + 2,25 = 1,25; SchP(1|1,25)

Z. B. u=25: xs = -12,5; ys = -25²/4 + 2,25 = -156,25 + 2,25 = -154 SchP(-12,5|-154)

Zu c: Ortskurve des Scheitelpunkts

Gesucht ist die Funktion ys(xs).

Aus xs = -u/2 folgt: u = -2xs

Einsetzen in f(x;u) für u:

ys = f(xs;-2xs) = xs² + (-2xs)·xs + 2,25 = xs² - 2xs² + 2,25 = -xs² + 2,25

Ortskurve des Scheitelpunkts:

ys(xs) = -xs² + 2,25

Probe:

ys(1/2) = -(1/2)² + 2,25 = 2 (� u=-1, s. o.) �

ys(1) = -1² + 2,25 = 1,25 (� u=-2, s. o.) �

ys(-12,5) = -12,5² + 2,25 = -154 (� u=25, s. o.) �

Ortskurve des Scheitelpunktes bestimmen:

Die Gleichung für xS nach u auflösen.

Diesen Term in die Funktion für u einsetzen (und x = xS setzen).

Demo mit Geogebra (Kurve_bsp2.ggb)?

1.1.3 Kurvendiskussion mit einer Scharfunktion

Schilling S. 367 Nr. 1: Untersuchen Sie die gegebene Funktionenschar f(x;u) = (x-u)² + u/2 allgemein auf

a) Definitionsbereich und Symmetrie,

Mathematik BOS


b) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs,

c) Schnittpunkte mit den Achsen,

d) Extrempunkte,

e) Wendepunkte,

f) Wertebereich und

g) zeichnen Sie die Graphen der Schar für u ∈ à, |u| ≤ 3.

Zur Wiederholung: Ein Term der Form (x-u) bedeutet grafisch eine Verschiebung in x-Richtung nach rechts (u>0) oder links (u<0).

Zu a: Definitionsbereich

D = Á, Symmetrie liegt nicht vor außer für u = 0 (Achsensymmetrie)

Zu b: Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs

Meint hier x � ± ∞. Parabel nach oben geöffnet ⇒ f(x;u) � ∞.

Zu c: Schnittpunkte mit den Achsen

Schnittpunkt mit der y-Achse:

f(0;u) = (-u)² + u/2 = u² + u/2 = u(u + 1/2)

Schnittpunkt mit der x-Achse:

(x-u)² + u/2 = 0 | - u/2

(x-u)² = -u/2 | √

x-u = ± -u/2 | +u

x = u ± -u/2

NST treten nur für u ≤ 0 auf.

Zu d: Extrempunkte

Parabel in Scheitelpunktform. Übungshalber soll hier der Scheitelpunkt mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt werden.

Bed.: f’(x;u) = 0 und f’’(x;u) ≠ 0

f’ bilden wir mit Hilfe der Kettenregel, nicht ausmultiplizieren:

Substitution: z = x-u dz/dx = 1 (innere Abl.)

Beim Ableiten wird der Parameter u wie eine Konstante behandelt. Gleiches

gilt auch beim Integrieren.

f(z;u) = z² + u/2 df/dz = 2z (äußere Abl.)

dfdx

= dfdz

·dzdx

= 2z·1

Mathematik BOS


Rücksubstitution:

f’(x;u) = 2(x-u)

x-u = 0 ⇒ xs = u

2. Ableitung:

f’’(x;u) = 2 > 0 �

Es liegt ein Minimum vor.

Einsetzen:

f(u;u) = (u-u)² + u/2 = u/2 ⇒ TP(u|u/2)

Zu e: Wendepunkte

Bed.: f’’(x;u) = 0 und f’’’(x;u)

Keine Wendepunkte, da f’’(x;u) = 2 ≠ 0.

Zu f: Wertebereich

W = [u/2; ∞)

Zu g: Zeichnung

Geht gut mit www.mathe-fa.de

Hausaufgabe 3

Berechnen Sie beispielhafte Werte wie unter g angegeben zu den Punkten c, d und f. Benutzen Sie die Tabellenform.

Lösung:

u f(0;u) x01 x02 xs ys W

Mathematik BOS


Hausaufgabe 4

Bestimmen Sie zu der ÜA aus dem Unterricht die Ortskurve der Scheitel-punkte.

Lösung: xs = u : .

Hausaufgabe 5

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch für die Funktion f(x;u) = 2x² + ux. Zeichnung (Punkt g) für u = 0; ±2 und ±4.

Lösung:

a) Definitionsbereich: ;

b) Verhalten an den Rändern des Definitionsber.: ;

c) Schnittpunkte mit den Achsen:

mit der y-Achse: ;

mit der x-Achse:

;

;

;

Probe machen lassen durch Einsetzen von x02:

= 0

d) Extrempunkte:

oder durch Ableitung:

⇒

oder mit 2. Ableitung:

.

= .

.

e) Wendepunkte: .

f) Wertebereich: ;

g) Zeichnung:

Bei der Besprechnung die Ortskurve der Scheitelpunkte berechnen lassen:

xs = Einsetzen in f(x;u):

;

Mathematik BOS


.

AB Ortskurve bestimmen A1

1.1.4 Kurvendiskussion mit einer kubischen Parabel

f(x;u) = x³ + ux + 2

a) Definitionsbereich: D = Á. Symmetrie ist nicht vorhanden!

b) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs

f(x;u) � ∞ für x� ∞; f(x;u) � -∞ für x � -∞.

Hausaufgabe 6

Untersuchen Sie das Verhalten von Polynomen mit ungeradem Grad wenn x gegen Unendlich bzw. -∞ strebt. Unterscheiden Sie dabei die Fälle, dass der höchste Koeffizient (a) positiv bzw. negativ ist.

c) Schnittpunkte mit den Achsen

mit der y-Achse:

f(0;u) = 2

mit der x-Achse: nicht bestimmbar. Nur für u=0 lassen sich Lösungen finden:

x³ + 2 = 0

x³ = -2 ⇒ x = 3-2 ≈ -1,26

Hausaufgabe 7

Wie viele NST kann ein Polynom 3. Grades mindestens bzw. höchstens haben? Versuchen Sie zu verallgemeinern auf ein beliebiges Polynom mit ungeradem Grad.

d) Extrempunkte:

f’(x;u) = 3x² + u

3x² + u = 0 | : 3

x² + u/3 = 0

x² = -u/3 ⇒ xe = ± -u/3

Extrema können nur auftreten, wenn u ≤ 0 ist.

Art des Extremums mit der 2. Ableitung prüfen:

f’’(x;u) = 6x

Fallunterscheidung:

1. u < 0

xe > 0 (Plus-Zeichen): ⇒ f’’(xe;u) = 6xe > 0 ⇒ TP

Mathematik BOS


xe < 0 (Minus-Zeichen): ⇒ f’’(xe;u) = 6xe < 0 ⇒ HP

2. u = 0

xe = 0 ⇒ f’’(xe;u) = 6xe = 0

3. Ableitung bilden:

f’’’(x;u) = 6

f’(xe;u)=0 und f’’(xe;u)=0 und f’’’(xe;u)≠0 ⇒ Es liegt ein Sattelpunkt (SP) vor.

Funktionswerte:

für xe = + -u/3 :

f(xe;u) = ( -u/3 )³ + u· -u/3 + 2 =

-u/3 ( -u/3 2 + u) + 2 = -u/3 (-u/3 + u) + 2 =

2/3u -u/3 + 2

TP( -u/3 |2/3u -u/3 + 2)

Z. B. u = -3: xe = 1 = 1

f(xe;-3) = -2· 1 + 2 = 0 ⇒ TP(1|0)

für xe = - -u/3 :

f(xe;u) = (- -u/3 )³ - u· -u/3 + 2 = - -u/3 3 - u· -u/3 + 2 =

- -u/3 ( -u/3 2 + u) + 2 = -2/3u -u/3 + 2

HP(- -u/3 |-2/3u -u/3 + 2)

Z. B. u = -3: xe = -1

f(xe;-3) = 2· 1 + 2 = 4 ⇒ HP(-1|4)

Hausaufgabe 8

Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte!

Lösg.: yTP(x) = ;

e) Wendepunkte

f’’(x;u) = 6x =! 0

6x = 0 ⇒ xw = 0

f(xw;u) = 2

WP(0|2)

f) Wertebereich

W = Á

g) Zeichnung für u=-3 ins Heft (NST: -2 raten)

oder mit der Substitutionstechnik

Mathematik BOS


1.1.5 Kostenfunktion mit Parameter

Es sei eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion gegeben durch K(x;u) = 1/36x³ -

u/3x² + 72x + 3600

x: Produktionsmenge (z. B. 1000 Stück Autoreifen)

Kapazitätsgrenze: xmax = 92

Wertebereich für u: 0 ≤ u ≤ 10

K(x;u): Kosten in 1000€

Gesucht: Betriebsminimum (BM) und kurzfristige Preisuntergrenze (kPug) sowie die Ortskurve dieses Punktes.

Wiederholung:

Fixkosten: Kf(x) = 3600

variable Kosten: Kv(x;u) = 1/36x³ - u/3x² + 72x

Grenzkosten: K’(x;u) = 1/12x² - 2/3ux + 72

Legt man die Kosten auf eine produzierte Einheit (1 Reifen) um, erhält man

Stückkosten: k(x;u) = K(x;u)/x = 1/36x² - u/3x + 72 + 3600/x

fixe Stückkosten: kf(x) = Kf(x)/x = 3600/x

variable Stückkosten: kv(x;u) = Kv(x;u)/x = 1/36x² - u/3x + 72

Der Punkt (BM|kPug) ist definiert als Minimum der variablen Stückkosten. Alternativ kann er auch als Schnittpunkt der Grenzkosten und der variablen Stückkosten bestimmt werden. Wir bestimmen ihn jetzt nach der ersten Methode.

Mathematik BOS


kv(x;u) stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar ⇒ es gibt ein Minimum.

Nullsetzen: 1/36x² -

u/3x + 72 = 0 | ·36

x² - 12ux + 2592 = 0 | p = -12u; -p/2 = 6u

xs = 6u = BM

Einsetzen in kv(x;u):

kv(6u;u) = 1/36(6u)² - u/3(6u) + 72 = u² - 2u² + 72 = -u² + 72 = kPug

z. B. u = 7: xs = 42 = BM; kPug = -7² + 72 = -49 + 72 = 23

Im Allgemeinen erhalten wir: (BM|kPug) = (6u|-u² + 72)

Ortskurve des Punktes:

u = xs/6 einsetzen in kv(x;u):

kv(xs;xs/6) = 1/36xs² - xs

6 ∗ xs

3 + 72 = 1/36xs² -

1/18xs² + 72 = -1/36xs² + 72

ys(xs) = -1/36xs² + 72

Probe: ys(42) = -1/36·42² + 72 = 23 �

Hausaufgabe 9

Zeichnen Sie die Schar der variablen Stückkosten für u=0 bis 7 in Einer-schritten. Als zweite Funktion stellen Sie die Ortskurve des Punktes (BM|kPug) dar. x-Bereich von 0 bis 100. Kleben Sie die Grafik in Ihr Heft ein.

Lösung: Grafik (Kostenfkt2-1-4-diag.png, mit mathe-fa erzeugt):

Zusatzfrage: Bei welchem u-Wert weist die Kv-Kurve einen Sattelpunkt (SP) auf? Praktisch kommt dieser Fall nicht vor. Es ist der Grenzfall zu den Kur-ven mit Extrema.

Kennzeichnend für einen Sattelpunkt ist ein Extremum in der 1. Ableitung (hier ein Minimum), das auf der x-Achse liegt. Die 1. Ableitung hat folglich eine doppelte NST.

Bed.: f’’ = 0 f’’’ ≠ 0 und f’ = 0 (Wendepunkt mit horizontaler Tangente)

Kv(x;u) = 1/36x³ - u/3x² + 72x

Kv’(x;u) = 1/12x² - 2/3ux + 72 (Grenzkosten, s. o.)

Kv’’(x;u) = 1/6x - 2/3u | Nullsetzen

1/6x - 2/3u = 0 | + 2/3u

1/6x = 2/3u | ·6

Mathematik BOS


xw = 4u Wendestelle

Kv’’’(x;u) = 1/6 ≠ 0 �

NST in den Grenzkosten an der Stelle xw berechnen:

Kv’(4u;u) = 1/12(4u)² - 2/3u(4u) + 72 = 16/12u² - 8/3u² + 72 =

-4/3u² + 72 =! 0 ⇒

4/3u² = 72

u² = 54

u = ± 54 = ± 6*9 = ±3 6 ≈ ±7,348

Die negative Lösung scheidet aus, da 0 ≤ u ≤ 10 vorgegeben war, also:

u = 3 6

Das zeigt auch, dass der ursprüngliche Wertebereich für u zu groß gewählt

war. Es hätte genauer heißen müssen: 0 ≤ u < 3 6 .

xw = 4u = 12 6 ≈ 29,39

y-Wert durch Einsetzen in Kv(x;u), zunächst nur mit u:

Kv(4u;u) = 1/36(4u)³ - u3 (4u)² + 72·4u =

64/36u³ - 16/3u³ + 288u = (16/9 -

48/9)u³ + 288u =

- 32/9u³ + 288u = 32u(- 1/9u² + 9)

Jetzt einsetzen u = 3 6 :

Kv(12 6 ;3 6 ) = 32·3 6 (- 1/9(3 6 )² + 9) =

96 6 (- 1/9(9·6) + 9) =

96 6 (3) = 288· 6 ≈ 705,45

Sattelpunkt: SP(12 6 |288· 6 )

Hausaufgabe 10

Setzen Sie übungshalber die gefundenen Werte u = 3 6 und xw = 12 6 in die Grenzkostenfunktion ein und bestimmen Sie das Ergebnis ohne TR. Zeichnen Sie auch die Grenzkosten für u = 3 6 und x = 0 bis 100.

Lösung: Kv’(x;u) = = .

Dieser Fall tritt praktisch jedoch nicht auf, die Grenzkosten sind immer positiv.

Mathematik BOS


Hausaufgabe 11

Bestimmen Sie das Betriebsminimum der Kostenfunktion K(x;u) = x³/4 – u·x² + 3072x + 219615, wobei 40 ≤ u ≤ 50, und die zugehörige kurzfristige Preisuntergrenze. Berechnen Sie den Punkt (BM|kPug) für die Parameterwerte u=41,5; 43,5 und 45,5. Bestimmen Sie ferner die Ortskurve des Punktes (BM|kPug). Machen Sie auch die Probe.

Lösung:

;

.

.

=

;

;

:

.

.

.

.

;

=

.

: �

Hausaufgabe 12

Es sei f(x;u) = 1/6x³ - ux² + 3/2x + 8/3. Geben Sie die Bedingung für u an, so dass f keine Extremstellen aufweist.

Lösung: ;

!

⇒

⇒

⇒

.

Mathematik BOS


1.2 Trigonometrische Funktionen

1.2.1 Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Schilling S. 90. Erweiterung auf Winkel über 90°.

Demo mit Laptop D:\ownfiles\bzm\geogebra\Sinus-Demo.ggb.

Satz des Pythagoras:

Formel 1: sin² α + cos² α = 1

Das Bogenmaß als Länge des Kreisbogens über dem Winkel Alpha.

2π � 360°

π � 180° gut zum Umrechnen

1 rad � 180°/π ≈ 57,3°

umgekehrt:

π/180 ≈ 0,01745rad � 1°

Umrechnungen:

90° � 1,571 rad

30° � 0,5236 rad

135° � 2,356 rad usw.

Das Bogenmaß des Winkels α ist die Länge des Kreisbogens über dem

Winkel α am Einheitskreis. Es wird in Radiant, abgekürzt rad, angegeben.

Um das Bogenmaß vom Winkelmaß (Gradmaß) zu unterscheiden, schreibt

man auch manchmal arc(α), gesprochen arkus von Alpha.

Hausaufgabe 13

Rechnen Sie vom Gradmaß ins Bogenmaß um bzw. umgekehrt:

a) x=0,75 b) x=4,71 c) α=30° d) α=100°

Lösung: a) ; b) ; c) ; d) .

1.2.2 Gemeinsame Eigenschaften von Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion ist ebenso wie die Kosinusfunktion periodisch mit der Periode 2π (kurz 2π-periodisch). Folglich sind beide Funktionen für alle rellen Zahlen definiert: D = Á.

Formel 2: sin(x + 2π) = sin(x) und cos(x + 2π) = cos(x)

Allgemeiner lässt sich sogar ein ganzzahliges Vielfaches der Periode 2π addieren:

Mathematik BOS


Formel 3: sin(x + k·2π) = sin(x) und cos(x + k·2π) = cos(x), k ∈ à.

Zahlenbeispiel (k=-2) (der TR muss jetzt im RAD Modus arbeiten!):

sin(12,82) = 0,25092 � A

12,82 - 4π = 0,25363

sin(0,25363) = 0,25092 fortsetzen -A =

es kommt 0 oder zumindest eine sehr kleine Zahl heraus, was uns anzeigt, dass beide Ergebnisse (fast) übereinstimmen.

Der Wertebereich der Sinusfunktion ist ebenso wie der der Kosinusfunktion das Intervall [-1;1].

1.2.3 Eigenschaften der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion ist symmetrisch zum Nullpunkt. D. h.

Formel 4: sin(-x) = -sin(x)

Auch hiervon können wir uns kurz überzeugen:

sin(-12,82) = -0,25092 fortsetzen + A = 0

Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei 0; π; 2π; 3π usw. und bei den entsprechenden negativen Werten. Zusammengefasst: bei x=k·π mit k ∈ à. Insbesondere beginnt die Sinusfunktion also bei 0.

Der Graph der Sinusfunktion legt die Vermutung nahe, dass die NST auch Wendestellen sind. Dem ist auch so.

Desweiteren liegt eine Symmetriegerade bei 90° � π/2, so dass

Formel 5: sin(π-x) = sin(x)

Beispiel: x=0,2: π - 0,2 = 2,9416

sin(2,9416) = 0,19867 und ebenso sin(0,2) = 0,19867

1.2.4 Eigenschaften der Kosinusfunktion

Die Kosinusfkt. beginnt bei 1. Sie ist symmetrisch zur y-Achse.

Formel 6: cos(-x) = cos(x)

Z. B. cos(0,7) = 0,7648 � A und auch cos(-0,7) = 0,7648

Probe: fortsetzen -A = muss 0 oder eine sehr kleine Zahl herauskommen.

Die NST liegen bei π/2, 3/2π, 5/2π usw. und den entsprechenden negativen Werten. Zusammengefasst: x = (k+1/2)·π mit k ∈ à.

Die Kosinusfunktion ergibt aus der Sinusfunktion durch Verschiebung um π/2 nach links:

Formel 7: cos(x) = sin(x+π/2)

Es fällt auf, dass die NST der einen Funktion gerade die Extremstellen der anderen Funktion sind.

Mathematik BOS


Sinus und Kosinus sind beide 2π periodisch und für alle rellen Zahlen defi-

niert. Ihr Wertebereich ist das Intervall [-1;1]. Nullstellen der Sinusfunktion

sind x0=k·π, der Kosinusfunktion x0 = (k+1/2)·π, jeweils mit k ∈ à. Die Null-

stellen der Sinus- (Kosinus-) Funktion liegen an den Extremstellen der Kosi-

nus- (Sinus-) Funktion.

Beispiele: (RAD Modus einstellen!!!)

sin(π/4) = cos(π/4) = 2 /2 ≈ 0,7071

cos(0,15) = 0,98877

sin(2π+0,2) = 0,19867

sin(0,2) = 0,19867 Periodizität

cos(-0,15) = 0,98877 Symmetrie

Hausaufgabe 14

Zeigen Sie anhand der Definition am Einheitskreis, dass gilt: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2

Lösung: ⇒ .

1.2.5 Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Ohne Beweis geben wir an:

Formel 8: sin’(x) = cos(x)

Formel 9: cos’(x) = -sin(x)

Die Extremstellen von sin(x) sind die NST der 1. Ableitung, also die NST von cos(x), wie oben bereits erwähnt.

Insbes. gilt:

sin’(0) = cos(0) = 1, d. h. sin(x) beginnt mit Steigung 1.

Steigung bei 45° � π/4:

sin’(π/4) = cos(π/4) = 0,7071 = 1/√2

cos’(π/4) = -sin(π/4) = -0,7071 = -1/√2

Hausaufgabe 15

Es sei f(x) = sin(x). Wie lautet die Gleichung der Tangente t(x) an die Funktion bei x = π/6?

Lösung: f(π/6) =; f’(x) = ;

Mathematik BOS


Ansatz mit unbekannten Koeffizienten: t(x) = :

;

t(x) = .

Die 2. Ableitungen führen dann wieder auf die Funktion zurück:

Formel 10: sin’’(x) = -sin(x)

Formel 11: cos’’(x) = -cos(x)

Die NST der 2. Ableitung geben die Wendestellen an. Somit sind die Wende-stellen gleichzeitig die NST der Funktion, was oben schon vermutet wurde.

Schüler skizzieren die Funktionen –sin(x) und –cos(x) an der Tafel.

1.2.6 Die Umkehrfunktion Arkussinus

sin(x) = a ⇒ x = arcsin(a) (TR: sin-1)

Streng genommen keine Umkehrfunktionen, da vieldeutig.

Beispiel: a = 0,8 (Folie)

Ergebnis des TRs: x=0,9273

Kniff: Als sog. Hauptwert wird das Intervall [-π/2;π/2] festgelegt. Darin kommen alle Sinuswerte einmal (und nur einmal) vor. Dieses Intervall benutzt der TR standardmäßig.

Wegen der Periodizität gibt es weitere Lösungen im Abstand von 2π:

0,9273 + 2π, 0,9273 + 4π, ..., 0,9273 – 2π, 0,9273 – 4π, ...

Probe:

0,9273 – 4π = -11,64; sin(-11,64) = 0,8

Allg.: 0,9273 + k·2π mit k ∈ à.

Wegen

Formel 12: sin(x) = sin(π-x)

gibt es weitere Lösungen:

x = π - 0,9273 = 2,2143 Probe: sin(2,2143) = 0,8

und wegen der Periodizität auch noch

2,2143 ± 2π, 2,2143 ± 4π,… allg. 2,2143 + k·2π.

Wir erhalten also 2 Lösungsreihen:

x = 0,9273 + k·2π und x = 2,2143 + k·2π mit k ∈ à.

Übungsaufgabe: Löse die Gleichung sin(x) = 0,475

Hauptwert: x = 0,494964 rad (� 28,36°)

1. Reihe: x = 0,494964 + k·2π = 0,494964; 6,778; 13,06; 19,34…

Mathematik BOS


2. Lösung: x=π-0,494964= 2,6466

2. Reihe: x= 2,6466 + k·2π = 2,6466; 8,9298; 15,213…

Allg. Lösung: x = 0,494964 + k·2π und x= 2,6466 + k·2π mit k ∈ à.

Übungsaufgabe: Löse die Gleichung sin(x) = -0,3

Hauptwert: x=-0,3047 rad

1. Reihe x= –0,3047 + k·2π = –0,3047; 5,978; 12,26; 18,54…

x=π - (-0,3047) = 3,446

2. Reihe x= 3,446 + k·2π = 3,446; 9,729; 16,01; 22,30…

Allg. Lösung: x= –0,3047 + k·2π und x= 3,446 + k·2π mit k ∈ à.

Übungsaufgabe: Löse die Gleichung sin(x) = 1,25

Die Gleichung ist nicht lösbar, da 1,25 außerhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion liegt.

Hausaufgabe 16

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung sin(x) = -0,6.

Lösung: .

.

Der Hauptwert der Arkussinus-Funktion liefert nur Werte aus dem Intervall

[-π/2;π/2]. Wenn x der Hauptwert der Gleichung sin(x) = a (d. h. x =

arcsin(a)) ist, so ist daneben auch π-x eine Lösung. Des weiteren kann zu

den beiden Lösungen x und π-x noch ein ganzzahliges Vielfaches von 2π

addiert werden. Die Lösungsmenge der Gleichung sin(x) = a ist also gege-

ben durch x = arcsin(a) + k·2π und x = π - arcsin(a) + k·2π mit k ∈ à.

1.2.7 Die Umkehrfunktion Arkuskosinus

Vgl. dazu Grafik D:\ownfiles\bzm\geonext\Arkuskosinus.png

Beispiel aus der Grafik: cos(x) = 0,3

Ergebnis des TR: x = arccos(0,3) = 1,2661 (Hauptwert)

Bereich des Hauptwerts: 0 ≤ x ≤ π, da in diesem Zweig alle cos-Werte genau einmal vorkommen.

Wegen der Symmetrie der Kosinusfunktion zur y-Achse ist ebenso

x = -arccos(0,3) = -1,2661

Mathematik BOS


eine Lösung. Wegen der Periodizität finden sich weitere Lösungen jeweils im Abstand von 2π oder eines Vielfachen davon. Alle Lösungen erhält man also durch

x = ±1,2661 + k·2π mit k ∈ à.

Übungsaufgabe: Welche Lösungen hat die Gleichung cos(x) = 0,4226?

x = ±1,1345 + k·2π mit k ∈ à.

Übungsaufgabe: Welche Lösungen hat die Gleichung cos(x) = -0,766?

x = ±2,4434 + k·2π mit k ∈ à.

Der Hauptwert der Arkuskosinus-Funktion liefert Werte aus dem Intervall

[0;π]. Ist x der Hauptwert der Gleichung cos(x) = a (d. h. x = arccos(a)), so

erhält man alle weiteren Lösungen gemäß x = ±arccos(a) + k·2π mit k ∈ à.

Hausaufgabe 17

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung cos(x) = -2/3! Gehören die Zahlen 14,867; -3,7078 und -10,2658 zur Lösungsmenge?

Lösung:. .

Hausaufgabe 18

Zeichnen Sie die Funktionen sin(x) und –sin(x) und in einer zweiten Zeich-nung cos(x) und –cos(x), jeweils im Bereich von –1 bis 7. Kleben Sie die Zeichnungen in Ihr Heft und prägen Sie sich die Graphen ein.

1.2.8 Parameter der allgemeinen Sinusfunktion

1.2.8.1 Amplitude

Amplitude oder Schwingungsweite: f(x) = A·sin(x)

Vgl. Grafik/Folie D:\ownfiles\bzm\geogebra\Sinus-Amplitude2.png

Streckung wenn |A| > 0 (wie sonst auch)

Stauchung wenn |A| < 0 (wie sonst auch)

Spiegelung an der x-Achse, wenn A<0

Erkennbar: Max – Mittellinie oder (Max – Min)/2 = A

1.2.8.2 Mittelwert M

Mittelwert oder Mittellinie ist die Nulllinie, um die die Sinus-/Kosinusfunktion herum schwingt.

f(x) = sin(x) + M

Mathematik BOS


Vgl. Grafik/Folie D:\ownfiles\bzm\geogebra\Sinus-Mittelw2.png

M > 0 verschiebt die Kurve nach oben

M < 0 verschiebt die Kurve nach unten

Erkennbar: M = (Max + Min)/2

1.2.8.3 Phasenverschiebung ϕ

f(x) = sin(x - ϕ)

verschiebt den Kurvenzug um den Winkel ϕ in die positive (ϕ > 0) oder negative (ϕ < 0) Richtung.

Z. B. f(x) = sin(x + π/2) = cos(x), d. h. ϕ = -π/2

cos(x - π/2) = sin(x) (Verschiebung der cos-Kurve um π/2 nach rechts)

f(x) = sin(x - π/4) zeigt die folgende Grafik:

Erkennbar an den Schnittpunkten mit der Mittellinie.

1.2.9 Die Zeit t als Variable

In der Praxis werden die trigonometrischen Funktionen benutzt, um zeitlich periodische Vorgänge zu beschreiben. Der Winkel x spielt dann nur noch die Rolle einer Hilfsvariablen.

1.2.9.1 Periode und Frequenz

Die Periode (Schwingungsdauer) T gibt die Dauer einer Schwingung an. Standardeinheit ist in der Physik die Sekunde, es sind aber auch andere Ein-heiten möglich (Stunden, Tage, Millisekunden). Z. B. tägliche Helligkeits-schwankung: T = 24 h. Die Variable t muss dann in der gleichen Einheit angegeben werden. Die Periode wird vorzugsweise bei langsamen Schwin-gungen benutzt.

Bei schnellen Schwingungen wird bevorzugt die Frequenz f angegeben. Sie gibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an. Ihre Einheit ist daher 1/s und wird mit Hz für Hertz abgekürzt. Angaben in 1/h oder 1/d sind nicht üblich.

Mathematik BOS


Beispiel: Schwingt ein Gewicht an einer Feder auf und ab. Periode und Frequenz des Gewichts:

T [s] 2 1 0,5 0,2 allg. T

f [Hz] 1/2 1 2 5 1/T

Damit erhalten wir den Zusammenhang

Formel 13: f = 1/T

Um f in Hz zu erhalten, muss T in Sekunden angegeben werden.

Die Periode T ist die Dauer einer vollständigen Schwingung und wird stan-

dardmäßig in Sekunden angegeben, alternativ in Minuten (min), Stunden

(h), Tagen (d) usw. Die Frequenz f gibt an, wieviele Schwingungen pro

Sekunde stattfinden. Ihre Einheit ist 1/s, was mit Hertz (Hz) abgekürzt wird.

Zusammenhang: f = 1/T.

Beispiel: Pulsschlag in Ruhe: Angabe erfolgt üblicherweise in Schläge pro Minute, z. B. f = 90 Schläge/min. Das sind

f = 90 Schläge60 s

= 1,5 Hz ⇒ T = 2/3 s

Bei Maschinen, die sich drehen, gibt man deren Drehzahl üblicherweise in Umdrehungen pro Minute (Upm, engl.: rpm) an. Bei einem Motor spricht man dann auch von der Tourenzahl.

Beispiel: Bei einer Bohrmaschine wird die Drehzahl angegeben zu 1800 Upm.

Umrechnung in U/s = Hz:

f = 1800/60 Ups = 30 Hz

Dauer einer Umdrehung: T = 1/30 s = 0,03̄ s

Hausaufgabe 19

Rechnen Sie um (setzen Sie jeweils f= bzw. T= davor):

a) 50 Hz b) 0,0625 s c) 1500 pro Minute

d) 0,05 s e) 80 Schläge/min

Lösung: a) b) c) ; d) e) .

1.2.9.2 Umrechnung auf den Winkel

Die Umrechnung auf den Winkel geschieht dreisatzmäßig. Dabei ist der 1. Satz immer:

Mathematik BOS


T � 2π

Beispiel: Wir nehmen ein schwingendes Gewicht mit einer Periode von 0,5 s. Es ist dann f = 2 Hz. Es soll durch eine Sinuskurve dargestellt („modelliert“) werden.

0,5s � 2π

1s � 2π/0,5s (= 2πf)

t s � 2π/0,5s·t=x (=2πf·t)

t [s] t/T x [rad] x/(2π) sin(x)

0 0 0 0 0

0,0625 1/8 π/4 (45°) 1/8 1/2 2 ≈0,7071

0,125 1/4 π/2 (90°) 1/4 1

0,2 2/5 0,8π (144°) 2/5 0,5878

0,25 1/2 π (180°) 1/2 0

0,3125 0,625=5/8 5/4π (225°) 0,625=5/8 -1/2 2 ≈-0,7071

Allgemein geschieht die Umrechnung auf den Winkel also nach der Formel:

Formel 14: x = 2π/T·t oder x = 2πf·t

Wir nehmen des weiteren an, dass das Gewicht in Ruhe eine Höhe von 5 cm über dem Tisch hat und eine Amplitude von 0,8 cm. Die Funktion h(t), die die Höhe des Gewichts als Funktion der Zeit beschreibt, lautet dann

h(t) = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) + 5 cm

Die Umrechnung der Zeit t auf den Winkel x (im Bogenmaß) geschieht

dreisatzmäßig nach dem Schema

T � 2π

1 � 2π/T

t � 2π/T·t = x oder x = 2πf·t.

Es ist zu beachten, dass t und T in der gleichen bzw. f und t in der umge-

kehrten Zeiteinheit angegeben werden. x muss einheitenlos herauskommen.

Übungsaufgabe: Wie müsste die Funktion lauten, wenn das Gewicht zur Zeit t0 =0s am oberen Umkehrpunkt wäre?

Lösung: h(t) = 0,8 cm∗cos(2π/0,5s·t) + 5 cm

Mathematik BOS


Hausaufgabe 20

Ein Gewicht befindet sich zur Zeit t0=0s am unteren Umkehrpunkt 8,6 cm über der Tischfläche. Zur Zeit t1=0,2s befindet es sich erstmals am oberen Umkehrpunkt 9,8 cm über der Tischfläche. Wie lautet seine Funktion h(t)? Mit welcher Frequenz schwingt es?

Lösung: h(t) =.

Übungsaufgabe: Zu welchen Zeiten befindet sich das Gewicht nach der ursprünglichen Funktion h(t) = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) + 5 cm auf der Höhe der Mittellinie?

Lösung: Ansatz: h(t) = M = 5 cm

5 cm = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) + 5 cm | - 0,5cm

0 = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) | : 0,8cm

0 = sin(2π/0,5s·t)

wir wissen: x0 = k·π, mit k ∈ à.

k·π = 2π/0,5s·t0 | : π

k = 2/0,5s·t0 | ∗ 0,5s

k·0,5s = 2t0 | :2

k·0,25s = t0 d. h. im Abstand einer halben Periode, was zu erwarten war.

Übungsaufgabe: Zu welchen Zeiten befindet sich das Gewicht nach der ursprünglichen Funktion h(t) = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) + 5 cm auf der Höhe h=4,8cm?

Lösung: 4,8 cm = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) + 5 cm | - 5cm

-0,2 cm = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) | : 0,8 cm

-0,25 = sin(2π/0,5s·t) | arcsin

2π/0,5s·t = arcsin(-0,25) = -0,25268 rad (HW)

1. Reihe: 2π/0,5s·t = -0,25268 + k·2π mit k ∈ à. | ∗ 0,5s

2π·t = -0,12634s + k·2π·0,5s | : 2π

t = -0,02011s + k·0,5s

2. Lösung: 2π/0,5s·t = π - arcsin(-0,25) = 3,3943 rad | ∗ 0,5s

2π·t = 1,697s | : 2π

t = 0,2701s + k·0,5s mit k ∈ à.

Alle Lösungen: t = -0,02011s + k·0,5s und 0,2701s + k·0,5s mit k ∈ à.

Mathematik BOS


Hausaufgabe 21

Wann erreicht die Funktion h(t) = 0,8 cm∗cos(2π/0,5s·t) + 5 cm eine Höhe h= 5,4 cm (alle Lösungen)? Welche Extremwerte erreicht die Funktion?

Lösung: ; ; ; ; ; .

Übungsaufgabe: Die Netzspannung. Die Netzspannung hat eine Nenn-spannung von 220 V. Das ist aber nur ein Mittelwert, der Spitzenwert ist √2 mal so groß, also rund 311 V. Die Frequenz der Netzspannung ist 50 Hz. Gesucht ist eine Funktion, die den zeitlichen Spannungsverlauf U(t) beschreibt. Dazu soll ferner U(0) = 0 V angenommen werden.

a) Wann ist die Spannung 0 V?

b) Wann treten die Extremwerte auf (Vorzeichen egal)?

c) Wann tritt der Nennwert 220 V auf (Vorzeichen egal)?

d) Wie groß ist x und U zu den Zeiten t = 1|2|3 ms?

Lösung:

Geeignete Funktion: U(t) = 311 V∗sin(2π·50Hz·t) = 311 V∗sin(π100Hz·t)

Die Periode ist

T = 150 Hz

= 0,02 s = 20 ms

Zu a:

NST bei t=0s und weiter alle T/2.

t = k·0,01s mit k ∈ à.

Zu b:

Positive Extremwerte: t = 1/4T = 0,005s

Alle Lösungen: t = 0,005s + k·0,02s mit k ∈ à.

Negative Extremwerte: t = 3/4T = 0,015s

Alle Lösungen: t = 0,015s + k·0,02s mit k ∈ à.

Alle Extremwerte: t = 0,005s + k·0,01s mit k ∈ à = 0,005s (+) 0,015s (-) k=0 0,025s (+) 0,035s (-) k=1 0,045s (+) 0,055s (-) k=2 usw.

Mathematik BOS


Zu c:

220 V = 311 V∗sin(π100Hz·t)

220 V311 V

= 1

2 = sin(π100Hz·t)

1. Lösung:

arcsin

1

2 = π100Hz·t

t =

arcsin

1

2π100

s = 0,25100

s = 0,0025s = 1/8T

2. Lösung:

π - arcsin

1

2 = π100Hz·t

t =

π - arcsin

1

2π100

s = 1 - 0,25100

s = 0,0075s = 3/8T

Alle positiven Lösungen:

t =

0,0025s

0,0075s + k·0,02s bzw. t =

1/8T

3/8T + k·T

Negative Lösungen (durch die Schüler):

-220 V = 311 V∗sin(π100Hz·t)

führt zu den Lösungen

t1 = -0,0025s = -1/8T und t2 = 0,0125s

t2 ist äquivalent zu 0,0125s-0,02s = –0,0075s = -3/8T.

Alle negativen Lösungen:

t =

-0,0025s

-0,0075s + k·0,02s bzw. t =

-1/8T

-3/8T + k·T

Zu d:

t[s] x/π U(t) [V]

0,001 0,1 96,10

0,002 0,2 182,8

0,003 0,3 251,6

Hausaufgabe 22

Einer Wechselspannung mit Amplitude 3 V und Frequenz 60 Hz wird eine Gleichspannung von 5 V überlagert (addiert). Es sei

Mathematik BOS


a) U(0s) = 5 V mit steigender Tendenz bzw. b) U(0s) = 2 V. Welche Funktionen sind geeignet, den Spannungsverlauf zu beschreiben? Wann wird jeweils die 5 V Spannung erreicht (alle Lösungen)?

Lösung: ;

a) U(t) = ;

5V mit k ∈ à;

b) U(t) =;

5V ; alle Lösungen: mit k ∈ à;

Folgt AB-Winkelfunktionen1.doc

1.2.9.3 Zeitverschiebung (Gartenrestaurant)

Die Phasenverschiebung tritt bei Zeitfunktionen als Zeitverschiebung auf. Im Prinzip ist sie verzichtbar, doch das würde dann zu einer unkonventionellen Zeitrechnung führen. Wir sind es z. B. gewohnt, den Tag bei 0:00 Uhr beginnen zu lassen und das Jahr am 1. Januar. Die Beispiele werden das klarer machen.

Übungsaufgabe: Umsatz eines Gartenrestaurants (s. Excel-Datei Umsatz-Gartenrestaurant.xls)

Neu an dieser Aufgabe ist neben der Zeitverschiebung auch, dass die angegebenen Punkte nicht genau auf einer Kosinus/Sinus Funktion liegen, sondern nur ungefähr. Das ist realistisch und kommt in der Praxis häufig vor (Stichwort Regression/Ausgleichung).

Saisongeschäft ⇒ T = 12 Monate

M = (12520 + 525)/2 = 6522,50 €

A = (12520 - 525)/2 = 5997,50 €

Grundform: -cos

1. Ansatz: U(t) = -5997,50 €·cos(2π12

t) + 6522,50 €

Nachteil: Minimum bei 0. Das Minimum soll aber im Februar (t=2) auftreten. Wir müssen daher t durch t-2 ersetzen.

2. Ansatz: U(t) = -5997,50 €·cos(2π12

(t-2)) + 6522,50 €

Es ist dies die gleiche Vorgehensweise, wie wir sie bei der Verschiebung

einer Parabel kennengelernt haben. Die Standardparabel

y(x) = x²

wird eine Einheit nach rechts verschoben, wenn x durch x-1 ersetzt wird:

y(x) = (x-1)²

Mathematik BOS


weil das Minimum 0 jetzt bei x=1 entsteht.

Entsprechend eine Einheit nach links, wenn x durch x+1 ersetzt wird:

y(x) = (x+1)²

weil jetzt bei x=-1 Null herauskommt. Wir haben dies früher als Scheitel-

punktform der Parabel kennengelernt.

In der y-Richtung ist es im Prinzip die gleiche Vorgehensweise. Parabel

eine Einheit nach oben verschoben: y � y-1:

y-1 = x² ⇒ y = x² + 1

Letztere Schreibweise ist aber sofort einleuchtend, weshalb wir es auch so

gelernt haben.

Wir berechnen nach der Funktion den Umsatz für die ersten drei Monate:

U(1) = -5997,50 €·cos(2π12

(-1)) + 6522,50 € = 1329 € statt 1264 €

U(2) = -5997,50 €·cos(2π12

(0)) + 6522,50 € = 525 € �

U(3) = -5997,50 €·cos(2π12

(1)) + 6522,50 € = 1329 € statt 1304 €

Alternative Lösung mit Sinus:

U(t) = 5997,5 €·sin(2π12

(t-5)) + 6522,50 €

Um im Mai auf den Wert 6480 zu kommen, muss der Versatz 5,0135 sein.

Hausaufgabe 23

Ein Riesenrad hat eine Periode von T = 40 s und einen Durchmesser von d = 26 m. Höhe über dem Boden: 0,5 m. a) Welche Funktion h(t) beschreibt die Höhe einer Gondel des Riesenrads? Zur Zeit t=0s befindet sich die Gondel gerade in der Höhe 0,5 m. b) Berechnen Sie die Höhe zu den Zeiten t = 5s; 8s und 15s. c) Wann hat die Gondel eine Höhe von 5m bzw. die größte Höhe errreicht?

Lösung: a) h(t) =;

b) h(5s) =; h(8s) = ; h(15s) =;

c) ;

;

;

;

mit k ∈ à;

Mathematik BOS


größte Höhe:

t = mit k ∈ à;

Übungsaufgabe: Konjunkturzyklus (s. Konjunkturzyklus1.ggb)

M = 1

A = 3

An der Mittellinie wird die Periode abgemessen: T = 8,25 cm � 2,75 a

Das erste Maximum liegt bei ca. 1,2 cm � 0,4 a

Grundform: cos

f(t) = 3·cos(2π/2,75a·(t-0,4a)) + 1 (% p. a.)

Z. B. f(1,5) = -1,427

Alternative: Der Schnittpunkt mit der Mittellinie liegt bei 1,1a (3,3 cm). f2(t) = -3·sin(2π/2,75a·(t-1,1a)) + 1 Wir rechnen mit der ersten Funktion weiter.

Wann wird 2% Wachstum erreicht?

2 = 3·cos(2π/2,75a·(t-0,4a)) + 1 1/3 = cos(2π/2,75a·(t-0,4a))

arccos(1/3) = ±2π/2,75a·(t-0,4a)

±2,75a/(2π)∗arccos(1/3) = t - 0,4a

t = ±2,75a/(2π)∗arccos(1/3) + 0,4a = 0,9388a oder -0,1388a

alle Lösungen: t =

0,9388a

-0,1388a + k·2,75a mit k ∈ à

Probe mit k= -2:

t1 = 0,9388 -2·2,75a = -4,561a

f(-4,561) = 3·cos(2π/2,75a·(-4,561-0,4a)) + 1 = 2

t2 = -1,388 -2·2,75 = -5,639a

f(-5,639a) = 2 �

Hausaufgabe 24

a) Wann ist das BIP-Wachstum -1%?

b) Wann ist das Wachstum am kleinsten (überlegen)?

Lösung:

a) ;

;

;

Mathematik BOS


;

;

mit k ∈ à.

b) ;

mit k ∈ à.

Allgemeine Zeitfunktion

Die allgemeine Zeitfunktion hat die Form

f(t) = A·sin(ω (t - V)) + M, wobei die Winkelgeschwindigkeit ω in der Form

2π/T oder 2π·f auftreten kann. A ist die (stets positive) Amplitude der

Schwingung, M ihr Mittelwert. T ist die Periode der Schwingung, f = 1/T ihre

Frequenz, üblicherweise in Hertz (Hz) angegeben. Es ist 1 Hz = 1/s. Die

zeitliche Verschiebung wird durch V bestimmt. Entsprechendes gilt auch für

die Kosinusfunktion.

Hausaufgabe 25

Gemäß Beiblatt Konjunkturzyklus-HA.xls.

Lösung: ;

Nullwachstum:;

;

t = oder

;

.

1.2.9.4 Ableitung der Zeitfunktionen

Die Ableitungen der Grundfunktionen wurden bereits besprochen, s. 1.2.5 auf S. 19.

Übungsaufgabe: Berechnung der Tangente an eine Kosinus-Funktion Wie lautet die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = 0,5·cos(x) + 0,5 an der Stelle x = π/3 (� 60°)?

Lösung: Berechnung des y-Wertes: f(π/3) = 0,75; d. h. bekannt ist P(π/3|0,75)

Berechnung der Steigung in P: f’(x) = -0,5·sin(x)

Mathematik BOS


f’(π/3) = -0,5· 32

= - 34

≈ -0,43301

Tangentengleichung: t(x) = mx + b

Ansatz mit unbekanntem Koeffizienten:

t(x) = - 34

x + b

Punktprobe mit P:

0,75 = - 34

·π/3 + b ⇒ b = 0,75 + 34

·π/3 ≈ 1,20345 � B

t(x) = - 34 x + 1,20345

In der Nähe von π/3 können wir nun statt f(x) näherungsweise t(x) verwenden. Wir machen die Probe (in 2 Gruppen):

x=1,04 x=1,06

f(1,04) = 0,75311 f(1,06) = 0,744436

t(1,04) = 0,75312 t(1,06) = 0,744456

Hausaufgabe 26

Welche Steigung hat die Sinuskurve bei x = 3/4π? Wie lautet dort die Gleichung der Tangente? Angabe der Koeffizienten möglichst genau (m) oder auf 5 signifikante Stellen.

Lösung:

f(x) = sin(x)

;

;

Ansatz :

;

;

.

Ableitung von Zeitfunktionen am Beispiel des schwingenden Gewichts aus 1.2.9.2:

h(t) = 0,8 cm∗sin(2π/0,5s·t) + 5 cm

Problem: verkettete Funktion!

Substitution: z=2π/0,5s·t

h(z) = 0,8cm∗sin(z) + 5cm

Mathematik BOS


Äußere Abl.: dhdz

= 0,8cm∗cos(z)

Innere Abl.: dzdt

= 2π/0,5s

Gesamte Abl.: dhdt

= dhdz

∗dzdt

= 0,8cm∗cos(z)∗2π/0,5s = 3,2cm·π/1s·cos(z)

Rücksubstitution:

dhdt

= h’(t) = 3,2cm·π/1s·cos(2π/0,5s·t)

Was bedeutet dhdt

? Einheit ist cm/s! Es ist die Geschwindigkeit der Aufwärts-

bzw. Abwärtsbewegung.

Übungsaufgabe: Wann ist die Geschwindigkeit am größten (betragsmäßig)? Wie groß ist sie dann?

Die Extremstellen des Kosinus treten (mit abwechselnden Vorzeichen) zu den Zeiten 0s (+), 0,25s (-), 0,5s (+), 0,75s (-) usw. auf. Ohne Berücksichtigung des Vorzeichens also zu den Zeiten t = k∗0,25s mit k ∈ à. Der Wert ist 3,2π cm/s ≈ 10,053 cm/s mit abwechselnden Vor-zeichen, also (-1)k·10,053 cm/s.

Übungsaufgabe: Ableitung der Umsatzfunktion eines Gartenrestaurants

U(t) = -5997,50 €·cos(2π12

(t-2)) + 6522,50 €

Substitution: z = 2π12

(t-2)

U(z) = -5997,50 €·cos(z) + 6522,50 €

Äußere Abl.: dUdz

= 5997,50 €·sin(z)

Innere Abl.: dzdt

= 2π12

Gesamtabl.: dUdt

= dUdz

∗dzdt

= 5997,50 €·sin(z)∗2π12

= 999,58€π·sin(z)

Rücksubstitution:

dUdt

= U’(t) = 999,58π·sin(2π12

(t-2))

Bedeutung? Umsatzwachstumsrate oder -geschwindigkeit in € pro Monat!

Größte Umsatzwachstumsgeschwindigkeit: 999,58π = 3140,25 €/Monat

Zeitpunkt des Auftretens: Maximum des Sinus bei x=π/2 ⇒

Mathematik BOS


2π12

(t-2) = π/2 | : π | · 2

1/3(t-2) = 1 | ·3

t - 2 = 3 | + 2

t = 5 (Mai)

Hausaufgabe 27

Die Höhe der Gondel eines Riesenrads werde durch die Funktion h(t) = -19m·cos(2π/30s∗t) + 20m beschrieben.

a) Wann ist die Steiggeschwindigkeit am größten und wie groß ist sie dann?

b) Wie groß ist die Steiggeschwindigkeit zur Zeit t=3s?

c) Wann hat die Gondel eine Sinkgeschwindigkeit, die betragsmäßig so groß wie die Steiggeschwindigkeit aus Teil b ist (2 positive Lösungen)?

Lösung:

;

;

;

;

;

;

;

;

Hausaufgabe 28

Leiten Sie die Konjunkturzyklus-Funktion f(t) = 3·cos(2π/2,75a(t-0,4a)) + 1 nach t ab und beantworten Sie die folgenden Fragen:

a) Welche Wachstumsrate liegt zur Zeit t=0,6a vor?

b) Wann tritt der stärkste Abschwung auf und wie groß ist dieser (möglichst ohne die 2. Ableitung, 1 Lösung genügt)?

c) Wann tritt eine Wachstumsrate von 4%/a auf (alle Lösungen)?

Lösung:

;

;

;

;

Mathematik BOS


;

;

;

;

;

;

;

oder

;

.

1.3 Integralrechnung

1.3.1 Mittelwert einer Funktion

1.3.1.1 Anwendung auf die trigonometrischen Funktionen

Aus den bekannten Ableitungen können wir erschließen:

⌡⌠sin(x)dx = -cos(x)

⌡⌠cos(x)dx = sin(x)

Der Mittelwert f einer Funktion f(x) im Intervall [a;b] ist definiert als

Formel 15: f = ⌡⌠a

b

f(x)dx /(b-a)

Das Rechteck f∗(b-a) hat dann die gleiche Fläche wie das Integral.

Der Mittelwert einer Funktion f(x) im Intervall [a;b] ist durch

f = ⌡⌠a

b

f(x)dx /(b-a) gegeben.

Beispiel: Bestimme den Mittelwert von f(x) = 2sin(x) + 5 im Intervall [0;2π]!

⌡⌠0

2π(2sin(x)+5)dx = ⌡⌠

0

2π2sin(x)dx + ⌡⌠

0

2π5 dx = 2⌡⌠

0

2πsin(x)dx + 5∗2π =

2[ ]-cos(x)2π

0 + 10π = 2(-1 - (-1)) + 10π = 10π

f = 10π/2π = 5

Mathematik BOS


Geometrische Deutung als Rechteck an der Tafel.

Hausaufgabe 29

Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion f(x) = sin(x) + 2 im Intervall [0;π]!

Lösung: ;

;

;

.

Das 2. Beispiel behandelt eine Zeitfunktion. Dabei lernen wir die Technik der Integration durch Substitution kennen.

Beispiel: Der Umsatz eines Restaurants sei durch

U(t) = -28·cos

2π

12( )t-2,6 + 78 gegeben. Dabei ist U in 1000 € zu

verstehen und t in Monaten (Jan. = 1 usw.).

a) Wie groß ist der Jahresumsatz?

b) Wie groß ist der durchschnittliche Umsatz?

c) Wie groß ist der Umsatz im 2. Quartal (t = 4...7)?

d) Wie groß ist der durchschnittliche Umsatz im 2. Quartal?

Lösung:

Zu a: Jahresumsatz JU � ⌡⌠1

13

U(t) dt

Sei V(t) die Stammfunktion von U(t), d. h. V(t) = ⌡⌠U(t) dt

V(t) = ⌡⌠

-28·cos

2π

12( )t-2,6 + 78 dt =

-28·⌡⌠cos

2π

12( )t-2,6 dt + ⌡⌠78 dt

Das erste Integral lösen wir durch Substitution:

z = 2π12

( )t-2,6

⌡⌠cos(z) dz = sin(z)

Bei der Ableitung von sin

2π

12( )t-2,6 tritt jedoch die innere Ableitung

dzdt

= 2π12

= π6

Mathematik BOS


auf. Dies berücksichtigen wir vorausschauend, indem wir beim Integrie-ren gleich durch die innere Ableitung teilen. Somit erhalten wir:

⌡⌠cos

2π

12( )t-2,6 dt = 6

π ·sin

π

6( )t-2,6

Hausaufgabe 30

Beweisen Sie die Richtigkeit der Gleichung

⌡⌠cos

2π

12( )t-2,6 dt = 6

π ·sin

π

6( )t-2,6 durch Ableiten!

Damit erhalten wir die Stammfunktion V(t):

V(t) = -28·6π ·sin

π

6( )t-2,6 + 78·t + C =

- 168π

·sin

π

6( )t-2,6 + 78·t + C

JU = [ ]V(t)13

1 = V(13) - V(1) =

- 168π

·sin

π

6( )13-2,6 + 78·13 -

- 168

π·sin

π

6( )1-2,6 + 78·1 =

168π

·sin

π

6( )1-2,6 - 168

π·sin

π

6( )13-2,6 + 78·(13-1) = 78·12 = 936

Die ersten beiden Terme heben sich auf, da die Periode 12 Monate ist.

Der Jahresumsatz beträgt als 936 000 Euro.

Zu b:

Der durchschnittliche Umsatz also 1/12 des Jahresumsatzes (b-a = 13 - 1 = 12), also 78 000 Euro, was wir uns schon vorher hätten denken können.

Zu c: Umsatz in Q2:

UQ2 = ⌡⌠4

7

U(t) dt = V(7) - V(4)=

- 168π

·sin

π

6( )7-2,6 + 78·7 -

- 168

π·sin

π

6( )4-2,6 + 78·4 =

168π

·

sin

π

6( )4-2,6 - sin

π

6( )7-2,6 + 78·(7-4) =

168π

[0,66913 - 0,74314] + 78·3 =

168π

[-0,07401] + 234 = 230,042 T€.

Mathematik BOS


Zu d: Durchschn. Umsatz in Q2:

Den durchschn. Umsatz erhalten wir durch Division durch 3 (=7-4):

UQ2 = 76,681 Tausend Euro.

Hausaufgabe 31

Berechnen Sie den Umsatz des 2. Halbjahres und den Durchschnittsum-satz im 2. Hj.

Lösung:

UHj2 = =

im 2. Hj insges, im Durchschnitt: .

Integration durch Substitution:

Das Integral ⌡⌠f(mx + b) dx wird durch die Substitution z = mx + b gelöst.

Ist F(z) eine Stammfunktion von f(z), so ist 1m

F(mx + b) eine Stammfunk-

tion von f(mx + b).

Hausaufgabe 32

Bilden Sie die Stammfunktion (Probe durch Ableiten):

a) f(x) = 12·sin(2π/10·t) b) f(x) = (2x - π/6)6

Lösung:

a) ;

I.

b) ;

.

Folgt AB-Winkelfunktionen2.doc

1.3.1.2 Anwendung auf Scharfunktionen

Ebenso wie beim Ableiten tritt auch beim Integrieren der Scharparameter in der Stammfunktion wieder auf. Beispiel:

Berechne den Mittelwert der Funktion f(x;u) = 1/4x² + ux mit 0 ≤ u ≤ 12 im Intervall [1;4].

Wir bilden zuerst die Stammfunktion:

F(x;u) � ⌡⌠(1/4x² + ux)dx = 1/12x³ + 1/2ux² + C

Mathematik BOS


Zähler:

⌡⌠1

4

f(x;u) dx = F(4;u) - F(1;u)

F(4;u) = 64/12 + 8u = 16/3 + 8u F(1;u) = 1/12 + 1/2u

F(4;u) - F(1;u) = 16/3 + 8u - (1/12 + 1/2u) = 16/3 -

1/12 + 8u - 1/2u = 51/4 + 71/2u

Nenner: b-a = 4-1 = 3

f = (51/4 + 71/2u)/3 = 1,75 + 2,5u

Beispielhafte Werte:

u f 0 1,75 2,5 8 5 14,25

Wann ergibt sich ein Mittelwert von 5?

5 = 1,75 + 2,5u

3,25= 2,5u ⇒ u = 1,3

Übungsaufgabe: Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion f(x;u) = 1/10x³ - ux² im Intervall [-2;3]!

Stammfunktion: F(x;u) = 1/40x

4 - 1/3ux³

F(3;u) = 81/40 - 9u; F(-2;u) = 16/40 + 8/3u

F(3;u) - F(-2;u) = 81/40 - 16/40 - 9u - 8/3u = 15/8 - 112/3u

b-a = 5

f = (15/8 - 112/3u)/5 = 13/40 - 21/3u

Beispiele:

u f 0 13/40=0,325 1 -21/120≈ -2,0083 -1 279/120 ≈ 2,6583P

Wann ist f Null? 13/40 - 2

1/3u = 0 ⇒ u = 39/280 ≈ 0,1393

Hausaufgabe 32b fehlt noch im Aufgabenzettel

Es sei die Kostenfunktion K(x;u) = 1/20x³ + ux² + 171/15x + 432 gegeben. Berechnen Sie die Durchschnittskosten im Intervall [10;12]. Beispielwert für u = -1,5.

Mathematik BOS


Lösung: = = . . Beispiel: .

1.3.2 Volumen eines Rotationskörpers

Einführende Beispiele nach Schilling S. 423.

Herleitung der Formel nach Schilling S. 426 und Folie.

Formel 16: V = π ⌡⌠a

b

( )f(x) 2 dx

Beispiel (nach Aufg. 1 aus Schilling S. 427): f(x) = x mit a=0 und b=2. Durch die Rotation entsteht ein sog. Paraboloid. Das Volumen dieses Paraboloids ergibt sich aus

V = π·⌡⌠0

2

( )x 2 dx = π·⌡⌠0

2

x dx = π·1/2[ ]x²2

0 = π

2 (2² - 0) = π

2 ·4 = 2π.

Übungsaufgabe: Schilling S. 428 Nr. 1a

Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse über dem angegebenen Intervall rotiere um die x-Achse. Zeichne den ent-standenen Rotationskörper und bestimme sein Volumen.

a) f(x) = 2x Intervall [1;3]

Lösung: y² = 4x²

allgemein: V = π·⌡⌠4x² dx = π·4/3x³ = 1/3π x(2x)²

= 1/3π xy²

y � r; x � h ⇒ V = π/3r²h Kegelvolumen

im Intervall [1;3]:

V = π·4/3 [ ]x³3

1 =π·4/3(27-1) = π·104/3 = π·34 2/3 ≈ 108,91 FE.

Hausaufgabe 33

Zeichnen Sie den Rotationskörper und berechnen Sie sein Volumen:

f(x) = x² - 1 im Intervall [-1;1].

Lösung:

;

.

.

Mathematik BOS


Übungsaufgabe: Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, dessen Berandung durch die Funktion f(x) = 2·cos(x-0,2) gegeben ist, im Bereich von x=0 bis x= π/2+0,2.

Lösung: Zur Lösung benötigen wir das Integral

⌡⌠cos²x dx = 1/2sin(x)cos(x) + x/2 + C

f(x)2 = 4·cos²(x-0,2)

⌡⌠f(x)² dx = 4⌡⌠cos²(x-0,2) dx

Wir lösen das Integral durch Substitution:

z = x-0,2

dzdx

= 1

4⌡⌠cos²(z) dz = 4(1/2sin(z)cos(z) + z/2 + C) = 2(sin(z)cos(z) + z + 2C)

Rücksubstitution:

⌡⌠f(x)² dx = 2(sin(x-0,2)cos(x-0,2) + x-0,2 + 2C)

V = π· ⌡⌠0

π/2+0,2

f(x)² dx = 2π [ ]sin(x-0,2)cos(x-0,2) + x-0,2π/2+0,2

0 =

2π·(sin(π/2)·cos(π/2) + π/2 - (sin(-0,2)·cos(-0,2) - 0,2)) =

2π·(π/2 - ( -0,19867·0,9801 - 0,2)) =

2π·(π/2 - (-0,3947)) =

2π·(1,9655) = 3,931·π ≈ 12,35

Hausaufgabe 34

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit der Randfunktion f(x) = sin(x) im Bereich von 0 bis π/2. Skizzieren Sie auch den Rotations-körper. Lösungshinweis: Nutzen Sie die Beziehung sin²x + cos²x = 1 aus.

Lösung:

=

=

.

Übungsaufgabe: Berechnen Sie das Volumen einer parabolisch geschliffenen Linse. Liegt ihr Mittelpunkt im Koordinatenursprung, so hat der Rand im 1. Quadranten die Funktion f1(x) = 9 cm· 0,64cm - x .

Mathematik BOS


a) Überlegen Sie sich den Definitions- und Wertebereich dieser Funktion.

b) Geben Sie die Funktionen mit D und W für die übrigen Quadranten an (f2, f3, f4).

c) Berechnen Sie das Volumen der Linse.

Lösung:

a) D = [0; 0,64cm]; W = [0; 7,2cm]

b) f2(x) = 9 cm· 0,64 + x mit D = [-0,64cm; 0cm] u. W=[0; 7,2cm] f3(x) = -f2(x) mit D = [-0,64cm; 0cm] u. W=[-7,2cm; 0] f4(x) = -f1(x) mit D = [0; 0,64cm] u. W=[-7,2cm; 0]

c) Vr = π· ⌡⌠0

0,64

81(0,64-x)dx =

81π· ⌡⌠0

0,64

(0,64-x) dx =

81π·( ⌡⌠0

0,64

0,64 dx - ⌡⌠0

0,64

x dx ) =

81π·(0,64·0,64 - 1/2[ ]x²0,64

0 ) =

81π·(0,64² - 1/2·0,64²) =

81π·(1/20,64²) = 81π·0,4096/2 = 16,5888·π

Vges = 2·Vr = 33,1776·π = 104,23 cm³.

Hausaufgabe 35

Welches Volumen hat eine Linse mit der Randfunktion (in Q1) f(x) = 8· 0,5476 - x ? Geben Sie auch die Maße der Linse an (Durchmesser und Dicke).

Lösung: f(x)² = .

=

=

=

.

.

.

Übungsaufgabe: Berechnen Sie das Volumen eines Bohrers. Seine Maße in Millimeter sind der folgenden Zeichnung zu entnehmen:

Mathematik BOS


Lösung: 1. Teil 0 ≤ x ≤ 3 wird bei Rotation ein Zylinder mit Radius 2 mm und Höhe 3 mm:

V1 = π r²h = π2²·3 = 12π mm³

2. Teil 3 ≤ x ≤ 4 wird bei Rotation ein Kegel. Geradengleichung:

y = mx + b

Aus Zeichnung ersichtlich: m = -2. Punktprobe mit (3|2):

2 = -2·3 + b = -6 + b ⇒ b = 8

y = -2x + 8

V2 = π ⌡⌠3

4

(-2x + 8)² dx = π 1/3·1/(-2)[ ](-2x + 8)³4

3 =

-1/6·π(0 - 2³) = 8/6π = 11/3π mm³

Vges = V1 + V2 = (12 + 11/3)π mm³ = 131/3π mm³ ≈ 41,888 mm³.

Übungsaufgabe: Volumen eines Fasses, s. gesondertes Blatt E:\ownfiles\bzm\zeitlos\BOS\Mathe\Volumen eines Fasses.doc

Folgt AB-Rotationskörper1.doc

2 Lineare Algebra Diesem Kapitel liegt das Lehrbuch „Mathematik Allg. Hochschulreife, Wirtschaft, Cornelsen, 1. Auflage, 1. Druck 2009“ zugrunde.

2.1 Einführung der Matrizen

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, das in runden Klammern eingeschlossen ist. Insofern ähnelt es einer Tabelle, aber:

• Zeilen- und Spaltenbeschriftungen fallen in einer Matrix weg;

• mit Matrizen kann man rechnen, mit Tabellen nicht.

Mathematik BOS


Gerade der letztgenannte Punkt macht Matrizen so ungeheuer nützlich. Durch den Einsatz von Tabellenkalkulationprogrammen (z. B. MS-Excel) lassen sich Matrizenberechnungen blitzschnell für große Datenmengen aus-führen.

Wir werden Matrizen auf volks- und betriebswirtschaftliche Verflechtungen anwenden. Ferner sind sie hilfreich beim Lösen von linearen Gleichungs-systemen.

Wir lernen zunächst einige Beispiele kennen:

2.1.1 Beispiel A: Transportmatrix

Ein Unternehmen betreibt 4 Kiesgruben K1 … K4 und 3 Betonwerke B1 … B3, in denen der Kies aus den Kiesgruben zu Beton verarbeitet wird.Für den Monat Januar sind die Transporte bezogen auf die ME Tonnen in einer Tabelle zusammengefasst worden.

nach

B1 B2 B3

von K1 100 200 50

K2 150 150 200

K3 0 200 250

K4 150 0 0

Betrachtet man nur den Zahlenblock und setzt ihn in runde Klammern, erhält man die Transportmatrix T (Matrizen werden i. A. mit Großbuch-staben bezeichnet):

T =

100 200 50150 150 2000 200 250

150 0 0

Die Matrix hat 4 Zeilen und 3 Spalten, man sagt dann kurz, sie habe die Größe 4×3. Besteht eine Matrix nur aus einer Zeile bzw. nur aus einer Spalte, so sprechen wir von einem (Zeilen- bzw. Spalten-) Vektor.

Hausaufgabe 36

Stellen Sie die Lieferbeziehungen in einem Transportdiagramm dar.

Die einzelnen Zahlen in der Matrix nennt man ihre Elemente. Sie werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet und mit einem Doppelindex versehen. Dabei gibt die erste Zahl die Zeile, die zweite die Spalte an. In obiger Matrix ist z. B. t13 = 50, d. h. von K1 werden an B3 50 Tonnen geliefert. Welche Elemente sind 0?

Mathematik BOS


2.1.2 Beispiel B: Herstellungsmatrix

Ein Unternehmen stellt 2 Endprodukte E1 und E2 in zweistufiger Produktion her. Aus den Rohstoffen R1 und R2 werden die Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 gewonnen. Aus diesen wiederum werden die beiden Endprodukte E1 und E2 produziert.

Die erste Stückliste gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) der Rohstoffe (R) für die Herstellung einer ME des jeweiligen Zwischenprodukts (Z) notwendig sind.

Die zweite Stückliste gibt an, wie viele ME der Zwischenprodukte jeweils für die Herstellung einer ME der Endprodukte benötigt werden.

1. Stückliste Z1 Z2 Z3 2. Stückliste E1 E2

R1 2 6 4 Z1 2 1

R2 3 1 6 Z2 5 8

Z3 2 4

Aus der ersten Stückliste erhalten wir die Herstellungsmatrix für die Zwischenprodukte, die sog. RZ-Matrix:

RZ =

2 6 4

3 1 6

Form: 2×3. Es ist rz13 = 4, was bedeutet, dass von Rohstoff 1 4 ME zur Herstellung von einer Mengeneinheit von ZP 3 gebraucht werden. Ebenso bedeutet rz22=…

Die Herstellungsmatrix für die Endprodukte leiten wir aus der zweiten Stückliste ab und nennen sie dementsprechend ZE-Matrix:

ZE =

2 1

5 82 4

2.1.3 Beispiel C: Input-Output-Matrix.

Eine Volkswirtschaft ist in 4 Produktionssektoren aufge-teilt, die sich untereinander beliefern (z. B. A = Landwirt-schaft, B = Bergbau und Roh-stoffgewinnung, C = Industrie und D = Dienstleistungen). Die einzelnen Lieferungen werden durch das nebenste-hende Verflechtungediagramm wiedergegeben.

Mathematik BOS


Aus dem Diagramm leiten wir die sog. Input-Output-Tabelle ab:

geliefert nach

A B C D

A 5 10 10 20

B 5 2 0 20

C 0 0 0 40

gelie

fert v

on

D 0 5 15 0

Daraus erhalten wir die Input-Output-Matrix M dieser 4-Sektoren-Wirtschaft:

M =

5 10 10 20

5 2 0 200 0 0 400 5 15 0

Sie hat die Form 4×4, ist also quadratisch. Die Diagonalelemente von links oben nach rechts unten bilden die sog. Hauptdiagonale, die andere Diagonale heißt Nebendiagonale.

Hausaufgabe 37

Betrachten Sie die Input-Output-Matrix M =

7 12 8 0

6 2 0 00 10 5 93 7 16 0

.

a) Geben Sie die Elemente an, die Null sind.

b) Zeichnen Sie das zugehörige Verflechtungsdiagramm.

Lösung:

a) .

b) .

2.1.4 Beispiel D: Koeffizientenmatrix

wie im Buch S. 487 Bsp. 7.5

Aus dem linearen Gleichungssystem (LGS)

2x1 + 3x2 + 4x3 = 1

5x1 - 2x2 + 2x3 = 1

x1 - x3 = 2

mit 3 Gleichungen und 3 Variablen lässt sich die Koeffizientenmatrix A bilden, die nur aus den Zahlen der linken Seite besteht (die Namen der Variablen sind für die Lösung irrelevant):

Mathematik BOS


A =

2 3 45 -2 21 0 -1

Bezieht man auch noch die Zahlen der rechten Seite ein, so erhält man die sog. erweiterte Koeffizientenmatrix:

(A|b) =

2 3 4 | 15 -2 2 | 11 0 -1 | 2

Sie enthält die gesamte Information des ursprünglichen LGS und wir werden sie später benutzen, um das LGS systematisch zu lösen. Ihre Form ist 4×3.

2.2 Zusammenfassung der Beispiele

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen (oder ihren Platzhal-

tern), die in runde Klammern eingefaßt ist.

Matrizen werden mit großen Buchstaben bezeichnet. Ihre Elemente dagegen

mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben. Eine Matrix A mit z Zeilen und s

Spalten wird als zxs Matrix bezeichnet. Sie hat z·s Elemente. Das Element aij

steht am Kreuzungspunkt der Zeile i und Spalte j (z. B. a23 in Zeile 2 an

Stelle 3). Ist speziell z=s, so nennt man A quadratisch. Dann bilden die Ele-

mente aii die Hauptdiagonale.

2.3 Vektoren und weitere Definitionen

In Bsp. D kann die rechte Seite als einspaltige Matrix geschrieben werden. Man nennt solche Matrizen Vektoren, hier speziell einen Spaltenvektor, und bezeichnet sie mit Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil:

b =

112

Analog nennt man einzeilige Matrizen auch Zeilenvektoren. Z. B. die 1. Zeile in der Matrix A aus Bsp. D:

a = ( )2 3 4

Die Elemente eines Vektors werden nur durch einen Index gekennzeichnet, also z. B. a1 = 2, a2 = 3 und a3 = 4. Solche Zahlen und Variablen nennt man auch Skalare, um den Unterschied zu Vektoren hervorzuheben.

Sind alle Elemente eines Vektors Null, so nennt man ihn den Nullvektor, geschrieben O. Er entspricht der Zahl Null, ist aber formal ein Vektor.

Mathematik BOS


Unter der Einheitsmatrix E versteht man eine quadratische Matrix passender Größe, deren Elemente auf der Hauptdiagonale 1 sind und alle anderen 0.

Schemazeichnung an die Tafel

Formal: eij = 1 wenn i=j und 0 sonst.

Matrizen mit nur einer Zeile (Spalte) nennt man Zeilenvektor (Spaltenvek-

tor) und bezeichnet sie mit kleinen Buchstaben. Um sie von den Skalaren zu

unterscheiden, schreiben wir über dem Buchstaben einen kleinen Pfeil, z. B.

a. Sind alle Elemente eines Vektors 0, so nennt man ihn den Nullvektor (O).

Unter der Einheitsmatrix E versteht man die quadratische Matrix, deren

Elemente auf der Hauptdiagonalen 1 und alle anderen 0 sind. Ihre Größe

wird von Fall zu Fall angepaßt.

Hausaufgabe 38

a) Die Nachbarskinder Anna, Berta und Claus sind von ihren Eltern gebe-ten worden, einige Lebensmittel einzukaufen. Anna soll 2 Liter Milch, 1 Pfund Butter, 1 Packung Eier und 5 Brötchen kaufen. Berta 4 l Milch, 2 Pfund Butter und 8 Brötchen sowie Claus 1 l Milch, 2 Pckg. Eier und 4 Brötchen. Stellen Sie die Einkäufe der 3 Kinder in einer geeigneten Matrix dar.

b) Erstellen Sie eine 4×4 Matrix, für deren Elemente gilt:

aij = 1 für i≤j0 sonst mit i, j = 1, 2, 3, 4.

Lösung: a:

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

oder die transponierte Matrix.

b) A=

##

##

Mathematik BOS


2.4 Matrizenverknüpfungen

2.4.1 Addition und Subtraktion

Wir greifen zurück auf Bsp. A:

Transportmatrix für Jan (s. S. 45):

A =

100 200 50150 150 2000 200 250

150 0 0

Für den Monat Februar sei die Transportmatrix nun

B =

150 200 100100 200 15050 100 200100 100 0

Für die Monate Januar und Februar zusammen erhalten wir die Transporte durch Addition der entsprechenden Elemente:

C = A + B =

250 400 150250 350 35050 300 450250 100 0

Man kann nur formgleiche Matrizen addieren. Dann werden die positions-gleichen Elemente addiert.

Analog ist die Differenz von Matrizen erklärt. Z. B. gibt die Matrix D = B - A die Unterschiede in den Mengen zwischen Februar und Januar an:

D = B - A =

150 200 100100 200 15050 100 200100 100 0

-

100 200 50150 150 2000 200 250

150 0 0

=

50 0 50-50 50 -5050 -100 -50-50 100 0

Zwei formgleiche Matrizen werden addiert (subtrahiert), indem man die

positionsgleichen Elemente addiert (subtrahiert). Für Matrizen unterschied-

licher Form ist die Addition (Subtraktion) nicht definiert.

Bei der Addition ist die Reihenfolge egal, bei der Subtraktion erhält man die negative Matrix, wie bei Zahlen auch.

Formel 17: A + B = B + A

Formel 18: A - B = -(B -A)

Addition und Subtraktion lassen sich sinngemäß auf Vektoren übertragen, wobei aber Zeilen- und Spaltenvektoren nicht vermischt werden dürfen.

Mathematik BOS


Hausaufgabe 39

Das Verflechtungsdiagramm von Bsp. C hat sich im Laufe der Jahre etwas geändert:

Erstellen Sie die Input-Output-Matrix!

Lösung: M =

##

##

2.4.2 Die S-Multiplikation

Das Bauunternehmen aus Bsp. A (s. S. 45) rechnet damit, dass die Liefer-mengen in den nächsten 7 Jahren alle um 50% steigen werden. Folglich müssen alle Elemente der Transportmatrix mit 1,5 multipliziert werden, um die Transportmatrix T2 in 7 Jahren zu erhalten.

T2 = 1,5·T = 1,5

100 200 50150 150 2000 200 250

150 0 0

=

150 300 75225 225 3000 300 375

225 0 0

Die Form der Matrix spielt bei der S-Multiplikation keine Rolle. Wir werden auch von dem Vielfachen bzw. von dem Bruchteil einer Matrix sprechen.

Bei der S-Multiplikation wird jedes Element der Matrix A mit einer Zahl

(Skalar) multipliziert. s·A = B wobei bij = s·aij ist. Entsprechendes gilt auch

für Vektoren.

Mathematik BOS


2.4.3 Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Ein Aktienanleger kauft an einem Tag 120 Aktien der Lufthansa, 50 Allianz und 20 Continental Aktien. Der Kurs der Lufthansa Aktie beträgt 13,30 €, der der Allianz Aktie 102,80 € und der der Continental Aktie 85,57 €. Wieviel hatte der Anleger für alle Aktien (ohne Gebühren) zu zahlen?

Wir ordnen die Kurse der Aktien in alphabetischer Reihenfolge in einem Zeilenvektor an:

k = ( )102,80 85,57 13,30

Die Stückzahlen ordnen wir in gleicher Reihenfolge zu einem Spaltenvektor an:

s =

50

20120

Wir bilden nun die Summe der Produkte der Elemente von k und s an gleicher Stelle:

102,80·50 + 85,57·20 + 13,30·120 = 5140 + 1711,40 + 1596 = 8447,40 €

Das Ergebnis ist eine Zahl, also ein Skalar! Das so gebildete Produkt nennt sich Skalarprodukt. Schreibweise:

k·s = 8447,40

Es wird manchmal auch Punktprodukt (engl. „dotproduct“) genannt. Notwen-dige Bedingung ist, dass der Spaltenvektor soviele Zeilen besitzt wie der Zeilenvektor Spalten, d. h. beide Vektoren müssen gleich viele Zahlen ent-halten. Der erste Faktor ist hierbei immer ein Zeilenvektor, der zweite Faktor ein Spaltenvektor.

Hausaufgabe 40

Eine Schülergruppe hat den Auftrag, für eine Klassenfahrt in die Lüneburger Heide die Verpflegung für den 1. Tag einzukaufen: 3 Flaschen Ketchup á 2,10 €, 3 Gläser Senf á 0,35 €, 100 Würstchen á 0,90 €, 100 Brötchen á 0,20 € und 30 Literflaschen Limonade á 0,75 €.

a) Ordnen Sie die Einzelpreise zu einem Zeilenvektor und die Mengen zu einem Spaltenvektor.

b) Bilden Sie das Skalarprodukt und interpretieren Sie es.

Lösung: S. 504 Nr. 8.

Übungsaufgabe: Bilde alle Skalarprodukte, die möglich sind:

a = ( )2 -2 ; b = ( )13 -4,25 49/16 ;

c = ( )5 0 0 1 -1 ; d = ( )-1 -3 3 2

Mathematik BOS


r =

-0,5

34

; s =

1

6 ; t =

4-2103

; u =

246-2

Lösung:

a·s = 2-12 = -10; s·a geht nicht!

b·r = -6,5 - 12,75 + 18,25 = -1

c·t = 20 - 3 = 17

d·u = -2 - 12 + 18 - 4 = 0 !

d·u ist Null, obwohl kein Faktor Null ist! Es gilt aber immer noch die Umkehrung:

Ist ein Faktor der Nullvektor, so ist das Skalarprodukt gleich Null.

Das Skalarprodukt eines Zeilenvektors a mit einem Spaltenvektor b, die

beide n Elemente enthalten, ist definiert als die Zahl, die sich nach a1b1 +

a2b2 +… anbn berechnet. Die Reihenfolge der Faktoren ist nicht vertauschbar.

Das Produkt kann Null ergeben, obwohl kein Faktor der Nullvektor ist!

Hausaufgabe 41

Bilden Sie das Skalarprodukt aus a = ( )3 -8 2,5 und b =

2

x-4

so, dass

das Ergebis 0 (1;-2) ist.

Lösung: a·b = 0 mit x=; a·b = 1 mit x= ; a·b = -2 mit x= .

2.4.4 Matrix mal Vektor

Der Aktienanleger kauft nun an zwei verschiedenen Tagen jeweils 120 Aktien der Lufthansa, 50 Allianz und 20 Continental Aktien. Die Kurse des ersten Tages übernehmen wir vom vorigen Beispiel, am 2. Tag ist Lufthansa auf 14,10 € gestiegen, Allianz auf 103,60 €, jedoch Continental auf 84,95 € gefallen. Wie hoch ist der Gesamtkaufpreis an den jeweiligen Tagen?

Für den ersten Tag hatten wir das Ergebnis ja schon berechnet: 8447,40 €. Für den zweiten Tag können wir eine analoge Rechnung ausführen:

k = ( )103,60 84,95 14,10

Mathematik BOS


s =

50

20120

k·s = 5180 + 1699 + 1692 = 8571

Man kann nun die Kurse an den beiden Tagen zu einer 2×3 Matrix zusam-menfassen und dann eine Matrixmultiplikation definieren:

102,80 85,57 13,30

103,60 84,95 14,10 ·

50

20120

=

5140 + 1711,40 + 1596

5180 + 1699 + 1692 =

8447,40

8571

2×3 ∗ 3×1 = 2×1

Das Ergebnis ist ein zweizeiliger Spaltenvektor. Seine erste Komponente entsteht aus dem Skalarprodukt der ersten Zeile der Kursmatrix mit dem Stückvektor usw.

Entsprechend lässt sich das Produkt auf mehrzeilige Matrizen erweitern.

Übungsaufgabe: Aus 3 Zwischenprodukten Z1, Z2 und Z3 werden 2 Endpro-dukte E1 und E2 hergestellt, vergl. Bsp. B auf S. 46. Die ZE Matrix war

ZE =

2 1

5 82 4

Es liegt ein Auftrag für 85 Einh. E1 und 63 Einh. E2 vor. Wieviele Ein-heiten an Zwischenprodukten müssen dafür bereitstehen?

Um 1 Einh. E1 herzustellen, brauchen wir 2 Einh. Z1, 5 Einh. Z2 und 2 Einh. Z3. Für 85 Einh. von E1 brauchen wir jeweils das 85fache, also 2·85 = 170 Einh. Z1, 5·85 = 425 Einh. Z2, 2·85 = 170 Einh. Z3.

Für die Herstellung von E2 kommen die 63fachen Mengen der Zwischen-produkte dazu, die in der 2. Spalte der der ZE-Matrix stehen: 1·63 = 63 Einh. Z1, 8·63 = 504 Einh. Z2, 4·63 = 252 Einh. Z3.

Zusammen also 233 Einh. Z1, 929 Einh. Z2 und 422 Einh. Z3. Ordnen wir die Rechnung nach Zwischenprodukten um, so erhalten wir:

2·85 + 1·63 5·85 + 8·63 2·85 + 4·63

Das Ergebnis erhalten wir wieder als Matrixprodukt der ZE-Matrix mit dem Auftragsvektor:

2 1

5 82 4

∗

85

63 =

2·85 + 1·63

5·85 + 8·632·85 + 4·63

=

233

929422

Mathematik BOS


Hausaufgabe 42

Wieviele Einheiten an Rohstoffen werden zur Bearbeitung dieses Auftrags gebraucht? Daten aus Bsp. B.

Lösung:

#

# ∗

#

##

=

#

# =

R1

R2

Übungsaufgabe: Eine Möbelfabrik fertigt 5 Schrankmodelle (Modell A…E) aus den Grundelementen Korpus, Tür, Einlegeböden und Schubladensatz. Die Tabelle gibt an, wieviele Grundelemente in einen Schrank verbaut werden (Folie auflegen):

A B C D E Korpus 1 1 1 1 1 Türen 0 0 1 1 2 Einlegeböden 3 0 3 3 6 Schubladensatz 1 2 0 1 0 Es liegt nun ein Auftrag vor für 20 Stück A, 25 B, 40 C, 50 D und 70 E. Berechnen Sie die benötigten Grundelemente mit Hilfe des Matrixpro-dukts!

Lösung: Aus der Tabelle gewinnen wir in naheliegender Weise die Grundelemente Matrix G:

G =

1 1 1 1 10 0 1 1 23 0 3 3 61 2 0 1 0

Multiplizieren wir diese Matrix mit dem Auftragsvektor, so erhalten wir als Ergebnis gerade die Anzahl der Grundelemente in der Reihenfolge wie in der Tabelle angegeben:

1 1 1 1 10 0 1 1 23 0 3 3 61 2 0 1 0

·

2025405070

=

205230750120

=

KorpiTüren

EinlegebödenSchubladens.

2.4.5 Vektor mal Matrix

Ein Börsenmakler kauft an einem Tag für 4 Kunden Allianz, Continental und Lufthansa Aktien zu den Tageskursen 101,70 €, 88,30 € und 13,10 €.

Der 1. Kunde ordert 25 Allianz Aktien, 30 Continental und 250 Lufthansa Aktien. Der 2. Kunde ordert 30 Allianz, 35 Continental und 400 Lufthansa. Der 3. Kunde ordert 18 Allianz, 32 Continental und 300 Lufthansa. Der 4. Kunde ordert 40 Allianz, 80 Continental und 150 Lufthansa.

Mathematik BOS


Berechnen Sie, welche Kaufpreise (ohne Gebühren) den Kunden jeweils in Rechnung gestellt werden!

Wir fassen die Kundenaufträge spaltenweise zu einer Matrix zusammen, die 1. Spalte für den 1. Kunden, die 2. für den 2. Kunden usw. Die Zeilen geben die gewünschten Stückzahlen in alphabetischer Reihenfolge wieder.

Die Kurse fassen wir wie bisher zu einem Zeilenvektor zusammen. Wir definieren nun ein Produkt eines Zeilenvektors (1. Faktor) mit einer Matrix, indem der Zeilenvektor nacheinander skalar mit den Spaltenvektoren der Matrix multipliziert wird. Als Ergebnis erhalten wir einen Zeilenvektor mit so vielen Elementen wie die Matrix Spalten hat. Rechnung:

( )101,70 88,30 13,10 ·

25 30 18 40

30 35 32 80250 400 300 150

=

( )8466,50 11381,50 8586,20 13097

Der Zeilenvektor gibt direkt für jeden Kunden den Rechnungsbetrag an.

Hausaufgabe 43

Ein Börsenmakler kauft an einem Tag für 2 Kunden Aktien von Drägerwerk zu 76,30 €, Beiersdorf zu 62,25 €, Daimler zu 39,50 € und RWE zu 31,90 €. Kunde 1 ordert 40 Dräger, 25 Beiersdorf, 50 Daimler und 75 RWE Aktien. Kunde 2 ordert 60 Dräger, 20 Beiersdorf, 100 Daimler und 60 RWE Aktien. Berechnen Sie, wieviel jeder Kunde zu zahlen hat.

Lösung: ( )# ·

####

=

( )# 0,5% Gebühren als Anwendung der S-Multipl.

Hausaufgabe 44

Bilden Sie alle möglichen Produkte: a = ( )2 -3 ; b =

2

-3 ; c =

3

-1-2

D =

-4 2

1 10 ; E =

1 0 -2

2 5 -1-3 6 1

Lösung: ; = ( )# ; =

#

# ≠

obwohl gleiche Zahlen in a und b!

=

#

##

; =

#

# ; =

#

# ; =

#

##

Mathematik BOS


2.4.6 Matrix mal Matrix

Unser Börsenmakler kauft nun an zwei Tagen für 4 Kunden Allianz, Conti-nental und Lufthansa Aktien zu den jeweiligen Tageskursen in gleicher Stückzahl. Die Kurse an den beiden Tagen übernehmen wir aus dem Beispiel Matrix mal Vektor (s. S. 53):

Allianz Conti Lufthansa

102,80 85,57 13,30

103,60 84,95 14,10

Die Stückzahlen übernehmen wir aus dem Beispiel Vektor mal Matrix (2.4.5, s. S. 55):

Kd. 1 Kd. 2 Kd. 3 Kd. 4

25 30 18 40

30 35 32 80250 400 300 150

Welchen Betrag hat jeder Kunde am jeweiligen Tag zu zahlen?

Dazu bilden wir wieder das Produkt Kurse mal Stückzahlen:

102,80 85,57 13,30

103,60 84,95 14,10 ·

25 30 18 40

30 35 32 80250 400 300 150

=

8462,10 11398,95 8578,64 12952,60

8663,50 11721,25 8813,20 13055

Das Produkt der beiden Matrizen A und B sei die Matrix C: C = A·B. Dazu

muss die Zeilenzahl von B mit der Spaltenzahl von A übereinstimmen. C

enthält dann soviele Zeilen wie A und soviele Spalten wie B. Jedes Element

cij von C ergibt sich als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit dem

j-ten Spaltenvektor von B. Insbesondere darf A auch nur ein Zeilenvektor

bzw. B nur ein Spaltenvektor sein.

Übungsaufgabe: Welche Form hat das Ergebnis, sofern es überhaupt berechnet werden kann?

a)

• • •

• • • ·

•

••

=

•

•

b)

• • •

• • • ·

• • •

• • • geht nicht

Mathematik BOS


c) ( )• • • ·

• • • •

• • • •• • • •

= ( )• • • •

d)

•

• ·( )• • • • =

• • • •

• • • •

e)

• • •

• • •• • •

·

• • •

• • • geht nicht

f)

• •

• •• •

·

• • • •

• • • • =

• • • •

• • • •• • • •

g) 2×4 ∗ 4×3 = 2×3

h) n×k ∗ k×s = n×s

Übungsaufgabe: Zu Bsp. B (s. S. 46) und Hausaufgabe 42: Wie lassen sich die Mengen an Rohstoffen für die Endprodukte (85 Einh. E1 und 63 Einh. E2) in einem Schritt berechnen, also ohne zuvor die Zwischenprodukte zu berechnen?

Es war RZ =

2 6 4

3 1 6 und ZE =

2 1

5 82 4

Danach benötigen wir für 1 Einh. von E1:

von R1: 2·2 + 6·5 + 4·2 = ( )2 6 4 ·

2

52

= 42 Einh.

von R2: 3·2 + 1·5 + 6·2 = ( )3 1 6 ·

2

52

= 23 Einh.

Für 1 Einh. von E1 können wir die Rohstoffe also folgendermaßen berechnen:

2 6 4

3 1 6 ·

2

52

=

42

23

Analog überlegt man sich, dass man für 1 Einh. von E2 die Rohstoffe

2 6 4

3 1 6 ·

1

84

=

66

35 braucht.

Beide Rechnungen fassen wir zusammen:

RZ·ZE =

2 6 4

3 1 6 ·

2 1

5 82 4

=

42 66

23 35 = RE Herstellungsmatrix

Mathematik BOS


Interpretation: 1. Spalte für E1, 2. Spalte für E2 1. Zeile von R1, 2. Zeile von R2.

Benötigen wir 1 Einh. E1 und 1 Einh. E2, so werden die Rohstoffmengen

42 66

23 35 ·

1

1 =

108

58

gebraucht. Für den Auftrag von 85 Einh. von E1 und 63 Einh. E2 braucht man demzufolge

42 66

23 35 ·

85

63 =

7728

4160 =

R1

R2 (= Ergebnis von Hausaufgabe 42)

Herstellungsmatrix (RE) × Auftragsvektor = Herstellungsvektor

Hausaufgabe 45

Die drei Sparer Erich, Vanessa und Björn zahlen quartalsweise in 2 Fondssparpläne (A und B) ein. Die Preise der Fondsanteile und die angelegten Fondsanteile sind in folgender Tabelle zusammengefaßt:

Preise Sparpläne (Stück Anteile)

A B Erich Vanessa Björn

Q1 85,50 14,10 A 2 1 1

Q2 82,- 14,80 B 10 15 20

Q3 84,90 15,10

Q4 87,60 15,50

Erstellen Sie eine Matrix, aus der die Einzahlungen der 3 Sparer quartals-weise hervorgehen.

Lösung:

**

**

·

** =

**

**

Zusatzfrage bei der Besprechung: Wie kann man im Matrixkalkül die Jahressummen für jeden Sparer bilden?

( )1 1 1 1 ·

**

**

= ( )1275 1232,50 1530

Übungsaufgabe: Bezogen auf Bsp. B: Wieviele Einheiten von E1 und E2 lassen sich noch herstellen, wenn 1194 Einh. von R1 und 639 Einh. von R2 vorhanden sind?

Wir setzen an:

42 66

23 35 ·

E1

E2 =

1194

639

Daraus ergeben sich 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten E1 und E2:

Mathematik BOS


I 42 E1 + 66 E2 = 1194

II 23 E1 + 35 E2 = 639

Lösung nach dem Gaußschen Verfahren:

I/42=I’ E1 + 11/7 E2 = 199/7

II/23=II’ E1 + 35/23 E2 = 639/23

II’-I’: 0 + (35/23-11/7)E2 = 639/23 -

199/7

-8/161E2 = -104/161 | : -8/161

E2 = 13

Einsetzen in I’

E1 + 11/7·13 = 199/7

E1 + 143/7 = 199/7

E1 = 199/7 - 143/7 = 8

Probe:

42 66

23 35 ·

8

13 =

336+858

184+455 =

1194

639

Hausaufgabe 46

a) Wieviel an Rohstoffen benötigt man, um 18 Ein. von E1 und 6 Einh. von E2 herzustellen?

b) Wieviele Einheiten von E1 und E2 lassen sich herstellen, wenn von R1 noch 3996 Einh. und von R2 noch 2154 Einh. vorhanden sind?

Lösung: a) .

b) ;

;

;

;

;

;

;

;

Probe machen!

Übungsaufgabe: Bilden Sie alle möglichen Produkte:

A =

12 -1

9 26 ; B =

6 6

2 10 ; C =

2 0 1

3 -1 4

D =

-2 4

5 06 -7

; e = ( )2 -1 -1

Mathematik BOS


Lösung:

A² =

135 -38

342 667 ; A·B =

70 62

106 314 ; A·C =

21 1 8

96 -26 113 ;

B·A =

126 150

114 258 ; B² =

48 96

32 112 = 8·

6 12

4 14 ; B·C =

30 -6 30

34 -10 42 ;

C·D =

2 1

13 -16 ;

D·A =

12 106

60 -59 -188

; D·B =

-4 28

30 3022 -34

; D·C =

8 -4 14

10 0 5-9 7 -22

;

e·D = ( )-15 15 = 15·( )-1 1

N. B.: A·B und B·A haben verschiedene Ergebnisse!

Sei G eine n×k Matrix und H eine k×n Matrix. Dann lassen sich die beiden

Produkte G·H und H·G bilden, aber sie fallen verschieden aus (in den

Beispielen C·D und D·C). Dies gilt auch für den Sonderfall n=k, d. h. zwei

quadratische Matrizen (in den Beispielen A und B). Das Kommutativgesetz

gilt für das Matrixprodukt nicht!

Übungsaufgabe: Die Schüler bilden in zwei Gruppen A·E bzw. E·A und erhalten jeweils wieder A.

Hausaufgabe 47

In einem Unternehmen werden aus 6 Einzelteilen E1 … E6 3 Bauteile hergestellt. Die Stücklisten für die Bauteile sind in der Tabelle zusammen-gefasst.

a) Wie viele Einzelteile werden wöchentlich benötigt, wenn 80 Stück von B1, 70 Stück von B2 und 130 Stück von B3 pro Wo-che gefertigt werden sollen?

b) Wie hoch sind die Kosten für die Einzelteile je Bauteil bei den in der Tabelle angegebe-nen Stückkosten?

c) Wie hoch sind die wöchentlichen Kosten für den Bezug der Einzelteile, wenn die Stückzahlen aus a) produziert werden?

Kosten B1 B2 B3

E1 15 1 2 8

E2 22,50 2 0 0

E3 17,20 3 2 0

E4 12,30 0 7 0

E5 24,30 0 2 4

E6 52,80 4 2 1

Mathematik BOS


Lösung:

a)

#

##

=

######

;

b) ( )# · =

( )#

c) ( )# ·

#

##

= €.

Alternativ: aus a).

2.5 Anwendungen der Matrixrechnung

2.5.1 Kostenrechnung

Stücklisten aus Bsp. B:

RZ =

2 6 4

3 1 6 ; ZE =

2 1

5 82 4

Kosten der Rohstoffe je ME und von den Rohstoffkosten unabhängige Kosten für die Herstellung der Zwischenprodukte (z. B. Arbeitskosten) sowie Kosten der Endprodukte und Fixkosten pro Monat:

R1 R2 Z1 Z2 Z3 E1 E2 Fix

6 8 5 7 4 12 20 980

Produktion pro Monat: 10×E1 und 30×E2.

1 Berechnung der Produktionskosten

1.1 Kosten der Zwischenprodukte

1.1.a Materialkosten

( )6 8 ·RZ = ( )36 44 72

1.1.b Arbeits- und Maschinenkosten

gegeben: ( )5 7 4

1.1.c Gesamtkosten der Zwischenprodukte je Einh.:

( )36 44 72 + ( )5 7 4 = ( )41 51 76

1.2 Kosten der Endprodukte

1.2.a Materialkosten durch die Zwischenprodukte:

( )41 51 76 ·ZE = ( )489 753

Mathematik BOS


1.2.b Arbeits- und andere Kosten: ( )12 20

1.2.c Gesamtkosten der Endprodukte je Einh. (var. Stückkosten):

( )489 753 + ( )12 20 = ( )501 773

1.3 Kosten für die gesamte Produktion pro Monat:

1.3.a Variable Kosten

( )501 773 ·

10

30 = 28200,-

1.3.b Fixkosten (gegeben): 980,-

1.3.c Gesamtkosten im Monat: 28200+980 = 29180

2 Preise, Umsatz und Gewinn

2.1 Marktpreise für die Endprodukte: E1: 819 und E2: 783

2.2 Umsatz im Monat:

( )819 783 ·

10

30 = 31680

2.3 Gewinn G=U-K = 31680 - 29180 = 2500

Hausaufgabe 48

Bezug ist Hausaufgabe 38 Teil a) „Die Nachbarskinder Anna…“. Die Preise seien 1 l Milch: 0,80 €, 1 Pfund Butter: 1,10 €, 1 Packg. Eier: 1,80 €, 1 Brötchen: 0,25 €. Berechnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Matrizenrechnung:

a) welche Mengen an Milch, Butter usw. die Kinder insges. gekauft haben;

b) wie viel Euro jedes Kind bezahlen musste;

c) wie hoch der gesamte Kaufpreis aller Kinder war.

Lösung:

a) ( )# ·

###

=

## ;

b)

###

·

##

##

=

###

für

###

c) ( )# ·

###

= €.

Hausaufgabe 49

Bezug ist die Kosten und Gewinnberechnung aus dem Unterricht. Ein Jahr später haben sich die Kosten wie folgt geändert:

Mathematik BOS


R1 R2 Z1 Z2 Z3 E1 E2

6,75 7,90 5,30 7,20 4,10 12,40 17,20

Führen Sie die Berechnungen mit diesen Werten erneut durch.

Lösung s. Excel Datei HA49_Kosten.xls.

2.5.2 Deckungsbeitrag

Deckungsbeitrag = Verkaufspreis - var. Stückkosten

Wir setzen das vorige Beispiel fort:

Var. Stückkosten für die Endprodukte: ( )501 773

db = ( )819 783 - ( )501 773 = ( )318 10

Gesamtdeckungsbeitrag im Monat:

DB = ( )318 10 ·

10

30 = 3480 € monatlich

Gewinn = Deckungsbeitrag - Fixkosten

G = 3480 - 980 = 2500 €

Übungsaufgabe: Ein Betrieb verarbeitet 3 Rohstoffe zu 3 Zwischenprodukten und diese dann zu 3 Endprodukten. Stücklisten:

Z1 Z2 Z3 E1 E2 E3 R1 1 4 3 Z1 2 3 4 R2 2 3 4 Z2 1 2 2 R3 1 2 2 Z3 2 5 8

Weitere Daten (Kosten, Preise):

R1 R2 R3 Z1 Z2 Z3 Fix

Kosten 10 15 20 80 100 120 40000 E1 E2 E3

Kosten 410 510 620 Produktion 62 175 150 Preise 2000 3000 3500

Rechnung:

1 Produktionskosten

1.1 Kosten der Zwischenprodukte

1.1.a Materialkosten Rohstoffkostenvektor × RZ-Matrix

( )10 15 20 ×

1 4 3

2 3 41 2 2

= ( )60 125 130

1.1.b zuzüglich Fertigungskosten der Produktion der Zwischenprodukte

+ ( )80 100 120

Mathematik BOS


1.1.c Gesamtkosten der Zwischenprodukte:

( )140 225 250

1.2 Kosten der Endprodukte

1.2.a durch die Zwischenprodukte (Materialkosten):

Zwischenproduktekostenvektor × ZE-Matrix

( )140 225 250 ×

2 3 4

1 2 22 5 8

= ( )1005 2120 3010

1.2.b zuzüglich Arbeitskosten usw. der Endprodukte:

+ ( )410 510 620

1.2.c Gesamtkosten der EP je Einh. (=var. Stückkosten):

( )1415 2630 3630

2 Deckungsbeitrag und Gewinn

2.1 Deckungsbeitrag je ME = Preis - var. Stückkosten

Preise: ( )2000 3000 3500

- var. Stückkosten ( )1415 2630 3630

= db je ME ( )585 370 -130

2.2 DB für die Gesamtproduktion:

DB-je-ME-Vektor × Produktionsvektor

( )585 370 -130 ×

62

175150

= 81520

2.3 Gewinn

Gewinn = Gesamt-DB - Fixkosten

G = 81520 - 40000 = 41520,-

Hausaufgabe 50

Buch S. 508 Nr. 24

Lösung s. Excel Datei HA50_Kosten.xls

Das Produkt aus der RZ-Matrix und der ZE-Matrix ergibt die RE-Matrix. An einem Beispiel nachvollziehen. Diese Kenntnis ist notwendig für die…

Hausaufgabe 51

Buch S. 508 Nr. 23 a-c

Lösung s. Excel Datei HA51.xls

Mathematik BOS


Hausaufgabe 52

Buch S. 508 Nr. 23 Rest

Lösung s. Excel Datei HA51.xls Rückseite

2.5.3 Lineare Gleichungssysteme

Wir wenden die Matrizenrechnung nun auf die Lösung linearer Gleichungs-systeme (LGS) an. Dabei werden wir das Gaußsche Eliminationsverfahren kennenlernen.

Beispiel: Aus 3 Einzelteilen T1, T2 und T3 werden 3 Produkte P1, P2 und P3 hergestellt nach folgender Stückliste:

Die Produktion soll nun auslaufen. Dabei sollen die vorhandenen Teile (250 Stück von T1, 221 Stück von T2 und 330 Stück von T3 möglichst vollständig ver-braucht werden. Gesucht werden nun die produzier-ten Mengen der Produkte p1, p2 und p3.

2.5.3.1 Lösung als lineares Gleichungssystem

I 3p1 + 3p2 + 5p3 = 250 | :3

II 2p1 + 4p2 + 4p3 = 221

III 4p1 + 2p2 + 8p3 = 330

I’ p1 + p2 + 5/3p3 = 831/3 | ·(-2)+II | ·(-4)+III

IV=(-2)·I’+II 2p2 + 2/3p3 = 541/3

V=(-4)·I’+III -2p2 + 11/3p3 = -31/3

Die erste Zeile bleibt jetzt unverändert. Sie kann gestrichen werden. Mit dem Rest verfahren wir in gleicher Weise weiter.

I’ p1 + p2 + 5/3p3 = 831/3

IV’=IV:2 p2 + 1/3p3 = 271/6 | ·2+V

VI=IV’·2+V 2p3 = 51 | :2

VI’ p3 = 251/2

Das LGS bestehend aus I’, IV’ und VI’ hat jetzt obere Dreiecksgestalt (Ende der Phase 1). Wir könnten es nun von unten her auflösen. Wir gehen aber noch einen Schritt weiter und stellen in der Phase 2 auch noch p2 und p1 frei.

Dabei fangen wir von unten an zu schreiben!

P1 P2 P3

T1 3 3 5

T2 2 4 4

T3 4 2 8

Mathematik BOS


IIX=-5/3·VI’+I’ p1 + p2 + = 405/6

VII=-1/3·VI’+IV’ p2 + = 182/3

VI’ p3 = 251/2 | ·-1/3+IV’

Im letzten Schritt eliminieren wir noch p2 aus Gl. IIX mit Hilfe von Gl. VII:

IX=-1·VII+IIX p1 = 221/6

VII p2 + = 182/3 | ·(-1)+IIX

VI’ p3 = 251/2

Damit haben wir alle Variablen freigestellt und können die Lösung direkt ablesen:

p1 = 221/6; p2 = 182/3 und p3 = 251/2. Wenn nur ganzzahlige Lösungen (Stückzahlen) zugelassen sind, können also 22 Stück von P1, 18 Stück von P2 und 25 Stück von P3 hergestellt werden. Etwas bliebe dann noch übrig.

Hausaufgabe 53

Berechnen Sie die Reste der Einzelteile.

Lösung: .

2.5.3.2 Lösung im Matrizenkalkül

Wir definieren die Vektoren

p =

p1

p2

p3

und t =

250

221330

und die Koeffizientenmatrix A

A =

3 3 5

2 4 44 2 8

Dann lässt sich das LGS schreiben als

A·p = t oder ausführlich (∗)

3 3 5

2 4 44 2 8

·

p1

p2

p3

=

250

221330

Die sog. erweiterte Koeffizientenmatrix enthält zusätzlich noch die rechte Seite:

(A|t) =

3 3 5 | 2502 4 4 | 2214 2 8 | 330

An dieser Matrix führen wir jetzt die gleichen Rechenoperationen erneut aus. Am Ende wird auf der rechten Seite die Lösung stehen.

3 3 5 | 2502 4 4 | 2214 2 8 | 330

| :3

Mathematik BOS


1 1 5/3 | 831/30 2 2/3 | 541/30 -2 11/3 | -31/3

| ∗(-2)+2. Zeile | ∗(-4)+3. Zeile| :2

Die erste Zeile und Spalte bleibt fortan (bis zum Ende der Phase 1) unverän-dert und kann gedanklich gestrichen werden. Mit dem Rest verfahren wir wieder genauso.

1 1 5/3 | 831/30 1 1/3 | 271/60 0 2 | 51

| ∗2+3.Zl.| :2

1 1 5/3 | 831/30 1 1/3 | 271/60 0 1 | 251/2

An dieser Stelle ist die Phase 1 beendet. Die Matrix A hat obere Dreiecks-form angenommen. Wir könnten die Unbekannten jetzt von unten her auf-lösen. Wir machen aber noch weiter und starten jetzt die Phase 2, um die Matrix A in die Einheitsmatrix zu überführen. Dann haben wir alle Unbekann-ten direkt freigestellt.

In der Phase 2 arbeiten (und schreiben) wir von unten nach oben.

1 1 5/3 | 831/30 1 1/3 | 271/60 0 1 | 251/2

|∗(-1/3)+ 2. Zl. |∗(-5/3)+1. Zl.

1 1 0 | 405/60 1 0 | 182/30 0 1 | 251/2

|∗(-1)+1.Zl.

1 0 0 | 221/60 1 0 | 182/30 0 1 | 251/2

Am Ende der Phase 2 ist A in die Einheitsmatrix umgeformt worden. Die Gl. (∗) lautet nun (t’ sei der umgewandelte t Vektor):

A’·p = t’ bzw. E·p = t’ bzw. p = t’ (da E·p=p) bzw. ausführlich

p =

p1p2p3

=

221/6182/3251/2

Als ganzzahlige Lösung ergibt sich also wieder

p1 = 22; p2 = 18; p3 = 25 bzw. als Vektor

pganz. =

221825

Die Reste erhalten wir so:

Mathematik BOS


3 3 5

2 4 44 2 8

·

22

1825

=

245

216324

250

221330

-

245

216324

=

5

56

Gaußsches Eliminationsverfahren:

Es sei A die (quadratische) Koeffizientenmatrix und B die erweiterte Koeffizi-

entenmatrix eines LGS aus n Gleichungen für n Unbekannte x1, x2,... xn.

1. Phase: Die 1. Zeile von B wird durch a11 geteilt. Von der neuen 1. Zeile

werden Vielfache zu den Zeilen darunter addiert mit dem Ziel, die Elemente

in der 1. Spalte unter a11 (also a12…a1n) zu Null zu machen. Das gleiche

Verfahren wird nun auf die Untermatrix von B angewendet, die durch Strei-

chen der 1. Zeile und 1. Spalte entsteht usw. Am Ende der 1. Phase hat A

die obere Dreiecksform und in der Hauptdiagonalen stehen lauter Einsen.

2. Phase: Von der untersten Zeile werden Vielfache zu allen Zeilen darüber

addiert mit dem Ziel, die Elemente in der letzten (n-ten) Spalte von A zu

Null zu machen. Das gleiche Verfahren wird nun auf die Untermatrix von B

angewendet, die durch Streichen der untersten Zeile und der n-ten Spalte

entsteht (d. h. der letzten Spalte von A). Am Ende der 2. Phase ist A in die

n×n Einheitsmatrix überführt worden. Der Vektor der rechten Seite (d. h. die

letzte Spalte von B) ist dabei in den Lösungsvektor übergegangen.

2.5.4 Übungsaufgaben zu LGS

Übungsaufgabe: Steckbriefaufgabe (S. 519 Bsp. 7.27)

Die Kosten K eines Unternehmens sollen in Abhängigkeit von der Pro-duktionsmenge x durch ein Polynom 3. Grades K(x) = ax³ + bx² + cx + d dargestellt werden. Man kann davon ausgehen, dass die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von 10 ME minimal sind und 200 € betra-gen. Die Gesamtkosten bei dieser Produktionsmenge machen 6000 € aus. Die Fixkosten werden mit 3400 € veranschlagt. Berechnen Sie die Koeffizienten a-d mit Hilfe des Matrizenkalküls.

Lösung:

1. Schritt: Bedingungen in mathematische Gleichungen fassen:

Mathematik BOS


Grenzkosten bei x=10 minimal:

K’(10) ist minimal ⇒

I K’’(10) = 0

Grenzkosten bei x=10 betragen 200 €:

II K’(10) = 200

Gesamtkosten bei x=10 sind 6000 €:

III K(10) = 6000

Fixkosten = 3400 €:

IV K(0) = 3400

4 Gleichungen reichen aus, um die 4 Unbekannten a-d zu bestimmen.

2. Schritt: Ansatz für die gesuchte Funktion: K(x) = ax³ + bx² + cx + d (vorgegeben)

3. Schritt: Bedingungen mit der Funktion ausformulieren:

Vorweg werden die nötigen Ableitungen gebildet:

K’(x) = 3ax² + 2bx + c

K’’(x) = 6ax +2b

I 60a + 2b = 0

II 300a + 20b + c = 200

III 1000a + 100b + 10c + d = 6000

IV 0a + 0b + 0c + d = 3400

Aus IV ergibt sich schon: d = 3400. Einsetzen in die anderen Gleichungen:

III 1000a + 100b + 10c + 3400 = 6000 | - 3400

III’ 1000a + 100b + 10c = 2600

Das LGS besteht nun nur noch aus den Gl. I, II und III’:

I 60a + 2b = 0

II 300a + 20b + c = 200

III’ 1000a + 100b + 10c = 2600

4. Schritt: Überführen Sie das LGS in Matrixschreibweise und lösen Sie es nach dem Gaußschen Verfahren.

Erweiterte Koeffizientenmatrix:

(A|b) =

60 2 0 | 0300 20 1 | 200

1000 100 10 | 2600

Lösungsschritte:

Mathematik BOS


1 1/30 0 0

0 10 1 200

0 66 2/3 10 2600

1 1/30 0 0

0 1 0,1 20

0 0 3 1/3 1266 2/3

1 1/30 0 0

0 1 0 -18

0 0 1 380

1 0 0 0,6

0 1 0 -18

0 0 1 380

Zu Bedingung I gibt es noch eine zweite (sog. hinreichende) Bedingung:

K’’’(10) ≠ 0

K’’’(x) = 6a

Diese Bedingung ist aber erfüllt, da a ≠ 0 sein muss (sonst wäre es kein Polynom 3. Grades mehr).

Lösungsvektor:

abc

=

0,6-18380

K(x) = 0,6x³ - 18x² + 380x + 3400

Probe (in 3 Gruppen für jede Bed.):

K’(x) = 1,8x² - 36x + 380

K’’(x) = 3,6x - 36

I 3,6·10 - 36 = 0 �

II 1,8·100 - 36·10 + 380 = 200 �

III 0,6·1000 - 18·100 + 380·10 + 3400 = 6000 �

K’’’(x) = 3,6 ≠ 0

Mathematik BOS


Hausaufgabe 54

Ein Polynom 3. Grades soll einen Tiefpunkt TP(-1|-41/3) haben, die y-Achse bei 1 schneiden und außerdem soll x = 2 eine Wendestelle sein. Lösen Sie die Aufgabe im Matrizenkalkül und stellen Sie den Funktions-term auf.

Lösung: f(x) = .

Aus .


|

||

|

||

|

||

|

||

|

||

Übungsaufgabe (Alternative 1): Steckbriefaufgabe

Eine Funktion f(x) soll einen Tiefpunkt TP(-8|-784) haben. Die x-Achse soll bei -1 geschnitten werden. Der Schnittpunkt mit der y-Achse soll um 8 kleiner als der Koeffizient des linearen Gliedes sein.

1. Schritt: Bedingungen in mathematische Gleichungen fassen:

TP(-8|-784)

I f(-8) = -784

II f’(-8) = 0 (und f’’(-8) > 0 für TP)

Schnittpunkt mit der x-Achse bei -1:

III f(-1) = 0

Der Schnittpunkt mit der y-Achse soll um 8 kleiner als der Koeffizient des linearen Gliedes sein.

IV f(0) = x-Koeff. - 8

2. Schritt: Ansatz für die gesuchte Funktion: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

3. Schritt: Bedingungen mit der Funktion ausformulieren:

Mathematik BOS


Ableitungen:

f’(x) = 3ax² + 2bx

f’’(x) = 6ax + 2b

I -512a + 64b -8c + d = -784

II 192a - 16b + c = 0

III -a + b - c + d = 0

IV d = c - 8

Bed. IV wird eingesetzt in I und III (� I’ und III’):

-512a + 64b -8c + c -8 = -784

I’ -512a + 64b -7c = -776

II 192a - 16b + c = 0

-a + b - c + c -8 = 0

III’ -a + b = 8

4. Schritt: Überführen Sie das LGS in Matrixschreibweise und lösen Sie es nach dem Gaußschen Verfahren :


-512 64 -7 -776

192 -16 1 0

-1 1 0 8 | *(-1) u. mit 1. Zl. vertauschen

1 -1 0 -8

192 -16 1 0

-512 64 -7 -776

1 -1 0 -8

0 176 1 1536

0 -448 -7 -4872

1 -1 0 -8

0 1 1/176 8 8/11

0 0 -4 5/11 -962 2/11

Mathematik BOS


1 -1 0 -8

0 1 0 7,5

0 0 1 216

1 0 0 -0,5

0 1 0 7,5

0 0 1 216

a = -0,5; b = 7,5; c = 216

Aus IV ergibt sich d:

d = c - 8 = 216 - 8 = 208

Lösungsvektor:

ab

cd

=

-0,5

7,5216208

f(x) = -1/2x³ + 7,5x² +216x + 208

Probe der ursprünglichen Bedingungen I…III in 3 Gruppen.

Übungsaufgabe (Alternative 2): Buch S. 514 Bsp. 7.24a

In einem Betrieb werden 3 verschiedene Teile T1…T3 von 3 Maschinen M1…M3 bear-beitet. Die Belegungszeiten der Maschinen in Minuten sind in der nebenstehenden Tabelle angegeben. Die für die Bearbei-tung der Teile zur Verfügung stehenden Zeiten pro Woche betragen bei der 1. Maschine 9000 Minuten, bei der 2. Maschine 5200 Minuten und bei der 3. Maschine 5100 Minuten.

Stellen Sie ein LGS auf, dessen Lösung angibt, wie viele Teile bei Ausnutzung der zur Verfügung gestellten Zeit bearbeitet werden können. Lösen Sie das LGS im Matrizenkalkül.

Bezeichnung der Teile, die produziert werden können: t1, t2, t3.

2t1 + 8t2 + 6t3 = 9000

4t1 + 6t2 + t3 = 5200

7t1 + 2t3 = 5100


(A|b) =

2 8 6 | 9000

4 6 1 | 52007 0 2 | 5100

| : 2

T1 T2 T3

M1 2 8 6

M2 4 6 1

M3 7 0 2

Mathematik BOS


1 4 3 | 4500

0 -10 -11 | -128000 -28 -19 | -26400

| ∗(-4) + 2. Zl. | ∗(-7) + 3. Zl.| :(-10)

1 4 3 | 4500

0 1 1,1 | 12800 0 11,8 | 9440

| ∗28 + 3. Zl.| :11,8

1 4 3 | 4500

0 1 0 | 4000 0 1 | 800

�

1 4 0 | 2100

0 1 0 | 4000 0 1 | 800

1 0 0 | 500

0 1 0 | 4000 0 1 | 800

Lösung: t1=500; t2 = 400 und t3 = 800.

Als Vektor geschrieben lautet die Lösung:

t =

t1t2t3

=

500400800

Probe machen.

Übungsaufgabe: Buch S. 522 Nr. 12

Ute, Heinrich, Renate und Arne haben zu einer Party eingeladen. Da sie sich nicht abgesprochen hatten, wer für die Getränke sorgen sollte, kauften sie unabhängig voneinander Bier, Mineralwasser, Saft und Cola ein, zufällig auch jeweils von derselben Marke. Die Anzahl der Kästen, die von den 4 Personen besorgt wurden, stehen in der Tabelle.

Bei der Abrechnung der Ge-tränkekosten stellten sie fest, dass der Kassenbon nur den Endbetrag auswies. Ute be-zahlte 52,50 €, Heinrich 47,50 €, Renate 44 € und Arne 61,50 €. Ermitteln Sie jeweils die Preise für einen Kasten von jeder Getränkesorte.

Lösung:

LGS: A·g = p oder ausführlich geschrieben:

3 1 3 13 1 2 12 1 2 25 1 1 1

·

BWSC

=

52,5047,5044,0061,50

Bier Wasser Saft Cola

Ute 3 1 3 1

Heinr. 3 1 2 1

Renate 2 1 2 2

Arne 5 1 1 1

Mathematik BOS


3 1 3 1 | 52,503 1 2 1 | 47,502 1 2 2 | 445 1 1 1 | 61,50

| : 3

1 1/3 1 1/3 | 17,500 0 -1 0 | -50 1/3 0 4/3 | 90 -2/3 -4 -2/3 | -26

| ∗(-3)+2. Zl.,| ∗(-2)+3. Zl.,| ∗(-5)+4. Zl.| ∗ (-1), dann vertauschen mit 3. Zl.

1 1/3 1 1/3 | 17,500 1/3 0 4/3 | 90 0 1 0 | 50 -2/3 -4 -2/3 | -26

| ∗ 3

1 1/3 1 1/3 | 17,500 1 0 4 | 270 0 1 0 | 50 0 -4 2 | -8

| ∗ 2/3 + 4. Zl.

1 1/3 1 1/3 | 17,500 1 0 4 | 270 0 1 0 | 50 0 0 2 | 12

| ∗ 4 + 4. Zl.| :2

1 1/3 1 1/3 | 17,500 1 0 4 | 270 0 1 0 | 50 0 0 1 | 6

Rang(A) = 4 = Rang(A|b), maximal

1 1/3 1 0 | 15,500 1 0 0 | 30 0 1 0 | 50 0 0 1 | 6

| ∗(-4) + 2. Zl., | ∗(-1/3) + 1. Zl.

1 1/3 0 0 | 10,500 1 0 0 | 30 0 1 0 | 50 0 0 1 | 6

| ∗(-1) + 1. Zl.

1 0 0 0 | 9,500 1 0 0 | 30 0 1 0 | 50 0 0 1 | 6

| ∗(-1/3) + 1. Zl.

Bier: 9,50 €; Wasser: 3 €; Saft: 5 €; Cola: 6 €, oder als Vektor:

g =

9,503,005,006,00

; Probe machen (in 2 Gruppen)

Mathematik BOS


Unter dem Rang der Matrix A, geschrieben Rang(A), wird die Anzahl der vom

Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren der Matrix in oberer Dreiecksform

verstanden, die aus A nach dem Gaußschen Verfahren entstanden ist (Ende

der Phase 1). Entsprechendes gilt auch für die erweiterte Koeffizientenmatrix

(A|b), geschrieben Rang(A|b).

Hausaufgabe 55

Lösen Sie das LGS

5x + 11/4y + 10z = 40 -4x - y - 81/2z = -311/4 -2x + 6y + 51/2z = 12

im Matrixkalkül.

Lösung:

|

||

|

||

|

||

|

||

|

||

|

||

2.5.5 Sonderfälle beim Lösen eines LGS

Übungsaufgabe: LGS mit unendlich vielen Lösungen

Zu lösen ist das LGS

I 2x - 5y + z = 3

II -x + y + 4z = -3

III 2x - 14z = 8

Mathematik BOS


(A|b) =

2 -5 1 | 3

-1 1 4 | -32 0 -14 | 8

| : 2

1 -2,5 0,5 | 1,5

0 -1,5 4,5 | -1,5

0 5 -15 | 5

| +2. Zl.,| ∗(-2)+3. Zl.| :(-1,5)

1 -2,5 0,5 | 1,5

0 1 -3 | 1

0 0 0 | 0

| ∗(-5) + 3. Zl.

Rang(A) = Rang(A|b) = 2 < 3

Das LGS ist unterbestimmt, A ist singulär (bisher war A immer regulär).

Das LGS ist nicht eindeutig lösbar, da nicht nach z aufgelöst werden kann. Stattdessen wird nun z als freier Parameter gewählt und die beiden anderen Variablen werden durch z ausgedrückt. Es gibt folglich unendlich viele Lösungen, je nach Wahl von z.

Nächster Schritt:

1 -2,5 0,5 | 1,5

0 1 -3 | 1

0 0 0 | 0

| ∗ 2,5 + 1. Zl.

1 0 -7 | 4

0 1 -3 | 1

0 0 0 | 0

In Gleichungsform:

I’ x - 7z = 4 | + 7z

x = 4 + 7z

II’ y - 3z = 1 | + 3z

y = 1 + 3z

Lösungsvektor:

x

yz

=

4

10

+ z·

7

31

Damit sind jetzt x und y Funktionen von z. Sofern für z aus dem An-wendungszusammenhang heraus keine Einschränkungen bekannt sind, können für z alle reellen Zahlen eingesetzt werden und aus den obigen Gleichungen ergeben sich dann entsprechende Werte für x und y. Das LGS hat also unendlich viele Lösungen. Beispiele:

z x y

0 4 1

Mathematik BOS


1 11 4

64 452 193

-3 -17 -8

Hausaufgabe 56

Überprüfen Sie (schriftl.), ob das LGS mit diesen Werten erfüllt ist.

Hausaufgabe 57

Lösen Sie das LGS

I -2a + 4b + 2c = -8

II 2a + b + 8c = 23

III -8a + 11b - 2c = -47

Lösung:

|

||

|

||

|

||

|

||

I’ ⇒ a =.

II’ ⇒ b =.

Lösungsvektor:

a

bc

= ( )+ c·( )

Unendlich viele Lösungen treten immer dann auf, wenn Rang(A) und Rang(A|b) beide gleich, aber nicht maximal sind.

Übungsaufgabe: LGS ohne Lösung

Student Kevin kauft für 3 Parties Kisten Bier, O-Saft und Mineralwasser in folgenden Mengen:

Bier O-Saft Wasser

1. Party 1 2 3

2. Party 2 2 4

Mathematik BOS


3. Party 5 2 7

Nach dem Einkauf notiert er sich zu Hause aus dem Gedächtnis die Preise: 1. Party: 11 €; 2. Party: 14 €; 3. Party: 38 €. Was kosteten die Getränke?

LGS aufstellen:

I 1B + 2S + 3W = 11

II 2B + 2S + 4W = 14

III 5B + 2S + 7W = 38


(A|b) =

1 2 3 | 11

2 2 4 | 14

5 2 7 | 38

1 2 3 | 11

0 -2 -2 | -8

0 -8 -8 | -17

| ∗(-2)+2. Zl.,| ∗(-5)+3. Zl.| :(-2)

1 2 3 | 11

0 1 1 | 4

0 0 0 | 15

| ∗(8)+3. Zl.

Die letzte Gleichung lautet nun:

0B + 0S + 0W = 15

0 = 15

Die Gleichung ist offenbar falsch. Die 3 Gleichungen widersprechen sich. Das LGS hat keine Lösung. Erkennungsmerkmal:

Rang(A) = 2 (A ist singulär), aber Rang(A|b) = 3 = maximal.

Hausaufgabe 58

Lösen Sie das LGS

I -2x + 4y + 2z = -8

II 2x + y + 8z = -9

III -8x + 11y -2z = -47

Lösung:

|

||

|

||

Mathematik BOS


|

||

.

Übungsaufgabe: Das überbestimmte LGS.

I a + 1/2b = -2

II -1,5a - b - c = 2

III + 2b - c = 8

IV 2a + 3b - 2c = 4

V 4a + 51/2b - 7c = 6

Das sind 5 Gleichungen für 3 Variablen. Es hätten aber 3 Gleichungen genügt. Man kann das LGS ganz normal lösen, indem man eine 5×3 Koeffizientenmatrix A aufstellt, das ist aber umständlich.

Pragmatische Vorgehensweise: Wir streichen 2 Gleichungen und lösen zuerst 3 Gleichungen mit 3 Variablen. Finden wir eine Lösung, machen wir zum Schluss die Probe in den ausgelassenen Gleichungen. Finden wir keine Lösung, ist das LGS nicht lösbar. Der Fall mit unendlich vielen Lösungen wird nicht vorkommen.

Wir lösen zuerst Gl. I-III und stellen gleich die erweiterte Koeffizienten-matrix auf:

1 0,5 0 | -2

-1,5 -1 -1 | 2

0 2 -1 | 8

| ∗1,5+2. Zl.

1 1/2 0 | -2

0 -1/4 -1 | -1

0 2 -1 | 8

| ∗(-4)

1 1/2 0 | -2

0 1 4 | 4

0 0 -9 | 0

| ∗(-2)+ 3. Zl.| :(-9)

1 1/2 0 | -2

0 1 0 | 4

0 0 1 | 0

| ∗(-4)+ 2. Zl.

1 0 0 | -4

0 1 0 | 4

0 0 1 | 0

| ∗(-1/2)+ 1. Zl.

a = -4; b = 4; c = 0

Lösungsvektor:

a

bc

=

-4

40

Mathematik BOS


Probe:

IV 2(-4) + 3·4 - 2·0 = -8 + 12 = 4 �

V 4(-4) + 51/2·4 - 7·0 = -16 + 22 = 6 �

Damit ist die obige Lösung für alle 5 Gleichungen gültig.

2.5.6 Eigenschaften der Koeffizientenmatrix, Lösbarkeitskriterien

Es sei A die Koeffizientenmatrix und B = (A|b) die erweiterte Koeffizienten-

matrix eines LGS. Am Ende der Phase 1 des Gaußschen Verfahrens sollte A

eine obere Dreiecksmatrix mit lauter Einsen in der Hauptdiagonale sein.

Wenn dies gelingt, nennt man A regulär. Das LGS hat dann eine eindeutige

Lösung. Gelingt dies nicht, heißt A singulär. Das LGS hat dann entweder

keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Hausaufgabe 59

Stellen Sie fest, ob die Matrix regulär oder singulär ist:

a)

3 144

-2 -81 b)

-1,5 18

3 -36 c)

3 -6 27

5 -7 60-4 6 42

Lösung:

a)

#

# b)

#

# c)

#

##

Der Rang ist nützlich zur Entscheidung, ob ein LGS lösbar ist oder nicht. Darüber gibt der nächste Merksatz Auskunft.

Ein LGS mit n Unbekannten A·x = b ist nur dann lösbar, wenn Rang(A) =

Rang(A|b) gilt. Die Lösung ist eindeutig, wenn zudem Rang(A) = n gilt. A ist

dann regulär. Größer kann der Rang von A nicht sein.

2.6 Die Inverse Matrix

In 2 Gruppen werden die beiden LGS parallel gelöst:

x1 + 3x2 = 1

-2x1 - 2x2 = 0

x1 + 3x2 = 0

-2x1 - 2x2 = 1

Mathematik BOS


1 3 | 1

-2 -2 | 0

1 3 | 0

-2 -2 | 1

1 3 | 1

0 4 | 2

1 3 | 0

0 4 | 1

1 0 | - 1/2

0 1 | 1/2

1 0 | - 3/4

0 1 | 1/4

In beiden Gruppen wurden die gleichen Rechenoperationen ausgeführt, da diese nur von der Koeffizientenmatrix A abhängen. Die beiden LGS lassen sich gleichzeitig lösen, indem A um beide rechte Seiten erweitert wird:

(A|b1b2) =

1 3 | 1 0

-2 -2 | 0 1

Das entspricht der Lösung einer Matrizengleichung

A·X = E mit X =

x11 x12

x21 x22

Die erste Spalte von X ist der Lösungsvektor des linken LGS, die zweite Spalte der des rechten. Ausführlich geschrieben:

1 3

-2 -2∗

x11 x12

x21 x22 =

1 0

0 1

Wir führen die Lösung jetzt mit (A|b1b2) durch (gleiche Rechnung):

1 3 | 1 0

-2 -2 | 0 1

1 3 | 1 0

0 4 | 2 1

1 0 | - 1/2 - 3/4

0 1 | 1/21/4

bzw. als Gleichung geschrieben:

1 0

0 1∗

x11 x12

x21 x22 =

- 1/2 - 3/4

1/21/4

⇒

x11 x12

x21 x22 =

- 1/2 - 3/4

1/21/4

= I

X = I

Damit haben wir die Gleichung A·X = E aufgelöst nach X (X freigestellt).

Analogon mit Zahlen:

5x = 1 | ∗ 5-1

5-1·5x = 5-1·1 = 5-1

x = 5-1 (= 1/5 = 0,2, bei Zahlen kann man Dividieren, bei Matrizen nicht!)

Wir machen in 2 Gruppen die Probe:

Mathematik BOS


I·A = A·I =

- 1/2 - 3/4

1/21/4

·

1 3

-2 -2 =

1 0

0 1

1 3

-2 -2·

- 1/2 - 3/4

1/21/4

=

1 0

0 1

I heißt die inverse Matrix von A und wird A-1 geschrieben. Die inverse Matrix löst die Gleichung A·X = E nach X auf.

L. S.: A-1·A·X = E·X = X R. S.: A-1·E = A-1

X = A-1

Eine inverse Matrix kann nur zu einer regulären, quadratischen Matrix

gebildet werden.

Schematische Vorgehensweise:

A | E

E | A-1

Hausaufgabe 60

Bilden Sie die inverse Matrix zu

3 144

-2 -81 (mit Probe)!

Lösung:

|

| �

|

| �

|

| �

|

| �

|

| = (E|A-1).

Probe: �.

Gaußsches Verfahren

Mathematik BOS


Zu einer quadratischen Matrix A bilden wir die Inverse A-1, indem wir A nach

rechts um eine Einheitsmatrix passender Größe erweitern. Auf diese erwei-

terte Matrix wenden wir das Gaußsche Verfahren an mit dem Ziel, A zur Ein-

heitsmatrix umzuformen. In der rechten Hälfte ist dann aus der Einheitsma-

trix die Inverse von A geworden. Das Verfahren scheitert bei einer

singulären Matrix A.

Die Inverse ist nicht nur hilfreich beim Lösen von Matrixgleichungen der vorgestellten Art A·X = B, sondern hilft auch, wenn X und B Vektoren sind, wie es bisher bei einem LGS der Fall war.

Übungsaufgabe: Lösen Sie das LGS

I x1 + 3x2 = -8

II -2x1 - 2x2 = -4

In Matrixschreibweise:

A·x = b mit A =

1 3

-2 -2; x =

x1

x2 ; b =

-8

-4

Zur Lösung verwenden wir die bereits bekannte inverse Matrix

A-1 =

- 1/2 - 3/4

1/21/4

:

A-1·A·x = A-1·b | Klammerung (A-1·A)

E·x = A-1·b | E·x = x

x = A-1·b =

- 1/2 - 3/4

1/21/4

·

-8

-4 =

4+3

-4-1 =

7

-5

x1 = 7; x2 = -5

Übungsaufgabe: Zu lösen ist das LGS

I x1 + 3x2 = 21

II -2x1 - 2x2 = 30

Lösung:

x1

x2 =

- 1/2 - 3/4

1/21/4

·

21

30 =

-33

18

Hausaufgabe 61

Bilden Sie die Inverse zu A =

4 2

3 -2. Lösen Sie mit ihrer Hilfe die beiden

LGS

I 4x + 2y = 35

Mathematik BOS


II 3x + -2y = 42 und

I 4x + 2y = 63

II 3x + -2y = 84.

Lösung (s. HA60_Inverse.dfw):

A-1 =

#

#, LGS1: x= , y= ; LGS2: x=; y= .

Eine Matrix I heißt die zu A inverse Matrix, wenn gilt I·A = E und ebenso

A·I = E. A, I und E sind dabei formgleiche quadratische Matrizen. Für I

schreibt man dann auch A-1. Für nicht quadratische Matrizen ist die Inverse

nicht definiert. Ist A quadratisch und invertierbar, so lässt sich die Lösung

der Matrizengleichung A·x = b durch Multiplikation mit A-1 von links

eindeutig bestimmen: x = A-1·b.

Übungsaufgabe: (Buch S. 532 Bsp. 7.30) In einem Betrieb werden aus den 3 Materi-alien M1/2/3 die 3 Produkte P1/2/3 gemäß nebenstehender Stückliste hergestellt. Wegen eines Programmabsturzes in der EDV Anlage können die wöchentlichen Produktionsmengen nur noch über den Materialverbrauch errechnet werden. Die laut Materialentnahmeschein dem Lager entnommenen ME in den letzten 4 Wochen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Ermitteln Sie, wie viele ME von den Produkten P1/2/3 in den jeweiligen Wochen hergestellt worden sind.

Lösung: Es sind 4 LGS zu lösen, die sich lediglich in der rechten Seite unter-scheiden. Für die 1. Woche z. B.:

I 2p1 + 2p2 + 2p3 = 2400

II + 2p2 + 2p3 = 1600

III 8p1 + 4p2 + 8p3 = 8000

Hier lohnt es sich, zuerst die Inverse zu berechnen, um dann damit die 4 LGS zu lösen (in 4 Gruppen).

P1 P2 P3

M1 2 2 2

M2 0 2 2

M3 8 4 8

1. Wo. 2. Wo. 3. Wo. 4. Wo.

M1 2400 2140 2420 2440

M2 1600 1240 1420 1400

M3 8000 7360 8480 8640

Mathematik BOS


2 2 2 | 1 0 0

0 2 2 | 0 1 0

8 4 8 | 0 0 1

1 1 1 | 0,5 0 0

0 2 2 | 0 1 0

0 -4 0 | -4 0 1

1 1 1 | 0,5 0 0

0 1 1 | 0 0,5 0

0 0 4 | -4 2 1

1 1 0 | 1,5 -0,5 -0,25

0 1 0 | 1 0 -0,25

0 0 1 | -1 0,5 0,25

1 0 0 | 0,5 -0,5 0

0 1 0 | 1 0 -0,25

0 0 1 | -1 0,5 0,25

A-1 =

0,5 -0,5 0

1 0 -0,25

-1 0,5 0,25

Lösung für 1. Woche:

p1

p2

p3

= A-1∗

2400

1600

8000=

400

400

400


p1

p2

p3

= A-1∗

2140

1240

7360=

450

300

320


p1

p2

p3

= A-1∗

2420

1420

8480=

500

300

410


p1

p2

p3

= A-1∗

2440

1400

8640=

520

280

420

Mathematik BOS


Zusammenhang mit dem Rang und Übersicht (Buch S. 547):

A·x = b mit n Variablen

Rg(A) < Rg(A|b) Rg(A) = Rg(A|b)

keine Lösung

A ist singulär LGS ist lösbar

Rg(A) = n Rg(A) < n

eine Lösg. unendlich A ist regulär viele Lösungen und invertierbar A ist singulär

2.7 Übergangsmatrizen

Viele Vorgänge in der wirklichen Welt verändern sich in der Zeit nicht stetig, sondern in Schüben. Dazwischen herrscht dann ein Zustand relativer Ruhe. Ein gutes Beispiel dafür sind die Wahlen eines Parlaments. An einem Stich-tag wird gewählt. Dadurch ergeben sich die neue Stimmenverteilung auf die teilnehmenden Parteien (und daraus durch ein relativ kompliziertes Verfah-ren, auf das hier nicht näher eingegengen werden soll, die Sitzverteilung im Parlament). Danach bleibt diese Stimmenverteilung 4 Jahre lang so beste-hen bis zum nächsten Wahltag usw. Mit Matrizen kann man den Übergang von einem Zustand zum nächsten gut beschreiben. Daher der Name Über-gangsmatrizen.

Andere Beispiele finden sich in der Entwicklung von Populationen. Auch wenn hier im Laufe der Zeit tatsächlich eine gewisse Verwischung stattfin-det, können wir gedanklich so tun, als ob sich die Population in Generationen einer festen Dauer fortentwickeln würde.

Bsp. 1: Entwicklung einer Mäusepopulation

Ein neugeborenes Mäusepaar ist nach 6 Wochen geschlechtsreif und bringt 4 neue Mäusepaare zur Welt, 4 männliche und 4 weibliche Tiere. Sofern keine Umweltfaktoren diese Fortpflanzungsregeln stören, lässt sich mit Hilfe von Matrizen berechnen, wie viele Tiere (Paare) nach einer bestimmten Zeit (als Vielfache von 6 Wochen) existieren, wenn die anfängliche Population gegeben ist.

Ermitteln Sie die Größe der Population nach 6, 12, 18 und 24 Wochen, wenn am Anfang ein erwachsenes Mäusepaar (Adam und Eva) existiert.

Die Fortpflanzungsregel kann man als Graph veranschaulichen, der die Zustände als Kreise und die Übergänge zwischen ihnen als Pfeile

Mathematik BOS


darstellt. Die Zahlen an den Pfeilen geben die Änderungen an, wenn ein Zustand in den nächsten wechselt.

J = Jungtierpaar, E = Erwachsenentierpaar (fortpflanzungsfähig)

Der Tod kommt in diesem einfachen Modell nicht vor. Aus dem Graphen leiten wir folgende Übergangstabelle ab:

Im Gegensatz zu den bisherigen Tabellen ist bei Übergangsmatrizen „von“ immer oben! Aus der Tabelle gewinnen wir dann leicht die Über-gangsmatrix A:

A =

0 4

1 1

Die Zustände werden durch Spaltenvektoren dargestellt: z =

J

E

Der Anfangszustand in diesem Beispiel ist also

z0 =

0

1

Nach 6 Wochen hat das erwachsene Paar 8 Junge geworfen (4 Paare), wir haben dann 4 J und weiterhin 1 E:

z1 = A·z0 =

0 4

1 1·

0

1 =

4

1

Nach weiteren 6 Wochen sind aus den 4 Jungtierpaaren 4 Erwachsene geworden, also insgesamt 5 E. Das erwachsene Paar hat wieder 4 junge Paare zur Welt gebracht, also gibt es wieder 4 J:

z2 = A·z1 =

0 4

1 1·

4

1 =

4

5 (nach 12 Wochen)

Da z1 = A·z0, könnten wir auch schreiben z2 = A2·z0.

Wieder 6 Wochen später sind die 4 Jungtiere erwachsen geworden, es gibt dann also 9 E. Die 5 Erwachsenen haben je 4 Jungtierpaare zur Welt gebracht, also 20 Paare J.

von diesem Zustand

J E

J 0 4 nach die-sem Zustand E 1 1

Mathematik BOS


z3 = A·z2 =

0 4

1 1·

4

5 =

20

9 (nach 18 Wochen)

Da z2 = A2·z0, könnten wir auch schreiben z3 = A3·z0.

Nach 24 Wochen gibt es dann 29 Erwachsene und 9·4 Jungtierpaare:

z4 = A·z3 =

0 4

1 1·

20

9 =

36

29 = A4·z0 (nach 24 Wochen)

usw. usw.

Allgemein ergibt sich offenbar

zn = An·z0.

Viele Vorgänge laufen in der realen Welt in Schüben ab. Auch wenn sich

solch ein Schub in Wirklichkeit über einen gewissen Zeitraum erstrecken

kann, legen wir ihn zum Zwecke einer einfachen mathematischen Beschrei-

bung auf einen Zeitpunkt fest. Nach einem solchen Schub wird dann ein

gleichbleibender Zustand angenommen, der durch einen Zustandsvektor

beschrieben wird. Nach einer gewissen Zeit (Übergangszeit, Generationen-

zeit) setzt dann ein neuer Schub ein, der zu einem veränderten Zustand

führt usw. Die Schübe werden durch Übergangsmatrizen dargestellt. Zur

Beschreibung des Prozesses muss ein Anfangszustand z0 vorgegeben

werden. Spätere Zustandsvektoren erhält man dann durch Multiplikation mit

der Übergangsmatrix von links:

z1 = A·z0, z2 = A·z1 usw.

Hausaufgabe 62

Das Modell der Mäusepopulation wird nun verfeinert und durch folgenden Graphen beschrieben (A = Alttiere):

Mathematik BOS


Erstellen Sie aus dem Graphen die Übergangsmatrix und berechnen Sie

die ersten 4 Generationen, ausgehend vom Startvektor z0 =

J

E

A =

1

0

0.

Lösung (s. Bsp7-53b-Mäuse.xls, Tabelle2):

Tab.:

Übergangsmatrix J E A

J E A

Generationen: (Folie auflegen)

Gen. J E A Summe

1 1 2 5 3 6 4 22 5 34

2.7.1 Stochastische Matrizen

Bsp. 2: In einem Land mit 3 politischen Parteien A, B und C soll gewählt werden. Analysen der vergangenen Wahlen haben ergeben, dass die Wähler ein bestimmtes Wechselverhalten zeigen, das in der Tabelle zusammengefasst ist.

von der Partei ... wechseln

A B C Anzahl der Wähler (Mio.)

A 0,85 0,10 0,05 16

B 0,10 0,80 0,05 16

nach

die

ser

Partei

C 0,05 0,10 0,90 8

Es soll angenommen werden, dass das Wahlverhalten und die Gesamt-zahl der Wahlberechtigten (40 Mio.) konstant bleiben. Das Ergebnis der letzten Wahl war: 40% stimmten für Partei A, 40% für Partei B und 20% für Partei C. Wie werden die nächsten 3 Wahlen ausgehen?

In der Tabelle sind die Zahlen Stimmenanteile der Parteien, sie können nicht negativ werden. Außerdem müssen die Spaltensummen immer 1 ergeben. Diese Eigenschaften übertragen sich auf die Übergangsmatrix:

S =

0,85 0,10 0,05

0,10 0,80 0,05

0,05 0,10 0,90

Eine Übergangsmatrix mit diesen Eigenschaften nennt man stochasti-sche Matrix.

Mathematik BOS


Die nächsten 3 Wahlergebnisse werden in Mio. Stimmen gerechnet.

Startvektor: v0 =

16

16

8

v1 = S·v0 =

15,6

14,8

9,6 �

39%

37%

24%

v2 = S·v1 =

15,22

13,88

10,9 �

38,05%

34,7%

27,25%

v3 = S·v2 =

14,87

13,171

11,959 �

37,175%

32,9275%

29,8975%

Die Aneinanderreihung der Ergebnisse aus der wiederholten Anwendung einer stochastischen Matrix auf einen Zustandsvektor nennt man eine Markov-Kette. Sie hat ihren Namen von dem russischen Mathematiker Andrei Andrejewitsch Markow (1856 - 1922).

Folie Wahlen (Bsp7-54-Wahlen.xls)

Hausaufgabe 63

Zeichnen Sie den Graphen zu der Tabelle des Wählerverhaltens! (ohne Lösung)

2.7.2 Fixvektoren

Gibt es einen Grenzvektor, auf den sich die Zustände hin entwickeln (sich „einpendeln“)? Ein solcher Vektor vG würde sich dann ständig wiederholen.

Wir versuchen den Ansatz:

S·vG = vG | - vG

S·vG - vG = O

S·vG - E·vG = O

(S - E)·vG = O

Das ist ein homogenes LGS (rechte Seite = Null). Die triviale Lösung ist

vA = vB = vC = 0.

Daran ist man meistens nicht interessiert. Gibt es noch weitere Lösungen?

S-E =

0,85 0,10 0,05

0,10 0,80 0,05

0,05 0,10 0,90 -

1 0 0

0 1 0

0 0 1 =

-0,15 0,10 0,05

0,10 -0,2 0,05

0,05 0,10 -0,1

Mathematik BOS


-0,15 0,10 0,05

0,10 -0,2 0,05

0,05 0,10 -0,1·vG = O


-0,15 0,10 0,05 0

0,10 -0,2 0,05 0

0,05 0,10 -0,1 0

Lösung wie immer nach dem Gaußschen Verfahren:

1 -2/3 -1/3 0

0 -2/151/12 0

0 2/15 -1/12 0

1 -2/3 -1/3 0

0 1 -5/8 0

0 0 0 0

Rg(A) = Rg(A|b) = 2 < 3 ⇒ es gibt unendlich viele Lösungen

1 0 -3/4 0

0 1 -5/8 0

0 0 0 0

vC,G dient als freier Parameter.

vB,G - 5/8·vC,G = 0 ⇒ vB,G = 5/8·vC,G

vA,G - 3/4·vC,G = 0 ⇒ vA,G = 3/4·vC,G

Nebenbedingung: vA,G + vB,G + vC,G = 40 3/4·vC,G + 5/8·vC,G + vC,G = 40

(3/4 + 5/8 + 1)·vC,G = 40

23/8·vC,G = 40 ⇒

vC,G = 40/23/8 = 1616/19 ≈ 16,842 (Mio. Stimmen) � 42,1%

vB,G = 5/8·1616/19 = 1010/19 ≈ 10,526 � 26,3%

vA,G = 3/4·1616/19 = 1212/19 ≈ 12,632 � 31,6%

Der Vektor vG =

1212/19

1010/191616/19

heißt Fixvektor (der Matrix S).

Probe:

0,85 0,10 0,05

0,10 0,80 0,05

0,05 0,10 0,90·

1212/19

1010/191616/19

=

1212/19

1010/191616/19

�

Mathematik BOS


Hausaufgabe 64

Bestimmen Sie den Fixvektor, wenn das Wählerverhalten durch die Über-

gangsmatrix S =

0,75 0 0,3

0,15 0,90 0,1

0,10 0,10 0,60 beschrieben wird. Der Ausgang der

letzten Wahl war: A bekam 30 Mio. Stimmen, B und C jeweils 25 Mio. Stimmen.

Lösung (s. HA64_Wahlen.xls):

vA,G = ·vC,G; vB,G = ·vC,G und bei 80 Mio. Stimmen ist vC,G = ; vA,G = und vB,G = .

Weiteres Beispiel: Buch S. 566 Bsp. 7.55

Eine Kleinstadt im Münsterland stellt der Bevölkerung 500 Fahrräder an 3 Einstellplätzen zur Verfügung: am Bahnhof (B), am Rathaus (R) und am Rand der Fußgängerzone (F). Die Räder müssen am Tag der Ausleihe spä-testens bis 22:00 Uhr wieder an einem der Standorte B, R oder F abgestellt werden.

Nach einem Monat stellt man fest, dass viele Räder täglich ihren Standort wechseln u. z. immer nach demselben Schema. Von den am Bahnhof entliehenen Rädern werden 5% am Rathaus und 25% in der Fußgängerzone abgestellt. Von den am Rathaus entliehenen Rädern werden 30% am Bahn-hof und 20% an der Fußgängerzone zurückgestellt. Von den an der Fußgän-gerzone entliehenen Rädern werden jeweils 10% am Bahnhof und am Rat-haus zurückgestellt.

Der städtische Mathematiker erhält nun den Auftrag, auf der Grundlage dieses Verhaltens die Räder so deponieren zu lassen, dass am nächsten Tag an denselben Stellen jeweils dieselbe Anzahl zur Verfügung steht.

Übergangsgraph an der Tafel erstellen.

Bedingung für Fixvektor: S·v = v bzw ausführlich

0,7 0,3 0,1

0,05 0,50 0,1

0,25 0,20 0,80·

fB

fRfF

=

fB

fRfF

(S - E)·v = O


-0,3 0,3 0,1 ¦ 0

0,05 -0,50 0,1 ¦ 0

0,25 0,20 -0,2 ¦ 0

1 -1 -1/3 ¦ 0

0 -0,45 7/60 ¦ 0

0 0,45 -7/60 ¦ 0

Mathematik BOS


1 -1 -1/3 ¦ 0

0 1 -7/27 ¦ 0

0 0 0 ¦ 0

1 0 -16/27 ¦ 0

0 1 -7/27 ¦ 0

0 0 0 ¦ 0

fF dient als freier Parameter.

fB = 16/27fF; fR = 7/27fF

Nebenbedingung: fB + fR + fF = 500

(16/27 + 7/27 + 1)fF = 50/27fF = 500 ⇒ fF = 500·27/50 = 270

fB = 16/27·270 = 160

fR = 7/27·270 = 70

Lösungsvektor:

fB

fRfF

=

160

70

270

Probe machen!!!

Übungsaufgabe: Angenommen, an einem Tag finden wir abends 190 Räder am Bahnhof, 105 Räder am Rathaus und 205 Räder am Rand der Fuß-gängerzone. Wie waren die Fahrräder gestern abend verteilt?

Lösung: Die Matrix S liefert die Entwicklung von gestern (Zustand n-1) auf heute: fn = S·fn-1

Auflösen nach fn-1: S-1·fn = S-1·S·fn-1 = E·fn-1 = fn-1

Inverse bilden:

0,7 0,3 0,1 1 0 0 0,05 0,5 0,1 0 1 0 0,25 0,2 0,8 0 0 1

1 3/7 1/7 1 3/7 0 0 0 67/140 13/140 - 1/14 1 0 0 13/140 107/140 - 5/14 0 1

1 3/7 1/7 1 3/7 0 0 0 1 13/67 - 10/67 2 6/67 0 0 0 50/67 - 23/67 - 13/67 1

Mathematik BOS


1 3/7 0 1 173/350 13/350 - 67/350 0 1 0 - 3/50 2 7/50 - 13/50 0 0 1 - 23/50 - 13/50 1 17/50

1 0 0 1 13/25 - 22/25 - 2/25 0 1 0 - 3/50 2 7/50 - 13/50 0 0 1 - 23/50 - 13/50 1 17/50

S-1 =

113/25 -22/25 -2/25

-3/50 27/50 -13/50-23/50 -13/50 117/50

=

1,52 -0,88 -0,08

-0,06 2,14 -0,26

-0,46 -0,26 1,34

S-1·

190

105

205 =

180

160

160 Summe: 500

Gestern abend standen also 180 Räder am Bahnhof, je 160 am Rathaus und am Rand der Fußgängerzone.

Übergangsmatrizen sind quadratische Matrizen, die den Übergang von einem

Zustand in den nächsten erfassen. Die Zustände selbst werden durch

entsprechend angeordnete Zustandsvektoren dargestellt. Die Zeit kommt in

dieser Matrixdarstellung nicht explizit zum Ausdruck.

Stochastische Matrizen sind spezielle Übergangsmatrizen, die Übergangs-

wahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Zuständen beschreiben. Ihre

Elemente sind daher Zahlen zwischen 0 und 1, beide einschließlich, und jede

Spaltensumme ist 1.

Wird die stochastische Matrix S wiederholt mit einem Zustandsvektor v mul-

tipliziert, so strebt die Folge v0, v1, v2... gegen einen Grenzvektor vG, der

sich dann nicht mehr ändert. Daher wird vG auch Fixvektor genannt. Man

bestimmt ihn durch Lösen des LGS (S-E)·vG = O.

Beispiel: Autovermietung (Buch S. 567 „Alles klar?“)

Eine Autovermietung unterhält Geschäftsstellen in Hamburg, Essen und München. Aus Erfahrung weiß man, dass die Autos wöchentlich von Standort zu Standort wandern wie es folgender Übergangsgraph zeigt:

Die roten Zahlen werden nicht mit angeschrieben!

Mathematik BOS


Am Freitag Abend der 30. KW befinden sich 90 Wagen in Hamburg, 70 in Essen und 110 in München.

a) Wie ist die Situation eine bzw. zwei Wochen später?

b) Wie viele Autos verlassen Hamburg in den ersten beiden Wochen Richtung Essen?

c) Wie viele Autos verlassen München in den ersten beiden Wochen?

d) Wie sollte man die Autos stationieren, damit sie in der nächsten Woche wieder so stehen wie vorher?

Lösung s. ÜA_Autovermietung2.xls

2.8 Die transponierte Matrix

Bei der transponierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht. So wird der 1. Zeilenvektor zum 1. Spaltenvektor, der 2. Zeilenvektor zum 2. Spal-tenvektor usw. Das Format der Matrix ändert sich dadurch von n×k zu k×n. Die zu A transponierte Matrix wird AT geschrieben. Entsprechendes gilt auch für Vektoren (x T).

Bsp. 1:

2 -12

7 5

T =

2 7

-12 5 quadratische Matrizen werden an ihrer

Hauptdiagonalen gespiegelt

Bsp. 2:

2

3

5

T

= ( )2 3 5

Regeln:

Formel 19: ( )AT T = A

Produktregel:

Mathematik BOS


Formel 20: ( )A·x T = x T·AT

Beispiel: Sei A =

10 3 -2

5 4 -1 und x =

u

vw

, dann ist

( )A·x T =

10u + 3v - 2w

5u + 4v - wT = ( )10u + 3v - 2w 5u + 4v - w

Ebenso ist

x T·AT =( )u v w ·

10 5

3 4

-2 -1 = ( )10u + 3v - 2w 5u + 4v - w

Die Regel gilt entsprechend für das Produkt zweier Matrizen.

Die transponierte Matrix AT (kurz Transponierte) zu einer Matrix A erhält

man durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten. Entsprechendes gilt für

Vektoren. Produktregel: ( )A·x T = x T·AT bzw. ( )A·B T = B T·AT.

Berechnung der Mäusepopulation, erweiterte Fassung mit Alttieren von Hausaufgabe 62, S. 90, mit MS-Excel, s. Bsp7-53b-Mäuse.xls in Tabelle2.

2.9 Das Leontief-Modell

Wassily W. Leontief wurde 1905 in München geboren. Er wuchs aber in St. Petersburg auf, wo sein Vater eine Professur für Wirtschaftswissenschaften innehatte. 1925 reiste der zurück nach Deutschland. In Berlin schrieb er seine Dissertation „Die Wirtschaft als Kreislauf“, die 1928 veröffentlicht wurde. Im Jahr 1931 wanderte er nach Amerika aus, wo er den größten Teil seines Lebens verbrachte. Er starb 1999 in New York.

In den Jahren 1919 bis 1929 entwickelte Wassily W. Leontief ein Modell, das dazu dienen sollte, die Strukturen einer Volkswirtschaft im Ganzen offenzu-legen. Diese Sichtweise war seinerzeit ganz neuartig. Vor ihm hatten Volks-wirte immer nur den Einfluss einzelner Faktoren auf die Wirtschaft unter-sucht (z. B. was bringt ein erhöhter Einsatz von Maschinen in der Landwirt-schaft an Mehrertrag an Getreide oder Mais?).

2.9.1 Vorstellung des Modells

Leontief unterteilte die Volkswirtschaft in Sektoren (z. B. Industrie, Land-wirtschaft, Verkehr, Dienstleistung) und beschrieb die Verflechtung der Sektoren untereinander dadurch, dass er angab, wie viele Güter aus den verschiedenen Sektoren in einer bestimmten Periode (z. B. ein Jahr) verar-beitet wurden (Input), um die in der gleichen Periode an den Konsumenten gelieferten Güter (Output) herstellen zu können. Diese volkswirtschaftliche

Mathematik BOS


Verflechtung kann grafisch als Verflechtungsdiagramm oder tabellarisch als Input-Output-Tabelle dargestellt werden.

Beispiel 1 (Buch Bsp. 7.56a S. 569): Eine Volkswirtschaft sei in 3 Sektoren A, B und C unterteilt. Lieferungen der 3 Sektoren (in willkürlichen Geldein-heiten):

Sektor A:

50 an sich (Eigenverbrauch)

130 an B

270 an C

50 an den Markt

,

Sektor B:

200 an A

130 an B (Eigenverbrauch)

270 an C

50 an den Markt

, Sektor C:

50 an A

130 an B

45 an sich

225 an den Markt

Darstellung im Verflechtungsdiagramm:

Darstellung in der Input-, Input-Output- und Gesamtproduktionstabelle. Die 3 Tabellen unterscheiden sich lediglich in ihrem Spaltenumfang, deshalb wird hier gleich die umfangreichste Gesamtproduktionstabelle dargestellt. Die Anordnung ist jetzt wieder wie früher (oben steht „nach“, vor den Zeilen steht „von“).

Mathematik BOS


Die Spalte „Y“ gibt die Werte für den Konsum an, die Spalte „X“ stellt die Gesamtproduktion des Sektors dar und ist gleich der Zeilensumme.

geliefert an...

A B C Y X

A 50 130 270 50 500

B 200 130 270 50 650

gelie

fert

von

C 50 130 45 225 450

Input-Tabelle

Input-Output-Tabelle

Gesamtproduktions-Tabelle

Die Gesamtproduktion wird in das Verflechtungsdiagramm direkt in die jeweiligen Kästchen der Sektoren eingetragen.

2.9.2 Die Inputmatrix

Normierung auf eine Einheit der Gesamtproduktion am Beispiel des Sektors A:

Entsprechend wird mit Sektor B und C verfahren. D. h. jede Spalte der Input-Tabelle wird durch ihren jeweiligen Gesamtoutput (X) geteilt. Daraus entsteht die Input-je-Produktionseinheit-Tabelle:

Mathematik BOS


für 1 produzierte Einheit von...

A B C

A 0,1 0,2 0,6

B 0,4 0,2 0,6 benötigte

Ein

h. von

C 0,1 0,2 0,1

Die Matrixform dieser Tabelle heißt Inputmatrix A. Sie ist das Kernstück im Leontief-Modell.

A =

0,1 0,2 0,6

0,4 0,2 0,6

0,1 0,2 0,1

Das Leontief-Modell ist ein Input-Output-Modell einer Volkswirtschaft, in dem

diese in 3 Sektoren eingeteilt wird. Als zusätzlicher Sektor wird der Konsum

oder Markt (Y) in Betracht gezogen, der keinen Output erzeugt. Die Mengen,

die diese Sektoren in einer Periode eingesetzt bzw. verbraucht haben,

werden in einer Input-Output-Tabelle dargestellt. Die Zeilensummen dieser

Tabelle stellen die jeweilige Gesamtproduktion (X) eines Sektors dar. Bezieht

man nun die Einsatzmengen der produzierenden Sektoren auf eine Einheit

der Gesamtproduktion, so erhält man die Zahlen der Inputmatrix A. Dazu

wird die Spalte eines Sektors durch seine Zeilensumme geteilt.

Hausaufgabe 65

Gegeben sei die Input-Output-Tabelle

A B C Y

A 70 105 140 35

B 140 35 70 70

C 105 245 105 140

a) Erstellen Sie dazu ein Verflechtungsdiagramm!

b) Stellen Sie die Inputmatrix auf!

Lösung:

a) s. HA65-Verfldiag.png

b)

# #

#

Mathematik BOS


2.9.3 Berechnung des gesamten Inputs

Aus der Tabelle der Gesamtproduktion entnehmen wir die Spalte X als Spaltenvektor für die Gesamtproduktion:

x =

500

650450

und ebenso aus der Spalte Y den Konsumvektor

y =

50

50225

Was bedeutet A·x?

A·x =

0,1 0,2 0,6

0,4 0,2 0,6

0,1 0,2 0,1·

500

650450

=

50+130+270

200+130+27050+130+45

=

450

600225

von Avon Bvon C

Als Ergebnis erhalten wir die Zeilensummen in der Input-Tabelle, also über die Spalten A-C. Graphische Veranschaulichung im Güterflußdiagramm:

Damit A 500 Einheiten, B 650 Einh. und C 450 Einh. produzieren kann (Out-

put), müssen insgesamt 450 Einh. aus A, 600 Einh. aus B und 225 Einh. aus

C eingesetzt werden (Input). Während x also die Gesamtproduktion (den

gesamten Output) angibt, gibt A·x den gesamten Input an.

Mathematik BOS


2.9.4 Berechnung des Konsums bei gegebener Gesamtproduktion

Die Differenz zwischen der Gesamtproduktion x und dem gesamten Input ist der Konsum:

Formel 21: y = x - A·x

Im Beispiel:

y =

500

650450

-

450

600225

=

50

50225

von Avon Bvon C

Die Inputmatrix A hat den Vorteil, dass sie unabhängig vom Konsum und von der Gesamtproduktion ist. Sie bleibt so lange unverändert, bis sich die produktionstechnischen Gegebenheiten in den Wirtschaftssektoren ändern. Daher wird die Inputmatrix auch als technologische Matrix bezeichnet. Deshalb kann das Leontief-Modell in der Wirtschaftspolitik dazu benutzt werden, Prognosen zu erstellen und Entscheidungen zu untermauern. Denn bei gegebener Inputmatrix A kann einerseits die Frage beantwortet werden, welche Gütermengen bei gegebener Gesamtproduktion für den Konsum zur Verfügung stehen; andererseits lässt sich ermitteln, wie viele Güter produ-ziert werden müssen, um eine bestimmte Konsumnachfrage befriedigen zu können.

Beispiel für die erste Fragestellung:

Gegeben sei die Gesamtproduktion x =

600

700500

, A wie eben. Welche Güter-

mengen stehen für den Konsum (den Markt) zur Verfügung? (Buch Bsp. 7.57 auf S. 571)

Lösung: y = x - A·x

A·x =

0,1 0,2 0,6

0,4 0,2 0,6

0,1 0,2 0,1·

600

700500

=

60+140+300

240+140+30060+140+50

=

500

680250

x - A·x =

600

700500

-

500

680250

=

100

20250

� von A� von B� von C

Die ursprüngliche Input-Tabelle gilt jedoch bei dieser Gesamtproduktion nicht mehr, ebenso das Verflechtungsdiagramm!

Übungsaufgabe: Wie lautet nun die Tabelle der Gesamtproduktion?

A B C Y X

A 60 140 300 100 600

B 240 140 300 20 700

C 60 140 50 250 500

Mathematik BOS


Hausaufgabe 66

Gegeben sei der Vektor der Gesamtproduktion x =

420

510280

(Matrix A wie im

Unterricht). Welche Gütermengen stehen für den Markt zur Verfügung? Erstellen Sie auch die Tabelle der Gesamtproduktion.

Lösung: A·x =

#

##

, y =

#

##

A B C Y X

A

B

C

2.9.5 Berechnung der Gesamtproduktion bei gegebenem Konsum

Beispiel für die zweite Fragestellung (Buch Bsp. 7.58 S. 572):

Gegeben ist eine bestimmte Konsumnachfrage Y, gesucht ist die nötige Gesamtproduktion X in den einzelnen Sektoren.

Die Aufgabe besteht darin, in der Formel

y = x - A·x

nach x aufzulösen.

y = E·x - A·x = (E-A)·x | ·(E-A)-1

(E-A)-1·y = x

Formel 22: x = (E-A)-1·y

Die Matrix (E-A)-1 heißt Leontief-Inverse.

Übungsaufgabe: Welche Gesamtproduktion ist nötig, um einen Konsum von

y =

25

60119

zu befriedigen (A wie eben)?

Lösung: Zuerst wird die Leontief-Inverse gebildet:

E-A =

0,9 -0,2 -0,6

-0,4 0,8 -0,6

-0,1 -0,2 0,9

0,9 -0,2 -0,6 | 1 0 0

-0,4 0,8 -0,6 | 0 1 0

-0,1 -0,2 0,9 | 0 0 1

Mathematik BOS


1 -2/9 -2/3 | 10/9 0 0

0 32/45 -13/15 | 4/9 1 0

0 -2/95/6 | 1/9 0 1

1 -2/9 -2/3 | 10/9 0 0

0 1 -39/32 | 5/845/32 0

0 0 9/16 | 1/45/16 1

1 -2/9 0 | 38/27

10/2732/27

0 1 0 | 7/625/12

13/60 0 1 | 4/9

5/916/9

1 0 0 | 5/3

5/65/3

0 1 0 | 7/625/12

13/60 0 1 | 4/9

5/916/9

36 ist das kgV von 9 und 12, wir klammern 1/36 aus und erhalten dann:

(E-A)-1 = 1/36·

60 30 60

42 75 78

16 20 64

Damit können wir nun die Gesamtproduktion berechnen:

x = (E-A)-1·y = 1/36·

60 30 60

42 75 78

16 20 64·

25

60119

= 1/36·

1500+1800+7140

1050+4500+9282400+1200+7616

=

290

412256

Um die vorgegebene Nachfrage zu befriedigen, muss also Sektor A ins-gesamt 290 Einh. produzieren, Sektor B 412 Einh. und Sektor C 256 Einh.

Übungsaufgabe: Im nächsten Jahr wird erwartet, dass die Nachfrage nach Produkten aus Sektor A um 12% steigt, aus B gleich bleibt und aus C um 8% schrumpft. Welche Gesamtproduktion wäre dann nötig?

Lösung:

Nachfrage aus A bisher: 25, 12% mehr ist dann (×1,12) 28

Nachfrage aus B bisher: 60, bleibt gleich 60

Nachfrage aus C bisher: 119, 8% weniger (×0,92) 109,48

Neuer Konsumvektor im nächsten Jahr ist also

y =

28

60109,48

Mathematik BOS


x = 1/36·

60 30 60

42 75 78

16 20 64·

28

60109,48

=

279 2/15

394 131/150240 92/225

Die Inputmatrix A hat den Vorteil, dass sie konstant, d. h. unabhängig vom

Konsum und von der Gesamtproduktion ist. Sie bleibt so lange unverändert,

bis sich die produktionstechnischen Gegebenheiten in den Wirtschaftssekto-

ren ändern. Die Frage, welche Gütermengen bei gegebener Gesamtproduk-

tion x für den Konsum zur Verfügung stehen, lässt sich mit ihrer Hilfe durch

die Gleichung y = x - A·x beantworten. Ist umgekehrt nach der nötigen

Gesamtproduktion x gefragt, um eine vorgegebene Konsumnachfrage y zu

befriedigen, so kann die Antwort mit Hilfe der Leontief-Inversen (E-A)-1

gefunden werden: x = (E-A)-1·y. Die Leontief-Inverse enthält nur nichtnega-

tive Zahlen.

Hausaufgabe 67

Gegeben sei die Input-Matrix A =

1/121/4

3/201/3

1/83/10

1/41/4

1/4

a) Wie lautet die Leontief-Inverse?

b) Welche Gesamtproduktion ist nötig für einen Konsum von y =

50

6030

?

Lösung s. Excel Tabelle HA-Leontief-Inverse.xls.

Übungsaufgabe: Buch S. 575 Bsp. 7.60

Innerbetriebliche Verflechtung eines Unternehmens mit Hauptsitz in Berlin und Zweigstellen in Oberhausen und Sindelfingen. Vorgehen wie im Buch.

Bildung der Leontief-Inversen:

7/15 -1/4 -2/5 | 1 0 0

-2/157/8 -1/5 | 0 1 0

-1/15 -1/84/5 | 0 0 1

1 -15/28 -6/7 | 15/7 0 0

0 45/56 -11/35 | 2/7 1 0

0 -9/5626/35 | 1/7 0 1

Mathematik BOS


1 -15/28 -6/7 | 15/7 0 0

0 1 -88/225 | 16/4556/45 0

0 0 17/25 | 1/51/5 1

1 -15/28 0 | 247/119

30/119150/119

0 1 0 | 8/17 155/15388/153

0 0 1 | 5/175/17 18/17

1 0 0 | 211/17

50/5180/51

0 1 0 | 8/17 155/15388/153

0 0 1 | 5/175/17 18/17

3 Fortsetzung der Analysis

3.1 Die Exponentialfunktion

3.1.1 Einleitendes Beispiel: Zinseszinsrechnung

Die Zinseszinsformel ist ein Ihnen bekanntes Beispiel einer Exponentialfunk-tion. Das Kapital, das auf ein Sparbuch eingezahlt wird, wächst (gleichblei-bender Zinssatz unterstellt) exponentiell. Die Zinseszinsformel lautet:

Formel 23: Kn = K0·(1 + p/100)n

Dabei ist K0 das Anfangskapital, das eingezahlt wird (Jahr 0), Kn das Gesamtkapital nach n (ganzen) Jahren, p der Zinssatz (in %) und n die Zahl der Jahre. Bisher war n eine ganze Zahl.

Der Faktor q = (1 + p/100) wird Vermehrungsfaktor oder Wachstumsfaktor (q > 1) bzw. Abnahmefaktor (q < 1) genannt. Im Fall q = 1 bleibt das Kapital konstant, diesen Fall schließen wir im Folgenden aus.

Bsp.: Wir nehmen einen Zinssatz von 20% an (die absolute Zahl p/100 = 0,2 nennt man dann den Zinsfuß), Einzahlung 5000 €. Das Kapital ent-wickelt sich dann wie folgt:

n Kn (exponentielles Wachstum) lineares Wachstum

0 5000 ×1,2 5000 +1000

1 6000 ×1,2 6000 +1000

2 7200 ×1,2 7000 +1000

3 8640 8000

4 10368 9000

5 12441,60 10000

6 14929,92 11000

7 17915,904 12000

Mathematik BOS


n Kn (exponentielles Wachstum) lineares Wachstum

8 21499,0848 13000

Der Vermehrungsfaktor ist hier 1,2. D. h. das Kapital des nächsten Jah-res erhalten wir, indem wir das aktuelle Kapital mit 1,2 multiplizieren. Demgegenüber entwickelt sich das Kapital bei linearem Wachstum (die Zinsen werden jährlich ausbezahlt) langsamer. Bei großen Zinssätzen tritt der Unterschied (der Zinseszins) deutlich zu Tage.

Für exponentielles Wachstum ist charakteristisch, dass sich bei Zunahme der

Zeit um eine Einheit der Funktionswert um den stets gleichen Faktor

(Wachstumsfaktor, Vermehrungsfaktor) erhöht.

3.1.2 Die allgemeine Exponentialfunktion

Zur Exponentialfunktion gelangen wir nun, indem wir die Beschränkung von n auf ganze Zahlen fallen lassen. Statt dessen können alle reellen Zahlen zugelassen werden. Dementsprechend nennen wir die Hochzahl (die Varia-ble) jetzt t.

Die Formel aus dem Beispiel eben für das Kapital schreibt sich dann

K(t) = 5000·1,2t

Allgemein erhalten wir so für die Exponentialfunktion:

Formel 24: f(t) = a·bt

mit: a = Anfangswert (z. B. Startkapital), b = Wachstumsfaktor.

Die Verallgemeinerung auf reelle Exponenten gelingt allerdings nur, wenn die Basis b nicht negativ ist. Da der Fall b = 0 zu einer Funktion führt, die ständig 0 ist, und b = 1 zu einer Funktion, die ständig a ist, können wir auch diese Fälle ausschließen und verlangen von b:

b > 0 und b ≠ 1 oder als Menge: b ∈ Á+ \ {1}

Bsp.: In einem See befinden sich anfangs 30 Seerosen. In einer Woche nimmt der Bestand um 35% zu. Wie entwickelt sich der Seerosenbe-stand?

Anfangswert: a=30

Vermehrungsfaktor: b = 1,35 (= 1 + 35/100)

f(t) = 30·1,35t (t in Wochen)

Die ersten Werte lauten dann:

Woche Anzahl

0 30

Mathematik BOS


Woche Anzahl

1 40,5

2 54,675 (5427/40)

3 ≈73,81 (73649/800)

In der Woche -1 (vorige Woche) waren es dann

f(-1) = 30·1,35-1 = 30/1,35 = 222/9,

davor f(-2) = 30·1,35-2 = 30/1,352 = 16112/243 ≈ 16,46 usw.

Man kann also auch in der Zeit zurückrechnen.

Da die Potenzen 1,35t mit zunehmenden t immer größer werden, wird

f(-t) = 30·1,35-t = 30/1,35t

immer kleiner, ist aber stets positiv. Daher können wir schlussfolgern:

f(-t) � 0 für t � ∞, also

f(t) � 0 für t � -∞.

Der Wert 0 wird nie erreicht, für positive t erst recht nicht, daher hat f(t) keine NST.

Für positive t-Werte wächst f unbegrenzt: f(t) � ∞ für t � ∞.

Umstellung der Zeiteinheit auf Tage:

W 1/7 2/7

3/7 … 1 2

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Aus der Tabelle ersehen wir, dass wir die Tage dann durch 7 teilen müssen: t � t/7

f(t) = 30·1,35t/7 (t in Tagen)

Probe: Nach einer Woche ist f(7) = 30·1,357/7 = 30·1,351 = 30·1,35

Hausaufgabe 68

Ein Aktiendepot von anfänglich 20000 € nimmt jährlich um 8% zu. Nach welcher Funktion entwickelt es sich? Berechnen Sie den Depotwert für die nächsten 3 Jahre.

Lösung: f(t) = Depotentwicklung:

0 1 2 3 4

20000

Mathematik BOS


Beispiel mit einer Abnahme: Ein Maschine wurde zu 12 T€ angeschafft. Im Laufe der Zeit verliert sie durch den Gebrauch kontinuierlich an Wert. In diesem Beispiel seien es 15% pro Jahr. Welchen Wert hat die Maschine nach t Jahren?

Anfangswert: 12

Abnahmefaktor: 1-15/100 = 0,85

f(t) = 12·0,85t

Wertetabelle (s. u.):

Die Abnahme entspricht einer negativen Verzinsung. Einen Wertverlauf nach dieser Rechnung nennt man auch degressive Abschreibung. Die Funktion wird offenbar immer kleiner, da die Potenzen von 0,85 mit zunehmendem t immer kleiner werden. Daher gilt:

f(t) � 0 für t � ∞, wenn b < 1 ist.

Für t = 0 kommt offenbar immer der Anfangswert (a) heraus, da b0 = 1 ist.

Umstellung auf die Zeiteinheit Monate (zur Übung): 1 Jahr = 12 Monate, daher

t � t/12

f(t) = 12·0,85t/12 (t in Monaten)

Probe: Nach 12 Monaten (=1 Jahr) ist f(12) = 12·0,8512/12 = 12·0,85.

Zur Übung: Umstellung auf die Zeiteinheit Quartale:

1 Jahr = 4 Quartale, daher t � t/4

f(t) = 12·0,85t/4 (t in Quartalen)

Probe: f(4) = 12·0,854/4 = 12·0,85

Zur Übung: Umstellung auf die Zeiteinheit Tage:

1 Jahr ≈ 365 Tage, daher t � t/365

f(t) = 12·0,85t/365 (t in Tagen)

Probe: f(365) = 12·0,85365/365 = 12·0,85

Obwohl in diesem Anwendungszusammenhang nicht sinnvoll, könnten wir mathematisch auch diese Funktion in die Vergangenheit zurück-rechnen (wieder t in Jahren):

f(-1) = 12·0,85-1 = 14,12 f(-2) = 12·0,85-2 = 16,61 usw.

f wird dann größer als der Anfangswert.

Funktionsgraph skizzieren

t f(t) in T€

0 12

1 10,2

2 8,67

3 7,3695

Mathematik BOS


Die allgemeine Exponentialfunktion f(t) = a·bt lässt sich für alle reellen

Zahlen t definieren, sofern b positiv ist. Ferner verlangen wir b ≠ 1, da f

sonst konstant gleich a wäre. a heißt Anfangs- oder Startwert und ergibt sich

aus f(0) (Schnittpunkt mit der y-Achse). b heißt Wachstumsfaktor (Vermeh-

rungsfaktor), wenn b > 1 bzw. Abnahmefaktor, wenn b < 1. f(t) hat keine

Nullstellen. Die Funktion zeigt streng monotones Wachstum, wenn b > 1

bzw. streng monotone Abnahme, wenn b < 1.

Hausaufgabe 69

Im Körper eines Infizierten vermehren sie Viren derart, dass ihre Anzahl jede Stunde um 12% zunimmt. Ein Patient wird mit 50 Viren infiziert. Nach welcher Funktion entwickelt sich die Virenzahl in seinem Körper? Berechnung für 1, 2, 3, 12, 24, 48 Stunden. Geben Sie die Funktion auch in der Zeiteinheit ‚Tage’ an.

Lösung: f(t) = (t in Stunden). Berechnung der Werte:

t [h] 1 2 3 12 24 48

N

In Tagen: f(t) =

3.1.3 Die besonderen Basen 10 und e

3.1.3.1 Die Basis 10

Die Basis 10 hat für uns eine besondere Bedeutung, da 10 zugleich auch die Basis unseres Zahlensystems ist. Die Stellenschreibweise ist ja eine Kurz-schreibweise für Ziffern multipliziert mit einer Zehnerpotenz. Z. B. die Zahl 5623,9 lässt sich ausgeschrieben darstellen als

5∗103 + 6∗102 + 2∗101 + 3∗100 + 9∗10-1 .

Man benutzt die sog. Zehnerpotenzschreibweise (engl. scientific notation) auch gern zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen. Z. B.:

3,6 Mrd � 3,6∗109 (Eingabe 3,6 EEX 9)

40 Billionen � 40∗1012 = 4∗1013

Die Anzahl der Atome in einem cm³ liegt in der Größenordnung 1∗1023.

Kleine Zahlen:

1 Millionstel = 1/1000 000 = 1/106 = 10-6

1 Milliardstel = 1/109 = 10-9

Mathematik BOS


Die Potenzen von 10 lassen sich auch mit „krummen“ Exponenten leicht mit dem Taschenrechner berechnen, da diese Funktion auf allen Taschenrech-nern implementiert ist. So ist z. B.:

100,3 ≈ 1,9953 ≈ 2

101,6 ≈ 39,811

10-3,6 ≈ 0,000 251 19 usw.

Die Bedeutung der Basis 10 resultiert aber auch aus ihrer Umkehrfunktion lg(x) (auf TR meist leider mit log bezeichnet), die dekadischer (oder Zehner- oder Briggscher) Logarithmus genannt wird. Diese Funktion ist auf jedem Taschenrechner vorhanden.

3.1.3.2 Die Basis e

Die Zahl e = 2,7182818… ist irrational und wird Eulersche Zahl genannt. e wird in der Wissenschaft meistens als Basis verwendet. Ihre besondere Be-deutung kommt bei der Ableitung bzw. beim Integrieren zum Ausdruck. Außerdem lässt sich jede andere Exponentialfunktion auf die Basis e brin-gen.

Auch die Funktion ex ist auf allen Taschenrechnern implementiert. Wir berechnen beispielsweise

e0,2 ≈ 1,2214

e12 ≈ 162 754,8

e4 2/9 ≈ 68,185 usw.

Die Umkehrfunktion ln(x) heißt natürlicher Logarithmus und ist ebenfalls auf allen Taschenrechnern vorhanden.

3.2 Die Logarithmus-Funktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion nennt sich Logarithmus-Funktion. Mit ihrer Hilfe lösen wir nach dem Exponenten auf. Zu jeder Exponentialfunktion gibt es eine eigene Logarithmus-Funktion.

f(x) = bx hat die Umkehrfunktion

Formel 25: f-1(x) = logb(x)

Beispiele:

a) log3(9) = 2, da 3² = 9

b) log10(10000) = lg(10000) = 4, da 104 = 10000

c) log2(8) = ld(8) = 3, da 2³ = 8 (ld = Log. dualis = Zweierlogarithmus)

d) log2(1) = ld(1) = 0, da 20 = 1

Das letzte Ergebnis ist für alle Basen gültig, da immer b0 = 1 gilt. Daher haben alle Logarithmus-Funktionen eine NST bei 1:

Mathematik BOS


Formel 26: logb(1) = 0

Da nicht auf allen Taschenrechnern die allgemeine Logarithmus-Funktion im-plementiert ist, sei hier gleich die Umrechnungsformel angegeben:

Formel 27: logb(x) = ln(x)/ln(b) = lg(x)/lg(b)

Beweis der Umrechnungsformel:

Sei u = bx ⇒ x = logb(u)

Sei ferner b = ev mit einem v, das berechnet wird durch v = ln(b). Dann ist

bx = (ev)x = ev·x = u ⇒

ln(u) = v·x = x·ln(b) | auflösen nach x

x = ln(u)/ln(b) | Gleichsetzen

logb(u) = ln(u)/ln(b)

Damit können wir auch Logarithmen von „krummen“ Potenzen berechnen:

a) log3(14) = ln(14)/ln(3) ≈ 2,4022, da 32,4022 = 14

b) log6(20) = ln(20)/ln(6) ≈ 1,672, da 61,672 = 20

c) log2(10) = ln(10)/ln(2) ≈ 3,32193, da 23,32193 = 10

d) log7,5(35) = ln(35)/ln(7,5) ≈ 1,7645, da 7,51,7645 = 35

e) log0,4(0,05) = ln(0,05)/ln(0,4) ≈ 3,2694, da 0,43,2694 = 0,05

Die Exponentialfunktion f(x) = bx besitzt die Umkehrfunktion f-1(x) = logb(x).

Sie löst nach dem Exponenten x auf (d. h. logb(bx) = x). Alle Logarithmus-

Funktionen haben bei 1 eine NST. Zur Berechnung allgemeiner Logarithmen

kann die Umrechnungsformel logb(x) = ln(x)/ln(b) dienen.

Hausaufgabe 70

Berechnen Sie die Logarithmen:

a) log3(3) b) log5(125) c) log10(1000) d) log1,5(2,25) e) log3,6(12) f) log1,2(2)

Lösung: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

3.2.1 Anwendung auf die einfache Exponentialfunktionen

Bsp.: Wir zahlen 1€ auf ein Sparkonto ein, das mit 10% verzinst wird. Nach welcher Zeit hat sich das Kapital verdoppelt (Verdoppelungszeit)?

Wachstumsfunktion: f(t) = 1,1t (t in Jahren)

Es ist die Gleichung

Mathematik BOS


2 = 1,1t

nach t aufzulösen. Das gelingt mit log1,1(x):

2 = 1,1t | log1,1

log1,1(2) = log1,1(1,1t) = t

t = log1,1(2) = ln(2)/ln(1,1) = 7,2725 a

Probe 1,17,2725 = 2

Bsp.: Die Seerosen auf einem See bedecken anfangs eine Fläche von 1 m². Die Fläche nimmt in 3 Monaten um 20% zu. Wann hat sie 4 m² erreicht?

Wachstumsfunktion:

f(t) = 1,2t (t in Quartalen) bzw.

f(t) = 1,2t/3 (t in Monaten) (oder 1,24t mit t in Jahren)

4 = 1,2t/3 | log1,2(x)

log1,2(4) = t/3 ⇒ t = 3·log1,2(4)

t = 3·ln(4)/ln(1,2) ≈ 22,811 Monate

Alternativberechnung in Jahren (führen die Schüler eigenständig aus):

4 = 1,24t | log1,2

log1,2(4) = 4t

t = 1/4log1,2(4) ≈ 1,901 a

Hausaufgabe 71

Ein Schimmelpilz auf einem Stück Käse hat anfangs eine Fläche von 1 cm². Alle 3 Tage vergrößert sich seine Fläche um 10%. Das Stück Käse ist quaderförmig mit den Maßen 7 cm×4 cm×6 cm. Nach wieviel Tagen wird der Schimmel die gesamte Oberfläche bedeckt haben?

Lösung:

Wachstumsfunktion: f(t) ;

Quaderfläche: ;

Gleichung: d.

3.2.2 Anwendung auf die allg. Exponentialfunktion

Um auch einen beliebigen Anfangswert verarbeiten zu können, brauchen wir noch die folgenden Logarithmengesetze:

Logarithmus eines Produkts:

Formel 28: logb(u·v) = logb(u) + logb(v)

Beweis: Es sei u = bx und v = by. Somit ist

x = logb(u) und y = logb(v)


Mathematik BOS


u·v = bx·by = bx+y

logb(u·v) = logb(bx+y) = x + y = logb(u) + logb(v).

Analog wird die Formel für den Logarithmus eines Quotienten bewiesen:

Formel 29: logb(u/v) = logb(u) - logb(v)

Beispiel: Eine Maschine wird zu 12 000 € angeschafft. Ihr Marktwert sinkt jährlich um 23%. Wann ist ihr Marktwert halb so groß wie der Kauf-preis?

Lösung:

q = 1 - 23/100 = 0,77 Abnahmefaktor

f(t) = 12 000∗0,77t

Ansatz:

6 000 = 12 000·0,77t

0,5 = 0,77t

log0,77(0,5) = t = 2,652 a

Beispiel 2: Ein Radium-226 Präparat strahlt radioaktiv mit einer Halbwerts-zeit von 1600 Jahren. Das Präparat wiegt 80 g. Wie viel davon wird in 100 Jahren noch übrig sein? Nach wie viel Jahren werden es nur noch 70 g sein?

Lösung:

f(t) = 80 g·0,5t/1600 (t in Jahren)

In 100 Jahren:

f(100) ≈ 80 g·0,9576 = 76,61 g

70 g = 80 g·0,5t/1600 7/8 = 0,5t/1600

t/1600 = log0,5(7/8) ≈ 0,1926

t = 1600·0,1926 = 308,23 a

Hausaufgabe 72

Ein See von 125 m² Größe ist zu 9 m² mit Seerosen bedeckt. Die Seero-sen wachsen in der Fläche alle 4 Wochen um 25%. Wie groß ist die be-deckte Fläche nach nach 10 Wochen? Wann ist der See halb bzw. vollständig bedeckt?

Lösung: f(t) (t in Wochen)

f m²

M).

W.


Mathematik BOS


3.3 Die e-Funktion

Die Basis e wird in der Wissenschaft häufig gebraucht. Sie bietet besondere Vorteile beim Ableiten und Integrieren.

Andere Exponentialfunktionen lassen sich auf die Basis e umstellen.

Beispiel: Für die Maschine des vorvorigen Beispiels hatten wir gefunden:

f(t) = 12 000∗0,77t

Wir setzen nun an: 0,77 = ex ⇒ x = ln(0,77) ≈ -0,26136

0,77t = (eln(0,77))t = et·ln(0,77) ≈ e-0,26136t

f(t) = 12 000·et·ln(0,77) ≈ 12 000·e-0,26136t

Durch diesen Trick lässt sich jede Exponentialfunktion auf die Basis e bringen.

Weitere Beispiele:

f(t) = 80 g·0,5t/1600 = 80·et/1600·ln(0,5) ≈ 80·e-0,00043322t

f(t) = 35·1,07t/3 = 35·et/3·ln(1,07) ≈ 35·e0,022553t

f(t) = 12·1,22t = 12·e2t·ln(1,2) ≈ 12·e0,36464t

Umgekehrt lassen sich e-Funktionen als allgemeine Exponentialfunktionen darstellen:

e1,0986t = (e1,0986)t ≈ 3t

e-0,28768t ≈ 0,75t usw.

Hausaufgabe 73

Stellen Sie als e-Funktion dar: a) f(t) = 37·3,5t b) f(t) = 120·4,7t/3 c) f(t) = 50·0,95t

Lösung: a) f(t) = b) f(t)= c) .

3.3.1 Die Umkehrfunktion ln(x)

Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus ln(x), so dass also

ln(ex) = x und ebenso eln(x) = x

Es ist z. B. ln(4) = 1,3863, da e1,3863 = 4 ist. Wie bei allen Logarithmen ist ln(1) = 0, da e0 = 1 ist.

Übungsaufgabe: Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen von f(x) = 1/2e

x - (ex)²

1. Mit der y-Achse: f(0) = 1/2 - 1 = -1/2

2. Mit der x-Achse: 1/2e

x - (ex)² = 0 | ex ausklammern

ex(1/2 - ex) = 0 | ex hat keine NST

Mathematik BOS


1/2 - ex = 0

ex = 1/2 | logarithmieren

x = ln(0,5) ≈ -0,69315

Probe: f(ln(0,5)) = 1/2eln(0,5) - (eln(0,5))² = 1/2·

1/2 - (1/2)² = 0

Grafik:

Übungsaufgabe: Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen von f(x) = 4/3e

x - e3x

1. Mit der y-Achse: f(0) = 4/3 - 1 = 1/3

2. Mit der x-Achse: 4/3e

x - e3x = 0 | ex ausklammern

ex(4/3 - e2x) = 0 | ex hat keine NST

4/3 - e2x = 0

e2x = 4/3 | logarithmieren

2x = ln(4/3) ⇒ x = 1/2ln(4/3) ≈ 0,14384

Probe: f(1/2ln(4/3)) = 4/3e

1/2·ln(4/3) - e3/2·ln(4/3) = 4/3(e

ln(4/3))1/2

- (eln(4/3))3/2

= 4/3·(4/3)

1/2 - (4/3)3/2 =

(4/3)3/2 - (4/3)

3/2 = 0

Grafik:

Mathematik BOS


Hausaufgabe 74

Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen von f(x) = x·e-x + 2e-x!

Lösung: f(0) =, .

3.3.2 Die Ableitung der e-Funktion

Ohne Beweis teilen wir mit: Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion!

Formel 30: (ex)’ = ex

Das bedeutet: je höher die Funktion ist, desto steiler ist sie auch oder um-gekehrt (für negative x-Werte): Je kleiner die Funktion ist, desto flacher verläuft ihr Graph auch.

Übungsaufgabe: Bilde die Ableitung von f(x) = e2x!

Substitution: z = 2x, innere Ableitung: z’ = 2

Äußere Ableitung: (ez)’ = ez

Gesamte Ableitung: f’ = 2·ez = 2·e2x

Übungsaufgabe: Bilde die Ableitung von f(x) = 2·e-x/3

Substitution: z = -x/3, innere Abl.: z’ = -1/3

Äußere Ableitung: (2·ez)’ = 2·ez

Gesamte Ableitung: f’ = 2·(-1/3)·e-x/3 = -2/3·e

-x/3

Übungsaufgabe: Bilde die Ableitung von f(x) = 3·e-1/2·x²

Substitution: z = -1/2x², innere Ableitung: z’ = -x

Äußere Ableitung: (3·ez)’ = 3·ez

Gesamte Ableitung: f’ = -x·3·e-1/2·x² = -3x·e-1/2·x²

Übungsaufgabe: Bilde die Ableitung von f(x) = 1/4x²·e-x und bestimme die

Gleichung der Tangente an den Stellen x1=1,5 und x2=-2,5.

Produktregel: (u·v)’ = u’·v + u·v’

Wir setzen u = 1/4x² und v = e-x

Dann ist u’ = 1/2x und v’ = -e-x

f’ = 1/2x·e-x + 1/4x²·(-e

-x) = 1/2x·e-x·(1 - 1/2x)

Tangente bei x1 = 1,5:

y1 = f(1,5) = 0,1255

m = f’(1,5) = 0,041837


Mathematik BOS


t(x) = 0,041837x + b

Punktprobe:

0,1255 = 0,041837·1,5 + b = 0,062755 + b

b = 0,062755

t(x) = 0,041837x + 0,062755

Tangente bei x2=-2,5:

y2 = f(-2,5) = 19,035

m = f’(-2,5) = -34,263


t(x) = -34,263·x + b

Punktprobe:

19,035 = -34,263·(-2,5) + b = 85,658 + b

b = -66,623

t(x) = -34,263·x - 66,623

Hausaufgabe 75

Bilden Sie die Ableitung von f(x) = 2x·ex/3 und bestimmen Sie die Tangen-te an den Stellen x1 = -1 und x2 = 2.

Lösung: . f’ = ; y1 =; y2 = .

3.3.3 Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion

Bei der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = a·bx gehen wir zum Ableiten über die e-Funktion. Das Ergebnis kann ggf. wieder als allg. Exponential-funktion dargestellt werden.

Beispiel: Es sei die Ableitung von f(x) = 200·1,085x/4 zu bilden.

1. Schritt: Umbasierung auf die Basis e: 1,085 = eln(1,085)

f(x) = 200·ex·ln(1,085)/4

2. Schritt: Ableitung der e-Funktion:

z = x·ln(1,085)/4; z’ = ln(1,085)/4 innere Ableitung

f(z) = 200·ez

f’(z) = 200·ez äußere Ableitung

f’(x) = 200·ln(1,085)/4·ex·ln(1,085)/4 = 50·ln(1,085)·ex·ln(1,085)/4

3. Schritt: Rückumwandlung in allg. Exponentialfunktion:

Mathematik BOS


f’(x) = 50·ln(1,085)·1,085x/4 ≈ 4,079·1,085x/4

Übungsaufgabe: Bilden Sie die Ableitung von f(t) = 85·1,25t/7!

Lösung: Umbasieren: 1,25 = eln(1,25),

f(t) = 85·eln(1,25)/7·t

z = ln(1,25)/7·t ⇒ z’ = ln(1,25)/7

f(z) = 85·ez ⇒ f’(z) = 85·ez

f’(t) = ln(1,25)/7·85·eln(1,25)/7·t = 121/7·ln(1,25)·1,25t/7

Übungsaufgabe: Bilden Sie die Ableitung von f(t) = 0,8·0,753t

Lösung: 0,75 = eln(0,75),

f(t) = 0,8·eln(0,75)·3t

z = ln(0,75)·3t ⇒ z’ = ln(0,75)·3

f(z) = 0,8·ez ⇒ f’(z) = 0,8·ez

f’(t) = ln(0,75)·3·0,8·eln(0,75)·3t = 2,4·ln(0,75)·0,753t

Die Ableitung der e-Funktion f(x) = ex ist wieder ex. Daraus folgt, dass ex

auch eine Stammfunktion von f(x) ist. Die Ableitung der allgemeinen Expo-

nentialfunktion g(x) = a·bx ist gegeben durch g’(x) = a·ln(b)·bx.

Hausaufgabe 76

Leiten Sie ab: a) f(t) = 5000·1,015t b) f(t) = 50/e2t c) f(t) = 120·0,83t/12

Lösung: a) f’(t) ; b) f’(t) = ; c) f’(t) = .

3.4 Begrenztes Wachstum/begrenzte Abnahme

Die bisherigen Funktionen schmiegten sich der x-Achse an, wenn x beliebig groß (beliebig klein) wird. Das soll jetzt verallgemeinert werden auf einen beliebigen anderen Grenzwert. Dazu erweitern wir die Exponentialfunktion um einen Summanden c:

Formel 31: f(t) = a·bt + c

Beispiel: Ein Kranker hat hohes Fieber. Auf dem Höhepunkt der Erkrankung misst er 41°C Fieber (t=0). Er nimmt daraufhin ein Fieber senkendes Medikament ein und misst am nächsten Tag (t=1) 38,6°C. Tags darauf (t=2) ist seine Körpertemperatur auf 37,64°C zurückgegangen.

a) Nach welcher Funktion entwickelt sich die Körpertemperatur?

b) Wie hoch ist seine Körpertemperatur nach 1/2 Tag?

Mathematik BOS


c) Wann hat seine Körpertemperatur 37,2°C erreicht?

d) Welche Temperatur stellt sich auf lange Sicht ein?

Lösung:

Zu a: Wir setzen an: f(t) = a·bt + c

Punktproben:

t=0: a + c = 41 I

t=1: a·b + c = 38,6 II

t=2: a·b² + c = 37,64 III

Das Gleichungssystem ist leider nicht linear. Wir bilden

II-I ab - a = -2,4

a(b - 1) = -2,4 IV

III-I a·b² - a = -3,36

a(b² - 1) = -3,36 V

Trick: b² - 1 = b² - 1² = (b-1)(b+1)

a(b-1)(b+1) = -3,36

Aus IV sehen wir, dass a(b-1) = -2,4 ist ⇒

-2,4(b+1) = -3,36

b+1 = 3,36/2,4 = 1,4

b = 1,4 - 1 = 0,4 b = 0,4

Einsetzen in IV:

a(-0,6) = -2,4

a = 2,4/0,6 = 4 a = 4

Einsetzen in I:

4 + c =41

c = 37 c = 37

Damit lautet die Funktion:

f(t) = 4·0,4t + 37

Zu b: Nach 1/2 Tag erhalten wir aus der Funktionsgleichung:

f(1/2) ≈ 39,53°C

Zu c: Wir setzen

37,2 = 4·0,4t + 37 und lösen auf:

0,2 = 4·0,4t

0,05 = 0,4t

Mathematik BOS


t = log0,4(0,05) ≈ 3,269 d = 3 d 6,466 h = 3 d 6 h 27’57’’

Zu d: Die Endtemperatur erhalten wir durch den Grenzwert von f für t � ∞:

0,4t � 0 für t � ∞, so dass

f(t) � c = 37°C für t � ∞.

Beispiel 2: Ein Urlauber bekommt am Mittelmeer ein Kaltgetränk serviert, das anfangs eine Temperatur von 6°C hat. Um es nicht zu kalt zu trinken, lässt er es eine Weile stehen und misst mit einem Wasserther-mometer die Temperatur: Nach 5 Min. hat das Getränkt eine Temperatur von 17°C, nach 10 Min. sind es noch 23,6°C.

a) Nach welcher Funktion erwärmt sich das Getränk?

b) Welche Temperatur hat es nach 15 Min.?

c) Wann hat das Getränk eine Temperatur von 21°C?

d) Welche Lufttemperatur herrschte am Urlaubsort?

Lösung:

Zu a:

Mit dem Ansatz f(t) = a·bt + c und t in 5 Min. Intervallen erhalten wir:

t=0: a + c = 6 I

t=1: a·b + c = 17 II

t=2: a·b² + c = 23,6 III

II-I: a(b - 1) = 11 IV

II-I: a·(b² - 1) = 17,6 V

a(b-1)(b+1) = 17,6

11(b+1) = 17,6

b+1 =1,6 ⇒ b = 0,6

aus IV a(-0,4) = 11 ⇒ a = -27,5

aus I -27,5 + c = 6 ⇒ c = 33,5

f(t) = -27,5·0,6t + 33,5

In Minuten: t � t/5

f(t) = -27,5·0,6t/5 + 33,5

Zu b:

f(15) = -27,5·0,63 + 33,5 = 27,56°C

Zu c:

21 = -27,5·0,6t/5 + 33,5 | - 33,5

Mathematik BOS


-12,5 = -27,5·0,6t/5 |:-27,5 5/11 = 0,6t/5

t = 5·log0,6(5/11) ≈ 7,717 (Minuten)

Zu d:

Der Grenzwert c gibt die Lufttemperatur an, also 33,5°C

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60

Hausaufgabe 77

Der Druck in einem Autoreifen beträgt 3,4 bar. Nun wird das Ventil ge-öffnet (t=0). Nach 0,2 s beträgt der Druck noch 2,68 bar, nach 0,4 s noch 2,176 bar.

a) Nach welcher Funktion nimmt der Druck ab? Geben Sie f(t) so an, dass t in Sekunden gemessen wird.

b) Wie hoch ist der Druck nach einer Sekunde?

c) Wann hat sich der Druck von seinem Anfangswert halbiert?

d) Welcher Druck ergibt sich für t � ∞?

Lösung: a) f(t) = ;

b) f(1) = bar

c) t = s

d) .

Mathematik BOS


3.5 Anwendungen der Exponentialfunktion

3.5.1 Die gedämpfte Schwingung

Die bisher untersuchten Schwingungen dauerten ewig an. Wird ein Gewicht an einer Feder in Schwingungen versetzt, so weiß man aus Erfahrung, dass die Schwingung allmählich ausklingt. Man spricht dann von einer gedämpf-ten Schwingung.

Um die gedämpfte Schwingung mathematisch zu modellieren, darf die Amplitude nicht länger konstant sein. Statt dessen ersetzen wir die bisherige Amplitude A durch eine Exponentialfunktion A·bt. Um eine Abnahme zu erreichen, muss 0 < b < 1 gelten. Wir machen also folgenden allgemeinen Ansatz:

Formel 32: f(t) = A bt cos(2π/T∗t) + M

A wäre dann die Amplitude der ungedämpften Schwingung. Sie tritt hier nur

für t = 0 auf. Den Definitionsbereich schränken wir hier auf Á0+ ein.

Beispiel: An einer Feder hängt ein Gewicht in 4 cm Höhe über dem Tisch. Nun lenkt man die Feder um 1,5 cm nach unten aus und lässt das Gewicht los. Es fängt an zu schwingen. Zehn Schwingungen dauern 8 s. Nach jeweils 3 Schwingungen nimmt die Amplitude um 17% ab. Welche Funktion h(t) beschreibt die momentane Höhe des Gewichts?

Lösung: Mittellage M = 4 cm. Amplitude zu Anfang 1,5 cm.

Periode: T = 8 s/10 = 0,8 s

Dämpungsfaktor: 0,83t/2,4

h(t) = -1,5·0,83t/2,4·cos(2π/0,8·t) + 4

Grafik:

Mathematik BOS


Die Amplitude hat sich halbiert, wenn der Dämpfungsfaktor 1/2 ist. Wann ist das der Fall? Ansatz: 1/2 = 0,83t/2,4

log0,83(1/2) = t/2,4

t = 2,4·log0,83(1/2) = 8,928 s

Eine gedämpfte Schwingung lässt sich durch eine Funktion vom Typ

f(t) = A·bt·cos(2π/T·t) + M beschreiben. Wir setzen dabei 0 < b < 1 und

Df = Á0+ voraus. Die Dämpfung wird durch den Faktor bt bewirkt (Däm-

pfungsfaktor).

Bsp. 2: Ein Fadenpendel wird um 30° ausgelenkt und schwingt dann hin und her. Für 6 Schwingungen stoppt man eine Zeit von 10,8 s. Dann ist die Schwingungsweite nur noch 25°.

a) Gesucht ist eine Funktion α(t) für den momentanen Auslenkwinkel.

b) Wie groß ist der Winkel nach 12 Schwingungen bzw. nach 12 s?

c) Wann ist die Amplitude nur noch 0,5°?

Lösung:

Zu a:

M = 0. A = 30°. T = 10,8 s/6 = 1,8 s.

b = 25/30 = 5/6.

Dämpfungsfaktor (5/6)t/10,8

αααα(t) = 30°°°°·(5/6)t/10,8 cos(2ππππ/1,8·t)

Zu b:

α nach 12 Schwingungen (=21,6 s):

α(21,6s) = 30°·(5/6)21,6/10,8 cos(2π/1,8·21,6) = 205/6∗1 = 205/6°

α nach 12 Sekunden:

α(12) = 30°·(5/6)12/10,8 cos(2π/1,8·12) = 24,50·(-0,5) = -12,25°

Zu c:

Amplitude 0,5°?

0,5 = 30·(5/6)t/10,8

1/60 = (5/6)t/10,8

log5/6(1/60) = t/10,8 ⇒

t = 10,8·log5/6(1/60) = 242,5 s � 134,74 Schwingungen

Mathematik BOS


Hausaufgabe 78

Ein Gewicht, das an einer Feder hängt, schwingt mit einer Periode von 0,6 s auf und ab. Zu Anfang betrug die Amplitude 1,2 cm. Nach 10 Schwingungen hat sie 1/3 abgenommen. Das Gewicht kommt in einer Höhe von 3 cm zur Ruhe.

a) Welche Funktion h(t) beschreibt die Höhe des Gewichts?

b) Wann hat sich die Amplitude halbiert?

c) Welche Höhe hat das Gewicht nach 2 Sekunden?

Lösung: a) h(t) ;

b) t = s

c) h(2) = cm

3.5.2 Die logistische Funktion

Die logistische Funktion beschreibt ebenfalls ein begrenztes Wachstum. Typisch für sie ist der S-förmige Verlauf, d. h. sie hat einen Wendepunkt. Das unterscheidet sie von der weiter oben (in 3.4) angegebenen verallge-meinerten Exponentialfunktion.

Sie tritt bei der Entwicklung einer Population mit einem begrenztem Nah-rungsangebot auf, aber auch bei der Markteinführung eines neuen Produkts. Der allgemeine Funktionsterm lautet:

Formel 33: f(t) = G1 + C·e-kt mit C = G

A - 1

Dabei ist

k ein freier Parameter, der die Form der Kurve bestimmt;

G der Grenzwert, der für t � ∞ erreicht wird;

A der Anfangswert, d. h. f(0)

Auch hier wird man sich i. d. R. auf den Bereich t ≥ 0 beschränken.

Der Parameter k kann z. B. aus dem Wachstum zur Zeit t = 0 bestimmt werden:

Formel 34: k = f’(0)·(1 + C)²G C

Beispiel: In einer Petrischale sollen künstliche Muskelzellen kultiviert werden. Man beginnt mit 4 Zellen. Die Schale bietet Platz für 1000 Zellen. Zu Anfang wachsen die Zellen mit einer Geschwindigkeit von 1,25 pro Stunde (d. h. aus den 4 Zellen sind dann 5,25 geworden). t soll in Stunden gezählt werden.

A = 4

Mathematik BOS


G = 1000

C = 1000/4 - 1 = 249

f’(0) = 1,25

k = 1,25· 250²1000·249

= 625/1992/h ≈ 0,313755/h

f(t) = 10001 + 249 e-0,313755t

Wir erhalten so:

t f(t) 5 18,92 10 84,72 15 307,65 20 680,84 25 911,04 30 980,07 usw.

Die logistische Funktion hat einen Wendepunkt bei

Formel 35: WP(ln(C)k

|G/2)

In diesem Punkt wächst sie am schnellsten. Wir berechnen den Wendepunkt mit den Daten des vorigen Beispiels:

tW = ln(249)0,313755

≈ 17,59 h

f(tW) = 1000/2 = 500

Grafik:

Mathematik BOS


Bsp.: Bei der Einführung eines neuen Produkts werden zu Anfang 20 Exemplare per Los verschenkt. In der ersten Woche werden 8 Stück verkauft. Das Marktpotenzial wird auf 4000 Stück geschätzt. Wir rechnen die Zeit in Wochen. Wann ist mit dem größten Verkauf pro Woche zu rechnen?

Lösung:

A = 20; G = 4000; f’(0) = 8 pro Woche

C = G/A - 1 = 4000/20 - 1 = 199

k = 8·200²/(4000·199) = 80/199 ≈ 0,4020 pro Woche

f(t) = 40001 + 199 e-80/199·t

Größter Verkauf/Woche ist im Wendepunkt:

tW = ln(199)80/199

≈ 13,167 Wochen

Die Steigung im Wendepunkt ist allgemein gegeben durch

f’(tW) = k·G/4

In diesem Fall: f’(tW) = 80/199·4000/4 = 4022/199 ≈ 402 Stück/Woche

Der Verkauf hat dann insgesamt G/2 = 2000 Stück erreicht.

Hausaufgabe 79

Auf einer kleinen Insel lebt eine Kaninchenpopulation von 25 Tieren. Die Vermehrungsrate beträgt zu Beginn 0,25 pro Woche. Die Insel bietet genug Nahrung für 500 Tiere.

a) Durch welche Funktion wird das Wachstum der Population beschrieben (t in Wochen)?

b) Berechnen Sie die Größe der Population zu den Zeiten 100, 200, 300 und 400 Wochen. Zeichnen Sie mit dem PC einen Graphen der Funktion im Bereich 0 ≤t ≤500.

c) Wann findet die schnellste Vermehrung statt und wie groß ist diese? Wie groß ist die Population dann?

Lösung:

a) C = G/A - 1 = ;

k ; f(t) = ;

b) 100 200 300 400 ;

Grafik:

c) tW = ln(C)/k .

Mathematik BOS


Inhaltsverzeichnis

1 Erweiterung der Analysis I............................................................... 1

1.1 Kurvenscharen ......................................................................... 1

1.1.1 Einleitendes Beispiel ............................................................ 1

1.1.2 Zweites Beispiel mit Parameter im linearen Glied .................... 5

1.1.3 Kurvendiskussion mit einer Scharfunktion .............................. 7

1.1.4 Kurvendiskussion mit einer kubischen Parabel .......................11

1.1.5 Kostenfunktion mit Parameter .............................................13

1.2 Trigonometrische Funktionen ....................................................17

1.2.1 Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis .................17

1.2.2 Gemeinsame Eigenschaften von Sinus und Kosinus ................17

1.2.3 Eigenschaften der Sinusfunktion ..........................................18

1.2.4 Eigenschaften der Kosinusfunktion .......................................18

1.2.5 Ableitung der trigonometrischen Funktionen ..........................19

1.2.6 Die Umkehrfunktion Arkussinus ...........................................20

1.2.7 Die Umkehrfunktion Arkuskosinus ........................................21

1.2.8 Parameter der allgemeinen Sinusfunktion..............................22

1.2.9 Die Zeit t als Variable .........................................................23

1.3 Integralrechnung.....................................................................36

1.3.1 Mittelwert einer Funktion ....................................................36

1.3.2 Volumen eines Rotationskörpers ..........................................41

2 Lineare Algebra.............................................................................44

2.1 Einführung der Matrizen ...........................................................44

2.1.1 Beispiel A: Transportmatrix .................................................45

2.1.2 Beispiel B: Herstellungsmatrix .............................................46

2.1.3 Beispiel C: Input-Output-Matrix. ..........................................46

2.1.4 Beispiel D: Koeffizientenmatrix ............................................47

2.2 Zusammenfassung der Beispiele................................................48

2.3 Vektoren und weitere Definitionen .............................................48

2.4 Matrizenverknüpfungen ............................................................50

2.4.1 Addition und Subtraktion.....................................................50

2.4.2 Die S-Multiplikation ............................................................51

2.4.3 Das Skalarprodukt zweier Vektoren ......................................52

Mathematik BOS


2.4.4 Matrix mal Vektor ..............................................................53

2.4.5 Vektor mal Matrix ..............................................................55

2.4.6 Matrix mal Matrix ...............................................................57

2.5 Anwendungen der Matrixrechnung .............................................62

2.5.1 Kostenrechnung.................................................................62

2.5.2 Deckungsbeitrag ................................................................64

2.5.3 Lineare Gleichungssysteme .................................................66

2.5.4 Übungsaufgaben zu LGS .....................................................69

2.5.5 Sonderfälle beim Lösen eines LGS ........................................77

2.5.6 Eigenschaften der Koeffizientenmatrix, Lösbarkeitskriterien.....82

2.6 Die Inverse Matrix ...................................................................82

2.7 Übergangsmatrizen..................................................................88

2.7.1 Stochastische Matrizen .......................................................91

2.7.2 Fixvektoren .......................................................................92

2.8 Die transponierte Matrix ...........................................................97

2.9 Das Leontief-Modell .................................................................98

2.9.1 Vorstellung des Modells.......................................................98

2.9.2 Die Inputmatrix ...............................................................100

2.9.3 Berechnung des gesamten Inputs ......................................102

2.9.4 Berechnung des Konsums bei gegebener Gesamtproduktion..103

2.9.5 Berechnung der Gesamtproduktion bei gegebenem Konsum..104

3 Fortsetzung der Analysis ..............................................................107

3.1 Die Exponentialfunktion..........................................................107

3.1.1 Einleitendes Beispiel: Zinseszinsrechnung ...........................107

3.1.2 Die allgemeine Exponentialfunktion ....................................108

3.1.3 Die besonderen Basen 10 und e.........................................111

3.2 Die Logarithmus-Funktion.......................................................112

3.2.1 Anwendung auf die einfache Exponentialfunktionen..............113

3.2.2 Anwendung auf die allg. Exponentialfunktion .......................114

3.3 Die e-Funktion ......................................................................116

3.3.1 Die Umkehrfunktion ln(x)..................................................116

3.3.2 Die Ableitung der e-Funktion .............................................118

3.3.3 Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion ....................119

Mathematik BOS


3.4 Begrenztes Wachstum/begrenzte Abnahme...............................120

3.5 Anwendungen der Exponentialfunktion .....................................124

3.5.1 Die gedämpfte Schwingung ...............................................124

3.5.2 Die logistische Funktion ....................................................126

Documents

1 Erweiterung der Analysis I - bzm.debzm.de/download/2014_2015/bos/BOS_2014_Ma.pdf · Mathematik BOS 22.04.15, 21:10 BOS_2014_Ma.doc 1 © K.-B. Rohloff 1 Erweiterung der Analysis