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Pyramide im Würfel

Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide

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Pyramide im Würfel

Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.

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Pyramide im Würfel

Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.

Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.

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Pyramide im Würfel

Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.

Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.

Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ….

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Pyramide im Würfel

Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.

Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.

Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis ….

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Pyramide im Würfel

Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.

Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.

Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis diese innerhalb der Würfelkontur Platz hat.

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Pyramide im Würfel

Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, …

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Pyramide im Würfel

Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese …..

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Pyramide im Würfel

Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.

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Pyramide im Würfel

Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.

Wenn alle drei Pyramiden in dem Würfel mit dem Volumen a * a * a Platz haben, hat jede Pyramide 1/3 Volumen des Würfels. Für beide geometrischen Körper gilt:Grundfläche A = a * a und die Höhe h = a.

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Pyramide im Würfel

Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.

Somit ist die Formel des Volumens der Pyramide mit

bewiesen.

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Pyramide im Würfel

Beim Würfel war die Be-weisführung sehr klar und einfach.

Wie sieht es nun beim Quader und bei unregel-mäßigen Pyramiden aus?

Jede Pyramide hat eine andere Grundfläche und Höhe.

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Pyramide im Würfel

Der Quader hat drei Seitenkanten:a = 6cmb = 9cmc = 3cm

Vquad= a * b * c = 6 * 9 * 3 = = 162 cm³

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Pyramide im Würfel

Die 1. Pyramide hat mit dem Quader die selbe Grundfläche.

Grundfläche A = a * b und die Höhe h = c

Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³

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Pyramide im Würfel

Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³

Bei der 2. Pyramide ist die Grundfläche die linke Seitenfläche des Quaders.

Grundfläche A = a * c und die Höhe h = b

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Pyramide im Würfel

Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³

Bei der 3. Pyramide ist die Grundfläche die vordere Seitenfläche des Quaders.

Grundfläche A = b * c und die Höhe h = a

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Pyramide im Würfel

Alle drei Pyramiden sind im Quader eingefügt.

Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³

Quader : Vquad = 162 cm³ Pyramide: Vquad / 3 = 162 / 3 = 54 cm³

Die Kurzform dieser Erklärung ist als PDF-Datei zum Herunterladen bereit

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Danke für´s Mitdenken!

n.willmann@aon.at www.nw-service.at

Euer

Pyramide im Würfel