,1 Verarbeitung analogerSignale - juser.fz-juelich.dejuser.fz-juelich.de/record/811954/files/Konferenz_17.pdf · Entwicklungsarbeit imZELeingesetzte KFA-Entwicklungssystem MB8764wird

v

Digitale,1 Verarbeitunganaloger Signale

Fortbildungsseminar

Jülich, im Juni 1996

Konferenzen des Forschungszentrums Jülich

Band 17

Forschungszentrum Jülich GmbHZentrallabor für Elektronik

Die digitale Verarbeitung analoger Signalein Theorie und Praxis

KFA-FortbildungsseminarJülich, im Juni 1996

Ulrich Eckhardt 1)Hannspeter Eulenberg 2)Franz Janßen 3)Werner Jansen 4)

1) Institut für Angewandte Mathematik, Universität Hamburg2) Zentrallabor für Elektronik, Forschungszentrum Jülich (KFA)3) Institut für Grenzflächenforschung und Vakuumphysik, Forschungszentrum Jülich (KFA)4) Fachhochschule Aachen, Abteilung Jülich


Band 17/1996

ISSN 0938-6521

ISBN 3-89336-187-1

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Die digitale Verarbeitung analoger Signale in Theorie und PraxisKFA-Fortbildungsseminar Jülich, im Juni 19961Forschungszentrum Jülich GmbH, Zentrallabor für Elektronik .U . Eckhardt . .. - Neuüberarb. des Bandes "DigitaleVerarbeitung analoger Signale, Fortbildungsseminar im April 1989". -Jülich : Forschungszentrum, Zentralbibliothek, 1996(Konferenzen des Forschungszentrums Jülich GmbH ; Bd. 17)ISBN 3-89336-187-1NE: Eckhardt, Ulrich;Forschungszentrum <Jülich> : Konferenzen des Forschungszentrums ...

Herausgeber

Forschungszentrum Jülich GmbHund Vertrieb :

ZENTRALBIBLIOTHEKD-52425 JülichTelefon (02461) 61-5368 - Telefax (02461) 61-6103

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Graphische Betriebe, Forschungszentrum Jülich GmbH

Copyright:

Forschungszentrum Jülich GmbH 1996

Konferenzen des Forschungszentrums Jülich, Band 17

ISSN 0938-6521

ISBN 3-89336-187-1

Beim vorliegenden Band handelt es sich um die Neuüberarbeitung des Bandes�Digitale Verarbeitung analoger Signale, Fortbildungsseminar im April 1989"(Konferenzen des Forschungszentrums Jülich, Band 3)

Vorwort zur zweiten Auflage:

In der zweiten Auflage erscheint dieser Band in überarbeiteter und erweiterter Formals Arbeitshilfe für das mit Unterstützung des Instituts für Angewandte Mathematik derUniversität Hamburg, der Fachhochschule Aachen/Jülich und unseres Instituts für Grenzflächenforschung zum dritten Mal vom Zentrallabor für Elektronik des ForschungszentrumsJülich im Juni 1996 veranstalteten Fortbildungsseminars mit dem Titel dieser Veröffentli-chung.

Das Seminar beschäftigt sich jetzt auch mit der Wavelet Transformation, berücksichtigt neueErkenntnisse auf dem Gebiet der Signalverarbeitung und informiert über die Modernisierungdes im Zentrallabor für Elektronik entwickelten Emulationssystems für Digitale Signal-prozessoren. Außerdem werden in unterschiedlichen Technologien aufgebaute, digitalarbeitende Schaltungen vorgestellt, die für verschiedene Forschungsarbeiten der KFA ent-wickelt wurden. Dazu gehören systolische Signalverarbeitungssysteme und Multiprozessor-anordnungen mit kaskadierten programmierten digitalen Signalprozessoren (DSPs) zurdigitalen Hochgeschwindigkeitsverarbeitung, Anordnungen mit fest verdrahteten Prozessorenfür die mehrdimensionale Signalverarbeitung, insbesondere die Bildverarbeitung und Eigen-entwicklungen fest verdrahteter Signalverarbeitungssysteme mit XILINX-FPGAs .

Für den Entwurf moderner und leistungsfähiger Elektronikkonzepte ist die im Seminarvorgestellte Technologie der digitalen Verarbeitung analoger Signale ebenso interessant wiewichtig. Über ihre Leistungsfähigkeit wird schon im Vorwort der ersten Auflage gesprochen,so daß es nachstehend nochmals abgedruckt ist .

Die Referenten danken besonders Herrn Prill-Grünleitner für die engagierte Unterstützung beider Gestaltung der zweiten Auflage.

Jülich, den 11 . Juni 1996

Hp. Eulenberg

Vorwort :

Mit dem Digitalen Signalprozessor, einem Kind jüngerer Entwicklungen auf demGebiet der Mikroelektronik, ist den Entwicklern und Anwendern analog arbeitenderelektronischer Schaltungen die Möglichkeit gegeben worden, diese durch numerisch, inEchtzeit arbeitende Anordnungen mit sehr interessanten Eigenschaften zu ersetzen unddurch solche mit bis jetzt noch nicht realisierbaren Eigenschaften zu ergänzen.

Im Zentrallabor für Elektronik (ZEL) der KFA wurde im Frühjahr 1989 zu diesem Themaein Fortbildungsseminar mit dem Titel "Die digitale Verarbeitung analoger Signale"veranstaltet, in dem Wissenschaftler und Ingenieure der KFA in zehn halbtägigenVortragsveranstaltungen mit den theoretischen Grundlagen der Systemauslegung und ineinem anschließenden Praktikum mit der praktischen Umsetzung der Erkenntnissevertraut gemacht wurden . Die große Zahl von über 30 Teilnehmern dokumentiert einbreites Interesse an diesen neueren Methoden .

Für die Unterstützung und die tatkräftige Mitwirkung bei diesem Seminar ist das ZELHerrn Prof. Dr. U . Eckhart, Institut für Angewandte Mathematik der Universität Hamburg,Herrn Prof . W. Jansen von der Fachhochschule Aachen, Abteilung Jülich, und Herrn Dipl .-Ing . F. Janssen vom Institut für Grenzflächenforschung und Vakuumphysik (IGV) der KFAsehr dankbar.

Die vier Vortragenden des Seminars haben, ausgehend von der an sich allgemeinbekannten Theorie der analogen Systeme, die in vertiefter Form geschlossen dargestelltwurde, über die seit mehreren Jahrzehnten ausgearbeitete Theorie für abgetasteteSysteme, die in Praktikerkreisen aber allgemein noch nicht bekannt ist, die theoretischenGrundlagen dargestellt, die für den effektiven Umgang mit den neuen Methoden und derneuen Technik benötigt werden .

Besonders interessant ist dabei nicht nur die Möglichkeit, bekannte analoge elektronischeSchaltungen durch solche in numerischer Arbeitsweise zu ersetzen, sondern vor allemauch die, sogenannte mehrdimensionale Signale, wie sie beispielsweise in derBildverarbeitung auftreten, optimal und in Echtzeit zu verarbeiten.

Analog arbeitende elektronische Schaltungen enthalten passive Bauelemente, derenEigenschaften durch die Natur in der Art ihrer Funktionsweise und der Stabilität derBauelementeparameter bezüglich ihres Temperatur- und Zeitverhaltens festgelegt sind .Bei numerisch arbeitenden Signalverarbeitungssystemen gibt es diese Beschränkungnicht .

Neue Schaltungen können entworfen werden, die aus "synthetischen Bauelementen"aufgebaut sind . Ihre Eigenschaften sind mathematisch formuliert und nicht von der Naturvorgegeben . Stabilitätsprobleme in solchen Schaltungen sind vorwiegend mathematischerNatur und erfordern bei ihrer Auslegung gute Kenntnisse der numerischen Mathematik .

Die in den Seminarvorträgen verwendeten Transparente, die in diesem Band veröffentlichtwerden, sind so überarbeitet und durch Zusatzinformation so angereichert worden, daßauch der Leser, der nicht am Seminar teilgenommen hat, diese Veröffentlichung zurEinarbeitung in dieses neue und interessante Thema verwenden kann. Dazu dient auchdie umfangreiche Literaturliste .

Besonderer Wert wurde nicht nur auf die Darstellung der theoretischen Grundlagen gelegt,sondern auch auf die Beschreibung der im ZEL zur digitalenHochgeschwindigkeitsverarbeitung (300 kHz spektral) analoger Signale verwendetensogenannten systolischen Mehrprozessor-Systeme. Das bei der praktischenEntwicklungsarbeit im ZEL eingesetzte KFA-Entwicklungssystem MB 8764 wird in seinerFunktion beschrieben.

Im Praktikum, das von Herrn Horst Larue, ZEUAE, durchgeführt wurde, ist diesesEntwicklungssystem auch von den Teilnehmern zu Entwicklungsarbeiten benutzt worden .Drei Anwendungsbeispiele sind am Ende der vorgelegten Arbeit beschrieben.

Für ihre Mühe bei den organisatorischen Vorbereitungen des Seminars sei insbesondereFrau M. Klein, Herrn J. Hotfilter, Herrn K. Dilling, Herrn H.P. Wegener sowie HerrnH. Roeder recht herzlich gedankt.

Jülich, den 7. August 1990

Hp. Eulenberg

Inhaltverzeichnis

1 . Einleitung . .. . . ... . . .. . ... . . .. . .. . ... . .. . . ... . . ... . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . ... . .. . . ... . . ... . .. . . .. . ... . ... . ... . .. . . ... . .. ..10

2. Signaltheoretische Grundlagen analoger Signale. . ... . .. .. . ... . . .. . ... . .. . . ... . .. . . .. . ... . . .. . 142.1 Stochastischer Charakter informationstragender Signale . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

-Determinierte und stochastische Signale-2.2 Sinusvorgang . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . .. . . . . . . . ..16

-Komplexe Amplitude-2.3 Periodische Vorgänge . . . . . .. . . .. . ... . . .. . . .. . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . ... . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 20

-Approximation durch Grundfunktionen-2.4 Fourier-Reihe . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

-Amplituden-Phasenspektrum-2.5 Aufbaufunktionen . . . . . .. . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . .. . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . ..28

-Orthogonale Funktionssysteme-2.6 Nichtperiodische Signale . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . ... . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . ... . . . .. . . .. . . .. . . . . . ... . . .. . . . . . . . . . . .. . . . 30

-Founerintegrale Spektraldichtefunktion-2.7 Fourier-Transformation . . . . .. . . . . . ... . . ... . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ... . . 32

-Hilfssätze, Beispiele-2.8 Dirac-Impuls . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . ..34

-Integraldarstellung Fourierdarstellung-2.9 Laplace - Transformation . .. . . .. . ... . . ... . . ... . . .. . ... . . .. . ... . . .. . . .. . . .. . . ... . . .. . ... . . .. . .. . . . . . . . .. . . . . . ... . . 38

-Kausale Signalfunktion, Laplace - Integrale-2.10 Pol - Nullstellenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 40

-Betragsgebirge-2.11 Statistische Signalbeschreibung . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Wahrscheinlichkeitsfunktionen,Ergodensätze-

3 Netzwerktheoretische Grundlagen analoger,linearer Schaltungen ... . ... . ... . ... . ... 523.1 Systemfunktion . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ... . . .. . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . .. . . . ... . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . 52

-LTI - System, Obertragungsfunktion-3.2 Zweipolsystemfunktion. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ..54

-Impedanz - Admittanzfunktion-3.3 Übertragungsfunktion II . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . ... . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . ... . . . . . ... . . . . . . .. 58

-Stoßantwort, Gewichtsfunktion, Faftung-3.4 Beispielhafte Berechnung von Obertragungsfunktionen .. . . . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 60

-Tiefpaß-3.5 Obertragungs- und Dämpfungsfunktion . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . .. . .. . . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. 70

-Dämpfungs- und Phasenmaß, Phasen und Gruppenlaufzeit-3.6 Kausalität und Stabilität von Systemen .. . . . . . . ... . . .. . ... . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . . ... . .. . . ... . .. . . ... . .. . . .. 72

-Schwingungserzeugung-3.7 Verschaltung von Zweitoren (Vierpolen) . . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . ... . . . . . .. 76

-Reihenschaftung, Parallelschaftung.. .-3.8 Analogrechnerschaltungen . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. 82

4 Signalverzerrungen . . ... . .. . . .. . . .. . . ... . . ... . . ... . . .. . ... . . .. . .... . .. . . .. . . . ... . . . . . .. . . .. . .. . . ... . . . . . ... . . ... ..86

5 Digitale Verarbeitung eindimensionaler Signale. . . .. . . .. . . . ... . ... . .. . . .. . .. . . ... . . . . . ... . . ... . . 905.1 Quantisierung von analogen Signalen im Zeitbereich . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1 .1 Abtasttheorem . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . ..905.1 .2 Transformationen . . . . . .. . . . . . . ... . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

-Z-Transformation--Diskrete Fouriertransformation

5.2 Analoge Signalverarbeitung im Wertebereich .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . ... . . . . .1165.3 Digitalisierung analoger Signale im Wertebereich . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ... . .118

5.3 .1 Analoge und digitale Signalverarbeitung. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . .. . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . .1185.3.2 Wertquantisierung . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . ... . . . . .1225.3 .3 Analog - Digital - Umsetzung . . . .. . . ... . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . .. . . . .. . . ... ... . . .. . ... . . ... . .. . . ... . . ...1305.3.4 Festkomma - Gleitkommadarstellung . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .138

6 Digital numerisch arbeitende Netzwerke ... . ... . ... .... . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . ... ... . . .. . ... . .. . ... . . .1426 .1 Schaltungssynthese im Originalbereich . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . .146

- Quasi-Analogrechner Schaltung-6.2 Schaltungssynthese im Bildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .��151

6.2 .1 Synthese über den Umweg der Laplace - Transformatio. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ... . . . . . .. . . . 1566.2 .2 Direkte Synthese mit der Z-Transformation . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .�� 1606.2.3 Direkte Synthese mit der Bilinearen Transformation . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . .. . . . 1646.2.4 Synthese aus der Übertragungsfunktion mit vorgegebenen . .. . . . . . ... . .. . . . . . .. . . . . . .168

Schaltungsstrukturen6.2.5 Nichtrekursive (FIR) Filter .. . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . ... . . . . .174

6.3 Ausführungsformen mit Signalprozessoren . . . . . . . . ... . . .. . .. . . .. . . . . . .. . . .. . . .. . . . .�� . .. � , . . ... .�� 1986.3.1 Einprozessorausführung . . .. . . .. . . .. . . ... . . . . . . .. . . ... . . . . . .. . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . .. . . .. . .1986.3 .2 Multi - Signalprozessorstrukturen . ... . .. . . ... . . ... . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .2006.3 .2.1 Kaskadierte kanonische Fiter .. . . ... . .. . . ... . . ... . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . .. . .202

6.3 .2 .2 Nichtrekursive (FIR) systolische Filter .. . . ... . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . .. . . . .. . . .. . . . . . 204

6.3 .2 .3 Rekursive (IIR) systolische Filter . . . .. . . ... . . ... . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . . . � . .� .��. . . . . .��2106.3.2 .4 Systolisch binärer Baum. . . .. . . . . . . . .. . . .. . . ... . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .214

6.4 Dimensionierungsbeispiele. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .. . . ... . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .2166.4.1 Feldstruktursimulator als Beispiel einer ... . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .. ., . . . . ..��216

Quasi-Analogrechnerstruktur6.4.2 Butterworth-Tiefpaß zweiter Ordnung . . . ... . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . . .�� . ...2226.4.3 Entwurf eines Tiefpasses dritter Ordnung mit dem . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . ...226

Fifterkatatog von Rudolf Saal6.4.4 Oszillator . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . ...2326.4 .5 PI -Glied . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . ... . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . ...2366.4.6 PID -Glied . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . .. . ... . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . ...2386.4 .7 PDT-Glied . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ..2406.4 .8 Globalsystolischer IIR - Tießpaßfilter C 031 . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .��, . .��;,242

6.5 Einfluß der Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . ... . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ..244

7 Digitale Verarbeitung mehrdimensionaler Signale ... .... . ... . .. . . .. . ... . . ... . .. . .. . . ... . .. . . .. 2487.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . ... . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ..2487.2 Die 2 D - Foudertransformation . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . ... . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ..254

7.2.1 Definition der 2 D - Fouriertransformation . . ... . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .,. .�� , ., . .��2547.2.2 Eigenschaften der Fouriertransformation . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .�� . . ., .��,256

7 .3 Das zweidimensionale Abtasttheorem . . . .. . . . . . . ... . . . .. . . .. . . . . . . . . ., ., ., . . . .. . . . . . .��,2587.4 Zweidimensionale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . ... . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .262

7.4.1 LSI -Systeme . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . .. . . .2627.4.2 Separable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . .2647.4.3 Die Frequenzantwort eines Systems . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. � ., . . . ., . .. . .. . . . . . . . . �,2667.4.4 Die zweidimensionale Faltung . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .,. . .,. . . . ., ., . . . . . ., .��,2687.4.5 Stabilität von zweidimensionalen Systemen . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ., . . . . . ., .2707.4.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272

7.5 Die diskrete Fouriertransformation .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ., . . . . . ., . . . . . . . . . . . ., ., .��,2767.5 .1 Definition . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2767.5 .2 Die diskrete Cosinus-Transformation . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .� , . ... . . .�� , .�� 2807.5.3 Anwendung . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .. . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .2827.5.4 Verwandte Transformationen. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .2847.5 .5 Die Wavelet - Transformation . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .286

7.6 Entwurf von FIR - Filtern . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .2947.6 .1 Entwurf vermittels 1 D -Fensterfunktion . . .. . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2967.6 .2 Grundsätzliche Probleme beim Entwurf von 2D - Filtern .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . � ,. .3007.6 .3 Optimale Filter . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ., . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .3027.6 .4 Die McClellan -Transformation . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ..�� , ., .. � , . . .� , ., . . .��304

7.7 Die zweidimensionale z-Transformation . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . � , . .�3087.8 Bildverarbeitung . . . .. . . .. . . .. . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3127.9 Literaturverzeichnis . ... . . . . . ... . . ... . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .. . ., .. . . . . . . . . . . . . . . . ., . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318

8 Technische Möglichkeiten zum Bau digital arbeitender . ... . .. . . ... . . .. . . .. . . .. . . ... . . .. . .322Signalverarbeitungseinrichtungen unter Laborbedingungen

8 .1 XILINX FPGA's . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3228.2 Fest verdrahtete Prozessoren .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3268.3 Programmierbare DSP's .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332

9 Ausführungsbeispiele von Signalverarbeitungseinrichtungen ... . . ... . .. . . ... . . ... . ...3369 .1 Anwendungen von XILINX - FPGA's . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .3369.2 Anwendung mit festverdrahteten Prozessoren .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .3429.3 Anwendung mft programmierbaren Prozessoren .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . .348

10 KFA - Entwicklungssystem MB 8764 fürkaskadierte und . . ... ... . . ... . . .. . ... . . .. . . ... . ..354systolische Mehrprozessor- sowie Einprozessoranordnungen

10 .1 Hard- und Software des Signalprozessors MB 8764 . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . .. . . .36410.2 DSP -Programm: Aufbau und Verarbeitung . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .36810.3 Label - Adressierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . .. . . .37010.4 Anlegen von Koeffizientenfeldem . . . . . .. . . .. . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .372

10.4 .1 Koeffizientenfeld im Programmspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .37210.4 .2 Koeffizientenfeld im A-RAM des DSP. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .37410.4 .3 Koeffizientenfeld im B-RAM des DSP.. . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .376

10.5 Datentransfer - Befehle für Signalprozessor-Arrays . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .378

11 Literaturverzeichnis . . . . . ... . . .. . ... . . .. . ... . . . . . .. . ... . . . .. .. . . . ... ... . . ... . . .. . . .. . . .. . . ... . .. . . ... . . ... . . .. . .380

1 Einleitung

eIldvererbeitung

- Mehrdliner7,9(ôno% AbtQStrotef7umsetzung

EleKtronsche ~eryrôßerunq oder ~erKlemerurx2von _Bildvorlagen

Verânderung der Abtgstroien bei

unvefândertern Al~tastrrruster

AildûbÊrtrag ng Mlt rec/uzierf~rAbtastr4t¬

Empfângerseitige lnteroolatiônvon Zwiaschenblldern

Umwar7o'lung von BildOrn unterscnlédhcherFernsehn©rfnen

~ersp~él : HDTV nach TVunterschiédhche Zellenzcrh!und ,8i%dwzchselfrequenz

Umsetzung von Kii7ofilm auf dasHDTy- oder Tv- sy,~ten'r

Zwe~diinensiônole Abtastratencinr/erun9bei gle~chzert~9er Anderung desAbtostr»usters ~ f~ollbijdabtosfung -~lei%n3,orungabtvstung~

ZENTRALLABOR FÜR ELEKTRONIK

F~i7satzgebréte der dIifo%n 51gnalverarbeifung

Telecorn - Technil<

ISDN (Integiafedservi'ces Deitel lvetworK)

Fernsehtechnik (Video)

£PegelungstecfinK

Qobotik (.BildyerarbeIZung)

McAtechnix

Filtertechn~K

Korrelat~ôn.~elg,r~troniK

Sii77Ul0'tIÔrl (zB. Plasrna- Modensiir~ulatiôn

Fchtzeitverarbeitung von

# VeKotoren

m: Polynomen

interpolationstütern

Mrlit~rtechnrK


KM

Vorteile der digitalen Signalverarbeitung

BauteiltoleranzenAlterung von BauteilenTemperatureinflüsseStörungenFilter-Grenzfrequenzvariabel einstellbar

Unempfindlic h gegen :

mit

Weitere Vorteile :

monolitisch integrierbarin VLSI-Technik kostengünstigProgrammierbarkeitSimulation möglichbeliebig tiefe Signalfrequenzenlinearer Phasengang möglichZeitrciuitiplex-Betrieb möglich

Taktfrequenz


1 3

2

Signaltheoretische Grundlagen analoger Signale

2.1

Stochastischer Charakter informationstragenderSignaleDeterminierte und stochastische Signale

Prof. DiplAng . W. JANSENStochastischer Charakter von Signalen

Fachhochschule Aachen, Abt. Jülich

BI 0

Signale machen es möglich, Information bzw. Nachricht physikalisch abzubilden. Sie sind

i . a. Zeit- und/oder Ortsfunktionen elektrischer Größen. Die Kenngröße eines Signals (z.

B . Amplitude, Frequenz, Dauer usw.), die unmittelbar die Nachricht abbildet, ist der

Signalparameter.

Zur Darstellung der Zeitabhängigkeit eines Signals dient das Oszilloskop. Die Oszillo-

gramme einer Sinusschwingung und eines Rauschvorganges lassen erkennen, daß

zwischen determinierten: und stochastischen Signalen erhebliche Unterschiede

bestehen.

Sinussignal - Beispiel für ein determiniertes Signal

Rauschsignal - Beispiel für ein stochastisches Signal

Oszillogramme einer Sinusschwingung und eines Rauschvorganges

Jedes determinierte Signal - wie z. B . das Sinussignal - kann zumindest in einem

begrenzten Zeitintervall mathematisch (formelmäßig) beschrieben werden. Sein Augen-

blickswert s(t) ist für jeden beliebigen Zeitpunkt innerhalb des Zeitintervalls

berechenbar. Determinierte Signale tragen jedoch keine Nachricht.

Die Unvorhersagbarkeit einer Nachricht und damit ihre zeitliche Regellosigkeit machen

Signale, die wirklich Nachricht abbilden, ebenfalls zeitlich regellos, d. i . stochastisch. Bei

stochastischen Signalen läßt sich der Momentanwert s(t) der Zeitfunktion zu einem

vorgegebenen Zeitpunkt nicht berechnen. Unter bestimmten Voraussetzungen kann ein

stochastischer Vorgang jedoch mittels statistischer Kenngrößen und Kennfunktionen

(z. B. Mittelwerte, Korrelationsfunktionen) beschrieben werden .

1 5

2


2.2 SinusvorgangKomplexe Amplitude

Prof . DiplAng . W. JANSEN

I

S i n u s(harmonische Schwingung)

o r g a n gFachhochschule Aachen, Abt . Jülich

s1 (t) = go . sin [w0 . (t + 'PO/W(»]

= 90 . sin (wo . t + f0)

Einführung der komplexen Amplitude g

mit wO

s 1 (t) = 9o - sin (wot + 'PO)

= al - cos wot + bl . sin wot

= +

ai + bi

'Po = Arctan ai/bi

2 n . fo =

2 n/TO

_ ~0 . sin

(t)

S2(t) = g0 * cos IP(t)_ Im [90 . e j+L(t)]

= Re [90 . e j+G(t)]

mit Ip(t) = (dot + fofolgt s (t) = s0 . e j0(t)

= go . e j(wot + `Fo)= 90 . e j'Po . e jwot= 90 . e jwot

wobei

90 = 90 - e Yo

Darstellung der phasenverschobenen, harmonischen (Sinus- bzw. Kosinus-) Schwingung

durch Überlagerung von elementaren Grundfunktionen

Grundfunktionen sind hier:

a� " cos wotund

b� - sin wot

(Bilder 2 und 3)

S2(t) = go . [cos w0 . (t + 'PO/wo)]

= 90 . cos (w0 "

t +

`Po)

S2(t) = so - cos (ca ot + f0)= a2 - cos wot + b2 . Si" WOt

=> s0=+ a2+b2

'PO =

-Arctan b2/a2

Prof. DiplAng. W. JANSEN

Abbildungen zu Blatt 1Fachhochschule Aachen, Abt. Jülichl

S i n u s v o r g a n g

Bild 1 Die harmonische Schwingung als Zeitfunktion (links) bzw. als Winkel-funktion (rechts)

s

907

Bild 2 Die Sinusschwingung als Frequenzfunktion (Fourierspektrum)

ifo f

TT

~po

Bild 3 Die Sinusschwingung als Überlagerung der beiden harmonischen Grundfunk-tionen

18

19

2


2.3 Periodische VorgängeApproximation durch Grundfunktionen


Fachhochschule Aachen, Abt. Jülich Periodische Vorgänge LBl 2

Bevorzugter Ansatz für eine Approximation:

Ns(t)

=

2:

xn . gn(t)

+ r(t)

;tl

5

t 25 t2n=0

Bedeutung : xn Koeffizienten,

gn Grundfunktionen,

r(t) Restfehlerfunktion

Grundfunktionen g,(t) (d. h. Aufbausignale) sollen

o mathematisch möglichst einfach sein,o

technisch leicht zu erzeugen und zu messen sein,o folgende Bedingung erfüllen:

t2

t2 1 t

tf

r2 (t) dt = r2(t)

=> t)

tl

-`

t `- t2

sog. Approximation im Mittel ; mittleres Fehlerquadrat soll gegen Null gehen.

Für periodische Signale mit s(t) = s(t t kTp) (k = natürliche zahl, T° = r., r., P. außerund .) ist die Bedingung erfüllbar durch Systeme orthogonaler Funktionen

mit

und

g n(t) - gm(t) dt

für

n=m

xn = 12f S(t) - 9n(t) dt

t2 - tl tl

Das Integrationsintervall ist für periodische Funktionen gleich der Periodendauer, d. h.,t2 - tl = To . Dies liefert

x n =-;f.-

~

s(t) - gn(t) dt

(0 = q _--1)To -Q °

Einfaches Paar orthogonaler Funktionen, das o. g. Bedingungen erfüllt, sind die Sinus-und Kosinusfunktion. Dies führt zur Approximation periodischer Signale durch Fourier-Reihen.

21

2


2.4 Fourier-ReiheAmplituden-Phasenspektrum


Fachhochschule Aachen, Abt. Jülich Fourier - Reihe I

Gemäß Ansatz bei der harmonischen Schwingung Annäherung periodischer Signale durch

Summen von Sinus- und Kosinusfunktionen als Grundfunktionen (willkürlich q = 0

gewählt) in.

1 .) Normalform (1 . reelle Form)

s(t) =

E

(an - cos (n " w0 - t) + bn - sin (n " uwo - t))n=0

mit a0 =

an =

bn =

1T0

270

1-TO

fos(t) dt

0

2.) Sinus - Form (2 . reelle Form)

f 0s(t) - cos (n - w0 - t) dt0

TOf

s(t) - sin (n - w0 - t) dt0

Ns(t) = Z Sn ' sin (n' w0 - t +

'en)n=0

Mit

s�= +177 + bn

Beurteilung der Signalbandbreite).

'Pn = ArctanF.-

Amplituden- Phasen-spektrum (Bild 4a)

spektrum (Bild 4b)

Amplituden sind meßbare Größen (Ermittlung des Betragsspektrums durch Spektralana-

lysator bzw. selektiven Spannungsmesser) ; wichtig für die Signalanalyse (Spektralanalyse,

Bei Signalsynthese Fehler durch Gibbs'sches Phänomen (Überschwingen von rund 18%an Unstetigkeitsstellen der anzunähernden Funktion) ; bedingt durch Approximation "nur"im Mittel .

(Bild 6)

Prof. Dipl.-Ing. W. JANSEN

Fachhochschule Aachen, Abt. JülichAbbildungen zu Blatt 3.1

Fourier-Reihe I

_SmA10

~2

g3~6

T" TJ g8

Bild 4a Amplitudenspektrum einer periodischen Schwingung mit 10 diskretenTeilschwingungen (periodischer Strom)

g9

T 'p7 T'P9

T10 ffo

Bild 4b

Phasenspektrum des periodischen Stromes aus Bild 4a

Prof . Dipl.-Ing. W . JANSEN

Abbildung zu Blatt 3.1Fachhochschule Aachen, Abt . Jùlichl

Fourier-Reihe

a)

b)

30

20

i0

0

-200

. . . . . . . . . . . . . . ,1 .ti : . . . . . ... . . . . . .. . . .t .. . . . . . .. . . . . . . . . .C . . . . . . . .. . . . . . . . . ., . . . . .. . . . . . . . . . . . ., . . . . . .. . . . . ..... . .,.. . . . . . ... . . . .. . . .

. . . . . .. . . . . . ... . .[ .... . . . . . . . . . . . . . .t. . . . . . . .. . . . . . . . . .j . . . . .. . . . . . . . . . . . .y . . . . . .. . . . . .. . . . . .1.. . . . .

. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . .... . . . . . . . . . . . . . ?. . . . . . . .. . . . . . . . . .i . . . . .. . . . . . . . . . . . .} . . . . . . . . . .. . . . . . .. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . ... . . . . . . . . . . . ~ .. . . . . . .. . . . . .. . . . ~ . . . . . .

, . . . . . . . .

; . . . . . . . ...

> . . . .. . . . . . . . . . . .; . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Bild 5 Aus den Spektralkomponenten aus Bild 4 aufgebaute Summenfunktionmit zum Vergleich unterlagerter Grundschwingung (punktiert)

s

-_---.., -li

~%.

.

_ _t

0

Bild 6 Approximation eines Rechteckpulses mit dem Tastgrad 0,5 durch dieGrundschwingung (Teilbild a) sowie durch die Grundschwingung undzwanzig (ungeradzahlige) Oberschwingungen (Teilbild b)

25

Prof . DiplAng. W. JANSEN

Fachhochschule Aachen, Abt. Jülich Fourier - Reihe Il

3.) Komplexe Form

mit

Ns(t) =Y ç n " e Jnwot

n E 7Gn =-N

TO

En = 1

f S(t) . ejnwOt dtTp 0

Umrechnungsformeln

En

=?(an - J b n)

fir n > 0

ao

En

= 2 (a -n + J b -n)

fir n < 0

Darstellung der komplexen Fourier-Koeffizienten durch das symmetrische Spektrum.

(Bild 7)

Resümee

Periodische Signale besitzen sowohl ein Amplituden- als auch ein Phasenspektrum mit

diskreten Werten (Linienspektrum). Dessen Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache

einer kleinsten Frequenz fo (fo = 0 und fo =

ausgenommen) mit fo

To .

fo legt den kleinstmöglichen Abstand zweier Spektrallinien fest .

fo ist g. g . T. aller im Spektrum vorkommenden Frequenzwerte.


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichAbbildungen zu Blatt 3.2

0.5 -1

Bild 7a

Reelles Amplitudenspektrum der Funktion

p(t) = PO sin2wot

_4

Ignle= lS IPoPo

1 -

0.5

fo

l~ T

-1 0 1

2 3 4 ff 0

Bild 7 b

Symmetrisches (komplexes) Amplitudenspektrum der Funktionp(t) = P0 sin2wot

2 7

2


2.5 AufbaufunktionenOrthogonale Funktionssysteme


A u f b a u f u n k t i o n e nFachhochschule Aachen, Abt . Jülich

(Auswahl)

BI 4

Als Aufbausignale eignen sich orthogonale Funktionensysteme. Man unterscheidet zwei

Kategorien nach

1 .) Frequerztheorie

z. B .

- harmonische Funktionen

- Exponentialfunktionen

- Dirac - Stöße (5'- Funktionen, vgl . Blatt 7)

- Einheitssprungfünktionen

- si - Funktionen

( si x = sin x )x

2.)

Sequenztheorie (weniger gebräuchlich)

z. B .

- Rademacherfunktionen

- Walshfunktionen

- Hadamardfunktionen

- Slantfunktionen

2 9

2


2.6

Nichtperiodische SignaleFourierintegrale Spektraldichtefunktion

Prof. Dipl.-Ing . W. JANSEN

Fachhochschule Aachen, Abt. Jülichl N i c h t p e r i o d i s c h e

Signal eBI 5

Grundgedanke : Aufbau (Approximation) ebenfalls durch Summe (im Grenzübergang

=> Integral) von elementaren Grundfunktionen . (vgl . Blatt 2 für periodische Vorgänge!)

Dies führt zu .

s(t) _

f S(w) . e i tw dw

_ fS(f)-ei"f

S(w) =

f s(t) - e-iwt dt

SM = f s(t) . ej2nft dt

S(f) heißt deshalb:

Parceval'scher Satz

= A(f) + .l B(f)

= S(f) . e iarc S (f)

fS(fj] = [s(t)]Hz

Spektral dichteftuiktion

Hinweis auf

gf) 1 2 = S2(f)

#,

spektrale Energiedichte

f s2(t) dt = f S(f) S`(f) CH = fS2(f) df_,o _�

d. h., die Energie eines Signals ist identisch angebbar im Zeit- wie im Frequenzbereich.

f

I

(z.B . Hz )

inverse

Fourier - Integrale

Fourier -Integrale

2


2.7 Fourier-TransformationHilfssätze, Beispiele

Prof. Dipi.-Ing . W. JANSENFourier-Transformation


BI 6

- Linearitätssatz- Ähnlichkeitssatz.- Verschiebungssatz

- Dämpfungssatz- Faltungssätze

- Differentiations- und

- Integrationssatz

z. B. Faltungssätze

IN {s(t)-f(t)} = S(f) - F(f) = v1f(t)-s(t)}

= F(f) - S(î)

= f S(v) - F(f - v) dv =

fF(v) " S(f - v) du-, o

(Anwendung z . B. bei Modulation)

V-1 ;S(î) - F(f)1 = s(t) = f(t)

usw. (s. o.)

Integrationssatz

= f s(r) - f(t - T) dr

usw. (s. o.)-,o

(Anwendung z . B. bei Übertragungsfunktionen)

.f s(r) drl

= j21~f S(î) + 2 S(0) " S(f)

1 .) SymbolikFfs(t)1 = S(w) F-' S(o)] = s(t)

W{S(t)1= S(w) -lis(w)} = s(t)s(t) a----. s(w) s(W ) .--o s(t)

2.) Rechenregeln

2


2.8 Dirac-ImpulsIntegraldarstellung Fourierdarstellung

Prof. DiplAng. W. JANSEN6-Funktion


(Dirac - Impuls)

Bl 7

Die 6-Funktion ist keine Funktion im üblichen Sinne, sondern nur als Distributiondefiniert. Das bedeutet, daß b(t) nicht durch die Funktionswerte bei gegebenen Wertent erklärt ist, sondern durch die Werte, die das Integral

f s(T) - b(t - r) dr

für beliebige Werte t

annimmt, wenn s(r) eine stetige Funktion ist.

Es gilt :

Insbesondere gilt:

Fourier - Darstellung:

f s(T) - S(t - r) dr = s(t)

(Ausblendeigenschaft der Deltafunktion)

f S(t - r) dT = 1

(vgl. Normierungsbedingung fiir w(s), Blatt 10.1)

Darstellung durch Grenzprozesse:

b(t - r) =

S(t - r) = 1

lim7T

n-io0

Zusammenhang mit Einheitssprung und Rampenfunktion (vgl. Blatt 7.1)

= s(t) (Einheitssprung)

0, t<0

= r(t) (Rampenfunktion)

35

36

Prof. DiplAng. W. JANSEN S - F u n k t i o n-Fachhochschule Aachen, Abt. Mich (Dirac Impuls) BI 7.1

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11 1 .: la §

wtC

8Ô

_e°

GW9I

w_~,eÎ

w_._,B ~ c~àil Uil Y WN A

lC11 N el~

â a w `fi Izec

p -:rd

ô .. E"o y

M1___ ~j CO '

Ww~ 1 M____ ~ N ti

K ti____ 1

/11__ 11,

,1

M N

v N M ~} N

37

2


2.9

Laplace - TransformationKausale Signalfunktion, Laplace - Integrale


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichLaplace-Transformation

Voraussetzung : 'Kausale' Signalfunktion s(t)

(Kausalität - vgl . Blatt 18.1)

mit j s(t) e-at dt <

-

(t 9 0)

S(E)

_

s(t) e1?t dt = 2 { s(t)

S(t) = 12nj

Q+1~f s(p) e P-t dP =

2-1 {S~Q_J 00a>ao

(oo Konvergenzabszisse)

E = v + jw (komplexer Anklingkoeffizient, vgl . Bl . 14)

f

Laplace-Integrale

Andere Schreibweisen wie bei Fouriertransformation . (vgl. Blatt 6, Symbolik)

Ebenso gelten für die Laplace-Transformation die gleichen Sätze wie für die Fourier-

Transformation (s . Blatt 6, Rechenregeln) entsprechend.

+00Für kausale Signale s(t) mit j Is(t)1 dt < - (absolute Integrierbarkeit) unmittelbarer

Übergang von Qls(t)} nach Wls(t)} möglich durch Substitution E = jw (a = 0) .

Beispiel:

s(t)= e-«t sin wot ;

C0

S(p). @ + )2+ 03

S(w) =

00(jw+ a)Z+ wö

2


2.10 Pol - NullstellenplanBetragsgebirge


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichPo1-Nu11ste11çn-Plan

Betragsgebirge

Bi 9

Laplace - Transformierte technisch relevanter Signale s(t) lassen sich auf die Form

bringen :

angeben .

p) =ffo

= %e + ... a1P + ao , m ng(P)

bnpn + . . . blp + bo

d . h. S(p) = reelle, rationale Funktion von p = a + jw .Werden die Koeffizienten der jeweiligen Hauptglieder vor den Bruch gezogen, dann

folgt

S(p) = K

pm + a,m-le-1+ . . . a'1E + a'opn + b',-,C -1 + . . . b'1L +b'o

Werden Zählerpolynom und Nennerpolynom durch ihre Wurzeln (Lösungen)

ausgedrückt, dann läßt sich schreiben

_

L - po,1)L - p0,2) .. . L - PO,m)S~ -

K(P - P~,1)(P - P-,2) .. . (P - P-,n)

Als komplexe Funktion läßt sich S(p) auch in der Exponentialform (Betrag und Winkel)

S(P~ _ K

IP - RO,IIIP_ - P_o,2I . . .

IF - 1?o,ml

, e-i(0o,1++Go,2+ . . . -.,IP - P~,IIIP - P-,21 .^ IP - P-,nl

Zusammenfassung:Die Spektralfunktion S(p) ist bis auf eine Konstante K vollständig durch die Lage der

Pole und Nullstellen bestimmt (Pol- Nullstellenplan, s. Bild 8)

Darstellung von I§_(p)I im sog. Betragsgebirge (Bild 9) .

Den Einfluß der Lage der Pole auf das Zeitverhalten des Signals s(t) zeigt Bild 10 .


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichAbbildungen zu Blatt 9

0

0

0

0

Bild 8

Pol-Nullstellen-Plan,

x = Pol, o = Nullstellelinkes Bild: allgemeine Darstellungrechtes Bild: Darstellung der Exponentialfonn (Betrag und Winkel) füreinen beliebig angenommenen Aufpunkt p.

ß

Bild 9 Beispiel für ein 'Betragsgebirge"Es ist ein Schnitt senkrecht zur

Ebene entlangder jw-Achse gelegt, so daß nur die linke abge-schlossene Halbebene sichtbar ist

42

Prot DiplAng . W. JANSENFachhochschule Aachen,

Jülich

S. AC.,

2.


2.11 Statistische SignalbeschreibungWahrscheinlichkeitsfunktionen,Ergodensätze

Prof . Dipl.-Ing . W. JANSENStatistische

Fachhochschule Aachen . Abt. Jülich)

S i g n a l b e s c h r e i b u n g

I

IBI 10.1

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion w(s)

w(s) = lim

1 E AtiT->-,&s- .>o T As

mit Ati Verweildauerintervalle im Wertebereich As .

(vgl. Bild 11)

Bild 11 Definition der aufsummierten Verweildauer E At; des Signals s(t) im Werte-bereich As

Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion W(s)

f w(x) dx = W(s)

bzw.

~. W(s) = w(s)+(>O

Insbesondere gilt:

fw(s) ds = 1

(sog. Normierungsbedingung)

ErgodensätzeT

+ o0

s = E(s)

= lim

1

fs(t) dt

= f s - w(s) ds

T +o0

s_2 = E(S2) = lim

1

fS2(t) dt = f S2 . w(s) dsT-> . T u

-~

für ergodische Prozesse gilt:

Zeitmittel

=

Scharmittel

Varianz Q2 (Streuung).

Q2 =

f(s - g-)2 w(s) ds

= s2 - s2

Sonderfall mit s = 0 :

Q = Seff = +

s2

t

d. h ., im Fall gleichanteilfreier Signale ist deren Effektivwert die Wurzel aus der Varianz.Beispiel : weißes Rauschen mit Gauß'scher Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Zur Definition eines "natürlichen Schwankungsbereichs" für eine regelloses Signal istbeim Rauschen (und sinngemäß bei anderen regellosen Signalen) der Bereich t3Q sinn-voll . Daraus resultiert die Möglichkeit, für das Rauschsignal den Scheitelwertes % = 3cranzugeben. Die Wahrscheinlichkeit für Momentanwerte des Rauschens, diesen Wert zuüberschreiten, ist kleiner als 0,3% .

Prof. DiplAng. W . JANSEN


Beispiel für eine GleichverteilungBI 10.2

Ein einer Meßgröße proportionaler Strom nimmt Werte im Bereich 4 .. . 20 mA an.Alle Werte sind in diesem Intervall gleichwahrscheinlich, d. h., die Wahrscheinlichkeits-dichtefunktion w(i) hat einen stromunabhängig konstanten Wert k.

w

k

Es interessieren :die Größe k, der Mittelwert i, das quadratische Mittel i 2 , die Varianz a2, derfektivwert I und der Effektivwert des Wechselanteils, mit dem der Strom iMittelwert i schwankt.Zur Bestimmung von k :

+(x)Es gilt :

fw(i) di = 1

20 mAf kdi=1 => k=4 mA

16 mABerechnung von i:

20 mAi

=

f

i ' w(i) di

=

1. i2

4

16 MA 2 = 12 mA

Dieser Wert ist unmittelbar einsichtig und kann damit als Beleg für dieAnsatzes genommen werden.Berechnung voll i2-.

2 _ 20 mA

20 mA4 f A

2 * w(i) di

163

- 165,33 (mA)24 mADies liefert für den Effektivwert I -- ri2 , I :-- 12,86 mABerech2nung von a :

a2 = i2- i2 ^ 21,33 (MA)2

Daraus folgt a = 4,63den Mittelwert

mA als Effektivwert des Wechselanteils, mit dem i regtllosi = 12 mA schwankt.

Stromef-um den

Richtigkeit des

um

46


Fachhochschule Aachen, Abt. JülichStatistische

Signalbeschreibung II

Korrelationsfunktionen stationärer Signale

1 .) Kreuzkorrelationsfunktionen

712(1') = limT-> >-

2.) Autokorrelationsfunktion

Spektrale Leistungsdichte

Für den Anfangswert der AKF gilt:

SP(f)

+T/2

K-KF(T) - F2(T) = 721(-'r)

sl(t) * s2(t t r) dt-T 2

+T/2s2(t)'sl(t f T) dt

-T 2

AKF(r) = sil(T)

_

+T/z

711(1') =T1o T-T/2f 71(t) - sl(t f r) dt

+T/2 _

7110) =T~

T

_Tf 7i(t) dt = si = Séff

d . h., der Anfangswert der AKF liefert das Quadrat des Signaleffektivwertes.

In der Praxis ist T -+ - nicht erfüllbar, daher sinnvolle Wahl : T >> r (sog . Kurz-

zeitkorrelation).

Sp(f) =T~

P) "T*(})

=T__

S2(f)

= fmo k . äp(f)

Zusammenhang zwischen der spektralen Leistungsdichte Sp(f) und der AKF(r)

+> _Sp(f) = W i711(r)1 = f 711(1')

e-j2nfr dT-oo

71i(r) = ii-lisp(f)1 = f Sp(f) e j2nTfdf

i-2-1(1')

(Theorem von Wiener und Chintchin: Die spektrale Leistungsdichte und die Auto-korrelationsfunktion eines Signals bilden ein Paar von Fourier-Transformierten.)


Fachhochschule Aachen, Abt . Jülich

Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion (AAKF)

StatistischeSignalbeschreibung III

1 .) Die AKF ist eine gerade Funktion: 711(7-) = 711(--r) .

2.) Der Anfangswert der AKF wird von keinem anderen Wert der Funktionübertroffen: j,(0) ? s11(r) .

3 .) Der Anfangswert der AKF ist die Varianz des Signals:

711(0) = s2 .

BI 11.2

4 .) Bei einer Überlagerung mehrerer Zeitfunktionen gilt für die Anfangswerte dereinzelnen AKF der Überlagerungssatz.

5.) Aus 4 .) folgt, daß ein Gleichanteil ao die Werte der AKF um den konstantenWert ao2 erhöht.

6 .) Bei Signalen regelloser Zeitfunktion und nicht verschwindendem Mittelwert serreicht die AKF für wachsende Werte r den Endwert s2 :

Sii(7-) = s2= ao2.T'-9 00

7.) Bei Signalen regelloser Zeitfunktion und verschwindendem Mittelwert giltentsprechend : s11 (r) = 0 .

8 .) Die AKF eines im Zeitbereich periodischen Signals s(t) mit der PeriodendauerTo hat im Bereich 7- dieselbe Periodizität.Konsequenz für periodische Signale:

_ To7ii(r) = To

f sl(t) ' si(t f r) dt

9.) Je größer die Bandbreite eines regellosen Signals ist, desto kleiner ist derWertebereich r der Autokos elationsfunktion.10 .) Die AKF enthält keine Phaseninformation!


Fachhochschule Aachen, Abt. Jûlichl

Autokorrelationsfunktion

I BI 11.3

Autokorrelationsfunktion eines bandbegrenzten Rauschsignals

Viele Rauschquellen wie Verstärker, Transistoren, Widerstände u. a. haben bis zu einerGrenzfrequenz fg ein annähernd konstantes Leistungsdichtespektrum mit dem Wert Spo .Es stellt damit gleichsam einen Ausschnitt aus dem Leistungsdichtespektrum des idealenweißen, gauNschen Rauschens dar. Das nachstehende Bild zeigt den Sachverhalt als sym-metrisches Spektrum, das für die Berechnung der Autokorrelationsfunktion insofernvorteilhaft ist, als die Integration in symmetrischen Grenzen eine reelle Lösung desFourier-Integrals liefert.

Es

0,75

0,5

0,25

-0,25

Sp

Spol

-fe

SlipT

sin 2nfÉT

= Spo * 2fg - si(2nfÉT)

gilt: _

+~Sli(T)

=

f Sp(f) e j2nrf df-oo

+fgSpo

f e j2rTf df

Beispiel für eine

= AKF(T)

Spo j2nT

f

(e+j2nTfg _ ej2nrfg)

Verlauf der normierten Autokorrelationsfunktion slin eines bandbegrenzten Rauschsi-gnals als Funktion der Korrelationsdauer T mit fg als Parameter. (Normierung aufs1,(0) für fg = 2 kHz)

. . . .. . .. . . . . . . .. . ... . . . . . . .. ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. T . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ..... ... . . . . . ... . . . . . . . . . . .... . . . . .lin. . . .. . . . . . . . . . ... . .. . . . . . . . .. ..j . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ;. . . ... . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . .. . . . . . . .... . . . .. . . . . . . . ... . ..1.. .. . . . . .. . . . . . . . . . . ... . . . . .

. . .. ... . . . . . . .: . ... . . . . . . . . .... . . . . . . .. . . . . . : . . . . . . . . . . ... . .. . . . .. . .. . . . . . .

. . .. ... . . . . . . .. .... . . . . . .. . .. . . . . . . . .. . . . . .i . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . ... . . . . . . . ..Z. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . .. ...>..... . . . .. ... .> . . . . . . . .. . . . . .

.. .. . . . . . .. . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . .. . . ... . . . . . . . .... . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . .. .. . . . . .. . . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . ... . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .... . . . . .. . . . . . . . ... . . . .., . .fs ._ .Y. . . . . . . . . . . . . . . .. . .. .... . . . . . . ... .

~1C. . . .. ... . . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . :. . . .v .. . , . .̀

1" . . .... .. .. . . . . . . . . . ... . . . . . . ... .. . . .. . . . . . ... . . . . . .

Verschiedene Kennfunktionen stochastischerSignale (qualitativer Verlauf)

50

51

3

Netzwerktheoretische Grundlagen analoger,linearer Schaltungen

3 .1 SystemfunktionLTl - System, Übertragungsfunktion


Fachhochschule Aachen, Abt. JülichSystemfunktion,

Übertragungsfunktion I

An einem System (vgl . DIN 19 226) wirke am Eingang ein Signal sl (t) als Erregungs-funktion . Aufgrund dieser Erregung reagiert dasSystem mit einer Antwortfunktion S2(t) am AusgangDas Verhältnis von Wirkung zu Ursache ist vonKüpfmüller als Systemfunktion bezeichnet worden.

__ S2(P)H~ S1b

s1(t) o

LTI-System

_H(nwp)I-I(w)H(P)

S2(w)H(w) __S1(w)

VoraussetzungenDas zu betrachtende elektrische System sei nur aus linearen Bauelementen (gL,C,Iv4 aufgebautund damit selbst linear . Desweiteren sollen alle signalrelevanten Parameter zeitunabhängig sein(sog. LTI-System, LTI = linear, time invariant) .

Damit ist folgende Eiweiterung möglich:Das Eingangssignal sl (t) besitze eine Transformierte (Bildfunktion) _Sl(w) bzw. _Si(2).Dann besitzt auch s2(t) eine Transformierte _S2(w) bzw. _S2(p). Das Verhältnis der beidenTransformierten im Sinne der Küpfmüller'schen Systemfunktion heißt dann (komplexe)Übertragungsfunktion H(w) bzw. li(p) des Systems.

(Statt des Formelzeichens H wird auch das Formelzeichen T (transmission function) benutzt, vgl.Tabelle 3.1-2)

Umkehruni : Bei bekannter Übertragungsfunktion _H ist _S2 als Produkt von _S1 und _H zuberechnen, und es gilt z- B .

~*,l~S2(l?) = H~J' ' S1(P)-

Hiermit ergibt sich die Ausgangszeitfunktion s2(t) durch Rücktransformation derAusgangsfrequenzfunktion _S2(p). Dies gilt gleichermaßen auch, wenn die spektrale Dar-stellung des Eingangssignals durch eine Fourier-Reihe oder durch ein Fourier-Integralerfolgt. (vgl. Bild 12)

° S2(t)

cn1(nwo) --> c1(nwo)'H (nwo) _

nw~ _ ~2(o)S1(w)

->

?1(w)' H(w) = S2(w)s1(E) ->

SI(E)' H(P) = S2(P)

Bild 12 Schematische Beschreibung des Zusammenwirkens von LTI-Systemen unddeterminierten Signalen

Für die erforderlichen Transformationsoperationen stehen umfangreiche "Korrespondenztabellen" zurVerfügung (s . mathemat. Tabellen, Formelsanunlungen, u .ä .) .

Der "Umweg" über den Bildbereich ist in der Regel einfacher als der direkte Weg vons1 (t) nach s2(t), weil hierfür eine Faltung (vgl . Blatt 15) durchzuführen wäre. Hinzukommt, daß sich H(w) bzw. H(p) für einfache Strukturen nach den Regeln derNetzwerkberechnung leicht ermitteln läßt. Desweiteren ist der Betrag der IJbertra-gungsfunktion elektrisch anschaulich zu deuten und gut zu messen (Frequenzgang).

5 3

3


3.2 ZweipolsystemfunktionImpedanz - Admittanzfunktion


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichZweipolsystemfunktionen als

Impedanz- und Admittanzfunktionen

Durch einen Zweipol, z. B . eine Spule der Induktivität L, fließt als Ursache ein

zeitabhängiger Strom i(t). Dieser hat als Wirkung eine zeitabhängige Spannung u(t) zur

Folge. Beide Zeitfunktionen besitzen Laplace-Transformierte, d . h., i(t) ~----~ I(p) und

u(t) - U(p) . Dann liefert das Verhältnis

die Impedanzfunktion Z~ des Zweipols, in diesem Fall der Spule, als Funktion der

Variablen der Laplace-Transformation p (s . Bl . 8) . P = v + jw heißt 'komplexer

Anklingkoeffizienf' oder auch (nicht ganz korrekt, aber anschaulicher) 'komplexe

Kreisfrequenz" .

Der Quotient

IJ- (ni = Y (p) heißt sinngemäß Admittanzfimktion .

Die Beschreibung von Grundzweipolen mittels der komplexen Kreisfrequenz p zeigt die

anliegende Tabelle 3.1-1 .

Die Impedanz- und Admittanzfunktionen von Zweipolkombinationen lassen sich in

bekannter Weise aus den Impedanz- und Admittanzfunktionen der Grundzweipole

angeben. Nachfolgend sind einige Beispiele gezeigt.

1 . Reihenschaltungen

Z(p) = R + pL

Z(p) = R + pC

Z(p) = pL +PC

2 . Parallelschaltungen

= Z(p)=pL

1Z(p) = R + pL + pC

L

C

C

+ L

Y(~ - R-L

1 + PC

Y(P) =PL

+ pCR p

X(E) = R +EL

+ pC

55

Prof. DiplAng . W. JANSEN

Fachhochschule Aachen, Abt. JülichAnlage zu Blatt 14 und Blatt 15

Tabelle 3.1-1 Beschreibung von linearen Grundzweipolen mittels der komplexenKreisfrequenz p

Grundzweipol Grundgleichung Erregungsfunktion

Ketten-schallang

SI(E) o--) _Ti(p)

Tabelle 3.1-2 Beschreibung von zusammengeschalteten Übertragungssystemen mittelsder einzelnen Übertragungsfunktionen (® = rückwirkungsfreierKoppelpunkt ; statt des Formelzeichens T kann auch H gesetzt werden,vgl . Blatt 13)

-

-

12(P)

S2(P) = Il(p) , T2(p) ' Sj(il

5 6

Widerstand

R ~

i

lu

u(t) = R i(t) û ePt = R i e2û = R iU = R I

Spule i Ndl)(t) = L di(t) û e2 = L p 1 e2(Induktivität)

L lu Nd-b(t) u=pL1=

dtu(t) iJ = p L i

u(t) L di(t)dt

U1 = ?~ = pL

Kondensator(Kapazität)

1 .i

dq(t) = C du(t) 1 e2 = C p û eRt

C tudg tt) =

i = p C _ûd 1(t) I=pCUi(t) du(t)= C

dt = =U Y(p) P C

57

3


3.3 Übertragungsfunktion IlStoßantwort, Gewichtsfunktion, Faltung


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichÜbertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion H(w) bzw. H(p) beschreibt ein LTI-System vollständig im

Frequenzbereich. Sie besitzt als Bildfunktion eine Originalfunktion, z. B .

-1 lH(P)i = g(t),

die sog. Gewichtsfunktion. Sie ist identisch mit der Ausgangszeifunktion s2(t), wenn als

Eingangszeifunktion sl(t) der Dirac-Impuls gewählt wird . Deshalb heißt g(t) auch

Stoßantwort des Systems. Die Stoßantwort g(t) kennzeichnet das LTI-System im

Zeitbereich ebenso vollständig wie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich. Mit

Hilfe der Stoßantwort g(t) läßt sich der direkte Zusammenhang zwischen Eingangssignal

s l (t) und Ausgangssignal s2(t) als Faltungsoperation angeben:

tS2(t) = j g(t - r) sl(T) dr = g(t) " sl(t) .

Die bisher gemachten Angaben gelten für alle Fälle, für die s(t) determiniert angebbar

ist. Für regellose Signale ist die AKF eine zur Beschreibung geeignete Zeitfunktion, die

als Fourier-Transformierte die spektrale Leistungsdichtefanktion besitzt (vgl . Blatt 10.2).

Daraus folgt für regellose Signale (vgl . Bild 13)

SP2(w)

11i(w) 1 2 SPl(w) = H(w) . !*(w).SPl(w) = H2(w) . SPl(w) .

mit

H(w) = H(w) - e+ i ~0(l)

und

H*(w) = H(w) - e-je(`~)

AIKF1(T) = sil(T)

SPi(w) --> SPl(w) - H2(w)

s22( 'r) = AKF2(r)

mit H2(w) =

I H(w) 1 2 = H(w) . H*(w) = H(w) .1i(-w)

Bild 13

Schematische Beschreibung des Zusammenwirkens von Systemen undstochastischen Signalen

59

3


3.4 Beispielhafte Berechnung vonÜbertragungsfunktionenTiefpaß


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichBeispiele für

Übertragungsfunktionen BI 16.1

Beispiel l (RLC-Tiefpaß)

Gegeben ist ein Netzwerk mit der gezeichneten StrukturR L

Zi(p~ = R+pL

- PCDessen Übertragungsfunktion berechnet sich zu

u(P) _ U2(P)

__

Z2(1?)

_

1

U1(P)

Zl(E) + Za(E)

Zl(P) Y2(E) + 1

(R + pL) pC + 1

2LC + pRC + 1

1

1

LC p2 +p~+~-

wr2p2 +p rl + wr2

r

LC

R

Interpretation im PN-Plan (vgl . Blatt 9)

Nullstelle : nicht vorhanden

Pole : Aus dem Ansatz 2 + p T + wr2 = 0 folgt

p~,1,2 _ _Zr

f j

wr2 - ( 2r ~2

- 6.,1,2 + jw~J,2 .

Das bedeutet1

2-r

und

jw.,1 = + j

wr2 - (-2T)2

Jw-,2 -

_ J

wr2 _ ( 2r

)2 .

Mit w 2 - 1 und r = L

X lw~,l

c~~,1,2X

PN-Plan mit konjugiert-kom-plexem Polpaar



Beispiel 2 (RC-Bandpaß)

Rl

Ci

U2(p)_

_

Z2(E)

_

1H(P)

Ul(p1

Zl(P) + Z2ii?Î

-Z

Y2(p2 + 11

a

'

1 112 mit

Z1(p) = Rl +

PCI

H(E) =

1

R2 +ER2C1

+ ERIC2 +Ci

+ 1

Praktische Auslegung meistens : Rl = R2 = R und Cl = C2 = C

Damit :

H(i2) --

pRCE2R2C2 + 3pRC + 1

ZW.

H(w) _ jwRC1 - w2R2C2 + j 3wRC

Beispiel 3 (aktiver Allpaß)

aus (i)

U2 = 2U - Ul = 2U+ - Ul

mit (à)

U2 = 2 U

1

_

(

2

l1pRC + 1

- Ul

- U1 l pRC + 1

- 11

R

Voraussetzung :-

idealer OperationsverstärkerR

mit U+ = U- (verschwindende- +

Eingangsgrößen!)U

U1 - U_

U_ - U2R

=

R

(i)

U+ = UipRC + 1

(ii)

H~ = U2(p)

_ 1 - pRCUl(P~

1 + pRC

Fi

- jwRC(lw)

1 + jwRC

und

1 " e-j2Arctan(wRC)

d . h., das Netzwerk beeinflußt nicht die Amplitude (Allpaß), sondern nur(Phasenschieber, Laufzeitglied)

Beispiele fürÜbertragungsfunktionen

IBI 16.2

Y2(P9 =

1

iZ2(p) = R2

+ PC2

die Phase

Originalfunktion :

( Zeitbereich)

KFA

Beispiel für System- und Übertragungsfunktion eines PI-Gliedes (PI-Reglers)

ua(t)

uRe duc= ue + ud - uRe ;

ik

= 0 = - + C-- inRe dt

k

k

ue

duc

1 r= - C - ;

uc(t)

_ - -Jue(t) dt + C'

Re dt

ReC

= 0 = uC + URr - ud - ua

Rr 1_ - ue(t) - - - fue(t) dt + C'

Re Re JC

1

lue(t) = üe s(t) : Sprungfunktion ; C = 0 ;

ua (t) : Sprungantwort

= ÜbergangsfunktionüekR 1

Annahme : Operationsverstärker sei ideal

in

Rr 1üe -

1

+-t 1(

c(t) _ - üe kR

1 +Re

R,C J

t

T1

ud - ~, 0

it,=0

u(t) = u usw.

E(t)

Institut für Grenzflächenforschung und Vakuumphysik


Faltungsintegral

ua(t) = ( ue(T) g(t-T) dT = ue(t) * g(t)

- 00

kRg(t) _ - kR S(t) - {T}, e(t)

= StoBantwort ( = h(t) ) mit TI =j1TIlI [TI]

I

ua(t) = ue(t) *

_ kR S(t) - kR

{TIlz(t)

k_ ' kR ô(t) * ûe e(t) _ file E(T)T E(t-T) dT

z(t) _I

-00

kkR ue(t) - fle T

f dTz

0

t

Bildfunktion :

( Frequenzbereich)

Übertragungsfunktion

KFA

=- fle

Rückkopplungszweipol : Z r~, = Rr + ..--

f

Eingangszweipol :

Z e(PZ . = Re

Z r(p2

Re

1 + plRrCH PI(PI =

= - -Z e@j

RrE_RrC


für

0

(t-T) < 0


LTIHPI(p) _ - kR

1 +

LTI

p--- Ebene

( s - Ebene)

Nullstelle : 1 + (v + jw) TI

lPolstelle

+ (a + jw) TI

(a + i(à) TI

Fourier-Transformation

kg(t) _ - kR ô(t) -T E(t)

iI}

1 kR

kR

1

1G(w) _ _ kR . 1

- _

~ S(fl + j - = - kR

1 +

-2

ITI

wTI

2 {TI

wTI

G(w)

Re {G(w)f

lm {G(w) 1

kR

_ _1 _kR 5(f) \ I TI

2 ITI,

= kR

w->0 ;6=0

1 2 1 2+

2'TT Ije 1 +

t-wTI 1

; w1

Im i~I(w>~n n + arctan

Re i HpI(w)i

= 2nf

jw

KFA Institut für Grenzflächenforschung und Vakuumphysik

65


G(w)

- k

I + (wTI)2

_R V (wTI)2

w > 0

12«ö) ( T

_90 _,

-180

-270 -

KFA

Bodediagramm

Ortskurve

00

n + arctan

~ Im

Re



Fachhochschule Aachen, Abt . JûlichBeispiele für

Übertragungsfunktionen

Bl 16.3

Bild rechts:Darstellung der ÜbertragungsfunktionH(w) des RC-Bandpasses aus Beispiel2 in der Form H(v) mit v = f/fo=w/wo und wo = i/RC

_ jwRCIi(w)

1 - wzRzCa + j 3wRC

H(v)

I H ~ (v)

9 + (v - 1/v

Bild unten:Vergrößerte Darstellung mit logarithmisch geteilter Abszisse

. .~ ... . . . . . . .. .. . . . . . . . . .y . .... . . . . . . .~ .. . ..... :. . . . . ..y . .. . .y . . . .y . . .t. . .~ . ...j . . . . . ... ... . . . . . . . .. ..j .. . . . . . . . . ..i .. ... . . . . . .. . .. .y . . . . .j . . .y . . .~. . .j . ...i . . .. ..... . . . . . .. . . ..j .. . . . . . . . ..j .. .. .

. . .j . . . .y . .. .j . . ....1... . ... . . .

~ . . . . . . . . .". .... . .y . . . . .y . ...i . . .< . . .i. . . . ..

v ~ 18

T .sH . . ..;.. .y . . .

. : . . . . . .. . . . . . . . .. . .. . .J . . . . . . . .. . . .y . . . ..... ;. . . . ... . . . . .'",....'",. . . .y .."

.3

. . . . . . . . . . . . . . ... .. . . . . ... . ...

.. . . . . . . . . . . .... . . . . . :. . . . ... . . . . . .j .. . .. . . .~. . ... . . .. . . . . .j . . .y . .

.2

. .

.1-



Beispiel 4 (Laufzeitfilter, analoges Transversalfilter)

s1(t)

fao

) tal

S2(w) = W IS2(t)1

nH(w) = >". ±av - ejw (vr) .

0

Si(t) °-^ Si(w)Sl(t - T) °

' Si(w)

-jors l (t - 2T) .,̂-----~ Sl(w) . ejw2rSl(t - 3r) a----. S1 (w) . e-jw3r

sl (t - nr)

Sl(w) . ejwnr

Beispiele fürÜbertragungsfunktionen

IBI 16.4

S2(w) = t ao S1(w) f a1 S1(ù) e-jwr t a2S,(w)

. ejw2T .. .. . ± an S1(w) . eiwnT

$1(w) [ ±a0 t a1 - t-j" t a2 " e-jw2r ,. . . .. tam . ejwnr]

Dies liefert für die Übertragungsfunktion des Laufzeitfilters den Ausdruck

S2(t)

Verzöge~~rungsglied,z.B . Allpaß ausBeispiel 3

(/) fav Koeffizientensteller

Dieser Ausdruck gleicht im Aufbau der Übertragungsfunktion eines nicht rekursivenDigitalfilters, bei dem die Verzögerungen durch Registerstufen realisiert werden.

68

69

3


3 .5 Übertragungs- und DämpfungsfunktionDämpfungs- und Phasenmaß,Phasen und Gruppenlaufzeit

Prof . Dipl.-Ing . W. JANSEN

Übertragungsfimktion undFachhochschule Aachen, Abt. Jiilich1Dämpfungsfunktion

Definition: D(w) = U1(w) =

1

bzw.

D(E) = U-1e

=

1M 2(O)

H(w)

U 2(p)

H(12)mit

D = D - e YpD

(Dämpfungsfunktion)

(1)

und

H = H - e jpH

(Übertragungsfunktion)

(vgl. Blatt 14)

alternativer Ansatz:

_D = e-i

mit

g = a + jb.D = e(a + ib) = ea , ejb

(2)

Der Vergleich von (1) und (2) liefertD = ea

und

ejpD = ejb.Unter Beachtung der Frequenzabhängigkeit von n(w) folgt z. B.

a = a(w) = In D(w) Np = - In H(w) Np

(> 0 für U1 > U2)(DämpfungsmaB in der Pseudoeinheit Neper)

b = b(w) = pD(w) = - pH(w)(Dämpfungswinkel oder Phasenmaß).

Es ist üblich, das Dämpfungsmaß durch den dekadischen Logarithmus zu beschreiben

a(w) = 20 lg D(w) dB = 20 lg U) dB.

(Pseudoeinheit Dezibel).

Für ideale Übertragungssysteme ist das Dämpfungsmaß a frequenzunabhängig konstant,das Phasenmaß wächst proportional mit der Frequenz:

a $ f(w) = const .

und b(w) = te - w

bzw. tp = w = const .

(te = Phasenlaufzeit)

In realen Systemen ist das Dämpfungsmaß a frequenzabhängig und ebenso die Phasen-laufzeit tp . Die Phasenlaufzeit ist eine reine Rechengröße . Eine Aussage über dieLaufzeit von nachrichtentragenden Signalen über ein System, deren Spektrum stets einFrequenzband belegt bzw. eine Frequenzgruppe bildet, liefert die Gruppenlaufzeit tg

tg = dw 'Für reale Systeme genügen zur Übertragung ohne Dämpfungs- und Phasenverzerrungendie beiden Forderungen, daß das Übertragungssystem im Frequenzband der zu über-tragenden Signale sowohl 1 .) ein konstantes Dämpfungsmaß als auch 2.) eine konstanteGruppenlaufzeit aufweisen muß.

<

Die Darstellung von a(w) und b(w) erfolgt gewöhnlich im Bode-Diagramm . (s. Beispiel)

0,01

0,1

1 2 4 10 W~100

0,01

0,1

1 2 4 10 w-> 1009

9

BI 17

1 40

a 30dB20

n71

2brad nM4

1030

71 i0

3


3.6 Kausalität und Stabilität von SystemenSchwingungserzeugung

Prof . DiplAng . W. JANSENni

Fachhodischule Aachen Abt Jülich'

~

18.1, .Kausalität und Stabilität von Systemen

Systemmodelle

1 .) Kausalität

2.) Stabilität

Offenes System

Geschlossenes System

LTI-System

Dies bedingt: (vgl. Bild 10)

mit kl, k2 beliebige relle und endliche Konstanten.

s l (t) = 0

für t :5 to liefert unter allen Umständens2 (t) = 0

für t s t o ,wobei s2(t) Antwort (Reaktion) auf sl (t) als Ursache ist.

s l (t) I

<_ klliefert unter allen Umständen

( s2(t) ( :5 k2

Ein stabiles System besitzt eine Übertragungsfunktion H(p), deren Pole in der linken(abgeschlossenen) Halbebene liegen müssen.

Alle stationären Zeitvorgänge klingen dann beim Durchlaufen des Systems ab (siewerden gedämpft) oder behalten (wenn die Pole auf der imaginären Achse liegen) ihreAmplitude bei.Stabilität läßt sich durch Gegenkopplung (Minuszeichen im Rückführungsweg)verbessern, Mitkopplung kann zur Instabilität führen, d. h., es gibt eine Wirkung ohneUrsache .Das Prinzip der Mitkopplung wird zur Schwingungserzeugung (Sinus-Oszillator) ausge-nutzt. Das mitgekoppelte System bewirkt eine Entdämpfung dahingehend, daß die

Gesamtübertragungsfunktion Pole auf der imaginären (jw-) Achse aufweist. Die erforder-liche Entdämpfung wird durch Einfügen eines Verstärkers erreicht.ln diesem Fall gilt:Es gibt ein 1 s2(t) 1

s k ohne sl (t). Um diese Bedingung einzuhalten, ist eine Ampli-tudenregelung erforderlich, damit s2(t) nicht über alle Grenzen ansteigt bzw. auf denWert Null abklingt. Dies ist gleichbedeutend mit einer Stabilisierung (Fixierung) derPole der Übertragungsfunktion auf die imaginäre Achse.

LTI-SystemS2(t)

LTI-Rûckführungssystem



Beispiel RC-Oszillator (Wien-Brücken-Oszillator)

o-U, 1

Mit U3 = Ui wird die Gesamtübertragungsfunktion Hl(jw) - H2Gw) =

Beispiel 2, Blatt 16 .2, liefert für

jwRCHi(w) y 1 -w2R2C2 + j 3wRC

Für den Verstärker gilt (nichtinvertierende Grundschaltung)

Die Forderung

H2Gw) = v GO) = 1 + R

= v.2

Hlilw) . HAw) = 1 =

liefertj oRC - v = 1 - w2R2C2 + j 3oRC .

Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil dieser komplexen Gleichung erhält manschließlich den erforderlichen Verstärkungsfaktor v des nichtinvertierenden Verstärkerssowie die Schwingfrequenz fosc zuIm.Teil : v = 3

Re.Teil: wRC

Kausalität und Stabilität von Systemen

H3(w)

H2(w)

jwRC - v1 - w2R2C2 + j 3oPC

Ri = 2 R2

fosc =

12nRC '

a

mi

B118.2

U2

Die erforderliche Amplitudenstabilisierung wird in der Praxis ohne großen Aufwandhäufig dadurch erreicht, daß z. B. der Widerstand R2 als Kaltleiter (Glühlämpchen)ausgelegt wird.

75

3


3.7 Verschaltung von Zweitoren (Vierpolen)Reihenschaltung , Parallelschaltung . . .

Reihenschaltung von Vierpolen

Vierpolgleichung in der Z-Matrizenform :

U1 )= 1 Z11 Z 12 Il

( I1

( U 2

Z21 Z22

I 2

Bestimmung der Matrizenelemente :

U1

_

_U1

U2U 2Z11

I lI I

=o

Z12

= ~'I

=o

Z2T

il'I

=o

Z22

r2II1=o2

1

2

Reihenschaltung :

--G

1 2=

12_ I2I

1 - 1

U 1-_ U i + U 1ü 2

=U2 + U2

ilUi +Uï )

Z11 + Z 1

Z12 + Z 12

I 1

U2 + UL ` Z21 + Z21

Z22 + Z22

12

LIIZII=IIZIII+IIZ"Il


Vierpolgleichung in der y-Matrizenform :

Parallelschaltung von Vierpolen

1 1 )Y11

Y12

U1 )

1 2

Y21

Y22

U 2


Parallelschaltung :

U 1= U 1

=U1

U 2 =U2+U2

I 1

=

I 1

+

I 1I 2 = I2 + I2

IIYII =IIY'Il +IIY"II


__Y n+Y"1 Y

'12 +Y~~12 U 1

Y 2i+Y2 Y 22+Y 22 , ( U �c .

Kettenschaltung von Vierpolen

Vierpolgleichung in der A-Matrizenform

1 1

(A 21

A22

~

1 2

.l


U 1U 1I1

_ 1-A ll

U2 ( I =o A 12 = - l U =o A 21 = U2 I 1 =o A22

I2 U2=o2

2

2

Kettenschaltung :

II A' II0

2AII=IIA'll~


U 1= U 1

1 1 1

U i= U 2

~ I 1-"U2 = U 2 " 1 2

= I1t

= 1 2 '

= 12°

u l Ai, A12 Uz ~2 A il A 12 ( U 2

1 i .A21 A22 1 2 ( h A21 A 22 1 2

U 1 All A12 A ll A" 12'U2

1 1 Agi A22 A21 A.22 I2 '

Al (yP)

UK(4') =AK(y') .UK-,(y )

KrA

Kaskadenschaltung gegeneinander

entkoppelter Vierpole

A2(yP) W24) A3(,p)

.U3(y)=A3(y'),U2(y)

U2(y') = A2 ( y,P Ul (y')

Ul (y)=A, (y) -Uo(y)

AK(41) _ Übertragungsfunktiondes Vierpols k

AK(w) jUK(Y)

y' = Jw im Komplexen4' = P bei Laplace Transformationw = z bei z-oder Bilineare

Transformation


81

3


3.8 Analogrechnerschaltungen

Analogrechner- Programmierbeispiel -

Anfangswertproblem :

d2

y(t)+k2 d y(t1 + kl y(t1=x(t)dt2 dt

2

dt2

y (t) = x (t) -k2 'dt

y(t)

- ki y (t)

Bei der Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen

ist diese Methode ebenfalls problemlos anwendbar !


Analogrechner

Grundpri nzip :

Nachbildung mathematischer Probleme durch einelektrisches Analogon in kontinuierlicherArbeitsweise .

Rechenelemente des elektronischen Analogrechners :

Parabelmultiplizierer,Funktionsgeneratoren


85

4 Signalverzerrungen


FachhochschuleAachen, Abt. Jülich

SignalverzerrungenIdeales, verzenrungsfreies Übertragungssystem BI 19.1

Verfälschungen des Ausgangssignals eines Übertragungssystems gegenüber dem Eingangs-signal werden als Signalverzerrungen bezeichnet . Ursache hierfür sind die elektrischenEigenschaften des Übertragungssystems, über das die Signale laufen und die z. B. imFalle des LTI-Systems durch die Übertragungsfunktion _H(w) gegeben sind.Für nichtlineare, zeitinvariante Übertragungssysteme muß die Charakteristik der Übertragungskennlinie s2 = f(s 1 ) herangezogen werden, die die Aussteuerfähigkeit des NLTI-Systems beschreibt und für einen gegebenen Arbeitspunkt durch eine Potenzreiheangenähert werden kann.Ein Übertragungssystem ist verzerrungsfrei, wenn es durch die Gleichung

s2(t) = k si(t - At)beschrieben werden kann. Hierbei ist k ein Proportionalitätsfaktor (--> lineares System),der eine konstante Verstärkung oder Dämpfung des Signals wiedergibt. Wegen der end-lichen Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Vorgänge ist eine Zeitverzögerungvom Systemeingang zum Systemausgang unvermeidlich und somit nicht als Verfälschunganzusehen . Das folgende Bild stellt diesen Sachverhalt dar.

s i

-22~

-

s iLTi-System

tVerhalten des idealen, verzerrungsfreien Systems

At

Wegen der geforderten Linearität besitzt das ideale, verzerrungsfreie Übertragungssystemeine Übertragungsfunktion z. B. in der Form

H(w) = k éjwAt

bzw. eine Dämpfungsfunktion

D(w) = k e>-et = ea(w) elb(w)

Daraus resultieren drei Anforderungen an das ideale, verzemmgsfreie Übertragungssystem

2.) b(w) = w At (Proportionalität)3,) k

= const., endlich (Linearität)

Signalverzerrungen

s2

Abweichungen von diesen Forderungen sind Ursache verschiedenartiger Verzerrungen desSignalverlaufs am Systemausgang. Lineare Verzerrungen, die in linearen Systemen auftre-ten, verändern Kenngrößen der Signale in Abhängigkeit von der Signalfrequenz. Nichtli-neare Verzerrungen, die in nichtlinearen Systemen entstehen, bewirken, daß sich dasSignalspektrum (Frequenzgehalt) am Systemausgang von dem am Eingang werteabhângig(aussteuerungsabhängig) verändert.

lineare Verzerrungen

\nichtlineare Verzerrungen

Dämpfungs- Laufzeit- reguläre

Hysterese-(Amplituden-) (Phasen-) nichtlineare nichtlineare verzerrungeVrzenungen

verzemmgen Verzerrungen Verzerrungen



SignalverzerrungenLineare Verzerrungen

IBI 19.2

Für ein LTI-System und für einen gegebenenWert k sind die Anforderungen 1 .) und 2.)aus Blatt 19.1 im Bild rechts graphisch darge-stellt. Die Verzögerungszeit At = b/cu stelltdie Signallaufzeit durch das Übertragungssy-stem dar, z. B. die Laufzeit eines Phasenpunk-tes einer Schwingung. Sie wird deshalb auchals Phasenlaufzeit tp bezeichnet. Sie ist imFalle des idealen Übertragungssystems iden-tisch mit der Gruppenlaufzeit, die als tg =db(w)/dw definiert ist. Sie hat besondereBedeutung für Modulationsvorgänge, bei de-nen die Signale in Frequenzgruppen auftreten.Das ideale, verzerrungsfreie System ist somitbeschreibbar allein durch die Angaben

a $ f(w) = const.und

tp = tg * f(w) = const.

Reale Systeme erfüllen diese Forderungennicht bzw. nur in einem beschränkten Fre-quenzbereich. Mögliche Übertragungskenn-größen a, b, tp und tg für ein reales System(Bandpaß) sind im nebenstehenden Bild dar-gestellt .Ein solches Übertragungssystem mit den ange-nommenen Übertragungskenngrößen würdenur in einem relativ schmalen Frequenzbe-reich B die beiden Forderungen a = const.und = const . erfüllen . An den Ränderntretensowohl Dämpfungs- als auch Laufzeit-verzemmgen auf. Sie können bei Bedarfdurch (ggf. sehr aufwendige) Entzerremetz-werke gemindert werden .

Tabtptg

w -->Die Ûbertragungskenngrößen a, b, tp undtg des idealen Systems als Funktion von w

tg

B -~

wAngenommene Übertragungskenngrößena, b, fp und tg eines realen Bandpaß-systems als Funktion von w

88



SignalverzerrungenNichtlineare Verzerrungen BI 19.3

Nichtlineare Verzerrungen treten auf, wenn der Zusammenhang zwischen zwei abhän-gigen Größen eines Übertragungssystems (z. B. Ein- und Ausgangsspannung) nur übereine nichtlineare Kennlinie erklärt ist. Ist diese Kennlinie stetig gekrümmt, dannentstehen reguläre, nichtlineare Verzerrungen. Beispiele hierfür sind analog wirkendeHalbleiterschaltungen, die alle einen beschränkten Aussteuerbereich aufweisen. DieAuswirkungen dieser Art Verzemmgen lassen sich durch Gegenkopplung mindern.Weist die Kennlinie eine Feinstruktur auf, wobei sie im Mittel linear verlaufen kann,wie z. B. die Quantisierungskennlinie eines ADU, dann ist sie Ursache für irreguläre,nichtlineare Verzemmgen . Die Quaatisierungsverzerrungen lassen sich durch einegeeignet gewählte Anzahl von Quantisierungsstufen auf beliebig kleine Werte verringern .Hystereseverzemmgen treten auf, wenn der Zusammenhang zwischen den beidenabhängigen Größen des Übertragungssystems mehrdeutig ist. Sie werden durch eineHystereseschleife miteinander verknüpft. In der Übertragungstechnik sind Bauelementemit ferromagnetischem Kernmaterial Verursacher derartiger Verzenungen . Sie lassen sichauf ein zulässiges Maß verringern, wenn das Bauelement nur im sog . Rayleigh-Bereich(dies ist der Bereich in unmittelbarer Nähe des Ursprungs) ausgesteuert wird.

Ue

k=

Die Kennlinien nichtlinearer Übertragungssysteme

Die Wirkung nichtlinearer Verzerrungen ist generell die, daß im Ausgangssignal desnichtlinearen Systems Frequenzanteile enthalten sind, die im Eingangsspektrum nicht vor-kommen .Für ein z. B. sinusförmiges Eingangssignal ue der Frequenz fo bedeutet dies, daß imAusgangsspektrum des nichtlinearen Systems in der Regel neben der Grundfrequenz foOberschwingungen mit Frequenzen nfo enthalten sind : Dies bietet die Möglichkeit derQuantifizierung nichtlinearer Verzerrungen durch Messung. Das folgende Bild zeigt daszugrundeliegende Konzept .

UalU1U2 U3

T

-rU4

fo 2fo 3fo 4fo

f

Als Maß für die Stärke der Verzerrung dient der Klinfaktor k . Er ist festgelegt als

U22 + U32 + U42 + .. . + Un2

U12 + U22 + U32 + U42 + ... + Un2 .

5

Digitale Verarbeitung eindimensionaler Signale

5.1

Quantisierung von analogen Signalen imZeitbereich

5 . 1 .1 Abtasttheorem

,Diyltale (nurr~er~sche~ gerarbeitûrl9onaloyer Sign4le

xu,

Abtastspannung

II

II

I I II I II _yI ~

tT

Flbgetastetes s~qr~. Xn

=S~gnalfolge

pe.riodischesSpeztrum ders~gn4ljolge Xn

NumerischeNachbl%dungeines e%etr.Netzwerees

PfinZioléller Aufbau einer Einrichtungzur digi'tolen ~erdrbe~'turag anolager Signale


J@de vale founértrar~sforr~~èrbareZtittù~kt~ôn

mit absolat integrq.blem F(W)Kann mitjeder gewûr7sohten Genau~y,~~~tdurch eine zoiilVnf-t1;017

�cv+

f(t) ,

,âr F(rv)e

r~.c~w

-wf

mit bgno'begrenztsrr~ Spektrum fwlapproxtmiert wardsn


Rbta.~ttge®rerrr

~~~dirnensiôndl~r b~ndbegrenzter S~ynol~

Ivir Whillweer1,q3,q kotelniko v

~9Z8 Nyquist

I9#g 3/hannor7

Zum Pbtostiheorerr7ZUM

bona'begrenzter S~gnole- ~°er~ôa'ische Fortsetrung a'es Spektrurns

.L7ié penodisohe Fortsetzung der S,oeZ-trot -~un~tiôn ou/3erholb des lntegrozìons -bereiches r w, ist ohne Eii77Cu/3 4014 7

dos /n te grol

und etrnôyzl'cbe o'Ié Dorstellungder period~sehen Spek'trol~un,Ftiôr~durch diè Fouti~rre~he


Zum Abtasttheoremeindimensionaler bandbegrenzter Signale

-- KoeffizIententestferung -

Die Koeffizienten An leôr7nen unter Ausnutzungder OrthogorraZ1tôt für In -17 bestiirrmtwerden zu

+wj

F

.2

E F/~rh-mJ,a

~- ne df

n_ to

- lot

fWf

- FmJ

dio = 2wf - Fm

W,,

,Die linke Seite des Integrals stellt aber auchbis auf den Fa72tor -' die A rox~i~ratiâns -gleichung fûr die Ze~tpur72tep t= mX dopd. h.

eJw (m47.

7

f~t=ll7

~~ZrfF~w~-

a'raWf

Fm =-7 f (m-x6v, w>


Zum Abtasttheorerne~ndiinensionaler bandbegrenzter S~gnale

Alunmehr ist

°°

~n7C7r cv>

FI

= ii ~1 f (n-) . ecu -f

M

Jie approxirniél-te Zeitgleichung°°

JnxAL

Jwtf(-t9 = 21rf C

~w/1 f

(n1012

1e dto

Nach Vertauschen von ir7tegratior7 undSUMn7GYJI!Jn ergibt sich dié FarrneLzur ~e~t'onstru~t~ôn der lConfi~uiérLichenZeitfun,C~fiônS0n7pZii7y - j2e177e

f(t) =Z f(n .Ta)

sin 7(T -n)77'(t -r7)

Ta

2'a =r ist d.Ie Abtastzeite107

Das Signa! iat darnii` auch zwischen den

Abtestwerten eindeutig festgelegt`0


5


5.1

Quantisierung von analogen Signalen imZeitbereich

5.1 .2 Transformationen

Funlltionaltransformation von Fotger7-1Ihre Verwandtschaftmif der 1oplace-Transformatiôn-

Begnffsfesttegungen- Abtastung (samplii7g) ist der Yovgang

zur Besümmum der Folge fr, aus derFun,'tion Fett

- F<t> ist d~é Bi%YfunKtiôn od. Z-TransfornrIPrteder Folge - auch 0,-,(iirratfoee -fr .

E~~seit~ge Laplace - T~ansfo~rr~atiôn

Fe-p00

) = ff(ij e -"2tdt0

DisKrete Laolace - Transformormation �Laplrrce -Transformation von Rbtastfotgen,Dlrichlet - Tansformation

F(ep) ^

f�e-pn

rn=o

.~ - Trcrnsforrnat~ôn00FIZ)

~~fn, -n

/7-o


Ausgewählte Beispiele von z-Transformierten

fn=1

n=0fn=0 n00

fn~0

Z {fn } =571. Z-nn=o

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n'Einzelimpuls

fnl~

1 nu0

1

2

3

4

5 6

7

8

'rverschobene Sprungfunktion

fn=1 n?0fn=0 n<0m

Z (fn)=2:z-n =ZZ 1 " jim (1-Z -(n+1»

geometrische Reihe

fn=1 n>lfn=0 n<2

Z fn}=~z-"--(1+Z-1)+ Z iiM(l-Z-tn+1»n=2

n-aogeometrische Reihe

Ez,(fn) Z-1

Z-1

ZENTRALLABOR EÜR ELEKTRONIK

Eigenschaften der Z-Transformation

- Verschiebung der Originalfolge -

Erster Verschiebungssatz :

m

m=n+k

00

Z{f(m-k)}= 5 f(m)Z -m = 37 f(n)Z- (n+k) = Z-1

Ef(n)Z

m=k

n=o

n=o

Wird zwischen n und m nicht mehr unterschieden :

[Z {f(n-k)} = zk. Z {f (n)

f(n) ist damit die um k-Abtastwerte nach links

verschobene Folge f(n-k)

Zweiter Verschiebungssatz :

f (n+k) t

c o 4 ~~ ? î î

-_

Zk57 f(n)Z-n_n=o n=o

m=n-k

f00

(n)2- (n- k) _ f f(n)Z-(n-k)M=n

n=o

n-o

-Summenanteil, derbei m < o nichtexistiert !

f(n)Z .n

J tZf f(n+k)} =zk [Zlf(n)1 -

mFf(n)-z-n]n=0



- Transformierte der ersten Differenz -

Definition einer Vorwärtsdifferenz :

Z-Transformierte :

nf(n)=f(n+1)-f(n)

Z{of(n)} = Z{f(n+1)-f(n)} = Z{f(n+i)} - Z{f(n)}

Bestimmung von Z(f(n+1)} : .

Z -1

Z{f(n+1)}

= Z{f(n)}-

f (o)

Z{f(n+1)} = z Z{f(n)~ - z f(o)

Z{nf(n)} =(Z-1) Zff (n)1

-Z.f(0)

Z{f(n+1)} _ 7 f(n+1) Z -n = f(1) + f(2) Z-1 +n=o

f(3) Z -2+ . . . .

Z -1

Z{f(n+1)}

= f(o) + [ f(1) Z -1 + f(2) Z-2 + . . .]- f(o)

Ergänzung

Ergänzung



- Transformierte von Differenzen der Ordnung K -

Differenz zweiter__ Ordnung-

o2 f (n) =,&f (n+1)-nf(n)

Differenzen der Ordnung K :

ok f(n) = Afk-1(n+1)-nfk-l(n)

K=IN

Für die Z-Transformierte gilt :

k-1Z {nk f (nt} =(Z-1)k Z {f (n)} - Z. 57 (Z-1) k-'-12 f (0)

i =O



- Linearität -

Gibt es die Z-Transformierten Z{fi(n)} füri = {0 ;1 ;2 . . .1} , so kann die Summe der mitkomplexen Koeffizienten c i gewichteten Folgenfi,n durch die Relation

Z{t c i fi(n)}

=

Z ( 5

c i fi(n))Z -n =

-ci

Y- fi(n)Z--m,=o

n=o i=o

i=o n=o

f (n)

transformiert werden .

Beispiel

Z { Ic i fi (n) } = Èc~Z ff; (n)}=o

i=o

fi (n) t112411111111

f

012345678-*>

Z{fi(n)} + Z{k(n)} =

1 Z ZZ-1 + T+7~


(nlt f2 (n ) =l12 - (- "11,2

_

1 3 5 7

-l122 4 6 8 --~

n

1[Z{1} + Z {( -1) n )]

:Faltung der Folgen f (n) und g(n)

Definition : n

h(n)= 2: f(k) - g(n-k)k=D

h(n)=f(0) g(n)+f(1) g(n-1)+f(2) g(n-2) . . . . . . . . . f(n)g(O)

g(-k1-ik, h

liflii?g i

umfetten

0g (n-k )

--n -i

f (k) g(n-k) ,00G3%

n57 f (k) fln-klk.0

ks



- Multiplikation von Z-Transformierten -

Z{f(n)} "Z{g ( n)} =1: f(n)~z-n 5-g(n) .z-nn=0 n=0

[f(0)+f(1)'z1+f(2) .z2+f(3) .z3 . . . . ..1

* [g(0)+g(1)-z1+g(2) z2 +g(3) z3 + . . . . .1=

f(0) .9(0) l+f(1)9(0)'z 1 ! +f(2)g(0).z2 1+f(3)g(0) -z31+ . . . . . .

f(0)g(1 )'. z'

+f(1)g(1) .z21+f(2)g(1)-z31 + .. . . .

f(0)g(2).z-21+f(1) g (2 ) .z31 +. . . . .

1 f(0)g(3)-z3 1 +.. . . .

00 n

= 1:

7 f(n-k) '9(k)'z-nn=0 k=0

Summe einer Spatte für n=con

Z

f(n)

-Z{9(n)} _ "0

nE Ef(n-k)-g(k).z-nn=O k=0

Multiplikation _,.Faltung imim Bildbereich Orginalbereich


104

Fourierintegral+oo

-00

inverse Fourier-Transformation+Co

s(t) =

s(f) ej2nft

=

1

fs(W) e jwâwf

2nJ _

Diskrete Fourier-Transformation

_

s(nT) e J(2nam)/N ; m = 0 , 1NT

S -- ( NT

Inverse diskrete Fourier-Transformation

1 -atBeispiel Fourier-Transformation : s(t) = - e

2

=1

+fe~a 1 t1

ej2nft

dt =

1r+ e~-a1 t i

cos(2nft) dt -.!

re-aiti

-

-

-sin(2nft)dt2-oo

n=0

j2nfte

dt ;

10 5

m

dt< - ;

. . . , N-1 ;fm =

2-00

NT

sn


t

f

Berechnung des Fourieriutegrals durch Rechteckintegration (Näherung 11)

s(t)

t --> nT, dt -> T, T = Abtastzeitinterval

In(f) =

KFA

-ats(t) = 1/2 e

n=0

-->TF-

t

-j2nfT - 1 °°

-j2nfT S(f)

s(nT) cos(2nfnT) - jy s(nT) sin(2nfnT) ;

1 . Sn(f) ist reell und gerade, wenn s(t) an den Abtastpunkten gerade ist ; (sn_

=s-n)2. Sn(f) ist imaginär und ungerade , wenn s(t) an den Abtastpunktenungerade ist ; (sn=-s-n)

3. Sn(î) und In-(-f) sind konjugiert komplex ;4. Sp(f) ist über f periodisch mit der Periode 1/T, d.h. Sn(f) = Sn(f+m/T )Reale, diskrete Fourier-Transformation

t N-1

j(2nfnT)(endliche Anzahl Abtastwerte7

S(f)(T)n = '> sn e

_ n=0N Abtastwerte - N Teile (reelle und imaginäre) von_

Sn(f) sind umabhängigf ist in Sp(f) kontinuierlich und kann natürlich nur diskret sein fm = m/(NT) ;

N-1_m 1 _

- 1vn- nT)Sm

-S

( NT'

Y, s(nT)e

NT

; m = 0,1,2, . .. , N-1


f -4 Y

1

1

a 1+(2nf/a)2

T


Bisher einfacher, plausibler Übergang vom Fourierintegral (= FT) zurdiskreten Fourier-Tranformation (= DFT)

Im folgenden Ableitung der DFT mit Hilfe der verallgemeinerten Funktion b(t)s(t) =a-coslswPL)

S(FJ=Z~d!{-p)fd({+TPJ3a

.i (Y)

A A 1 . .

t.~e F

V -iv UU 4.

-pTp

(befrenztet 'Tp-~

(oo auS9eC{elv+G J

d1sGreEeS "~ekGrrrn~

$2~I'PJlZlü14 YORSCt) UH ~t°~69'L°t~da~tlalZec .t~andl~

l8~ltlTpJ"SIEI, T.P

o£. zcsto/j,ee: T=Abb5r.SEaect

2~~~p~'slt)"~dit-nT)y_-"o

Î~1 .

NI ~ Tj

r

-T

Tt(~c(oet~ aoaus~a~Pl+ntj

AbttrSfurrgderfmZectbUPlch (xx~renzfenZecËiruvß(sor~mcEerne~ Gr%rzcs6o,BF~e00

T~oSGi?{~e)kfCFJ~T~~T~


10 7

KFA


riPipr~

11109

. . . ~fifififi~`_''t-i-tfifil . . .A_ Z

. f. .r

7P rFDie obige Abbildung zeigt den realen Fall TF*Tp . Es treten nicht nur zwei Frequenz-linien bei der Multiplikation von kontinuierlichen Spektrum Sk(f) mit der Diracstoßfolgeauf, sondern mehrere, obwohl die Fourier-Transformierte der-Cosinusfunktion nur auszwei Frequenzlinien besteht. Dieses Phänomen wird Leckeffekt (leakage) genannt undhaftet der diskreten Fourier-Transformation wegen der erforderlichen Zeitbegrenzung(Zeitfenster) an.Da die Fensterfunktion Einfluß auf die Selektivität der DFT ausübt, wurden verschiedeneZeitfensterfunktionen optimiert.

. P-+

An Hand der Abbildung des Betragsspetrum der Si-Funktion (Fouriertransformierte desRechteckzeitfensters) lassen sich Beurteilungskriterien für ein Fensterspektrum ablesen.Sie sind

- Breite des Hauptfrequenzbandes- Genauigkeit der Amplituden- Form der Spitze des Hauptfrequenzbandes- Abnahmerate der Seitenbänder- Relative Größe der Seitenbänder



D~rr7LS~l.~TrC~e"

)(Ta) f P L`-0r(t-N'P)

tel t

((f%p

11109n . .ce

t

,, fP

T 'PAbtasiw~7 «»rrecyue»zbereidl mtte,~7&-r oc ncSiâl.~Tot9e

Die skizzierte Herleitung läßt erkennen, daß die Fourier-Transformation mit der dis-kreten Fourier-Transformation indentisch ist (bis auf einen Faktor), wenn sie folgendeBedingungen erfüllt2 Die Zeitfunktion ist bandbegrenzt und periodisch.

Die Abtastfrequenz ist mindestens zweimal so groß wie die höchste vorkommendeFrequenz.

3) Das Zeitfenster (hier rec(t/TF) ist nur über eine volle Periode (TF = Tp) derZeitfunktion s(t) oder über ein ganzzahliges Vielfaches von Null verschieden.

Die nebenstehende Abbildung zeigtnoch einmal vergrößert den Zusam-menhang für den Fall TF=Tp. DieNullstellen des kontinuierlichenFrequenzspektrum koinzidieren mitden Dimestößen und nur an denStellen, wo die Frequenzlinien imFourierspektrum der Cosinusfunktionauftreten, sieben die Diracstöße mitHilfe ihrer Siebeigenschaft aus demkontinuierlichen Spektrum dieSpektrallinien aus (FT = DFT) . - 1

r u~19

ïp Tp


109


Die folgende Tabelle stellt einige Daten von Zeitfenstern im Spektralbereich gegenüber.

Aus dieser Tabelle ist ersichtlich, daß z.B. das Rechteckfenster einen hohen Abtast-fehler und geringe Nebenzipfeldämpfung aufweist aber eine gute Frequenzseparierung.Das Hannfenster dagegen besitzt einen mittleren Abtastfehler und eine hohe Nebenzip-feldämpfung und wird aus diesem Grund für die Analyse periodischer Signale mitSpektralkomponenten mit geringer Amplitude benutzt (und andere mit hoher Neben-zipfeldämpfung) . Für die Zeitfensterauswahl existiert keine allgemeingültige Regel.Für die Analyse transienter Signale kann natürlich nur das Rechteckfenster verwendetwerden, wobei die Zeitfensterdauer von Null verschiedene Signalanteile abdeckenmuß .

Schnelle Fourier-TransformationDie Schnelle Fourier-Transformation (Abkürzung ; FFT = Fast-Fourier-Transformation)stellt keine neue Transformationsart dar. Sie ist einfach ein Algorithmus zur Berechnungder diskreten Fouriertransformation. Die FFT ist deshalb von Bedeutung, weil durchEliminierung von Wiederholungen in der diskreten Fouriertransformation eine schnellereund im allgemeinen auch eine genauere Berechnung erreicht wird da Rundungungsfehlervermindert werden. Im folgenden soll die FFT für Abtastwerte N'=2q , geIN darge-stellt werden.


Fenster- 3-dB-Grenzefunktion

maxima-ler Ab-tastfehlerin dB

HöchsterNeben-zipfel indB

Abfallrateder Neben-zipfel indB

äquivalenteRauschband-breite

Rechteck 0,89- Of 3,92 -13 6 1,00 - AfDreieck 1,28 - Of 1,82 -27 12 1,33 - AfHann 1,44- Af 1,42 -32 18 1,50- AfHamming 1,30 - of 1,78 -43 6 1,30 . ofBlackman 1,68 - Af 1,10 -58 18 1,73 - ofexakt. - AfBlackmann

1,52 1,33 -51 6 1,57 - Af

Kaiser-Bessela= 2,0 1,43 . ofa= 3,5 1,83 . of

1,460,89

-46-82

66

1,50 . Af1,93 . Af

Gaußa=2,5 Afa=3,5

1,33 .1,79 . of

1,690,94

-42-69

6 1,39 - Af6 1,90 . Af


Diskrete - Fourier-Transformation

mS

NT

N-1

s(ÊT)eJ(2n-rffn)/N ;m=0,1 . ..,N-1 ;fm=-

m

NTn=0

Signalflußdiagrammfür N = 2

50

SI

n=0-in

N=2 ; W.=e

: SO = so W2 + S1W2

2N komplexe Multiplikationen

Der Signalfluß ist von links nach rechts . Eine durchgehende Verbindung zwischen zweiPunkten (Startpunkt, Summationspunkt) stellt eine Multiplikation des am linken Punktanliegenden Signalwertes (Rechenwertes) mit 1 dar. Eine unterbrochene Verbindungrepräsentiert ein Produkt des am Beginn der Verbindung anliegenden Signalwertes mitder Potenz Wn, wobei n der Exponent der Potenz ist, durch die die Verbindung unter-brochen wird .

Im !

1 0 n n-N/21

o

N=2q; q EIN ; -W2 = W2 ; -W2 = W2

N/22 W2

~ 1/ 2 N q = 1 komplexe Multiplikationen ;

Eine einfache Abschätzung für den Rechenaufwand ist die Anzahl der komplexenMultiplikationen.

! q

J(2n/4) Jn/2N=4=2

; q=2 ; W4=e

= e

;

Sm =

so 1 + Sl W4 + s2 W4 + s3 W4

so l + sl W4 + s2 W4 + s3 W42 --------- 4 -------- 6

so 1 +slW4+s2W4+s3W43 6

9so 1 +s1W4+s2W4+s3W4

SOS,

=So

= S1

= 12

S3

Sl = so W2 + S1W2

N komplexe Additionen

SO = so 1 + S1W21 (G1.0)

Si = so 1 + S1W2

(siehe Signalflußdiagramm und Gleichungen Gl.0)

3

n=0

0

nmS, W4

; m = 0,1,2,3

Im3 7

W4=Wa

W42 =w4

W4w4

-1 1 Re_) W41 W45

W49



Die zyklische Eigenschaft der komplexen Exponentialfunktion liefert die Redundanz derProdukte z . B. :

1

-jn/2

_jn/2 5

5W4= e

= (e

)= W4

SO 1 +S2W4+s 1 1

+S3W4 =S0

SO 1+S2W4+Sl W4+S3 W4 =S1

SO 1 +S2W4+s 1 W4+S3 W4 =S 2

SO 1 + S2 W4 + s1 W4 + S3 W4

= S 3

0(SO1 +S2 W4)1 + 1(s11 +S3W4)1'W4=S0

s 1 + S W2 1

2

1 ( SO 1

+ S2 W4 )

+

(S1

1 +""S3W4

)°..": .w40

=

( SO 1 + S2 W4 )

+

( S1 1 + S3 Wq )

" W4 =

Signalflußdiagramm für N = 4

KFA

S 2

S3

n n_N/2-WN = WN

; n >_ N/2=> 1/2 N q = 4 ; (siehe Signalflußdiagramm)Bitumkehr der Indices der Eingangswerte

SO SI S2 S3

00 01 10 11F E- ~ F00 10 01 11SO S2 Si S3

Der linke Teil des Signalflußdiagramms besteht aus zwei untereinander angeordnetenSignalflußdarstellungen für N=2. Der Unterschied der Teildiagramme zum Signalfluß-diagramm N=2 (siehe weiter oben) liegt in der durch Bitumkehr ermittelten Vertausch-ung der Eingangssignale sowie in den Exponenten für N=2 : 0,1 und hier N=4 : 0,2 .Beim Übergang vom Signalflußdiagramm N=2 zu N=4 werden die Exponenten einfachmit 2 multipliziert .In den Gleichungen (G1 .1) sind durch geschweifte Klammern die Teildiagramme (N=2)hervorgehoben . Sie werden wie die obigen Gleichungen (G1.1) für N=4 es fordernmiteinander verbunden, wobei die Exponenten der Potenzen in der letzten Spalte vordem Gleichheitszeichen leicht im Signalflußdiagramm zu erkennen sind.

Institut für Grenzfächenforschung und Vakuumphysik

Diskrete Fouriertransformation

!

-j(2n/8)N=8=23 ; q=3 ; WR= e

w8=w8 = .. .

W8 =W8 = . . .

s 0 4 2 6 1 5 3 72 10W8=W8 = . . .

Wie oben für das Signaflußdggramm N=4 gezeigt, setzt sich das Diagramm fürN=8 aus zwei Teildiagrammen N=4 zusammen. Die Verbindung der Teildiagrammeerfolgt analog zu N=4. Alle Exponenten im Signalflußdiagramm N=4 werden mit2 multipiziert.

Signalflußdigramm für N= 8

Zahl der FFT-Produkte

1/2 N q_

-_ 1/(2N) log2NZahl der DFT-Produkte

N2i

N= 512 ;

1/(2 - 512) 1092 (512) = 9/1024

n n-N/2 >_-WN = WN

; n

N/2

=> 1/2N q = 12 ;

komplexe Multiplikationen


5 13

6 14W8=W8 = . ..

7 15S0 1 2 3 4 5 6 7

W8=W8 = . . . W8 =W8= . . .4 12 0 8 16 000 001 010 011 100 101 110 111

W8=W8= ...'\ l W8=W8=W8= ... (-- F ~- <- ~E- <-- e- E-

~ \.3 11Re

1 9 000 100 010 110 001 101 011 111


Weitere Verringerung der Anzahl der komplexen Produkte

- WN = 1

( bisher der Einfachheithalber als komplexes Produkt gerechnet )

- f(t)

ist reell :

Sm=S*-m ; S -m= S -m+ N

=~> Sm= S*N -m

# Smm = 0,1, . . . N/2

- f(t) reell und gerade

sn = s-n

- f(t) reell und ungerade su = -s-n

- großer Prozentsatz der Abtastwerte sind 0


5


5.2 Analoge Signalverarbeitung im Wertebereich


Fachhochschule Aachen, Abt. JülichAnaloge und digitale Signalverarbeitung

Signale sind physikalische Repräsentanten von Nachrichten bzw. Informationen. Ihremathematische Abstraktion sind Funktionen und Folgen.In der Analogtechnik werden Signale mit Hilfe von Kombinationen von Bauelementen,den analogen Schaltungen, verarbeitet, die aufgrund ihrer physikalisch-elektrischen Eigen-schaften die an ihnen wirkenden Signale in einer spezifischen Weise beeinflussen .In der digitalen . Signalverarbeitung (DSV) wird der Signalparameter eines zu verar-beitenden Signals durch eine entsprechende Zahlenfolge abgebildet. Zur Verarbeitungdient das gesamte Instrumentarium der Mathematik, insbesondere das der Numerik.Signalverarbeitende Systeme werden als mathematische Algorithmen definiert und mittelsdigitaler Bausteine realisiert . Entsprechend nachfolgendem Blockschaltbild besteht einDSV-System typischerweise aus den Komponenten Eingangstiefpaß (Anti-Alias-Filter),Abtast-Halte-Glied (Sample and Hold), Analog-Digital-Umsetzer (ADU), dem eigent-lichen Digitalsystem (DS), einem Digital-Analog-Umsetzer (DAU) und dem Tiefpaßfilter.Die beiden letztgenannten Bausteine dienen zur Signalrestitution .

S&H ADU DS DAU

B1 20

Der Eingangstiefpaß sorgt bei vorgegebener Abtastfrequenz für die Einhaltung des Abtast-theorems (s. Blatt 21.1). Bei Ûberabtastung kann der Eingangstiefpaß entfallen . DasAbtast-Halte-Glied ist optional. Es entnimmt aus dem Eingangssignal im Abtastaugen-blick den aktuellen Momentanwert und hält .ihn jeweils für ein Abtastintervall nahezukonstant. Der Analog-Digital-Umsetzer übernimmt die Aufgabe, das analoge Signal inein digitales zu überführen. Die Wirkungsweise verschiedener ADU wird in denfolgenden Blättern beispielhaft erläutert. Das Entscheidende in ihrer Funktionalität ist,daß die unendliche Wertevielfalt analoger Signale in eine endliche Folge codierterZahlen umgesetzt wird. In dem eigentlichen Digitalsystem werden diese Folgen mathe-matischen Operationen unterzogen, deren Algorithmen im DS weitgehend frei program-mierbar sind . Diese Systemalgorithmen verändern die Eingangszahlenfolge mit ihremInformationsgehalt in eine gewünschte Ausgangszahlenfolge mit anderem Informations-gehalt Ein solches Systemverhalten kann - ähnlich dem Verhalten eines analogenSystems - durch eine Übertragungsfunktion beschrieben werden. Sie gibt somit u. a. an,wie die Eingangswerte durch Koeffizienten gewichtet werden. Bei einem DS stehen nurendliche Wortlängen zur Darstellung der Koeffizienten zur Verfügung. Die Operandenund die Ergebnisse arithmetischer Operationen werden auf die entsprechende Wortlängeauf- oder abgerundet Hierdurch treten Abweichungen zu einem idealen System mitunendlicher Wortlänge auf. Dieser Effekt ist für das sog. Quantisierungsrauschen mitver-antwortlich, das in Blatt 21.2 beschrieben wird .Der DAU formt die vom DS gelieferte Ausgangsfolge in ein wertdiskretes, zeitkon-tinuierliches Signal um. Der nachfolgende Tiefpaß glättet die Stufigkeit dieses Signals, sodaß an seinem Ausgang wieder eine wert- und zeitkontinuierliche Signalfunktion(analoges Signal) zur Verfügung steht

117

5


5.3 Digitalisierung analoger Signale im Wertebereich

5.3.1 Analoge und digitale Signalverarbeitung


Fachhochschule Aachen, Abt. JülichZeitdiskrete Analogschaltungen

BI 27

In den letzten Jahren hat sich neben den auf rein digitaler Basis arbeitendenSchaltungen eine andere Gruppe für die Signalverarbeitung etablieren können, diejedoch zu den analogen Schaltungen gerechnet wird . Der Grund dafür liegt darin, daß

bei ihnen die analogen Eingangssignale zwar wertkontinuierlich eingespeist, aberzeitdiskret weiterverarbeitet werden. Eine A/D-Umsetzung bzw. D/A-Umsetzung entfallt

dabei . In der Praxis haben sich zwei Schaltungsvarianten bewährt, die beide in

integrierter Technik verfügbar sind:1 .) Ladungsspeicherschaltungen (Charge Storage Devices CSD)2.) Schalter-Kondensator-Bausteine (Switched Capacitor Devices SCD) .

Die Ladungsspeicherschaltungen speichern Abtastwerte des Eingangssignals als Ladungs-

pakete in Analogspeichern. Diese Abtastwerte können dazu benutzt werden, um Opera-

tionen wie Verzögerung, Addition oder auch Multiplikation durchzuführen . DieHalbleiterindustrie bietet integrierte Bausteine z . B. zur Frequenzumsetzung, Filterung,

Korrelation und Fouriertransformation an .Es gibt zwei Grundausführungen (s . Graphik), die danach unterschieden werden, wie die

Abtastwerte weiterverarbeitet werden. In den Ladungsverschiebeschaltungen mit Mehr-

fachschiebung ((multiple) Charge Transfer Devise CTD) wird die Abtastprobe über

Ketten von Speichern von Speicherglied zu Speicherglied verschoben, gesteuert durch

eine Reihe von Taktsignalen. Die Mehrfachschiebeelemente lassen sich wiederum in zwei

Untergruppen einteilen, die Eimerkettenschaltungen (Bucket Brigade Devices BBD) und

die ladungsgekoppelten Schaltungen (Charge Coupled Devices CCD) . Der Unterschied

zwischen ihnen liegt hauptsächlich in Details im Chipaufbau . Eimerkettenschaltungen

werden vorzugsweise zur Realisierung von sog. analogen (angezapften) Verzögerungslei-

tungen, mit denen sich z . B. Korrelatoren oder extern programmierbare Transversalfilter

aufbauen lassen, verwendet. Die CCD-Technologie erlaubt höhere Abtastraten und

höhere Packungsdichten auf den Chips. Sie finden deshalb ihren Einsatz in komplexeren

Anwendungen wie die Videotechnik (CCD-Bildwandler).Die zweite Grundausführung stellen die Ladungsverschiebeschaltungen mit Einzelschie-

bung (Single Transfer Devices STD) dar. Sie ähneln in ihrem Aufbau einem zusammen-

gehörenden Satz von gemultiplexten AbtastHalte-Gliedern. Aufeinander folgende Abtast-

werte werden in getrennten diskreten Speicherzellen abgelegt . Dort können sie dann

später ausgelesen werden. STD-Elemente findet man u. a. in Schaltungen zur Videosi-

gnalverzögerung und zur Zeitbasiskorrektur.

Einfachschiebeelemente STD

Ladungsspeicherelemente CSD

Eimerkettenelemente BBD

rehrfachschiebeelemente CTDI

ladungsgekoppelte Elemente CCDI



Zeitdiskrete AnalogschaltungenSchalter-Kondensator-Bausteine

Schalter-Kondensator-Bausteine sind gewöhnlich als Kombination von CMOS-Schalternund Kondensatoren implementiert, um das Verhalten von veränderlichen Widerständennachzubilden. Dadurch besteht die Möglichkeit, unterschiedliche Filterarchitekturenvollständig als monolithische Schaltung ohne äußere Komponenten zu realisieren. Siesind besonders geeignet für den Bereich der Sprach- und Musiksignale und werden dortzusammen mit DSV-Komponenten eingesetzt.

Das Grundprinzip eines geschalteten Konden-sators, wie ein Widerstand zu wirken, kannman sich am besten am nebenstehenden Bildr3-1

klarmachen, das auf dem Konzept desLadungstransfers beruht. Wenn der Kondensa-

.--

tor zwischen ui und u2 umgeschaltet wird,kommt es zu einem momentanen Ladungs-

uiy

.LC

1u2

transport Aq = C(ui - u2) von ui nach u2o

T

,

oder umgekehrt. Wird dabei der Kondensatormit der Frequenz fs = 1/Ts hin- und berge

41

schaltet, dann fließt im Mittel ein Strom i =4b2

dq/Ts = C (ul - u2)/Ts von ul nach u2 oder-j

L

umgekehrt. Dieser könnte auch von einemäquivalenten Widerstand Rä hervorgerufenworden sein, für den dann gilt

Rä = ui - u2 =Ts_ 1i

C

Cfs -

BI 27.1

Diese Beziehung liefert das für die praktische Anwendung wichtige Ergebnis, daß deräquivalente Widerstand außer von der Kapazität C, die auf einem Chip als integrierterKondensator realisiert ist, nur von der Taktfrequenz fs abhängt, mit der die Umladungdes Kondensators vorgenommen wird. Durch eine variable Taktfrequenz kann der sog .SC-Widerstand Rä (SC = switched capacitor) in weiten Bereichen verändert werden .

'Unter dem Prinzipbild ist die CMOS-Realisierung des geschalteten Kondensatorsangegeben, die von zwei nicht überlappenden Taktsignalen der Periode Ts an den denEingängen 41 bzw. ">2 gesteuert wird.Es folgen einige einfache Beispiele der Realisierung von aktiven Integratorschaltungenmittels geschalteter Kondensatoren mit den für sie gültigen Dimensionierungsgleichungen.Diese sind Bestandteil sog. Universalfilter in integrierter Technik, bestehend ausOperationsverstärkem (OV), Kondensatoren und SC-Widerständen. Mehrere OV und SC-Widerstände befinden sich dabei auf einem Chip als integrierte Elemente. Von außensind durch den Anwender nur die Kondensatoren und der (veränderliche) Taktzuzuschalten.Aktive RC-Filterschaltungen haben durch die Möglichkeit, auf die unhandlichen und streufeldbe-hafteten Spulen zu verzichten, im Bereich vor allem niedriger, aber auch mittlerer Frequenzen(fmax :5 1 MHz) weite Verbreitung gefunden. In fast allen Schaltungen lassen sich die Widerständedurch geschaltete Kondensatoren ersetzten . Sie stehen als integrierte Schaltungen zur Verfügung,die dem Anwender die Möglichkeit geben, zwischen Tiefpaß-, Hochpaß oder Bandpaßverhaltenebenso zu wählen, wie zwischen der Filterkonriguration nach z. B. Butterworth, Bessel oderTschebycheff.

120


I

Zeitdiskrete Analogschaltungen

Fachhochschule Aachen, Abt. Jülichl

a) Aktiver RC-IntegratorC

Sprungantwort

b) SC-Äquivalent zu a)C2

lUa

U

f.Ci

c) Aktiver, differentieller IntegratorC

SprungantwortR

U~TT 1

a = - L1 - Ua)

UajwRC ,

d) SC-Äquivalent zu c)C2

Sprungantwortf.Ci

Un

- (111 -U2)

jwc"

e) nicht invertierender SC-Integrator (aus d) mit U1 = 0)C^Sprungantwort

fsciUa = U2

jWC2

Sprungantwort

uaT

Ua

Ua

t

ta

(u1 > u2)

BI 27.2

tDer nichtinvertierende SC-Integrator ist Grundbaustein des integrierten UniversalfiltersMF 10.

5



5.3.2 Wertquantisierung



a) vor der DSV

DSV Digitale SignalverarbeiWngDSP DiW signal proosssing

b) DSV-Ära

Analoge und digitale SignalverarbeitungAbbildung zu Blatt 20

Grundsätzliche Unterschiede in der Vorgehensweise vor Einfhrung der digitalen Signal-verarbeitung (Teilbild a) und nach Einführung der digitalen Signalverarbeitung(Teilbild b) am Beispiel einer ProzeBregelung

123

Anzeige,Aus-dnidcVA

Prof. DiplAng . W . JANSEN


TA>C.

r-e lIAbtaster Quantisierer Codierer

s(TA)

= s(k)

so(k)

sD(

Bild 14 Vom analogen zum digitalen Signal (1 . Schritt : Abtastung)

Prof . Dipi.-Ing. W. JANSEN

Fachhochschule Aachen, Abt. JülichDigitalisierung analoger SignaleWertquantisierung

Bei der Wertquantisierung wird der Bereich, in dem Werte eines Signals vorkommen(Existenzbereich), in eine endliche Anzahl nq von Wertestufen bzw. Warteintervalleneingeteilt. Jedem Intervall wird ein diskreter Wert, z. B. der Mittelwert des Intervalls, alsKennwert zugeordnet. Alle Werte eines Signals, die in ein solches Intervall fallen,werden durch diesen Kennwert repräsentiert. Er rundet somit den wahren Signalwert miteinem Fehler, der maximal einer halben Wertestufenweite entspricht. Der Verlauf desFehlerssignals ist bei regellosem Eingangssignal des Quantisierers ebenfalls regellos (s.Bild 14.2)Der so eingeteilte Existenzbereich des ursprünglich zeit- und wertkontinuierlichen Signals(vgl . Bild 16 Signalarten) heißt Quantisierungsbereich . Das Signal ist nun wertdiskretund zeitkontinuierlich mit nq Quantisierungsstufen.Um den Quantisierungsfehler gering zu halten, liegt es nahe, die Anzahl nq der Quanti-sierungsstufen möglichst hoch zu wählen. Es gibt jedoch hierfür eine obere Grenze, diedurch das analoge Signal am Eingang des Quantisierers bestimmt wird.Reale analoge Signale, die ein Nutzsignal durch einen ihrer Signalparameter abbilden,sind stets überlagert von einem Störsignal, das im Grenzfall durch das Wärmerauschen(Widerstandsrauschen) hervorgerufen wird. Zur Darstellung dieses Sachverhaltes wird ein

Nutzsignal s(t) mit dem Existenzbereich Asn,ax angenommen, das von einem Störsignal

sa(t) (n = noise) mit dem größten Schwankungsbereich Asn I, ax überlagert ist. Nur wenn

der Schwankungsbereich Asma, erheblich größer als der Schwankungsbereich Asn ma. istkann das Nutzsignal s im Summensignal s + sa erkannt werden . Dies kann nur mit der

Unsicherheit Asn m. geschehen.

Auschnftt ausdem Zeltverlauf eines Summensignals s+sn (rote, dicke Linie) aus demNutzsi-

gnal s(blaue, gestrichelte Unie) und demStörsignal sn

BI 21.2

Prof. DiplAng . W . JANSEN


Abbildung zu Blatt 21.2

ommtauentalenepa- Duaé@MundLeNngr

Abtameitpunkte : TA 2 TA 4 TA 6 TA 8 TA

Bild 14.2 Vom analogen zum digitalen Signal - Quantisierung und Codierung(2 . und 3. Schritt)

126

intervelNr.

+8=adetRZ

1 1 1 1 -r~uellensignal 31

+7 1 1 1 0 1~FF- - Senkenslgnal s2, .+6 1 1 0 1 s .- 1 -+5 1 1 -Q-Q-WIAMMM+4 1 o 1 1 .

+2 1 ~_-+1ni ~~.._ .._ ~ . . . . _

_~ 0 0 0 0 V2 0 0 0 1 Quanusierungsfehlersignal-3 0 0 0 e2 -S+ r~-4 0 0-5 0 0 0-6 _Lni 0 1

-7 0 0-8 o t r --,-


Fachhochschule Aachen, Abt. Jiillch Abbildung zu Blatt 21.2

Wert- und zeitkontinuierliches Signal

Wertdiskretes, zeitkontinuierliches Signal,z. B. Sprachsignal, analoger McBwert

z. B. quantisierte Sprach- und Musiksignale,Ausgangsspannung eines Digital-Analog-Umsetzers

,-if' S1t

r

1-v t

Zeitdiskretes, wertkontinuierliches

Wert- und zeitdiskretes SignalSignal, z. B. zyklisch abgefragte MeB-

z B. quantisierte Pulsamplitudenmodulationwerte, Pulsamplitudenmodulation

Bild 16 Signalarten - Signalparameter SP (z B. Spannung, Frequenz, Impulsdaueretc.) als Funktion der Zeit t.

Prof . DiplAng . W . JANSEN

Fachhochschule Aachen, Abt. JülichDigitalisierung analoger SignaleWertquantisrerung BI 21.3

Auf Blatt 21.2 ist das Oszillogramm des allein wahmehmbaren Summensignals s + snmit dem Existenzbereich A(s + sn)max nachskizziert. Wird dieser Bereich in einandernichtüberlappende Werteintervalle aufgeteilt, deren Größe sinnvollerweise nicht kleinerals Asn max sein sollte, so gibt deren Anzahl nmax die größte Anzahl gerade nochunterscheidbarer Wertestufen des Nutzsignals s im Summensignal s + sa an

A(s + S,)maxnmax = Asn max

Dieser durch die Signaleigenschaften am Eingang des Quantisierers bestimmte Grenzwertliefert die technisch sinnvolle obere Schranke für die Auflösung des Quantisierungsbe-reiches in eine Anzahl nq Quantisierungsintervalle . Es gilt

nq < nmaxBei näherer Kenntnis der Signale s und sn lassen sich über deren Effektivwerte dieLeistung des Nutzsignals PS oder die des Störsignals Pn bestimmen. Hiermit läßt sicheine Beziehung angeben zum sog. Störabstand analoger, gestörter Signale, der als Dämp-fungsmaß definiert ist, in dem die Leistung des Nutzsignals PS im Verhältnis zurLeistung des Störsignals Pn (n = noise) betrachtet wird . Es gilt

ast = 10 lgP dB.

Für den Fall, daß Nutzsignal s und Störsignal sn ergodisch, regellos und normalverteiltsind, ein Modell, das für viele Vorgänge in der Praxis paßt, liefert dieser Zusam-menhang für die angestrebte Situation mit PS > Pn die Näherung

annmax ^ 10 20 dB .

Bei einem Störabstand von ast = 80 dB fol

daraus die Anzahl der sinnvoll noch zuunterscheidenden Wertestufen zu nmax z 10e Für die Anzahl der Quantisierungsstufänbietet sich bei binärer Codierung der Wertestufen wegen nq 5 nmax die größte Zweier-potenz unterhalb 104 an. Dies ist der Zahlenwert nq = 8192 = 213 . Der verwendeteAnalog-Digital-Umsetzer müßte jede Wertestufe durch ein 13 Bits breites Codewortabbilden, um die möglichen Quantisierungsstufen auszunutzen. Andererseits wäre derEinsatz eines höher auflösenden ADU (nq >_ 14 Bits) nicht sinnvoll, weil die höherenStellen das dem analogen Nutzsignal überlagerte Störsignal quantisieren werden.Der durch die Quantisierung mit der endlichen Anzahl n Quantisierungsstufen(Rundung) hervorgerufene unvermeidliche Quantisierungsfehler wirkt sich wie ein demNutzsignal überlagertes regelloses Störsignal, das Quantisierungsrauschen, aus . Hierfürkann ähnlich wie der Störabstand auf der Analogseite auf der digitalen Seite einGeräuschabstand angegeben werden, der sog . Quantisierungsgeräuschabstand

aq = 10 lg (nq2 - 1) dB - 20 lg nq dB.

128

129

5

Signaltheoretische Grundlagen der eindimensionalenDigitalen Signalverarbeitung


5.3.3 Analog - Digital - Umsetzung


Fachhochschule Aachen, Abt . JülichAnalog - Digital - Umsetzung

B1 22.1

Für die digitale Signalverarbeitung sind grundsätzlich die drei klassischen Verfahren derWertquantisierung und Codierung zur Analog-Digital-Umsetzung anwendbar, wie sie imBild 17 dargestellt sind

o Zählverfahreno Iterationsverfahren oder Sukzessive Approximationo Parallelverfahren oder Direktes Verfahren (Flash-ADC)

Praktisch scheidet das Zählverfahren jedoch aus, weil es auf dem Prinzip beruht, daß einZählquant, das der kleinsten Quantisierungsstufe entspricht, so lange aufgezählt wird, bisder zu digitalisierende Wert erreicht ist . Dieser Vorgang dauert in der Regel fürAufgaben in der digitalen Signalverarbeitung, vor allem dann, wenn mit dem Prozeß(Meß-, Steuer-, Regelprozeß) schritthaltende Verarbeitung verlangt wird, zu lange. Füreine solche sog . Echtzeitverarbeitung sind das Iterationsverfahren und das Parallel-verfahren geeignet. Hierbei stellt das erstere einen Kompromiß zwischen Aufwand undSchnelligkeit dar. Mit dieser Schaltungstechnik lassen sich z. Zt. Umsetzungszeiten voneinigen hüs bei 4096 Quantisierungsstufen (A 12 Bits) und einigen 10 Irs bei 65536Stufen (_- 16 Bits) erreichen .Werden jedoch Umsetzungszeiten von deutlich weniger als 1 hüs gefordert, so muß dasParallelverfahren angewendet werden . Hiermit lassen sich auch Videosignale mitBandbreiten im Bereich von einigen MHz digitalisieren. Dieser Geschwindigkeitsgewinnmuß jedoch mit hohem Aufwand erkauft werden, der nicht nur vom ADU selbstbestimmt ist. Die Schaltungstechnik des ADU erfordert zum Beispiel, daß ihm ein Breit-bandoperationsverstärker mit extrem niedrigem Innenwiderstand vorgeschaltet wird, derauch bei einer Last mit hohem kapazitivem Anteil noch stabil bleibt .Die Grundkonzepte bzw. der Schaltungsaufbau für die beiden Verfahren sind aus denbeigefügten Bildern zu entnehmen, die auf Angaben der Firmen Siemens und AnalogDevices beruhen. (Bild 17 bis Bild 21)Ein weiteres Umsetzungsverfahren, das in den letzten drei Jahren an Bedeutunggewonnen hat, ist das Prinzip des Sigma-Delta-ADU. Es beruht auf derDeltamodulation, die in der digitalen Nachrichtenübertragungstechnik als Konkurrent zurPulscodemodulation auftritt, wenn hochredundante Signale übertragen werden sollen. DasVerfahren ist u. a. dadurch gekennzeichnet, daß mit nur einem Bit digitalisiert wird,dafür jedoch mit einer Abtastrate, die wesentlich höher liegt als nach dem Abtast-theorem erforderlich (Oversampling).Die Verfügbarkeit der 1-1L-Prozeßtechnologie für sog . mixed-signal VLSI-Schaltungenmachte diese Technik auch für Anwendungen zur Erfassung und Verarbeitung von

Prozeßsignalen interessant. Gegenüber dem Deltamodulator ist der Sigma-DeltaADU

um zwei Funktionsblöcke erweitert, die seine Leistungsfähigkeit im wesentlichen bestim-men: 1 .) der Integrator im Vorwärtspfad und 2.) das sog. Dezümierungsfilter. Letzteresübernimmt als ausschließlich in digitaler Technik realisierte Schaltung (FIR-Filter) zwei

Aufgaben. Es reduziert zum einen das Quantisierungsgeräusch und zum anderen

transformiert es die Bitrate von dem durch die Oversampling-Technik bestimmten hohen

Wert k - fA auf den nach dem Abtasttheorem erforderlichen Wert fA.


Fachhod=Wle Aachen, Abt. Jülich Abbildungen zu Blatt 22.1

Signal- Kennzifferwerte

der Quanti-8 sierungsstufe

87-

6

5

4

3

2

1

0

7

6

5

4

3

2

1

Analog-wert x

Zählverfahren5 «Wägungen°nacheinander

Meßnormale N : 1,1,1,1,1,1,1

4,2,1

1,2,3,4,5,6,7,

Bild 17

Drei Grundverfahren der Wertquantisierung

Präfschrittx ? 32?

x >_ (32 + 16)?

x ? (32 + 8)?

x ? (32 + 8 + 4)?

x >_ (32+8+4+2)?

x k (32+8+4+1)?

Iterationsverfahren3 "Wägungen" nach-einander

Ergebnis:x=32+8+4+1= 45 ^_- 101101

Parallelverfahren7 `Wägungen" gleich-zeitig

Ja b setzen32

Nein c=> rückset- => 0zen 16

Ja b setzen8

Ja b setzen4

Nein c,~? rückset-zen 2

Ja c> setzen1

Bild 18 Analogie der sukzessiven Approximation mit der Balkenwaage

13 2


Fachhochschule Aachen, Abt. JülichAbbildungen zu Blatt 22.1

Analog-Eingang

Uref

Sukzessive-Approximation-Register

Referenz

Bild 19 Prinzipschaltbild eines ADU nach dem Verfahren der sukzessiven Approxi-mation

Uein

Bild 20

Schematische Darstellung eines 3-Bit-Parallel-Umsetzers

133

Bit 3 (HWB)

Bit 2

Bit 1 (NWB)

Takt

Digital-ausgang



Bild 18 a Approximation einer Meßspannung beieinem 6-Bit-ADU nach dem Iterations-prinzip

Profi. DiplAng. W. JANSEN

Fachhochschule Aachen, Abt. JülichAbbildung zu Blatt 22.1

Masse Hysterese -Us

Overllow

Bit 8 (HWB)

Bit 7

Bit 6

Bit 5

~e Bit 4

Bit 3

Bit 2

Bit 1 (NWB)

Bild 21

Innenschaltung eines modernen 8-Bit-Flash-ADU für eine Umsetzungsrate von

1,5 " 108 Umsetzungen/s und eine Fehlerquote von 10-9 (nach Analog Devices)



g

1 23Sima-Delta-ADU

Das Prinzip des Sigma-Delta-ADU (E-e-ADU) soll am nachstehenden Bild erläutertwerden. Es ist aufgeteilt in den linken E-Teil und den rechten (klassischen) e-Teil undbildet in dieser Konfiguration einen E-e-Modulator 1 . Ordnung.

Si(t)

Si(t)

sd;g (t)

Nach Vereinfachen der Schaltung und Hinzufügen des digitalen Filters wird daraus derE-e-ADU.

Takt

E-e-Modulator

digitales Filter

Saig(t)

Diese Schaltung zeichnet sich durch einfache Realisierung der verbleibenden Analogkom-ponenten, Einsparung eines Anti-Alias-Filters sowie hervorragende Rauschunterdrückungs-eigenschaften aus, die eine effektive Quantisierung durch z. B. 20 Bits ermöglichen.Das Anti-Alias-Filter kann entfallen, weil mit der hohen Frequenz kfA abgetastet wird .Hierdurch wird gleichzeitig das Quantisierungsgerâusch auf ein entsprechend höheresFrequenzband verteilt, so daB nur ein Bruchteil in das Nutzband fällt.Das digitale Filter übernimmt die DSV in Echizeit in zwei Stufen. Die eine Stufe fuhrtdie Bitdezimierung in einer FIR-Struktur durch. Hier wird die schnelle 1-Bit-Impulsfolgein n Bits breite Worte umgerechnet, die mit fq ausgegeben werden. Die erforderlicheTiefpaBfilterung zur Beschränkung auf die Nutzbandbreite leistet die andere Stufe, diemit geringerem Aufwand auch als IIR-Filter aufgebaut werden kann.

136

137

5


5 .3 Digitalisierung analoger Signale im Wertebereich

5.3.4 Festkomma - Gleitkommadarstellung

Festkomma-Gleitkommadarstellung

Festkommadarstellu ngm

x=

Yakbk ;m >_-l,n=m-w+2,

k=n

w : Stellenanzahl mit Vorzeichen (f zweiwertig),

b e 1 2,3, . ., 8, . ,10, . . 16 . .) ( Basis des Zahlensystems),

ak E 10, . . , b-11 ( Ziffernvorrat des Zahlensystems)

Eine Zahl x wird in einem Zahlensystem zur Basis b durch eine Ziffernfolge vonZahlen dargestellt, wobei jede Stelle in der w-i stelligen Ziffernreihe von links nachrechts eine abfallende, ganzzahlige Potenz zur Basis b zugeordnet wird, die man alsStellenwertigkeit bezeichnet. Jeder Ziffer in der Zahlenfolge (auch Stellenwert genannt)kann nur die Werte ak des Ziffernvorrats annehmen.Da das Komma stets auf einer festen Position (zwischen den Stellen mit der

eichenStellenwertigkeit, z B bei einer Dezimalzahl zwischen 100=1 und 10-1 = 0.1

stehtund jede Stelle deshalb dieselbe Stellenwertigkeit besitzt, (siehe im Gegensatz hierzuGleitkommadarstellung) wird diese Darstellung als Festkommadarstellun bezeichnet.

Beispiele : a) b=10, w=6, m=4, n = 4-6+2, ak = 9 für alle k,

x = +4~ 9 lok = +(9- 104+9 . 103+9 . 192+9 . 10l+9- 100)

= +9999 = +9999,0k=0

Gleitkommadarstellung

Jede Zahl dargestellt zur Basis b kann als Produkt einer gebrochenen Zahl zur Basis bmit einer Potenz zur Basis b geschrieben werden

m mak bk = f (5- ak bk-('+I) )b(m+1) = t M b(m+1) ; m>n

k=n k=n

ganzzahlige Festkomnnazahl (das Komma steht implizit rechts 9999)

b) b=2, w=6, m=-1, n = -1-6+2, ak = 1 für alle k,-1

x = -~ 1 2k = - (1-2-1+1-2-2+1-2-3+1-2-4+1-2-5)1 + 1 + 1 + 1 + 1 _ _15k=-5

__ -,11111(2) _ - (2 4

8 16 32)16gebrochene Festkommazahl (das Komma steht implizit links)

w = wM + wç : gesamte Stellenanzahl

-,9375

KFA Institut für Grenztlächenforschung und Vakuumphysik

Festkomma-Gleitkommadarstellung

Die gebrochene Zahl zur Basis b wird Mantisse genanntwm : Stellenanzahl der Mantisse mit VorzeichenDer Exponent der Potenz zur Basis b klar mit Exponent bezeichnetwE : Stellenanzahl des Expbnenten mit Vorzeichen

-1M= + >"akbk ;E=(m+1);

k=1WM

Beispiel :b=10,w=6, wM= 4, wE= 2, m =4, ak = 9 für alle k,

x = + (Y,

1 . lok )10E= +( 9 . 10-1+9 . 10-2+9 . 10-3) . 105

k=1-4

= +,999-105 = +,999 E+5

Im Gegensatz zur Festkommadarstellung besitzt hier dieGleitkommadarstellung vor und hinter dem Komma (Mantisse) nichtmehr die gleiche Stellenwertigkeit.

Gegenüberstellung von Festkomma- und Gleitkommadarstellung

b=10,w=6

Festkommadarstellung : m = -1,

Zahlenbereich : -,99999 :5 x s +,99999Begrenzung des Darstellungsbereiches und Auflösung hängendirekt von der Stellenanzahl w ab. Alle Zahlen treten ingleichen Abständen auf.Skalierungsprobleme treten auf, wenn eine Zahl in die eineoder andere Richtung zur Vermeidung von Überlauf oderGenauigkeit verschoben werden muß.

Gleitkommadarstellung : wM= 4, wE=2, Zahlenbereich : -,999 E+9 :5 x <_ +,999 E+9Der darstellbare Zahlenbereich ist bei dieser Aufteilung vonw = wM + wE wesentlich vergrößert gegenüber derFestkommadarstellung.

'Die Auflösung ist hier 0,999 E-9 ebenfalls wesentlich größer,aber die darstellbaren Zahlen treten nicht mehr in gleichenAbständen auf (Nachteil!).Keine Skalierungsprobleme


6

Digital numerisch arbeitende Netzwerke

Netzwerktheorie digital (numerisch) arbeitender Netzwerke

1-7r7alogarbe~tendes

X ~t)

System

y!t)

Orginalbereich

Di~ferenficrlglerchungerr

/gî üj sind reelle Koeffizierllm

Diglfo!arbeitendes

x (n)

System

y(n)

D~fferenzengleicnun9enm

~tgyTa] Eb~x~k, ~T],k?o

baiC& sindreelle,eatf~ilént&n

Bildbereich :

ÛbertraqungsfunlCtioner! Ûbertroqu~lgsfu~ktiônenrnif laplace-Trarnsforrrraf~ôr~ :

mit Z-Trar7sforrrlatian :

m

lPJ- a°fY,~- no

A ~=, Zix(n _ c~=oA

7

(z

ix(nyy)

n

S.C.

Z.Pï-

ic 0

P z; G-,.Jw Z= e p~t c e~o-+JcvjTm


,Bauernente ü7 lir7earern, analogen

und dIgItalen Netzwerges

Analog arberteno'e AletzwerKe

afpcrssj've Netzwerke

- Widerstcrnde

2 --1}- Kondensatoren

3 -E- Spulen

bj al«j've Netzwerk-

-1 -C}- widerstânde

2 -i/- Kondensatoren

Operatlànsrerstôr1Ker

.Digital arbeitende Netzwerte

Multioli.ziérer

2 ~ ~' ~

Schieberegister

Rdodierer

lmmer 3mâgl~che .Saue~ementarten


145

6


6.1

Schaltungssynthese im Originalbereich- Quasi-Analogrechner Schaltung-

Schaltungssynthese im Originalbereich

- Quasi Analogrechner Schaltung -

x (t) = R- i (t) + y (t)

i (t) = C dy(t)dy

R i

x(t)

C

y(t)...

a

o

Differentialgleichungen : Differenzengleichungen :

x(n)=R-i(n)+y(n)

i(n)=C ày(n)Ta

Râ ny(n)+y(n)=x(n)

ny(n)=RC'x(n)-R'y(n)

-i y (n)


Integrator

- Quadratische Interpolation -

nix) t

9x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

-~-

G -I

q

Eingengssignotfotge Ausgangssignotfotge

91n) 1

g~Yo~4~4~0, to0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 - n--l-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n-2 n-1

Nach Keppler

1t,Y.(n)~ .Z

[x(n-2)+4x(n-1)+x(n)

Ta : Abtestzeitn -k

Z, :Integrotorkonstante

wm (n)

n-


Integrator

- Simulation des Simpson-Integrators -

end


\ccc

simpson integration

m=10xm=f loat (m )sla=0 .s2as3a=0 .do 1 n=0, mxn=float(n)x=(xn/xm)**2e=(xn/xm)**3w=1/xmif(mod(xn,2 .) .eq .l) w=4.*wg=w*xwm=0.if(mod(xn,2 .) .eq .0) wm=l .

cc aktuelle werte :c _________-_____

sle=wm*gs2e=g+sla+s2as3e=wm*s2ey=s3e+s3awrite(0,100) n,x,e,y

cc schieben :c

sla=sles2a=s2esSa=s3e

1 continuestop

100 format(1x,i4,2x,f7 .4,2x,f7 . 4,2x , f 7 .4 )

150

6


6.2 Schaltungssynthese im Bildbereich

Schaltungssynthese im Bildbereich

Rncrlog arbeitennde Schaltungern

Y(t)

x : E1ii7gongssigna!

Y : Ausgangssigna!

.DygItil arbeitende Schaltur7gen

x (n) : Eri7gar7gs - 9ign,71701ge

Y (n) : f7uSgp'l)g5 - S'igngZfoZ

CJbertraqungsfun,Ition

rUbertragungsfUnKti~n


Integrator

- Untersummenbildung -

Eingangssignalfolge Ausgangssignalfolge

Toy(n)

=

Za

X (n)0

Zfny(n)}

'-(Z-1)-Z f y(n)1 + z - y(o)

Integration im z-Bereich :

Z{y(n)}= «C,> z111 Z(x(n)}

f ` rZ ly(n)J =

z' -1 [Z ty(n)I + L'Z {x(n)l]0

Schaltbild

ny (n) = Zo 1:x (k)

k=0

Ta : AbtastzeitTo : Integrotorkonstante

SFG

y(n)-I


Integrator

- Lineare Interpolation -

Ei ngangssignalfolge :

Ausgangssignalfolge :

y(n) =

2 ïa~Ix(k)+x(k+1)1

Ta : AbtestzeitTO : Integratorkonstante

Z{cy(n)}= 1 Ta Z{x(n) + x(n+1)} = 1Ta

[Z{x(n)}kZ~x(.n+1)1 ]'

fo(Z-1) Z

ly(n)1= 1 Zo[Z{x(n)}+ z Z{x(n)}] _ 1-Z i7Ta (z+1) Z{x(n)}

Z ~y (n)l=T'

Z+i

entspricht der bilinearen Transformation :

Zfy(n)}= Ta Z{x(n)} + Z -1 Ta Z(X(n)j + z -1 Z{y(n)~0

0Ta2ta

SchaltbildSFG


155

6



6.2 .1 Synthese über den Umweg derLaplace - Transformation

Bestimmung der Obertragungsfunktion

im Z-Bereich aus der Laplace-Transformation

Die übertragungsfunktionen von Integratoren ent-

halten die Vorschriften zur Umwandlung der durch

die Laplace-Transformation formulierten Ober-

tragungsfunktion in die für die Z- oder Bilineare

Transformation gültige .

Laplace Z-Transformation

A(z) = C 2 1.r(Z-1)a

Bilineare Transformation

A(z) = C3

I

â ZT

Durch Vergleich erhält man die algebraischen

Transformationsanweisungen .

Für Z-Transformation :

2 Z-1Für Bilineare Transformation :

p =â

KM ZENTRALLABOR FÜR ELEKTRONIK

Laplace-

Die bilineare Transformation

Wird insbesondere für den Entwurf von Dämpfungs-

filtern verwendet .

Transformationsvorschrift :

p

wzrxllz,e/VZZ/�

2 z-1T L z+1

Bilineare Transformation

Frequenzteilung auf dem Kreisumfang verzerrt,da unendliche Strecke in der p-Ebene auf eineendliche in der Z-Ebene abgebildet wird .

z fZp

p=j2lTfp~` â

ZZ~IZ=e i 21fâ = Jfgli

â


MethodeLaplace -i Bilineare Transformation

0

lul(P)0

A (p) =

U2(P) -

1

lr =R-CU~ (P)

_1+Pt

Bilineare Transformation :

P= Ta .z+1

( 2 "

+1)-(2-d -1) ZTt

1U2 (Z) =

2

-1 . z1 . U2 (Z ) +

zl+

i .Ul (Z)+ 2 .~+1

U1(z)2

+ 1 2 r,,1

Ta .


6



6 .2.2 Direkte Synthese mit der Z-Transformation

.Darstellung der S,oanr7urngs- u. StromabhângiyKei'1`,oassiyer linearer Schaltelemeote rni't derZ - Transformatiôn

f7bl ûrzungen


S,aannungsabhängig~eit Strornabtrcingi9keit

o~~g . gererch 8i%dbere~ch oriy.9e~e~"ch 8ildbe~e~ch

R Rin 2. 1 1 un lLl

L L . d Zn L(tZ-11 I~-r

Ta2:um T~ a

Ta Tia

-o ->s o

lCn-~

TQ~L Ta I Cd GCn Ç(~-t% LL

Tmc j É-l Ta TQ

m=o

Direkte Synthese mit der

Z-Trans formation

R I

1X

(Z - 1) â

Y

0

1

a

Z=R C

Y=

T

(Z - 1) Ta

X= R+ 1

I(Z-1) T

c1

.

a

X

=

R

1

=(1- â)+ â

. z+ (Z-1) Ta

Y[

1(Z - ') =

Z J .X + (1-~) z--'-Y


163

6


6 .2 Schaltungssynthese im Bildbereich

6 .2.3 Direkte Synthese mit der BilinearenTransformation

Darstellung derSpanrncungs-u. Stromcr6hâf~gigKeltpassiver h~7earer Schaltelemente mit derbillhearen - 7ransformailon

Ableürzungen

u° .B {u�}

i . sit~j


SPonnungsabhângigKei't Stromabhâng~yKeit

Orig . Berel'ch Bildbereich Orig . Bereid 8ildbereich

Ri2zn 2'S 2

un ,2 LL

n_tL L d ln 21- Z-' i % um L-- Ztfu

TQ TQ Zf~ 2L Z-1m=o

lcn-1

Zm. T Zf1I c d un 2Ç Z-~ U

C 2C ,~-t Ta T ~t ~m=o


167

6



6.2.4 Synthese aus der Übertragungsfunktion mitvorgegebenen Schaltungsstrukturen

Zwei prinzibielle Real~s~érungsmôghChKeitendtgifa! arbeitender Nachbildungen linearer Netzwerke

reKursw arbe~"tende d~gitale Nachb~%dunge~hes l~rrearen lVetzwer~es

ni'chtrel~ursw arbeitende o~gitole Nachbildungeines linearen Netzwerkes


Erste Kanonische Form eines rekursiven DigitalfiltersIIQ-Fiter

UberfrcrgungsfunKti~,~


Zweite Manonische Form eines rekursiven DigitalfiltersII2- Flter

L%bertrogungsfanKtIôn

A*`

J_ =

bo ~. bfxT+

~2

._ . . . . .b t

~ofC~ ~C2 2~ . . . . . . .


Drifte Kanonische Form eimies reeUrsiven Drgi'tol -filters - KasKad~érung von Grcundgliederrn -

IT/2 - Fizter

bo f b>7 +b2Z 2AC~l - X' +

Co tC�Z-t Z2

43 bo -t b,Zx' C

Grundglied 2 Ordnung

Grundglied /. Ordnung


Vierte Kanonische Foren elhes reKUrSiven Digi'talfilter-s-Fa~q!lelschaltung Ion Grurndgliederr7-

IIR Filter

(Ïbe~trggu~gsfunktI0n

mEArn (z) -X'


6



6.2.5 Nichtrekursive (FIR) Filter

Dimensionierung von FIR-Filtern- Ein-Impuls-Erregung -

Betrachtung im Zeitbereich :

Der Einzelimpuls wird von Verzögerungsglied zu

Verzögerungsglied geschoben .

Nur der Multiplikator, an dessen Eingang der

Einzelimpuls der Folge x(n) im Verlauf seiner

Wanderung durch die Kette von Laufzeitgliedern

liegt, liefert am Addierungsausgang einen mit

dem jeweiligen Multiplikante h(n) gewichteten

Anteil der Ausgangssignalfolge y(n)


1x(n)

}I

Eingangs-Signalfolge

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-10- --01n

1y(n) Ausgangs- Signalfolge

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nn

Dimensionierung von FIR-Filtern

- Ein-Impuls-Erregung -

Betrachtung im Bildbereich der Z-Transformation :

Die Z-Transformation eines Einzelimpulses ist

Z { x (n)}

=

7

x(n) - z -n

=n=o

Die Z-Transformierte der Ausgangssignalfolge istdemnach

Z ( y (n) )

=

H(z) ' Z{xn}

Z {y(n)} = H (z)

Die Multiplikanten h(n) repräsentieren also nichtnur die Impulsantwort eines Einzelimpulses, sondernsind auch Polynomkoeffizienten der Obertragungs-funktion des FIR-Filters

NH (z) _ 7- h(n)-z-n

n=O

1-zo


Dimensionierung von FIR-Filtern- auf konstante Gruppen- und Phasenlaufzeit -

Periodischer Frequenzgang eines FIR-Filters

jw N-1 -jw-nH (e

)

=

37

h(n) - en=o

Der Frequenzgang kann auch durch Betrag und

Phase dargestellt werden .

H(e Jw)

=

+ I H(ejw)I - ea'f(w)

Bedingung für frequenzunabhängige Grupp en-

und Phasenlaufzeit :

Erful1t :

Mit diesem Ansatz :

d (P (w)dw

= T6 const

~w )-

= TTconst.

ce . Propor .-Faktor

- 1T<-w5ir

Gruppenlaufzeit

Phasenlaufzeit

H(ejw)

=

~ hn e -jwn

=

+ I H(e jw)I e-d°tw

n=o



- auf konstante Gruppen- und Phasenlaufzeit -

1 . Lö s ung :

2 . Lösun g :

h(n) .sin(wn)

h(n) .cos(wn)

N-1

Y- h(n)-sin(wn)tg (0CW) - sin(MW) -

n=1cos(aw) -

N-1h(0)+ 57h(n) " cos(wn)

n=1

ct. = 0

ist nur möglich, wenn

h(n)

0

n = o

h(n) = o

n = {1 ;2 ; . . .(N-1)} .

Triviale Lösung, da der Puls unverformt und ohneZeitverzögerung durchgegeben wird !

N-1

N-1h(n) . cos(wn) .sin(ocw) - 7 h(n)sin(wn) .cos(otw) = 0

=

n=o

N-157 h(n) . [ cos(wn) .sin(a( r) - sin(crn) .cos(otw)1 = 0


+ 1 H(eil ) 1 - sin(ocw) =N-157n=o

+ I H(Q jw) . c os (aw) _N-1Zn=o



5- h(n) - sin[(cc-n)w] =0n=0

Mit der Bedingung

erhält man paarweise Sinuswerte mit gleichem Argument

und entgegengesetztem Vorzeichen !

h(o)sin(~ w) + h(1)sin(~ w) + . . .

- h(N-1) sin(

w) - h(N-2)sin(

w) - . . . =-r

2

0

Diese Bedingung ist vollständig erfüllt, wenn :

h(o) = h(N-1) ; h(1) = h(N-2) ; h(2) = h(N-3)

etc .

gemacht wird, d .h . wenn um die Filtermitte die Koeffi-

zienten h(n) symmetrisch angeordnet sind .

Symmetriebedingung :

h (n) =h(N-1 - n)


Fazit :



Bei vorgegebener Multiplizierzahl gibt es nur einePhasenverzögerung

= (N-1)/2, bei der der Phasengangstreng linear ist !

Beispiel 1 :

N=11' ungerades N06=(11-1)12=5

1-Symmetrieh (n)

I

N=llI

,

, oc= 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

noc-"

ImpulsantwortPulsverschiebung um 5 Takte

Beispiel 2 :

N=10

gerades NoG=(10-1)12=4,5

1-Symmetrieh (n)

III

II

IN=10oC = 4,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

na. ».

ImpulsantwortPulsverschiebung um 4,5 Takte


Dimensionierung von FIR-Filtern- auf konstante Gruppenlaufzeit -

wird gefordert, daß nur die Gruppenlaufzeit

konstant ist

geforderter Phasenverlauf

Ansatz :

H W W ) =± IH (ei') i-ei(ß - ~ W)

Zu erfüllende 3edi ngungen :

Lh(n)=-h(N-1-n)

W

~_ +2

Antisymmetrie



- Entwurfsmethoden -

Amplitudengang ist unabhängig vomPhasengang und kann noch vorgegebenwerden .

Periodischer ûbertragun gsfrequenzgang :

sv'

h(n) e -jw .n

mit

h(n) _ -2-IT f H(edw ) é d`>ndw0

Frequenzgang kann exakt nicht realisiertwerden, da immer nur eine endliche An-zahl h(n) vorhanden ist !

Einfache Methode besteht in derFrequenzbandbeschneidung, führtaber zum Gibbs-Effekt !




Approximation des Obertragungs-

frequenzganges mit :

Fensterfunktionen

- Rechteck-Fenster

- Verallgemeinertes Hamming-Fenster

- Kaiser-Fenster

* Abtastung des Frequenzganges

Polynom in cosn.w bzw .

gleichwertig

(cosw.) m


Fenster-Methode :

W(e)m)



0 N-1 N-1,i-

Frequenzbereich Originalbereich

UnkorrigierteFourier-Koeffizienten


79w(n)

Wichtungsfolge"Fenster""

-M Mrr..n

h(n) KorrigierteFourier-

-MM

V

.nKoeffizienten

g(n)u Ausgangs-n Signalfolge

WR(n) = 0


- Entwurfsmethode Rechteck-Fenster -

Rechteck-Fenster :

WR(n) = 1

- N-1 ,

(N-1)12WR (eJ`") = Z e -1"'n

n=-(N-1)12

sonst

ejw (N-1)/2 (1-e-jwN)

1

-e jw

pyw(N/2) - e-jw(N/2)

jw ) = sin(wN/2)WR (e

sin(w/2)

2sr 2Tr

N N

Frequenzgang




w(n)

0

-20

m -a0

Z

w -400

FzcZa

-50

-60

3--(0

257-Punkte Rechteck-Fenster

02 0.3 Q4 0.5FREOUENCY

Spektrum des 257-Punkte Rechteck-Fensters




mvzw0FZQ

0

Beispiel für einen Tiefpaß mit Rechteck-Fenster :

0.30

0.20

0 .10

0

-0.10

10-

0-

-10-

-20--30

-40-

-50

-Go

-70

-BD

-90

-tao-1to-120-130

-140-0.1 0.2 0.3

FREOUENCY

RECTANGULAR WINDOW LPFN=257

0.4 0.5

Impulsantworteines Tiefpasses

Antwort auf

Sprungfunktionen

Frequenzgang



- Entwurfsmethode Hamming-Fenster -

WH (e' ") = oc WR (ejw)+12a {WR [e

j(w-2rr/N)1*WR[ei(w-2Tr/Nil

N

w4ejw)

W

Frequenzgang

des Hamming-

Fensters


Verallgemeinertes Hamming-Fenster :

W H (n) = oc + (1-0() cos (2

)N-1- ~ - n --Z-

WH (n) = 0 sonst

0~ x- 1 = 0,54 . Hamming-Fenster

= 0,5 Hann-Fenster

WH (n) = WR (n) [a.+ (1-oc) cos



m

z

2t7

0

-10

-20

-30

-40

-50

-60

-70

-80Q

C7O -s0

-100

-110

-120

-130oL

I I II . {II i

iI I ,I I ~

ly i rvraÎl~~ (I I ~I

257-Punkte Hamming-Fenster

II IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIILudÎIJ .~.wllnilililuluunla~� . � .

.n. . �:..,

0.1

0.2 - 0.3FREQUENCY

0.4

Spektrum des 257-Punkte

Hamming-Fensters

256

0 .5


1 .0

0.8 I : ~I0.6

I I , 'I

~I

I

Iii

I1 I , y0.4

i.

I ,' i l I

0.2

0,-

1, ~~Ip

I

., Iqd~ i~,Ii, i1 oy:.

~Î II

0.30

0.20

0.to

0

-010

100

-10-20-30

v -40? -50ô -60

z -70â -so

-903-100

-110-120-130-140-150.

Beispiel für einen Tiefpaß mit Hamming-Fenster :



Impulsantworteines Tiefpasses

Antwort auf

Sprungfunktionen

Frequenzgang



- Entwurfsmethode Kaiser-Fenster -

1 .0

0.s

os0.4

0.2

0

Kaiser-Fenster :

wk(n) =I o (ß 1-~2n/(N-1)J2

N-1 < n tEN-1

Io ß

Eine funktionale Darstellung des Spektrums

gibt es nicht !

I o : Besselfunktion 0 . Ordnung

257-Punkte

Kaiser-Fenster

Spektrum des

257-PunkteKaiser-Fensters


m

ZW0FZQ

Beispiel für einen Tiefpaß mit Kaise r Fenster :


- Entwurfsmethode Kaiser-Fenster -

Abhängigkeit derWelligkeit von denDimensionierungs-parametern (3 und D

Impulsantwort

eines Tiefpasses

Antwort auf

Sprungfunktionen

Frequenzgang

ipple

(Courtesy of J. Kaiser, Beil Laborstories .)


ß DPassband rippte

(dD) -Stopband

(dB)

2.120 1 .50 ±0.27 -303 .384 2 .23 f0.0864 -404.538 2 .93 ±0.0274 -so5.658 3 .62 ±0.00868 -606.764 4.32 ±0.00275 -707.865 5 .0 ±0.000868 -808.960 5.7 ±0.000275 -9010.056 6.4 ±0.000087 -100

Dimensionierung von FIR .-Filtern

- Entwurfsmethode Polynom cos nw -

Ein vorgegebener Amplitudengang kann mit

(N-1)/2IH(ej")i=h(2 1 ) +2-T-h(2 ~ -n)cosnwn=1

experimentell durch paarweises Verändern der

h-Koeffizienten ausgeführt werden, da zu jeder

Harmonischen n der Cosinus-Funktion nur ein

Wichtungsfaktor h(T-n) gehört . Aus der für

phasenlineare Filter gültigen Filtersymmetrie

ergibt sich der zweite zu einem Koeffizienten-

paar gehörende gleich große Koeffizient .

Beispiel :

N-12 n~1

N=114n-1 -

na2 În=3

np4n=5

4 5 6 7 8 9 10 k


Dimensionierung von FIr-Filtern

- Entwurfsmethode Polynom in cos nw

Filter mit gerader Anzahl Multiplizierer :

N-1H(z) _ 5 h(n) = z-n

n=o

N-1 N-1 N-3H(z)

=

Z-

{h(o)

z-IF+h(1)z~+ . . .

DFT:

h(o)+h(1)z-1+h(2)z-2+ . . .h(N-1)z-(N-1)

---+h(N-2)z

+ . �

Mit der Bedingung für linearen Phasengangh(n) = h(N-1-n)

H(z) = z_--z-f2

h(z - n)1z(n-~ )

+z-(n-~)1

=1

Nr2H (ei") =e -j21 "-2- 1h.12 -n,cos(2n-1)2n=1

AmplitudengangPhosengang



- Entwurfsmethode Polynom in-cos nw

Filter mit ungerader Anzahl Multiplizierer :

H(z)

=

N-1~

h(n)

z - nn=o

H(z) =

DFT :

=

h(o)

+

h(1)z-1+h(2)

z-2+ . . .h(N-1)

z- (N-1)

H( Z )

=

Z - (N -1 )/ 2

~ h(o)

z(N-1)/2+h(1)

Z (N -3 )/2+

Mit der Bedingung für linearen Phasengang

h(n) = h(N-1-n)

N-1Z - ~ 1 h ( -N-2- )

+ h(N-1) z-(N-1)/2+h(N-2) z-(N-3)/2 + . . .

N-1

h(~ - n)(z n +z )

(N-11/2(N-)H(ejw ) =e-i z1 '-fh( N-1 )+2-5h

21 -n

coswn=1

Amplitudengangliniearer Phasengang



- Entwurfsmethode Polynom (cosw )m -

Oft ist es vorteilhafter, bei der Approximation

eines vorgegebenen Frequenzganges die gleichwer-

tige Formel

(N-1)121 H (e j" )1=T b (rn) (ces w)'

Ms0

zu verwenden und aus den b-Koeffizienten die

h-Koeffizienten entweder durch trigonometrischeUmformung oder Fourieranalyse zu bestimmen. .

H (ei" )1=0,55+0,5côsw-0,05 (cosw)2=0,525+ 2- [0,25 cosw-0,0125 cos 2w]

h(0) = -Q0 25h(1)= ".0.25h(2) =+0,525h (3) =+0,25h (4) =-0,0125

197

6


6 .3 Ausführungsformen mit Signalprozessoren

6 .3.1 Einprozessorausführung

Einprozessor - Signalverarbeitung

Takt

Koeffizienten-Speicherung

ADC

Initialisierung

x(t)

x(n)

x(n)Eingabe

x (t) -4z -1

-

Sequentielle Berechnung der

Ausgangs- Signalfolgenkoskadierter Filter -Grundgliederin Programm -Schleifen

mit Koeffizientenaus dem Koeffizienten - Speicher

DAC

y(n)

y(t)y (t)Ausgabe

y(n)


6


6.3 Ausführungsformen mit Signalprozessoren

6.3.2 Multi - Signalprozessorstrukturen

StelyeruneJ der /lerarbeitungsgesehwli~d~;9ke~tvon 5/ nazen durch l'lulti- Prozessor,6etrieb

- Multi - Prozessorbetrieb aber Birnenger»e~i-rs4r»en Bus wegen aus - Ver -bindungsproblerr~en nur bei ,~leii~enMuCt~ - Pro zes.sorsysternen.

,Die Seigerun,.g der Verorbe~tungsgeschwrn -di~ke1L hcongt ouch Von der? zu rerar bei-

ter7den Algorithmen ab.

r»oxirnole Se/grung der verarbeiiu7gsge -schwrncYIykeit Mit syseozr;schenSysternen ('2.J/7u, Leiérson)

Co systoüscbe F~rch~zè,~t~ren

2O AN7JPHL -Gesetz

30 M,nsky


6




6 .3 .2.1 Kaskadierte kanonische Filter

Jeder DSP berechnet mit ein und demselben Programmdie Übertragungsfunktion Z.Ordnung

Für eindimensionale Signale gilt

_ KOF(00) +z KOF(01) +z2 KOF(02)A(1'lI

KOF(10) +z KOF(11)+

lobEIN

DSP(0,0)

Koeffizientendatel

KOF(00)KOF(01)KOF(O2)KOF(10)KOF(11)

DSP - Kaskade

DSP(O,1)

Imax Imax

A= ?CIU A(il)=o j_

i = (0...7)

Emulator-Kennungj=(0...7)

DSP-Kennungeines Ernulators

Mit einem speziellen Binde- und Ladeprogramm wird der vor-Übersetzte Objektcode mit der Koeffizientendatei verknûpftund in die Programmspeicher der vorgewählten DSP's geladen


6




6.3.2.2 Nichtrekursive (FIR) systolische Filter

Eigenschaften :

Semisystolische

nicht rekursive Filter (FIR)

1) Alle Signalprozessoren erhalten gleichzeitig

denselben Signal-Abtastwert .

2) Die Regularitätsforderung ist durch den gleich-

artigen Aufbau einer aus dem DSP und seinen

Daten-Links bestehenden Prozessorzelle und durch

die Gleichheit aller DSP-Programme zu erfüllen .

Suche nach der Topolo gie der Schaltung :

allgemein

Y 2 (Cp+C1 Z1+C212+C3Z3+ . . . CM-12(M-1)),x

Erfüllung der 1 . Forderung

Y

(CDX)+z 14gx)+Z2*(C2 x1 + . . . z (M-1(CM_ t x)

Ein Abtastwert wird gleichzei .tig im jeweiligen DSP

mit dem entsprechenden Filterkoeffizienten C (m _ 1)

gewichtet .

Erfüllung der 2 . Forderung

durch Aufbau der Funktion Y(X) in gleichartige

Klammerausdrücke .

1

2

3

.°3 21

Y=(COX)+z" 1 [(CJX)+z 1 [(C2x ) +zt [(C3x) + . . . 111


Sernl;systohscfhe Ausfcihrung e117es

nrchtreKUrsirern Flters (F-t2/

Yn4

Xm

Xm

Co

DC

-Schaltung eines FIe Elters

4 C'

I . . . . . . . . -~ CM-2Î

.

Schematische -Darstellung der Zelleneines semisystollscyhen FI,2 - Filters

4

Cz CM-2.D~X- - .D

SignalfluQgrgohr ."Xm-1

M.Anzahl derZellen oder .ASPS

CM-1

Verbii7dung


Globalsystolisches

nicht rekursives Filter (FIR)

Eigenschaften

Wie semisystolische Filter, jedoch mit getakteterEingabe der Signal-Abtastwerte zur elektrischenEntkopplung der Prozessorzellen .

Suche nach der Topologie_ der Schaltung :

Für das semisystolische FIR-Filter galt :

1

2

3

°-3 21y = (cox)+Z 1 [(Cl x) +z 1 [(c2 x)+2"1 Dc3 x) + . . .

111

wird verallgemeinernd statt Z -1 , Z-K

für k = 1,2,3 . . .

gesetzt, so ist als Spezial-

fall der erste enthalten . Wegen

Z K=(epTa)-K= (epkT4 )-1

t diskrete Laplace-Transformierte


K vervielfacht die für das semisystolische FIR-

Filter gültige Taktzeit . Die Filterkoeffizienten

Cm-1 hängen von dieser ebenfalls ab, so daß sie für

das globalsystolische FIR-Filter gleichen Zeitver-

haltens neu bestimmt werden müssen .

1

2

3

.--3 2 1

y=

aOX+ZK.C(a1X)+ZK'C(a2X)+ZK.[(a3X)+ . . . ] ] ]

Für K = 2 gilt für das globalsystolische Filter

unter-Berücksichtigung seiner Topologie :

y=aox+zl - la, (ziX ) +zl [a2(ï?x) +" [a3(z3x) +,.., ]11

Globalsystolisches

nicht rekursives Filter (FIR)

Umworndeln e1bes semlsystoll 5cben in eii?globalsysiolisches FIR - Flter 2" Ordrnu/7g


6



6 .3 .2 Multi - Signalprozessorstrukturen

6 .3 .2.3 Rekursive (1113) systolische Filter

Systolische rekursive Filter

P(Z -1 ) und 1-Q(Z-1 ) sind die Übertragungsfunktionen

zweier nicht rekursiver Filter .

W_X = [1-Q(z' ) ] .W

Y =

P (Z-") - W

Y

P (Z- ')X

=

Q (Z - )

P ( _1 ) - X [1 - Q (Z-)]P(f')


Semisystolisches

rekursives Filter

Mii :Plz1 ) = ao+a1 z1 + a2z'2+ . . . . .

Q(z1 ) = 1+b,z'+b2z'2+ . . . . . .

Y=(GOW)+zl[(a, W)+z'r(a2W)+ . ._,

W- X= 0-W-z-' [( b,W)-z-1[(b2W)- _

-b,al

-b2 -bsa2 a3

W


Globalsystolisches

rekursives Filter (IIR)

Y = P (Z_ 1 ) . W

W-x = [1-o(Z1)].w

2 3

.

32 1Y=aOW+Z1 [01 (z'W)+z1 [a2(z2W)+Z1 [a3(z3W)+ . . .

w-x=0 -W+z1 [-bl (z'W)+z1 [-b2(Z2 W)+Z1

.

[-b3(z3W)+ .. . .111

UMSETZER DSP 00 DSP 01 DSP 02

I I II - I I I I r-~

1-11(, 1 Y 1 + 2-1 ,+, Z-1 1 .(- -~- 4-0

I I I Ii I I

L_J I1 1 1 X

I00

I1 X ai 1 X °2 I

I I ""o"̀ II

I I I """W I I p?""j b "w"",

"1l L._..b,.

a:, 4

i.- u ~

I x0 I x _bi I X_b ÎI I I I I

i-

iI

X1

+ ,,~ + 2' + z, + Z'h -t-0x (t) I I ~ I i e_~ I

I I iI I W_X

12 ry

w (n) Î I Î I_�x(n) -.~ i I I I

w(n)-x(n ) I I I ,. . . -0I

0I _b~ I .bN-1 -K NN

y(n) I I I . . . 0Ia~

I 4-pi I aN-1I O N

i I I I

m


6




6 .3.2.4 Systolisch binärer Baum

Terrnli7al - Elr7gabeGlobalsysto%scher Baurn

ARCHITEKTUR-VORGABE

PROGRAMMEINGABE

DETAIL

Character-Symbol :

Single-Symbol

3

PROGRAMMNAME : nameARCHITECTURE : tree

Correction [YIN] ?

PROGRAMME : nameARCHITECTURE : treeDSP-NUMHERS : 25

press <returri> to continue


which Installation do you avant ?

- DAC / ADC on the top [dac/adcl ?

- hdw many output/input parameters [1 . .ms] ?

- contra data flow between the DSPs [y/nj ?

6


6.4 Dimensionierungsbeispiele

6.4.1 Feldstruktursimulator als Beispiel einerQuasi-Analogrechnerstruktur

Feldstruktursimulator

für TEXTOR


218

Feldstruktursimulator TEXTOR

- Modellbeschreibung -

a_

.cos (27r$)

f$ . 20PIosmastromproflz

fr -~ .,. (Ko-r) z.

fa

b - b

Z Bmn sii7 2r(m$--în f)f-t

d& -+.%.i9,)2

fr'lod~

dr , =

~tr' fryi 2- 2 - ,5dyp

EleletrIsche Pnologie


Zu siinullérendeorÔpen

I Analoq- NetzwerK Digital- NetzwerKANALOG-Rechner

IHARDWARE- Rechner

5p op t -,. rJ " .j T

-&(?,J -i t/9-(tl -i- &

r (el-"- (Ir (t) -1 riz

Feldstruktursimulator TEXTOR

- Aufbau -


Plasma-Moden Plot-Nr.c 011

6



6 .4.2 Butterworth-Tiefpaß zweiter Ordnung

223

Direkte Dimensionierungsmethode mit derbilinearen Transformation

Beispiel :

Butterworth-Tiefpaß

JA (jw)I= 1

JA(jw) i ~ V.(e-)4 + (T2- 22 ) w2+1wo

0,707 IA (jw)

I 1=O)4+1

Butterworthbedingung 2wo

R L

lU.(z)I (z)

C U2(Z)

.,

U2 (z)Tu z+1= 2C

.z-1

I (z)

U°(z) 2 L z-1 To z+ 1= (R+

+ 0 (z)To z+1 2C z-1

A(z)= (J2 (Z) = Cz2 +2z+ 1

U. (Z) ° 1- ( 2 )2 1+ ( 2 ~2_ 2

Z2+2woTa w.Ta fJoT%

'z+

((( 2 )2+ 2 2+

212-1+ (w.Ta1 +woTa

2~1+ `woTa w. T.

Cô1 + ( 2 1 ) 2 + 217

woTa wo Ta

ZENTRALLABOR FUR . ELEKTRONIK

Direkte Dimensionierungsmethode mit der

bilinearen Transformation

Bestimmung der Abtastfrequenz :

Mit Abtasttheorem :

Ta= 2 - (4-fo) = 8-fa

-~

foTa =8

--f-

W.Tc'2 Tf8

A(z)= 0,0902-z2+0,1804 " z+0.0902z -0,9895 .Z+0,3503

= 0,7854

y (n)1

14 wrWo


225

6



6.4.3 Entwurf eines Tiefpasses dritter Ordnungmit dem Filterkatalog von Rudolf Saal

227

Filterentwurf

mit Filterkatalog von Rudolf Saal

rt=1 12!P

Q

r1=1i Uc1 W1h Filter ~ WS r7 I USlIL-1-4i e

oder (a)

il[--l"H (p) = Betriebsdämpfungs-

2 Y R2 funktionA(p)

_H (p) A (p) = Übertragungsfunktion

NormierunrM

_Ri R2 R2 f/HzRs r2

_RB

=Rl ~

=

fBIHz

C 0301

"~20191NQA) 1 A~I

C0301 ®.

1

rtH(P)-C (P

_al)(P''27:p+h)

I ", 1 2 7 A' + Aw7

"t o 0.0004 dB 7ai + Pi1 ®,~ ,~ YI

T

0 A07 1 A, A- m 7 7 7

9 A. "1 ®fi -

1I Iea1 1 et rtm 1 I .A- I Aa. -a. I t9. I C

d8 c-1 IS I tl.I

r 1 nWt tHO1NôsIW7

e .aiH1 e .lH7t7 ôaaaato tNauôn4m

Nma Lomaaoat N-N

selaaosaI

T7

0.7177a 0.wN1annl4e.4-1 0 .4ffya

.eaaaeaO .aNaaa0 .-7wI1

0.a07010100t,W3nN01N4ea7 iwwnNf0.NN0%a

I OfN1777H 171 1

O.If77ae.Ni333 O.t77777

e.IMINO.Oliw O.HIn1 0.011HI t1 .w117431 O .aa,a000

.7 .f117nn71 0.aaNaM eW7Niff

I1 1.1MNx11 et 1

O.N76HNax 0171077

.éflnHSw4

tel- 1f71H O.HNf10.1w1177N

t.7. t4N.Nl1 tOaN0a001]3771H7tf LIOn1I4N~ .N7711w1 O.OOaNaa 7.WSan1

I1 7.113]N313 M.I

O.NNa0 .7H7H 1.I1N13

Ô14n010.077774 I,INIIt O.IISnI

O.IWS711N0 .073001 0.7117W17 0000000000

.MIN7771f 7]OI7NIt10I.NN471N eweNawl S7MIIN01

7I elf74t7777 1f.7 1

O .M1711O .MINt 0A03137

1,141Het-Il 0.4fN71 OAOSSI7

0.N7H11137ONH01 7]IweOff â.daaa0a

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O.HHf10.1473a

OO.S7f177 0.1H47t e .17H41 171w7f11 O.OOaaxa ~ .4417- aaaa0N0

.1771N17N I .IIH4WI0.f71Ntw

7 0.7)SOS1 .OOSle O.t71M>71N

A A, "1 I " I tf .- I cI . I 77 . I I )7._ I cl . (t. I-012, I De, I - . I -P. C

de ® ,'-1 T-1 7'00 7z-1

m


Filterentwurf

- Beispiel C031 -


21C

wB = Bezugs - KreisfrequenzT. z-11-1- WB Z+1

TQ = Abtastzeit

z-1p=k z+12k = To wB

Dimensionierungsbeispiel C0301 :

as =42,9 dB

2s =9,5'66772234aD = 0, 0004 d B

2m2=11, 039187451

c4l = -2,9107397976

(3l = t 0,0000000000o%2 = -1, 3523783769

(32 = ± 2,6067114834

c = 4,854768535

12 = 8,6238

k =

1

,

-f

_

1

,

fA/ Hz1T

fB - 1T

fs/ Hz

'sfA =2 " (2fs)

2fsf A fk =10, 5


Filterentwurf

- Bilineare Transformation von A(p) -

Nach Filter katalog R . Saal für C031 :

2 2

A(p) =

1

p ++col2c (p-a.,) (p

2oc2p+X2)

Mit bilinearer Transformation :

Für das Filter C031 gilt :

p= k z -1

Z-1 2 2(k z+1) +2co2

k Z+12) - (1-1]-[(k Z+1 )2- 2a2(k Z+1) +i2]

A(Z) =

' -Z+1

.a2o

+ a21 Z+ a2oao Z - b»

z2- b21 Z + b2o

A(Z) ist die Obertragungsfunktion eines

Filtergliedes 1 . Ordnung und eines Filtergliedes

2 . Ordnung .

ao =2c(k-ai) (k 2 -2oc.2k+~2)

= 130 .2125-147,2742b» _ (k+a, ) ( k-oc i )

_+

0,5659a20= k2+ Qco2

=+232,1139a21 = 2 " ( 22a) - k2 )

_ +

23,2278

b21=2 - (k 2 -g2 )1(k 2 -2oc.2k+92) =+ 1,3801

b20= (k2+2c(2k+â2)1 (k2-2a2k+X2) =+

0,6143


1,5761 z2 +01577 z+1.5761Z-1,3 801 z +0,6143


231

6



6.4.4 Oszillator

U, (P)

-~C

U2(P)Ta

U2 (P)

-

1A(p) =Ui (p)

-1+PZ+w P2


A(z)= 1

Cj+ ( 2

,2+ . 2L

WOTa J Ta

1 fQwoT, - T'

fo

Oszillator

z2 +2z+1

1 - ~ w2Ta)?Z

C1+ 1 oTa12J- 2-E

ZZ+2 [1+ ( w2Ta)2]+21a + [1+ (oTa~ 2 1 +T

~ - TQ

Z = RC

w° -LC

Beim idealen Oszillator ist A=0 !

Durch Rundungsfehler bedingt ist er instabil . Durch

ein experimentell zu ermittelndes ä ~ 0 wird die

Stabilität erreicht .


Da der Oszillator freier schwingt, bekommt er keinEingangssignal . Deshalb sind nur die Koeffizientendes Nennerpolynoms wichtig !

Anfangsbedingungfür Sinusgenerator

235

6



6 .4.5 PI -Glied

Digitale Signalverarbeitung in der RegelungsteclhnikPI-G11É'd

PT.

R(P) = V ~pT!Laplgce

7ransformrérte

Kft1 _ ,~~_~ . ~- t

%~ c i! -,) = V

lez

Ki

Ki= 2-ri

, -1Ira

eiliniareTrannsforrnli?rte


6



6.4.6 PID -Glied

.Dig%tcale Sigr7alVef arbeiïurng ii7 derPeye lungs teehr7ik

PID -

&

Tpf1

T p t1i9(P)=v

T,- P

TyP

Loploce Tr4nsformiérte

AD -GL,éd

lVeberrbedlngungerr

2p,2S «,e4.<<,e3

C3 « C4.

v~e e3a. ea

%j x Z3C3

T Pb, R~ C*

Tv PU Rs C,f

I- GLied


6



6.4.7 PDT -Glied

1Pt'g l'tale Signalverarbeitung ii7 der PegelungsfechnikPD T- Glied

22

A~p~ = V

Ti, -,0

7''v -,o t

2a

= V <2v 1

1~~

Qt(Pit2t) .C =Ti2jtQ,t22

Y

LaplaceTransformierte

A*(Z.-1) = (/ .

k'v-9 _ L-I

, Z->K~yf9 ll~ +~

i' ~, . Z-1le-'r Af

2rc = TV

K'v _ 2Tv

Ta.

g~%ineareTransfarmrértG


6



6 .4.8 Globalsystolischer 11R - Tießpaßfilter C 031

Systolisierung des

Tiefpasses C031

0bertragungsfunktion des nichtsystol ischenTiefpasses :

A(z) = 0,0077 - Z+l

1,5761 Z2 +0,1577 Z+1,57617U-

Z -1,38012 +0,6143

Systolisierung :

- Ausmultiplizieren der Obertragungsfunktion

- Zähler und Nenner durch z mit der

höchsten Potenz teilen .

A(z)

=

,0121

+

,0134

Z-1

+ 0,0134 Z -2 +

0,012115

Z-3

1

-1,9460

Z

+

1,3953

Z

-0,3476

Z-

Anzahl DSPs :

Die Anzahl der Polynomglieder entspricht der Anzahl DSPs .

Filterkoeffizienten :

sind identisch mit den Polynomkonstanten .

ii .

x(n) -

~-

00

,

al

02

03

0y (n) `.�

.1

0

b,

b2

b3

00

Zählerpolynom :

+ 0,0121

+ 0,0134

+ 0,0134

+ 0,0121

Nennerpolynom :

0,0000

- 1,9460

+ 1,3953

- 0,3476


6


6.5

Einfluß der Quantisierung


Institut für Grenztlächenforschung und Vakuumphysik

Ein digitales System besteht im wesentlichen aus Koeffizientenspeicher, ZustandsspeicherAddierer und Multiplizierer (siehe Beispiel digitales, rekursives Netzwerk) .

-.8_75

Beispiel digitales, rekursives Netzwerk

y(n)

Für Echtzeitverarbeitung kontinuierlicher Signale sind zusätzlich von der Anwendungabhängig ADU (Analog-Digital-Umsetzer) und/oder DAU (Digital-Analog-Umsetzer)notwendig. Die bei der Realisiereng notwendige Maßnahme der Wortlängenbegren-z ng (binäre Zahlen endlicher Wot~länge) führt zur Abweichung des Systemverhaltensvom Idealfall (- Wortlänge) und wird verursacht durch

- Quantisierung der Abtastwerte (Eingangssignal) durch ADU (Quantisierungsrauschen)- Quantisierung der bearbeiteten Abtastwerte durch DAU (Ausgangssignal)- Reduktion der Wortlänge bei den Koeffizienten (Abweichung von der Übertragungsfunktion)- Reduktion der Wortlänge bei der Multiplikation (Rundungsrauschen, Grenzzyklen)- Überschreitung des Zahlenbereichs (Überlaufsschwingungen)

Quantisierung des Eingangssignals durch ADUllie analoge Eingangsgröße es AVU mit einer w-stelligen Wortlänge unterteilt denAussteuerbereich 2A in N=2w Quantisierungsstufen. Alle kontinuierlichen Eingangs-signale, die innerhalb einer Umsetzungsstufe q liegen werden in einer Binärzahl um-gesetzt, die ein Ausgangswert der N Ausgangswerte ist. Die aus der Eingangsgröße x undder vom ADU umgesetzten Ausgangsgröße xd gebildeten Differenz e = x - xd stelltden Quantisierungsfehler dar. Er beträgt, da sich x um den Quantisiemngsstufenmittelwertändern kann, -0,5q <- e <_ 0,5q. Die Unsicherheit der Ausgangsgröße des ADU ist t0.5q.Die Einbeziehung der eben beschriebenen starken Nichtlinearität des ADU's in einemathematisch exakte Systemanalyse zur Untersuchung des quantisierten Signales, ist fürdie praktische Anwendung zu aufwendig. Mit Hilfe eines einfachen Rauschmodells kön-nen die Auswirkung der Quantisierung für viele in der Praxis vorkommenden Signalenäherungsweise beschrieben werden. (siehe Abbildung einfaches Rauschmodell)

-3--- xd(nT)e(nT)

einfaches Rauschmodell (LTI) für ADU-Quantisierung

Voraussetzung für das RauschmodellAbtastsignal x (nT) und Quantisierungsfehlersignal sind unkorreliert.Rauschquelle Quantisierungsfehlersignal) hat die statistischen Eigenschaftenetchmäßige Verteileng, konstantes Leistengsspektrum und stationäres Verhalten.ie Antwort des LT I-Systems (siehe einfaches Rauschmodell) auf ein stochastisches Signal

246

Einfluß der Quaatisierung

können einfach, wie bei deterministischen Signalen mit Hilfe der diskreten Faltung oderim Frequenzbereich berechnet werden .

Quantisierung der bearbeiteten Abtastwertea t man die

ear ettete

en oge n

etungsweise als "analoge Größe" auf ( reelleZahlen folgen natürlich nicht unendlich dicht aufeinander), die sich über den zur Ver-fügung stehenden Zahlenbereich ändern, so ist die Ganzzahlwandlung zur Anpassungan den DAU eine Wertquantisierung, die sich näherungsweise mit dem oben beschrie-benen einfachen Rauschmodell beschreiben läßt.

Reduktion der Wortländen bei Koeffizientenn der

I -liegen die

oe iztenten

r einen digitalen Algorithmus nach Lösung ein-er Approximationsaufgabe als gebrochene Dezimalzahl (doppelte Genauigkeit) vor.Für die hardwaremäßige Realisierung eines digitalen Systems müssen diese vorliegenden,großen Wortlängen durch Abscheiden oder Runden reduziert werden.

Beispiel : y(n) = x(n) + 1,25y(n-1) -0,875y(n-2) (siehe Beispiel digitale, rekursives System)

1,25(10) =

01,010000(2 Rundung auf 4 Bit :

01,01(2)-0,875(10) = -00,111000(2) Rundung auf 4 Bit : -01,00(2)

tl

Stoßantwort eines rekursiven Systems

Stoßantwort eines rekursiven Systemsohne Rundung

mit RundungReduktion der Wortlän

te im obigen eisptel digitales, re~sursives

etzwerk zu sehen, besteht die Ausgangs-größe eines digitalen Netzwerkes aus einer Summe von Produkten aus Koeffizienten undZustandsvariablen.Die Wortlänge der Multiplikation zweier binärer Zahlen ist w = wl + w2 - 1 (incl . f).Man muß deshalb eine Wortlängenreduzierung vornehmen durch Runden oderAbschneiden. Dies führt zu einer Genauigkeitsverringerung, die bei rekursiven Systemalgorithmen zu oszilierenden Schwingungen (Grenzyklen) führen können. Dieses Runden,Abschneiden der niederwertigen binäeren Datenbits wirken sich unterschiedlich aus undsind eine stark nichtlineare Operation. Insbesondere wird dadurch die Anzahl der Filter-koeffizienten bei einem rekursiven Filter eingeschränkt und der rekursive Algorithmusstellt im Prinzip eine nichtlineare Differenzengleichung dar. Bisher existiert keine voll-ständige Theorie über derartige Differenzen. Rauschmodelle, die weiter oben bei derQuantisierung der Abtastwerte kurz skizziert wurden, können Beiträge zur Anlyse derWortlängenreduktion durch die Multiplikation liefern .


1 1, t

t J ~'. 1 - ~.--~

t "'t 1 i II

t- "fI

Itt- ~f t

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tl 17 11 tl tltl 11 11 1J t1t`

li I

� I f tl



InstabilitätRekursive, digitale Systeme werden mit Hilfe von Stabiltätskriterien für LT I entworfenunter der Annahme einer unendlichen Wortlänge. Bei der Realisierung mit endlichenWortlängen können Instabilitätsprobleme auftreten, die Grenzzyklen und Überlauf-schwingung genannt werden.

~Gre~kle~n sind Ausgangssignale periodischer Art . Sie treten bei rekursiven Systemenei konstantem Eingangssignal auf.

Überlaufschwin n en nennt man Schwingungen, die bei Überschreitung des endlichen2, en ereic a treten (endliche Wortlänge). Diese Schwingungen treten bei der Fest-kommadarstellung auf und lassen sich durch eine Gleitkommadarstellung bei gleicherWortlänge vermeiden .

Die beschriebenen Effekte, der Reduktion der Wortlänge bei Multiplikation und Koeffi-zienten, die ihre Ursache in der endlichen Wortlänge haben, können durch Vergrößerungder Wortlängen oder durch Änderung der Zahlendarstellung (Gleitkomma- statt Fest-kommadarstellung) herabsetzen bzw vermeiden.

Simulation und Untersuchung von digitalen Systemen können mit Hilfe eines Univer-salrechners und dessen Umgebung mit der erforderlichen Wortlänge durchgeführt werden,insbesondere im Hinblick auf die von der Wordängenreduktion verursachten Effekte,indem schrittweise die Wortlänge im Simulationsprogramm herabgesetzt wird .Ebenfalls können die Quantisierungseffekte von ADU und DAU durch Einfuhren einerentsprechenden Nichtlinearität simuliert und somit ihr Einfluß für die in der Praxisauftretende Anwendung abgeschätzt werden.

247

7

Digitale Verarbeitung mehrdimensionaler Signale

7.1 Einführung

Which installation do you avant ?

- how mang columns

[1 . .87 ?- how many lines

[1 . .87- contra data flow in the lines

[1/27 ?- contra data flow in the column

[1/27 ?- DAC or ADC or both in the l .line

[d/a/ad ] ?- DAC or ADC or both in the 1 . column

[d/a/ad7 ?

Terminal - Eli7gabeGlobcrlsystalische .DS~°-Matrlx

ARCHITEKTUR-VORGABE

globalsystolic DSP-matrix

Character-Symbol :

Single-Symbol

2

L1

PROGRAMNAME : naineARCHITECTURE

Ti

Which installation do you avant ?

- how many columus

[1 . .8] ?- how many lines

[1 . .8] ?- one or two direction(s) in the lines

[1/2] ?- one or two direction(s) in the column

[1/2] ?- DAC or ADC or both in the l .line

[d/a/ad] ?- DAC or ADC or both in the 1 . column

[d/a/ad] ?

PROGRAMMEINGABE

DETAIL

Correction [YIN] ?

PROGRAMME : nameARCHITECTURE : globalsystolic DSP-matrixARRAY-SIZE

: 5 x 6


Prof. Dr . U. EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte MathematikEinführung

Unter �mehrdimensionaler" Signalverarbeitung soll hier durchweg zweidimensionale Signal-verarbeitung verstanden werden . Die Grinde hierfür sind :

o Die begrifflichen Schwierigkeiten treten beim Übergang von einer zu zwei Dimensionenauf, die Verallgemeinerung von zwei auf mehr Dimensionen ist dann nicht weiterschwierig.

9 Das Hauptanwendungsgebiet der mehrdimensionalen Signalverarbeitung ist die Bild-verarbeitung . Hierbei hat man in natürlicher Weise zwei Dimensionen.

0 Zweidimensionale Signalverarbeitung hat den Vorteil, daß alle ihre Begriffsbildungenauf naheliegende Weise visualisiert werden können .

Der technische Aufwand bei der Verarbeitung und auch der Darstellung steigt expo-nentiell mit der Dimension. Dies ist ein Grund dafür, daß man sich häufig auf zweiDimensionen beschränkt.

Es gibt eine große Anzahl von Erscheinungen in der zweidimensionalen Signalverarbeitung,die sich problemlos aus dem Eindimensionalen übertragen lassen. Beispielsweise wird einFernsehsignal, da ja �von Hauseaus" zweidimensional ist, zeilenweise abgetastet und danachauf dem gesamten Wege vom Fernsehstudio bis zur Bildröhre des Empfängers wie ein eindi-mensionales Signal behandelt, wobei man aufdie Korrelationder Bildpunkte orthogonalzurAbtastrichtung verzichtet . Allgemein haben Systeme, die von Natur aus zeilen- und spal-tenweise strukturiert sind, die Eigenschaft, daß sie sich besonders gut auf eindimensionaleSysteme zurückführen lassen. Solche Systeme nennt man separabel. Das wichtigste Beispieleiner separablen Begriffsbildung ist die mehrdimensionale Fouriertransformation, die sichdurch Hintereinanderausfùhrung von eindimensionalen Fouriertransformationen realisierenläßt (vgl . Abschnitt 7.2) .

Beim Übergang von der ein- aufdiezwei- (odergarmehr-) dimensionale Signalverarbei-tung treten einige Phänomene auf, die zu besonderen Problemen führen . Zunächst einmalsind für die zweidimensionale Signalverarbeitung wesentlich höhere Datenraten typisch, alsfür die eindimensionale Signalverarbeitung . Ein nicht besonders großes Bild kann etwa

512x 512 = 262 144 Bildpunkte haben. Schon bei mäßiger Grauwertauflösung und geringer

Bildrate gelangt man rasch zu enormen Anforderungen an die Verarbeitungskapazität (vgl .

hierzu auch Abschnitt7.8 ) .Ein weiterer grundätzlicher Unterschied besteht darin, daß im Eindimensionalen die

Trägermengen (Fenster) im wesentlichen nur Intervalle, also mathematisch recht einfache

Gebilde sein können. Schon im Zweidimensionalen können die Fenster beliebig kompliziert

sein, es gibt also Probleme die durch die Notwendigkeit der Behandlung von Gebieten

entstehen, und man muß sich unter Umständen mit Fragen der �Form" dieser Gebiete

auseinandersetzen .Zu beachten ist, daß bei zweidimensionaler Signalverarbeitung die auftretenden Varia-

blen nicht immer Zeitvariable sein müssen. Bei der Analyse eines einzelnen Bildes hat man

zwei Ortsvariable . Betrachtet man ein Fernsehbild, dann konunt noch eine Zeitvariable

hinzu.

Prof . Dr. U. EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte MathematikEinführung

Eine typische Schwierigkeit, die die Anwendung der Z-Transformation (s . Abschnitt7.7 )im Zweidimensionalen einschränkt, ist die Tatsache, daß Polynome in zwei Veränderlichenim allgemeinen nicht faktorisierbar sind . Das Polynom 1 - x - y in den Veränderlichen xund y hat als Nullstellengebüde die Hyperbel y = 1/x. Es gibt keine Darstellung der Form

1 --*Y= (e - xl)*(Y - YI)'(x - x2)'(Y-

Y2)««.-Damit sind alle Begriffe, die auf Faktorisierung von Polynomen beruhen, nicht (oder dochnicht ohne weiteres) ins Zweidimensionale übertragbar. Wir haben hier ein Beispiel einernichtseparablen Begriffsbildung.

Wie schon angemerkt, spielt in der zweidimensionalen Signalverarbeitung im Unter-schied zur eindimensionalen die Geometrie eine besondere Rolle. Man kann in einem Bild�Objekte" isolieren und etwa für diese typische Kenngrößen ermitteln, wie zum Beispieldie Fläche, den Umfang, den Schwerpunkt, den Durchmesser, Hauptachsen und Momente,Formmaße und so weiter . Innerhalb eines Bildes spielen etwa Kanten für den Erkennungs-und Interpretationsprozeß eine wichtige Rolle, das heißt, Unstetigkeiten der Grauwertfunk-tion, die entweder linear oder längs komplizierter Kurven verlaufen können. Man denkeetwa an den �fraktalen" Verlauf einer Küstenlinie in einem Satellitenbild . Zu erwähnen istauch, daß im Zweidimensionalendie Nachbarschaftsstruktur (mathematisch: die Topologie)wesentlich komplizierter ist als im Eindimensionalen .

Am Ende dieses Kapitels ist Literatur angegeben. Die vorliegende Darstellung stütztsich im wesentlichen auf die Bücher von Dudgeon und Mersereau [9] und von Barnler [3],soweit es um Signalverarbeitung geht . Für Fragen der Bildverarbeitung sei auf die Büchervon Haberäcker [10], Jaroslavskij [11], Klette und Zamperoni [13] oder Zamperoni [26]verwiesen, insbesondere auf die Bücher von Voss [23], [24], [25] . In dem Buch von Börner[6] findet man zahlreiche Bildbeispiele. Intereessant ist auch das Buch von Pose [15], in demauf Anwendungen in der Physik eingegangen wird .

253

7


7 .2 Die 2 D - Fouriertransformation

7.2.1

Definition der 2 D - Fouriertransformation

Prof. Dr . U . EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte Mathematik

wobei

Die zweidimensionale Fouriertransformation ist ein gutes Beispiel für die separable Über-tragung eines Begriffes aus dem Eindimensionalen. Wir betrachten ein zweidimensionalesSignal, also eine Funktion, die zwei (relle) Argumente t1 und t 2 hat. In der Regel werdendie beiden Argumente Ortsvariablen sein . Die Funktion f(t l , t2) soll komplexwertig sein .Wir definieren die Fouriertransformationin naheliegender Verallgemeinerung der eindimen-sionalen Transformation wie folgt

F(W1,W2)

=

f

f

f(tht2)' eì`nt ' -i°nes dt 1 dt 2 =

00

ni=-W

Definition der 2 D - Fouriertransformation

ce 00

f(nlfn2)'e_

)~tnl )~7

n1=-oon]~ 00

Hierbei ist wie üblich ,j die imaginäre Einheit . In der Integraldarstellung wird das Signal fals kontinuierlich betrachtet, bei der Summendarstellung setzt man voraus, daß das Signalabgetastet vorliegt . In der letztgenannten Form können wir schreiben

F(W1,W2)

_

{ f

f(n1,n2),

éi

n21 , e-i~nnl =n, ---oo na=-oo

=

Z 9(W2,n1)'ei-Int,

9(W2, n1) =

Z

f(n1,n2) " e7°hn ln2=-=

eine Funktion ist, die nicht von n2 abhängt und in der m2 als Parameter auftritt. DieAusführung der zweidimensionalen Fouriertransformation ist also hier zurückgeführt wor-den auf die Hintereinanderausführung einer mit w2 parametrisierten Schar von eindimen-sionalen Fouriertransformationen, aufderen Resultat dann wieder die eindimensionale Fou-riertransformation angewandt wurde. Man kann also mit einem Algorithmus, der die ein-dimensionale Fouriertransformation realisiert, die zweidimensionale Fouriertransformationausführen . Eine solche Zerlegung eines Problems mit zwei Veränderlichen in eine Schar vonProblemen mit einer Veränderlichen nennt man eine separable Zerlegung.

Für die zweidimensionaleFouriertransformation existiert eine Umkehrformel, deren Her-leitung aus der eindimensionalen Form durch Anwendung der Separablilität ausgeführt wer-den kann . Es ist für ein 2a-periodisches F(w1,w2)

f(ilit2) = 1 ' J-W f" F(w1,W2)'~Wtt3+iW14 dw1 dw2 .4a2

Für mehr als zwei Dimensionen hat man analoge Formeln, es muß nur jeweils die Anzahlder Summen beziehungsweise Integraleentsprechend vergrößert werden.

Die zweidimensionale Fouriertransformation wird - analog zur eindimensionalen -angewandt zur Analyse von zweidimensionalen Signalen, für den Entwurf von Filtern sowiefür die nschnelle« Ausführung von Faltungen etc . Im Gegensatz zum Eindimensionalenist allerdings die erstgenannte Anwendung von vergleichsweise geringer Bedeutung. DieTransformierte eines zweidimensionalen Signals ist wieder ein zweidimensionales Signal,dessen Analyse in der Regel nicht einfacher ist, als die Untersuchung des Ausgangssignals.Zudem sind, wie in der Einleitung erwähnt wurde, diebei der Analysevon Bildinformationenauftretenden Probleme (Geometrie, Form . . . ) meist derart, daß die Fourieranalyse nichtbesonders hilfreich ist.

7


7.2 Die 2 D - Fouriertransformation

7.2 .2 Eigenschaften der Fouriertransformation

Prof . Dr . U . EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte MathematikEigenschaften der Fouriertransformation

Die von der eindimensionalen Fouriertransformation bekannten Eigenschaften übertragensich sinngemäß. Wir listen die wichtigsten auf:

Linearität

afi -F bf2

4--+

aFx -F bF2

Translation

f(tl-si,t2-s2) "-+

ej°'"-j"n°=P(40t,w2)

Modulation

f(t1, t2) - e0'tl+i02t2 ,-,

F(wl -ehw2 -82)

Multiplikation

f(tl,t 2) " g(tr,t2)

+-+

l x xF(B1, e2) - G(40i -Bi, 402 - 02) dol d02

47r2 , ~x~xaF(w,,w2)

Differentiation -iti * f(ti ,t2)

Fouriertransformation) wird auf den Abschnitt 7.5 verwiesen.

49w1aF(w l , 402)

49402Transposition f(t2,ti) +--+ F(w2,w1)

Reflektion f(-t l ,t2) .--~ F(-wl,w2)

f(ti, -t2) ~-' F(wi,-402)

Für Details der praktischen Realisierung (diskrete Fouriertransformation�,schnelle"

7


7.3 Das zweidimensionale Abtasttheorem


I

Das zweidimensionale AbtasttheoremInstitut für Angewandte Mathematik

Wir setzen separable Abtastgeometrie voraus. Die Herleitung des zweidimensionalen Ab-tasttheorems ist dann vollständig analog zu der eindimensionalen Vorgehensweise .

Wir approximieren zunächst einmal die Funktion

f(t1,t2) =

F(WI,CJ2) . eiW,e3+iWJ~s dco1 dW24Jr 2 ,o

.

durch die bandbegrenzte Funktion

f(tl,t2) _1'IW1 I WOF(wl,w2)'e

JW1tl+i'4 dw1 dw241r2

mit den Abschneidefrequenzen w1 und wz. Die (periodisch fortgesetzte) Funktion F(wi,w2)hat eine Darstellung als Fourierreihe

Damit erhält man

= 4'WD'WY'Fm,m�

00 00

F(w1,W2) =

r,

r,

Fn,n2 ' eJn1R41

/1

J

~7/_

ny=-00 n2=-0o

mit den Fourierkoeffizienten F�,n, . Einsetzen in die Darstellung von f(11, t2) liefert

j~ WOzF(w1 , w2) . ej,nlxW1/W~+i,nJxWJ/WZ

dW1 dW2 =1 1_,A

f- '

a

f-'=

I

Z

Z

Z

F

Clalnl^m11W1/W1_Jx(ns_n+J)47/Wi dW1 dW2 =o o

nIn,W,

W, �,o-oon,_ o0

wobei von der Orthogonalitât der Exponentialfunktionen Gebrauch gemacht wurde.

Es istIr

7rf(t1 = m1' Wl,t2=m2'

Q12)=

=_IW1

J W

W

. eiW,m�r/W1F

+JWJ+nsxlWS 1 _(

i,W2)47r2

= " W''wy'F.,m, .Jr

F(W1,W2) =

0

2

0

f(nIÛ,n2Û)W1 W2 n1 -- W-oo W 1 W2

und schließlich, wenn man Ti° '= ~ für i = 1,2 setztwi

Prof . Dr . U. EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte MathematikDas zweidimensionale Abtasttheorem

f(tl,t2) -1 W2 (W2

020

f(nl'7rw~,71y " 7rWZ)J247r oN -,{wlw2 " nyo- .oon2--oo

0o mf(nITi, n2Ts) '

ny .-oo n2e-oo

4wjw2

ao

0o

Sin 7r(T - ni )

sin 7r(T-n2)f(niTi,n2Ts)'

-ni=-œn2=-œ

~(Tl

ni)

7r(T~

n2)

wieder in voller Analogie zum eindimensionalen Fall.

.C)n2xW2/WS°-)n2x~n/Wil . ejWyly+i-n12 1k,21

WO WO2 2 inyxWy/Wjtj-1911-W

dcJ1 dW2 -fJ~

Abbildung 1 : Orthogonale und hexagonale Abtastgeometrie in der Ebene

Wir hatten angenommen, daß separabel, das heißt, in Koordinatenrichtung abgetastetwird . Durch geschickte Wahl der Koordinaten kann man die nEffizienz" der Abtastungsteigern . Es ist nicht überraschend, daß man im Zweidimensionalen am günstigsten einhexagonales Gitter wählen sollte (siehe Abbildung 1), Die folgende Tabelle' zeigt, daß beihöheren Dimensionen der Effizienzgewinn der �hypersphärischen" gegenüber der orthogo-nalen Abtastung beträchtlich wird . Für die präzise Definition der relativen Effizienz wirdauf das angegebene Buch [9J verwiesen.

'Aus Dudgeon und Merseresu

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0t

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0o-o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Dimension1

relative Effizienz1 .000

2 0.8663 0.7054 0.4995 0.3536 0.2177 0.1258 0.062

261

7


7 .4 Zweidimensionale Systeme

7.4.1 LSI -Systeme


Institut für Angewandte MathematikLSI -Systeme

Grundsätzlich sollen hier nur diskrete Systeme betrachtet werden . Anstelle einer Signal-funktion f(t-,t2) haben wir demgemäß diskret abgetastete Werte x(ni,n2), wobei nl undn2 ganze Z -en sind. Dabei können wir uns vorstellen, daß nl und n2 Koordinaten vonPunkten der Ebene sind und x ein reelles oder komplexes Signal. Das zweidimensionaleSystem ordnet dem Signal x(n7 , n2) das Ausgangssignal y(n1, n2) zu :

x(nr,n2)

Ein System heißt linear, wenn für je zwei Signale xr und x2 und für reelle oder komplexeZahlen al und 12 2 stets gilt

Ein System heißt shift-in variant, wenn für eine Verschiebung um die ganazahligen Beträgeml und m2 gilt

wobei L[xl = y sein soll . Ein lineares System, das zudem shift-invariant ist, nennt manauch ein LSI-System .

Für irgendein beliebiges System kann man die Impulsantwort gemäß

definieren, wobei

O

L[alxi +122X2] = ai - L[xi]+a2 - L(-21-

---+

y(ni,n2) =: L[xl .

L[x(nr - mi, n2 - m2)] - y(ni -ml, n2 - m2),

hk,k,(nr, n2) := L[b(nl - ki, n2 - k2)1

für nl =n2 = 0,sonst

der Dirac'sche Einheitsimpuls ist . Im Falle eines LSI-Systems hat man die besonders ein-fache Darstellung der Impulsantwort als einer Funktion von zwei Variablen, das heißt also,als diskretes Signal

hk,kz(ni , n2) = h(ni - ki, n2 - k2).

Die besondere Bedeutung der LSI-Systeme wird damit auch transparent : Die System-

gleichungen vereinfachen sich erheblich, und das Verhalten des Systems ist durch seine

Impulsantwort vollständig beschrieben :

y(ni, n2)

_

x(ni - k,, n2 - k2 ) ' h(kl, k2)_

k~ -- -oo k=-oo

--

x(ki,k2)' h(nr - ki,nz - kz)k, =-oo ky=-oo

= x**h .

Wie im eindimensionalen Falle gewinnt man also die Systemantwort

Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems.durch Faltung des

um den unterschied zur eindimensionalen Faltung deutlich zu machen, bezeichnen wir

die so definierte zweidimensionale Faltung mit dem Symbol ** . In Abschnitt 7.4.4 werden

wir uns eingehender mit der zweidimensionalen Faltung beschäftigen .

7


7.4 Zweidimensionale Systeme

7.4.2 Separable Systeme

Prof. Dr. U . EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte MathematikSeparable Systeme

Auch für zweidimensionale Systeme ergeben sich besonders einfache Verhältnisse im separa-blen Fall . Ein zweidimensionales LSI-System heißt separabel, wenn sich seine Impulsantwortin folgender Weise zerlegen läßt :

Im separablen Falle gilt

h(ni, n2) = hi(ni) - h2(n2) .

Y(ni, n2)

_

r,

Z

x(ni - ki, n2 - k2) . hr(ki) - h2(k2) =k, o-oo kz=-oo

0o

co

_

hi(ki ) -

E

x(n i - ki, n2 - k2) ' h2(k2) .kl=-oo k2=-oo

Ähnlich wie bei der zweidimensionalen Fouriertransformation (Abschnitt 7.2.1) führt mandie Funktion

g(ei, n2) .=

Z

x(pi, n2 - k2) ' h2(k2)k2=-�

ein, die n 2 als Parameter enthält und explizit nicht mehr von ni abhängt. Hiermit wirddann

P(ni, n2) =

hi(ki) . g(ni - ki, n2) .k, =-oo

Man kann also ein zweidimensionales System realisieren durch Hintereinanderausführungvon eindimensionalen Faltungen. Man benötigt zur Berechnung von g aus x und h2 ins-gesamt .N Faltungen, wenn x außerhalb eines Quadrats der Seitenlänge N verschwindet

(,zeilenweise Faltung) . Danach berechnet man y aus g und hi durch ebenfalls N Fal-tungen (�spaltenweise Faltung) . Somit hat man im separablen Fall die zweidimensionaleFaltung auf2.N eindimensionale Faltungen (mit Zwischenspeicherungvong) zurückgeführt.Ähnlich kann man im d-dimensionalen Fall ein Signal x, das auf einem Hyperwürfel der

Kantenlänge N definiert ist, auf d - Nd-i eindimensionale Faltungen zurückführen .

7



7.4.3 Die Frequenzantwort eines Systems


I

Die Frequenzantwort eines SystemsInstitut für Angewandte Mathematik

Neben der in Abschnitt 6.4 .1 definierten Impulsantwort eines Systems kann man die Fre-quenzantwort definieren als den Ausgang für das �monochromatische" Eingabesignalx(n1,n 2 ) = exp(jwlnl -1 . jw2n 2) . Für ein LSI-System ist dann

y(ni,n2) _

Die Frequenzantwort

1:

E

h(ki, k2)'kl=-oo kt=_�

ky=-œk2=-ooei~,nI+iII2�2 . H(wi,w2) .

H(wi,w2)= h(ki,k2)'e'"kz-i"*ks

ki =-ao k2=-oo

des Systems ist eine in beiden Argumenten 2x-periodische Funktion. Kennt man die Fre-quenzantwort, dann ist es möglich, daraus die Impulsantwort des Systems zu berechnen:

1 a a

h(ni, n2) = 47r2 '1*1xH(wi,W2) ' e'~�~+i"nns dwi dw2.

Impulsantwort und Frequenzantwort sind somit zwei zueinander völlig äquivalente Funktio-nen zur Charakterisierung eines LSI-Systems .

7



7.4.4 Die zweidimensionale Faltung

Prof. Dr. U. EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte MathematikDie zweidimensionale Faltung

Die in Abschnitt7.4.1 definierte Faltung hat die gleichen Eigenschaften, die man schon vonder eindimensionalen Faltung kennt. So ist zum Beispiel stets x**h = h**x. Bezeichnetman mit X beziehungsweise H die zweidimensionalen Fouriertransformierten von x bezie-hungsweise von h, dann entspricht dem Signal x**h die Fouriertransformierte X - H. Fürdie zweidimensionale Faltung gilt das Assoziativgesetz '

Setzt man hierbei w := x**h, dann hat man für das kaskadierte System

x(nl,n2) -+

darstellen läßt .

die äquivalente Realisierung

durch das äquivalente System

(x**h)**g = x**(h**g).

--, w(nl,n2) --;

(h**g) (n1, n2) -~ y(n1,n2) "

Eine analoge Betrachtung kann man für das Distributivgesetz der Faltung anstellen

x**(h .1. g) = (x**h) -F (x**g) .

Das bedeutet, daß sich die Parallelschaltung

(h + g) (ni, n2) Y(nl,n2) "

7



7.4.5 Stabilität von zweidimensionalen Systemen


Institut für Angewandte MathematikStabilität von zweidimensionalen Systemen

Auf das Problem der Stabilität eines zweidimensionalen Systems kann hier nicht vertiefendeingegangen werden . Man nennt ein LSI-System stabil, wenn für seine Impulsantwortfunk-tion gilt

Ih(nm,ns)I <COnl=-oo nx=-oo

(Bounded Input -Bounded Output oder BIBO-Stabilität) oder auch

Ih(ni,nz)1 2 < con,=-o0nz=-00

(Mean-Square-Stabilität) . Da wir uns hier auf FIR-Systeme (Finite Impulse Response)beschränken, bei denen die Impulsantwort außerhalb eines gewissen festen Rechtecks der(n l, n2)-Ebene verschwindet, spielen Stabilitätsprobleme keine Rolle.

7



7.4.6 Beispiele


BeispieleInstitut für Angewandte Mathematik I

Beispiel 7.4.1

(Vgl. (9, Seite 17f.]) . Das Signal x(n l , n2) sei definiert gemäß

_~ 1

für0<nl <Ni, 0<n2 <N2 ,x(nl, n2)

0

sonst.

x ist also ein Signal, das genau innerhalb des Rechtecks {(nr,n2) 10 < ni <_ Ni ,

0 <

n2 :5 N2} den Wert 1 hat und sonst verschwindet.

Die Impulsantwort eine LSI-Systems sei

.h(nl , n2) _1 für 0 <nl < oo, 0:5n2<00,t 0

sonst .

Man rechnet dann durch Untersuchung aller möglichen Fälle aus

x**h)(nl, n2)

0

falls nr < 0 oder n 2 < 0,( - 1 min(ni, NI) - min(n2, N2)

falls ni > 0 und n 2 > 0 .

Beispiel * 7 .4.2 . Die Impulsantwort eines einfachen Tiefpaßfrlters sei wie folgt gegeben : EinEinheitsimpuls im Punkte (n l , n2 ) bewirke in den Nachbarpunkten eine Antwort h(ki , k2 )gemäß folgender Skizze:

H(wr ,w2)

1 n2

n1

O O O O O

Die Frequenzantwort berechnet sich dann wie folgt:

W Co

Z

h(ki, k2) ' e'"'kr-i"nkx =

k,=-oo k, =-ao

0 .5 + 0.25 - le-i', + e'W' + e- i"2 + ef"nl +

+0.l25 - le-'- -'"" + e ''Wl+i"a .}. el -!.

= 0 .5 .(1+coswr)-(1+cosw2) .

(vgl. Dudgeon und Mersereau

0 0 0 0 0

0.125 0.25 0.1250 0 0 0 0

0.25 0.5 0.250 0 0 0 0

0.125 0.25 0.1250 0 0 0 0


Institut für Angewandte MathematikBeispiele

Beispiel 7 .4.3

Wir untersuchen jetzt das umgekehrte Problem. Die Frequenzantwort eines Filters sei gegeben, gesucht ist die Impulsantwort.

Wir betrachten dazu ein idealesTiefpaßfalter mit der Frequenzantwort

Mit den Substitutionen

erhält man

h(n l ,n 2 ) _

Nach der im Abschnitt 7. .4 .3 hergeleiteten Formel wird

h(n i,n2 ) _

H(Wi,~z) _ ~ 10

Es ist dann nach der Formel aus Abschnitt 7.4.3

für lwt1 < a < r,

[W21 < b < a,sonst .

1 a b

2 .

,~ela7nt+i~fn1 dwl dW2 =4a n b

1

1b

_2̀7r "

ne]vtntdWi

"

Jbetahns

dW2

sinan,

sin bn27rn1 7rn2

Es sei daraufhingewiesen, daß wir an dieser Stelle von der Separabilität des Systems Ge-brauch gemacht haben. (vgl. Dudgeon und Mersereau 19, Seite 30J) .

Beispiel 7.4.4 In diesem Beispiel untersuchen wir ein ideales Tiefpaßfilter, das nicht se-Parabel ist . Seine Frequenzantwortseigegeben durch

für mi -I- wz < R2 < a2,sonst .

h(nl ,n 2 ) = 1 .

eiwtnt+i~nns dWi dWz .42r 2 W;+~<R2

w _

wl~- wz,

tan cp

tan r9 =-2wi

ni

1 R /

27r

w

Jv l w

ni +n2)

R

Ji (R

nl . i- n22)

Hierbei bedeutet Jp(x) die p-te Bessel- (Zylinder) Funktion erster Art. (vgl. Dudgeon undMersemau f9, Seite 30J) .

275

7

Digitale

Verarbeitung mehrdimensionaler Signale

7.5

Die diskrete Fouriertransformation

7.5.1

Definition


Institut für Angewandte MathematikDefinition

Gegeben sei ein zweidimensionales (diskret abgetastetes) Signal x(ni,n2) mit endlichemTräger. Das heißt, außerhalb eines Rechtecks

0<ni <Ni , 0<<n2<N2

soll x(ni, n,) verschwinden . In Analogie zur kontinuierlichen Fouriertransformation (vgl .Abschnitt 7.2 .1) setzt man

X(ki, k2)

=Ni-'

N2-1x(ni,n2) .e )e, n I k j ~~n=

n,=0 n2=00<ki <Ni -1, 0<k2 <N2 -1 .

X heißt die (diskrete) Fouriertransformierte von x.

Auch für die diskrete Fouriertransformierte gibt es eine Umkehrformel. Man rechnet aus

Ni-1 N2-1x(ni, n2)

=

1

X(kl, k2) . elWnilc,tJ~n2~2,NiN2

t,=o k2=0

0<ni <Ni -1, O<n2 <N2-1.

Bei der praktischen Realisierung der Fouriertransformation macht man wieder von derSeparabilität Gebrauch (vgl. Abschnitt 7.2 .1). Man schreibt dazu die Trausformationsfor-mel auf die folgende Weise um:

Ni -i N2-1X(ki, k2)

°

x(n1, 112) ' e-r~n2k

' e

i

k'

n1=0 n2=0

Nennt man wieder den Ausdruck in der geschweiften Klammer g(ni, k2), dann erhält man

X(ki, k2) =NE,,-1

g(nl, k2) - e-,Ii~n'it`ny=0

Hiermit kann man den Aufwand abschätzen, den eine zweidirnenisonale Fouriertrausforma-

tion im Vergleich zur eindimensionalen erfordert. Um für festes ni und k2 die Funktion

g(ni , k2) auszuwerten, muß man eine eindimensionale Fouriertransformation ausführen.

Man benötigt somii insgesamt Ni - N2 eindimensionale Fouriertrausformationen zur Be-

rechnung von X(ki, k2) . Wie bekannt, kann man die eindimensionale diskrete Fourier-

transformation eines Signals mit N Abtastwerten mit einem Rechenaufwand von N - logN

ausführen. Diese sogenannte �schnelle Fouriertransformationn (Fast Fourier Transforma-

tion, FFT) spielt eine erhebliche Rolle in der eindimensionalen Signalverarbeitung . Sie ist

ein sehr schönes Beispiel dafür, daß ein Verfahren durch geschickte Implementierung effizi-

ent dargestellt werden kann . Eine gut lesbare Darstellung findet man in dem Lehrbuch von

H. R. Schwarz [18, Abschnitt 4.2.2], ein einfaches Programm in der Publikation (19] .


DefinitionInstitut für Angewandte Mathematik

Es gibt effizientere Varianten zur Durchführung der mehrdimensionalen diskreten Fou-riertransformation, als die �naive" orthogonale separable Zurückführung auf eindimensio-nale Transformationen . Bei gelegentlicher Anwendung lohnt der Mehraufwand für diesekomplizierteren Varianten nicht, nur bei häufiger Ausführung und bei hbherdimensiona-len Signalen sollte man ein solches Verfahren anwenden . Eine verbreitete Variante ist die�Vector-Radix Fast Fourier Transform" (vgl. [9, Section 2.3 .3]) . Das Aufwandsverhältnis,gemessen als Anzahl der komplexen Multiplikationen, von Vector-Radix-Algorithmus zurorthogonalen separablen Methode ist nach Dudgeon und Mersereau [9, Seite 82]

Dimension Aufwand Vector-Radix-Algorithmus_ �naive Methode` -

2 0.753 0.584 0.475 0.39

279

7


7.5 Die diskrete Fouriertransformation

7.5.2 Die diskrete Cosinus-Transformation


Institut für Angewandte MathematikDie diskrete Cosinus-Transformation

In der Sprach- und Bildverarbeitung zieht man die diskrete Cosinus-Transformation (DCT)der diskreten Fourier-Transformation vor. Dies hat vor allem statistische Gründe, aufdie hier nicht eingegangen werden soll (siehe [1], [12, Section 12.6 .3], [11, Abschnitt 3.7]) .Weiterhin hat diese Transformation den Vorteil, daß sie unmittelbar eine Folge von reellenZahlen in eine Folge von reellen Zahlen überführt . Schließlich läßt sie sich ebenso effizientimplementieren, wie die schnelle Fouriertransformation.

Es sei zunächst {x(n)}nû eine eindimensionale diskret abgetastete Signalfolge. ZurVereinfachung der Schreibweise definieren wir Zahlen a(k) gemäß

Die transformierte Folge {B(k)1 ist dann

a(0) = 1 ,

a(k) = 1

für k = 1,2,--

.

N-1B(k)

2 a(k)

Ex(n)cos (2n_

+1)kir

k=0,1,, . .,N_1.n=0 2N

Es handelt sich hier nicht um den Realteil der diskreten Fouriertransformation, die Abtas-tung erfolgt gegenüber dieser phasenverschoben.

Genauso, wie bei der diskreten Fouriertrausformation gibt es auch hier eine Umkehrfor-mel, die (fast) genauso aussieht, wie die Transformationsformel:

N-1x(n)=

N . ~a(k)B(k)cos (2n ~)k7r

n=0,1,, . .,N-1.k=0

In zwei Dimensionen erhält man die diskrete Cosinus-Transformation auf naheliegende

Weise vermöge separabler Fortsetzung :

2

Ni-1 N2-1

(2n1 + 1)k1a

(2n2 + 1)k2r0(k1,ks) = Na(k1)a(k2)'

x(n1,ns)cos 2N1cos 2N2

>n1=0 n2c0

Analog erhält man die Umkehrformel

0<k1<Ni-1, 0<k2<N2-1.

2

N1-1 N2-1

(2n1 + I)klacos

(2n2 + 1)k2ir ,x(n1,n2) _

N ' E E a(k1)a(k2)'B(k1,k2)'cos 2N1

2N2101 =0 k2 =0

0<n1 <Ni-1, 0<-n2<N2 - 1.

7


7 .5 Die diskrete Fouriertransformation

7.5 .3 Anwendung


Institut für Angewandte Mathematik Anwendung

Die wichtigsten Anwendungen der mehrdimensionalen Fouriertrausformation (beziehungs-weise der diskreten Cosinus-Transformation) sind die Realisierung von Filtern beziehungs-weise die digitale Realisierung von Systemen und die schnelle Berechnung von Faltungen.

Die Impulsantwort eines Systems habe einen endlichen Träger, das heißt, es seih(ni , nz) = 0 außerhalbeines Rechtecks 0 :5 nl < NI-1 und 0 :5 nZ <NZ-1 . Rechnet mandie Faltung nach der in Abschnitt 7.4.1 gegebenen Formel direkt aus, dann benötigt manzur Berechnung eines Funktionswertes (h**x)(nl, nz) insgesamt N,NZ Multiplikationen undNiN2 - 1 Additionen .Man kann auch die beiden diskreten Fouriertransformierten X und H ausrechnen und

das ProduktX-H zurücktransformieren (wobei hier nicht gezeigt wurde, daß man auf dieseWeise tatsächlich die Faltung erhält, auch die Rücktransformationsformel für die diskreteFouriertransforma,iou wurde hier .nicht hergeleitet. Man kann dies jedoch leicht selbstnachvollziehen in Sem man analog zur kontinuierlichen Fonriertransformation vorgeht ; mankann aber auch in einem der angegebenen Bücher nachlesen, etwa (9, Chapter 2J) . DerAufwand bei dieser Vorgehensweise beliefe sich auf insgesamt 2 - Ni - Nz - log(NI - N2) +2 -Ni - Nz Multiplikationen, wenn man untersellt, daßHbereits gespeichert vorliege. Da manhierdurch alle Funktionswerte von h**x erhält, ist der Rechenaufwand wesentlich geringerals bei der direkten Vorgehensweise.

7


7 .5 Die diskrete Fouriertransformation

7.5 .4 Verwandte Transformationen


Institut für Angewandte MathematikVerwandte Transformationen

Für die Verarbeitung von digitalen Signalen wurde eine Vielzahl von Transformationenentwickelt, die der Fouriertransformation verwandt sind und die gegenüber dieser beson-ders vorteilhafte Eigenschaften besitzen . Insbesondere sind hier die Walsh-Funktionen zuerwähnen, mit deren Hilfe man die Walsh-Transformation definieren kann . Die Walsh-Funktionen nehmen nur die Werte 0 oder 1 an, daher sind sie für die digitale Verarbeitunggeeigneter als die rell- (oder komplex-) wertigen Exponentialfunktionen, die der Fourier-transformation zugrunde liegen . Es existiert eine große Anzahl solcher Funktionensysteme,die auf verschiedene Anwendungen zugeschnitten sind. Eine Übersicht mit Hinweisen aufAnwendungen findet man in dem Buch von Jaroslavskij [1l] .

Zur schnellen Ausführung-der Faltung kann man auch sogenannte zahlentheoretischeTransformationen benutzen . Auch diese haben den Vorteil, daß sie nur Integer-Arithmetikbenutzen und daher schneller und vorallem rundungsfehlerfrei sind im Vergleichzur Fourier-transformation. Die Transformierten haben bei diesen Transformationen keine anschaulich-physikalische Bedeutung. Die Theorie dazu ist sehr schwierig, man vergleiche etwa das Buchvon Creutzburg [8] .

7


7.5 Die diskrete Fouriertransformation

7 .5.5 Die Wavelet - Transformation


Institut für Angewandte MathematikDie Wavelet - Transformation

In den letzten Jahrzehnten hat eine besondere Klasse von Signaltransformationen von sichreden gemacht. Obwohl diese Transformationen nicht ganz in den hier vorliegenden Kon-text passen, wollen wir uns dennoch mit ihnen beschäftigen, da sie einerseits besondersnützliche Eigenschaften bei der Signalübertragung besitzen und da andererseits diese Sig-naltransformationen nin Mode" gekommen sind, so daß manallein der Vollständigkeit halberwenigstens einige Worte zu dem Thema sagen sollte.

Der Begriff °Wavelets" wurde von Yves Meyer Ende der siebziger Jahren geprägt (aller-dings in französischer Sprache als nondelettes") . Es gab hierzu natürlich bereits Vorläufer,etwa die Zerlegung von Signalen vermittels der Gabor-Transformation, die Quadratur-spiegelfilter, Subbandcodierung bei Signalübertragung und weitere Entwicklungen. Zuerwähnen ist eine Arbeit von' Gotthard Richter aus dem Jahre 1978, in der wohl erstma-lig sogenannte Haar-Wavelets zur Kompression von astronomischen Bilddaten verwendetwurden (man vergleiche hierzu die Kapitel 1.3 und 3.10 in dem Buch von Jaroslavskij [11]) .

Leider ist die B,zzeichnungsweise in diesem Gebiet nicht ganz einheitlich . Wenn zweiAutoren über nWa,-?~lets" sprechen, dann ist nicht notwendig das Gleiche gemeint . Hinzukommt, daß es eine Vielzahl von Wavelets gibt, die sämtlich unterschiedliche Vor- undNachteile besitzen, so daß es für den Anwender sehr schwer ist, aus dieser Vielzahl von Vor-schlägen die für seine Anwendung passende Lösung zu finden . Eine verständlicheEinführungin das Gebiet, die insbesondere aufdie Anwendungen in der Signalverarbeitung zugeschnit-ten ist, findet man in dem Artikel von Rioul und Vetterli [17] .

Wir beschränken uns hier aufdas Eindimensionale. Höherdimensionale (separable) Wa-velets kann man leicht durch koordinatenweise Anwendung erzeugen . Es gibt ohnehin nurwenige Ansätze für nichtseparable höherdimensionale Wavelets .

Wir gehen hier aus von der Beobachtung, daß man die diskrete Fouriertransformation alsAnwendung eines Filters interpretieren kann (siehe Abschnitt 7.5.1) . Im Eindimensionalenist die Transformationsformel

N-1X(k) = E x(n) " e-77P nk ,

0 -< k < N - 1,n=0

das heißt, die Folge ix(n)1 wird mit einem (nicht shift-invariante°) Filter mit den Koeßï-zenten

hk(n) = exp(-j2aNkn)

gefiltert. Bemerkenswert bei der Fouriertransformationist, daß man aus der transformiertenFolge fX(k)} die Ausgangsfolge fx(n)} mit (fast) dem gleichen Filter rekonstruieren kann,es ist nämlich

N-1x(n) = 1

NZX(k) , ejFnk,

0<n< N-1.k=o



Ein gravierender Nachteil der Fouriertransformation ist, daß sie streng genommen nurauf stationäre Signale anwendbar ist . Ein zeitlich begrenztes Ereignis oder ein transienterVorgang sind also durch die Fouriertransformation nicht angemessen darstellbar. Man hilftsich in der Praxis damit, daß man aus dem gesamten zu analysierenden Vorgangein Zeitfen-ster aussschneidet und dann das Signal außerhalb dieses Fensters periodisch fortsetzt. Manhat dann eine �Unschärferelation" : Je breiter das Fenster ist, desto kleinere Frequenzenkann man erkennen und desto mehr Energie steckt in dem erhaltenen Spektrum . Dage-gen ist die Voraussetzung der Stationaritât dann nicht erfüllt, und hochfrequente Vorgängewerden �verschmiert" . Ist das Zeitfenster schmal, dann erfaßt man zwar hochfrequente undnichtstationäre Vorgänge sehr scharf, jedoch ist die Gesamtenergie dann unter Umständenso gering, daß die zu messenden Vorgänge im Meßrauschen verschwinden. Mit anderenWorten: Bei Verwendung der gefensterten Fouriertransformation muß man sich von vorn-herein festlegen, ob man die Unschärfe in Frequenzraum oder im Ortsraum in Kauf nehmenmöchte. Hinzu kommt, daß die Fenstergröße frequenzunabhângig festgelegt werden muß, sodaß man schon vor dem Meßvorgang eine Vorstellung davonhaben mußwelche Frequenzeninteressant sein werden .

Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet die Gabor-Transformation. Gabor führte1946 die nach ihm benannten Gabor-Funktionen ein. Es sei

sowie

4p(t) =

1

. e-ts/z~3

lk(to .aao)(t) = e-iw"to/2 . ei"," - Sp(t - to) .Masn definiert für eine Funktion f(t) die Gabor-Transformierte gemäß

F(to,wo) =J

r%(so,°+o)(t)f(t) dt,

(der Querstrich über 0 bedeutet den Übergang zum konjugiert Komplexen) . Halten wirin dieser Darstellung den Parameter to fest, dann haben wir eine mit einem Gauß-Fenstergefaltete Fouriertransformation . Halten wir wo fest, dann betrachten wir das Spektrum ander Stelle wo durch eine Schar von Gauß-Fenstern fester Breite (und entsprechender festerOrtsauflösung), die im Ortsraum über das Signal verschoben werden .



Es gibt auch eine Rekonstruktionsformel

Die Darstellung nach Gabor hat die Vorteile

Da` zu analysierende Signal f(t) wird durch eine ganze Schar von Gabor-Funktionendargestellt, das heißt, fier jede Auflösungsstufe kann man ein passendes Fenster finden,

Die Gabor-Funktionen sind glatt,

Die Fourier-Transformierte einer Gabor-Funktion ist wieder eine Gabor-Funktion, esherrscht also Symmetrie zwischen Orts- und Frequenzraum.

Aus der Darstellung durch Gabor-Funktionen läßt sich die Originalfunktion wiedergewinnen, es geht also keine Information verloren .

" Verschiedene Autoren verwenden Gabor-Funktionen zur Modellierung des rezeptivenFeldes eines Neurons des visuellen Cortex.

Nachteilig ist

f(t) =I: J ~~,tw,wo)(t) . F(to, Wo) dto dwo.

(4)w -w

" Aus einer Funktion einerVeränderlichen f(t) entsteht eine Funktion zweier Veränder-licher F(to,wo) . Die Gabor-Darstellung ist also hochgradig redundant!

" Die bei der Definition der Gabor-Funktionen verwendeten Gauß-Funktionen sind allegleich breit, es besteht also keine Kopplung von Orts- und Frequenzauflösung .

Bei der Wavelet-Darstellung geht man nun noch einen Schritt weiter, indem man Orts-auflösung und Frequenzauflösung geschickt koppelt, so daß keine Redundanz entsteht. Die-ser letztere Effekt bedeutet an der Sprache der Mathematik, daß eine orthogonale Darstel-lung verwendet wird .

Wir nehmen nun einmal an, wir hätten ein Filter mit den Koeffizienten h(k) mit einigen�schönen" Eigenschaften, die noch zu präzisieren sind. Zunächst definieren wir aus demFilter h(k) ein zweites Filter g(k) gemäß

g(k) =(-1)k

- h(-k + 1).

Mit diesem Filterpaar definieren wir die beiden Folgen

sowie

y2n =

E,, h(k) - x(2r1- k),k=-w

w

Z2n =

E g(k) - x(2n - k),k=-w

Y2n+1 =0

Z2n+1 = 0'



Man kann diesen Filterprozeß auch so auffassen, daß man zunächst die Ausgangsfolge mitden beiden Filtern transformiert und danach die entstehenden transformatierten Signalfol-gen unterabtastet (dezimiert), so daß nur noch die Terme mit geradzahligem Index übrig-bleiben . Aus diesem Grunde benötigt man für die beiden transformierten Folgen �nichtmehr Speicher", als für die Ausgangsfolge.

Nun soll noch weiter gelten: Aus den beiden transformierten Folgen soll die Originalfolgeunter Verwendung der Filterkoeffizienten h(k) (und damit auch g(k)) rekonstruierbar sein :

x(n) = 2

h(n - k)y(k) + 2

g(n- k)z(k),

wobei darauf zu achten ist, daß in den transformierten Folgen die Terme mit ungeradzahli-gem Argument verschwinden .

Es stellt sich nun die Frage, ob es überhaupt solche Filter geben kann. Wir beantwortendiese Frage, indem wir zwei Beispiele angeben. Üblicherweise hat das Filter h(k) Tiefpaßei-genschaften, und das Filter g(k) Hochpaß- (oder Bandpaß-) Eigenschaften. Wir nennenalso h(j) auch das Tiefpaßfilter des Wavelets und g(k) das Hochpaßfilter .

Beispiel 7.5.1 Ein klassisches Wavelet, das natürlich erst im letzten Jahrzehnt als Waveletanerkannt wurde, ist das Haar-Wavelet [11, Kapitel 1.3 und 3.10]. Dieses Waveeel-Filterist besonders einfach, so daß man an ihm die Verhältnisse ideal studieren kann . Man hatdie Tiefpaß-Folge

y(2n) := x(2n) -f . x(2n + 1)2

'also h(k) --- 1/2 für k= 0,1 und h(k) = 0 sonst. Die Hochpaß-Folge ist dann

z(2n) := x(2n) - x(2n -I-1) .2

Es ist sofort klar, daß man aus diesen beiden unterabgetan°aten Folgen die Originalfolgewieder rekonstruieren kann . Es ist nämlich

x(2n)

=

y(2n) -}- z(2n)

undx(2n + 1)

=

y(2n)- z(2n) .

Beispiel 7.5.2 1. Daubechies schlug 1988 eine Klasse von Wavelets vor die sich insbe-sondere durch endlichen Träger der zugehörigen Filter auszeichnen . Das einfachste Filteraus dieser Klasse hat vier nichtverschwindende Filterkoeffizienten und erfreut sich großerVerbreitung . Die Koeffizienten des Tiefpaß-Filters sind

h(0) -_ 1 8V,

h( 1 ) __ 3 8~,

h(2) = 3$~,

h(3) = 18v3

sowie h(k) = 0 für k < 0 und für k > 3. Die Koeffizienten des Hochpaß-Filters sind

s(-2) = h(3),

9(-1) = -h(2),

g(0) = h(1),

g(1) = -h(0)



sowie g(k) = 0 für k < -2 und k > 1. Man bildet damit die beiden Folgen

y(2n)

=

h(0) - x(2n) + h(1) - x(2n + 1) +h(2) - x(2n + 2) +h(3) - x(2n + 3)z(2n)

=

g(-2) - x(2n - 2) + g(-1) - x(2n - 1) +g(0) . x(2n) +g(1) - x(2n + 1)-

Wie man leicht durch Nachrechnen verifiziert, kann man aus diesen beiden Folgen die OH-ginalfolge exakt rekonstruieren gemäß

x(2n)

=

2 - [h(0) - y(2n) + h(2) - y(2n - 2) +h(1) - z(2n) + h(3) - z(2n + 2)) ==

2 - [h(0) . y(2n) + h(2) . y(2n -2) +g(0) - z(2n) + g(-2) . z(2n + 2)J ,

x(2n + 1)

=

2 - [h(1) - y(2n) + h(3) . y(2n - 2) - h(2) . z(2n + 2) - h(0) . z(2n)] =

= 2 .[h(1) .y(2n) + h(3) .y(2n -2)+g(-1) .z(2n+2)+g(1) .z(2n)] .

Eine wichtigeEigenschaft der Wavelet-Transformation ist es, daß man die beiden Folgenfy(2n)) und fz(2n)) wieder genauso transformieren kann, wiedie Ausgangsfolge. Auch hierentsteht kein neuer Bedarf an Speicherplatz, und die Ausgangsfolgeist wieder rekonstruier-bar. Man hat nach der zweiten Transformation insgesamt vier Folgen . Wiederholt man denVorgang, dann erhält man 8,16, - - - Folgen . Man kann sich diese transformierten Signalfol-gen als �Auflösungspyramide" anschaulich machen. Unter den Folgen ist eine, die durchfortgesetzte Tiefpaßfilterung entstanden ist . Diese wird also im allgemeinen einen grobenEindruck von dem Ausgangssignal liefern . Weiterhingibt es eine Folge, die durch fortgestzteHochpaßfilterung entstand . Diese Folge zeigt dann Deatils mit hoher Frequenzauflösung .Die restlichen Folgen bieten eine Skala von Signalfolgen mit unterschiedlicher Auflösung .Sucht man also ein Detail mit einer gewissen Abmessung, dann muß man nur aus der Pyra-mide die �richtige" Folge aussuchen . In diesem Sinne ist also die Wavelet-Transformationeine Transformation mit lokalen Eigenschaften.

Man kann sagen, daß es einen Übergang gibt von der ausgesprochen nichtlokalen Fou-

riertransformation zu den Wavelets. Dieser Übergang ist in der folgenden Tabelle veran-

schaulicht .

Wavelets finden Anwendung in der Bildverarbeitung, insbesondere bei der Bildanalyse

(Multi-Resolution-Analysis) und bei der Datenkompression (Subbandcodierung) . Es gibt

gefensterte Gabor- Wavelet-Fouriertransformation Fouriertransformation Transformation Transformation

lokalnicht lokal -+

leicht interpretierbar --~ schwerer interpretierbar

umfangreiche Theorie -+ Theorie noch in den Anfingen

zahlreiche effiziente -, einige effiziente AlgorithmenAlgorithmen


Die Wavelet - TransformationInstitut für Angewandte Mathematik I

effiziente Verfahren zur Wavelet-Transformation. Nach ihrer Struktur eignen sich die Wa-velets hervorragend für parallele Implementierung. Ein Hauptanwendungsgebiet findet manin der Trausientenanlyse, insbesondere in der Sprachverarbeitung . Wavelets werden auchzur Beschreibung von Phänomenen der (theoretischen) Physik verwendet. Analogien etwazu der Unschârferelation, zu Wellenpaketen und kohärenten Zuständen drängen sich auf.

Problematisch bei der Wavelet-Transformation ist die Tatsache, daß es schwierig ist,unter dem umfangreichen Angebot die Wahl zu treffen und daß man aus der Wavelet-Transformierten eines Signals nicht unmittelbar Rückschlüsse dessen Eigenschaften ziehenkann . Die durch langen Gebrauch etablierte und gut bekannte Interpretation der Fourier-transformierten findet kein Gegenstück bei der Wavelet-Transformierten .

Am Institut für Angewandte Mathematik der Universität Hamburg ist ein kommentier-tes Literaturverzeichnis über Wavelets verfügbar.

293

7


7 .6 Entwurf von FIR - Filtern

Prof . Dr. U . EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte MathematikEntwurf von FIR - Filtern

FIR-Filter (Finite-extent Impulse Response) zeichnen sich dadurch aus, daß ihre Im-pulsantwort einen beschränkten Träger hat, das heißt, außerhalb eines beschränkten Recht-ecks in der Ebene (oder eines beschränkten Hyperquaders im hbherdimensionalen Raum)verschwindet . Man nennt solche Filter auch nichtrekursiv. Gegenüber den IIR-Filtern(Infinite-extent Impulse Response) haben diese Filter den Vorteil einer sehr viel einfachrenTheorie. Insbesondere gibt es für FIR-Filter keine Stabilitätsprobleme . Auch der Entwurfder IIR-Filter ist ungleich schwieriger als der der FIR-Filter. Demgegenüber sind 1111-Filter wegen ihrer rekursiven Natur unter Umständen leichter zu realisieren. Wir werdenhier nicht auf IIR-Filter eingehen, eine ausführliche Darstellung findet man in dem schonmehrfach erwähnten Buch [9, Chapters 4 und 5] .

Man kann bei der Untersuchung von FIR-Fittem generell voraussetzen, daß die Fre-quenzantwort rein reell ist . Solche Filter nennt man Nullphasenfüter (zero-phase filter) .Sie sind charakterisiert durch die Bedingung

H(wl,m2 ) = H(wl,w2)

beziehungsweise h(ni, n2) = h(-ni, -n2),

wobei der Querstrich wieder den Übergang zum konjugiert Komplexen bedeutet. Die Null-phasenbedingung bedeutet eine Aufwandsreduktion beim Entwurf eines Filters, da manSymmetrien ausnutzen kann. Da bei einem solchen Filter die Phasen erhalten bleiben,bleiben zum Beispiel Kanten und andere Formmerkmale in Bildern am gleichen Ort. Wirnehmen durchweg an, daß die Nullphasenbedingung erfüllt sei.

7


7.6 Entwurf von FIR - Filtern

7 .6.1 Entwurf vermittels 1 D - Fensterfunktion


Institut für Angewandte MathematikEntwurf vermittels 1 D - Fensterfunktion

Die einfachste Möglichkeit, ein zweidimensionales Filter zu entwerfen, besteht darin, dieseAufabe auf eine eindimensionale Aufgabe zurückzuführen . Es sei i(ni, n2) mit der Frequenz-antwort I(w1,w2 ) ein ideales Filter . Vermittels einer geeigneten Fensterfunktion w(ni,n2)

W(wr ,w2) ermittelt man eine Approximation h(ni,n2) ~--~ H(w1,w2) für das idealeFilter i(nl,n2), indem man setzt

beziehungsweise

H(w1,w2)=4-.£ *1(Bh02)'W(wi-01,w2-02)d01d02 .

Die Fensterfunktion w(ni,n2) konstruiert man vermittels einer der zahlreichen bekannteneindimensionalen Fensterfunktionen durch einen separablen Ansatz

(zweidimensionales Rechtecksfenster) oder aber gemäß

(kreisförmiges Fenster).

Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, daß man die Kenntnisse, die man über eindi-mensionale Fensterfunktionen hat, hierbei gut ausnutzen kann . Dem steht der Nachteilgegenüber, daß die Entwurfsmöglichkeiten durch die Beschränkung auf eindimensional er-zeugbare Fensterfunktionen naturgemäß sehr begrenzt sind .

Beispiel 7.6.1

Wirbetrachten das ideale Tiefpaßfilter mit kreisfôrmigem Träger aus Bei-

spiel 6.4 .4 . Es sei also

Wie wir gesehen hatten, ist dann

h(n1, n2) = i(n1, n2) ' w(n1, n2)

wR(ni,n2) = wr(nl)' w2(n2)

wc(nl,ns) = wi(

ni + n2

1

fürwi_+wz< (0.41r)2,I(w1,w2) _

{ 0

sonst.

0.2 " JI(0 . 4rr- nl +n2)i(ni,n2) =

n1 +n2

Hiermit hätten wir die exakte Impulsantwort für ein ideales Tiefpaßfilter, leider aber ist

das Filter kein FIR-Filter, der Träger ist nicht beschränkt. Wir konstruieren nun ein

Ndherungsfilter, indem wir durch ein geeignetes Fensterdas ideale Filtergeeignet abschnei-

den" .

Da 1 reell ist (Nullphasenbedingung), wählen wir den Träger von h(ni, 122) symmetrisch

zum Ursprung : -5 <- ni,n2 <_ 5. Mit dem Kaiser-Fenster

_ J~o(Q~r1'1

für ~t~ < a,w t -

o a

0 sonst


Institut fürAngewandte MathematikEntwurf vermittels 1 D - Fensterfunktion

(lo ist die modifizierte Besselfunktion mit Index 0) erhält man für r = 5 das Filter mitrechteckigem Träger

k(Q

-(n~/5)'ht°(a

-(nx/s)')

für in, 1 < 5wR(nl,n2) = ~ -1°(°)

Das entsprechende kreisförmige Filter hat dann die Form

Die entsprechenden approximativen Filter sind dann i(n 1,n2 ) * WR(n 1,n2 ) beziehungsweisei(nl , n2) - wc(nl, n2) .

Für cz = 0 geht das Kaiser-Fenster in das Rechtecksfenster mit Träger lt 1 < r über. Indiesem Falle ist der maximale Fehler des approzimierenden Filters gegenüber dem idealenFilter

(vgl. (9, Seiten 120 f.]) .

0

sonst

t°(°

ij~â+ .y)2s)

für n 2 -I- n2 < 25,wc(ni,n2)

-

10 sonst

im Paflband

im Stoppband

WR 0.2914 0.1314WC 0.1468 0.1105

und In2 1 < 5,

299

7



7.6.2 Grundsätzliche Probleme beim Entwurfvon 2D - Filtern


I Grundsätzliche Probleme beim Entwurf von 2D - FilternInstitut für Angewandte Mathematik

Im eindimensionalen Falle ist die FrequenzantwortN-1

H(w ) _ h(n)ei'n=0

ein Polynom in z = e-jw . Jedes Polynom einer Veränderlichen ist aber faktorisierbar, dasheißt, es gilt

H(w) = F(w) - G(w),

wobei F und G Polynome sind, die einen niedrigeren Grau als H haben. Wie wir in Ab-schnitt 7.4 .4 gesehen hatten, läßt sich damit das durch H beschriebene System als Kaskadezweier -möglicherweise einfacherer-Filter realisieren. Leider bringt dies im Eindimen-sionalen keinen nennenswerten Vorteil .

Im Falle eines mehrdimensionalen Systems ist die Faktorisierbarkeit die Ausnahme, je-doch lâßt sich im allgemeinen ein faktorisiertes System als Kaskade wirtschaftlicher reali-sieren, als das Ausgangssystem. Ist beispielsweise

H(w1, ws) = F(w1,wx) - G(w1,wz),

wobei die Impulsantworten je auf einem beschränkten Träger definiert sind, etwa h(n1, nz)

auf einem N x N-Quadrat und f(n1, n Z ) auf einem M x M-Quadrat, dann benötigt man

für die Ausführung der direkten Faltung zur Berechnung eines Funktionswertes h(n1,nx)

insgesamt N' Multiplikationen . Bei der Realisierung als Kaskade hätte man eine AnzahlVon M' - (N - M -F 1)Z Multiplikationen. Im Falle N = 10 und M = 5 hätte man

beispielsweise ein Verhältnis

Kaskade

- 61 =O.61 .direkte Faltung

100

7



7.6.3 Optimale Filter


Institut für Angewandte MathematikOptimale Filter

Die mathematisch befriedigendste Methode ist es, den Fehler in der Frequenzantwort durchAnpassung der Filterparameter zu minimieren. In der Darstellung im Frequenzbereich

NI -1N2-1H(Wl,W2) = r, r h(nl,n2) . e-1'11-2 -j-12n2

n1=0 n7=0

sind die Filterparameter h(n1,n2) so zu wählen, daß die Fehlerfunktion

E(Wl,w2) = H(W1,w2) -I(W1,W2),

das heißt, die Abweichung vomapproximiertenzu dem idealen Filter, minimal wird . Dabeikann man verschiedene Fehlermaße benutzen, etwa das L2-Kriterium oder die mittlerequadratische Abweichung

1 ~x x

i-2 J-xI_x IE(Wl,W2)I2 &01 &�2,

das L'-Kriterium oder die mittlere Abweichung

12 I_xI_

x47r

IE(Wl,WZ)I 1 2,

und schließlich das Tschebyschew-Kriterium (L°°-Kriterium) oder die maximale Abwei-chung

maxIE(W1 , W2)I .W1,-e

Besonders das letztgenannte Kriterium ist in der Signalverarbeitung von Interesse (soge-nanntes Equiripple Filter oder Minimax-Filter) Im Eindimensionalen sind derartige Fil-ter noch einigermaßen berechenbar, etwa durch Entwicklung der Funktion H(w) nachTschebyschew-Polynomen, im Fallemehrerer Veränderlicher sind dagegen die theoretischenund praktischen Probleme noch längst nicht befriedigend gelöst.

7



7.6.4

Die McClellan - Transformation


Institut fürAngewandte Mathematik Die McClellan - Transformation

Die McClellan-Transformation ist ein sehr elegantes Hilfsmittel zum Entwurf von mehrdi-mensionalen Filtern . Sie zeichnet sich durch hohe Qualität der konstruierten Filter, durchflexible Anpassungsfahigkeit an vorgegebene Anforderungen und durch besonders einfacheImplementierbarkeit aus. Bei der McClellan-Transformation spielen zwei Tricks eine be-sondere Rolle.

Der erste dieser Tricks besteht darin, daß man ein eindimensionales Filter h(n) kon-struiert, das in einem nc.th zu präzisierenden Sinne die �Form" des gewünschten zweidi-mensionalen Filters beschreibt . Dieses eindimensionaleFilter soll der Nullphasenbedingunggenügen, also h(n) = h(-n) . Das heißt, daß alle h(n) reell sind. Der Träger des Filters seidie Menge aller n mit -N < n < N. Dann hat man für die Frequenzantwort des durch hbeschriebenen Systems

H(w) = h(0) -I-N

h(n) - (e.y"n + e""`) = _r a(n) - coswn,,Ao

wobei a(0) = h(0) und a(n) = 2 - h(n) gesetzt wurde.Mit Hilfe der Additionsformeln für die trigonometrischen Funktionen kann man ausrech-

nen, daß sich der Ausdruck coswn als ein Polynom in cosw schreiben läßt, das sogenannteTschebyschew-Polynom der Ordnung n :

coswn = T�(cosw) .Die Tschebyschew-Polynorne (siehe Tabelle 6.1) sind gut bekannt und zeichnen sich durcheine Anzahl von �schönen" Eigenschaften aus (vgl . etwa [9, Section 3.5 .3] oder [19, Ab-schnitt 4.3 .1-2]) . Insbesondere weiß man, daß man durch eine Entwicklung eines idealenFilters nach Tschebyschew-Polynomen eine recht gute Approximation eines im Tscheby-schew'schen Sinne optimalen Filters erhält (vgl . dazu Abschnitt 7.6 .3) . Wir haben also dieTschebyschew-Entwicklung

NH(w) _

a(n) - Tn(cosw) .n=0

Nun folgt der zweite Trick, die eigentliche Transformation . Anstelle von cosw setzenwir in der Tschebyschew-Entwicklung eine Funktion F(wl,w2) ein und erhalten so aus demeindimensionalen Filter Hein zweidimensionales Filter

N

H(w1,w2) _

a(n) . Tn[F(wi'w2)]n=0

Eine häufig benutzte Funktion zur Transformation hat eine Impulsantwort f(n 1 , n2), die

auf einer (diskreten) 3 x 3-Umgebung des Nullpunktesdefiniert ist und dort Funktionswertehat, die aus dem folgenden Schema hervorgehen :

2 C E2 2 2s- A a_2 2E C E2 2 2


Institut für Angewandte MathematikDie McClellan - Transformation

Tabelle 6.1 : Die ersten zehn Tschebyschew-Polynorne

To(x) = 1,

TI(x) = x,

T2(x)=2-x2 -i,

T3(x)=4 .x3 -3-x,

T4(x) =8-x'-S x2 +1,

T,5(x) = 16 - x5 - 20 . x3 .}. 5 . x,

T6(x)=32x6 -48-x'+18 .x2 -1,Ti(x)=64-x'-112x5 +56x3 -7-x,

T8(x)=128x8 -256-x6 +160-x'-32x2 +1,Tg(x) = 256x9-576 - x' + 432 - x5 - 120 x3 +9 . x,

Tio(x)=512-x'o -1280x8 +1120x6 -400x'+50x2 -1 .

wobei A,B, C, D, E noch zu bestimmende Zahlen sind. Es ist dann

F(wl,w2) = A+B- cosw, +C " coSw2 +D- cos(wl -w2) +E - cos(wl + w2) .

Das Prinzip der McClellan-Transformation läßt sich nun wie folgt formulieren : Die Funk-tion F(wl ,w2) legt die Höhenlinien des zu entwerfenden Filters gemäß F(wl,w2) = const .fest . Vermittels der :.'unktion H kann man die Funktionswerte auf diesen Höhenlinien ver-schieben . Wählt mF "i etwa

dann ist

A= -2, B=C=2, D=E=4,

1F(wl,w2) = 2 . (-1+ COSWI + COSw2 +coswl * cosw2) .

Die Höhenlinien dieser Funktion sind in der Nähe des Nullpunktes der (wi,w2)-Ebene na-hezu kreisförmig . Die durch die Punkte (a,0), (0, a), (-a,0), (0,-a) gehende Höhenlinieist ein Quadrat. Für w2 = 0 erhält man F(wl,0) =coswl.

Beschafft man sich ein eindimensionales Filter H(w) mit gewissen Eigenschaften (Tief-paß, Hochpaß, Bandpaß, . . . ), dann ist das mit F(wl,w2) und H(w) transformierte zweidi-mensionale Filter H(wl ,w 2) ein Filter mit kreisförmigem Träger und entsprechenden Eigen-schaften (das heißt, Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß, . . . ) . Beispiele findet man in (9, Section3.5 .31 .


Institut für Angewandte MathematikDie McClellan - Transformation

Offen ist noch die Frage der Realisierung eines durch die McClellan-Transformationentworfenen Filters . Dies kann auf besonders elegante Weise geschehen durch Ausnutzungder Rekursionsbeziehung fûr die Tschebyschew-Polynome. Es gilt nämlich

und

also ist

TD(x) = 1,

TI(x) =x

T�(x) =2x - T,1(x) -T�-2(x),

n = 2,3,- - -,

T�[F(w1,w2» = 2 - F(w1, w2) - T�-1IF(w1, w2)] -Tn-2[F(wi, w2)] .

Diese Beziehung läßt sich auf die folgende Weise realisieren:

T�-2(F(w1,w2)] -1

Tn-1(F(w1, w2)] T�IF(w1, wz)]2 F(w1,ws)

Durch Hintereinanderschaltung von solchen Elementen läßt sich dann vermöge der obi-gen Rekursionsbeziehung ein McClellan-Filter realisieren (vgl . Abbildung 2) .

Abbildung 2: Realisierung eines McClellan-Filters

7


7.7 Die zweidimensionale z-Transformation


Institut für Angewandte MathematikDie zweidimensionale z-Transformation

Die zweidimensionale Z-Transformation wird in genauer Analogie zur eindimensionalen de-finiert . Für ein (LSI-) System mit der Impulsantwort h(nl , n2) betrachtet man die spezielleEingabefolge

wobei zl und z2 irgendwelche komplexen Zahlen sind. Die Systemantwort ist dann

Hierbei ist

y(ni,n2) _

x(ni, n2) = zi' * zz2,

E

Z,, -kl . Z2'n -k̀ - h(ki, k2) =k=-,o k2 = -oo

zi'-zn2

-

Z

zi, - zk - h(ki, k2) _k=-oo k7 = -co

zi' - z'2 - H=(zi, z2) .

H~(zi,z2) _

r_

Z

zi' . zi ' h(k1,k2)k, =-00k2=-w

die Z-Transformierte von h(nl, n2) . Man kann Hs(zl, z2) als Eigenwert des Systems zurEigenfunktion zi' - zn2 auffassen . Es ist

das heißt, für die Beschreibung eines LSI-Systems sind die drei Funktionen h, H und H,völlig äquivalent.

Die sich hier ergebenden Fragen der Konvergenz der H= definierenden unendlichen Reihe,der Stabilität und der Inversion der Transformation sowie deren Eigenschaften sollen hiernicht untersucht werden Sie sind völlig analog zur eindimensionalen Theorie zu behandeln(siehe etwa [22]) . Wir skizieren hier lediglich die Anwendung der 7-Transformation auf denEntwurf zweidimensionaler rekursiver Filter .

Dazu sei ein LSI-System durch eine lineare Differenzengleidmng (vgl . [27]) dargestellt,das heißt, die Systemantwort y(ni,n2) ergebe sich aus der Eingabe x(nl,n2) durch Lösungdes (unendlichen) Gleichungssystems

b(ki, k2) . y(ni - k, n2 - k2) =

a(ri, r2) . x(ni - ri,n2 - r'2)k, _-Wk=-oo

r1=-c, r2=-oo

-00 < nl , n2 < 00

mit gegebenen systemabhängigen Funktionen a(nl,n2) und b(nl, n2) . Ohne auf das Problemder Konvergenz der beteiligten Reihen oder der Lösbarkeit des Systems einzugehen, setzen


Institut für Angewandte MathematikDie zweidimensionale z-Transformation

wir wieder x(nl, n2) = zi' * z22 und erhalten mit der oben eingeführten Funktion Hz(zl, Z2)formal die Beziehung

Hz(Zl, Z2)

b (kl, k2)

Zl k'

Z2

_

a(rl, r2) * Zi~ . Z22 .k, e_00 k2=_�

*~0_0o s20_oo

Mit den Z-Transformierten A.(zl , z2) beziehungsweise B=(zl, z2 ) der Signalfolgen a(n l ,n2)

beziehungsweise b(nl , n2) erhalten wir also einen expliziten Ausdruck für die Z-Transfor-mierte H,(z1 , z2) der Impulsantwort h(n l ,n2 ) des Systems

Hz(-'l,Z2)As(ZI, z2)

B.(zl, Z2)

Die Entwurfsaufgabe besteht nun darin, eine ideale Funktion H=(z1,z2) durch geeig-nete Wahl der Koeffizienten a(nl,n2) und b(n1,n2) der beiden Funktionen A,(zl,z2) undB.(zl , z2) zu approximieren . Dabei wird man realistischerweise annehmen, daß die beidenImpulsantworten a und b einen endlichen Träger haben, so daß ihre Z-Transformierten alsoPolynorne sind. Bei der Approximation sind gewisse Vorgaben zu beachten, die Implemen-tierbarkeit und insbesondere Stabilität garantieren sollen. Die zweidimensionale rationaleApproximation ist weder theoretisch noch praktisch eine einfache Aufgabe. Da Separabi-litât nur in Ausnahmefällen gegeben ist, kann man sich diese Aufgabe auch nicht erleichtern.Manmuß also feststellen, daß der Entwurf von zweidimensionalen IIR-Filtern in jeder Hin-sicht als ausgesprochen schwierig bezeichnet werden kann .

7


7.8 Bildverarbeitung


Institut fürAngewandte MathematikBildverarbeitung

Zum Abschluß sollen einige einfache Aufgaben aus der Bildverarbeitung vorgestellt werden .Hierbei wird kein Anspruch auf Vollständigkeit erhoben. L. -. .en Büchern von Haberäcker[10], Jaroslavskij [11] oder Zamperoni [26] kann man sich t? , fergehend informieren . DasNachschlagewerk von Klette und Zamperoni [13] kann für zahlreiche Zwecke sehr nützlichsein. Ein vielzitierter (+ loch schwer lesbarer) �Klassiker" ist das Buch von Serra, durchdas der Begriff der �mathemaischen Morphologie" einfegührt wurde [20] . Es gibt inzwischeneinen zweiten Band, jedoch ist dieses Buch dem Nichtexperten noch schwerer zugägnlich.

Besonders erwähnt werden sollten die Bücher von K. Voss ([25], [24], [23]) . Die zu dem

letzgeannten Buch erhältliche Begleitsoftware eignet sich hervorragend dazu, die einzelnen

Methoden der Bildverarbeitung auszuprobieren .

In dem Buch von Börner [6] sind besonders schöne Anwendungsbeispiele gegeben, das

Buch von Pose [15] geht insbesondere auf Anwendungen in der Hochenergiephysik ein.

Die Bildverarbeituag kann man als den Teil der Signalverarbeitung verstehen, der sich

mit zweidimensionalen (oder auch mehrdimensionalen) Signalen beschäftigt . Das heißt,

im (der Einfachheit halber) diskreten Fall ist das Signal eine Funktion x(ni,n2), die den

�Farbwert" an der Stelle (n l, n2) im (zeilen- und spaltenweise diskretisierten) Bild angibt .

Dabei unterscheidet man zwischen Farbbildern (x besteht aus drei Komponenten, diejeweils

Tabelle 6.2 : Übertragungsraten für verschiedene Anwendungen

die Intensität in einem geeignetem Spektralbereich angeben) beziehungsweise Mehrkanal-

bildern, Grauwertbildern (x gibt eine Intensität an, ist also nichtnegativ und beschränkt)

oder Binärbildern (x ist nur zweier Werte fähig, die die �Farben" schwarz und weiß co-

dieren sollen) . Solche Bilder treten in zahlreichen Anwendungen auf, etwa als Ergebnis

bildgebender Meßverfahren in der Physik oder Medizin, als Satellitenaufnahmen, in der

Qualitätskontrolle oder aber bei der automatischen Analyse von Dokumenten . Das Ziel

der automatischen Bildverarbeitung ist letztlich die Erkennung von bestimmten Merkma-

len im Bild, die zu einem Verständnis des Bildinhaltes führen sollen . Diese Aufgabe ist

naturgemäß sehr komplex und nicht allgemein algorithrnisch forrnulierbar. Ein wichtiger

Verarbeitungsschritt ist die Filterung eines Bildes . Wir wollen hier einige der am häufig-

sten benutzten Filter vorstellen .

I Anwendung Ubertragungsrate ~I

Sprachverarbeitung 0.24 Mbit/sI Bildfernsprechen 2-8 Mbit/sFernsehen 34-140 Mbit/s

~, HDTV 2 350 Mbit/sLANDSATIIII,

RBV 30 Mbit/sMSS 15 Mbit/s

Menschliches visuelles SystemRetina 20 Gbit/s

Sehnerv 200 Mbit/s

Gehirn (Langzeitgedächtnis) 100-5000 bit/s 11



Das Mittelwertfilter (mit rechteckigem Fenster) hat die Form

1

N, Ns

y(ni,ns) =

2N1 + 1

2N2 + 1

E

x(ni - ki'n2 - k2) .(

) ' (

) k,=-Ni A:2=-N2

Hierbei ist die Größe des Mittelungsfensters durchNi und N2 beschrieben. Das Mittelwert-filter wird benutzt, um in Grauwertbildern, die verrauscht sind, die Grauwerte zu glätten .Das Filter ist einfach zu berechnen und zu realisieren, es ist jedoch sensitiv gegen �Aus-reißer" .

Ein sehr häufig verwendetes Filter, das jedoch nicht linear ist, ist das Medianfilter. Umden Ausgang des Filters zu berechnen, sortiert man die Werte x(nl - k1 ,n2 - k2 ) in einemrechteckigen Fenster, das durch -NI < kl < NI , -N2 < k2 <_ N2 , gegeben ist, der Größenach . y(n l , n2 ) ist dann der Wert, der genau in der Mitte der geordneten Folge steht. DasMedianfilter hat zunächst den formalen Vorteil, daß der Typ des Bildes erhalten bleibt,das heißt, Binär-, Grauwert- oder Farbbilder gehen in Binär-, Grauwert- oder Farbbilderüber. Man benutzt das Filter zur Reparatur von Punktfehlern, wobei es sich im allgemeinen�robuster gegen große Abweichungen verhält, als das Mittelwertfilter. Von Nachteil ist,daß das Medianfilter rechenaufwendiger ist, als das Mittelwertfilter . Zudem macht dieNichtlinearität unter Umständen Probleme.

Wir betrachten ein einfaches eindimensionales Beispiel, das den Unterschied zwischenMittelwert- und Mediaufilter illustrieren soll.

Die Signalfolge. . .,11, 11, 12, 11, 9, 13, 15, 14, 14, . . .

sei je nach links und echts konstant fortgesetzt gedacht. Mittelwertbildung mit der Fen-stergröße 7 (das heißt N= 3) liefert die Folge

. . . .10.86, 11 .14, 11 .71, 12.14, 12 .57, 12 .86, 13 .29, . . .

Medianfilterung mit der Fenstergröße 7 liefert

. . .,11,11,11,11,12,13,14,14,14, . . .

Der mittlere Wert der Ausgangssignalfolge(9) werde nun durch den Wert 100 ersetzt . Dannliefert das Mittelwertfilter die Folge

. . . ,23.86, 24.14, 24 .71, 25.14, 25 .57, 25 .86, 26 .29, . . .

Durch Änderung eines Wertes ändern sich also alle betrachteten Folgengliedersehr drastisch.Anders ist es bei dem Medianfilter . Wir erhalten die gefilterte Folge

. . .,11,11,11,12,13,14,14,14,14, . . .

Die recht dramatische Änderung eines Wertes hat also kaum einen Einfuß auf die gefilterteFolge . Es sollte angemerkt werden, daß nicht in jedem Falle die Herausfilterung extremerAbweichungen sinnvoll ist, unter Umständen wird signifikante Information dabei �weggefil-tert" .



Eine weitere Klasse von Filtern, die in einem gewissen Sinne das Gegenteil von Mittel-wert- und Medianfilter bewirken sollen, sind die Gradientenfilter Diese Filter dienen dazu,geringe Kontraste in einem Bild anzuheben, um beispielsweise Gebiete unterschiedlichenGrauwerts durch Konturen abzugrenzen . Diese Filter modellieren den (kontinuierlichen)Gradientenbetrag durch Differentialquotienten .

Beim Kompaßgradienten ermittelt man zunächst Näherungen für die Ableitungswerteder Grauwertfunktion in die �Haupt- und Nebenhimmelsrichtungen, also

beziehungsweise

1HW=~1

1

1

1 -1 112

i

Hso=

-1

-2 11 1 1

1 -1

1 1 1

Beim Sobel-Gradienten hat man vier Filter, nämlich

1 0H,-_ -2 0

( -1 0

( 1 2 1

2 1 0H3 = 0 0 0 H4 = 1 0 1

-1 -2 -1)

0 -1 2

Zur Vereinfachung der Schreibweise führen wir die zweidimensionale Faltung ein . Für zwei

Funktionen f(n1,n2) und g(ni,n2) sei

(f **g)(ni,n2) _

f(ni - k',n2 _ks) - g(ki, ks) .k, e-oo k2 =-m

Die beiden Summen sind bei Funktionen mit endlichem �Träger" endliche Summen . Aus

den Ausgängen der Einzelfilter ermittelt man dann den eigentlichen Filterausgang durch

eine zweidimensionale Faltung gemäß

yH(ni,ns) =

1 1

1 1 1_2 1 )

HNO =

=1

-2 11 1

1-1 1

1 1

1 1 1-2

1

HVW =

1

-2 =1-1 -1 )1 -1

1

1 -1

1 -1 1-2 -1

Hsw=

1 -2

1)

0 1 2H2 = ( -1

0

1-2 -1 0

max {IHo**xh IHVO**xl, iHN**xI,

IHNW**xl, IHW**xl, IHsw**XI,

IHs**xl,IHso**xl) ,

ys(ni,ns) = i =m2 3.4I(S, **x)(nl, n2)I .


Institut für Angewandte MathematikBildverarbeitung

Ganz analog kennt man Filter zur Berechnungder zweiten Ableitung in einem Grauwertbild,so zum Beispiel das Laplace-Filter

beziehungsweise die Filter

0 -1 0 )-1 +4 1 ,0 -1 0

-1 -1 1

1 -2 1-1 8 -1

-2 4 -2-1 -1

1 )

( 1

-2

1

DieseFilter kann man zurBestimmung von Konturlinienanwenden. Einducksvolle Beispielehierfür findet man in dem Buch von Bümer [6].

Alsein typisches Anwendungsbeispiel für den Einsatzvon Filtern in der Bildverarbeitungbetrachten wir noch die logarithmische Filterung . Hierbei geht man davon aus, daß sichder in einem Bild beobachtete Grauwert multiplikativ zusammensetzt, aus einem Beleuch-tunganteil xa(n1,n2), der langsam veränderlich ist und einem Reflexionsanteil _TR(nl,n2),der sich rasch verändert. Man hat also insgesamt das Bildsignal

x(ni, n2) - XH(nl, n2) ' xR(nl, n2).

Logarithmiert man das Bildsignal, dann setzt es sich additiv zusammen aus einem raschveränderlichen Teil und einem langsam veränderlichen Anteil. Vermittels einer Hochpaßfil-terung kann man den Beleuchtungsanteil unterdrücken, ohne daß der Reflexionsanteil davonbeeinflußt wird . Eine nichtlineare Rücktransformation (Exponentation) liefert ein Bild, dasnur noch den von der Oberflächenbeschaffenheit der dargestellten Gegenstände abhängigenReflexionsanteil zeigt .

cür weitere Beispiele und eine tiefergehende Behandlung das Gegenstandes sei auf dieaufgeführte Literatur verwiesen.

317

7


7 .9 Literaturverzeichnis

Prof . Dr. U . EckhardtUniversität Hamburg

Institut für Angewandte Mathematik7.9 Literaturverzeichnis

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I

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Differenzengleichungen der Impuls- und Regelungstechnik und ihreLösung mit Hilfe der Laplace-Transformation, Verlag Technik, Berlin, 1956.

321

8

Technische Möglichkeiten zum Bau digital arbeitenderSignalverarbeitungseinrichtungen unter Labor-bedingungen

8.1 XILINX - FPGA's

Xilinx - FPGA's

unkmaam zum lkil

roi

rcbl

d1rN~

Ir~~

IIffin-

1r~~

I-1-I

MM~Mmurrnumumu~u~

GLOBALBUFFER

VERTICAL LONG UNES

HORIZONTAL LONG LINES(2PERCOLUMN)

(1 PERROM

Il0 CLOCKS(1 PER EDGE)

ALTERNATEBUFFER


Ii0 CLOCKS(1 PEREDLE)

CSCILLATORAMPLINER

Verdrahtung und Aufbau der Matrixelemente

MTA!

WQICVNVhMES

ENABIEOWCK

CLOC

MSET

dl

S .KchMatrix

lIIIIII~"'~iüüüiNIMMnmu1M1 -RUHM

««: »IHM

Ll"'Emm ilIIIIIIIswi)EhMatrix

Swflchmal*

SwitthMatrix

MO%

D OF

fDINO

OK

AD OK

F

FCOYaiuTOFUL

FONCTK)N

'l'(ENABlE)

ro'(INNIBIT)

(GIOBIJ,pEBEn

ftaONTiVT6

.Y


FPGA - Typenauswahl

1: XILINXXC3030-70PC&4C

X059M8330

:'XILINXXS3042-70PCR4C

X421!"75830

.F_ XILINX-,'\raow'"C<7325Csmoionn~wani


XC3020 XC3030 XC3042 XC3064 XC3090

Equivalent Gates 2000 3000 4200 6400 9000

Configurable Logic Blocks 64 100 144 224 320

Combinatodal Logic Functions 128 200 288 448 640

Latches and Flip-Flops 256 360 480 688 928

Input/Outputs 64 80 96 120 144

8


8.2 Fest verdrahtete Prozessoren

Fest verdrahtete kaskadierbare Prozessoren

Asynchronous Fumions

APPLICATIONSDigital Fin filtedngHigh speed adaptive filtedngCorrelation and ConvolutionDiscrets Fouler TransfonnSpeech processlng using Linear Predlctive CodingImage processlngWavefomr synthesisAdaptive and Tixed equalizers and echo cancellersSpmad spectrum communicaUonBeamformlng and beamscanning in sonar and radarPulse compressionHigh speed fixed point mairix multiplication

DIR .

Update Coefficient Registers (UCR)

ACR ; rj;j

7CR .CerrentCceMidentRegisters(CCR)

SCR ; j~'D'~,D~~H (~_

.-------

BMBM32stages-i

~24 ~° -Res~etIIII

IMS Al 00

d mos°ZENTRALLABOR FÜR ELEKTRONIK

Bild - und Signalverarbeitungsprozessor

Enablel-~Enble2 -~ AsynchronousFunuMions

-

-

-

-

bö~

rauoeâmbackeM

coettbl regsterswnte~ -21xeb6. . ..~

looku table

Mem

a

updaiecaeff~"1repis_t¢rs

; 256x&bitdata

PCRDecode

' vanslonnaÜOn

PcRtloge

21x&b11

bok up RAM

1120 stageProgrammable9

.

shift register (PSRA)PSROUt

Cavale7L

Synchronorts Fonctions

APPLICATIONS1-D and 2-D digital convolution and correlationReal time Image processing and enhancementEdge andfeature detectionData transformation and histogramequalisationComputer vision androboticsTemplate matchingPulse compression1-D or 2-D Interpolation

1120 stageProgrammable

^ .

--~ stageshia register (PSRO)

mukiply-accumulateanay C

SORACfl

MMS

OU8 71

Dontrol

(nomialimtlon. '>

saturation. anddata transformation)

~- clodl-Reset

IMS Al 10

~mos°ZENTRALLABOR FÜR ELEKTRONIK

Programmierbare digitale Verzögerungsleitung

Length[10-0) -~-

notCIkEn ->Conaoi

CLK -Y

Din[6 0]

notoE

APPLICATIONSImage processingAudio processingEnhancment of A100/Al 1CIA121 applicationsGhosVecho canceliationRadar/Sonar BeamformingDigital TV fine buffetLatency equaliser

SEL[2 01 --yCLK, iContro1GO

Dln

Dx

FEATURES

2-D Discrete Cosine Transform

4 banksl coeflicient ; ,ROM store .

Sutmaàor ' ~14~.

_.e.

14 2. 112~

33Matrx

16 ; 6x6 MaMx

Select (g)

(8(9)

()

axeMatrix '~ ISelecl ;,~16,,

Muand

ltiply

Round.

ITmRÂM

two

Multiply

P uunnd :

+£--'

12(g

0

8 x 8 Transform size.8 x 8 DOT calculation time m 3.293.

DC to 20 MHz pixel rate.9 bit add/subtract Input.12 bit Inputtoutput.14 bit fixed coefficients.Milltitunctlon capability (DOT, IDOT, Filter) .

Vadabte length delay lire5 to 1317 stages long

2

4 bankscoeffiiclent

I ROM store

Doul[6-0]

IMS A113

-Dout

IMS Al 21

Ein mos°ZENTRALLABOR FÜR ELEKTRONIK

FFT - Prozessor

_________ _- --___r______-_-____.___-1I

Coefficient iCoefficient

in tRealdata - - a i

Imaginaryt

bus I

I

Data storage and' multiplexing

Data storage andmultiplexing

L___ _____________

_-Fig . 2

Real ae

-Imag ae

TMC2310,


Operation Data block sizeFFTIinverse FFT (IFFr) (real or complexwindowing)

16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 points

Finite impulse response (FIR) filter 16 to 1024 taps (in increments of 16 taps)Adaptive FIR fille 16 to 1024 taps (in Increments of 16 taps)Vector multiply (real or complex) 16 to 1024 Words (increments of 16)

Vector multiply-accumulate (real orcomplex)

16 to 1024 Words (increments of 16)

Magnitude Squared 16 to 1024 points (increments of 16)

Block DiagramVW vSy

DRIDcISRDDen-,EMe

TCCI

CWO)

PESE!Clx

nDRo-2

°DF OF OF OF DF DF OF OF

flL7EA FILyf nLTER FIL7FA FILTFA FILTEA FILTER mCEL0 °

D~t °

=La °

CELLS °

CELL " ° C~6 ° CELLS °

MmCEIL7

° I6 3S 1° 7G M m ES

3

OurmfSTAGE

7S

rr

ADIqADRt

RCg MR2CLK 2

SHADD~~-SEN01. . 2/SENp7~1

DI-Dl TCS

xe i

25

Su-93

TCCO

CODfOcdno-7

COFNS

Applications" 1-D end 2-D FIR Filters

" Radar/Sonar" Digital Video and Audio

" Adaptive Filters

" Echo Cancellation

" Corrolation/Convolution

" Complex Mulliply-Add

" Butterfly Computation

" Matrix Multiplication" Sample Rate Converters

Digitales FIR - Filter

HSP438811883

HARFUS


8


8.3 Programmierbare DSP's

S I G N A L P R 0 Z E S S 0 R

M B 8 7 6 4

ZYKLUSZEIT : 100 nsecEINE MULTIPLIKATION UND ADDITION IN 100 nsecMULTIPLIKATION : 16 bit x 16 bit > 26 bit

PROZESSORARCHITEKTUR : HARVARD

DOPPEL-BEFEHLMOV :ADD #$A2CD,X :Y:CO :DMC : PGM : PGT1 . BEFEHL : KONTROLLBEFEHLz . BEFEHL : ARITHMETISCH-LOGISCHER BEFEHL

EEFEFLSVEF~ARL-~EITUNtâ : F'IF'E3~ININ4i TSk`~HCDI'k'

PROGRAMMSPEICHER ; 1024 x 24 bitDATENSPEICHER :1 . A-RAM : 128 x 16 bit2 . B-RAM : 128 x 16 bit3 . EXTERNES RAM : 1024 x 16 bit


$efehlssaz`z des FUjitstu DSPM$ e;z6ff

Instruction set

Types of instructions

The instructions are classified as follews .


Type Mnemonic Operation

Arithmetic ADD A + B + Dand logic MLT A x B w 0instructions SUR B - A + 0

MSM D+AxB-DMRD D-Ax8 .DSIM 0+A-.0RED D-A+DABS IDI+0NEG - D + DSRA Shift D right arithmetic -. DSLA Shift D ieft arithmetic -" 0AND DIIA-DDRA 0UA{0DIV 0 " A - 0CCM ß+D

Nove LTB ROMT + A, BRAM/ERAM - Binstructions LAB ARAM .. A, BRAM/ERAM .r B

MAB ARAM- BRAM/ERAMMBA BRAWERAM - ARAMMOV IRAK/ERAM - registersMOV Immediate data + registersMOV Registers -. registers/IRAM/ERAMLOI Inmediate data . ALIB Imnediate data + A, BRAM -. B

Jump JMP Unconditional jumfinstructions JOC Jump on condition

JSR Jump to subroutineRTS Return from subroutine

Other CLR Clear register or flaginstructions SET Set flag

MXY X+Ax~X, Y+6Y+YLIY Immediate data + A, BRAM ~ B, Y + 1 . YAVP VP + d - . VPLVP d + VPADY Y+YS*YGXY XS + X, YS . . YSXY d - Cl, X ~ XS, Y . YS, X " Y - 0NOP No operation

BefehZsstruktur des DSPMB876

Assemblerexpression

Object code

LAB

0

Machine code1 :arith- 11me,-logicoperation]Ya7[(X)],

4b7[~[Y

I 0

Effective address

. o, l - c x

lle e

Arithmetic/logic operation

1® ; High-oxdet 3 bits of b

Operation Cycles

IWhen IE = 7ARAM(ea)-A

o BRAM(eb)-B

When IE = 0ARAM( ea)-AERAM(eb)--BThe arithmetic/logic operationdetermined by theC field is per-formed simolta-neously, regard-less of wtietherIE=OorIE=1 .

Beispiel :

LAB : RED

$4~ (x), ~4~ (YE)

ARAM -~ AERAM --~ B


x ee Y ©VS eb

0 0 b ,.

0

i

op" ; .tim c OP .xai.n

000 HOP l00 NSt

001 AOD 301

Ho0 1 0 M.S llo 5011

011 sus 111 NW

9

Ausführungsbeispiele vonSignalverarbeitungseinrichtungen

9.1 Anwendungen von XILINX - FPGA's

Anwendungen mit XILINK - FPGA's

n1

N-W N3 1

W 4 , 06

. .7

Kontur-Verfolger

67®12

8-W 8 8O

;r*: . e07 i1 .â7 023

01®34

12®46

5 723056 45®70

1 .

0 .

34®07 66M01


Aufbau des Kontur-Verfolgers mit 2 XC 3064 FPGA`s

des Kontur-Verfolgers mit 2 XC 3064 FPGA`s

Systolic - Four-Chanel Long -Time Integratorfor Pick-Up Coil Signal Processing

sampled pick-up coil signal

Sa

Sa

. ... . . . .. . . .. . .

... . .. . . .. .

52

... . . ... . . .:

1. . . ... .

1

rr2 n"1 n

1. .. . . ... . . .. . ... . . .. . .. . ; 1. . .. . ... . . ... . . ... . . ... ; 1

s, 1..

1..n-1

n

la

1 1 I2 13 Ia

tt 12 13 ta

I1

Kepiersintegral increase

Te(So-2+4-Sn.i+Sn)~In = 3c

VXI - control device

T : sample timece:integrator constant

Blockdiagram of VXI - Four - Channel - Integrator


I memorytransfer endprocessing

Timing of VXI - Four -Chanel - Integrator

I a (t)13 (t)

FÀ

elecuonical magnirier Xl2(t) o CH (n) four-1, (t) ch channel-

( t) 1signal- Ich(n)r4 M integrator

S3(t) U--VD Sch

2XU

s2 (t)CH annel

s, (t) snmple

T

address

Schaltbild eines systolischen 5-Kanalintegrators

Kv 0

f,(n)


Mirnow-Sonden VXI - Meßsystem

2TE 1 TE

E É

5

Me-mory

VXI - Memory(Hewlett Packard)Typ E 1488 ASpeichertiefe

: max.16 MB

Speicherbreite : max.32 Bit

Tastatur


1 1 2 2

VXI-Mainframe3 3 4 4 5

Con- Inte-Me-

Inte-gra- Me-

Inte-gra- Me-

Inte-gra- Me-

Inte-gra-

trollergra-tor mory tor mory tor mory tor mory tor

In In In In InO

PC O 0 O OO O

oder00

00

00 0 0

Work- 0 0 O 0 0

station Out Out Out Out0

OutO

0 00

0O 0 0

00 0 0 O O~

0 O 0 0 0

9


9.2 Anwendung mit festverdrahteten Prozessoren

64 1281132 256 2

16 8 4

Kantendünner

1 .Subiteration

00000 00

009:o UM0

0**~ooooo0999~0~~~~0 00000::W UM::W ::W00000 00000

1-Bit FiFo

1-Bit FIFo

The output consits of numbers in the range

of 0 . . . 511 and decide if the pixel in the centre

of the mask must be deleted I

D D

0


2.Subiteration Thinned pattern

00000 00000 000000000000000 0000000000 00000

00000 00000 00000 00 0000000 000000 0 0~~~0

0 0 o:: :o 00 00 0000000 00 00 00

00000000 000 006000000000oo~000000000000

000 0906669466600 006040666696900o6096:00000000o 009000000000:000969602:00000006900669949990 00900000000000oo~o .,0~~~0 00000 oo:oo 009000 :30 o:::o 00~00 00000

001100 000000~~~0 00000ôôôôô ôôôôô

000000000000000 00000

Aufbau des 8 - fach Kantendünners

A

Groy level

brightness ~---~~

Sobei Kanten - Detektor

sitiw region

AGrey level profile

Cteteotion by Sobei operator

LLABOR FÜR ELEKTRONIK

Kantendetektion mit zwei IMS - Prozessoren

Orientation of Use gray levai change

Bildpunkt-Übertragung mitINMOS - Transputer - Baustein

LINK 1Mwe ,

igital signal processor p

9


9.3 Anwendung mit programmierbaren Prozessoren

10 - Kanal Magnetfeldmesser für TEXTOR

A(Q

A(Q

InduziedeSIBapannung

f r


CAMAC - Magnetfeld - Meßinstrumentierung

Front-End

-HControi room

j 1 double DSP-

Sample1 demoduWtor

memoryI

MB 8764______double DSP"

SampleI 1 demodulator

memory1 M_ß_8764g

doubleostP

r

Sampleh demoduWo memo ryt L MB 8764

_ ,

1

light pulscontrol

c il

Tz :1se1 tuc0 1

Hi :1761 "CO

Hall device 02

Hall device 04

Hall device 06

Hall device 08

Hall device 10

In, .

Lmkup table

ô

zm

â

7K~ 1

1fu -V 9uuw x

IrN- 7

_JrvWw6 lrNIM a"

Wml B

p

KHd 7

Ir

AuawnrumMODUL 1

N

b "N

wusrPROM

Sp~pt1W

p.wammmmuxAbaN~uinW

DSP

4 . IfaWSyMm "demoaww .

ibg~siarAdauWNnwq$171u1iNOQQ

W--,-

w~ ou . .1>m .

k~ Wt0193

-d9~

C-

v L__________1 double DSP"

Samplee 1 demodulator

memoryL Meaisa -

-4r 1 double DSP"

samplet Idemodulalor

memory1

MB 8764e~--

light pulscontrol

C

A

M

A

c

8

u

S

Lkhdstfbr " MOdut~


Methode der Filterprogrammierungim TEXTOR - Magnetfeldmesser

Camac - Filter

OSP- Programm

90010

<t*005 KOF00020 ;00030 ; Adressen der00040 <--001 9@adc00050 < " -001 $@dac00060 ;00070 ; Adressen der00080

<--005 9@xn00090

<--005 s@yn00100

<--003 $@s l00110

(--003 59320012000130 ; Filterinitialisierung :00140 <--001 tt@xn

°+0,000150 (- ". 001 tt@yn

°+0 .000160 <--001 9051

=0H00170 <--001 ++@s2

=OH00180 ;00190 ;00200002100022000230002400025000260002700028000290003000031000320003300034000350003600037000380003900040000410004200043000440004500046000470004800049000500005100052000530005400055000560005700058000590 end

Filter :=70-50c10-20

soo(Y,00-03)

peripheren Hardware :-01(e)-N4(e)

Berechnung der SignalfolgeLAB s@%n .KOF(1)mov $@n l,DNOP :MSNLAB s@yn,KOF(3)NOPNOP :MRDKOv D,S@s2

Berechnung der SignalfolgeLAB soxn,KOF(0)NOPNOP :MLTLAS s@Yn,KOF(2)NOPNOP :MRDMov D,S@s lEND

Koe£fizicntenfeld im BRAN

Analog-Digital WandlerDigital-Analog Wandler

FiltereingangF1ltarausgang1 . Speicherausgang2 . Speicherausgang

Laden der Filterspeicher :Mov Mxn,DMov D,S@xnmov ü@yn,DMov D,S@ynmov a@sl,DMov D,$Oslmov tt@s2,DMOv D,S@s2

Filterung :tts2 .CO

STARTjoc @ond,COHBA

s@adc,S@xnBAHAB S@yn,s@dac

Berechnung der Ausgangssignalfolge Yn ;' LAD $Oxn,KOF(0)

mov s@s2,DNOP :MSMMOv D,$eyn

EingangszignalfolgoAusgangssignalfol¢oSignalfolge am Speicherausgang SlSignalfolge am Speicherausgang S .,

Steuerung des 1 . AbtastwortosBeginn ADC-Wandlung

Empfang der EingangssignalfolgeSondon der Auzgangssignalfolge

D[S2+Xn*KOF(0)1

am Speichereingang 52 :

D[S1+Xn*KOF(1)7

D[SI+Xn*KOF(l) -Yn *KOF( 3 ) 7

am Speichereingang S1 :

D[Xn*KOF(0))

D[Xn*KOF(0)-Yn*KOF( 2 ))


Dipl:Ing. F.JansenForschungszentrum JülichInstitut für Grenzflâchenforschung

undVakuumphysik

Drehzahlregelung - GaAs-Kristallzuchtapparatur

GaAs - Kristallzuchtapparatur mit heißer KesselwandMagnetische Lagerung der Zieh- und der TiegelwelleK Boden, F. Janaen

KFA/IGV

Gewichtsmessung von Kristall und Tiegel-Durchmesserregelung des Kristalls-Arsendruckmessung

Prolotypanlage : Leybold " Heraaus GmbHIG V, IFF 1KFA

Inbetriebnahme und ouailtlzlerung :IFF, IGV / KFA

DiplAng . F.JansenForschungszentrum Jülich

Institut für Grenzflächenforschungund Vakuumphysik_

Drehzahlregelung - GaAs-Kristallzuchtapparatur

Drehzahlregelung von Kristall und Tiegel

DrehzahlsensorenSignalverstärkungAnpassung

16Bit-ADC'sDSP32C-M43 (32-Bit Floatingpoint)

16Bit-DAC's

Die von den Drehzahlsensoren gelieferten stark verrauschten und

gestörten Signale (siehe Prinzipdarstellung 25mm Luftspalt mit

Heizung) werden in einem digitalen Regler mit speziellen

nichtlinearen Filteralgorithmen bearbeit . Das relativ kleine

asynchrone Motormoment (Luftspalt 25mm und Rotortemperatur ca.

700C°) erfordert eine Drehzahlmessung nicht wie üblich durch

Messung der Signalnulldurchgänge, sondern eine aktuelle

Drehzahlbestimmung innerhalb eines jeden Abtastintervall

(Abtastfrequenz 1OkHz) mit geeigneten Gleitkomma-

Rechenoperationen. Die Ausgangsgröße des PI-Algorithmus, dessen

Eingangsgröße die digitale Drehzahlgröße ist, steuert die Amplitude

und Phase, in der Testphase auch die Frequenz der drei

120°phasenverschobenen, sinusförmigen Eingangssignale der

Leistungsstufen . Diese drei sinusförmigen Signale werden in Echtzeit

mit einer endlichen Sinusreihe berechnet .

10

KFA - Entwicklungssystem MB 8764 für kaskadierteund systolische Mehrprozessor- sowieEinprozessoranordnungen

Einführung

Neue Entwicklungen auf dem Gebiet der Mikroelektronik bieten die Möglichkeit, mit programmlerbaren, ex-trem schnellen Prozessoren, den Signalprozessoren, abgetastete analoge Signale in Echtzeit numerisch zuverarbeiten. Diese als "Digitale Signalverarbeitung" bezeichnete Methode gewinnt wegen Ihrer wirtschaftli-chen und technischen Vorteile in der elektronischen Nachrichtentechnik, Regelungstechnik und Meßtech-nik Immer mehr an Bedeutung.

Nicht nur die bis jetzt mit Analogschaltungen gelösten, sondern auch viele für unlösbar gehaltene Signal-verarbeitungsprobleme können mit den heute preiswerten Signalprozessoren kostengünstig gelöst wer-den.

Die Verwirklichung komplexer Signalverarbeitungsaufgaben in nur einem Signalprozessor führt zueiner überproportionalen Zunahme der Länge der vom Signalprozessor abzuarbeitenden Programmeund damit zu einer entsprechend unerwünschten Herabsetzung der Signalverarbeitungs-geschwindigkeit. Abhilfe schaffen in solchen Fällen entweder kaskadierbare oder insbesonderesystolische Multiprozessoranordnungen .Das In-Circuit-Entwicklungssystem MB 8764 ist ein unentbehrliches Hilfmittel bei der Entwicklungvon Ein- und Mehrprozessorschaltungen, die bei ihrer Fertigstellung als selbstständig arbeitendePlatineneinheiten Teilfunktionen in einem sonst analog arbeitenden elektronischen Gerätübernehmen .Das multivalent und damit für beliebige DSP-Typen konzipierte Entwicklungssystem erleichtertEntwicklungsarbeiten an numerisch arbeitenden Schaltungen.

Wegen der Bedeutung der noch nicht sehr bekannten systolischen Multi-Signalprozessoranordnungen zurdigitalen Hochgeschwindigkeitsverarbeitung analoger Signale hier noch einige Bemerkungen über Ihre Ei-genschaften und Ihre Arbeitsweise.

Ein systollsches Mehrprozessorsystem führt eine parallele Datenverarbeitung aus. Ein Berechnungsvor-gang wird in eine vorgegebene Anzahl gleichartigerTellberechnungsvorgänge zerlegt. Die in jedem Prozes-sor berechneten Zwischenergebnisse werden mit einem für alle Prozessoren gleichen Takt, dem systoll-schen Takt, solange in vorgegebener Richtung über Daten-Links in die Nachbarprozessoren geschoben,bis das Endergebnis einer Berechnung den letzten Prozessor verläßt. Es entstehen In der Multi-Signalpro-zessoranordnung Datenströme, die sich mit der Geschwindigkeit des systollschen Taktes durch die Anord-nung bis zu ihrem Ausgang bewegen. Mit dem Signalprozessor MB 8764 können in dieser Weise Signalemit spektralen Frequenzen bis zu etwa 300 kHz verarbeitet werden. Wegen der voraussetzungsgemäß glei-chen Tellberechnungsvorgänge müssen die Signalprozessorprogramme, die diese Berechnungen ausfüh-ren, natürlich alle gleich sein. Koeffizienten untersohledllcher Größe, die mit entsprechenden Programmbe-fehlen von jedem Signalprozessor gleichzeitig übernommen werden, bestimmen ausschließlich daß Zeitver-halten der Zahlenfolge (Signalausgangsfolge), die das System verläßt.

Systolische Multi-Signalprozessoranordnungen haben folgende Vorteile :- lineare Signalgeschwindlgkeltserhöhung bei Vergrößerung der Anzahl der Prozessoren- modularer, beliebig erweiterbarerAufbau- ein Programm füralle Signalprozessoren- ein getrennt elngebbarer Satz von Koeffizienten- hohe Signalverarbeitungsgeschwlndigkeit.


Aufbau und Eigenschaften

Die zentrale Steuerung des In-Circuit-Entwick-

lungssystems MB 8764 wird über ein IBM-PC vom

Typ XT, AT oder PS2 ausgeführt . Über serielle

Schnittstellen wird ein Programmer (laden der Pro-

gramm-PROMs), ein Line-Printer und eine Einheit

mit bis zu acht Emulatoren angeschlossen . Mit je-

dem Emulator können bis zu acht Signalprozes-

sor-Adapter betrieben werden . Das Entwicklungs-

system kann also für die Entwicklung von systoli-

schen Multi-Signalprozessoranordnungen mit bis

zu 64 DSPs verwendet werden . Ein Signal-Prozes-

soradapter besteht seinerseits aus einem Adapter-

kopf, in den ein Signalprozessor eingebaut ist und

aus einem in ein Kleingehäuse eingebauten Pro-

grammspeicher. Über ein 30 cm langes Bandkabel

gelangt der Maschinencode der Signalprozessor-

befehle aus dem Programmspeicher in den Signal-

prozessor. Die Datenübertragung zwischen dem

Signalprozessor im Adapterkopf und dem Pro-

grammspeicher wird im 10 MHz-Takt ausgeführt .

Über ein 1 m langes Kabel, das den Programm-

speicher mit dem Emulator verbindet, wird dieser

geladen. Die Übertragung und Organisation der

Daten zwischen dem PC und den Emulatoren

übernimmt ein in jeden Emulator eingebauter

Mikroprozessor 8085.

Das Im IBM-PC Installierte und unter MS-DOS laufende Programmpaket ermöglicht eine menügesteuerte

komfortable - andler,- Signalprozessor-Programmbearbeitung im Programm H

- die Steuerung des Emulators,- und das Laden der Signalprozessor-Programmspeicher .


Aufbau und Eigenschaften

Blockschaltbild des Entwicklungssystems


Programmhandler

Mit dem Programm-Handfer werden das Signalprozessorprogramm geschrieben, Korrekturen am Pro-gramm, an der Multiprozessorarchitektur oder am Koeffizientensatz ausgeführt und das Programm beiFehlerfreiheit in Maschinenbefehle umgesetzt. Es können auch fertige Programme aus einer Programmbi-bliothek aufgerufen werden, für die dann nur noch die Signalverarbeitungseigenschaften der zu entwickeln-den Anordnung und der Koeffizientensatz eingegeben werden müssen. Der Koeff¢lentensatz enthält diejedem Signalprozessor zugeordneten Koeffizienten, die in einem Datenfile auf der Festplatte des Steuer-rechners abgelegt sind. Selbst geschriebene Programme, nicht die aus der Programmbibliothek, könnengelöscht und die ausgewählten Multi-Prozessoranordnungen grafisch dargestellt werden. Nach Bedarfkönnen auch Programmlisten oder Listen mit den für den Betrieb der Signalprozessoren bestimmten Ma-schinenbefehlen und ihren Hexadezimaladressen auf dem Schirm des Steuerrechners oder auf einem Line-Printer ausgegeben werden.

Beim Neuaufbau eines Programms wird der Anwender zunächst gefragt, ob er ein extemes Unterpro-

gramm, ein Signalprozessorprogramm für eine Einprozessorschaltung, für einen binären Baum, für eine se-

misystolische oder für eine globalsystolische Matrix schreiben will oder ob er ein Bibliotheksprogramm ver-

wenden will. Fällt die Wahl auf eine systolische Multi-Prozessoranordnung, wird diese zunächst auf dem

Bildschirm grafisch dargestellt . Nach Beantwortung der Fragen nach ihrer Größe, den Datenflußrichtungen,

nach der Art der Eingangs- und Ausgangssignale wird ein direkter Sprung in den Editor ausgeführt .

In eine Programmzeile wird die Zeilennummer automatisch eingetragen . Hinter ihr ist Platz für eine sechs-

stellige Labelmarkierung, danach für einen Signalprozessor-Doppelbefehl und einen durch ein Semikolon

zu markierenden Kommentar. Bei der Befehlseingabe gemachte Syntaxfehler, aber auch logische Fehler,

die schon festgestellt werden können, werden direkt gemeldet. Sie können durch Auswechseln der fehler-

haften Strings direkt behoben werden. Nachträglich kann aber auch durch Löschen einzelner Befehle oder

Programmteile, durch Einsetzen von Befehlen oder Detailänderungen an den Befehlen, ein Signalprozes-

sorprogramm abgeändert werden.

Es gibt Anweisungen für Koeffaientenfelder, deren Koeffizienten während des Programmablaufs mit einem

Adressenzähler in das Programm eingelesen werden . Diese Koeffizientenfelder werden entweder im A-

RAM, B-RAM oder im unteren Bereich des Programmspeichers der Signalprozessoren abgelegt. Bei der

Befehlseingabe wird geprüft, ob die Koeffizientenfeldanweisungen am vorgeschriebenen Programmanfang

stehen und ob sie fehlerhaft sind . Geprüft wird auch, ob der eingegebene Befehl zu den bei jeder Spei-

cherart zugelassenen Befehlen gehört. Bei Befehlen, die einen durch eine Ordnungszahl gekennzeichneten

Koeffizienten Ins Programm einlesen sollen, wird überprüft, ob er im Koeffizienten-File vorhanden ist .

Für den Datentransfer zwischen den Signalprozessoren der Multi-Prozessoranordnung sind Spezialbefehle

zum Senden und Empfangen der auszutauschenden Daten geschaffen worden . Für sie sind die untersten,

sechzehn Adressen des Externen Datenspeichers reserviert . Wird bei der Programmerstellung irrtümlich

ein Befehl angegeben, der einen oder mehrere dieser Adressen ansprechen würde, wird dies schon bei

der Befehlseingabe bemerkt und der Anwender mit einer entsprechenden Fehlerdiagnose zur Fehlerbesei-

tigung aufgefordert . Zu den Spezialbefehlen gehören neben den Sprungbefehlen, deren sprungziel statt

mit einer Sprungadresse jetzt mit einer Label-Angabe versehen ist, ein START- und ein END-Befehl . Der

START-sefehl markiert den seginn der Programmschleffe, in der, nach der Initialisierung der Programmda-

ten, die Werte des abgetasteten Ausgangssignals berechnet werden, der END-Befehl ihr Ende. Mit dem

START-Befehl wird gleichzeitig auch der Systemtakt des Multiprozessorsystems ausgelöst, mit dem der

Datenaustausch zwischen den Signalprozessoren beginnt. Sollen die Eingangssignale mit einem Analog>

gital-Wandler umgesetzt werden, wird während des END-Befehls auf eine Flag gewartet, die das Ende der

Wandlung signalisiert . Anschließend wird ein Sprung zu dem den Schleifenbeginn kennzeichnenden

START-Befehl ausgeführt.


Emulator

Nach dem Aufruf des Emulators werden automatisch alle jedem Signalprozessor zugeordneten Pro-grammspeicher geladen, nachdem die im Koeffizientenfile den einzelnen DSPs zugeordneten Koeffizientenin den Maschinencode eingesetzt worden sind. Das Betriebsprogramm der Emulator-Mikroprozessoren or-ganisiert diesen Ladevorgang.

Die wesentlichste Zweckbestimmung eines Entwicklungssystems ist es, die Möglichkeit zu schaffen, imEchtzeitbetrieb die Inhalte aller direkt oder indirekt zugänglichen Register eines Prozessors bei einem imProgramm markierbaren Befehl -dem Break Point"dem Anwender zugänglich zu machen . Die Anzahl derauslesbaren Register ist relativ klein und hängt vom innerenAufbau eines Signalprozessors ab . Beim Fujit-su MB8784 sind es sieben Register. Die Registerinhalte bei Einprozessoranordnungen können deshalb beijedem Break-Point-Durchlauf direkt auf dem PC-Schirm dargestellt werden : Bei Multi-Signalprozessoran-ordnungen ist das nicht mehr möglich . Die während einer vorgegebenen Sequenz in einem Speicher ge-sammelten Daten werden in vielfältiger Weise dargestellt . Eine davon ist die tabellarische Darstellung derDatenflüsse zwischen den Signalprozessoren, eine Darstellung, die gerade in systolischen Multi-Signalpro-zessoranordnungen sehr informativ ist .

Leistungsmerkmale

Modularer, erweiterbarer Aufbau

bis zu 8 Signalprozessoren pro Emulatorbiszu 8 Emulatoren (max . 64 DSP's)

Komfortable PC-Software

Bearbeitung derAnwenderprogramme:

Eingabe und Korrektur der Anwendrprogramme- Auswahl der Ein- oder Mehrprozessorarchltektur und Parametereingabe- Aufbau einerDatei mit einem DSP-spezifischen Koeffizientenfeld- Syntaxprüfung der Signalprozessorbefehlseingabe- Koeffizientenfelderzugriff- Vorgabe von Adress- und Zahlenvariablen gleichen Namens- Überprüfung derProgrammlogik und Fehlermeldung- Programmvonübersetzung in den Maschinencode

Darstellung auf Bildschirm und Printer:- des Programm-dervorgewählten Prozessorarchitektur-desfarbmarkierten DSP - Objektcodes- des Koeffizientenfedes

Korrekturen:- im Anwenderprogramm- des Koeff¢ientfeldes- der Mehrprozessorarchitektur und Parameter

Löschen oder Kopieren eines Anwenderprogramms

Rücksprung in die übergeordnete Befehlsebene :

Verlasssen des Programms:-Übertragen der geänderten Anwenderprogramme auf die Festplatte

-Löschen der zu Löschung bestimmten Anwenderprogramme

auf der Festplatte.

Darstellung der BibliothekderAnwenderprogramme :

Programminformationen:- Programmname- Attribut neu oder alt- Datum der Programmbearbeltung- Angabe der gewählten Mehrprozessorarchitektur

- Anzahl der einem DSPzugeordneten Koeff¢ienten

- Anzahl derZeilen eines Programms- Anzeige,ob das Programm für ADC Betrieb bestimmt ist

Bibliotheksdarstellung- alphabetische Gesamtdarstellung- mit Suchfunktion


Leistungsmerkmale

Emulation derProgramme

Laden der DSP's- Ergänzen des vorübersetzten Objektcodes mit einemjedem DSPzugeordneten Koeffizientenfeld

- Laden der vervollständigten Objektcodes in diejedem DSPzugeordneten Programmspeicher

Vorgabe desSignalprozessortaktes- FesteTaktzeiten von 100ns, 200ns,400ns .- ExterneTakteinspeisung

Programmverfolgung mit Tracer- Darstellung derabgearbeiteten Programmbefehle mit farbiger Texthinterlegung,die die Zugehörigkeit des Befehls zum Programmteil angibt

- Programmsprungfehler sind rot markiert

Breakpointbearbeitung- Vorgabe einer Breakpointadresse- Online - Darstellung der Register bei Einprozessorbetrieb- Offline - Darstellung der Register aller DSP's in nach unterschiedlichenGesichtspunkten geordneten Tabellen

Darstellung der DSP-Registerinhalte der letzten Breakpointbearbeitung:


Verlasssen des Programms:-Übertragen der geänderten Anwenderprogramme auf die Festplatte-Löschen der zu Löschung bestimmten Anwenderprogrammeauf der Festplatte .

Laden derDSP- Programmspeicher mit dem vervollständigten Objektcode

Vorwahl des zu speichernden Bytes

Speichem desausgewählten Bytes auf Diskette


Verlasssen des Programms:-Übertragendergeänderten Anwenderprogramme auf die Festplatte-Löschen der zu Löschung bestimmten Anwenderprogrammeauf der Festplatte :

Verlasssen des Programms:

Übertragen der geänderten Anwenderprogramme auf die FestplatteLöschen der zu Löschung bestimmten Anwenderprogrammeaufder Festplatte:


Sf~uKtur rJes KF~J- Enfwic%lungssysfems M.ß 6~6~

KFA-Entwicklungssystem für Fujitsu MB8764

I P!

E!

R!Programm- Emulator- Programmer- I

I bearbeitung steuerung steuerung

I

ILine Printer

Hardware

DATA I/0

11

I

Programmer I I

Anwender-Platinenonordnung

I

ZENTRALLÂBOR FÜR ELEKTRONIK

-Abteilung Allgemeine Elektronik -

10


10.1 Hard- und Software desSignalprozessors MB 8764

Rufbau des Signalprozessors Fuji ;su MS8764

TST-ESS-

M B 8764

ALM__DIIN

OF

TE-


PROGRAMMAUFBAU

out t

Initialisierung

Signalfolge amSystemausgang

LND LND tENDSTART START START


START

Berechnung d.Signalfolgeam Systemausgang

00070 JSRa)2000080 10 NOP

00120 JSR a)10

END

367

10

KFA- Entwicklungssystem MB 8764 für kaskadierteund systolische Mehrprozessor- sowieEinprozessoranordnungen

10.2 DSP -Programm : Aufbau und Verarbeitung

Abtastung und DatenverarbeitungIh eli7efn Pbtastzyklius

xnt

BerechnungZn

�/7f der i)us o17h 19

L/2 1

Wandelzeit

Flngangsfolge-n

Flag Fd> ron ADG

n

Progr0Mmablauf

-STf12T-Beeeb,

END - Befehl

%--- END-Berelh!S7,927*- Befehl

~-- Abtastzeit Ta

Ausgangsfolge yn amDA~

n

STA2T ; Auslôsen desSystemtaktes

END i Warten OufFla9 F(PUndSprung noch Start


10


10.3 Label - Adressierung

L A B E L - A D R E S S I E R U N G

00005 START

00030 10

NOP00040 NOP00050

JMP:ADD @10

00100

JSR:SUB @UPROGR

00130 20

NOP00140 JOC @20,C0 :FO :MI

00300 30

NOP00310

JOC:RED @30,C1 :OF:IF :ZR : OV

00700 END

00710

SUBROUTINE UPROG00720 NOP:MLT00770 RTS


10


10.4 Anlegen von Koeffizientenfeldern. . .

10.4.1 Koeffizientenfeld im Programmspeicher

Speicherung des koef"zientenfe/desim Programmspeicher

KOF INS(x,~~2-~9)

START : SUM

LTB :RED KOF(x),$3B(YE)LTB :RED KOF(00),$3B(YE)

LDI: SUM KOF» )LIB : SUM KOF (1~)LIY : SUM KOF(e3)

END : RED

Feldanweisung

mit Feldanweisung :

KOF W+A ERAM (Y) -+BKOF(00)-A ERAM(y)-B

ohne Feldanweisung :

KOFA)yAKOF(1~)->A BRAM(Y)-+BKOFf)-*A BRAM(Y)-+B

Y+1 --+Y

A, B

: RegisterKOF( ) : Koeffizienten

x :Zähler


10


10.4 Anlegen von Koeffizientenfeldern . . .

10.4 .2 Koeffizientenfeld im A-RAM des DSP

Speicherung des Koe ziéntenfe/desim P2AM

A, B :RegisterKOF() : Koeffizientenxy : Zähler


FeldanweisungKO F $~3 (x,~2-49) ARAM-Anfangadressee3H

START : SUM

mit Feldanweisung :

LAB : RED KOF(x), $3A(YE) KOF(x)- "A ERAM(y)-B

MAB :REDKOF(x)1 $2A(YE) KOF(x) -" ERAM (y)

LAB : RED KOF(00),$3A(YE)MAB :REDKOF(00), 2A(YE1

ohne Feldanweisung

LDI : SUM KOF(0 d~ ) KOF(ee)+A

LI B : SUM KOF (10) KOF(1e)-+A BRAM(y)- 1,B

LIY : SUM KOF (~3) KOF(e3)-+A BRAM(y)B

END :RED

10


10.4 Anlegen von Koeffizientenfeldern . . .

10.4.3 Koeffizientenfeld im B-RAM des DSP

Speicherung des lCoeffizrenter7feldessirr 8V9M

KOF $e7 (yl ~2-~g)

START : SUM

LAB : RED $3A(x), KOF(y)MBA :RED $1C(x) KOF(y)LAB :RED $3A(x),KOF(00)MBA : RED $1 C (x), KOF (00)

L DI :SUM KOF (WLIB :SUM KOF(14~ )LIY :SUM KOF(~3)

END : RED

FeldanweisungBRAM-Anfangadresse4 7H

mit Feldanweisung :

ARAM-+A KOF(y) -+BKOF(y) -+ARAM

ohne Feldanweisung :

KOF(~~)+AKOF(1P)->A BRAM(y)-+BKOFl~3)+A BRAM(Y)-éB

y+1 -+y

A,B : RegisterKO F () :Koeffizientx, y : Zähler


10


10.5 Datentransfer - Befehle fürSignalprozessor-Arrays

Befehle für den Datenverkehrzwischen den Signalprozessoren

REGISTER:R1=DvAvEIvXVYVCmvDMCVPC

R2=EO :A :B :D

PORT-MARKING :

Pm m={1 ;2:3:4


VORSPANN

START SUM

MOUE DATA OUT :

MDO :SUM

MDO : RED

R1,Pm

$3F(X), Pm

[R1]--" Pm

[$3F(X)] -= Pm

' MOUE DATA IN

MDI :COM

MDI :RED

Pm,R2

Pm,$3F(X)

[Pm] ---~R2

[Pm]-=$3F(X)

'ASSIGNMENT FOR :KOF $01 (Xmm-m91

MDI : RED

MDI : RED

Pm,KOF(X)

Pm,KOF(mm)

KOF(X) --A [Pm] -'B

KOF(mm) ---A [Pm] --" B

END : RED

11 Literaturverzeichnis

Literaturverzeichnis

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E.PersekeEntwicklung einer zehnkanaligen Meßeinrichtung zur Aufnahme der

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H.J . QuirnbachEntwicklung einer Steuervorichtung zum Bau eines numerisch arbeitendenVideo-SzenenanalysesystemsInterner Bericht * KFA-ZEL-1B-500492, März 1992

H.R.SchneiderEntwicklung eines hochintegrierten als Basiselement dienenden Bausteins zurVideoszenenanalyse in einem Hough-TransformiererInterner Bericht * KFA-ZEL-1B-500492, Juni 1992

K. HuxhagenExperimentelle Korrelationsuntersuchungen zweier Signale inmm-Wellenbereich zur schnellen Erkennung und Meldung einerdrohenden Plasmadisruption an TextorInterner Bericht * KFA-ZEL-1B-500496, Mai 1996


1 Technik und GesellschaftVorträge eines Seminars veranstaltet von derProgrammgruppe Mensch, Umwelt, Technikdes Forschungszentrums Jülich GmbHW. Fischer, L . Hennen, W. Kirstein, G . Schleser, G. Stein, Ch . Wandrey,P.M. Wiedemann (1990)

2 Analytische Glimmentladungs-SpektroskopieJülich, 25.-26. April 1990, Tagungsberichtherausgegeben von J . Rottmann (1990)

3 Die digitale Verarbeitung analoger Signale in Theorie und PraxisKFA-Fortbildungsseminar ; Jülich, im April 1989U. Eckhardt, H. Eulenberg, F Janßen, W Jansen und H . Larue (1990)

4 Reduced Enrichment for Research and Test ReactorsProceedings of thé XIIth International MeetingBerlin, 10.-14. September 1990Arranged and edited by G. Thamm, M. Brandt (1991)

5 Kontrolle radioaktiver AbfälleErfahrungen mit der BMU-RichtlinieSeminar ; Jülich, 23.-24 . Oktober 1990Redaktion M. Laser (1991)

6 Intermetallische Phasen als Strukturwerkstoffe für hohe Temperaturen

Seminar ; Hagen, 30.-31 . Oktober 1990

herausgegeben von F.J . Bremer (1991)

7 Mikrobruchvorgänge in A1203-KeramikDFG-Kolloquium ; Jülich, 9.-10 . April 1990

herausgegeben von H . Nickel, R.W. Steinbrech (1991)

8 BMFTWorkshop KlimawirkungsforschungAuswirkungen von KlimaveränderungenTagungsband; Bonn, 11 .-12. Oktober 1990

herausgegeben von W. Fischer, G. Stein (1991)

9 5th International Symposium onLaser-Aided Plasma DiagnosticsBad Honnef, 19.-23 . August 1991 (1991)

10 A Regime to Control Greenhouse Gases :

Issues of Vérification, Monitoring, Institutions

Proceedings of a Workshop, Bad Neuenahr, June 12-14,1991

edited by J.C . di Primio, G. Stein (1991)

11

Hartstoffe in WerkzeugenSeminar : Jülich, 20 . und 21 . Juni 1991

Redaktion : H . Prasse (1992)


12 Hadronic Processes at Small Angles in Storage Rings105th International WE-Heraeus-Seminar, ProceedingsBad Honnef, February 1-3,1993edited by E. Rössle, O.W.B . Schult (1993)

13 Economics of the Greenhouse EffectModeiing Strategies and ImpactsWorkshop ; Bad Zwischenahn, January 21-22, 1993edited byW. Kuckshinrichs, W. Pfaffenberger, W. Ströbele (1993)

14 Greenhouse Gas Verification - Why, How and How Much?Proceedings of a Workshop, Bonn, April 28-29,1994edited byW. Katscher, J . Lanchbery J . Salt, G . Stein (1994)

15 Advances in Systems Analysis: Modelling Energy-Related Emissionson a National and Global Leveledited by J.-Fr. Hake, M. Kleemann, W Kuckshinrichs, D. Martinsen, M. Walbeck(1994)

16 Wasser : Nachhaltige Gewinnung und Verwendung eines lebenswichtigen Rohstoffsherausgegeben von W Fischer, C. Karger, F Wendland (1996)

17 Die digitale Verarbeitung analoger Signale in Theorie und PraxisKFA-Fortbildungsseminar; Jülich, im Juni 1996U. Eckhardt, H. Eulenberg, F Janßen, W. Jansen (1996)

ISBN 3-89336 187-1

Documents

,1 Verarbeitung analogerSignale - juser.fz-juelich.dejuser.fz-juelich.de/record/811954/files/Konferenz_17.pdf · Entwicklungsarbeit imZELeingesetzte KFA-Entwicklungssystem MB8764wird