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Inhalts- und Terminübersicht
1. VL 10.04.14 Einführung
2. VL 17.04.14 Wasserkreislauf
3. VL 24.04.14 Strahlung(1.5.14 Feiertag)
4. VL 08.05.14 Komponenten und Prozesse
des Wasserkreislaufs
5. VL 15.05.14 Niederschlag I
6. VL 22.05.14 Niederschlag II(29.05.14 Feiertag)
7. VL 05.06.14 Verdunstung
3
Inhalts- und Terminübersicht
8. VL 12.06.14 Versickerung
9. VL 19.06.14 Infiltration
10. VL 26.06.14 Abfluss I
11. VL 03.07.14 Abfluss II
7. Abfluss I
5
7. Abfluss II
7.1 Definition und Grundlagen
7.1.1 Definition
7.1.2 Abflussbildung
7.1.3 Abflusskonzentration
7.1.4 Abflussregime
7.2 Abflussmessung
7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie
7.4 Abflussstatistik7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
7.4.2 Extremwertstatisitk
7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel
6
Ziel:
• Beschreibung der stat. Eigenschaften einer Abflusszeitreihe (an einer Gewässerstelle) und/oder Ableitung der Werte der extremen Abflüsse
• Für die Bemessung von z.B. Deichen, Schleusen, Karnälen und Rückhaltebecken werden Informationen zur Auftretenswahrscheinlichkeit von Ereignissen bestimmter Intensität benötigt -> Extremwertstatistik
Aufgabe der Extremwertstatistik in der Hydrologie (s. Übung)
• Wie häufig tritt ein Niederschlag bestimmter Intensität und Dauer im Mittel auf?
• Mit welchem maximalen Durchfluss / Wasserstand muss innerhalb einer Zeitspanne statistisch gerechnet werden?
• Die statistische Auswertung bereits beobachteter Extremwerte ist eine Möglichkeit, solche Aussagen zu liefern.
7. Abfluss II7.4 Abflussstatistik
Abflussganglinie (Hydrograph) – Definition
Darstellung des Abflusses Q über die Zeit t (Ganglinie des Wassers am Pegel).
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
9
7. Abfluss II
7.1 Definition und Grundlagen
7.1.1 Definition
7.1.2 Abflussbildung
7.1.3 Abflusskonzentration
7.1.4 Abflussregime
7.2 Abflussmessung
7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie
7.4 Abflussstatistik7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
7.4.2 Extremwertstatisitk
7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel
Deskriptive und analytische Statistik
Aufgabe der Statistik ist die Zusammenfassung von Daten, deren Darstellung, Analyse und Interpretation.
Man unterscheidet zwischen beschreibender oder diskreptiver und schließender oder analytischer Statistik.
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Die deskriptive Statistik dient der Beschreibung quantitativ-empirischer Daten. Ziel ist es, Daten und die ihnen zugrunde
liegenden Muster sinnvoll darzustellen und zusammenzufassen. Beispiele sind:
• Tabellen (z.B. Häufigkeitstabellen, oft Einteilung in Klassen);
• Grafiken (z.B. Balkendiagramme oder Histogramme, Kreisdiagramme, Liniendiagramme);
• Statistische Kennwerte (z.B. Mittelwerte, Streuungsmaße).
Im Gegensatz zur deskriptiven Statistik versucht man in der analytischen Statistik, von den Ergebnissen der Stichprobe auf die
Grundgesamtheit der Beobachtungsvariablen zu schließen:
• Auf der Basis der Stichprobenwerte kann man auf die Verteilung der Beobachtungsvariablen schließen;
• Auf der Basis von Stichprobenwerten kann man Hypothesen überprüfen (ist z.B. die Temperatur in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts signifikant
höher als in der Zeit davor?). -> statistische Tests
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Deskriptive Statistik: Häufigkeitsverteilung
Messwerte qualitativer (kategorischer) Variablen treten meist mehrfach auf. Bei quantitativen (metrischen) Variablen bildet man
meist Intervalle oder Klassen, denen die Messwerte zugeordnet werden. Das Ergebnis ist in beiden Fällen eine
Häufigkeitsverteilung. Diese Häufigkeitsverteilung lässt sich tabellarisch oder grafisch darstellen:
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7
Klasse
An
zah
l We
rte
Klasse Klassengrenzen Anzahl Werte1 1.0 - 2.0 12 2.0 - 3.0 43 3.0 - 4.0 64 4.0 - 5.0 115 5.0 - 6.0 76 6.0 - 7.0 37 7.0 - 8.0 2
Tabelle
Histogramm
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Klimastationen
Z.B. Temperaturen
[°C]
Deskriptive Statistik: Darstellung räumlicher Werte
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Lagemaße:
Modalwert = der in der Stichprobe am häufigsten auftretende Wert;
Medianwert = sowohl oberhalb als auch unterhalb des Medianwertes liegen 50 % der nach Größe sortierten Werte, er wird
deshalb auch Zentralwert genannt;
Mittelwert = arithmetisches Mittel oder Durchschnitt, also die Summe der Werte xi durch die Anzahl n der Werte:
n
iix
nx
1
1
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Dispersions- oder Streuungsmaße:
Streuungsmaße beschreiben die Streuungsbreite oder Heterogenität der Werte. Bei kleiner Dispersion verteilen sich die Werte
eng um den Mittelwert, bei großer weit. Wichtig sind:
Range = Variationsbreite oder Spannweite zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.
Varianz = Die empirische Varianz ist eine Kennzahl für die Dispersion von gemessenen Werten um den Mittelpunkt herum. Je
stärker die Messwerte der einzelnen Werte vom Mittelwert abweichen, desto größer ist die Varianz s2
der Variablen. In die
Berechnung der empirischen Varianz gehen die quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte xi von ihrem Mittelwert
ein:
Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz.
2
1
2 )(1
1
n
ii xx
ns
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Ein statistisches Modell beschreibt die Eigenschaften eines Zufallsprozesses.
Fa
llhö
he
[m
]
Zeit [t]
Beispiel für deterministisches Ereignis:
Fallhöhe eines Balles.
Au
ge
nza
hl
Zeit [t]
Nie
de
rsch
lag
[m
m]
Zeit [t]
Beispiel für unkorreliertes stochastisches (stat.) Ereignis:
Würfeln.
Beispiel für korreliertes stochastisches (stat.) Ereignis :
Niederschlagshöhe.
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion:
Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so kann man die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Realisation (eines
Elementarereignisses) nicht bestimmen, dafür aber die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert innerhalb eines Intervalls liegt.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die stetige Zufallsvariable X
innerhalb von a und b liegt:
Die Gesamtfläche unter dem Integral ist auf 1 normiert:b
a
dxxfbXaP )()(
1)(
dxxf
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Wikipedia
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Unterschreitungs-wahrscheinlichkeit
Überschreitungs-wahrscheinlichkeit
Zwischenwahrscheinlichkeit
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Wahrscheinlichkeit: Anzahl der Fälle, in denen ein Ereignis eintritt, geteilt durch Anzahl der möglichen Fälle
Unterschreitungswahrscheinlichkeit PU: PU= P(x xi)
Überschreitungswahrscheinlichkeit PÜ: PÜ= P(x > xi)
Beziehung zwischen PU und PÜ: PÜ+ PU = 1
Wiederkehrintervall oder Jährlichkeit: T = 1 / PÜ
T ist die durchschnittliche Zeitspanne, innerhalb der ein Ereignis x auftritt, welches einen Schwellenwert xi übertrifft.
Meist werden jährliche Extremwerte betrachtet und T wird in Jahren angegeben („Jährlichkeit“).
Stationarität: Stationarität einer Variablen bedeutet, dass das zugrundeliegende statistische Modell invariant gegen zeitliche oder räumliche Translationen ist.(s. Übung)
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Verteilungsmodelle:
Die meisten Zufallsvariablen können durch Verteilungsmodelle beschrieben werden, wobei für stetige und diskrete Zufallsvariablen
unterschiedliche Modelle Anwendung finden.
Gleichverteilung:
Für eine diskrete Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass alle k möglichen Ereignisse bzw. xi-Werte gleich
wahrscheinlich sind:
f(xi) = 1/k für alle i = 1, ..., k
Für eine stetige Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass der Graph der Funktionsvorschrift einen konstanten Wert
hat und parallel zur x-Achse verläuft.
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
2
2)(
2
1
2
1
x
ey
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
Wichtigstes statistisches Modell: Normalverteilung
Mit Mittelwert (Erwartungswert) µ, Streuung (Varianz) σ2
und Standardabweichung σ.
Für die Standardnormalverteilung ist µ = 0 und σ = 1.
- σ + σµ
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Normalverteilung:
Die Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell für stetige Zufallsvariablen und wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt -> „Gaußsche
Glockenkurve“.
Wichtig:
• Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert (Erwartungswert) µ mit einer Streuung σ.
• Die Streuung bestimmt dabei die Breite der Verteilung.
• Normalverteilungen mit gleichem µ und σ sind identisch.
• Modalwert = Median = Mittelwert
• Im Bereich µ - σ bis µ + σ liegen ca. 68 % der Werte.
• Im Bereich µ - 2σ bis µ + 2σ liegen ca. 95.5 % der Werte.
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Vertrauensbereich für einen Beobachtungswert:
• Im Bereich µ - 1.96*σ bis µ + 1.96*σ liegen ca. 95 % der Werte.
• Im Bereich µ - 2.58*σ bis µ + 2.58*σ liegen ca. 99 % der Werte.
• Im Bereich µ - 3.29*σ bis µ + 3.29*σ liegen ca. 99.9 % der Werte.
Beispiel: µ = 3, σ = 1 => 95% der Werte liegen zwischen 3 +/- 1.96 * 1
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
dzzfzZE )(][
n
iix
nx
1
1
])][])([[(][ 221121 ZEZZEZEZZCov
1. Moment: Erwartungswert von Z:
2. Moment: Varianz von Z
Kovarianz zweier Zufallsvarialen Z1 und Z2:
]])[[(][ 2ZEZEZVar
Korrelation zweier Zufallsvariablen:
][][
)(][
21
1121
ZVarZVar
ZZCovZZKor
Für Normalverteilung gleich dem Mittelwert
))((1
),( 2,211
,121 zzzzn
ZZCov i
n
ii
n
ii xx
ns
1
22 )(1
1
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.45
-4-3
.4-2
.8-2
.2-1
.6 -1-0
.4 0.2
0.8
1.4 2
2.6
3.2
3.8
4.4 5
y1
y2
0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90
-4-3
.4-2
.8-2
.2-1
.6 -1-0
.4 0.2
0.8
1.4 2
2.6
3.2
3.8
4.4 5
y1
y2
Gleiche Varianz, unterschiedliche Mittelwerte
Gleiche Mittelwerte unterschiedliche Varianz
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
x
Die Z-Transformation
Für viele Verfahren wird die Umwandlung der untersuchten Variablen einer gegebenen Normalverteilung in die Standard-
Normalverteilung vorausgesetzt. Sie erfolgt durch:
s
xxz i )( mit = Mittelwert und s = Standardabweichung
2
2
2
1)(
z
ezf
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Aber:
Viele natürlichen Zufallsvariablen sind nicht normalverteilt. Eine häufig vorkommende Verteilung natürlicher Zufallsvariabler, welche per
Definition nur positiv sein können (z.B. der Permeabilität von Böden), ist die Lognormalverteilung:
2
2)(ln
2
1
2
11
x
ex
y
0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
nxy
ln xy x,logy
x
1yoder
x
1y
Transformation in eine Normalverteilung:
Viele statistische Methoden setzen eine Normalverteilung der untersuchten Größe voraus. Liegt diese nicht vor, können
verschiedene Verfahren angewandt werden, um eine schiefe Verteilung in eine Normalverteilung umzuwandeln:
Logarithmische Transformation:
Beispiel: Linkssteile Verteilungen
Kehrwerttransformation:
Beispiel: Rechtssteile Verteilungen
Quadratwurzeltransformation:
Beispiel: Vorliegen kleiner ganzer Zahlen bei einer Zählung
Potenztransformation:
Beispiel: Bei Rechtsgipfligkeit
xy
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Häufigkeitsverteilung: Aufteilung der Daten in Abflussklassen
-> absolute und relative Häufigkeit: Histogramm
Kumulative Häufigkeit: Integration über die Absolute Häufigkeit -> Dauerlinien • Eine Dauerlinie ist die grafische Darstellung statistisch gleichwertiger
Einzelbeobachtungen (Messwerte) in der Reihenfolge ihrer Größe.
• Mit Hilfe von Dauerlinien werden die Unter- beziehungsweise Überschreitungshäufigkeiten der Messwerte in einem bestimmten Zeitraum beschrieben.
• Eine Dauerlinie entsteht durch Sortierung der Messwerte ihrer Größe nach, meist beginnend mit dem kleinsten Wert, wobei die Abszisse die Zeitachse darstellt.
Wikipedia
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
Wikipedia
7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
32
7. Abfluss II
7.1 Definition und Grundlagen
7.1.1 Definition
7.1.2 Abflussbildung
7.1.3 Abflusskonzentration
7.1.4 Abflussregime
7.2 Abflussmessung
7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie
7.4 Abflussstatistik7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
7.4.2 Extremwertstatisitk
7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel
Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.
33
Graphisches Verfahren:
1) Bestimmung der Jahresextreme
2) Ordnen der Extremabflüsse der Größe nach (groß nach klein): Rangzahl m=1
3) Zuordnung einer empirischen Wahrscheinlichkeit nach „ plotting-Formel“ z.B.:
4) Eintragen der (Extremabfluss, Pü) – Wertepaare in Wahrscheinlichkeitspapier Normalverteilung oder log. Normalverteilung
5) Anpassen einer Ausgleichskurve + Extrapolation
6) Ablesen der Extremabflüsse für gesamtes Pü (=1/T)
7) Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe
P ü=m
n+ 1
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
34
Mathematisches Verfahren:
1) Aufstellen der Stichprobe (als höchste Jahreswerte oder Werte über Schwellenwert -> partielle Serie)
2) Auswahl einer passenden Verteilungsfunktion Fx
3) Berechnung der stat. Parameter von Fx aus der Stichprobe
4) Überprüfung der Anpassung von Fx und Summenhäufigkeit extreme Werte sollen stimmen (optisch! oder stat. Tests)
5) eventuell zurück zu 1) mit anderer Funktion
6) Berechnen der gewünschten Pü(x)
7) Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
Aufstellen der Stichprobe:• Die Stichprobenwerte müssen statistisch unabhängig voneinander sein. Deshalb
beschränkt man sich bei der Hochwasserstatistik auf eine bestimmte Auswahl von Ereignissen (Hoch- oder Niedrigwassern).
• Man wählt beispielsweise eine Stichprobe mit den Jahreshöchstwerten (jährliche Serie, Annuelle Maxima AM) oder eine partielle Serie von Hochwassern, welche einen bestimmten Schwellenwert überschreiten (Peak over Threshold POT).
• Für die gewählte Stichprobe kann die empirische Häufigkeitsverteilung bestimmt werden.
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
Jan-81 Jan-82 Jan-83 Jan-84 Jan-85 Jan-86 Jan-87 Jan-88 Jan-89 Jan-900
500
1000
1500
2000
2500
Q (
m3
/s)
Q observedQ sim ulated
Intschede (W eser)
Anpassung der Wahrscheinlichkeitsverteilung:• Will man nun Aussagen über die Wahrscheinlichkeit des Unterschreitens und des
Überschreitens bestimmter Hochwasserabflüsse treffen, muss man von der diskreten empirischen Verteilung zu einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung übergehen, d. h. man versucht, von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen.
• Prinzipiell gibt es viele verschiedene Verteilungsfunktionen, welche die Voraussetzungen für die Anwendung in der Hochwasserstatistik erfüllen. Es gibt aber keine theoretische Verteilungsfunktion, welche für alle Stichproben die besten Resultate gewährleistet.
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
0.1 1 10 100 1000R eturn period (Year)
400
800
1200
1600
2000
2400
Dis
char
ge (
m3 /s
)
S im ulated w ith C C LM reference
95% confidence in terva ls
Annual m axim a re turn leve l p lo t
30
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
Generelle Extremwertverteilung• Wenn man zufällig Verteilung erzeugt, welche nicht notwendigerweise
Normalverteilt sind, dann sind die Mittelwerte der Verteilungen annähernd Normalverteilt (Grenzwertsatz der Statistik).
• Wenn man die Extremwerte dieser Verteilungen aufträgt, dann nähern sich diese einer von drei Typen von Verteilungen, welche in einer Formel dargestellt werden können, wobei die Variablenwerte der Formel bestimmen, welcher der drei Grundtypen die Verteilung eher ähnelt (-> Generelle Extremwertverteilung oder Generalized Extreme Value (GEV) distributions).
• Es können z.B. annuelle Maxima (AM) oder Werte über einem Grenzwert (peaks over a threshold POT) untersucht werden.
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
/1
~)(
11),,~;()(
uq
uxGqFu
General Pareto Distribution:
Entwickelt für das Wiederkehrinterval T:
)Pr(
1~
uxn
uq
Tu
Parameter
Grenzwertu
ignisAbflussereq
Generelle Extremwertverteilung
Für den POT Ansatz müssen Grenzwerte (u) festgelegt werden, z.B. das 95er oder 99er Perzentil, und Ereignisse (q) über dem Grenzwert werden einer spezellen GEV angepasst, der sogenannten Generalized Pareto Distribution (GPD) (Coles 2001):
Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.
0.1 1 10 100 1000R eturn period (Year)
400
800
1200
1600
2000
2400
Dis
char
ge (
m3 /s
)
S im ulated w ith C C LM reference
95% confidence in terva ls
Annual m axim a re turn leve l p lo t
30
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
Anpassungstests (Test der Güte der Anpassung der Verteilung)
z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test:
Es wird der Betrag der max. Abweichung zwischen der empirischen Wahrscheinlichkeit und dem zugehörigen Funktionswert der angepassten VF aus der Stichprobe bestimmt.
Die Nullhypothese (angepasste VF repräsentiert die Stichprobe) wird abgelehnt, wenn die Abweichung D einen kritischen Betrag überschreitet. D ist von der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit α und dem Stichprobenumfang n abhängig.
D= max | emp. PÜ(x) – F(x) |
Aussagekraft des K-S-Tests im Bereich kleiner PÜ gering! Deshalb:
• weitere Testverfahren
• visueller Vergleich unterschiedlicher angepasster VF
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik
Beispiel: Abflussstatistik des Rheines bei Rees
43
7. Abfluss II
7.1 Definition und Grundlagen
7.1.1 Definition
7.1.2 Abflussbildung
7.1.3 Abflusskonzentration
7.1.4 Abflussregime
7.2 Abflussmessung
7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie
7.4 Abflussstatistik7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik
7.4.2 Extremwertstatisitk
7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel
Number
Geophysical event
Meteorological event
Hydrological event
Climatological eventSignificant events
Natural catastrophe
© 2014 Munich Re, Geo Risks Research, NatCatSERVICE
7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelAnzahl von Naturkatastrophen weltweit
Clausius-Clapeyron: saturated moisture content in the atmosphere is a non-linear function of temperature
Temperature [°C] 0 10 15 18 20
Saturated moisture content [g/m³] 4.8 9.4 12.9 15.4 17.3
q [g/m³]
q (18°C) - q (15°C) = 2.5 g/m³ (= 19,4 %)
7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelZusammenhang Temperatur - Luftfeuchte
P. Hoffmann, PIK
7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in abs. und rel. Luftfeuchte in Europa
Relative HumidityAbsolute Humidity
Data: DWD, Modelling: PIKHattermann et al. 2012a&b
7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in abs. und rel. Luftfeuchte in Deutschland
Very humid west wind pattern (origin: Atlandic)
Very humid Vb-weather pattern (origin: Mediterranean)
Data: DWD, Modelling: PIKHattermann et al. 2012a&b
7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in Großwetterlagen in Deutschland
Daily precipitation > 20 mm Daily precipitation > 30 mm
Data: DWD, Modelling: PIKHattermann et al. 2012a&b
7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in Starkniederschlägen
Observed
Simulated
positive
negative
positive
negative
Obeserved Simulated
Hattermann et al. 2012a&b
7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in sim. und beob. Hochwassern in Deutsland
Vielen Dank!