1. Wirbelströmungen – 1.2 Gesetz von Biot-Savart...Fluidmechanik II, N. A. Adams 2 1. Wirbelströmungen – 1.2 Gesetz von Biot-Savart Das Spiegelungsprinzip kann an einem einfachen

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1. Wirbelströmungen – 1.2 Gesetz von Biot-Savart

Das Biot-Savart-Gesetz ist formuliert für unbeschränkte Gebiete.

Wie können Ränder beschrieben werden (z.B. feste Wände) ?

Randbedingung für eine reibungsfreie Strömung entlang einer undurchlässigen Wand:

Die Normalkomponente der Geschwindigkeit zur Wand verschwindet, d.h. die Strömung gleitet verlustfrei entlang der Wand. Die Wand ist also eine Stromlinie bzw. eine Stromfläche.

Damit lassen sich undurchlässige Wände durch eine Stromlinie oder eine Stromfläche ersetzen.

Man kann also nachwievor auf einem unbeschränkten Gebiet arbeiten, wenn man erreicht, daß die (nun nur gedachte) Wand mit einer Stromlinie oder einer Stromfläche zusammenfällt.

Dies kann durch das Spiegelungsprinzip erreicht werden.



Das Spiegelungsprinzip kann an einem einfachen Beispiel gut erläutert werden.

Dazu betrachten wir einen geraden Potentialwirbel I, der oberhalb einer Wand angebracht ist.

Damit die (gedachte) Wand eine Stromlinie wird, muß ein gegensinnig rotierender Potentialwirbel II im gleichen Abstand auf der anderen Seite der Wand angebracht werden. Dann induziert der Wirbel II an jedem Punkt der Wand die gleiche Tangentialgeschwindigkeit aber genau die entgegengesetzte Normal-geschwindigkeit wie Wirbel I. In dem überlagerten Geschwindigkeitsfeld wird also an der Wand die Normal-komponente ausgelöscht.


Reiht man unendlich viele parallel ausgerichtete Potentialwirbel in einer Ebene an, dann erhält man eine unendlich ausgedehnte, ebene Wirbelschicht, die (dann auch endlich ausgedehnt und nicht-eben) in der Flugzeugaerodynamik eine wichtige Funktion als strömungsmechanisch wirksame „Ersatzfläche“ hat.


Die Wirbelstärke ist nun eine Funktion von und (bei stationärer Betrachtung).

Zur Bestimmung der von einer Wirbelschicht mit konstanter Wirbelstärke induzierten Geschwindigkeit berechnet man zunächst die Zirkulation um einen kleinen Querschnitt

1x 2x

00

1 2dx dx


Die Zirkulation um diesen kleinen Querschnitt bei konstanter Wirbelstärke ist:

Der Beitrag eines Wirbelfadens der Stärke mit Ursprung in ergibt sich aus (1.11) mit als (Transformation polar kartesisch zur Selbstübung)


2 1 1d dx dx dx d 1x

22 21 1 2r x x x

2

1 1

20

xr

x xddur r


Box 9: Wirbelschicht


Insgesamt induzierte Geschwindigkeit in Richtung:1x


Box 10: Wirbelschicht


Insgesamt induzierte Geschwindigkeit in Richtung:2x



Ideales und reales Geschwindigkeitsprofil einer ebenen, unendlich ausgedehnten Wirbelschicht:



Eine Wirbelschicht in der Natur

und im numerischen Experiment.





1. Wirbelströmungen – 1.3 Wirbeltransportgleichung

Wenn Geschwindigkeit und Wirbelstärke voneinander ableitbare Größen sind, dann sollte auch eine Transportgleichung für die Wirbelstärke existieren.

Das ist die sogenannte Wirbeltransportgleichung, die sich unmittelbar aus der differentiellen Impulsgleichung herleiten läßt.

Nehmen wir für die Herleitung vereinfachend eine Strömung mit konstanter Dichte und Viskosität und einer Volumenkraft, die ein Potential hat, an, dann können wir die Rotation der Navier-Stokes-Gleichungen bilden:

1u u u p u Gt


Box 12: Wirbeltransportgleichung


1u u u p u Gt

u ut t t

1 1 0p p

u u

12

12

u u u u u u

u u u u

u u u

u u u u

u u


Die Wirbeltransportgleichung für eine Strömung bei konstanter Dichte lautet also

Der Wirbelstreckungsterm entspricht einer mit dem Betrag der Wirbelstärke multiplizierten Richtungsableitung der Geschwindigkeit.


u ut

(1.12)

Materielle Ableitung der Wirbelstärke

Wirbelstrek-kungsterm

Diffusion von Wirbelstärke

Fluidmechanik II, N. A. Adams

Wirbeltransportgleichung für konstante Dichte und reibungsfreie Strömung

Wirbelfaden:

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Box 13: Wirbeltransport


Du ut Dt

s

s ||

D us uDt s

Streckung des Wirbelfadens


Für eine ebene Strömung ist die Wirbelstärke ein Skalar, und die Wirbeltransportgleichung lautet also

Für kompressiblen Strömungen kann man eine zu (1.12) analoge Transportgleichung für die spezifische Wirbelstärke herleiten (hier der Einfachheit halber für eine reibungsfreie Strömung dargestellt):


2 2

1 2 2 21 2 1 2

u ut x x x x

(1.13)

31D u p

Dt

(1.14)

Materielle Ableitung der Wirbelstärke

Wirbelstrek-kungsterm

BaroklineDrallproduktion

Fluidmechanik II, N. A. Adams

Graphische Erläuterung der baroklinen Wirbelstärkeproduktion:

Betrachte ein Fluidelement mit Dichte- und Druckgradient.

Die Druckresultierende geht nicht durch den Massenmittelpunkt, wenn Dichte-und Druckgradient nicht kollinear sind. Daher wird am FE Drall erzeugt und somit auch Wirbelstärke durch barokline Produktion.

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pMassen-mittelpunkt

Druckverteilung

Druckresultierende



Graphische Erläuterung der baroklinen Wirbelstärkeproduktion:

Betrachte ein Fluidelement mit Dichte- und Druckgradient.

Die Druckresultierende geht durch den Massenmittelpunkt, wenn Dichte- und Druckgradient kollinear sind. Daher wird am FE kein Drall erzeugt und somit verschwindet die barokline Wirbelstärkeproduktion.

pMassen-mittelpunkt

Druckverteilung

Druckresultierende


1. Wirbelströmungen

Selbstkontrolle:

1. Was versteht man unter einer Wirbelschicht ?

2. Wie sieht das von einer Wirbelschicht induzierte Geschwindigkeitsfeld aus ?

3. Was versteht man unter dem Spiegelungsprinzip ?

4. Unter welchen Umständen liegt barokline Wirbelstärkeproduktion vor ?

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