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Signalverarbeitung

D. Lerch

R. Orglmeister

B.-U. Köhler

A. Vorwerk

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Ziel der heutigen Vorlesung

Von der Analogwelt ins Digitale – Laplace- und Fouriertransformation

– Modellierung der Abtastung

– ZDFT und DFT

– z- Transformation

Auswirkungen der Begrenzung von Signalen – Leck-Effekt

– Fensterfunktionen

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

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Laplace Transformation

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Eigenschaften – für wert- und zeitkontinuierliche Funktionen f(t)

– für zeitlich unendlich ausgedehnte Funktionen

– komplexe Transformationsvariable

– rechtwinkliges Koordinatensystem (Laplace, s-Ebene)

– beschreibt Einschwingvorgang und stationären Systemzustand

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Laplace Transformation

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Analysegleichung:

Synthesegleichung:

mit

Für kausale Funktionen (f(t) = 0 für t < 0) gilt:

Merke: Alle Größen sind kontinuierlich!

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Laplace Transformation

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Kausale Funktionen (f(t) = 0 für t < 0) :

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Laplace Transformation

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VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Zur Berechnung werden Tabellen verwendet

Umformungen häufig mit Partialbruchzerlegung

Lage der Polstellen im Laplace-Bereich verantwortlich für

Stabilität

Für Re{ } < 0, gibt es eine abklingende e-Funktion, d.h.

eingeschwungener Zustand stabil!

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Laplace Transformation

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VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Stabilität:

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Fouriertransformation

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Eigenschaften – für wert- und zeitkontinuierliche Funktionen f(t)

– für zeitlich unendlich ausgedehnte Funktionen

– ABER komplexe Transformationsvariable jetzt:

– Spektrum wird über - Achse aufgetragen

– beschreibt stationären Systemzustand (für unendliche Zeiten)

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Spezialfall der Laplace-Transformation, mit

Funktionen für unendliche Zeiten definiert (stationärer

Zustand, eingeschwungener Zustand)

Berechnung in der Regel über Tabellen

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Fouriertransformation

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

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Wichtige Zusammenhänge (Auszug der Tabelle im Skript)

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Fouriertransformation

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

11,60 2,20 7,00 2,40 11,60

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kontinuierliche Signale mit Rechnern nicht erfassbar

zeitliche Abtastung mit Delta-Impulsen

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Abtastung von Signalen

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

11,60 2,20 7,00 2,40 11,60

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Deltafunktion - Definition

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

11,60 2,20 7,00 2,40 11,60

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Deltafunktion - Eigenschaften

Flächeneigenschaft:

Ausblendeigenschaft:

Reproduktionseigenschaft:

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

11,60 2,20 7,00 2,40 11,60

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Modell der Abtastung

Deltakamm:

Abtastung:

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

11,60 2,20 7,00 2,40 11,60

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Spektrum des abgetasteten Signals

Abtastung im Zeitbereich

periodische Fortsetzung des Spektrums

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

11,60 2,20 7,00 2,40 11,60

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Berechnung der ZDFT

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Eigenschaften – für wertkontinuierliche, zeitdiskrete Funktionen f(n*T)

– Funktionen sind zeitlich unendlich ausgedehnt

– Spektrum ist kontinuierlich und periodisch fortgesetzt

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Berechnung der ZDFT

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Herleitung der ZeitDiskreten Fourier-Transformation:

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Analysegleichung der ZDFT

Normierte Kreisfrequenz: VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

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DFT (diskrete Fourier-Transformation)

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Diskretisierung im Zeit- und Frequenzbereich – Abtastung im Zeitbereich

– Abtastung im Frequenzbereich

Periodische Fortsetzung des – Spektrums

– Zeitsignals

Beschränkung auf endlich viele Werte – zeitlich endlich ausgedehnte Funktionen

– Blockbildung / Fensterung im Zeitbereich

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Blockbildung im Zeitbereich

Verschmieren des Signalspektrums wegen

Faltung mit Fensterspektrum (Leck-Effekt)

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

11,60 2,20 7,00 2,40 11,60

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Abtastung im Frequenzbereich

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

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Zusammenfassung DFT

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

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z-Transformation

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Spezialfall der Laplace-Transformation für zeitdiskrete,

aber zeitlich unendlich ausgedehnte Signale

mit

Substitution der e-Funktion durch

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z-Transformation

Abbildung s- nach z-Ebene

Stabilitätskriterium: Polstellen innerhalb des Einheitskreises!

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

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z-Transformation

•

•

•

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

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Leck-Effekt (engl. leakage effect)

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Namensgebung

wahre Spektralkomponenten fließen/lecken in

benachbarte hinein

Auftreten

zeitliche Beschränkung von zeitlich unendlich

ausgedehnten Funktionen (Fensterung)

in der digitalen Signalverarbeitung

„sichtbar“ im Spektrum (der DFT)

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Einfluss der Fensterfunktionen

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Signal- und Fensterspektrum werden gefaltet

Verfälschung des Signalspektrums (Leck-Effekt) oftmals

nicht vermeidbar

Beeinflussung durch Fensterbreite, -form

Ziel: Fensterform finden, Spektrum im

Hauptmaxima sehr schmal

Nebenmaxima sehr klein

Beides nicht gleichzeitig optimierbar

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VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Übersicht der Fensterfunktionen

Rechteck:

Hamming:

Hanning:

Blackman:

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Vermeidung des Leck-Effekts

VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Spezialfall

periodische Funktionen im Zeitbereich

Fensterlänge entspricht Periodendauer

Anfang Fenster ist gleich Anfang der Periode

Mit Leck-Effekt Ohne Leck-Effekt

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VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Zusammenfassung

Transformationen

Fensterung von Signalen – Nötig wegen Diskretisierung des Spektrums (periodische

Fortsetzungen im Zeit- und Frequenzbereich)

– Fensterfunktionen verfälschen Spektrum, Leck-Effekt

Einschwingen +

stationär

nur stationär

wert-, zeit-,

Spektrum

kontinuierlich

Laplace Fourier

wert-, Spektrum-

kontinuierlich,

zeitdiskret

ZDFT

wertkontinuierlich,

zeit-, Spektrum

diskret

z-Transformation DFT

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VL-Ziele

Laplace, Fourier

Abtastung

ZDFT, DFT

Z-Transformation

Leck-Effek

Fensterfunktionen

Zusammenfassung

Geschafft!!!

Danke für die Aufmerksamkeit!