2. Eigenschaften dynamischer Systeme · Elektromotor M 100 % 0 % Sc hei b er-position Durchfluß Strömungs-geschwindigkeit VS Sensor (Fotozelle) Lam pe Flügel-rad Informations-Verarbeitung

2. Eigenschaften dynamischer Systeme

2.1 Allgemeine Systemeigenschaften

2.1.1 Signale

2.1.2 Systeme

Definition: System

Ein System ist ein natürliches oder künstliches Gebilde. Es kann Eingangs-Signale aus der Umwelt entgegennehmen und Ausgangs-Signale an die Umwelt abgeben.

SYSTEM

Definition: statisches System

Ein statisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass jeder Ausgangswert y(t) stets ausschließlich von dem zum gleichen Zeitpunkt t anliegenden Eingangswert x(t) abhängt.

SYSTEM

x(t) y(t)

Beispiel statisches System

Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)

Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)

Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)

Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)

Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %

0 %Schieber-position

Durchfluß

Strömungs-geschwindigkeit VS

Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad

Informations-Verarbeitung

I-Eingabe I-Ausgabe

I-Nutzung I-Gewinnung

VS / %

PS / %100

100

0

SYSTEMPS VS

PS

VS / %

PS / %100

100

0

SYSTEMPS VSDefinition statische Kennlinie

Als statische Kennlinie wird die Funktion einer Ausgangsgröße von der Eingangsgrößebezeichnet, z. B.VS=f(PS) oder allgemeiny = f(x)

x yEingangssignal x(t)

Ausgangssignal y(t)

Messungen an einer realen Maschine

statischeKennliniey=f(x)

Approxi-mations-fehler

?x y

Statisches Systemmodell dieser Maschine

SYSTEM

statisch dynamisch

Es wird der Zusammenhang von Ausgangs- und Eingangssignal im eingeschwungenen Zustand

( t )

betrachtet:

y = f (x)

Es wird der Zusammenhang von Ausgangs- und Eingangssignal als Funktion der Zeit ( t ) be-trachtet:

y(t) = f (x(t)) = f(t)

y

x

y

t

Kennlinie Kennfunktion

?x y

Bsp.: Festzinsanlage

EUREinzahlung

EURKontostand

x y

0 0

10 10

0 12

0 14,4

0 17,28

0 20,73

Beispiel dynamisches System

Ein dynamisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass sein Ausgangssignal y(t)vom Eingangssignal x(t) und dem inneren Zustand q(t) abhängt.

SYSTEMx(t)

q(t)

y(t)

Den Zustand eines Systems kann man sich als eine Art Gedächtnis vorstellen, das die Vorgeschichte gespeichert hat.

SYSTEM

x

t

y

t

Wer hat den Fehler in der vorhergehendenFolie entdeckt ?

statisch dynamisch

Systemklassen

Definition: zeitdiskretes System

Ein zeitdiskretes System operiert über Zahlenfolgen (zeitdiskreten Signalen). Besitzt ein solches System einen Eingang und einen Ausgang, so verknüpft es eine Eingangsfolge x(j) mit einer Ausgangsfolge y(i). Systeme ohne zeitdiskretes Verkalten werden zeitkontinuierliche genannt.

SYSTEM

x(j) y(i)

t

x

tk t

y

tk

Prozess x(t) Sensoren Meßwerterfassungsperipherie

wert- und zeit-diskrete Signale x*(tk) = abstrakte Zahlen

Software führt zeitdiskret Algorithmus aus

stellt y*(tk) als Ergebnis bereit

Stellperipherie

Steuerwert-ausgabe

TASKy*[tk] = f(x*[tk],q*[tk])

Falls System an einen Rechner angeschlossen ist

System

Rechner

statisch dynamisch

zeitdiskret

zeitkontinuierlich

Systemklassen

Stark bzw. schwach kausale Systeme

SYSTEM

schwach Kausalität stark

reagieren auf gleicheUrsachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y

SYST

EM100 200200 400300 555

100 200200 400300 555400300

-13555

SYSTEM



reagieren auf ähnlicheUrsachen x auch stets mit ähnlichen Wirkungen y

SYST

EM100 200200 400300 555

100 200200 400300 555

SYST

EM

400300

-13555

SYSTEM



reagieren auf ähnlicheUrsachen x auch stets mit ähnlichen Wirkungen y

SYST

EM

SYST

EM

häufig bei künstlichen Gebilden

z.B. Sprache:{Kopf, Zopf, Topf}

Rechner: keine Redundanz

häufig in der Natur:

{Idealfall: lineare Systeme}

SYSTEM

nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht : Es gilt das Superpositionsprinzip:

Definition: lineares statisches System

Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.

VS / %

PS / %100

100

0





Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


linear



f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)


VS / %

PS / %100

100

0





Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


linear

x1 =2 f(x1) =6



f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)


VS / %

PS / %100

100

0





Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


linear

x1 =2 f(x1) =6

x2 =5 f(x2) =15



f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)


VS / %

PS / %100

100

0





Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


linear

x1 =2 f(x1) =6

x2 =5 f(x2) =15

x1+x2 =7



f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)


VS / %

PS / %100

100

0





Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


linear

x1 =2 f(x1) =6

x2 =5 f(x2) =15

x1+x2 =7 f(x1)+f(x2) =21

f(x1 + x2) = 21



f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)


VS / %

PS / %100

100

0





Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


linear

x1 =2 f(x1) =6

x2 =5 f(x2) =15

x1+x2 =7 f(x1)+f(x2) =21

f(x1 + x2) = 21

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)



f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)






Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


VS / %

PS / %100

100

0

Gegenbeispiel:



f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)






Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %


Durchfluß


Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad


I-Eingabe I-Ausgabe


Gegenbeispiel:

lineare Funktiony = ax + b

G = y/x nicht konst.

Gegenbeispiel:VS / %

PS / %100

100

0

SYSTEM

nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht :

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) f( x1(t) + x2(t))

Es gilt das Superpositionsprinzip:

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y = y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) = f( x1(t) + x2(t) )

Lineare Systeme werden durch

linerae Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten beschrieben

allgemeine Betrachtung (auch für dynamische Systeme)

Verhalten eines linearen Systems (Superposition)

t

t

t

t

t

t

x1(t)

x2(t)

x1(t) + x2(t) f(x1(t) + x2(t))

f(x2(t))

f(x1(t))

Gx y

Was ist Gi ?: Gi kennzeichnet das Übertragungsverhalten eines Systems in einem transformierten Bereich

Gx y

Für statische Systeme gilt:

Gi= ki : statischer Übertragungsfaktor / Verstärkung

y= G* x= k * x

statisch dynamisch

diskontinuierlich

kontinuierlich

linear

nichtlinear

Systemklassen

2.1.3 Signalflußgraphen

Systeme werden mittels Signalen an den Schnittstellen verbunden,

TS 1 TS 2 TS n

Gesamtsystem

x1 x2 x3 xn-1 xn

d.h. das Ausgangssignal eines Teilsystems TS wird Eingangssignal des folgenden Teilsystems.

y1

Identität: y1=x2 …

Beispiel für Prozess: Mechanik einer Maschine

MATLAB/Simulink – HIL - Simulationsmodell

Sowohl Prozess (Mechanik) als auch Software (Bordelektronik)werden mit Signalflussgraph-Modellen entworfen

Beispiel: Vernetzte Gebäudeautomation

Komplexe Netze im Gebäude:

Heizung

Lüftung

Kühlung

SicherheitSicherheit

Automations-Netzwerk

Heizung

LüftungBeleuchtung

SanitVerschattung

SicherheitAnwesenheit

LüZutrittskontrolle

Hardware- und Soft-ware-Komponenten(bis zu 30.000)

Verteilte Funktionen

Kooperation vielerBranchen (Gewerke)über das Netz

Räumlich verteilte Hardware-/Software-Strukturen

über das Netzräumlich auf vieleRechnerknoten verteilt

komplex vermaschteDaten-, Steuer- undKommandoflüsse

Entwurfstool für Gebäudenetze

blau:Software-objekte

grün:Hardware(Netzknoten)

Reihenschaltung:

G1 G2 G3x1 x2 x3 y

Für statische Systeme gilt:

Gi= ki : statischer Übertragungsfaktor / Verstärkung

x2= G1* x1= k1 * x1 x3= G2* x2= k2 * x2 .............

n

iiges

ges

kkkkk

xxkkk

xxkkk

xxkk

xxk

xyk

1123

1

1123

1

1123

1

223

1

33

1

*

G1

G2

Gn

x1 y

y1

y2

yn

111 xky

122 xky

1xky nn

nyyyy ...21

11211 ... xkxkxky n

n

iiges kk

1

Parallelschaltung:

+

xkkky 121 )1(

vG1

G2

x a y

b

bxa

aky 1ykb 2

ykxbxa 2)( 21 ykxky

21

1

1 kkk

xykges

v = Rückkopplungsschaltung:Mitkopplung

Gegenkopplung

vG1

G2

x a y

b

21

1

1 kkk

xykges

v = Rückkopplungsschaltung:Mitkopplung

Gegenkopplung

Bei welcher Parameter-Konstellationkönnte es in der Praxis Problemegeben ?

Umformregeln für lineare Systeme:

G1 G1G2 G2

Vertauschbarkeit:

x xy y

x1

x2

G

G

G

x1

x2

y y

Verschiebbarkeit:

Vertauschbarkeit:

G NL NL Gx x1 y x x2 y

100 k*100 (k*100)2 100 (100)2 k*(100)2

k 1

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2. Eigenschaften dynamischer Systeme · Elektromotor M 100 % 0 % Sc hei b er-position Durchfluß Strömungs-geschwindigkeit VS Sensor (Fotozelle) Lam pe Flügel-rad Informations-Verarbeitung