20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Ein bisschen unbestimmt?

Jörg J. Buchholz

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

L´Hospital

Wenn 0 0

lim lim 0x x x x

f x g x

oder

dann

0 0

lim limx x x x

f x f x

g x g x

0 0

lim limx x x x

f x g x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht?

0 0 0

sin sin coslim lim lim 1

1x x x

x x x

x x

1lim 1 e

x

x x

42

420

sinlim 1x

x

x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht nicht?

sin 1 coslim lim ?

sin 1 cosx x

x x x

x x x

Abschätzung

sinlim lim lim 1

sinx x x

x x x x

x x x x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht auch nicht?

1 12 22 2

12 2

12 2

1lim lim

11 1 2

2

1lim lim ?

1

x x

x x

x

x x x

x x

xx

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht doch!>> syms x>> f = x/(x^2 + 1)^(1/2) f =x/(x^2+1)^(1/2) >> ezplot (f)

-4 -2 0 2 4

-1

-0.5

0

0.5

1

x

x/(x2+1)1/2

>> subs (f, x, 1e100)

ans = 1

>> limit (f, x, inf) ans = 1

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht immer?

>> f = 1/x^(log (log (log (log (1/x)))) - 1);>> ezplot (f)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

1

2

x 10-4

x

1/(xlog(log(log(log(1/x)))- 1))

10 ln ln ln ln 1

1limx

xx

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Einsetzen?

>> subs (f, x, 0)Warning: Divide by zero.

ans =Inf

>> limit (f, x, 0) ans =NaN

>> subs (f, x, 1e-100)

ans = 4.8704e-048

>> limit (f, x, 0, 'right') ans =Inf

>> solve (diff (f)) ans =.280843878523400709e-579202

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Geht manchmal

ln 1 lnlim ln 1 ln lim

ln 1 ln

1 1ln ln 1

lim lim 0ln 1 ln ln 1 ln

x x

x x

x xx x

x x

xx x

x x x x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht häufig

2

0 0

0

1 11 1lim lim

lim

s

x x

x

sx O xx

x xs O x s

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Was ist eigentlich

Matlab 7.0.4.365 (R14SP2):

>> 1^inf

ans =

NaN

1 1 1 1 1 1 1 ?

>> sym(1)^inf ans =1

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

1 ?

Matlab 7.0.4.365 NaN

Maple 9.5 1

Octave 2.1.50 NaN

Reduce 3.6 1

Mathematica 5 NaN

Maxima 5.9.1 1

Derive 6 NaN

MuPAD light 2.5.3 1

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• Euler, L. (1707-1783): 0^0 = 1• Cauchy, A. L. (1821): 0^0 = NaN• Möbius, A. F. (1833): 0^0 = 1

:

• Mathematica (2005): 0^0 = NaN• Matlab (2005): 0^0 = 1• Windows XP (2005): 0^0 = 1• Google (2005): 0^0 = 1

00 ?

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“However,if x and y -> 0 at the same rate, then the limit of x^y is 1.“

Matlab-Urgestein

Cleve Moler (vs. Buchholz, comp.soft-sys.matlab, 2002)

0

0.5

1

0

0.5

10

0.5

1

x

xy

y

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und außerdem

0

nn k n k

k

nx y x yk

11 1

0

0 1 0 1 1 1

0

10 1 0 1

1 11 0 1 010 1

1 0

k k

kk

Binomischer Satz:

mit 0, 1:x y n

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Da müht man sich tagelang ab, den Studierenden die Wunderwelt der Grenzwerte durch anschauliche Beispiele nahe zu bringen:

limx 8

1x 8

8=

Doch wenn man dann eine einfache Transferleistung erhofft: lim

x 5

1x 5

5=

Trial and ERROR