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LA THORIE DES CORDESAlexandre DepireInstitut Henri-Poincar


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Thorie des Supercordes

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TABLE DES MATIRESTABLE DES MATIRES ......................................................................................................... 1 1. Introduction .................

................................................................................

........................... 3 2. Les pionniers .................................

................................................................................

......... 4 2.1. Kaluza.........................................................

..................................................................... 4 La relativit restreinte......................................................................................................... 6 La relativit gnrale.......................................................................................................... 9 Le spin .............................................................................................................................. 20 2.2. Klein .............................................................................................................................. 23 2.3. La priode d'oubli...

....................................................................................................... 25 3. Les thories quantiques ..........................

.............................................................................. 27 3.1. La mcanique quantique................................................................................................ 27 Le principe d'incertitude................................................................................................... 29 Les fluctuations du vide ................................................................................................... 34 Les bosons et les fermions ............................................................................................... 34 3.2. La thorie des champs ................................................................................................... 36Les champs en mcanique quantique ............................................................................... 37 Le vide...................................

................................................................................

........... 38 Les champs en interaction .......................................

......................................................... 39 La thorie des perturbations ............................................................................................. 39 La thorie des collisions................................................................................................... 41 Diagrammatique ............................................................................................................... 43 3.3. La renormalisation......................................................................................................... 44 Les divergences ................................................................................................................ 45 Les divergences infrarouges............................................................................................. 45 Les divergences ultraviolettes .......................................................................................... 45 Thorie des perturbations ................................................................................................. 51 3.4. Les symtries................................................................................................................. 52 Symtries discrtes........................................................................................................... 52 Thorme PCT ................................................................................................................. 57 3.5. Les thories de jauge ..................................................................................................... 67 Principe des thories des champs de jauge....................................................................... 67 Le cas des lectrons............................................................................................

.............. 68 Les champs de jauges non abliens.............................

..................................................... 68 Le mcanisme de brisurede symtrie ...................................................................


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........... 69 L'interaction faible.............................................

............................................................... 71 L'interactionforte ............................................................................................................. 72 3.6. Les particules................................................................................................................. 74 4. Les problmes ...................................................................................................................... 76 4.1.

Les paramtres libres..................................................................................................... 76 4.2. La gravit quantique...................................................................................................... 78 4.3. Le problme de la hirarchie......................................................................................... 82 Premier problme............................................................................................................. 83 Deuxime problme ......................................................................................................... 834.4. L'interaction forte .......................................................................................................... 84 5. La thorie des cordesclassiques........................................................................................... 88 5.1. Les cordes et l'interaction forte ................

..................................................................... 88 Alexandre Depire http://depire.free.fr 1/136


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1. IntroductionLe but de cette tude est d'expliquer l'historique de l'laboration de la thorie des cordes. A cette occasion, nous prsenterons, bien sr, le contexte dans le

quel cette gestation a eu lieu. Nous serons donc amens parler des autres thories physiques fondamentales. Celles-ci seront expliques dans les grandes lignes en mettant l'accent sur les aspects intressants pour la thorie des cordes. Je n'aborderai pas les aspects exprimentaux, c'est dire les expriences actuelles ou futures qui pourraient confirmer ou infirmer la thorie des cordes ou dpartager plusieurs de ses variantes. C'est un cot trs intressant mais il n'estpas ncessaire pour expliquer la thorie des cordes. Premirement, je mets moins l'accent sur la recherche d'une thorie universelle mais plutt sur l'aspect historique de la construction de la thorie des cordes. C'est dire que je dsire approfondir le "comment" plutt que le "pourquoi". Bien qu'historique, il y aparfois chevauchement de certaines parties. Ceci est d la ncessit de regrouper certaines explications, sinon la description serait trop dcousue et plus di

fficile comprendre. Je donnerai quelques dates chaque fois que ce sera possible. Mais il faut aussi signaler que ces dernires annes l'histoire s'est prcipite. Il y a eu un foisonnement extraordinaire d'ides et de dveloppements thoriques sur la thorie des cordes, ce qui rend difficile une stricte chronologie.Deuximement, je souhaitais approfondir la description de la thorie des cordes.Avouons le, j'avais surtout envie d'crire cette tude !

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2. Les pionniers2.1. KaluzaLe dbut de l'histoire Nous voici au dbut de notre histoire en 1919. Quelle est

la situation cette poque ? Les thories quantiques, que nous aborderons plustard, sont seulement en gestation. Les deux thories matresses sont la relativit gnrale d'Einstein et la thorie de l'lectromagntisme de Maxwell. Ces deux thories semblaient pouvoir tout expliquer ( quelques "dtails" prs comme les atomes) et avaient atteint un degr de raffinement mathmatique extraordinaire. Je dcrirai un peu plus loin ces deux thories. La relativit gnrale est lathorie qui s'applique la gravitation. C'est dire la force qui fait tomberles pommes et tourner les plantes. C'est typiquement une thorie dont le domaine est les grandes chelles, disons de la taille des poussires aux galaxies. L'lectromagntisme traite, comme son nom l'indique, de l'lectricit et du magntisme. Mais c'est aussi la thorie qui s'applique la lumire et plus gnralement aux ondes radios, aux rayons X, etc. Les forces lectriques et magntiques so

nt trs diffrentes de la gravitation. Cette dernire est toujours attractive. Alors que les forces lectromagntiques peuvent tre rpulsives, ce qui s'observefacilement avec deux aimants. Les forces lectromagntiques sont aussi considrablement plus fortes que la gravitation. Avec un simple petit aimant, on soulvefacilement un morceau de fer, le soustrayant ainsi la force de gravit qui lemaintenait au sol.

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Cette intensit plus grande des forces lectromagntismes explique aussi que leur domaine de prdilection s'tend des chelles trs petites. Le courant lectrique, dans un fil conducteur, est du au parcours des lectrons qui sont lectriq

uement chargs. Et les lectrons sont extraordinairement petits. Pour un courantde un ampre, il passe environ seize milliards de milliards d'lectrons par seconde dans le conducteur !

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Enfin, mme au niveau de leur description mathmatique, ces deux thories sont trs diffrentes. Le problme qui se posait l'poque tait : comment unifier les deux thories ? C'est dire, comment obtenir une seule thorie expliquant l

a fois la gravit et l'lectromagntisme ? Etait-ce seulement possible ? La solution ne semblait pas vidente quant, en 1919, Thodore Kaluza eut une ide curieuse qui va nous entraner trs loin. Mais nous y reviendrons plus loin aprs avoir un peu mieux dcrit la relativit gnrale et l'lectromagntisme.

La relativit restreinteLa relativit d'Einstein s'exprime simplement avec deux postulats : Les loisphysiques doivent s'exprimer de la mme manire pour tout observateur. Il existe une vitesse limite la transmission des signaux.

Elle fut formule au dbut du XXme sicle par Einstein. A la place d'observateur on emploie souvent le terme "repre". C'est une notion mathmatique mais qui e

xprime tout simplement qu'un observateur donn mesure (repre) les vnements qui l'entourent par rapport lui avec des rgles gradues et une horloge. Le premier postulat semble vident. Si une loi physique explique un phnomne, il est vident que cette loi est la mme pour tous les observateurs. Et il est naturel de demander ce que l'expression (mathmatique) de cette loi soit galement semblable (pour ce qui est de sa formulation) pour tous les observateurs. Le deuxime postulat semble moins vident. A la fin du XIXme sicle, Michelson et Morleyavaient dcouvert que la vitesse de la lumire (dans le vide) ne dpendait pas de la direction (ce que l'on

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croyait l'poque, je ne m'tendrai pas sur ce sujet). Puis on dcouvrit que plus gnralement cette vitesse tait identique pour tout observateur. Ce postulatest donc d'origine exprimentale. Il devrait donc, en toute rigueur s'exprimer

: Il existe une vitesse (gale celle de la lumire dans le vide) identique pour tout observateur.

Que cette vitesse soit aussi une vitesse limite impossible dpasser n'est pastrs important (et c'est aussi une consquence du reste de la thorie). Ces deuxpostulats ne semble pas extraordinaires et pourtant, que de consquences ! Limitons-nous d'abord la relativit restreinte. Celle-ci se limite des observateurs qui se dplacent l'un par rapport l'autre vitesse constante. On n'abordepas le cas des acclrations. Le problme est donc plus simple mais ici aussi les consquences sont extraordinaires. Prenons tout simplement l'addition des vitesses. Supposons que je sois dans un train. Ce train roule 50 kilomtres par heure. Je me dplace dans le train, par exemple dans le mme sens que le train,

la vitesse de 5 kilomtres par heure. Alors, je me dplace par rapport au sol la vitesse de 55 kilomtres par heure, c'est dire la vitesse du train ajoute ma propre vitesse.

Mais pour la lumire c'est faux !

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Comment expliquer ce paradoxe ? Il faut videmment revoir notre rgle d'additiondes vitesses. Mais la vitesse est la mesure du dplacement d'une certaine distance au cours d'un certain temps. Donc, il faut aussi revoir nos notions de dista

nces et de temps ! Cela se montre aisment. Pour en savoir plus, je conseille delire LA MESURE DU TEMPS et LA MESURE DES DISTANCES. Rcapitulons simplement brivement les consquences de la relativit restreinte. 1. Le temps n'est plus absolu. Pour un observateur immobile (au repos), le temps d'un objet en mouvement semble s'couler plus lentement. Ce phnomne est appel dilatation du temps. 2.L'espace n'est plus absolu. Pour un observateur au repos, un objet en mouvementsemble tre plus court dans le sens du dplacement. Ce phnomne s'appelle la contraction des longueurs. 3. L'addition classique des vitesses (on dit galilenne) n'est plus valable. Les rgles permettant de passer des mesures de la positionet du temps pour un observateur un autre, s'appellent les transformations deLorentz. Elles permettent d'obtenir la bonne formule pour les vitesses. 4. L'nergie et la masse c'est la mme chose. Lorsqu'un systme perd de l'nergie il dev

ient plus lger ! Bien entendu ce phnomne ne s'observe pas aisment car un kilogramme de matire quivaut nonante millions de milliards de Joules ! Pour leconstater, il faudrait dtruire entirement ce kilogramme de matire. Ce qui nepourrait se faire qu'avec de l'antimatire (les physiciens observent ce phnomne avec les particules tel que des lectrons et des anti-lectrons). Mais l'effetest dj sensible (et mesurable) avec l'nergie nuclaire. 5. Pour un observateur au repos, un objet qui se dplace a une nergie plus leve. Ce qui est normal ! C'est tout simplement l'nergie cintique qui peut se convertir sous d'autres formes lors d'un impact par exemple, et tout le monde sait qu'il faut de l'nergie pour mettre un objet

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en mouvement. Mais cause de (4) l'objet a aussi une masse plus grande. Et lorsque l'objet approche la vitesse de la lumire, pour l'observateur au repos, sa masse (et son nergie) augmente de plus en plus vite. A la limite, si l'objet att

eignait la vitesse de la lumire sa masse deviendrait infinie ! Il faudrait, pour qu'il atteigne cette vitesse, lui communiquer une nergie infinie ce qui explique que cette vitesse ne peut pas tre dpasse. Cela implique aussi que la lumire est sans masse propre (sinon sa masse apparente, la vitesse de la lumire,serait infinie).

La relativit gnraleLa relativit gnrale se propose d'tudier ce qui se passe si le premier postulat est valable pour tout observateur. Donc mme pour des observateurs qui ne sedplacent pas vitesse constante. C'est dire des observateurs qui acclrent,ralentissent, tournent, Cette fois la situation est nettement plus complique. Mais on peut raisonner intuitivement et comparer les acclrations avec la gra

vit. En effet, lorsque l'on lche un objet celui-ci tombe et sa vitesse augmente de plus en plus (jusqu' ce qu'il heurte le sol ou soit frein par l'air, biensr). C'est pourquoi on parle d'acclration de la pesanteur. Sur terre (au niveau du sol) un objet qui tombe est acclr de 10 mtres par seconde au carr. Ce qui signifie qu' chaque seconde qui passe sa vitesse augmente de 10 mtres par seconde. Exprimentalement on constate que la masse inerte (qui s'oppose lamise en mouvement d'un objet) et la masse pesante (la masse responsable de l'attraction gravitationnelle) sont toujours identiques. C'est le principe d'quivalence. D'o l'ide d'identifier acclration et gravitation. La comparaison conduit une hypothse tonnante : l'espace (et le temps qui est indissociable en relativit) est courbe ! Voir par exemple LA RELATIVITE GENERALE et LA COURBURE DEL'ESPACE-TEMPS. Voici rsum quelques consquences (non exhaustives) de la relativit gnrale : 1. L'espace et le temps sont courbe. 2. La courbure influence l

a trajectoire des objets qui suivent (lorsqu'ils se dplacent librement) le chemin le plus court appel godsique (dans un espace plat c'est videmment une droite). 3. La matire (et donc l'nergie) donne la courbure l'espace-temps. Plusun objet est massif, plus cette courbure devient importante. La courbure ne devient notable que pour des objets trs massifs (comme les toiles). Mais mme unetrs lgre courbure comme celle provoque par la terre suffit expliquer le mouvement de la lune ! 4. La gravit est une consquence de cette courbure 5. Lesrayons lumineux sont dvis par les toiles. Ce qui fut constat la premire fois en observant les toiles proches du soleil (proches sur la vote cleste) grce une clipse totale. 6. Les plantes ne dcrivent pas de parfaites ellipsesmais drivent lgrement au cours du temps. Ce qui peut se mesurer pour la plante mercure. 7. Pour un observateur extrieur, le temps prs d'un objet trs massif (une toile neutrons par exemple) semble s'couler plus lentement.

L'lectromagntismeLa thorie de l'lectromagntisme fut tablie par Maxwell la fin du XIXme sicle. Elle fut l'aboutissement du travail d'un grand nombre de prdcesseurs quiavaient tudi l'lectricit et le magntisme. Lorsqu'un objet est charg lectriquement il met autour de lui un champ lectrique. Lorsque deux objets sont chargs lectriquement ils s'attirent ou se repoussent selon que leurs charges sontde signes opposs ou gaux.

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En pratique, les charges lectriques ngatives sont produites par les lectrons,ou plus exactement par un excs d'lectrons. De mme, les charges positives sont dues un dficit en lectrons.

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Le champ magntique peut tre provoqu par un aimant.

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Tout comme il y a des charges lectriques positives et ngatives, les aimants ont un ple sud et un ple nord. Les ples de mme type se repoussent, ceux de type diffrent s'attirent. Avec la particularit que les ples d'un aimant ne peuve

nt pas tre isols contrairement aux charges. Lorsque l'on place un mtal ferromagntique (comme le fer) dans un champ magntique il prend luimme une aimantation, c'est pourquoi il est attir par l'aimant.

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Mais nous n'arrtons pas de parler de "champs". Qu'est-ce que c'est ? Un champ est une proprit physique (lectrique, magntique ou autre) qui prend une valeuren tout point de l'espace (un peu comme un fluide). Lorsque cette valeur est un

simple nombre, on parle de champ scalaire. Par exemple, la temprature est un nombre (en degrs Celsius par exemple) dfinit en chaque point. La temprature forme donc un champ scalaire. Cette valeur peut tre plus complique qu'un simplenombre. Par exemple, elle peut tre un vecteur. Un vecteur est comme une petiteflche avec une grandeur et une direction. Les champs lectriques et magntiquessont de ce type, ce qui se vrifie aisment en disposant de la limaille de ferau-dessus d'un aimant.

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Une suite de vecteurs peut former une trajectoire appele ligne de champ. Il estplus facile de reprsenter un champ avec ces lignes de champs.

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Lorsque l'on tudie l'lectricit et le magntisme on constate rapidement qu'ilsne sont pas indpendants. Par exemple un courant lectrique provoque un champ magntique. Nous avons vu qu'un courant lectrique est un simple flux d'lectrons

. Et effectivement, toute charge lectrique en mouvement engendre un champ magntique (en fait tout champ lectrique variable engendre un champ magntique).

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De mme, un champ magntique variable provoque l'apparition d'un champ lectrique. Ce champ lectrique agit sur les particules charges comme les lectrons et peut provoquer l'apparition d'un courant dans un conducteur. C'est sur ce princip

e que fonctionne une dynamo. Enfin, lorsqu'une charge lectrique se dplace dansun champ magntique elle subit une force perpendiculaire.

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C'est sur ce principe que fonctionne un moteur lectrique. Il s'avre donc que les champs lectriques et magntiques sont intimement lis. Maxwell russit unifier les deux champs dans un unique jeu d'quations remarquablement symtriques.

On y voit clairement que le champ lectrique et le champ magntique jouent un rle semblable. Ces quations montrent d'ailleurs que les deux champs peuvent driver d'un unique champ appel potentiel lectromagntique. Il comporte une composante vectorielle et une composante scalaire. Une des consquences des quationsde Maxwell est la possibilit d'avoir des ondes lectromagntiques. Une onde est comme une vague. C'est une vibration qui se propage. Elle possde une frquence, une vitesse et une longueur d'onde.

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Il est possible d'exprimer les quations de Maxwell sous forme relativiste (la relativit restreinte). En ralit les quations sont inchanges ! En effet, lesquations de Maxwell sont dj relativistes (on peut dire qu'elles taient en av

ance sur leur temps). Ceci n'a rien d'tonnant car les ondes lectromagntiquesse propagent la vitesse de la lumire. A cette vitesse, la relativit est reine et une thorie correcte ne pouvait tre que relativiste. On peut toutefois exprimer les quations l'aide des notations mathmatiques relativistes (appelesnotations covariantes). Sous cette forme les quations deviennent incroyablementsimples et compactes (une seule quation extrmement courte). Formules de cette manire, les champs lectriques et magntiques s'crivent comme un champ unique appel bien videmment champ lectromagntique. C'est un champ tensoriel. Lestenseurs

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sont des objets mathmatiques un peu plus compliqu que les vecteurs. Ils sont par rapport aux vecteurs ce que les vecteurs sont aux scalaires. Un scalaire n'abesoin que d'un nombre. Un vecteur a besoin de quatre nombres (en relativit, ce

ci est li au fait que l'espace temps quatre dimensions : trois d'espaces et une de temps). Et un tenseur a besoin de 16 nombres. Le tenseur lectromagntiqueest un peu particulier (mathmatiquement c'est un tenseur "antisymtrique"). Ily a des restrictions sur ses valeurs qui impliquent qu'il se comporte un peu comme un vecteur. Ce n'est pas tonnant puisqu'il est en ralit compos de deux champs vectoriels ! Selon leurs frquences, les ondes lectromagntiques se manifestent comme de la lumire, des ondes radios, etc.

La description de l'lectromagntisme et de la gravit (relativit gnrale) montre bien les grandes diffrences entre les deux.

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Le spinDans la suite, nous aurons souvent l'occasion de parler du spin, le moment est donc venu d'expliquer ce que c'est. Un objet tel qu'une particule (ou une boule)

peut tre en rotation. On dit qu'il possde un spin.

Mathmatiquement, on caractrise le spin par les proprits d'un systme physique lorsqu'on effectue une rotation. Prenons un champ scalaire. En un point donnsa valeur est un simple nombre. Lorsqu'on effectue une rotation un point reste un point et un champ scalaire n'a pas de spin. On dit que son spin vaut zro. Pour un champ vectoriel, la situation est diffrente. Comme un vecteur a une direction, une rotation change sa direction. Lorsque l'on effectue un tour complet, levecteur revient sa direction originelle. On dit qu'un champ vectoriel a un spin gal un.

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Le champ lectromagntique tant de type vectoriel, il a un spin gal un. Lorsque l'on tudie la relativit gnrale, on constate que les quations autorisentaussi des ondes. Elles sont appeles ondes gravitationnelles et sont des vagues

dans l'espace-temps ! Ces ondes peuvent aussi tre dcrites par un champ (champde gravitation). Lors d'une rotation, il suffit d'un demi-tour pour que les valeurs de ce champ reviennent leurs valeurs initiales. Ceci ne peut se produirequ'avec des tenseurs et le champ de gravitation est effectivement un champ tensoriel. On dit que le champ de gravitation a un spin gal deux. Notons que tousles champs tensoriels n'ont pas un spin gal deux. Par exemple le champ lectromagntique est un champ tensoriel de spin 1. On peut aussi avoir un spin 3 (untiers de tour), etc. Nous en retoucherons un mot plus tard.

La thorie de KaluzaRevenons notre histoire. Quel est donc l'ide que Kaluza a eu ? Il est parti de la relativit gnrale. Il a d'abord simplifi le problme en ignorant la mati

re. Les quations de la relativit gnrale sont alors un peu plus simples. Elles dcrivent un monde de "pure" gravitation. Un monde remplit d'ondes gravitationnelles.

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Mais il ne se contenta pas de cela. Il imagina un monde cinq dimensions ! C'est dire quatre dimensions d'espace et une de temps. Bien sr le monde rel n'aque trois dimensions d'espace (de gauche droite, d'avant en arrire et de haut

en bas), mais nous y reviendrons. Et l, quelque chose d'extraordinaire se passe. Lorsque l'on dtaille les quations de cette gravit cinq dimensions, puisque l'on ignore la dpendance la dimension supplmentaire, on voit brusquementapparatre la relativit gnrale habituelle, quatre dimensions, et le champlectromagntique !

Kaluza avait donc montr que non seulement le champ de gravitation et le champ lectromagntique pouvaient tre unifis mais qu'en plus ce dernier champ n'taitque la consquence du champ de gravitation ( cinq dimensions) ! Mais la thorie de Kaluza pose tout de mme quelques problmes. Enumrons-les. 1. Pourquoi supprimer arbitrairement la dpendance la cinquime dimension ? Bien sr le monderel a quatre dimensions, mais on est partit d'un monde cinq dimensions, tout

es sur le mme pied d'galit. Pourquoi changer cela en cours de route ? 2. Si le monde a cinq dimensions, comment se fait-il que nous n'en percevions que quatre ? O est la cinquime ? 3. On a omit de signaler que lors du calcul on voit apparatre non seulement le champ de gravitation et le champ lectromagntique mais en plus on voit apparatre un champ scalaire (appel dilaton). Sa prsence, l'poque, tait gnante car ce champ n'tait pas attendu ! De plus, dans le monde qui nous entoure, nous n'observons pas un tel champ.

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2.2. KleinUne tape supplmentaire fut franchie par Oskar Klein en 1926. Celui-ci se demanda si certaines dimensions ne pouvaient pas tre enroules sur elles-mmes. Comm

ent est-ce possible ? Tout d'abord, tant donn que l'espace-temps est courbe, il n'est pas tonnant d'avoir une dimension trs courbe. Mais quoi cela correspond-t-il ? Pour simplifier, raisonnons d'abord sur un cas beaucoup plus simple.Imaginons un espace deux dimensions, comme une feuille. Imaginons ensuite qu'une des deux dimensions s'enroule sur ellemme.

Comme on le voit, si la dimension est enroule sur une trs petite distance, vude loin ou vu par quelqu'un beaucoup plus grand que cette distance, l'espace prend l'apparence d'un fil une seule dimension. L'enroulement peut donc rendre cette dimension inobservable ou difficile observer.

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Comment cela se traduit-il pour notre espace ordinaire trois dimensions ? Il faut imaginer qu'en plus de la hauteur, de la largeur et de la longueur il existeune direction supplmentaire, dans une quatrime dimension d'espace, mais qui e

st enroule sur une trs petite distance. Si nous pouvions nous dplacer dans cette direction nous reviendrions presque immdiatement notre point de dpart car l'enroulement est trs serr. En chaque point de l'espace ordinaire il existeune direction supplmentaire formant une petite boucle. On peut facilement le dessiner pour un espace "normal" a deux dimensions plus une dimension enroule.

On suppose donc que la cinquime dimension est une dimension d'espace enroule sur une trs petite distance. Typiquement, la distance considre est de l'ordrede la longueur de Planck : 10 35 mtre, c'est dire 0,00000000000000000000000000000000001 mtre ! Nous reviendrons plus tard sur cette distance et son explication. L'tape suivante est identique Kaluza. On suppose une pure gravit cinq dimensions et on rsout les quations. C'est un peu plus compliqu cause de

cette dimension enroule et du fait que l'on prend en compte la totalit des dimensions. La cinquime dimension n'est plus limine (en projetant sur un espace

temps quatre dimensions) comme avec Kaluza. Qu'est ce que cela apporte ? 1. Lathorie est plus "saine" puisqu'on n'limine plus arbitrairement une des dimensions en cours de calcul. 2. La cinquime dimension est inobservable, en pratique, car elle est enroule sur elle mme sur une trs petite distance.

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3. La thorie prvoit toujours quatre champs : la gravitation, le champ lectromagntique et le champ scalaire (dilaton). La gravitation et le champ lectromagntique se manifestent dans les quatre dimensions "normales". 4. La thorie expli

que la quantification de la charge. C'est dire qu'elle explique pourquoi la charge lectrique est toujours observe comme un multiple entier d'une charge lmentaire. Cette charge lmentaire est trs petite, c'est la charge porte par l'lectron (voir par exemple le nombre d'lectrons qui forment un courant de un ampre pour avoir une ide de la petitesse de cette charge). 5. Le champ scalairejoue un rle important. Il garantit la cohrence de la thorie (si on le supprime arbitrairement, la thorie devient absurde c'est dire inconsistante). Il intervient dans la quantification de la charge. Il est en pratique inobservable etintervient galement dans la prdiction de particules supplmentaires. Mais il reste tout de mme quelque chose en plus par rapport aux thories classiques. Lathorie prdit des particules supplmentaires de masse trs grande. Cette masseest norme (typiquement la masse de Planck, nous y reviendrons). Tellement grand

e qu'il est exclut de pouvoir crer de telles particules et donc de les observer!

2.3. La priode d'oubliPuis la thorie de Kaluza Klein fut oublie ou ignore pendant environ 40 ans! Que s'est il pass ? Il faut tout d'abord bien comprendre que l'ide d'une cinquime dimension tait quelque peu exotique. Cette ide n'amliorait pas la thorie de la gravitation ni l'lectromagntisme. Elle permettait seulement l'unification des deux. Or on n'accepte pas facilement une ide exotique si l'on n'a pas une raison imprieuse. Ensuite, rappelons que la thorie de Kaluza Klein n'est pas libre de problmes. Le champ de dilaton tait, tout particulirement l'poque, quelque chose de difficile comprendre et admettre. Mais le plus important ne rside probablement pas l. Aprs tout, on aurait pu considrer ces asp

ects curieux comme des artefacts mathmatiques ou thoriques, sans consquence physique relle et pousser plus loin la thorie. En ralit, la grande coupable est la physique quantique. Comme je l'ai dit au dbut du chapitre 2.1, cette poque la mcanique quantique tait en pleine gestation. Nous nous pencherons bientt sur le monde mystrieux de la physique quantique. Celle ci obtint trs vitedes succs considrables. Aprs avoir russi expliquer les comportements des atomes, les physiciens thoriciens russirent rapidement quantifier le champ lectromagntique. Par la suite, la physique quantique amliora encore son palmars en unifiant d'autres forces fondamentales (nous y reviendrons), mais le mal tait dj fait. Tout d'abord, le "classique" n'avait plus vraiment la cote. On s'intressait beaucoup plus aux thories quantiques. Or la thorie de Kaluza Klein est une thorie tout ce qu'il y a de plus classique. Pire, la gravitation pos

e d'normes problmes en physique quantique (comme nous le verrons) et la thorie de Kaluza Klein, base sur la gravitation, n'chappe pas ce problme. Ensuite, puisque le champ lectromagntique tait quantifi, le problme de l'unification s'tait dplac. Le but n'tait plus d'unifier l'lectromagntisme et la gravitation mais plutt d'unifier la gravitation avec l'ensemble de la thorie quantique.

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Mais l'histoire n'a pas dit son dernier mot. Et les ides de Kaluza Klein finirons par ressurgir.

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3. Les thories quantiques3.1. La mcanique quantiqueVoici venu le moment de nous plonger dans les eaux profondes de la mcanique qua

ntique. J'espre que vous n'avez pas trouv trop difficile ce qui a prcd carla mcanique quantique est infiniment plus complique et plus droutante que larelativit gnrale ou l'lectromagntisme ! Il va de soit que je n'expliqueraila mcanique quantique que dans les grandes lignes. Je passerai sur beaucoup dedtails, en particulier les dtails mathmatiques (bien sr). C'est un sujet extrmement vaste, rsultat de trois quarts de sicle de recherches thoriques parun trs grand nombre de physiciens. Ses succs et ses applications sont innombrables. Un livre entier ne pourrait couvrir compltement le sujet. Nous toucheronsseulement aux aspects les plus fondamentaux, ncessaires pour comprendre de quoi on parle, et aux aspects qui nous conduirons progressivement la thorie descordes. La mcanique quantique est le monde de l'infiniment petit. Le monde desatomes et des particules atomiques. C'est un monde trs particulier o les lois

classiques, celles qui gouvernent notre quotidien, ne s'appliquent pas. Au contraire, les concepts de la mcanique quantique sont tranges et droutants. Nous aurons l'occasion de le voir. Postulats de base En physique quantique, l'tat d'un systme physique est reprsent par un "tat quantique" ou un "vecteur d'tat"not

pour reprsenter un t t

.

Les postul ts de l mc nique qu ntique disent que les t ts sont "lin ires". C

'est dire que toute combin

ison d't

ts est encore un t

t (m

thm

tiquement,c'est de l que vient leur nom de vecteur). P r exemple si

1

et

2

sont deux t ts possibles, lors

1 + 2

est g lement un t t

possible pour le systme. Attention, les t ts ne sont p s de simples nombres. Ils peuvent tre trs compliqus. Lorsqu'un systme physique est d ns un t t, ilpeut m lgr tout tre d ns un utre t t ! P r exemple

2 1

est ppele "l' mplitude" d'tre d ns l't t

2 si le systme est d ns l't t 1 .

L'

mplitude n'est p

s un simple nombre. C'est un nombre que les m

thm

ticiens

ppellent nombre "complexe". En l'lev nt u c rr (plus ex ctement en le multipli nt p r son conjugu) on obtient un nombre cl ssique. Ce nombre est interprt


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comme l prob bilit que le systme physique soit d ns l't t 2 s'il est d nsl't t 1 . Le monde qu ntique est donc un monde de prob bilits. Et cette prob

bilit ne semble p s tre une consquence de notre imprcision ou de notre ignor nce m is semble bien tre une proprit intrinsque de l n ture. Que reprsente ex ctement un t t ? C'est un peu compliqu m is on peut prendre un c s simple. Supposons que l'on it une p rticule isole, disons un lectron. Cet lectronpeut se situer en un endroit prcis, disons l position superposer les t ts. Ai

nsi l't

t

x . Un tel t t ser not x . R ppelez-vous que l'on peutx1 + x2 reprsente une situ tion o l'lectron peut se situer deux x . D ns cec s, l' mplitude (et de l, l

endroits ! Il peut donc tre d ns un t t quelconque

prob bilit) qu'il soit situ (observ, lors d'une mesure) l position

x est x . Comme cette v leur

peut tre donne pour ch

que position, on obtient ce qui est

ppel une fonctiond'onde. C'est une

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ou ( x ) .

fonction qui donne une valeur (une amplitude) pour chaque position. On la note t

raditionnellement

Historiquement, c'est Schrdinger qui trouva, l'aide de raisonnements intuitifs, la premire quation applicable la fonction d'onde de l'lectron plong dans le champ lectrique du no

au de l'atome. Elle permit une avance considrabledans la comprhension des atomes. Les rgles que nous avons donnes ci-dessus autorisent dj des choses extraordinaires. Mme sans manipuler d'quations. On l'a vu avec l'lectron qui peut se trouver en deux endroits. Par exemple, un lectron est-il une onde ou une particule (comme une bille dure) ? L'ide de particule souffre quelque peu puisque l'lectron peut se retrouver compltement "dispers" un peu comme une onde. Oui mais si on effectue une mesure, on observera l'lectron en un endroit prcis et uniquement cet endroit, ce qui n'est pas possibl

e pour une simple onde ! Pour en savoir plus, voir LA LUMIERE : Onde ou particule ?. On peut modifier un tat. On peut le transformer en un autre tat. Cette opration se fait avec ce qui est appel un "oprateur". Un oprateur est un objetmathmatique qui effectue une opration mathmatique sur l'tat. Ce n'est pas toujours une simple multiplication ou une simple addition, cela peut tre une opration beaucoup plus complique (que je ne dcrirai videmment pas ici). Certaines valeurs d'un s stme sont appeles des observables. C'est dire des valeursque l'on peut mesurer. C'est le cas de la position d'une particule, de sa vitesse, de sa charge lectrique, etc. Les observables sont aussi reprsents par desoprateurs. Par exemple l'oprateur "vitesse de la particule", appelons-le V . Si un s stme a une vitesse prcise, alors l'opration sur l'tat correspondant donne :

v = V v . L'tat ne change pas (en toute rigueur il peut tre multipli par un

nombre, mais cela ne change pas les raisonnements) ! C'est aussi une manire dedfinir les oprateurs pour les observables (ce n'est donc pas un postulat maisune dfinition). Lorsqu'un tel tat est inchang par un oprateur il est appel"tat propre" ou "vecteur propre". Pour un tat quelconque

, on peut le dcomposer (en utilis nt l superposition des t ts) : . Qu'une telle dcomposition soit toujours possible, f it p rtie des

= 1 v1 + 2 v2 + ... + 3 v3postul ts de b se sur les t ts.

Alors, comme ch que vitesse "pure" est un t t propre, les v leurs 1 , 2 ,..., 3 sont les mplitudes (et de l, les prob bilits) d'observer l p rticule vec l vitesse v1 , v2 ,..., v3 . Cette suite de v leur s' ppelle l qu ntific tion c r d ns cert ins t ts on peut trs bien n' voir que des v leurs prcises etp s d' utres. On dit que l v leur est qu ntifie. Comme les opr teurs ne sontp s des nombres, ni toujours des opr tions m thm tiques simples, ils ne sont p

s toujours "commut tif". C'est dire que l'on ne peut p s toujours les intervertir. Si j' i un opr teur A et un opr teur B lors on peut trs bien voir A B B A . C'est dire que si j' gis sur un t t vec A puis vec B le rsult

t ser diffrent si j' gis vec B puis vec A . On dit d ns ce c s qu'ils ne "c

ommutent" p

s. Si le rsult

t est identique,

lors on dit qu'ils commutent. L'opr tion [ A, B ] = A B B A est appele un commutateur. S'il est non nul, cela signifie que les oprateurs ne commutent pas. Par exemple, en mcanique quan


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tique, les oprateurs vitesse et position ne commutent pas ! Une situation sansquivalent classique o mesurer position puis vitesse est identique mesurer vitesse puis position. Alors que la non commutation implique que l'ordre des mesures peut avoir une importance en mcanique quantique.

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Il est vident que je n'ai pas expliqu la forme exacte de ces oprateurs position et vitesse, mais impossible d'entrer dans tous ces dtails sans faire des mathmatiques. Malheureusement.

Le principe d'incertitudeOn peut montrer que si deux oprateurs (observables) ne commutent pas alors il est impossible d'avoir un tat ayant une valeur prcise et unique pour les deux observables la fois (cela est li l'ordre des mesures expliqu ci dessus). C'est le principe d'incertitude qui est une des consquences les plus extraordinaires de la physique quantique. Nous allons en donner quelques exemples et applications. La vitesse et la position sont deux oprateurs qui ne commutent pas. Ilssont donc sujet au principe d'incertitude. Celui ci dit qu'il est impossible demesurer avec une prcision aussi grande que voulue la fois la vitesse et la position d'une particule. Plus prcisment, si x est l'incertitude sur la position (dans une direction donne) et v l'imprcision sur la mesure de la vitesse (d

ans la mme direction). Alors on aura :

xv

h 2 m

o est le nombre i (3.1416), m est la masse de la articule et h est une constante a ele constante de Planck. Mathmatiquement, la osition et la vitesse sont dites des variables "conjugues" (au sens hamiltonien, je n'ex liquerai asici ce que cela signifie, c'est un eu com liqu et hors sujet). Toute aire devariables conjugues obit cette formule. La constante de Planck est extrmement etite. Cela ex lique que cet effet est im ossible dtecter notre chelle. Par contre, la masse des lectrons est extrmement etite aussi. Donc la fract

ion cidessus est notable

our un lectron et l'effet de cette incertitude est im ortant. Si je mesure avec une trs grande rcision la osition d'un lectron,alors sa vitesse sera trs incertaine. Inversement, si sa vitesse est mesure trs rcisment, alors il eut se trouver eu rs n'im orte o !

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Thorie des Su ercordes

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Par exem le, autour d'un atome l'lectron a une nergie trs rcise (comme le montre l'quation de Schrdinger). Plus exactement, il existe lusieurs tats d'nergies diffrentes (on dit des niveaux). Mais l'quilibre l'lectron se trouv

e sur le niveau d'nergie le

lus bas. Puisque son nergie est

rcise, alors savitesse aussi. En fait, as tout fait, car l'lectron tourne et sa vitesse change donc constamment de direction, mais elle reste constante en grandeur.

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Cette vitesse rcise en grandeur (mais as en direction) fait que la osition de l'lectron est trs incertaine autour de l'atome. Il forme une es ce de etit"nuage" autour de lui.

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La re rsentation sous forme d'orbite circulaire est trs image et moins rcise que les orbitales cidessus (c'est le moins que l'on uisse dire !) mais cettere rsentation est trs ratique. Disons que chaque orbite circulaire re rsente

un niveau d'nergie de l'lectron

lutt qu'une orbite relle. D'autres variables (o rateurs) rsentent ce hnomne. Ainsi le tem s et l'nergie sont des variables conjugues. On a donc :

t E

h 2 m

Que signifie en ratique cette formule ? Par exem le, si une articule reste dans un tat donn endant un tem s trs court (et donc forcment trs rcis). Alors l'nergie de cette articule sera trs im rcise. Cela eut se manifester avec les atomes.

On voit que nous associons frquence de la lumire (sa couleur, comme on l'a vuavec le s ectre lectromagntique) avec l'nergie mise ar l'atome. En ralit,en mcanique quantique les valeurs sont quantifies, comme on l'a vu. Et la lumire ne eut tre mise que ar " aquets" d'nergie, a els quanta ou hotons.La relation entre la frquence de la lumire est : E = hv . O on retrouve la fameuse constante de Planck. Historiquement, ce fut la remire manifestation quantique qui fut dcouverte ( ar Planck avec le rayonnement du cor s noir, uis confirme et gnralise ar Einstein avec l'effet hoto lectrique).

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Mme le s in des articules est quantifi. On trouve ainsi des articules de s in 0, 1, 2, comme our un cham . Classiquement, une articule eut tourner n'im orte comment. Ce n'est as le cas en mcanique quantique ! Pour voir quelques a

utres effets et consquences de la mcanique quantique, je conseille de voir Mcanique quantique et relativit o l'on arle de deux hnomnes qui semble (en a arence) contredire la relativit.

Les fluctuations du videUne consquence fantastique dcoule de l'incertitude sur le tem s et l'nergie et de la relativit. Su osons que je renne le vide. Su osons aussi que je regarde ce qui se asse en un endroit donn endant un tem s trs court. Alors, le

rinci e d'incertitude nous dit que l'nergie de cet tat (le vide !) est trs im rcise. Or la relativit dit que l'nergie c'est aussi de la masse, donc des articules. Donc, endant ce tem s trs court des articules euvent a aratre s

ontanment du vide ! On les a elle des articules virtuelles car elles dis arai

ssent trs vite (sinon la dure de leur existence ne serait

lus trs courte). Donc le vide doit tre rem lit de lein de "fluctuations". Des articules de toute nature doivent a aratre et dis aratre constamment.

Ces fluctuations ne sont as quelque chose d'imaginaire car leurs effets sont bien rels ! Pour en savoir un eu lus, voir Les fluctuations du vide.

Les bosons et les fermionsLe monde contient deux ty es de articules. Les articules de s in entier (0, 1,2, ) a els les bosons et les articules de s in demi-entier (1/2, 3/2, ) a

els les fermions. Par exem le les hotons sont des bosons car ils ont le s in1 (ce qui est identique la valeur du s in du cham lectromagntique ce qui n'est as tonnant). Et les lectrons sont des fermions car ils ont le s in 1/2. Q

ue signifie un s

in demi-entier ? On a vu que le s

in caractrisait les

ro

rits sous les rotations. Ainsi, our un cham de s in 1, les vecteurs re rennent leur osition initiale a rs un tour. Pour le s in deux, un demi-tour suffit. Pour un s in 1/2, il faut effectuer deux tours ! Voil qui est extraordinaire et n'a nouveau aucun quivalent classique. Quel objet classique ourrait bien avoirla

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ro rit de ne as retrouver son tat original a rs un tour com let ? Aucun !Cette articularit des effets curieux comme d'em cher deux lectrons d'treexactement dans le mme tat (autour du mme atome, avec la mme nergie, etc.)

alors que

our des bosons c'est

ossible (dans un rayon laser, tous les

hotonsont mme direction, mme frquence, etc.). La thorie montre que la matire habituelle (les atomes) est constitue de fermions tandis que les bosons sont res onsables des forces. Par exem le, le hoton est res onsable de la force lectromagntique.

Si le boson vecteur de force est sans masse ro re, alors la " orte" de la force est infinie. Sinon, la force a une orte limite. Par exem le, le hoton n'ayant as de masse ro re (comme on l'a vu), l'lectromagntisme agit grande distance. Par contre, les forces nuclaires qui drivent de l'interaction forte (nous en arlerons lus tard) et qui ont un vecteur massif n'agissent qu' courte distance : au sein du noyau atomique. Le lien entre masse du boson et orte de l

a force est li au

rinci

e d'incertitude sur le tem

s et l'nergie. Le boson qui est chang est comme une articule virtuelle, il est cr (mis ar une articule) uis dtruit (absorb ar l'autre). Cet change rend un certain tem s uisqu'il ne eut as d asser la vitesse de la lumire. Le rinci e d'incertitudedit que l'incertitude sur l'nergie est d'autant lus faible que ce tem s est grand. Or our crer une articule massive, il faut au moins l'nergie corres ondant sa masse ro re (on a vu que la masse c'est de l'nergie). Donc, our une

articule massive le tem s d'change est limit et donc aussi la distance. Par contre, our un hoton as de limite. Si la distance est grande, l'nergie "dis onible" est faible mais un hoton eut avoir une nergie aussi etite que l'on veut, il suffit que sa frquence soit etite. Cela ex lique aussi qu' grande distance la force lectromagntique est moins grande uisque les nergies en jeu sont lus faibles.

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3.2. La thorie des cham sPour traiter de la cration (ou de la destruction) des articules, les formalismes que nous avons vus tel la fonction d'onde ne conviennent as. On a vu que la

fonction d'onde dcrivait l'am

litude

our une seule

articule. On

eut avoir des tats, et de l une fonction d'onde lus com lexe, our deux articules. Maisil est assez difficile de mani uler des tats nombre de articules variables.Pire encore, je eux avoir un tat qui dcrit un systme avec une articule et un autre tat qui dcrit le systme avec deux articules. Je eux su er oser lestats et avoir un tat qui est la fois une et deux articules ! De lus lesthories doivent tre relativistes car la cration des articules, transformation d'nergie en masse, est un effet ty iquement relativiste (on arle ici, bien sr, de relativit restreinte). Ce qui com lique un eu les choses. La solution est venue des cham s. L'ide tant : et si on ouvait re rsenter, ar exem le, les lectrons ar un cham . Tout comme on l'a vu our la lumire qui est com osedu cham lectromagntique en hysique classique et de hotons en hysique quan

tique. D'o l'ide de

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re rsenter classiquement toutes les articules ar des cham s uis de asser la hysique quantique. Est-ce que a marche ? Oui, et mme trs bien ! La thorie quantique des cham s fut labore dans les annes trente mais, mme maintenant

, c'est encore un sujet actif de recherches thoriques.

Les cham s en mcanique quantiqueLes cham s ossdent les ro rits requises. Par exem le, ils euvent tre linaires ce qui entrane des mcanismes de su er osition comme our les tats. On quantifie le cham en rem laant les variables dcrivant le cham ar des o rateurs. On recherche les variables conjugues (au sens mathmatique de ce terme) eton ex rime que les o rateurs ne commutent as. Et le tour est jou. Un cham

eut avoir des "modes" rcis. C'est dire avoir une frquence de vibration rcise. A rs quantification, on constate que ces modes se com ortent comme des tats une articule ! Comme un cham eut avoir des tas de frquences en mme tem s, alors il eut corres ondre des tats avec lusieurs articules. Il est mm

e

ossible de calculer des o

rateurs dit de cration (ou de destruction) qui modifient un tat en lui ajoutant une articule. Ils jouent un grand rle dans lathorie et, on le devine aisment, dans les cham s en interaction o des articules euvent tre cres.

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Quantifier un cham ose arfois quelques difficults techniques. C'est le cas du cham de l'lectron car sa nature de fermion, c'est dire son s in 1/2, entrane quelques com lications. Pour information, le cham "classique" de l'lectron

se dcrit avec une quation a

ele quation de Dirac et qui avait t imagineau dbut de la mcanique quantique our essayer de trouver une formulation relativiste de l'quation de Schrdinger. C'est encore ire our le cham lectromagntique. Sa nature " urement" relativiste ( cause de sa vitesse gale la vitesse de la lumire) entrane de grosses difficults (sur lesquelles je ne m'tendrai as ici) mais qui euvent tre surmontes au rix de quelques com licationsmathmatiques.

Le videComment se re rsenter le vide our un cham ? C'est sim lement l'tat minimal.Il a l'nergie minimale et corres ond zro articules. Lorsqu'on agit sur cettat avec l'o rateur de destruction on obtient zro (et non as l'tat du vide)

. C'est normal, comment dtruire une

articule dans un tat qui n'en contient aucune ? Mais cet tat du vide est un eu articulier. Les rgles de non-commutation entranent que certaines variables ne euvent s'annuler. On a vu que deux o rateurs qui ne commutent as sont tel que A B B A . Mais si A s'annule (ou lutt l'a lication de A sur l'tat hysique), alors on a forcment A B = 0= B A . Donc A ne eut as s'annuler. L'tat du vide ne contient aucune articule mais il reste "quelque chose" ! Si l'on analyse l'tat du vide lus en rofondeur, on constate que les modes de vibrations ne s'annulent as tout fait. Onconstate ra idement qu'ils corres ondent des fluctuations du vide. Les fameuses articules virtuelles !

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A elons le rsultat d'un calcul sur le systme com let (cham lectronique + cham lectromagntique + interaction entre les deux) Rtot . A elons le rsultatdu mme calcul sur le systme sim lifi (cham lectromagntique + cham lectro

nique, sans interaction) R0 . Ce rsultat

eut tre calcul exactement mais

asle rcdent. La thorie des erturbations fournit des outils mathmatiques qui ermettent d'obtenir une relation du genre :

Rtot = R0 + kR1 + k 2 R2 + ...Les termes successifs R1 , R2 , sont des corrections successives de lus en lus rcises. Les outils mathmatiques donnent ce qu'il faut our les calculer. Plus on calcule de termes et lus le rsultat sera rcis. Bien sr, il faut quek soit suffisamment etit our que les corrections successives ci-dessus deviennent de lus en lus etite. Par exem le, avec la constante de structure fine, le remier terme donne une correction de l'ordre du our cent, le deuxime terme une correction de l'ordre du dix millime, etc.

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La thorie des collisionsUne a roche articulirement fructueuse de la thorie des erturbations est sona lication la thorie des collisions. On considre initialement des articul

es bien s

ares. Celles-ci

euvent tre dcrites

ar les cham

s sans interaction (c'est une a roximation). Puis ces deux articules se ra rochent et entrenten collision. Dans cette hase, les cham s sont en interaction. Puis les articules s'loignent et finissent ar tre suffisamment loin our tre nouveau considres comme bien s ares et dcrites ar des cham s sans interaction. Les cham s initiaux et finaux, sans interaction, sont a els des cham s libres.

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On eut caractriser la situation entrante ar des cham s libres , ar exem le,deux articules. A elons cet tat

in . De mme l'tat sortant sera out . Ce dernier tat

ermet une descri

tion

sim le ( uisque ce sont des cham s sans interaction) mais il reste inconnu uisque nous ne connaissons as le rsultat de la collision. Si on le connaissait, il ermettrait de calculer tout ce que nous voulons savoir. Par exem le, si l'tat robabilit d'avoir ce cas) :

3 caractrise un tat trois articules (dont une a t

cre) avec des directions et des vitesses bien rcises, alors on eut calculerl'am litude (et la

3 out .

La collision eut tre calcule comme le rsultat d'un o rateur qui transformel'tat entrant en tat sortant :

out = S in . L'o rateur S est souvent a el matrice S car on travaille frquemment

dans une re rsentation mathmatique des o rateurs sous forme matricielle (destableaux de nombres). Le roblme est alors de calculer cette matrice S qui contient tout ce que nous voulons savoir sur le rocessus de collision. Notons que s'il n'y avait as de collision, c'est dire si les articules s'vitaient ou s'il n'y avait as d'interaction, on aurait alors

out = in . L'o rateur qui ne change as les tats :

=I

est ppel opr teur identit (p r n logie vec l multiplic tion p r le nombre1 qui ne

ch nge rien). L thorie des perturb tions permet lors de c lculer une expression du type :

S = I + S0 + S1 + ...

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Di gr mm tiqueIl existe une extr ordin ire expression gr phique de cette qu tion. Elle fut l

bore p r Feynm n. Cette mthode permet de tr cer des di gr mmes ( ppels di gr

mmes de Feynm

n) et s'

ppelle donc mthode di

gr

mm

tique. Un di

gr

mme reprsente un processus de collision. On deux p rticules qui s' mnent et qui rep rtent vec d ns le processus des cr tions de p rticules.

Ces di gr mmes c r ctrisent des collisions m is peuvent ussi c r ctriser desprop g tions (une seule p rticule v nt et prs, comme le dernier ci-dessus) oudes dsintgr tions (une p rticule u dp rt, plusieurs prs). Il est possibled't blir une correspond nce entre les di gr mmes et les termes successifs c lculs vec l thorie des perturb tions. Les rgles de construction des di gr mmes sont ppeles rgles de Feynm n. Elles donnent les contr intes d ns l construction des di gr mmes (p r exemple un lectron ne peut p s tre cr tout seul c

r l ch rge lectrique est toujours conserve). M is elles donnent ussi l m ni

re d'

ssocier le di

gr

mme et les c

lculs (elles donnent des expressions m

thm tiques ux "br nches" et ux "nuds" du di gr mme et l mthode pour les regrouper). Ces rgles m thm tiques sont gnr lement ssez simples. D ns l'expression pour l m trice d ns le di gr mme.

S , les termes successifs correspondent ux nombres de boucles

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Pour rsoudre un problme de collision donn, on tr ce tous les di gr mmes (jusqu' une cert ine t ille, le nombre de di gr mmes gr ndit trs vite). Puis on lestr duit en qu tions grce ux rgles de Feynm n, on dditionne le tout et le t

our est jou, on

trouv l'expression (

pproche) de l

m

trice S . Si le rsult t n'est p s suffis mment prcis, il suffit de c lculer plus de di gr mmes.

3.3. L renorm lis tionLe mc nisme de l renorm lis tion que nous llons prsenter fut l bor l fin des nnes qu r nte et d ns le cour nt des nnes cinqu nte. Cert ins rsult ts m thm tiques rigoureux ne furent mme obtenus que d ns les nnes soix nte. Il encore subit des prolongements depuis et n' cert inement p s fini de nous rserver des surprises.

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Les divergencesLe problme vient de l' pp rition d ns les c lculs de nombres infinis. C'est plutt gn nt qu nd on c lcule des prob bilits. L prob bilit m xim le est videm

ment de 100 %. Ce ser

it dj ennuyeux de trouver plus, m

is

lors l, l'infini,c'est c rrment c t strophique ! Le problme est mme trs srieux. Qu nd on c

lcule les di gr mmes pour l'lectrodyn mique, on const te que les seuls qui ne posent p s de problme sont ceux s ns boucle ou vec une boucle. Ds que l'on deux boucles, p t tr s, les infinis font leur pp rition. D'o vient le problme? Prcisons d' bord ce que nous entendons p r "v leurs infinies". Les c lculs consistent en l rsolution d'intgr les sur les frquences. C'est dire que l'on des fonctions m thm tiques, et l'on effectue une opr tion m thm tique (l'intgr tion) sur un p r mtre qui est l frquence. Le c lcul dev nt s'effectueren utilis nt toutes les frquences possibles de 0 l'infini. Les petites frquences sont celles des ondes r dios et infr rouges, comme on l' vu, et les h utesfrquences les ultr violets. On peut effectuer un c lcul en limit nt les frque

nces. P

r exemple on peut effectuer le c

lcul des intgr

les de l

v

leur v1 l v leur v2. Puis, d ns l formule obtenue, on doit en principe f ire tendre l v leur v1 vers zro et l v leur v2 vers l'infini pour obtenir une v leur (p r exemple l' mplitude ou l prob bilit d'un processus). Et c'est l que les problmes pp r issent. D ns l plus p rt des c s, le rsult t devient infini. Plus l

v leur de v1 pproche de zro et plus l v leur de v2 pproche de l'infini, plus l v leur devient gr nde. On dit que l'intgr le est divergente. Si elle restefinie, elle est dite convergente. P r bus de l ng ge ont dit que le di gr mmeest divergent. Lorsque le rsult t devient infini qu nd v1 tend vers zro on ditque le di gr mme est divergent infr rouge. De mme lorsqu'il devient infini pour v2 tend nt vers l'infini, on dit que le di gr mme est divergent ultr violet. On p rle ussi de singul rit infr rouge ou ultr violette.

Les divergences infr

rougesLes divergences infr rouges sont les moins gr ves. Leur explic tion physique estsimple. Les photons de petite frquence ont ussi, nous l' vons vu, une petitenergie. P r consquent pour une nergie donne, on peut voir un trs gr nd nombre de photons infr rouges (on dit ussi des photons "mous"). A l limite, le nombre de photons peut tendre vers l'infini lorsque l frquence tend vers zro tout en conserv nt une nergie tot le finie. M is vouloir tenir compte de tous lesphotons de frquence ussi petite n' p s de sens. Plus un photon une nergief ible et plus il est difficile observer. Des photons de trs petite frquence (des ondes r dios d ns les trs gr ndes longueurs d'onde) ch ppent l dtection des pp reils. On peut donc conserver une v leur minim le pour v1 s ns ch nger les rsult ts observs. Et vec cette v leur minim le, s ns l f ire tendrevers zro, les rsult ts deviennent fini. Il n'y plus de divergence infr rouge.

Les divergences ultr violettesUne divergence ultr violette est plus gr ve c r les photons de gr nde frquenceont ussi une gr nde nergie. Si leur nombre tend vers l'infini, l'nergie ussi! Cette fois il ne s' git plus d'une difficult expriment le m is bien d'un problme thorique, et gr ve de surcrot. C'est d' ut nt plus ennuyeux que les rsult ts une boucle donnent des rsult ts finis et corrects du point de vue expriment l (bien que moyennement prcis puisque l'on peu de di gr mmes). Pourquoi cel dr pe-t-il juste prs ? D'o vient cette nom lie ?

Alex ndre Depire



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D ns l thorie des ch mps, nous vons expliqu que l'on p rt des qu tions dcriv nt le ch mp. Ce sont des qu tions cl ssiques o les p rticules sont considres comme cl ssiques. Les p rticules entrent d ns les qu tions vi leurs c r ct

ristiques : m

sse, ch

rge lectrique, etc. Ces p

rticules sont

ppeles p

rticules "nues" c r elles peuvent tre isoles. Un t t cl ssique une seule p rticule reprsente une p rticule isole. Puis on p sse l qu ntific tion qui pourconsquence de f ire pp r tre les fluctu tions du vide. En p rticulier une p

rticule ne peut plus tre isole.

Autour de l p rticule il y un nu ge de p rticules virtuelles qui inter gissent vec l p rticule "relle". L'ensemble est ppel p rticule "h bille". En r

lit, seule l p rticule h bille un sens physique rel, c r on ne peut j m isenlever cet "h bill ge". Les seules p rticules que l'on peut observer, mesurer,sont les p rticules h billes. Lorsque l'on mesure l m sse ou l ch rge des p

rticules, on mesure en r lit l m sse ou l ch rge de l p rticule h bille. C

elle-ci est forcment diffrente de l'hypothtique p

rticule nue. Les p

r

mtresde l p rticule nue sont ppels p r mtres nus, p r exemple l m sse nue (on dit ussi m sse "b rre"). Ceux de l p rticule h bille sont ppels p r mtres rels ou ne portent p s de qu lific tif (m sse relle, m sse h bille ou tout simplement m sse tout court). Pour bien f ire l distinction nous emploierons le terme de p r mtres rels. Supposons que l'on p rte de m sse nue, ch rge nue, finis. On c lcule lors les m sses relles, ch rges relles, en utilis nt l thorie et en p rticulier les di gr mmes. On obtient lors des rsult ts infinis comme nous l' vons vu. M is d ns l r lit c'est l'inverse qui se p sse ! Les v leurs relles sont finies et c'est les p r mtres nus qui devr ient tre infinis.Pour eux ce n'est p s gn nt puisque les p rticules nues n'existent p s physiquement. Les p r mtres nus peuvent tre considrs comme un intermdi ire m thm tique pour dcrire l thorie. Voil donc l'origine de ces infinis. On considr

que les p

rticules nues t

ient les p

rticules relles et

v

ient des proprits finies lors qu'en r lit ces p rticules nues n'existent p s et devr ient (si j m is elles exist ient) voir des proprits infinies. Tout cel explique, intuitivement, que l' pp rition des divergences ne se produise qu' p rtir des di

gr mmes prsent nt une cert ine complexit puisque ceux-ci reprsentent des p rticules "un peu plus h billes".

Alex ndre Depire


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M inten nt que nous vons compris ce qui se p sse, il nous f ut trouver une mthode pour obtenir des rsult ts corrects. Pour rsoudre le problme nous llons procder en trois t pes. 1re t pe : l rgul ris tion L premire t pe s' ppe

lle l

rgul

ris

tion. Cel

n'

p

s de sens de tr

v

iller

vec des nombres infinis. Des intgr les qui divergent sont m thm tiquement s ns signific tion et onpeut obtenir des rsult ts berr nts. On v donc veiller d' bord ne m nipulerque des rsult ts finis. Il existe pour cel une norme v rit de mthodes. Aucune n'est universelle. Ch cune prsente des v nt ges et des inconvnients. Unepremire mthode consiste effectuer une "coupure". C'est dire que l'on coupeles frquences pour ne conserver que les plus petites. Techniquement, on peut f

ire comme expliqu u dbut, on g rde l v leur de v2 finie. Il existe des mthodes moins "brut les" comme mortir les v leurs de gr nde frquence.

Alex ndre Depire


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Une utre mthode consiste f ire v rier le nombre de dimensions de l'esp ce-temps. C'est l rgul ris tion dimensionnelle. Attention, il n'y p s d'interprt

tion physique cette opr tion. C'est une pure stuce m thm tique. D' illeurs

on utilise mme des v

leurs fr

ctionnelles pour le nombre de dimensions (4,5 dimensions p r exemple) ! On peut montrer que les rsult ts deviennent

Alex ndre Depire


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convergents, donc fini, pour des dimensions suffis mment leves (pour l'lectrodyn mique). D ns un monde cinq dimensions, les qu tions de l'lectrodyn miquequ ntique sont convergentes. Il existe bien d' utres mthodes (rgul ris tion d

e P

uli - Vill

rs p

r exemple). Quels sont les critres recherchs d

ns ces mthodes ? Le premier critre est bien entendu l simplicit des c lculs. Les deux mthodes ci-dessus sont, p r exemple, rel tivement simples. M is, selon le problme physique considr, l'une ou l' utre mthode peut s' vrer plus simple. Une c

r ctristique cruci le est l consist nce de l mthode. Il ne f ut p s que lersult t fin l dpende de l rgul ris tion qui n'est qu'une stuce intermdi ire pour m nipuler des qu ntits m thm tiquement signific tives. Si l mthode que j'utilise dpend d'un p r mtre, p r exemple v2 ci-dessus, il ne f ut p s quece p r mtre se retrouve d ns le rsult t fin l. Il est souvent prfr ble que l

rel tivit soit conserve. Cert ines mthodes (comme l coupure de frquence)brisent explicitement l'inv ri nce rel tiviste. Cel peut p rfois s' vrer gn nt. Enfin, il est vident que l mthode doit pouvoir s' ppliquer ! P r exemple,

l

rgul

ris

tion dimensionnelle n'est p

s utilis

ble en prsence de fermions (pour des r isons techniques que je ne dvelopper i p s ici). Donc en prsence d'lectrons cette mthode est inutilis ble. 2me t pe : l renorm lis tion M inten

nt que nous vons des rsult ts finis, convergents, nous pouvons p sser u mc

nisme ppel renorm lis tion. Ce mc nisme consiste rexprimer les rsult ts non plus en fonction des p r mtres nus (qui sont en r lit infinis) m is en fonction des p r mtres rels finis. Il existe plusieurs mthodes. L'une d'entre elle, l plus simple m is l moins rigoureuse, consiste isoler les termes divergents d ns les c lculs et les enlever. Cette mthode est peu rigoureuse c r ily plusieurs m nires d'isoler les p rties divergentes ! Une mthode plus rigoureuse consiste modifier les m sses et les ch rges en leur jout nt des "contretermes". On dit donc que l m sse nue, p r exemple, est g le l m sse relleplus un contre terme (potentiellement divergent puisque l m sse nue est infini

e).

m0 = m + mLe suffixe 0 est mis pour in

iquer qu'il s'agit

e la masse nue. On calcule la masse ou la charge, par exemple avec

es

iagrammes (c'est un tantinet plus compliqu que cela, mais c'est le principe) et on pose l'galit

u rsultat avec lamasse relle ou la charge relle. Cela mo

ifie les formules qui

eviennent alorsconvergentes. La proc

ure consiste

onc rexprimer les formules en fonction

es paramtres rels finis. Techniquement, les parties

ivergentes

e la formulesont compenses par les parties

ivergentes provoques par le contre terme : Formule originale (

ivergente) = Formule convergente +

es

ivergences ultraviolettes Aprs intro

uction

es contre termes, on obtient : Formule originale (avec

es contre termes) = Formule originale (sans contre termes) +

es termes

pen

ant

es contre termes.

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Thorie

es Supercor

esLe rsultat final est alors Formule finale = Formule originale (avec

es contretermes) = Formule convergente +

es

ivergences ultraviolettes +

es termes

pen

ant

es contre termes.

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Et les

eux

ernires parties se compensent (aprs i

entification

es paramtrescalculs et

es paramtres rels) ren

ant la formule convergente.

Ce genre

e manipulation avec

es valeurs potentiellement infinie (masse nue, contre terme) peut faire peur. Mais n'oublions pas qu'avec la rgularisation tousces termes sont en ralit finis et ont une signification mathmatique prcise.3me tape : fin

e la rgularisation La

ernire tape est simple, elle consiste enlever la rgularisation. Comme les formules sont

evenues convergentes, les rsultats finaux sont finis. Par exemple, on fait ten

re v2 vers l'infini

ansla mtho

e

e coupure, mais le rsultat lui-mme reste fini. Toute cette proc

ure peut sembler artificielle et pourtant cela marche trs bien, et les rsultats sont corrects (exprimentalement) ! Cela cache forcment quelque chose

e plus

profon

, nous verrons

'ailleurs plus tar

(interactions fortes) que la renormalisation con

uit un mcanisme physique extrmement fcon

(le groupe

e renormalisation).

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Thorie

es Supercor

es

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Thorie

es perturbationsLa mtho

e prc

ente peut tre applique avec la thorie

es perturbations. Ontravaille or

re par or

re. C'est

ire que l'on travaille comme suit :

on calcule tous les

iagrammes l'or

re

e

eux boucles. On effectue la proc

ure

e renormalisation. Les paramtres (masses, charges, ) sont mo

ifis par

escontre termes. Les rsultats sont finis. On calcule tous les

iagrammes l'or

re

e trois boucles. Les

iagrammes sont, nouveau, infini mais on peut appliquer la mme proc

ure. Les paramtres sont nouveau mo

ifi (sans que les

iagrammes prc

ents ne

eviennent

ivergents). Les contre termes sont simplement plus "prcis". Les rsultats sont nouveaux finis (et plus prcis)

La mtho

e consiste formellement calculer la valeur

es contre termes par la thorie

es perturbations : m = 0 + m1 + m2 + ... L'ensemble

e cette thorie a bien sr un norme arsenal mathmatique a sa

isposition. En particulier ilexiste

es thormes prouvant la convergence

e toutes les formules aprs renor

malisation

es paramtres. Il existe

es thormes prouvant l'in

pen

ance

es rsultats selon les mtho

es utilises (en particulier un paramtre comme v2). Les thoriciens ont mis au point

es mtho

es sophistiques applicables en thorie

es perturbations. Constructions

ites "explicites", rcursives, mtho

e paramtrique, etc. Les thories renormalisables et non renormalisables Il est trs important pour la suite

e parler

es thories renormalisables et non renormalisables. Qu'est-ce que c'est ? Nous nous sommes surtout concentrs sur l'lectro

ynamique. Avec cette thorie la renormalisation fonctionne trs bien. Mais ce n'estpas toujours le cas. On peut construire toutes sortes

e thories (qui n'ont pastoujours

'applications physiques mais qui sont utiles pour amliorer les outils mathmatiques) et certaines ne peuvent pas tre renormalises. Comment est-cepossible ? Nous avons vu que pour l'lectro

ynamique il suffisait

e renormaliser la masse et la charge

e l'lectron. Pour certaines thories c'est insuffisant

. En pratique, on travaille comme suit. On trace les

iagrammes un certain or

re (par exemple tous les

iagrammes

eux boucles). On regar

e les

iagrammes poss

ant

es

ivergences ultraviolettes. Pour chacun

'eux on intro

uit un paramtre renormaliser. Dans l'lectro

ynamique il faut intro

uire

eux paramtres(la masse et la charge), il y a

'autres

iagrammes

ivergents mais

es mcanismes

e compensation en liminent automatiquement (c'est un mcanisme mathmatiqueayant en ralit une origine physique, li aux symtries, et appel i

entits

e War

) mais cela importe peu. Puis on trace les

iagrammes l'or

re suivant. Anouveau, on a

es

iagrammes

ivergents. On regar

e si les paramtres initiauxsuffisent sinon on

oit rajouter ne nouveaux paramtres. Et on continue ainsi

esuite. Si le nombre total

e paramtres intro

uire (

eux en lectro

ynamique)pour ren

re tous les

iagrammes convergents ( tout or

re possible) est fini, alors la thorie est

ite renormalisable. Si le nombre

e paramtres est infini alors la thorie est

ite non renormalisable. C'est

ire que chaque fois que l'on rajoute

es

iagrammes ont

oit ajouter

e nouveaux paramtres renormaliser.

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Thorie

es Supercor

es

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Ces paramtres ne sont pas pr

its par la thorie. On

oit les mesurer puisque

ans la proc

ure

e renormalisation on les compare avec les paramtres mesurs.On i

entifie par exemple, comme on l'a vu, la masse calcule et la masse relle

(mesure). On les appelle

es paramtres libres. Cela veut

ire que

ans une thorie non renormalisable il y a une infinit

e paramtres arbitraires ou qui

oivent tre

uits

e l'exprience. La thorie per

toute signification car il est toujours possible

e trouver

es valeurs pour cette infinit

e paramtres

etelle manire que les rsultats collent aux rsultats exprimentaux. Il n'est bien enten

u pas ncessaire

e suivre toute cette proc

ure pour savoir si la thorie est renormalisable ou pas. Il existe

es formules simples qui permettent

ele savoir imm

iatement (en gnral !), partir

e l'expression

es quations

es champs.

3.4. Les symtriesEn physique, les symtries jouent un rle trs important. Une opration

e symt

rie est une opration qui change certains paramtres

u systme (nous allons envoir tout

e suite quelques exemples). Le systme est

it invariant sous cette symtrie si les rsultats sont inchangs ou plus exactement si on obtient les mmes rsultats ayant subit l'opration

e symtrie. Systme -> rsultats R Systmeaprs symtrie -> rsultats R' R aprs symtrie = R' (invariance) Tout cela estun peu formel, ce sera plus facile compren

re sur

es exemples.

Symtries

iscrtesIl existe trois symtries

iscrtes que nous allons pren

re la peine

e prsenter car cela en vaut la peine.

ParitLa parit est analogue la rflexion

ans un miroir. On renverse le sens

e tou

tes les

irections.

Le systme sera invariant sous la parit si les lois physiques sont i

entiques

ans le miroir. Par exemple, l'lectro

ynamique est invariante sous la parit.

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Thorie

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Prenons un systme

onn avec un lectron. Les quations vont prvoir une trajectoire pour cet lectron. Prenons le mme systme vu

ans un miroir. On peut luiappliquer les mmes quations. La trajectoire prvue est alors bien l'image

e l

a premire, le systme est invariant sous la parit. Il peut sembler vi

ent qu'il

oive en tre ainsi. Mais c'est faux ! Il existe

es phnomnes physiques quine sont pas invariant par parit. Par exemple, il existe une particule appeleneutrino qui a la curieuse proprit

e tourner toujours

ans le mme sens. Si on la regar

e par l'arrire, on la voit tourner

ans le sens inverse

es aiguilles

'une montre (ont

it que son hlicit est gauche).

Alexan

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Comme pour toute opration, en mcanique quantique on peut la caractriser par un oprateur mathmatique agissant sur les tats physiques. Pour l'oprateur on le nomme P et il agit sur un tat en le transformant en le mme tat invers par

parit.

Conjugaison

e chargeLa conjugaison

e charge consiste inverser toutes les charges

es particules.Pour l'lectro

ynamique cela revient remplacer les charges ngatives par

es positives.

A nouveau, l'lectro

ynamique est invariante sous cette opration. La thorie prvoit le mme comportement pour les lectrons ngatifs que pour

es lectrons positifs. En fait, les lectrons positifs sont les positrons, l'anti-particule

el'lectron. Nous en reparlerons un peu plus loin. L'oprateur pour la conjugaison

e charge s'appelle positrons.

C et il change, par exemple, les lectrons en

Le neutrino poss

e une anti-particule appele, bien vi

emment, anti-neutrino.Mais les lois

e l'interaction faible ne respectent pas non plus cette symtrie! Par contre, elles sont invariantes sous la combinaison

es

eux, c'est

iresous l'oprateur . Si on effectue une opration

e conjugaison

e charge suivie

'une parit, le systme est invariant aussi pour les neutrinos et l'interactionfaible. On a longtemps cru que cette

ouble opration tat toujours invariante.C'est

ire qu'elle tait une symtrie conserve pour toutes les lois

e l'univers. Mais on a

couvert

es particules, les msons K, qui violent cette symtrie galement plus tar

. . C'est une proprit

e l'interaction forte

ont nous parlerons

Renversement

u tempsLa

ernire symtrie consiste renverser le temps.

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Thorie

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Au

but on a un systme

ans l'tat Prenons maintenant l'tat l'on retombe biensur l'tat

, il volue u cours du temps et se tr nsforme en l't t

.

. Renversons le sens du temps. Appliquons les qu tions et voyons si . Si oui, le systme est inv ri nt p r renversement du temps.

L'lectrodyn mique est inv ri nte p r renversement du temps et l'opr teur est nomm T .

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Thorme PCTLes thoriciens ont russi dmontrer m thm tiquement (ce qui est une trs

elle russite) que d ns un monde qu ntique rel tiviste, l com

in ison des trois s

ymtries t

it toujours respecte. C'est dire que le monde est inv

ri

nt sousl com

in ison des trois opr teurs PCT . Cel implique que si une des trois symtries est non respecte, lors forcment l com

in ison des deux utres doit g lement tre viole pour pouvoir rt

lir l'inv ri nce de l com

in ison des trois symtries. On vu que l'inter ction forte viol it l symtrie . Cel signifie qu'elle doit o

lig toirement violer l symtrie T . Le comportement des msonsK n'est p s inv ri nt p r renversement du temps ! F ut-il voir l l'origine del flche du temps ? C'est dire du f it que le temps sem

le s'couler d ns unsens privilgi ? Non, pro

lement p s. Du moins p s directement. Cette symtrie d ns le sens du temps est un effet st tistique (dcrit p r l thermodyn miquequi dit que le sens du temps se f it toujours de l'ordre vers le dsordre) lors que cette viol tion de l symtrie T p r les inter ctions fortes est mineure.

Toutefois, si l'on recherche l'origine de cette

symtrie d

ns l'univers, on finit p r rflchir l'univers tout entier et s cr tion ! On en vient se dem nder pourquoi l'origine l'univers t it trs ordonn et l fin de l'univers(il ser ) trs dsordonn. L'origine de cette symtrie d ns l n ture glo

lede

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