€

rAB = rA − rB

€

rv A =

dr r A

dt;

€

rv B =

dr r B

dt

€

rv AB =

dr r AB

dt=

r v A −

r v B

€

rv BA = vB − vA = −

r v AB

€

z

€

rr AB

€

rr A

€

rr B

€

x

€

y€

A

€

B

§3 Bewegte Bezugssysteme

Relativkoordinate:

Relativgeschwindigkeit:

§3.1 Relativbewegung

E1 WS14/15

€

′ y €

z

€

€

ru ⋅ t

€

x

€

y

€

z′

€

€

′ x

€

A

€

rv =

dr r

dt

€

r′ v =d

r ′ r

dt

€

′ rv =r v −

r u

€

′ ra =d ′

r v

dt=

dr v

dt=

r a

€

r = x, y,z{ }

€

′ r = ′ x , ′ y , ′ z { }

€

′ rr =r r −

r u ⋅ t

€

′ x (t) = x(t) − ux ⋅ t

′ y (t) = y(t) − uy ⋅ t

′ z (t) = z(t) − uz ⋅ t

′ t = t

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

€

rr = ′

r r +

r u t

r v = ′

r v +

r u ⇒

r a = ′

r a und

r F = ′

r F

t = ′ t

§3.2 Inertialsysteme

O

O‘

O‘ bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit u bezüglich O

u << c

u=const

Zwischen den in den beiden Inertial-systemen O und O‘ gemessenen Grössen für die Bewegung des Massenpunktes A gelten die Galilei-Transformationen

Beide Beobachter kommen in Inertialsystemenzu den gleichen physikalischen Gesetzenz.B. freier Fall

€

z = h −1

2gt 2

€

′ z = h −1

2gt 2

€

x = u ⋅t

€

′ x = 0z‘

h

x‘

€

u

AA

zh

x

Inertialsysteme sind für die Beschreibung physikalischer Gesetze äquivalent

E1 WS14/15

€

z

€

z′

€

rr

€

x

€

r′ r

€

′ x €

′ S

€

y

€

S

€

A

€

′ y

€

x = ′ x + u0t + 12 at 2

y = ′ y

z = ′ z

t = ′ t

€

x ′ 0 t( )( ) = u0t + 12 at 2

€

a = dudt

§ 3.3 Beschleunigte Bezugssysteme

Bsp.: Geradlinig beschleunigte Bezugssysteme

Bsp.: Fahrstuhlexperimente

O‘ kein Inertialsystem!Auftreten von Scheinkräften!!

E1 WS14/15

Scheinkräfte im beschleunigtenFahrstuhl

E1 WS14/15

€

rr =

r ′ r

€

y€

A

€

ˆ e x€

ˆ e z

€

ˆ e y

€

z

€

x

€

x − y − Ebene

€

rr t()=xt()⋅ˆ e x+yt()⋅ˆ e y+zt()⋅ˆ e z

€

rv t()=

dx

dt⋅ˆ e x+

dy

dt⋅ˆ e y+

dz

dt⋅ˆ e z

€

r′ r t()=rt()=′ x t()⋅ˆ ′ e x+′ y t()⋅ˆ ′ e y+′ z t()⋅ˆ ′ e z

€

r′ v t()=

d′ r r

dt=

d′ x

dt⋅ˆ ′ e x+

d′ y

dt⋅ˆ ′ e y+

d′ z

dt⋅ˆ ′ e z

Bsp.: Rotierende Bezugssysteme

O=O‘

€

rv ′ x , ′ y , ′ z ( ) =

d ′ x

dt⋅ ˆ ′ e x +

d ′ y

dt⋅ ˆ ′ e y +

d ′ z

dt⋅ ˆ ′ e z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ ′ x

d ˆ ′ e xdt

+ ′ y d ˆ ′ e ydt

+ ′ z dˆ ′ e zdt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

r ′ v +

r u

Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A:

Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren des Rotienrenden Systems.

€

ˆ ′ e x€

ˆ ′ e z

€

ˆ ′ e y

€

′ z

€

′ y

€

′ x €

ω

€

′ x − ′ y − Ebene

E1 WS14/15

€

d ˆ ′ e xdt

=r ω × ˆ ′ e x

€

d ˆ ′ e ydt

=r ω × ˆ ′ e y

€

d ˆ ′ e zdt

=r ω × ˆ ′ e z

Die Endpunkte der Einheitsvektoren im rotierenden System beschreiben Kreisbahnen:

€

=> r

u =r ω × ˆ ′ e x( ) ′ x +

r ω × ˆ ′ e y( ) ′ y +

r ω × ˆ ′ e z( ) ′ z

€

= rω × ˆ ′ e x ′ x + ˆ ′ e y ′ y + ˆ ′ e z ′ z ( )

€

= rω × r′ r

€

= rω × r

r

€

weilr r ≡

r ′ r

€

rv =

r ′ v +

r ω ×

r r ( )

Geschwindigkeit im rotierenden System

Geschwindigkeit im ruhenden System

E1 WS14/15

€

ra =

dr v

dt=

dr ′ v

dt+

r ω ×

dr r

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

dr ′ v

dt= ˆ ′ e x

dr ′ v x

dt+ ˆ ′ e y

dr ′ v y

dt+ ˆ ′ e z

dr ′ v z

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+

d ˆ ′ e xdt

r ′ v x +

d ˆ ′ e ydt

r ′ v y +

d ˆ ′ e zdt

r ′ v z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

= r′ a +

r ω ×

r ′ v ( )

Für w = const:

€

ra =

dr v

dt=

r ′ a +

r ω ×

r ′ v ( ) +

r ω ×

r v ( )

€

ra =

r ′ a + 2

r ω ×

r ′ v ( ) + ω ×

r ω ×

r r ( )

€

r′ a =r a + 2

r ′ v ×

r ω ( ) +ω ×

r r ×

r ω ( )

€

r′ a =r a +

r a c +

r a zf

Der Beobachter in O‘ muss zur Beschrei-bung der Bewegung von A zusätzliche Beschleunigungsterme einführen!

CoriolisbeschleunigungZentrifugalbeschleunigung

E1 WS14/15

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

€

Fc = 2mr ′ v ×

r ω ( )

€

Fzf = m ⋅r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

E1 WS14/15

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

€

Fc = 2mr ′ v ×

r ω ( )

€

Fzf = m ⋅r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y

€

rr

€

z′ = z

€

rω

€

′ x

€

A

€

rv

€

vC

€

v⊥

€

ra zf

€

ra c

€

a ′ y c

€

a ′ x c

E1 WS14/15

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

€

Fc = 2mr ′ v ×

r ω ( )

€

Fzf = m ⋅r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y €

z′ = z

€

′ x

€

rω

€

r′ v

€

rr

€

A

€

⋅

€

⋅

€

⋅

€

⋅

€

rr ×

r ω ( )

E1 WS14/15

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

€

Fc = 2mr ′ v ×

r ω ( )

€

Fzf = m ⋅r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y €

z′ = z

€

′ x

€

rr

€

A

€

ra zf

€

rω

€

r′ v ×

r ω ()

€

⋅

€

⋅

€

r′ v Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w

E1 WS14/15

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

€

Fc = 2mr ′ v ×

r ω ( )

€

Fzf = m ⋅r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y €

z′ = z

€

′ x

€

rr

€

A

€

ra zf

Corioliskraft steht ebenfalls senkrecht auf , w tritt aber nur auf, wenn v‘ eine Komponente senkrecht zu w hat.

€

rω

€

r′ v

€

ra c

Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w

E1 WS14/15

E1 WS14/15

€

tanα=FZ

FG

=dh

dr=

mrω

mg

2

=ω

g

2

r

Exp.: Rotierender Eimer

Im Gleichgewicht wirken keine tangentialen Kräfte mehr auf die Wasseroberfläche

€

=>h(r)=1

2

ω

g

2

r2

+h0r

FG

Fz

€

ω h

E1 WS14/15

Corioliskraft bestimmt den Drehsinn der Tiefdruckgebiete und Stürme

Hurricane Floyd

Typhoon Yasi