3.3. Eigenschaften von Funktionen

J. Mischke, 2013

Beispielfunktion

Stelle den Graph dieser Funktion in einem geeigneten Fenster auf dem GTR dar.

12

)(2

x

xxf

BeispielfunktionBetrachtungsfenster:

Xmin = -5 Ymin = -10Xmax = 8 Ymax = 12

12

)(2

x

xxf

Beispielfunktion

Skizziere den Graphen der Funktion in deinem Hefter.Beschriftete Achsen sind nicht notwendig.

12

)(2

x

xxf

Maximaler Definitionsbereich

Der (maximale) Definitionsbereich ist die Menge aller Argumente, für die mit dieser Funktionsgleichung Funktionswerte berechnet werden können.

12

)(2

x

xxf

hier: 122

2)2(

2

f ..10

4dn

also ist }2{\QD

auch: }2|{ xQxD

Maximaler DefinitionsbereichÜBUNG

Gib den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen an. Prüfe mit dem GTR.

1)(

x

xxg

1)(

2 x

xxh

1)(

2 x

xxk

1

1)(

2

x

xxl

1

1)(

2

x

xxm

1)( xxn

Nullstellen

Nullstellen sind die Argumente , für die gilt.

Dx 0

0)( 0 xf

210 x

120 x

GTR – Befehl: ROOT1

2)(

2

x

xxf

NullstellenÜBUNG

Bestimme alle Nullstellen der Funktion

mit dem GTR.

Finde alle Nullstellen der Funktionen

von Hand.

5400186685918719)( 2345 xxxxxxg

142)( xxh 23)( xxk 9)( 2 xxl

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

! Nicht verwechseln !

Nullstelle: nur dasArgument ist gefragt

Schnittpunkt:Punkt ist gefragt

12

)(2

x

xxf

Schnittpunkte mit den KoordinatenachsenÜBUNG

Bestimme alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion

mit den Koordinatenachsen mit Hilfe des GTR.

Finde die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen

mit den Koordinatenachsen ohne den GTR.

1

4)(

2

x

xxg

24)( xxh 36)( xxk 16)( 4 xxl

Monotonieverhalten

monoton steigend

monoton steigend

monoton fallend

monoton fallend

12

)(2

x

xxf

Monotonieverhalten

Der Graph von istf

monoton steigend in den Bereichen, wo der Funktionswert mit größer werdendem Argument ebenfalls größer wird.

hier:monoton steigend für und .0x 4x

monoton fallend in den Bereichen, wo der Funktionswert mit größer werdendem Argument kleiner wird.

hier:monoton fallend für und .20 x 42 x

MonotonieverhaltenÜBUNG

Beschreibe das Monotonieverhalten der Funktionen

1

4)(

2

x

xxm

2

4)(

2

x

xxn

22)( xxg

22)( xxh

2

22)(

x

xxk

12)( 2 xxxl

ExtrempunkteExtrempunkte sind die Punkte auf dem Graphen von , an denen sich das Monotonieverhalten ändert.

f

12

)(2

x

xxf

Extrempunkte

monoton steigend zu monoton fallend:Hochpunkt

monoton fallend zu monoton steigend:Tiefpunkt

)1|0(H

)9|4(T

Extremstelle

Extremstelle

Maximum

Minimum

GTR – Befehl:MAX bzw. MIN

ExtrempunkteÜBUNG

• Gib alle Tiefpunkte folgender Funktion an:

• Gib alle Extrempunkte folgender Funktion an:

• Gib alle Minima folgender Funktion an:

• Gib alle Extremstellen folgender Funktion an:

112560592)( 234 xxxxxg

x

xxh

4)(

2

xxxk

2)( 2

xxxxl 305,4)( 23

WertebereichDer Wertebereich einer Funktion ist die Menge der Funktionswerte, die angenommen werden.

}9oder 1|{ yyQyW

12

)(2

x

xxf

WertebereichÜBUNG

Gib den jeweiligen Wertebereich folgender Funktionen an:

1)( xxg

1

1)(

2

x

xxn

2)( xxh

2)( 24 xxxk

4

1)(

2 x

xm

2)(

2

4

x

xxl

ZUSAMMENFASSUNG

• (Maximaler) Definitionsbereich• Nullstellen• Schnittpunkte mit den

Koordinatenachsen• Monotonie• Extrempunkte• Wertebereich

Graph aus Eigenschaften zeichnen

Zeichne den Graph einer Funktion mit folgenden Eigenschaften:

Gib den Wertebereich deiner Funktion an.

• • • • Keine weiteren Extrempunkte oder Nullstellen• monoton fallend für x>0 und für -2<x<0

}0{\QD )1|2( H

10 x

Operatoren – GTR oder nicht?

Operator Was ist gefordert / erlaubtGib … an.Nenne ...

Nur die Lösung notieren. Woher sie kommt, ist egal!

Ermittle …Bestimme …

Lösungsweg und Lösung vollständig notieren. GTR -> Graph -> ROOT:

Berechne … Lösungsweg und Lösung vollständig notieren; das Graphikmenü des GTR ist KEIN zugelassener Lösungsweg.

Aufgabe: [Operator] die Nullstelle der Funktion 42)( xxf

20 x

20 x

0

0

0

2

2|:24

4|420

x

x

x

Achte auf die OperatorenGegeben sei die Funktion

1. Gib den Definitionsbereich von an.2. Berechne den Schnittpunkt des Graphen von

mit der Ordinate.3. Bestimme alle Nullstellen des Graphen von .4. Ermittle alle Extrempunkte des Graphen von .5. Bestimme den Wertebereich von .

3

55)(

2

x

xxg

g

g

g

g

g

Wähle selbst geeignete AufgabenGib jeweils Definitionsbereich, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Extrempunkte und Wertebereich an. Beschreibe auch das Monotonieverhalten.

42)( xxf

32)( 2 xxxg

12)( 24 xxxh

1)(

2

x

xxl

22 1

)(x

xxm

3)(

2

3

x

xxn