1  

A ! B |ψ > = A(B |ψ > )

Nicht  kommuta-v:     A ! B ≠ B ! A

Beispiel:     x ! Px |ψ > = x (Px |ψ >)Px ! x |ψ > = Px (x |ψ >)

Klassisch:     x Px − Px x = 0QT:     x ! Px − Px ! x ≠ 0

x !iddx−!i− x !iddx

!

"#

$

%&ψ(x) = i!ψ(x)

⇒

     

x Px − Px x = i!

Verknüpfung  von  Operatoren:    

x !iddx−!iddxx

"

#$

%

&'ψ(x) =Beweis:  

3.3  Operatoralgebra  und  Kommutatoren  

2  

Kommutatoralgebra    

A! B ⎯→ [A,B] = AB − BA

[x, px ] = i!

EigenschaBen  der  Kommutatoralgebra    

[ ] [ ]A B B A, = − ,

[ ] 0A A, =

[A, β B + γ C] = β [A, B]+ γ [A, C]

[ [ ]] [ [ ]] [ [ ]] 0A B C B C A C A B, , + , , + , , = (Jacobi-­‐Iden-tät)    

Für  Kommutatoren  mit  Strukturkonstante     i! :A B, sind    komplementäre  Variable    

3  

Bemerkung:    Die  Kommutator-­‐Algebra  komplementärer  Variabler  korrespondiert  zu  Poisson-­‐Klammer  für  kanonisch  konjugierte  Variable     { }

{ }1x

i j ij

x p

q p δ

, =

, =

Unschärfeprinzip  für  komplementäre  Variable    

A A AB B B

Δ = − < >

Δ = − < >

Streuung:      

2( )A< Δ >

( )1 22( )A Aσ/

= < Δ >

Vereinfachung:     0A B< >=< >=(durch  Wahl  eines  ge-­‐eigneten  Nullpunkts)  

Kanonisch  konjugierte  Variable  sind  (i.a.)  komplementär  

Fluktua-onsoperator:    

Standardabweichung:    

4  

Für  beliebiges     :ψ| >

2 2

2 2

( )( )A A A AB B B B

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

< Δ > = < | | > = < | >

< Δ > = < | | > = < | >

Cauchy-­‐Schwarz’sche  Ungleichung    2

2

A A B B A BAB

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

< | >< | > ≥ |< | >|

=|< | | >|

Operatoriden-tät:     [ ]1 1[ ]2 2

AB A B A B+

= , + ,

AB BA= +

[ ] AntikommutatorA B+

, =

[ ] KommutatorA B, =

5  

Falls                        hermitesch  A B, ⇒

anti hermitesch− (Erwartungswert  imaginär)    †

A,B!" #$ = − A,B!" #$

[ ]A B,

(Erwartungswert  reell)    

[ ]2 21 [ ]4

AB A B A Bψ ψ ψ ψ+

|< | | >| = |< | , + , | >|

⇒ 2 2 21( ) ( ) [ ]4

A B A Bψ ψ< Δ >< Δ > ≥ | < | , | >|

[ ]2 21 [ ]4

A B A Bψ ψ ψ ψ+

⎡ ⎤= |< | , | >| + |< | , | >|⎣ ⎦

σ A σ B ≥ !

2

= !

2

4

⇒

A,B!" #$+hermitesch

(Falls  A  und  B  komplementär)  

Heisenberg`sche  Unschärferela-on  

6  

Menge  kompaAbler  Observablen    

{ }1,......, NA A

falls   , 0i jA A⎡ ⎤=⎣ ⎦ für  alle  i,  j  

A  und  B  sind  kompa-bel  wenn  sie  ein  gemeinsames  VONS  besitzen  

⇒

, ,,

i j i i ji j

A aφ φ= | > < |∑

, ,i j i i jA aφ φ| > = | >

, ,i j j i jB bφ φ| > = | >

Spektraldarstellung  

, ,,

i j j i ji j

B bφ φ= | > < |∑

, ,,

i j i j i ji j

AB a b B Aφ φ= | > < | =∑

7  

i j

a bj

jφ β φ| > = | >∑

( ) 0i

aiA a φ− | >=

( ) 0i

aiB A a φ− | >=

( )i

aiA a B φ= − | >

( ) 0j

bi j j

jA a bβ φ= − | >=∑

( ) 0j

bj j i

jb A aβ φ= − | >=∑

Lineare  Unabhängigkeit:    

j

bφ⇒ | > ist  Eigenvektor  von      A

     Entwicklung  nach  Eigenzuständen  von  B  

8  

Bes-mmung  eines  (des)  VONS  für  den  maximalen  Satz    kompa-bler  Observablen  einschließlich     :H

1[ ]i i …NH A = ,,

mit [ ] 0iH A, =

[ ] 0i jA A, =

Was  bedeutet  die  Lösung  der  Schrödingergleichung?  

Maximaler  Umfang  der  Informa-on  konsistent  mit  der  Unschärferela-on