1
A ! B |ψ > = A(B |ψ > )
Nicht kommuta-v: A ! B ≠ B ! A
Beispiel: x ! Px |ψ > = x (Px |ψ >)Px ! x |ψ > = Px (x |ψ >)
Klassisch: x Px − Px x = 0QT: x ! Px − Px ! x ≠ 0
x !iddx−!i− x !iddx
!
"#
$
%&ψ(x) = i!ψ(x)
⇒
x Px − Px x = i!
Verknüpfung von Operatoren:
x !iddx−!iddxx
"
#$
%
&'ψ(x) =Beweis:
3.3 Operatoralgebra und Kommutatoren
2
Kommutatoralgebra
A! B ⎯→ [A,B] = AB − BA
[x, px ] = i!
EigenschaBen der Kommutatoralgebra
[ ] [ ]A B B A, = − ,
[ ] 0A A, =
[A, β B + γ C] = β [A, B]+ γ [A, C]
[ [ ]] [ [ ]] [ [ ]] 0A B C B C A C A B, , + , , + , , = (Jacobi-‐Iden-tät)
Für Kommutatoren mit Strukturkonstante i! :A B, sind komplementäre Variable
3
Bemerkung: Die Kommutator-‐Algebra komplementärer Variabler korrespondiert zu Poisson-‐Klammer für kanonisch konjugierte Variable { }
{ }1x
i j ij
x p
q p δ
, =
, =
Unschärfeprinzip für komplementäre Variable
A A AB B B
Δ = − < >
Δ = − < >
Streuung:
2( )A< Δ >
( )1 22( )A Aσ/
= < Δ >
Vereinfachung: 0A B< >=< >=(durch Wahl eines ge-‐eigneten Nullpunkts)
Kanonisch konjugierte Variable sind (i.a.) komplementär
Fluktua-onsoperator:
Standardabweichung:
4
Für beliebiges :ψ| >
2 2
2 2
( )( )A A A AB B B B
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
< Δ > = < | | > = < | >
< Δ > = < | | > = < | >
Cauchy-‐Schwarz’sche Ungleichung 2
2
A A B B A BAB
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ
< | >< | > ≥ |< | >|
=|< | | >|
Operatoriden-tät: [ ]1 1[ ]2 2
AB A B A B+
= , + ,
AB BA= +
[ ] AntikommutatorA B+
, =
[ ] KommutatorA B, =
5
Falls hermitesch A B, ⇒
anti hermitesch− (Erwartungswert imaginär) †
A,B!" #$ = − A,B!" #$
[ ]A B,
(Erwartungswert reell)
[ ]2 21 [ ]4
AB A B A Bψ ψ ψ ψ+
|< | | >| = |< | , + , | >|
⇒ 2 2 21( ) ( ) [ ]4
A B A Bψ ψ< Δ >< Δ > ≥ | < | , | >|
[ ]2 21 [ ]4
A B A Bψ ψ ψ ψ+
⎡ ⎤= |< | , | >| + |< | , | >|⎣ ⎦
σ A σ B ≥ !
2
= !
2
4
⇒
A,B!" #$+hermitesch
(Falls A und B komplementär)
Heisenberg`sche Unschärferela-on
6
Menge kompaAbler Observablen
{ }1,......, NA A
falls , 0i jA A⎡ ⎤=⎣ ⎦ für alle i, j
A und B sind kompa-bel wenn sie ein gemeinsames VONS besitzen
⇒
, ,,
i j i i ji j
A aφ φ= | > < |∑
, ,i j i i jA aφ φ| > = | >
, ,i j j i jB bφ φ| > = | >
Spektraldarstellung
, ,,
i j j i ji j
B bφ φ= | > < |∑
, ,,
i j i j i ji j
AB a b B Aφ φ= | > < | =∑
7
i j
a bj
jφ β φ| > = | >∑
( ) 0i
aiA a φ− | >=
( ) 0i
aiB A a φ− | >=
( )i
aiA a B φ= − | >
( ) 0j
bi j j
jA a bβ φ= − | >=∑
( ) 0j
bj j i
jb A aβ φ= − | >=∑
Lineare Unabhängigkeit:
j
bφ⇒ | > ist Eigenvektor von A
Entwicklung nach Eigenzuständen von B
8
Bes-mmung eines (des) VONS für den maximalen Satz kompa-bler Observablen einschließlich :H
1[ ]i i …NH A = ,,
mit [ ] 0iH A, =
[ ] 0i jA A, =
Was bedeutet die Lösung der Schrödingergleichung?
Maximaler Umfang der Informa-on konsistent mit der Unschärferela-on