UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

3.5 Elasto-Plastizität für Balken und Stabtragwerke

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Voraussetzungen

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3.5.1 Grenzmomente

Spannung

Dehnung

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Grenzmomente

Elastischer BereichFσW

M

An der Fließgrenze:elMM

WMσ el

F WσM Fel

Elastisch-plastischer Bereich:plel MMM

Fσ F Vollplastischer Zustand:plMM

Fσ im Gesamtquerschnitt, neutrale Faser verschiebt sich.

und

Elastisches Grenzmoment

:elMM

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Grenzmomente

0N2/AAA uo

plFuoFpl WσzzAσM )(2

0 FuFo AA

Plastisches Grenzmoment

dsmoment Widerstansplastische :)(2

Nulllinieder von Teilfläche unterender tesSchwerpunk des Abstand

Nulllinieder von Teilfläche oberender tesSchwerpunk des Abstand

uopl

u

o

zzA W

z

z

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Grenzmomente

WW

MM pl

el

plpl

Formfaktor (plastische Reserve):

Bsp.: Rechteckquerschnitt

6

4)(

22

2

bhW

bhzzAW uopl

5.123pl

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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung

F

F

F

F

Fz

Fz

2/h

2/h

b

Rechteckquerschnitt: Teilplastischer Bereich

Dehnung Spannung

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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung

1.) Elastischer Bereich

κEIM

Bestimmung von

elel κEIM elel κκ

MM

Lineare Beziehung

:plκ

zκε z

κ

Daraus folgt:

pl

el

pl

el

pl

el

κκ

κEIκEI

MM

elel κEIM (elastischer Grenzfall)

2/hzκ F

F

Fel

elplelel

plpl κκ

MM

κ

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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung

2.) Teilplastischer Bereich

2

2

2

22 2232

23

6

32

21

22/)2/(2

hzM

hzbh

zbzzzhzhbM

Fel

FF

FFFFF

FF

2/hκE elF (elastischer Grenzfall)

Fel zh

κκ

2

FF zκE (teilplastisch)

κκ

hz elF

21

FF

F

Fz

Fz

F

2/h

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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung

Daraus folgt:

2)(3

1123

elel κ/κMM

1

1

elMM

elκκ

5.1

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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone

Einfeldträger unter Einzellast

0,21

0,21

4)(

xlx

xlx

FlxM

Dimensionslose Koordinaten:

Momentenlinie:

hz

lx F 2 ;

Elastischer Grenzzustand: 6

2bhσWσM FFel

x

F2/l 2/l

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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone

Traglastzustand:

Tel FFF

0 bei 4

lFM elel

lbhF Fel

2

32

4

4

2

lFM

bhσWσM

plpl

FplFpl

elFT Fl

bhF 5.12

Teilplastischer Zustand:

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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone

Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich zF:

2

232

hMMhz

elF

Bei Traglast:

)21(23232 elel F

FMM

elT FF 5.1

Ausdehnung der plastischen Zone:

62

Parabelförmige Grenzkurve

16

bzw. 61 lx

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Plastische Zone

elFF

Tel FFF

TFF

,x,z

Fz

6/l

3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone

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3.5.4 Biegelinie

1.) Elastischer Bereich

wEIκEIM

12 ;

6

)1|)((| )()(32 bhIbhM

xmxmMxM

Fel

el

)(2)( xmEh

xw F

EIMxw )(

Mit

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3.5.4 Biegelinie

2.) Teilplastischer Bereich

wκEh

κ Fel ;2

)(2312)(

xmEhxw F

Mit

2)(3

1123

elel κ/κMM

2)(3

1123)(

elκ/κxm