4 Bemessung für Querkraft - Wasser, Umwelt, Bau und ... 1045-1: Bemessung für Querkraft IV-2 Bleibt die einwirkende Querkraft unter dem VRd,ct Wert, ist rechnerisch keine Querkraft-bewehrung

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft

IV-1

4 Bemessung für Querkraft

I. Danielewicz

4.1 Einführung

In der DIN 1045-1 Ausgabe Juli 2001 wurde ein einheitliches Nachweisverfahren zur Querkraftbemessung von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen, für alle Schub-beanspruchungsarten und für alle Betonarten vorgeschlagen. Im Nachweisverfahren werden einwirkende und die widerstehende Kräfte verglichen. Sie werden wie in den bisherigen Verfahren prinzipiell an einem ebenem Fachwerk ermittelt. Die indirekte Nachweise über einen Vergleich von Schubspannungen, wie sie die DIN 1045 1988 enthielt, finden keine Anwendung mehr. Eine von der Beanspruchungshöhe abhängige Neigung der Schubrisse geht in die Bemessung explizit ein. Sie wird nicht mehr in Form von Schubbereichen verschlüsselt und trägt somit zum besseren Verständnis der zu führenden Nachweise bei. Die Regelungen zur Querkraftbemessung beinhalten keine Nachweise auf dem Niveau der Gebrauchslasten. Eine rechnerische Begrenzung der Hauptzugspannungen oder der Breite der Schubrisse wird nicht gefordert. Darüber ob und wie viel Querkraftbewehrung einzubauen ist, entscheidet Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Regelungen zur baulichen Durchbildung. 4.2 Nachweisformat

Der Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ist für den Grenzzustand der Tragfähigkeit zu führen. Die Einwirkungen und die Widerstände gehen mit ihren Bemessungswerten ein. Das allgemeine Nachweisformat lautet: RdEd VV ≤ (1)

VEd Bemessungswert der einwirkenden Querkraft

VRd Bemessungswert des Querschnittswiderstandes gegen Querkraft

Für den Bauteilwiderstand VRd werden drei Bemessungswerte der Querkraft definiert, die den verschiedenen Brucharten und Versagensmechanismen entsprechen:

VRd,ct aufnehmbare Querkraft eines längsbewehrten Bauteils ohne Querkraftbewehrung,

VRd,st aufnehmbare Querkraft eines Bauteils mit Querkraftbewehrung, Begrenzung der Tragfähigkeit durch das Versagen der bis auf die Streckgrenze beanspruchten Querkraftbewehrung (Zugstrebenversagen),

VRd,max aufnehmbare Querkraft bedingt durch die Tragfähigkeit des Stegbetons, Begrenzung der Tragfähigkeit durch das Versagen der Druckstrebe.

Prof. Dr.-Ing. I. Danielewicz, Hochschule Magdeburg-Stendal, Fachbereich Bauwesen


IV-2

Bleibt die einwirkende Querkraft unter dem VRd,ct Wert, ist rechnerisch keine Querkraft-bewehrung erforderlich. Der Index „ct“ weist darauf hin, dass für diesen Bauteilwiderstand die Betonzugfestigkeit fct eine entscheidende Rolle spielt. Die Überprüfung VEd < VRd,ct ist jedoch nur für Flächentragwerke sinnvoll. Da bei stabförmigen Bauteilen immer eine Mindestbewehrung einzulegen ist (siehe Kap. 4.9), kann die o.g. Überprüfung des VRd,ct Wertes entfallen, der Bemessungswert VRd,st wird maßgebend. Ist die Schubbewehrung erforderlich (VEd > VRd,ct ), muss sie die gesamte Querkraft aufnehmen. Ein Abzugsglied für die Betonschubtragfähigkeit (wie im Standardverfahren des Eurocode 2) gibt es nicht. Der Betonbeitrag wird über entsprechende Festlegung zur Neigung der Druckstrebe berücksichtigt. Bei Balken ist die Überprüfung der Tragfähigkeit der Druckstrebe VRd,max nur bei hohen Beanspruchungen notwendig. Sie liegt nach [8] vor mit;

VEd > 0,46 ⋅ bw ⋅ z ⋅ αc ⋅ fcd für Bauteile ohne Längsdruckkraft VEd > 0,40 ⋅ bw ⋅ z ⋅ αc ⋅ fcd für Bauteile mit Längsdruckkraft

Die Querkraftnachweise für Bauteile ohne und mit Schubbewehrung basieren auf zwei völlig unterschiedlichen Lastabtragungsmodellen. Die Nachweisgleichungen für Bauteile ohne Schubbewehrung basieren auf einer empirischen Beziehung mit mechanischem Hintergrund -Kammmodell, und gelten für gerissenen Bauteile. Nachweisgleichungen für Bauteile mit Schubbewehrung sind an einem parallelgurtigem Fachwerkmodell mit lastabhängig geneigten Druckstrebe abgeleitet worden. Einen „fließenden“ Übergang zwischen den beiden Modellen gibt es nicht.

4.3 Bemessungswert der einwirkenden Querkraft VEd

In dem am häufigsten vorkommenden Fall einer direkten Lagerung und einer gleichmäßig verteilten Belastung darf zur Berechnung der Schubbewehrung der Bemessungswert der Querkraft VEd in einer Entfernung d vom Auflagerrand ermittelt werden, (nach DIN 1045/88 im Abstand d/2). Bei einer indirekten Lagerung ist die Querkraft am Anschnitt des Haupt-trägers maßgebend. (Eine indirekte Lagerung liegt vor, wenn die Einbindung in den Haupt-träger nicht oberhalb seiner Schwerpunktlinie erfolgt) Die Bemessung der Druckstrebe erfolgt immer mit dem Bemessungswert der Querkraft am Auflagerrand. Bild 1: Bemessungsschnitte für Querkraftnachweise, direkte / indirekte Lagerung

VEd für Druckstrebennachweis

d

d

Fcd

VEd für Querkraftbewehrung

VEd für Querkraftbewehrung und für Druckstrebennachweis

indirekte Lagerung Tragwerk

System und Querkraftlinie


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Bei Einzellasten, die in einem Abstand x ≤ 2,5d vom Auflagerrand wirken, darf auf Grund der direkten Lastabtragung der Einzellast über die Druckstrebe bei der Ermittlung der Schubbe-wehrung der Querkraftanteil aus der Einzellast mit dem Beiwert β abgemindert werden:

d5,2

x⋅

=β (2)

Die Bemessung zwischen linkem Auflager und Schnitt x erfolgt mit der abgeminderten Quer-kraft, rechts der Einzellast ist β = 1 zu setzen. Für die Bemessung der Druckstrebe darf keine Abminderung vorgenommen werden. Bild 2: Maßgebende Querkraft bei auflagernahen Einzellast Bei Bauteilen mit veränderlicher Querschnittshöhe verlaufen die Druck- und Zuggurtkräfte aus Biegung nicht parallel zur Bauteilachse. Deren vertikale Komponenten wirken in Quer-kraftrichtung. Sie können den aufzunehmenden Bemessungswert der Querkraft vergrößern oder verringern. Die gleiche Auswirkung ergibt sich aus Anordnung von geneigten Spann-gliedern. Die maßgebende Querkraft unter Berücksichtigung alle Querkraftkomponenten ergibt sich zu: pdtdccd0EdEd VVVVV −−−= (3) mit: EdV Bemessungswert der einwirkenden Querkraft 0EdV Grundbemessungswert der auf den Querschnitt einwirkenden Querkraft ccdV Querkraftkomponente der Betondruckkraft parallel zu EdV ( ) ( ) oEdsod2scdccd tanz/MtanFFV ψψ ⋅=⋅+= tdV Querkraftkomponente der Stahlzugkraft 1sdF parallel zu EdV ( ) uEdEdsu1sdtd tanNz/MtanFV ψψ ⋅+=⋅= pdV Querkraftkomponente der Spannstahlkraft pdF im GZdT ppdpd sinFV ϕ⋅=

2,5d

β 1

0

VEd,links - für Druckstrebennachweis

β⋅VEd,links - für Querkraftbewehrung

x


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Bild 3: Querkraftkomponenten bei geneigten Bauteilkanten Die Auswirkung der Gurtneigung ist günstig (Verringerung der aufzunehmenden Querkraft, VEd < VEd0), wenn mit zunehmendem Biegemoment die Bauteilhöhe anwächst. 4.4 Bauteile ohne Querkraftbewehrung

In Bauteilen ohne Schubbewehrung ist die Schubtragfähigkeit des Querschnittes im wesentli-chen auf Rissreibung (Fk), Dübelwirkung der Längsbewehrung in der Zugzone (FDü), Schubspannungen der Druckzone (Vcd) sowie die Einspannung der Betonzähne in der Druck-zone zurückzuführen. Als Berechnungsgrundlage dient ein kammartiges Lastabtragungs-modell (Bild 4). Danach versagt der Querschnitt infolge der Überschreitung der Betonzug-festigkeit an der Einspannung der Betonzähne in Verbindung mit Verringerung der Rissver-zahnung infolge fortschreitender Rissöffnung. Die gegebenenfalls vorhandenen Längsdruck-kräfte wirken der Rissöffnung entgegen und begünstigen hiermit das Schubtragverhalten des Bauteils. Die Überschreitung der Tragfähigkeit führt zum plötzlichen Versagen. Bild 4: Tragmodell für Querschnitt ohne Querkraftbewehrung Die Tragfähigkeit des biegebewehrten Querschnittes ohne Schubbewehrung wird in DIN 1045-1 mit VRd,ct beschrieben. Überschreitet die aufzunehmende Querkraft den VRd,ct Wert nicht, ist rechnerisch keine Schubbewehrung erforderlich. Bei Balken und einachsig ge-spannten Platten mit b/h < 5 ist jedoch eine Mindestschubbewehrung (Kap. 4.9) stets vorzu-sehen. ct,RdEd VV ≤ ⇒ keine Querkraftbewehrung erforderlich (4)

VEdVEd0

ψo ≈ Neigung der Bauteiloberkante

(Vpd im Bild nicht dargestellt)

FDü1Fs1Fs1+∆Fs1

fct

Fk2 Fk1

FDü2

Vcd2 Vcd1


IV-5

Die Schubtragfähigkeit eines biegebewehrten Bauteils ohne Querkraftbewehrung kann wie folgt ermittelt werden:

( ) db]12,0f10010,0[V wcd3/1

ck11ct,Rd ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= σρκη (5) mit: η1 = 1,0 für Normalbetone η1 =

220060,040,0 ρ

⋅+ für Leichtbetone mit Rohdichte ρ [kg/m3]

κ Maßstabsfaktor zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe

0,2d

2001 ≤+=κ (d in mm)

ρ1 02,0

dbA

w

1s ≤⋅

= Längsbewehrungsgehalt

As1 Querschnittsfläche der Zugbewehrung, die Mindestens um das Maß d über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird und dort verankert wird cdσ

c

Ed

AN

= Betonlängsspannung in der Schwerpunktlinie des Querschnittes [MN/m2]

EdN Bemessungswert der Längskraft im Querschnitt infolge äußerer Einwirkung oder Vorspannung (NEd < 0 als Längsdruckkraft)

wb kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone

bei Querschnitten mit verpressten Spanngliedern 8/bd wh ≥Σ mussw mit bw,nom ersetzt werden; bw,nom = bw - 0,5⋅Σdh bis C50/C60 bzw. LC50/55 bw,nom = bw - 1,0⋅Σdh ab C55/C67 bzw. LC55/60 dh = äußerer Hüllrohrdurchmesser,

bei Querschnitten mit nicht verpressten Spanngliedern 8/bd wh ≥Σ gilt bw,nom = bw - 1,3⋅Σdh

In der Gleichung (5) wird mit dem Ausdruck (fck)1/3 die Einspannung der Betonzähne in der Biegedruckzone berücksichtigt (proportional zu der Betonzugfestigkeit). Die Dübelwirkung der Biegezugbewehrung wird mit dem Faktor (100ρl)1/3 erfasst. Der Maßstabsfaktor κ steht für die abnehmende Schubtragfähigkeit des Betonquerschnittes mit wachsenden Querschnittshöhe. Mit dem Faktor 0,1 werden die Mittelwerte des Versuchergebnisse an querkraftbeanspruchten Bauteilen auf das Niveau der Bemessungswerte umgerechnet. Ein Vergleich zeigt, dass die Schubtragfähigkeiten der DIN 1045-1 niedriger ausfallen als die der DIN 1045-88.

Bild 4: Anrechenbare Biegezugbewehrung As1


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4.5 Bauteile mit Querkraftbewehrung

Die Querkraftbemessung biegebeanspruchte Bauteile mit Querkraftbewehrung erfolgt auf der Grundlage des Fachwerkmodells. Die schrägen Betonzähne und die Biegedruckzone stellen die Druckstreben des Fachwerkes dar, die Zugkräfte werden der Biegezug- und Querkraft-bewehrung zugewiesen. Die Neigung der Querkraftbewehrung und die der Druckstreben darf im vorgegebenen Bereich frei gewählt werden. Bild 5: Fachwerkmodell für Bauteile mit Querkraftbewehrung Die DIN 1045-1 verlangt ein Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit der Zug- und der Druckstrebe des gedachten Fachwerkes:

sy,RdEd VV ≤ VRd,sy = Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit bedingt durch das Versagen der Schubbewehrung (Zugstrebennachweis) max,RdEd VV ≤ VRd,max = Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit bedingt durch das Versagen des Beton auf Druck (Druckstrebenversagen)

Mit den im Bild 5 dargestellten Beziehungen lassen sich die nachstehenden Gleichungen (6) und (8) aufstellen.

Fswd

VEd⋅ c/zII

Fcwd

z⋅cotθ z⋅cotα

VEd

α Neigung der Schubbewehrung θ Neigung der Druckstrebe c Breite der Zugstrebe Fswd c´ Breite der Druckstrebe Fcwd c´= c⋅sin θ = z(cotθ+cotα)⋅sin θ sw Bügelanstand in Längsrichtung Fcwd Druckstrebenkraft Fswd Zugstrebenkraft

Zugstrebe: Fswd = VEd/sinα Fswd = asw⋅fywd c = Asw/sw⋅fywd⋅z(cotθ+cotα)

Druckstrebe: Fcdw = VEd/sinθ [MN] Fcdw = σc bw⋅c´=σc bw⋅z(cotθ+cotα)⋅sinθ

entnommen aus Leonhardt, Vorlesung über Massivbau Teil 1


IV-7

In dem allgemeinen Fall der Bauteile mit geneigter Querkraftbewehrung ergibt sich für die gewählten Neigungswinkel α und θ die Querkrafttragfähigkeit VRd,sy zu:

ααθ sin)cot(cotzfsAV yd

w

swsy,Rd ⋅+⋅⋅⋅= (6)

Die einwirkende Querkraft VEd wird voll der Schubbewehrung zugewiesen, VEd = VRd,sy. Ein Abzugsglied für die Übertragung eines Teils der Querkraft über die Rissreibung wird hier nicht explizit berücksichtigt. Dies erfolgt über eine entsprechnde Neigung der Druckstebe nach Glg. (10). Nach Gleichsetzen VEd = VRd,sy erhält man folgenden Ausdruck für den Querschnitt der Querkraftbewehrung:

ααθ sin)cot(cotzf

VsAa

yd

Ed

w

swsw ⋅+⋅⋅

== (7)

mit Asw Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung sw Abstand der geneigten Bewehrung in Richtung der Bauteilachse z Hebelarm der inneren Kraft: z = 0,9 ⋅d ≤ d - 2⋅cnom,Druckzone α Neigung der Querkraftbewehrung gegen die Bauteilachse θ Winkel zw. Druckstrebe und Bauteilachse (θ ≥ θ Glg.10) Die maximale, durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe bestimmte, aufnehmbare Quer-kraft VRd,max erhält man aus:

θ

αθα 2cdcwmax,Rd cot1cotcotfzbV

++

⋅⋅⋅⋅= (8)

mit αc =0,75 ⋅ η1 Abminderung der Druckfestigkeit der Betonstrebe infolge Querzugbeanspruchung durch Bügelbewehrung

η1 siehe Erläuterung zu Glg. (5)

mit θθ 22 sin)cot1/(1 =+ ergibt sich VRd,max zu: ( ) θαθα 2

cdcwmax,Rd sincotcotfzbV ⋅+⋅⋅⋅⋅= (9) Druckstrebenneigung: Bei niedrigen Beanspruchungen stellen sich in Stahlbetonbalken flachere Schubrisse und somit auch Druckstrebenfelder als bei hohen Beanspruchungen ein. Eine flachere Druckstrebe ergibt im Fachwerk geringere Zugpfostenkräfte und somit eine geringere erforderliche Schubbewehrung als steile Druckstrebe. Die Entlastung der Zugpfosten bei niedriger Beanspruchung wurde in der DIN 1045-88 durch die s.g. „verminderte Schubdeckung“ im Schubbereich 1 und 2 berücksichtigt. Im Schubbereich 3 -hohes Beanspruchungsniveau- war volle Schubdeckung vorgeschrieben. In der DIN 1045-1 wird der Einfluß der Druckstrebenneigung bei der Bemessung explizit berücksichtigt werden. Die Neigung θ ist abhängig vom Verhältnis der Betonlängsspannung zu Betondruckfestigkeit (σcd /fcd) und vom Verhältnis des Betontragteils zur einwirkenden


IV-8

Querkraft (VRd,c /VEd). VRd,c entspricht der vertikalen Komponente der Reibungskraft im Schubriss, (sie soll nicht mit der VRd,ct nach Glg. (5) verwechselt werden). Der Querkraftanteil VRd,c nimmt mit zunehmenden Längsdruck ab, was auf flachere Rißneigung zurückzuführen ist. Die Neigung der Druckstrebe darf letztendlich im folgenden Bereich gewählt werden:

Edc,Rd

cdcd

V/V1f/4,12,1

cot58,0−

⋅−≤≤

σθ (10)

θ ≤ 60° θ ≥ 18,5° bzw. θ ≥ 26,5°

mit: zbf

2,11f10,0V wcd

cd3/1ck1ctc,Rd ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅=

σηβ (11)

βct = 2,4 , für η1 siehe Erläuterung zu Glg. (5) σcd = NEd/Ac Betonlängsspannung in der Schwerpunktlinie des Querschnittes (Druck negativ) Der Wert θ = 18,5° entspricht dem Druckstrebenneigungswinkel bei Bauteilen mit Mindestbewehrung, θ ≥ 45° sollte nach [7] nur in Ausnahmefällen verwendet werden. Bei zugbeanspruchten Bauteilen sollte cot θ = 1 eingehalten werden. In dem Standardfall der Bauteile mit vertikaler Schubbewehrung (α= 90°) vereinfachen sich die Gleichungen (6) bis (9) zu:

θcotzfsA

V ydw

swsy,Rd ⋅⋅⋅= (12)

θcotzf

VsA

ayd

Ed

w

swsw ⋅⋅

== (13)

und θθ

αtancot

fzbV cdcw

max,Rd +⋅⋅⋅

= (14)

In diesem Fall (α= 90°) dürfen vereinfachend für cot θ in Gleichungen (12) und (13) folgende Werte angesetzt werden: reine Biegung cotθ = 1,2

Biegung mit Längsdruckkraft cotθ = 1,2 Biegung mit Längszugkraft cotθ = 1,0

Den Zusammenhang zwischen der erforderlichen Schubbewehrung, dem Druckstrebnei-gungswinkel und der Beanspruchungshöhe für Bauteile aus Beton C20/25 ohne Längsdruck-kräfte zeigt das aus [7] entnommene Bild 6. Die Druckstrebenneigung nimmt mit zunehmen-der Beanspruchung zu.

≤ 3 für Normalbeton ≤ 2 für Leichtbetone


IV-9

Bild 6: Zusammenhang zwischen Beanspruchungsniveau und Druckstrebenneigung

Bild 7 zeigt ein dimensionsloses Bemessungsdiagramm für lotrechte Bügelbewehrung für Bauteile ohne Längskräfte nach [8]. Eine Mindestbewehrung ist hier bereits berücksichtigt.

Bild 7: Bemessungshilfe für Bauteile mit lotrechter Bügelbewehrung nach [8]


IV-10

4.6 Anschluss von Zug- und Druckgurten an Stege

Bei stark gegliederten Querschnitten (Plattenbalken und Hohlkastenquerschnitten) werden wesentliche Anteile der Gurtkräfte in die Flansche eingeleitet. Diese sind mit den Stegen schubfest zu verbinden. Die Größe der in einen Flansch eingeleiteten Druckkraft entspricht in etwa dem Flächenanteil des Flansches in der Druckzone, die Größe der Zugkraft dem Anteil der in den Flansch ausgelagerten Biegezugbewehrung. Die Modellierung der Kraftausbreitung in den Gurten erfolgt an einem räumlichen Fachwerk, Bild 8. Nachzuweisen ist, dass die Druckstreben und Zugpfosten des im Gurt liegenden Fachwerkes die Beanspruchung aufnehmen können. Bild 8: Gurtfachwerk zur Modellierung der Krafteinleitung in den Druckflansch Die Längsschubkraft VEd, die durch eine Fuge zwischen dem Steg und dem einseitigen Gurt übertragen werden muss, entspricht der in den Gurt eingeleiteten Längsdifferenzkraft ∆Fd. Bei reiner Biegung wird ∆Fd auf der Strecke zwischen Momentennullpunkt und Momen-tenhöchstwert eingeleitet und lässt sich für einen Druckgurt wie folgt ausdrücken:

∆Fd = b

bz

MA

Az

MVF i,effEd

Druckzone

Gurt,cEdEdcd ⋅≈⋅==

∆∆ (15)

Ac,Gurt Fläche des einseitig angeschlossenen Gurtes

ADruckzone Druckzonenfläche beff,i mitwirkende Breite des angeschlossenen Flansches beff Gesamtbreite der Druckzone

beff,1

beff,2

Druckstrebe im Steg Druckstreben im Druckgurt Zugstreben

θf

2av

av av

∆MEd

∆MEd


IV-11

Der bei dem Anschluss des Zuggurtes auftretende Längsschub lässt sich sinngemäß angeben:

∆Fd = 1s

Gurt,1sEdEdsd A

Az

MVF ⋅==

∆∆ (16)

As1,Gurt in den Gurt ausgelagerte Biegezugbewehrung As1 gesamter Bewehrungsquerschnitt Bild 9: Bezeichnungen für Druck- und Zuggurt Im rechnerischen Nachweis des Anschlusses muss die Einleitung des Längsschubs innerhalb einer Einleitungslänge av von höchstens dem halben Abstand zw. Momentennullpunkt und Momentenhöchstwert nachgewiesen werden. av entspricht der Länge des Bereiches auf dem der Längsschub in etwa konstant bleibt. In der Bemessung wird ∆Fd den aufnehmbaren Kräften gegenübergestellt, die (bei orthogonaler Gurtbewehrung) mit Hilfe der Gleichungen (12) bis (14), durch einsetzen bw = hf und z = av, errechnet werden können. Hiermit ergibt sich:

θθ

αtancot

fahV cdcvf

max,Rd +

⋅⋅⋅= (17)

näherungsweise: cotθ = 1,2 für Druckgurte, cotθ = 1,0 für Zuggurte

θcotzfsA

V ydw

swsy,Rd ⋅⋅⋅= (18)

bzw. θcotaf

VsA

avdyd

Ed

w

swsw ⋅⋅

== (19)

Die Bewehrung soll gleichmäßig auf die Ober- und Unterseite des Flansches verteilt werden. Die Norm erlaubt die volle Anrechnung der Querbiegebewehrung des Flansches auf die Bewehrung zur Aufnahme der Gurtanschlusskräfte. Bei einer genaueren Berechnung kann die Neigung der Druckstrebe θf des im Flansch liegen-den Fachwerkes (θ in Glg. (17) - (19)) mit Hilfe der Gleichung (10) ermittelt werden. Hierbei

beff,1 beff,2 bw

d

x

beff

d x

As1,Gurt asw


IV-12

ist als σcd in Glg. (11) bzw. Glg.(19a) die mittlere Spannung in dem angeschlossenen Gurt innerhalb von av anzusetzen, also mindestens 0,5∆Fd / (beff,i hf).

vwcd

cd3/1ck1ctc,Rd ah

f2,11f10,0V ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+⋅η⋅⋅β= (19a)

4.7 Schubübertragung in Fugen (Fugen parallel zur Systemachse)

4.7.1 Allgemeines

Bei Verwendung von Fertigteilen, Teilfertigteilen mit Ortbetonergänzung sowie bei abschnittsweiser Herstellung von Bauteilen wird gegen bereits erhärteten Beton betoniert. Bei einer Biegebeanspruchung diese Bauteile müssen die Fugen Schubkräfte übertragen. Bild 10: Längsfuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergänzung a) Plattenbalken b) π-Platte c) Schubbeanspruchung der Fuge Für die Übertragung der Kräfte in der Fuge ist ihre Rauigkeit entscheidend. In der Norm wird zwischen vier Fugenrauigkeiten unterschieden:

- sehr glatt Beton gegen Holz oder Stahlschalung betoniert

- glatt Frischbetonoberfläche wird abgezogen, im Gleit- oder Extrudier- verfahren hergestellt, oder bleibt nach dem Verdichten unbehandelt

- rau Betonoberfläche weist eine definierte Rauigkeit gemäß DAfStb- Heft 525 auf, ist künstlich aufgeraut Rt > 0,9 mm mittlere Rautiefe nach Sandflächenverfahren von Kaufmann Rp > 0,7mm maximale Profilkuppenhöhe, siehe DAfStb Heft 456

- verzahnt Betonoberfläche weist eine Verzahnung nach Bild 11 auf oder das Korngerüst wurde z.B. durch Strahlen freigelegt.

Bild 11: a) Ausbildung einer verzahnten Fuge b) Rauigkeitsparameter [7]

a)

Fuge

b b) 2. Betonierabschnitt

Verbundbewehrung

c)

vEd = vRd

vEd < vRd

Verankerung der Verbundbewehrung


IV-13

4.7.2 Schubbeanspruchung in der Fuge

Die über die Fuge zu übertragende Schubkraft pro Längeneinheit ergibt sich aus:

z

VFF Ed

cd

cdjEd ⋅=ν (20)

dabei ist:

cdF z

M Ed= die gesamte Gurtlängskraft infolge Biegung in dem betrachteten Schnitt

cdjF die über die Fuge zu übertragende Gurtlängskraft infolge Biegung (liegt die Druckzone vollständig jenseits der Fuge, gilt Fcdj = Fcd) 4.7.3 Fugen ohne Verbundbewehrung

Bei niedriger Beanspruchung der Schubfuge und ausreichender Fugenrauigkeit, kann auf die Verbundbewehrung (auch auf konstruktive Bewehrung) in der Fuge verzichtet werden. Die Schubtragfähigkeit der Fuge ohne Verbundbewehrung vRd,ct ergibt sich aus einem Haftverbund- und Rissreibungsanteil und wird nach Glg. (21) wie folgt ermittelt: [ ] bf042,0v Nd

3/1ckct1ct,Rd ⋅⋅−⋅⋅⋅= σµβη (21)

mit η1 = 1 für Normalbetone, für Leichtbetone siehe Glg. (5) βct Rauigkeitsbeiwert nach Tabelle 1 fck charakteristische Betondruckfestigkeit des Ortbetons oder des Fertigteils, der kleinere Wert ist maßgebend

µ Reibungsbeiwert nach Tabelle 1 σNd Normalspannung senkrecht zur Fuge (als Druckspannung negativ)

cdEd

Nd f6,0b

n−≥=σ [MN/m2]

nEd unterer Bemessungswert der Normalkraft senkrecht zur Fuge (vgl. Bild 11) b die Breite der Kontaktfläche

Wirkt senkrecht zur Fuge eine Zugkraft, so ist bei glatten und rauen Oberflächen der Rauigkeitsbeiwert βct zu Null zu setzen. Tabelle 1: Beiwerte βct und µ

Oberfläche βct µ

verzahnt 2,4 1,0

rau 2,0 0,7

Glatt 1,4 0,6

Sehr glatt 0 0,5


IV-14

4.7.4 Fugen mit Verbundbewehrung

Kann auf die Verbundbewehrung in der Fuge nicht verzichtet werden, muss sie die gesamte Beanspruchung aufnehmen. Eine Entlastung infolge Reibung darf hierbei berücksichtigt werden. Bild 12: Fachwerkmodell für den Nachweis der Schubfuge Die in der Verbundbewehrung auftretenden Kräfte können anhand des Fachwerkes im Bild 12 ermittelt werden.

bsin)cot(cotfav Ndydssy,Rd ⋅⋅−⋅+⋅⋅= σµααθ (22)

oder direkt die erforderliche Verbundbewehrung:

ααθ

σµsin)cot(cotf

bva

yd

NdEds ⋅+⋅

⋅⋅−= (23)

mit α Winkel der die Fuge kreuzenden Bewehrung as Querschnittsfläche der Verbundbewehrung je Längeneinheit Die Druckstrebenneigung θ ist in dem durch Glg. (24) vorgegebenen Bereich zu wählen

Edct,Rd

cdcdv/v1

f/4,12,1cot0,1−

⋅−≤≤

σµθ (24)

mit vRd,ct nach Glg. (21) und σcd Längsnormalspannung parallel zur Fuge im Gesamtquerschnitt (Heft 525) Die nach Gleichung (23) ermittelte Verbundbewehrung darf bei biegebeanspruchten Bauteilen entsprechend dem Verlauf der Schubkraftlinie abgestuft werden. Die Länge des Einschnittes in die Verbundkraftlinie lE sollte lE = 0,5⋅cotθ ⋅ d nicht überschreiten, wobei ein Flächenausgleich innerhalb von 2lE erfolgen muss. Bei Bauteilen unter Schei-benbeanspruchung darf sie konzentriert an den Enden der Fuge angeordnet werden. Bild 13: Schubkraftlinie und Verteilung der Verbundbewehrung

≤ 3 für Normalbeton ≤ 2 für Leichtbetone

vEd as⋅fyd(cotθ + cotα)⋅sinα

-µ⋅σNd⋅b

Fcdw

θ

α µ⋅σNd⋅b

σNd

Fsdw vRd

σcd


IV-15

4.8 Schubübertragung über Fugen rechtwinklig zur Systemachse (Arbeitsfugen)

Eine rechtwinklig zur Systemachse angeordnete Fuge wirkt sich ähnlich wie ein Biegeriss aus. Die Querkraftnachweise können daher grundsätzlich nach Glg. (5) bis (11) erfolgen. Bei Fugen geringerer Rauhigkeit (siehe βct in Tab. 1) ist der Betontragteil bei Querkraftüber-tragung entsprechend kleiner. Im Heft 525 [7] wird empfohlen, die Schubtragfähigkeit des Querschnittes ohne Querkraftbewehrung VRd,ct nach Glg. (5) und die vertikale Komponente der Rissreibungskraft VRd,c nach Glg. (11) im Verhältnis βct,vorh/2,4 abzumindern. Bei Bautei-len mit Querkraftbewehrung ist die Abminderung mindestens bis zum Abstand von le = 0,5⋅ cotθ ⋅ d beiderseits der Fuge vorzunehmen. 4.9 Konstruktionsregeln für querkraftbewehrte Bauteile

Im Bezug auf die Ausbildung, Anordnung, Schließung der Bügelbewehrung und sonstigen Schubzulagen entsprechen die neuen Regelungen den bekannten Grundsätzen der DIN 1045/88. Sie werden hier vollständigkeitshalber wiederholt. Veränderungen ergeben sich im Bezug auf die Mindestbewehrung und die einzuhaltenden Bügelabstände (4.9.2 und 4.9.3).

4.9.1 Querkraftbewehrung

Die Querkraftbewehrung soll mit der Schwerlinie des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. Sie darf aus der Kombination folgender Bewehrungen bestehen:

- Bügeln, die Längsbewehrung und die Druckzone umfassen - Schrägstäben, - Schubzulagen wie Leiter und Körber, die die Längsbewehrung nicht umschließen.

Bei Balken dürfen Schrägstäbe und Schubzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Bügelbewehrung muss dabei mindestens 50% der erforderlichen Schubbeweh-rungsfläche ausmachen. Bild 14: Beispiel für Kombination von Bügeln und Querkraftzulagen.


IV-16

Das Bild 15 enthält die Regelungen zur Schließung der Bügelbewehrung in der Druck- und Zugzone. Die Verankerungselemente in der Druckzone müssen zwischen dem Schwerpunkt der Druckzone und dem Druckrand angeordnet werden, in der Zugzone möglichst nah am Zugrand. Die Bügeln müssen die Zugbewehrung umschließen.

4.9.2 Mindestbewehrung

Zur Vermeidung des Schubversagen ohne Ankündigung ist bei stabförmigen Bauteilen eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Der Bewehrunggrad ergibt sich aus der Forderung, dass die Schubrisslast des Betonquerschnittes mit einfacher Sicherheit von Mindestbewehrung aufgenommen werden muss. Bei Platten (b/h > 5) ohne statisch erforderlicher Querkraftbewehrung kann aufgrund derren Umlagerungsmöglichkeiten auf die Mindestbewehrung verzichtet werden. Eine lokale Schwächung der Schubtragfähigkeit Die Mindestbewehrung für Balken wird über den geometrischen Bewehrungsgehalt min ρw definiert. Der vorhandene Bewehrungsgehalt ρw darf min ρw nicht unterschreiten.

www

sww min

sinbsA

ρα

ρ ≥⋅⋅

= = 1,0⋅ ρ nach Tabelle 2 (25)

fck [MN/m2] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100

ρ [o/oo] 0,51 0,61 0,7 0,83 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 1,34 1,41 1,47 1,54 1,6 1,66

für Leichtbetone müssen die ρ - Werte mit Faktor η1 (vgl. Glg. (5)) multipliziert werden

Tabelle 2: Grundwerte ρ der Mindestbewehrung Die Mindestschubbewehrung im Übergangsbereich zwischen Balken (b/h ≤ 4) und Platte (b/h ≥ 5) ist gesondert geregelt. Im Bereich 5 > b/h > 4 ist eine Mindestbewehrung erforderlich, die: - bei Platten ohne rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung zwischen dem nullfachen und dem einfachen Wert,

- bei Platten mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung (VEd > VRd,ct) zwischen dem 0,6fachen und dem einfachen Wert

der Mindestbewehrung nach Glg. (25) interpoliert werden darf. Die Mindestdicke einer querkraftbewehrten Platte ist auf 160 mm begrenzt. (Der Eurocode legte hierfür eine Mindestplattendicke von h = 200 mm fest).


IV-17

4.9.3 Bügelabstände bei stabförmigen Bauteilen

Die Abstände der Bügelschenkel in Bauteillängs- und Querrichtung sind abhängig von der Beanspruchungshöhe die über den Quotienten der Einwirkung VEd und maximalen aufnehm-baren Querkraft VRd,max nach Glg. (10) ausgedrückt wird. Die zulässigen Werte sind in der Tabelle 3 angegeben. Tabelle 3: Größte Längs- und Querabstände smax von Bügelschenkeln und Querkraft- Zulagen für Balken 4.9.9 Abstände der Querkraftbewehrung bei Platten

In Platten mit VEd ≤ 0,30 VRd,max darf die Querkraftbewehrung vollständig aus Schrägstäben oder Querkraftzulagen bestehen VEd > 0,30 VRd,max muss mindestens die Hälfte der Querkraftbewehrung aus Bügeln bestehen. Für den größten Längs- und Querabstand von Bügeln gilt:

a) in Längsrichtung:

- für VEd ≤ 0,30 VRd, max smax = 0,7 h - für 0,30 VRd, max ≤ VEd ≤ 0,60 VRd, max smax = 0,5 h - für VEd > 0,60 VRd, max smax = 0,25 h

b) in Querrichtung: smax = h Der größte Längsabstand von Schrägstäben ist smax = h


IV-18

Bild 15: Verankerungen und Schließen von Bügeln [7]


IV-19

4.10 Schubübertragung in Fugen bei Verwendung von Gitterträgern

4.10.1 Allgemeines

Bei der bauaufsichtlichen Einführung der DIN 1045: 2001.07 wurde ein Mischungsverbot ausgesprochen, wonach das komplette Tragwerk entweder nach neuem oder nach altem Normwerk zu planen und auszuführen ist. Die Grundlage für die bauaufsichtliche Zulassung für Gitterträger ist jedoch die DIN 1045: 1988-07, so dass bei der Planung nach dem neuen Normwerk die Gitterträger nicht verwendet werden dürften. Um deren Verwendung zu ermöglichen, wurden bestehende Gitterträger-Zulassungen entsprechend erweitert [9]. Die nachstehend beschriebenen Festlegungen sind zeitlich beschränkte Übergangsregelungen, die ihre Gültigkeit bis zur vollständigen Umstellung der allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassungen für Gitterträger auf DIN 1045: 2001-07 behalten. Im Rahmen dieses Aufsatzes wird nur auf die Regelungen für Gitterträger in Elementdecken unter vorwiegend ruhender Belastung eingegangen. 4.10.2 Schnittgrößenermittlung und Betonstahleigenschaften

Bei Verwendung von Gitterträgern dürfen die Schnittgrößen nur nach elastischen Verfahren, gegebenenfalls mit anschliessenden Schnittgrößenumlagerung, ermittelt werden. Verfahren der Plastizitätstheorie sowie nicht lineare Verfahren sind zumindest bis zur kompletten Umstellung der Zulassungen nicht erlaubt. Bei Ausführung von zweiachsig gespannten Platten ergeben sich unterschiedliche statische Höhen für die im Fertigteil und im Ortbeton liegenden Bewehrungslagen. Dieser Unterschied darf bei der Schnittgrößenermittlung außer Acht gelassen werden, wenn der lichte Abstand der beiden Längsbewehrungslagen geringer als 5 cm oder h/10 beträgt (der größere Wert ist maßgebend). Die Drillsteifigkeit der Platten kann bei Schnittgrößenermittlung in Ansatz gebracht werden, wenn im Bereich der Drillmomente (0,3lx x 0,3lx von Plattenecke) keine Stoßfuge der Filigranplatten angeordnet wird oder wenn die Fuge durch eine Verbundbewehrung im Abstand von maximal 100 mm vom Fugenrand gesichert wird. Die Aufnahme der Drillmomente ist rechnerisch nachzuweisen. Glatte und profilierte Betonstähle dürfen rechnerisch als Biegezugbewehrung nicht angesetzt werden. Der Grund hierfür sind die gegenüber den Rippenstahl schlechteren Verbundeigenschaften und damit verbundenen Rissbreiten, die durch Konstruktionsregeln der DIN 1045-1 nicht abgedeckt sind. Der Bemessungswert der Streckgrenze für Schubbewehrung aus Stählen mit glatter Oberfläche ist anzusetzen mit:

2yd m/MN365

15,1420f ==


IV-20

4.10.3 Montagestützweiten

Die in Zulassungsbescheiden angegebenen Montagestützweiten sind weiterhin gültig. Zu beachten ist, dass die in den Zulassungen angegebenen Schnittgrößen für Gebrauchslasten mit γF = 1 gelten. 4.10.3 Biegebemessung und Bewehrungsstöße

Bei Fertigteilen mit Ortbetonergänzung muss der Aufbeton eine Mindeststärke von 50 mm ausweisen. Die Besonderheiten bei der Schnittgrößenermittlung wurden bereits unter 4.10.2 angesprochen. Die Biegebemessung wird für einen monolithischen Querschnitt durchgeführt. Die statische Höhe ist entsprechend der Lage der Biegezugbewehrung anzupassen. Bei einachsig gespannten Decken darf die Querbewehrung auf der Filigranplatte aufgelegt werden. Bei zweiachsig gespannten Platten darf selbstverständlich nur die über die Fugen durchlaufende Biegezugbewehrung als statisch wirksam betrachtet werden. Hieraus ergibt sich die Notwendigkeit der Ausbildung von Tragstößen für die im Fertigteil und in der Ortbetonergänzung liegende Biegezugbewehrung. Da einige Randbedingungen eines „normalen“, im Ortbetonquerschnitt ausgeführten Tragstoßes bei Elementdecken nicht eingehalten werden können, ( Abstand a > 4∅s, Fuge zwischen Bewehrungslagen, ein Zwei-Ebenen-Stoß) wurden in der DIN 1045-1 (13.4.3) diese Tragstöße gesondert geregelt. - im Stoßbereich ist der erforderliche Bewehrungsquerschnitt asy ≤ 10cm2/m - Durchmesser der Biegezugbewehrung ist ∅s ≤ 14mm - Querkraft an der Fuge ist: vEd < 0,15 vRd,max (in DIN 1045-1 z.Z fälschlicherweise 0,5 vRd,max) - Stoßbereich ist beidseitig der Fuge durch biegesteife Querbewehrung gesichert - Abstand der Querbewehrung ( Gitterträger) ist aq ≤ 2h - Querschnitt der Querkraftbewehrung ist für die Zugkraft der Längsbewehrung bemessen. Die Anordnung der Gitterträger als biegesteife Querbewehrung ist im Bild 16 dargestellt. Die Gitterträger im Bild 16-unten müssen einen Querabstand von ebenfalls 2⋅h aufweisen (im Bild nicht darstellbar). Bild 16: Tragstöße bei zweiachsig gespannten Platten

1 Fertigteilplatte 2 Ortbeton 3 Längsbewehrung 4 Querbew. im Fertigteil 5 Querbew. Stoßzulage 6 Gitteträger 7 Längsbew. Stoßzulage

Stoß senkrecht zum Gitterträger

Stoß parallel zum Gitterträger


IV-21

4.10.3 Querkraftbemessung

Verbundbewehrung Bei Platten ohne statisch erforderliche Querkraftbewehrung vEd < vRd,ct (siehe Glg.(5)) muss zusätzlich die Schubübertragung in der Fuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergänzung überprüft werden. Der Nachweis erfolgt mit Hilfe der im Kapitel 4.7 zitierten Gleichungen (21) bis (24). Auf der sicheren Seite liegend kann hier von einer „glatten“ Fuge ausgegangen werden. (Die Bemessungshilfen der Hersteller werden in der Regel mit Parametern der „glatten“ Fugen erstellt). Ist eine Verbundbewehrung erforderlich, müssen die Gitterträger in Ortbeton so weit einbinden, dass zwischen der Gurtunterkante und Oberkante Fertigteil ein Abstand von mindestens 2 cm verbleibt. Die Abstände der Gitterträger untereinander sind bei einachsig gespannten Platten auf maximal sq,max = 75 cm begrenzt. Bei zweiachsig gespannten Platten mit Bewehrung im Fertigteil beträgt der maximale Gitterträgerabstand sq,max 2fache Deckenstärke. Liegt die Biegezugbewehrung der Querrichtung im Ortbeton, ist für diese Richtung keine Verbundbewehrung erforderlich. Der maximale Abstand der Gitterträger zum Plattenrand ist auf 37,5 cm begrenzt. Querkraftbewehrung Im Bereich vEd > vRd,ct (siehe Glg.(5)) ist eine Querkraftbewehrung erforderlich. Werden zur Querkraftaufnahme nur die Diagonalen der Gitterträger angesetzt, so ist der Bemessungswert der Querkraft generell zu begrenzen auf: vEd ≤ 0,25⋅ vRd,max (26) Im Bereich negative Momente wird weiter zwischen zwei Einbausituationen unterschieden: bei vEd ≤ 0,125⋅ vRd,max darf der Obergurt der Gitterträger unterhalb, die obere Längsbewehrung oberhalb der Quer- bewehrung angeordnet werden bei vEd > 0,125⋅ vRd,max muss der Obergurt der Gitterträger in gleicher Lage wie die Längsbewehrung liegen, wobei die Quer- bewehrung über der Längsbewehrung liegen darf. Bild 16: Gitterträgerhöhen bei Anwendung als Querkraftbewehrung: links vEd ≤ 0,125⋅ vRd,max, rechts 0,25⋅ vRd,max > vEd > 0,125⋅ vRd,max

Querbewehrung


IV-22

Wie im Kapitel 4.5 ausgeführt, beeinflußt die Neigung der Querkraftbewehrung α die Tragfähigkeit der Druckstrebe vRd,max, (vgl. Glg. (8)). So erhält man für ein und dieselbe Druckstrebenneigung von z.B. θ = 45° für geneigte Schubbewehrung mit α = 45° doppelt so hohen vRd,max,-Wert als bei senkrechter Schubbewehrung mit α = 90°. Eine einfache Mittelung der vRd,max,-Werte zur Bestimmung der Obergrenze der zulässigen Querkraftbeanspruchung nach Glg. (26) ist jedoch nicht zulässig. Da eindeutige Regelungen für Bauteile mit unterschiedlicher Neigung der Schubbewehrung in der DIN 1045-1 nicht enthalten sind, wurde eine entsprechende Ergänzung für Gitterträger zwingend erforderlich. Die unterschiedliche Neigung der anzurechnenden Bewehrungsstäbe der Gitterträger kann bei Ermittlung von vRd,max und vRd,sy nach Glg.(6) und Glg.(8) durch eine lineare Wichtung der Querkrafttragfähigkeiten unter Berücksichtigung eines gleichbleibenden Druckstrebenwinkels θ erfasst werden. Dabei ist folgende Bedingung zu beachten:

1VV

i

i

,max,Rd

,sy,Rd ≤∑α

α (27)

mit

i,sy,RdV α = Querschnittstragfähigkeit (Stahl) für Bewehrungsneigung αi nach Glg.(6)

imax,,RdV α = Querschnittstragfähigkeit (Druckstrebe) bei Bewehrungsneigung αi Glg.(8)

Die oben beschriebene Begrenzung der einwirkenden Querkraft nach Glg. (27) ist wenig anwenderfreundlich. In [6] wird eine Auswertung für Standardgitterträger vorgenommen. Danach ist vEd < 0,175 vRd,max,α=45° einzuhalten. vRd,max ist hier mit θ = 45° und α = 45° zu ermitteln. Die Gitterträger bestehen aus senkrechten Pfosten und Diagonalen mit gleichen Querschnittsflächen. Längs und Querabstände der Querkraftbewehrung Die maximalen zulässigen Längsabstände der Gitterträgerdiagonalen ergeben sich auf der Grundlage der Fachwerkanalogie zu: cm25z)cot(cots max,l ≤⋅α+θ= (28) mit z = 0,9d ≤ d - 2cnom cnom = Betondeckung der Längsbewehrung der Druckzone Die Querabstände der Gitterträger für einachsig gespannte Decken sind wie folgt geregelt: bei Deckenstärken ≤ 40 cm cm40z)cot(cots ,maxq ≤⋅α+θ= bei Deckenstärken > 40 cm Decke,maxq hcm80z)cot(cots ≤≤⋅α+θ=

z⋅cotθ z⋅cotα


IV-23

Für zweiachsig gespannte Platten gilt für die Querrichtung: bei Deckenstärken ≤ 40 cm cm40z)cot(cots ,maxq ≤⋅α+θ= h2s max,q ⋅≤ Es ist zu beachten, dass in zweiachsig gespannten Platten für die beiden Tragrichtungen gegebenenfalls unterschiedliche Neigungen der Druckstrebe zu berücksichtigen sind. Literatur

[1] DIN 1045-1 Ausgabe Juli 2001 Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton Teil 1: Bemessung und Konstruktion. [2] DIN 1055-100 Ausgabe März 2001 Einwirkungen auf Tragwerke. Teil 100: Grundlagen der Tragwerksplanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln. [3] DIN V ENV 1992-1: Eurocode 2: Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Grundlagen und Anwendungsregeln für den Hochbau. [4] Zilch, K; Rogge, A.: Bemessung der Stahlbeton- und Spannbetonbauteile nach DIN 1045-1. Betonkalender 2000, Teil 1. [5] Leonhardt, F.: Vorlesung über Massivbau, Teil 1, Grundlagen [6] Furche, J; Bauermeister: Elementdecken mit Gitterträgern nach neuer DIN 1045-1 BFT Beton + Fertigteil-Technik August 2004 [7] Heft 525 DAfStb Erläuterungen zu DIN 1045-1 1. Auflage, September 2003 [8] Reineck, K.-H.: Hintergründe zur Querkraftbemessung nach DIN 1045-1 für Bauteile aus Konstruktionsbeton mit Querkraftbewehrung. Bauingenieur 76 (2001) H. 4 [9] Verwendung von Gitterträgern nach bestehenden Zulassungen in Bauteilen nach DIN 1045-1, Übergangsregelungen, Aus der Arbeit der Sachverständigenausschüsse, SVA B „Bewehrungselemente“, V. Häusler, T. Schellenberg, 2004


IV-24


IV-25

4.11 Rechenbeispiel zur Querkraftbemessung

Nachstehend werden Querkraftnachweise für das im Kap. III dargestellte System geführt. Die Berechnung wird um die Nachweise für die Stahlbetondecke erweitert. Um alle maßgebende Querkraftnachweise im Rahmen eines Beispiels zeigen zu können, wird für das Deckensys-tem ein folgender Bauablauf angenommen: - die Decke wird als Elementplatte mit Ortbetonergänzung ausgeführt - der Steg des Unterzuges ist ein Fertigteil . Das Beispiel ist wie folgt gegliedert: 4.11.1 Deckenbemessung 4.11.1.1 Belastung, statisches System und Schnittgrößen 4.11.1.2 Biege- und Querkraftbemessung der Decke als Ortbetonquerschnitt 4.11.1.3 Ausführung der Decke als Elementplatte mit Ortbetonergänzung 4.11.1.4 Bemessung mit Gitterträgern 4.11.2 Unterzug 4.11.2.1 System, Schnittgrößen und Vorwerte 4.11.2.2 Bemessung für Querkraft 4.11.2.3 Anschluß von Zug- und Druckgurten an Stege 4.11.2.4 Nachweis der Schubfuge zwischen Steg und Gurt 4.11.1 Deckenbemessung

4.11.1.1 Belastung , statisches System und Schnittgrößen

Belastung charakteristische Werte Eigengewicht Decke gEG = 0,18⋅25 = 4,5 kN/m2 Ausbau ∆gEG = = 1,5 kN/m2 = 6,0 kN/m2 Verkehrslast (Versammlungsraum) =q 3,5 kN/m2 Bemessungswerte der Lasten ständige Last gd = gk γG = 6⋅1,35 = 8,1 kN/m2 veränderliche Last gd = gk γQ = 3,5⋅1,5 = 5,25 kN/m2

DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1

DIN 1055 T1

DIN 1055-100

470

Ortbetonergänzung h=12 cm Beton C20/25, Stahl S500 Elementplatte h = 6cm Beton C25/30, Stahl S500 Steg-Fertigteil b/h=30/52 cm Beton C25/30, Stahl S500


IV-26

Statisches System: Einachsig gespannte Durchlaufplatte über 8 Felder. Im Rahmen des Beispiels wird nur ein Innenfeld bemessen.

Effektive Spannweiten: Randfeld leff = 3,75m (Vorgabe) Innenfeld m0,57,415,02la2l n1eff =+⋅=+⋅= Betondeckung Umgebungsklasse für Bewehrungskorrosion XC1 trocken cmin = 10 mm ∆c = 10 mm cnom = 20 mm Erforderliche Deckenstärke

Mit der zulässigen Schlankheit 35dl

zul i ≤=λ erhält man

für Randfeld: li = 0,8 ⋅ 3,75 = 3m und cm6,835/0,3derf =≥ für Innenfeld li = 0,6 ⋅ 5,0 = 3m und cm6,835/0,3derf =≥ .

Mit cnom = 20 mm und dem Durchmesser der Bewehrung ds = 10mm ergibt sich

vorh h = 18 cm > cm1,11cm5,0cm0,2cm6,8herf =++= .

Schnittgrößenermittlung (die Bemessung erfolgt nur für ein Innenfeld)

Die Schnittgrößen wurden für einen 8 Feldträger elektronisch ermittelt. Dargestellt werden nur die Schnittgrößen des Innenfeldes

Bemessungswerte Ed

Mgk Mqk

Vgk Vqk

charakteristische Werte Ek

Biegemoment inf. qk Biegemoment inf. gk

Querkraft inf. gk Querkraft inf. qk

V(g+q)d

Bemessungsquerkraft

M(g+q)d

Bemessungsmoment

DIN 1045-1 11.3.2 Tab. 22

DIN 1045-1 11.3.2 (2) keine Trennwände vorh.

DIN 1045-1 6.3 Tab. 4

DIN 1045-1 7.3.1 (6)

DIN 1045-1 6.2 Tab. 3

Berechnung mit InfoGraph Modul: Ebene Stabwerke

DIN 1045-1 8.2 linear-elastische Berechnung ohne Schnittgrößenumlagerung


IV-27

4.11.1.2 Biege- und Querkraftbemessung der Decke (Ortbetonquerschnitt)

Vorwerte für die Bemessung

Querschnitt b/d/h = 100/15,5/18 cm Beton C20/25 2

ck m/MN20f =

2

c

ckcd m/MN3,11

5,12085,0

ff ==⋅=

γα

Betonstahl S500M 2

yk m/MN500f = ; 2cal,tk m/MN525f =

2

s

ykyd m/MN435

ff ==

γ; 2

s

cal,tk m/MN45715,1

525f==

γ

Bemessung für Feldquerschnitt QQGGEd mmm γγ ⋅+⋅= = m/kNm31,195,123,735,127,6 =⋅+⋅

071,033,11155,01

0193,0fdb

m2

cd2Eds

Eds =⋅⋅

=⋅⋅

=µ

0739,0=ω , ooo

1s /25=ε 2scal,tksd m/MN457/f == γσ

( ) =⋅⋅⋅= cdsd

1s fdb1aerf ωσ

( ) m/cm83,21033,11155,010739,0457

1 24 =⋅⋅⋅⋅=

gewählt unten: Lagermatte R 335 A Bemessung für Stützquerschnitt QQGGEd mmm γγ ⋅+⋅= = m/kNm77,315,123,735,127,6 =⋅+⋅ Bemessungsmoment am Anschnitt des Unterzuges 2/avmm EdEdEd

a ⋅−≈ = m/kNm41,262/3,075,3577,31 =⋅− Mindestwert für das Stützmoment:

=⋅⋅= 2ndEd lp

12165,0mmin

( ) m/kNm98,157,425,51,812165,0 2 =⋅+⋅= < 26,41

Bemessung erfolgt mit mEd = 26,41 kNm/m

DIN 1045-1 8.2 (5) 65% Starreinspannung jedoch mit lnetto

DIN 1045-1 7.3.2 (3) Decke ist mit dem Unterzug monolithisch verbunden

DIN 1045-1 9.2.4 Bild 27 Linie 2 Bemessung mit µEds-Tafel aus Schneider Bautab. 14. Auf.

DIN 1045-1 10

DIN 1045-1 9.1.6 Glg. (67) 5.3.3 Tab. 1

DIN 1045-1 9.1.7 Tab. 9

DIN 1045-1 9.2.2 Tab. 11

DIN 1045-1 9.2.4 (3) 5.3.3 Tab. 1

DIN 1055-100 DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1

DIN 1055-100 DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1


IV-28

0972,033,11155,01

0264,0fdb

m2

cd2Eds

Eds =⋅⋅

=⋅⋅

=µ

1023,0=ω 127,0=ξ cm25,15127,0x =⋅= 947,0=ς cm7,145,15947,0z =⋅= 241s =ε o/oo 2

sd m/MN456=σ

( ) m/cm94,31033,11155,011023,0456

1aerf 241s =⋅⋅⋅⋅=

gewählt oben: Lagermatte R 335A 3,35 cm2/m Zulage ∅ = 6 mm a´= 30 cm 0,94 cm2/m 4,29 cm2/m Mindestbewehrung Feld- und Stützquerschnitt Die Mindestbewehrung muß das Rißmoment abdecken. Das Rißmoment ist mit dem Mittelwert der Betonzugfestigkeit zu ermitteln.

6/hbfwfm 2ctmRand,cctmr ⋅⋅=⋅= =

= m/MNm01188,06/18,012,2 2 =⋅⋅ mit 2

ctm m/MN2,2f = für Beton C20/25 Mit der Mindestbewehrung aufnehmbares Biegemoment im Zd. II:

d90,0fam ykmin,sMin ⋅⋅⋅=

Mindestbewehrung

m/cm7,110155,09,0500

01188,0d9,0f

ma 24

yk

rmin,s =⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

ist nicht maßgebend. Die Feldbewehrung (R 335A) wird durchgehend verlegt. Querkraftbemessung

Für die Bemessung ist der Schnitt - am Auflagerrand - für Druckstrebennachweis - im Abstand "d" vor Auflagerrand - für Zugstrebennachweis maßgebend. Die Überprüfung, ob Schubbewehrung erforderlich ist, erfolgt mit Schnittgrößen am Auflagerrand. Die Bemessung der Druckstrebe kann bei Platten im Allgemeinen entfallen.

DIN 1045 13.1.1 (1)

VEd -Druckstrebennachweis

d

d

VEd -Querkraftbewehrung

DIN 1045-1 9.1.7 Tab. 9

DIN 1045-1 13.1.1 (3)


IV-29

Maßgebende Querkräfte am Innenauflager m/kN75,35vmax Ed = am Auflagerrand m/kN75,3335,1315,075,35v Rand,Ed =⋅−= im Abstand d vom Auflagerrand νEd

Bem = 33,75-0,155⋅13,35=31,68 kN /m Querkrafttragfähigkeit der Stahlbetondecke (Ortbeton h = 18cm) ohne Schubbewehrung:

( ) db]12,0f10010,0[v wcd3/1

ck11ct,Rd ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= σρκη

mit η1 = 1,0 für Normalbetone

κ = 2 ; 14,21552001 =+=κ < 2 (d = 155mm )

ρ1 = 02,00028,05,15100

29,4db

a 1s ≤=⋅

=⋅

1sa - obere Bewehrung im Stützquerschnitt

cdσ c

Ed

AN

= = 0

( ) 055,0155,00,1]0200028,010021,01[v 3/1ct,Rd =⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= MN/m

m/kN75,33v BemEd = < 55v ct,Rd = kN/m

es ist keine Schubbewehrung erforderlich. 4.11.1.3 Ausführung der Decke als Elementplatte mit Ortbetonergänzung Für die Elementplatte (h = 6 cm) wurde ein Beton C25/30 verwendet, die Ortbetonergänzung (h = 12 cm) besteht aus Beton C20/25. In allen Nachweisen sind die Festigkeiten des Betons C20/25 anzusetzen. Die Schubtragfähigkeit der Fuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergän- zung (ohne Anordnung der Verbundbewehrung) errechnet sich wie folgt:

[ ] bf042,0v Nd3/1

ckct1ct,Rd ⋅⋅−⋅⋅⋅= σµβη

mit η1 = 1 für Normalbetone, für Leichtbetone siehe Glg. (5) βct = 2,0 raue Fuge (βct = 2,0 Fuge glatt) fck = 20 MN/m2, Druckfestigkeit des Ortbetons

µ =0,7 (µ =0,6 Fuge glatt) σNd = 0m/MN003,0025,012,0 2 ≈=⋅− b = 1m

230m/MN230,0003,07,0200,21042,0v 3/1ct,Rd ==⋅+⋅⋅⋅= kN/m

DIN 1045-1 10.3.3 Glg. (70)

DIN 1045-1 10.3.1 (2)

DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (84)

DIN 1045-1 10.3.6 Tab. 13

DIN 1045-1 10.3.6 Tab. 13


IV-30

Beanspruchung der Schubfuge: Die über die Fuge zu übertragende Schubkraft pro Längeneinheit ergibt sich aus:

z

VFF Ed

cd

cdjEd ⋅=ν

Da die gesamte Druckkraft entweder im Fertigteil (Stützquerschnitt) oder in Ortbeton (Feldquerschnitt) liegt, muß die volle Schubkraft über die Fuge übertragen werden. Es gilt überall cdF = cdjF .

z/vmax Rand,EdEd =ν

Mit z=14,7 cm (aus Biegebemessung im Stützquerschnitt) erhält man:

m/kN229147,0/75,33max Ed ==ν

Es ist keine Verbundbewehrung zw. Elementplatte und Ortbetonergän-zung erforderlich. (Bei Endauflagern ohne Wandauflast ist entlang der Auflagerlinie eine konstruktive Verbundsicherungsbewehrung von 6 cm2/m anzuordnen. Diese sollte auf einer Breite von 0,75 m angeordnet werden, was einen Querschnitt von 6/0,75 = 8 cm2/m2 bedeutet.) Für eine glatte Fuge ändert sich die Bemessung wie folgt: βct = 2,0 , µ=0,6 vEd = 0,229 MN/m

[ ] bf042,0v Nd3/1

ckct1ct,Rd ⋅⋅−⋅⋅= σµβη m/MN160,006,0204,11042,0v 3/1

ct,Rd =⋅+⋅⋅⋅= kN/m

Verbundbewehung ist erforderlich , (Querkraftbew. ist nicht erfordelich)

erfααθ

σµsin)cot(cotf

bvayd

NdEds ⋅+⋅

⋅⋅−= =

224 m/cm20,2101)039,2(435

106,0229,0=⋅

⋅+⋅⋅⋅−

=

Mit α 90° Neigung der Verbundbewehrung

θ 23° Neigung der Druckstrebe wobei θ aus nachstehender Gleichung ermittelt wurde:

Edct,Rd

cdcdv/v1

f/4,12,1cot0,1−

⋅−≤≤

σµθ ≤ 3 für Normalbeton

σcd ≈ 0 Längsnormalspannung im Gesamtquerschnitt

339,2229/1601

3,13/04,16,02,1cot0,1 ≤=−

⋅−⋅≤≤ θ 39,2cot =θ

die Auflast aus Ortbeton- ergänzung von 0,12m ⋅25 kN/m3 wurde vernachlässigt; σNd = 0

DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (83)

DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (86)

θ α=90

µ⋅σNd⋅b

σNd

Fsdw

θ α=90

µ⋅σNd⋅b

σNd

Fsdw

DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (84)

DIN 1045-1 13.4.3 (5)

DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (85)


IV-31

4.11.1.4 Bemessung mit Gitterträgern Bei der Querkraftbemessung in diesem Kapitel werde Bemessungshilfen und Gitterträger der Farma Filigran verwendet.

Bemessungsquerkraft

Für die Bemessung der Querkraftbewehrung ist der Schnitt im Abstand "d" vor Auflagerrand maßgebend. νEd

Bem = 33,75-0,155⋅13,35=31,68 kN /m Für die Bemessung der Verbundbewehrung ist der Schnitt am Auflagerrand maßgebend m/kN75,35vmax Ed = Querkraft der Stahlbetondecke ohne Schubbewehrung

h = 18cm, d = 15,5cm ρ1 = 0,028 im Stützquerschnitt ( ) db]12,0f10010,0[v wcd

3/1ck11ct,Rd ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= σρκη

Bild 17: (FI-Norm E-4539) Grafische Ermittlung von vRd,ct

Es kann eine Tragfähigkeit von vRd,ct ≈ 55 kN/m = abgelesen werden. Es ist keine Querkraftbewehrung erforderlich.

DIN 1045-1 10.3.3 Glg. (70)


IV-32

Beanspruchung der Fuge zw. Fertigteil und Ortbeton Schubkraft pro Längeneinheit wie zuvor unter 4.11.1.3:

m/kN229147,075,33

zv

zV

FF Rand,EdEd

cd

cdjEd ===⋅=ν

mit z = 14,7 cm aus Biegebemessung im Stützquerschnitt

z = d-2⋅cnom,Druckbew. wird nicht angesetzt, da keine Schubbew. erf.

Verbundbewehung zw. Fertigteil und Ortbeton Wie unter 4.11.1.3 ermittelt, erhält man für eine raue Fuge eine Trag-fähigkeit, die größer ist als die Beanspruchung.

vRd,ct,rau = 230 kN/m > vEd,max = 229 kN/m,

so dass keine Verbundbewehrung erforderlich wird. Im vorliegenden Fall ist auch keine Mindestbewehrung anzuordnen.

Bei einer glatten Fuge (vRd,ct,glatt = 160 kN/m) ist eine Verbundbewehung erforderlich. Es ist ausreichend niedrige Gitterträger zu verwenden (lichtes Abstand zw. Unterkante Obergurt und OK Fertigteil a ≥ 2,0 cm).

bsin)cot(cotfav Ndydssy,Rd ⋅⋅−⋅+⋅⋅= σµααθ ≥ vEd,max

gewählt: D11, Abstand = 75 cm, vRd,sy = 265 kN/m > vEd = 229 kN/m sq,max = 75 cm ≤ 75 cm < 5 ⋅18 cm = 90cm

DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (83)

Querkraft

bei Kombination: vRd,sy = vRd,sy(E/D) + vRd,sy(EQ)


IV-33

4.11.2 Unterzug

4.11.2.1 System, Schnittgrößen,Vorwerte

Die Ergebnisse der Biegebemessung werden aus Kap. III übernommen. Die Querkraftbemessung wird hier nur für den Fall der elastisch ermittelten Schnittgrößen, ohne Umlagerung durchgeführt. Übersichtlichkeitshalber werden die für die Querkraftbemessung wesen- tlichen Parameter aus der Biegebemessung hier nochmals zitiert. Statisches System: Zweifeldträger mit leff,1 = leff,2 = 7,5 m Auflagertiefe a1 = a2 = a3 = 0,3 m Querschnitt: Plattenbalkenquerschnitt bw = 30 cm, h = 70 cm, d = 65 cm beff1 = beff,2 = 1,107 m, beff =2,51 hf = 18 cm, Werkstoffe: Steg als Teilfertigteil aus C25/30 Platte als Elementdecke h = 6 cm, C25/30, mit 12 cm Ortbetonergänzung in C20/25 Belastung: ständige Deckenlast g1 = 6 kN/m2 ⋅ 5m = 30 kN/m Eigengewicht Steg g2 = 0,30 ⋅ 0,52 ⋅ 25 = 3,9 kN/m Σgk = 33,9 kN/m

Verkehrslast der Decke qk = 3,5 kN/m2 ⋅ 5 = 17,5 kN/m

Bemessungswert der Belastung pd = 72,01 kN/m Schnittgrößen: Die für die Bemessung maßgebenden Schnittgrößen sind in der Tabelle B1 zusammengestellt. Der Schnittgrößenverlauf im Feld 1 (Bemessungswerte) ist im Bild B1 dargestellt. Bild B1: Bemessungswerte des Biegemomentes MEd und der Querkraft VEd

VEd MEsd

A B B

Im Kapitel III wurden als Unterzugbelastung die unter Volllast ermittelte Auflagerre-aktionen der Platte angesetzt.

DIN 1045-1 7.3.2 (3): Die maßgebenden Querkräfte dürfen unter Vollbelastung aller Felder ermittelt werden. Im Rahmen des Beispiels wurde die ungünstigste Laststellung berücksichtigt.

DIN 1045-1 7.3.1 (2) und (3) mitwirkende Plattenbreite im Feld beff1 = 0,1⋅0,85⋅7,5+0,2⋅(4,7/2) = 1,107 < 0,2⋅0,85⋅7,5 = 1,275m beff = 2⋅1,107+0,30 = 2,51 m


IV-34

Tabelle B1: Maßgebende Schnittgrößen für die Unterzugsbemessung Biegebemessung im Feld: Querschnitt beff = 2,51m, d = 65 cm, hf = 18 cm Druckzone in der Platte C20/25 mit fcd = 11,33 MN/m2 Feldmoment MEds = 320,48 kNm

027,00267,033,1165,051,2

3205,0fdb

M2

cd2Eds

Eds ≈=⋅⋅

=⋅⋅

=µ

0275,0=ω 052,0=ξ cm18cm4,365052,0x <=⋅= 982,0=ς cm8,6365982,0z =⋅= 2

sd m/MN457=σ

( ) 241s cm12,111033,1165,051,20275,0

4571aerf =⋅⋅⋅⋅=

Gewählt: 4 ∅ 20mm = 12,57 cm2

davon werden 2 ∅ 20 mm zum Auflager geführt. Bemessung über der Zwischenstützung Querschnitt bw = 0,3m, d = 65 cm Druckzone im Steg C25/30 mit fcd=14,17 MN/m2 Stützmoment MEds = 506,36 kNm; ausgerundet MEds =481,04 kNm

27,0268,017,1465,030,0

481,0fdb

M2

cd2Eds

Eds ≈=⋅⋅

=⋅⋅

=µ

3209,0=ω 834,0=ς cm5465835,0z =⋅= 25,51s =ε o/oo 2

sd m/MN438=σ

( ) 241s cm24,201017,1465,03,03209,0

4381aerf =⋅⋅⋅⋅=

Gewählt: 3 ∅ 25mm + 2 ∅ 20mm = 14,73 +6,28 = 21,02 cm2 davon 3 ∅ 25 mm im Steg, 2 ∅ 20 mm in die Platte

gammafache MEd,B MEd,Bmin MEd,1 MEd,2 VEd,A VEd,Bl VEd,Br VEd,C Schnittgrößen [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kN] [kN]

Schnittgrößen elast. -506,36 -329,13 320,48 320,48 214,85 -337,57 337,57 214,85 mit Ausrundung -481,04

DIN 1045-1 9.2.4 Bild 27 Linie 2 - Arbeitslinie des Stahls mit ansteigendem Ast Bemessung mit µEds-Tafel aus Schneider Bautab. 14. Auf.

DIN 1045-1 9.1.6

DIN 1045-1 9.1.6 Glg. (57): fcd DIN 1045-1 9.1.6 Tab. 9: fck

DIN 1045-1 7.3.2 (2): Ausrundung ∆MEd = BEd⋅a/8


IV-35

4.11.2.2 Bemessung für Querkraft

Die Querkraftbemessung erfolgt unter den maximalen Querkräften, die sich aus der ungünstigsten Anordnung der Verkehrslasten ergeben. Bemessung am Zwischenauflager Auf die Überprüfung der Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung wird verzichtet. Die Bemessung erfolgt für lotrechte Bügelbewehrung. Die Druckstrebenneigung wird ermittelt. Der Bemessung wird der innere Hebelarm der Kräfte aus der Biegebemessung zu Grunde gelegt. Druckstrebentragfähigkeit

Die Druckstrebenneigung θ darf gewählt werden im Bereich:

Edc,Rd

cdcd

V/V1f/4,12,1

cot58,0−

⋅−≤≤

σθ ≤ 3 für Normalbeton.

Wobei zbf

2,11f10,0V wcd

cd3/1ck1ctc,Rd ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅=

σηβ

mit η1 = 1 βct = 2,4

fck = 20 MN/m2 fcd = 11,3 MN/m2 σcd = 0 bw = 0,3 m z = 0,54 m aus Biegebemessung

MN106,054,03,03,11

02,1120110,04,2V 31

c,Rd =⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅=

Bemessungsquerkraft am Auflagerrand:

VEd = VEdBl -pd⋅a2/2 = 337,57 - 70,01⋅0,3/2 = 327,06 kN

und schließlich cot θ

378,1327/1061

3,11/04,12,1cot58,0 ≤=−

⋅−≤≤ θ

Der Nachweis erfolgt mit cot θ = 1,78 (θ = 29°) Bei α = 90° (Bauteile mit vertikaler Schubbewehrung) erhält man die Querkrafttragfähigkeit des Querschnittes hinsichtlich der Tragfähigkeit der Druckstrebe aus Glg.(14):

θθ

αtancot

fzbV cdcw

max,Rd +⋅⋅⋅

= = MN588,078,1/178,1

33,1175,054,03,0=

+⋅⋅⋅

= VRd,max > VEd ; VEd/VRd,max = 327/588 = 0,56 < 0,6

DIN 1045-1 10.3.4.(5): Bei Anordnung von lotrechten Bügeln darf bei biegebeanspruch-ten Querschnitten die Druckstre-benneigung näherungsweise mit cotθ =1,2 angesetzt werden.

DIN 1045-1 10.3.4 (3), Glg. (73)

DIN 1045 10.3.4 (3), Glg. (74)

pd = 33,0⋅1,35 + 17,5⋅1,5 = 70,01 kN/m

DIN 1045-1 10.3.4 (6), Glg. (76)


IV-36

Die zur Sicherung der Tragfähigkeit der Zugstrebe erforderliche Quer-kraftbewehrung ergibt sich nach Glg. (13) zu:

θcotzf

VsA

ayd

Ed

w

swsw ⋅⋅

==

Die maßgebende Querkraft (im Abstand d vor Auflagerrand) beträgt

VEd = VEdBl - pd⋅(a2/2+d)

= 337,57 - 70,01⋅(0,3/2+0,65) = 281,51 kN,

die erforderliche Schubbewehrung

m/cm72,61078,154,0435

281,0a 24sw =⋅

⋅⋅= .

Bemessung am Endauflager Die Bemessung am Endauflager ergibt erforderliche Schubbewehrung von:

erf asw = 2,0 cm2/ m , Mindestschubbewehrung Aus Glg. (23)

www

sw minsinbs

Aρ

α≥

⋅⋅=0,83o/oo nach Tab. 2

erhält man:

=⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αρ sinbmin

sA

wwminw

sw

m/cm49,2103,01000

83,0 24 =⋅⋅=

Am Zwischenauflager ist die Mindestschubbewehrung nicht maßgebend. Anordnung der Querkraftbewehrung Verwendet werden ausschließlich senkrechte Bügel. Der Bügelabstand ist nach Tabelle 3 zu begrenzen. Für das vorliegende Beanspruchungsniveau ergibt sich ein maximaler Abstand der Bügelschenkel in Längs-, und Querrichtung zu:

VEd /VRd, max = 0,56 ≤ 0,6 Längsrichtung: smax = 0,5h = 350 mm = 300 mm Querrichtung; smax = h = 700 mm = 600 mm VEd /VRd, max = ≤ 0,3 Längsrichtung: smax = 0,7h = 490 mm = 300 mm

Gewählt*): Auflager B Bügel ∅ 10 mm a´= 24 cm (6,54 cm2/m)

Mindestbew. Bügel ∅ 8 mm a´= 30 cm (3,35 cm2/m)

Auflager A + C Bügel ∅ 8 mm a´= 30 cm (3,35 cm2/m)

DIN 1045-1 10.3.2 (1): Ermittlung der Schubbewehrung mit Querkraft im Abstabd d vom Auflagerrand

DIN 1045-1 13.1 Tabelle 29 min ρw für C25/30 - Stegbeton

DIN 1045-1 10.3.4 (4)

DIN 1045-1 13.2.3 Tab. 31

für VEd/VRd,max siehe S. V- 27

*) - die hier ermittelte Bewehrung muß zur Sicherung der Fuge zw. Steg und Platte verstärkt werden, siehe Punkt 4.8.2.4


IV-37

4.11.2.3 Anschluss von Zug- und Druckgurten an Stege

Anschluß des Druckgurtes - Feldbereich Aufzunehmende Längsschubkraft VEd in der Fuge innerhalb der Bezugs- länge av (halber Abstand zwischen Momentennullpunkt und Momenten- höchstwert) wird aus der Längskraftdifferenz des Druckgurtes ∆Fcd bestimmt.

eff

i,effEd

Druckzone

Gurt,cEdFuge,EdGurt,cd b

bz

MA

Az

MVF ⋅≈⋅==

∆∆

Abstand zwischen Momentennullpunkt und -höchstwert im Feld 1 beträgt

l* = 2,97m

näherungsweise l* = 0,8⋅ leff⋅ 0,5 = 0,8⋅7,5⋅0,5 = 3m

Hiermit ist der Anschluß des Druckgurtes für zwei Bereiche der Länge av = 1,49m zu bemessen. Momentenzuwachs innerhalb av = 1,49 0<x<1,49m

∆MEd = MEd(x = 1,49m) = AEd⋅x - pd ⋅x2/2 = = 215⋅1,49 - 70,01⋅1,492/2 = 242,6 kNm

Momentenzuwachs innerhalb av = 1,49 1,49<x<2,97m

∆MEd = MEd,max - MEsd(x = 1,49m) = 320- 242,6 = 77,5 kNm Mit z = 63,8 cm aus der Biegebemessung im Feld ergibt sich:

∆Fcd = 242,6/ 0,638 = 380 kN für 0 < x <1,49 m ∆Fcd = 77,5/ 0,638 = 121 kN für 1,49 < x < 2,97m,

und weiter mit beff,1 = beff,2 = 1,11m beff = 2,51m

erhält man die über die (eine) Schubfuge einzuleitende Kraft zu:

kN16851,211,1kN380V Fuge,Ed =⋅= 0<x<1,49m

und kN5351,211,1kN121V Fuge,Ed =⋅= für 1,49<x<2,97m.

Die Querkafttragfähigkeit der Schubfuge hinsichtlich des Betonversagens (wird im Normalfall nicht maßgebend) erhält man aus Glg. (17).

θθ

αtancot

fahV cdcvf

max,Rd +

⋅⋅⋅= mit cotθ = 1,2 für Druckgurte.

kN168VMN49,12,1/12,1

33,1175,049,118,0V Edmax,Rd =>>=+

⋅⋅⋅=

1,49 1,49m

DIN 1045-1 13.3.5 (2)

gemessen im Bild unten

DIN 1045-1 10.3.5 (3)

beff = 2,51m

1,11m

3,4 cm


IV-38

Die erforderliche Anschlußbewehrung ergibt sich mit Glg.(18) zu

θcotaf

VsA

avdyd

Ed

f

sfsf ⋅⋅

==

= m/cm15,2102,149,1435

168,0 24 =⋅⋅

0<x<1,49 m

= m/cm7,0102,149,1435

053,0 24 =⋅⋅

1,49<x<2,97m

Die vorhandene Biegezugbewehrung der Decke darf auf die Anschluß- bewehrung voll angerechnet werden. Mit as,vorh = 4,29 cm2/m ist die Bewehrung an der Plattenoberseite ausreichend dimensioniert. An der Unterseite ist ein Bewehrungsquerschnitt von ½ 2,15 = 1,07 erforderlich. Anschluß des Zuggurtes - Stützbereich Im Stützbereich des Unterzuges wurde die Biegezugbewehrung teilweise außerhalb des Steges verlegt. Die daraus resultierende Schubbeanspruchung der Fuge zwischen Steg und Gurt kann wie im Beispiel zuvor aus den Differenzen der Gurt-Längszugkraft innerhalb der Basislänge av ermittelt werden. Näherungsweise gilt Glg. (16):

Fsd = 1s

Gurt,1sEdEd A

Az

MV ⋅=

∆

Der Gesamtlängsschub ∆MEd /z ist innerhalb von av = 2,41m/2 zu bestimmen. Näherungsweise wird hier die Anschlußbewehrung (auf der sicheren Seite liegend) mit ∆MEd=MEd

B ermittelt. z = 54 cm (aus Biegebemessung) As1,Gurt = 3,14 cm2 (1 ∅= 20 mm) As1 = 21,02 cm2 MEd

B = -506,3 kNm

ist je Länge av = 1,21m des Anschlusses ein Längsschub aufzunehmen von:

kN14002,2114,3

54,0506VEd =⋅=

Die Querkafttragfähigkeit der Schubfuge hinsichtlich der Druckstrebe ist mit av = 1,21 und cot θ = 1 für Zuggurte ausreichend.

kN140VMN91,011

33,1175,021,118,0V Edmax,Rd =>>=+

⋅⋅⋅=

Die erforderliche Anschlußbewehrung von

m/cm65,2100,121,1435

140,0a 24sf =

⋅⋅=

ist je zur Hälfte an der Plattenoberseite und -unterseite zu verlegen. Vorhanden ist: oben - as,vorh = 4,29 cm2/m, unten – R 353A

DIN 1045-1 10.3.5 (3)

vgl. Seite V-32

gemessen im Bild auf Seite V-29, Stützmoment

DIN 1045-1 10.3.5 (4)

DIN 1045-1 10.3.5 (3)

DIN 1045-1 10.3.5 (4)


IV-39

4.11.2.4 Nachweis der Schubfuge zwischen Steg und Gurt

Es wird überprüft, ob eine Verbundbewehrung zwischen dem Steg-Fertigteil und der Platte erforderlich ist. Die Aufnahme Schubbeanspruchung wird unter Einsatz der vorhandenen Querkraftbewhrung des Steges nachgewiesen. Der Nachweis wird nur für Stützbereich (Platte unter Zugbeanspruchung) geführt. Es wird angenommen, dass die Fugenoberfläche verzahnt ausgebil- det wurde. Schubbeanspruchung in der Fuge

Die über die Fuge zu übertragende maximale Schubkraft pro Längeneinheit ergibt sich aus Glg. (20) zu:

z

VFF Ed

cd

cdjEd ⋅=ν

Da die Druckzone bzw. die Biegezugbewehrung vollständig auf einer Seite der Fuge liegt ist Fcd = Fcdj. Hiermit gilt an der Stelle der höchsten Beanspruchung, links des Zwischen- auflagers:

m/kN605cm54,0

kN06,327zmin

Vmax EdEd ===ν

Fuge ohne Verbundbewehrung

Die Schubtragfähigkeit der Fuge ohne Verbundbewehrung vRd,ct wird nach Glg. (21) ermittelt. Es wird angenommen, dass die Fuge "verzahnt" ausgebil- det ist. [ ] bf042,0v Nd

3/1ckct1ct,Rd ⋅⋅−⋅⋅⋅= σµβη

mit η1 = 1 für Normalbetone βct = 2,4 Rauigkeitsbeiwert nach Tabelle 1 fck = 20 Betondruckfestigkeit des Ortbetons

µ = 1 Reibungsbeiwert nach Tabelle 1 σNd = 0 Normalspannung senkrecht zur Fuge (Auflagerpressung der Decke wird nicht angesetzt) b = 24 cm Breite der Kontaktfläche = 30 - 2⋅3,0 cm mit 3 cm Auflagertiefe der Elementdecke

[ ] m/kN6,651024,000,1204,21042,0v 33/1ct,Rd =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= .

Verbundbewehrung muß angeordnet werden.

Oberfläche βct µ

verzahnt 2,4 1,0

rau 2,0 0,7

Glatt 1,4 0,6

Sehr glatt 0 0,5

24 cm

bw = 30cm

DIN 1045-1 10.3.6 (2)

z - aus Biegebemessung

DIN 1045-1 10.3.6 (3)


IV-40

Erforderliche Verbundbewehrung

Die mit Hilfe der Verbundbewehrung aufnehmbare Querkaftbeanspru-chung beträgt nach Glg. (20): bsin)cot(cotfav Ndydssy,Rd ⋅⋅−⋅+⋅⋅= σµααθ Die bereits vorhandene Bügelbewehrung aus der "normalen" Querkraftbe-messung kreuzt die Fuge unter einem Winkel von α = 90° . Die Druckstrebenneigung kann bei Druckgurten nach Glg. (24) explizit ermittelt werden, oder ungünstigst, mit θ = 45° (cot θ = 1,0) angesetzt werden. Bei Zuggurten, wie im vorliegenden Fall, ist mit θ = 45° zu rechnen. Damit errechnet sich vRd,sy zu

νRd,sy = 6,54⋅104⋅ 435⋅ (1+0)⋅1 − 1,0⋅0⋅0,24 = 0,284 MN/m

wobei die Auflast aus Stahlbetondecke unberücksichtigt bleibt

Die vorhandene Schubbewehrung ist nicht ausreichend.

Der maximal erforderliche Querschnitt der Verbundbewehrung am Auflagerrand der Zwischenstützung beträgt somit:

ααθ

σµsin)cot(cotf

bva

yd

NdEds ⋅+⋅

⋅⋅−=

m/cm90,131)01(435

605,0a 2s =

⋅+⋅=

Die Ermittlung der Verbundbewehrung für weitere Bemessungspunkte sowie ihre Verteilung über die Bauteillänge wird im Rahmen dieses Beispiels nicht durchgeführt.

θ α=90

µ⋅σNd⋅b

σNd

Fsdw

DIN 1045-1 10.3.6 (5), Glg. (85)

DIN 1045-1 10.3.6 (5), Glg. (86)

DIN 1045-1 10.3.6 (5)

siehe DIN 1045-1 10.3.6 (6)

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4 Bemessung für Querkraft - Wasser, Umwelt, Bau und ... 1045-1: Bemessung für Querkraft IV-2 Bleibt die einwirkende Querkraft unter dem VRd,ct Wert, ist rechnerisch keine Querkraft-bewehrung