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Prof. Dr. Wandinger 5. Methode der finiten ElementeStrukturdynamik

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4. Transiente Analyse

● Bei der transienten Analyse wird der zeitliche Verlauf der Antwort auf eine zeitlich veränderliche Last bestimmt.

● Die zu lösende Bewegungsgleichung lautet:

● Die transiente Analyse wird verwendet, um die Antwort auf eine stoßartige Anregung zu ermitteln.

[ M ] [ u ]+ [ D ] [ u ]+ [ K ] [ u ]= [ l ]


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4. Transiente Analyse

4.1 Direkte transiente Analyse

4.2 Modale transiente Analyse

4.3 Praktische Hinweise


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● Methode:

– Die Bewegungsgleichung wird mit einem Zeitintegrations-verfahren gelöst.

– Gebräuchlich sind die Methode der zentralen Differenzen, die Methoden von Houbolt, von Wilson, von Newmark und von Hilber, Hughes und Taylor.

● Vorteile:

– Es werden keine weiteren Näherungen gemacht.

– Es muss keine Modalanalyse durchgeführt werden.

– Es lassen sich auch Nichtlinearitäten berücksichtigen.


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● Nachteile:

– Wenn die Antwort für einen längeren Zeitabschnitt berech-net werden muss, kann die Berechnung sehr aufwändig werden, und es fallen sehr viele Daten an.

● Einsatz:

– Bei linearen Systemen wird die direkte transiente Analyse nur zur Kontrolle der modalen transienten Analyse verwen-det.


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● Die Methode von Newmark:

– Gegeben sind die Anfangswerte:

– Aus der Bewegungsgleichung folgt:

– Der zu untersuchende Zeitbereich T wird in gleich große In-tervalle Δt unterteilt.

– Für die Verschiebungen und Geschwindigkeiten zum Zeit-punkt werden die folgenden Ansätze ge-macht:

[ uL0 ]=[ uL(0)] , [ uL

0 ]=[ uL(0) ]

[ uL0 ]=[ M L L ]

−1 ( [ lL0 ]− [ DL L ] [ uL

0 ]−[ K L L ] [ uL0 ] )

t n+1=(n+1)Δ t

[ uLn+1 ]=[ uL

n ]+( (1−β ) [ uLn ]+β [ uL

n+1 ] )Δ t (1)[ uL

n+1 ]=[ uLn ]+ [ uL

n ] Δ t+( (1/2−α ) [ uLn ]+α [ uL

n+1 ] )Δ t 2 (2)


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– α und β sind Parameter, von denen die Genauigkeit und die Stabilität des Verfahrens abhängen.

– Für die Standardwerte α=0,25 und β=0,5 ist das Verfahren unbedingt stabil.

– Als dritte Gleichung zur Bestimmung von Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt tn+1 dient die Bewegungsgleichung für den Zeitpunkt tn+1 :

– Aus (2) folgt:

[ M L L ] [ uLn+1 ]+ [ DL L ] [ uL

n+1 ]+ [ K L L ] [uLn+1 ]= [ l L

n+1 ] (3)

[ uLn+1 ]=

[ uLn+1 ]− [uL

n ]αΔ t 2 −

[ uLn ]

αΔ t −(1

2 α−1) [ uL

n ] (2')


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– Einsetzen von (2') in (1) ergibt:

– Einsetzen von (1') und (2') in (3) führt auf:

[ uLn+1 ]=

β

αΔ t ( [ uLn+1 ]−[ uL

n ] )+(1−βα ) [ uL

n ]+(1−β

2α ) [ uLn ] Δ t (1')

(1

αΔ t 2 [ M L L ]+β

αΔ t [ D L L ]+ [ K L L ]) [ uLn+1 ]

= [ lLn+1 ]+ [ M L L ]( 1

αΔ t 2 [ uLn ]+

1αΔ t [ uL

n ]+(1

2α−1) [ uL

n ])+ [ DL L ](

β

αΔ t [ uLn ]+( βα−1) [ uL

n ]+(β

2α−1)Δ t [ uL

n ])


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– Aus dieser Gleichung können die Verschiebungen be-stimmt werden.

– Die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen können dann mit (1') und (2') berechnet werden.

[ uLn+1 ]


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● Methode:

– Die Antwort wird durch eine Überlagerung von Eigenvekto-ren approximiert. Dabei ist die Anzahl der verwendeten Ei-genvektoren klein im Vergleich zur Anzahl der Freiheitsgra-de.

● Vorteile:

– Die zu lösende Bewegungsgleichung ist von wesentlich kleinerer Dimension als bei der direkten transienten Analy-se.

– Im Falle von modaler Dämpfung ergeben sich entkoppelte Bewegungsgleichungen.


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● Nachteile:

– Die Methode liefert eine Näherungslösung der Bewegungs-gleichung.

– Es muss zuerst eine Modalanalyse durchgeführt werden, um die Eigenvektoren und Eigenfrequenzen zu ermitteln.

● Einsatz:

– Bei linearen Systemen ist die modale transiente Analyse die Standardmethode.


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● Modale Reduktion:

– Die Verschiebungen werden durch eine Überlagerung der ersten p Eigenvektoren approximiert:

– Einsetzen in die Bewegungsgleichung und Projektion auf die Eigenvektoren ergibt:

– Die Gleichungen sind nur über die Dämpfungsmatrix ge-koppelt.

[uL(t ) ]≈ [uLp(t )]=∑

n=1

p

[ x n ] qn (t )= [ X p ] [ q p(t )]

[ M ] p [ q p ]+ [ D ] p [ q p ]+ [ K ] p [ q p ]= [ l ] p


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● Anzahl der benötigten Eigenvektoren:

– Zunächst muss eine Fourier-Transformation der Anregung durchgeführt werden.

– Anhand der Fourier-Transformation wird eine Abschneide-frequenz fc festgelegt, unterhalb der die wesentlichen Fre-quenzanteile liegen.

– Der durch das Abschneiden eingeführte Fehler kann an-hand einer inversen Fourier-Transformation der abgeschnit-tenen Fourier-Transformierten beurteilt werden.

– Eine andere Möglichkeit besteht darin, mithilfe der Funktion resample den Einfluss einer Erniedrigung der Abtastrate zu untersuchen.


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– Bei der modalen Reduktion sind im Allgemeinen alle Eigen-schwingungen mit fn < 3 fc zu berücksichtigen.

– Eine genauere Bewertung kann mithilfe der modalen Formänderungsenergien durchgeführt werden.

● Lösung des gekoppelten Systems:

– Wenn die Bewegungsgleichungen für die modalen Koeffizi-enten über die Dämpfung gekoppelt sind, können für die zeitliche Integration die gleichen Verfahren wie bei der di-rekten transienten Analyse verwendet werden.

– Durch die modale Reduktion wird jedoch die Größe des zu lösenden Systems erheblich reduziert.


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● Lösung der entkoppelten Gleichungen:

– Bei modaler Dämpfung sind die Gleichungen für die moda-len Koeffizienten entkoppelt:

– Die Lösung ergibt sich durch Faltung mit der Impulsantwort-funktion:

qn+2 Dn ωn qn+ωn2 qn=[ x n ]

T[ lL ] , n=1, ... p

mit hn(τ)={0 für τ<0

1ωdn

e−δn τ sin (ωdn τ) für τ≥0,

δn=ωn Dn

ωdn=ωn √1−Dn2

qn (t )=∫0

t

hn (τ) [ xn ]T

[ lL(t−τ)] d τ


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– Wenn das Integral numerisch berechnet wird, muss für den Zeitschritt gelten:

– Die so berechnete Lösung gehört zu homogenen Anfangs-bedingungen, d. h. Verschiebungen und Geschwindigkeiten sind am Anfang null.

– Wenn die Anfangsbedingungen nicht homogen sind, muss eine geeignete Kombination von Lösungen der homogenen Gleichung überlagert werden.

Δ t < 16 f p


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● Restmodekorrektur:

– Wie bei der Frequenzganganalyse lässt sich die Genauig-keit der modalen Reduktion durch eine Restmodekorrektor verbessern.

– Für zeitlich veränderliche Lasten der Form

lautet die Korrektur

mit

[ l (t )]=∑k

[ l k ] ϕk (t )

[ uLs(t ) ]=∑

k[uLk

s ] ϕk (t )

[ uLks ]=[ K L L ]

−1 ( [ lLk ]−[ M L L ] [ X p ] [ X p ]T

[ lLk ] )


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● Netzfeinheit:

– Sowohl bei der direkten als auch bei der modalen transienten Analyse muss der p-te Eigenvektor durch die Vernetzung ab-gebildet werden können.

– Die Anzahl p der benötig-ten Eigenvektoren kann mithilfe der modalen Formänderungsenergien ermittelt werden.

● Zeitschritt:

– Der Zeitschritt muss so klein gewählt werden, dass das Verhalten der höchsten berücksichtig-ten Eigenschwingung wiedergegeben werden kann:

– Außerdem muss der Ver-lauf der Last wiedergege-ben werden können.

Δ t <T min

6=

16 f p


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● Simulationsdauer:

– Die Simulationsdauer sollte so lange gewählt werden, dass alle wesentlichen Effekte erfasst werden.

– Ausschlaggebend dafür ist die Periode der ersten Eigen-schwingung.

– Als Richtwert gilt:

– Dabei ist tl die Dauer, während der die Last wirkt, und

die Periode der ersten Eigenschwingung.

t S=t l+n T 1 mit n zwischen 3 und 7

T 1=1/ f 1


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● Beispiel:

– Daten:● a = 2,5 m● E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3

● A = 10-4 m2, Iz = 10-6 m4

● Dämpfung:

2a

x

y

A

B

C

D E

K

H

G

F

l(t)

a

a

a

Dn=12 (αK ωn+

αMωn )

mit αK =2⋅10−5 s , αM=71s


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– Belastung:● Für die im Punkt G angreifende Kraft gilt

● Aus der Fourier-Transformation ergibt sich für die Abschnei-defrequenz:

● Die Abbildung auf der nächsten Seite zeigt eine gute Über-einstimmung zwischen ϕ(t) und der zurück transformierten abgeschnittenen Fourier-Transformierten.

l ( t )=l 0 ϕ( t )

mit ϕ( t )={12 [1−cos (2π

tt 0

)] , 0≤t≤t 0

0, t> t 0

, l 0=100 Nt 0=0,01 s

f c t 0=2 → f c=2t 0

=200 Hz


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– Modale Reduktion:● Aus der Abschneidefrequenz folgt für die Frequenz der

höchsten berücksichtigten Eigenschwingung: fp > 600 Hz

● Die Fehleranalyse anhand der modalen Formänderungsener-gien zeigt, dass bereits 25 Eigenschwingungen ausreichend sind.

● Mit p = 25 gilt: fp = 514,3 Hz


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Modal strain energies of loadcase 1:

mode frequency En/ES Sum 1 - Sum

1 8.70 Hz 9.30696e-01 0.930696 6.93044e-02 2 30.10 Hz 3.87359e-02 0.969432 3.05685e-02 3 50.05 Hz 1.44658e-05 0.969446 3.05540e-02 4 57.53 Hz 7.71215e-06 0.969454 3.05463e-02 5 58.02 Hz 2.59130e-02 0.995367 4.63331e-03 6 60.26 Hz 8.02391e-06 0.995375 4.62528e-03 7 122.86 Hz 5.68203e-05 0.995432 4.56846e-03 8 139.56 Hz 2.51060e-05 0.995457 4.54336e-03 9 156.27 Hz 1.48689e-06 0.995458 4.54187e-03 … … … …

22 441.29 Hz 2.96006e-05 0.998569 1.43144e-03 23 447.48 Hz 1.25179e-07 0.998569 1.43132e-03 24 489.79 Hz 2.96397e-04 0.998865 1.13492e-03 25 514.25 Hz 1.81427e-04 0.999047 9.53496e-04


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– Zeitschritt:● Für den Zeitschritt folgt:

● Verwendet wird ein Zeitschritt von 0,2 ms.● Damit ergeben sich 50 Zeitschritte für die Dauer der Belas-

tung. Damit wird auch die Belastung gut erfasst.

Δ t < 16 f p

=1

6⋅514,3s−1=3,24⋅10−4 s


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– Simulationsdauer:● Mit f1 = 8,70 Hz und gewähltem n = 5 folgt für die Simulations-

dauer:

– Ergebnisse:

t S=t 0+5/ f 1=0,1 s+5/8,70 s≈0,6 s


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