4. Wärmelehre (Thermodynamics)eitidaten.fh-pforzheim.de/.../physik_1/Physik_Bla_WAERMELEHRE.pdf · Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre

Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik

Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre / WS 2014 / 1

4. Wärmelehre (Thermodynamics)

Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘

ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau

Beispiel: Holz und Metall im Hörsaal haben dieselbe Temperatur, fühlen sich aber bei

Berührung unterschiedlich warm an.

→ physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig

4.1 Temperatur (Temperature)

Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen [T] = K

Vergleich Kelvin - °C K °C

absoluter Nullpunkt 0 -273

Siedepunkt N2 77 -196

Schmelzpunkt H2O 273 0

Siedepunkt H2O 373 100

Schmelzpunkt Eisen 1.800 K

Sonne innen 107 K

Sonne außen 6 * 103 K (siehe Kap. Wärmestrahlung)

Der „Erfinder“ & „Konkurrenten“ Celsius und Fahrenheit



Zur Info

Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification)

• Betriebstemperatur (Operating Temperature)

Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann

• Lagertemperatur (Storage Temperature)

Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann,

es ist hierbei nicht eingeschaltet und muss vor dem Einschalten in den

Betriebstemperaturbereich gebracht werden.

Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft,

die Temperatur im Inneren liegt höher.

Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C

Typische Betriebstemperaturen :

Bezeichnung Bereich /°C

Commercial +5 ... + 50

Industrial (indoor) 0 ... +70

Industrial (outdoor) 25 ... +75

Automotive -35 ... +85

Military -55 ... + 125



Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen:

Zustandsgröße Anwendung (Beispiel) Ausführung (Beispiel)

Volumen Flüssigkeits-, Gasthermometer

Längenaus-

dehnung

Bimetall-Thermostat

(Kaffeemaschine)

ungleiche

Metalle

Thermoelement

(Verfahrenstechnik)

Widerstand Pt100 – Messtechnik (Industrie)

'Farbe' des

emittierten

Lichtes

Pyrometer (rotglühender Stahl),

siehe Diagramm

physikalisch –

chemisch

Temperaturstreifen

- Flüssigkristalle reversibel

- chemisch irreversibel

(max. Temperatur)



4.2 Kalorimetrie (Calorimetry)

Wärmemenge (Heat Quantity)

[Q] = J ('Energie')

{

TmcQC

∆=

(WL - 1)

mit m : Masse, [m] = kg, hier oft auch m = ρ V , Werte siehe Tabelle

c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte siehe Tabelle

C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m), Anwendung Messtechnik

∆T : Temperaturdifferenz, [T] = K

Anmerkungen - eigentlich müsste die Formel ∆Q lauten

- Q nicht proportional ∆T falls Phasenübergänge !

Energieformen können ineinander umgewandelt werden.

Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur

Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch

(2. Hauptsatz Thermodynamik)

Mischungstemperatur

Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc.

miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der

Energieerhaltung ein:

mit m : Masse

c : spez. Wärmekapazität

T : Temperatur vor Mischen

...mcmc

...TmcTmcT

2211

222111Misch

++

++=

(WL - 1')

Beispiel heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen:

C50K3232

K646

kg1Kkg

kJ2,4kg1

KkgkJ

2,4

K293kg1Kkg

kJ2,4K353kg1

KkgkJ

2,4TMisch °≡==

⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅

=



Übungsaufgabe: Welche Temperatur messen Sie, wenn Sie in 1l 80°C warme Luft einem

10g schweren Eisen-Temperaturfühler mit der Temperatur von 20°C bringen?

‚Unberechenbar’ : Ort und Temperatur der einzelnen Wassermoleküle zu jedem Zeitpunkt

Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work) →→→→ Wärme (Heat)

z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : Wel = U I t = Q

zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit:

U I t = c m ∆T → ∆T ~ t

Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) !

Gründe:

- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ...

- mögliche Phasenübergänge

Die Messkurve lässt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied

Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60

T nach Einschalten /min

T /°C

Messung

Gleichgewichtstemperatur

exp - Fit

lineare Zunahme



Bsp.: Kinetische Energie in Wärme (Übung)

Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend)

Ekin → Q

→ Qvm21 2 =

Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ?

aus (WL - 1) TmcQ ∆= → mc

QT =∆

Werte: mauto = 1000 kg

mBremsscheibe = 2 kg

v = 30 m/s → 0 m/s (Achtung, siehe Wkin)

ceisen = 500 J/kgK

→ beBremsschei

2Auto

mc2

vmT =∆

Einheiten:

==

2

2

2

22

smkg

JKkgJs

Kmkg

→ ∆T ≈ 450 K

Achtung: Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw.

bei Autorennen mit vielen Kurven !



4.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity)

es gilt: - cp (p = const)

- cV (V = const)

- c = c(T)

- c(0K) = 0

für Festkörper und Flüssigkeiten cp ≈ cV ≈ c

für Gase cp > cV

Material c / Kkg

J @ T ≈ 300 K

Eisen 500

Holz 2.000

Wasser 4.200

Luft cp

cV

1.000

720

Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente

(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß)

Wärmekapazität eines Systems, z.B. Gehäuse, Dewargefäß

C = c m

mit C = C1 + C2 + ... = T

Q

∆

∆

Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell

bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet



Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder anderen

Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle.

Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien

ACHTUNG Näherungswerte! Aluminium Eisen Gold H20

Spez. Wärmekapazität (300K) / Kkg

kJ

Luft : 1 Kkg

kJ

0,90 0,45 0,13 4,2

Schmelztemperatur /°C 650 1.500 1.060 0

spez. Schmelzwärme q / kg

kJ 400 280 70 330

Wärmemenge, um 1 kg von Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ

967 946 205

Siedetemperatur /°C 2.500 2.700 2.700 100

spez. Verdampfungswärme r / kg

kJ 11.000 6.300 1.700 2.250

linearer Ausdehnungskoeffizient

α / K

10 6−

23 12 14

Volumenausdehnungskoeffizient γγγγ / K

1

Festkörper 10-5

Flüssigkeiten 10-4

Gase 10-3

Dichte ρ ; [ρ] = kg / m³ (für homogene Volumina)

Luft: 1,2 kg / m³ ; Eisen: 7.874 kg / m³ ; Aluminium: 2.700 kg / m³ ; Wasser: 1.000 kg / m³



Bsp.: Geräteerwärmung (Übung)

Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte

Temperatur ?

Leistung am Transistor (TO-3, Metall): ∆U = 3V , I = 1A

Kunststoffgehäuse 1l Luft , ρ = 1,2 g/l

To = 25°C, Tmax = 75°C � ∆T = 50K

Welektrisch = QWärme

U I t = c m ∆T

→ mc

QT =∆

→ IU

Tmct LuftLuft ∆

=

s13

500012,01000t

⋅

⋅⋅= = 20 s ��

stimmt das ???

- Einheit: sW

sW

AV

1

1

K

1

kg

Kkg

J]t[ === ☺☺☺☺

Bem: - t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse

(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses

vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet !

(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel)

- Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g):

( ) ( )

.min30s1800

s3

500012,010001,0100001,0450IU

Tmcmcmct LLKKMM

=≈

⋅⋅+⋅+⋅=

⋅

∆++=

(Ausklammern von ∆T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat)

- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen



§ 4.3 siehe Anhang

4.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation)

4.4.1 Ideales Gas

Gilt nur für hohe Temperaturen,

da T → 0 V = 0 bedingt

p V = n R T

(WL - 4)

Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante

- n : Stoffmenge, [n] = mol

- T : Temperatur in K

Messverfahren siehe rechts, im Schlauch

befindet sich eine Flüssigkeit

JAVA Applet: Zustandsänderungen eines idealen Gases

4.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper

allgemein : V = V(T,p)

d.h. Funktion mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung.

Hier wird vereinfachend nur die Volumen- bzw. Längenänderung betrachtet.

Volumenveränderung V(T) = Vo ( 1 + γ ∆T) ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T) (WL – 5)

bei konstantem Druck, α : Längenausdehnungskoeffizient

Typische Werte γγγγ /1/K

Festkörper 10-5

Flüssigkeiten 10-4



Gase 10-3

Temperaturänderungen (∆T) und auch Druckänderungen (∆p) verursachen

Volumenänderungen (∆V).

Maschinenbau: Gehäuse: V = const: ∆T → ∆p → Kraft F : Spannungen

E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand

→ in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden!

Vereinfachung durch „Geometrie“

Bei langgestreckten Gegenständen,

z.B. Stäben, kann man vereinfachend

nur mit der Längenausdehnung

rechnen.



Längenausdehnungskoeffizient L(T) = Lo (1 + α ∆T) (WL - 6)

(Thermal Coefficient of Expansion, TCE)

[α] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C

- Materialwerte siehe Tabelle

- αααα ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten) → αααα = αααα(T)

Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung !

„Das gibt es in der Technik öfters“:

- Längenausdehnung L(T) = Lo (1 + α ∆T)

- Hookesches Gesetz F(x) = (0 + Dx)

- E-Technik R(T) = R25

(1 + α ∆T)

Obwohl es sich um unterschiedliche Dinge handelt, haben diese „Gleichungen“

dieselbe Form. Grund: Lineare Näherung von Messwerten.

Anmerkungen:

- Concorde bei Mach 2,2:

∆L ≈ 30 cm

bei ca. 50m Länge

- Blackbird-Triebwerk (re.)



Unterschiedliche Ausdehnungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung:

Weiteres Beispiel – aber praktisch genutzt: Bimetall-Streifen

10mm

Vergußmasse

PolyimidSiliziumKleber

Träger

α / 10 K-6 l / µm

(-65°C ... +150°C)

20

403,5

40

17

43

867,5

86

37

Thermische Ausdehnung bei IC



4.5 Wärmetransport (Heat Transport) Art Charakteristik Beispiel

Wärmestrahlung

(thermal radiation) em-Strahlung (meist IR) Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer

Wärmeströmung

(thermal flow)

(Konvektion)

Materialtransport

Konvektionsheizung (z.B. Luft), PC-

Lüfter, Meer: kaltes Wasser unten,

oben warm

Wärmeleitung

(thermal conduction) Energieübertragung

erwünscht : Kühlkörper

unerwünscht : Thermoskanne

Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt.

Warum ist der Wärmetransport und hier besonders die Wärmeleitung wichtig?

Hohe Temperaturen reduzieren üblicherweise die Lebensdauer von mechanischen und

elektrischen Bauelementen.

Beispiele:

Verbrennungsmotor Kühlrippen E-Motor Kühlkörper LED

Achtung: Lüftermotor muss

nach „schneller“ Fahrt nach

Abstellen des Motors

nachlaufen. Sonst

„Wärmestau“ wie GAU bei

AKW in Fukushima.

Kühlrippen „kosten“ Gewicht

und Geld!

Die notwendige Kühlung

von High Power LEDs lässt

derzeit (2012) keine LED-

Lampe mit der Leuchtkraft

einer 100W Glühbirne in

E27-Ausführung zu.

Strategie: Höhere Effizienz verringert „Kühlaufwand“



4.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow)

Wärmestrom

auch Wärmeabgabe

mit Q = c m ∆T

vgl. mit Strom und Ladung

[ ] LeistungWs

J≡==Φ

Qdt

dQ

t

Q &==∆

∆=Φ

TmcTmcTmc ∆+∆+∆=Φ &&& | | | Bsp. Lüfter Statisches z.B. Gase, c(T) Abkühlen oder Phasenübergang

(WL - 8)

zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik !

Bsp: - abkühlender Körper ( 0c,0m == && ) : ∆Q = 90 J in ∆t = 15 s → Φ = 6 W

- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, ∆T = 20 K ( 0T =& )

min

l5

tm

dtdm

m =∆

∆≈=& , Wärmekapazität konstant : 0c =&

W2K20s60

kg50012,0

Kkg

J1000Tmc =⋅⋅⋅=∆=Φ &

Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar = AΦ

= 1,35 kW/m²

(Deutschland 0,7 kW/m²)



Analogie Wärmelehre - E-Technik

Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen

Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz !

Wärmelehre E-Technik (Gleichstrom)

T-Differenz ∆T U Potentialdifferenz

Wärmestrom Φ I Strom

Wärmewiderstand Rth R Widerstand

Φ

∆=

TRth

I

UR = Ohmsches Gesetz

Wärmeleitwert thR

1=λ

R1

G = Leitwert

Mehrere Schichten Rth ges = ΣRth Rges = ΣR Serienschaltung

'Vergrößerung

eines Kühlkörpers' ...

R1

R1

R1

2th1thgesth

++= ...R

1

R

1

R

1

21ges

++= Parallelschaltung

Wärmekapazität C C Kondensatorkapazität

(Serien- und

Parallelschaltung

entsprechend)



Beispiel Halbleiter

Vergleiche mit Aufheizkurve (S. 5) mit der Ladekurve U(t) der

Kondensatorspannung eines RC-Schaltkreises.

Gehäuse

Isolierscheibe

Kühlkörper

Betrachtung nur in diese Richtung

Pel

Luft

LuftTHLT Geh.T IsoT Kk.T

C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand

LastR

= Abgabe an Umgebungsluft



2 Fälle des Wärmestroms :

• Permanente Wärmeentwicklung

‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände

berücksichtigen.

Annahme, dass der Aufwärmvorgang abgeschlossen ist.

Typische Aufgabe: - Berechnung der Gleichgewichts-Temperatur

- Berechnung eines Kühlkörpers

• Einschalt- und Abschaltvorgänge

‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall

‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten

bzw. Einschalten LCD-Tafel



4.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation)

auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper (z. B. ICs) meist vernachlässigbar

im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich

Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme

erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ !

Plancksches Strahlungsgesetz

gilt genau genommen nur im All

4TAεσ=Φ

(WL - 9)

mit

σ = 5,7 10-8 42 Km

W (Stefan-Boltzmann - Konstante)

ε = Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper ε ≈ 0,9 ... 0,95 , weiße Fläche ε ≈ 0,5

A : Fläche des Schwarzen Körpers /m²

[T] = K

Achtung: Näherung, gilt nicht, wenn Wände etc. in der Nähe sind!

Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die

Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender

Temperatur (Strahlung) zu erkennen: Rot

(600°C) - Gelb (1100°C) - Weißglut (1300°C)



5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow)

- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport ! - meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben. - Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf Wärmeströmung

m& : Massenstrom (vgl. Impuls)

∆T : T-Differenz ausströmende - angesaugt Luft

bzw. Flüssigkeit oder Gas

TmcQtd

Qd

t

Q∆===

∆

∆=Φ &&

(WL - 10)

Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den

Wärmestrom berechnen:

Bsp: Wie viel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ?

Lüfter mit 0,1 min

m3

Luft : ∆T = 30 K

(ausgeblasene -

eingesaugte

Temperatur)

Dichte : 1,2 kg/m³

→ Φ = c m& ∆T

= K30s60kg12,0

kgKJ

1000

= 60 W

Beispiel Lüfter-Spec Bestellbezeichnung: 0410N-12

Abmessungen: a x b (mm)

40 x 40

Bautiefe:c(mm) 25

d (mm) 32

e (mm) 4,5

Nennspannung VDC

24

Volumenstrom m³/h 165

Luftdruck mm H2O 7,2

Stromaufnahme mA 340

Geräuschpegel dBA 44

Lagerungsart Kugellager

Temperaturbereich -10 ... + 70 °C

Lebensdauer in h bei 25°C

51.000

Lebensdauer in h bei 70°C

40.000

Zulassung UL/CSA/TÜV



Anwendungen:

In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb

sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist

aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit.

Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr

durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte

Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische

Verbrauchsleistung !

Die Wärmeströmung ist wichtig bei der Kühlung von „Elektronik“ mit Lüftern. Um die

Wärme aber vom Bauteil (IC, Motor, Kühlkörper,…) „wegzubekommen“, ist erst die

Wärmeleitung zu berücksichtigen. Diese ist ferner relevant bei allen elektronischen

Geräten ohne Lüfter.

4.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction)

Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände

gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren

so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab.

Hauptfälle : - Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid

- Wärmedurchgang durch eine Wand

- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung



4.5.4.1 „Reine“ Wärmeleitung durch Wand

Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw.

welche Leistung wird durch eine Wand in

Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ?

Achtung : Das folgende beschreibt nur einen

Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine Wand,

vollständig s.u. !

Wärmestrom analog Ohmsches Gesetz : thR

TI

R

U ∆=Φ≡=

Hieraus folgt

Wärmewiderstand [Rth] = W

K

s : Wanddicke, A : Fläche

Ak

1

A

sRth =

λ=

(WL - 11)

λ : Wärmeleitzahl, [λ] = mK

W (Materialeigenschaft)

k : Wärmedurchgangszahl, s

kλ

= ; Anwendung z.B. Baubranche

Wärmeleitung

Erhöhte Wärmeabgabe durch Ver-

größerung der Oberfläche (Kühl-

körper, Rippen bei Elektromotoren)

TAs

TAk)TT(AkR

TBA

th

∆λ

=∆=−=∆

=Φ

(WL - 12)

ATA TB

T

s

TA

TB

x

s

U

R Analogie



Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke

[k] = 2mK

W

sk

λ=

(WL - 13)

Material

Werte für 300 K !

Wärmeleitzahl λλλλ / mK

W Wärmedurchgangszahl k /2mK

W

Eis 2,33

Wasser 0,6

Luft 0,025

Stahl 14

PVC 0,16

Kork 0,05

Ziegel 1 1,5 (30 cm Hohlziegel)

Glas 0,8 5,6 (1 cm) (Doppelglas)

Beispiel: Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ?

Werte : Länge Außenwand 10 m (Ecke), 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1

W/Km²

Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus

Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht

Φ = k A ∆T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W

Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die

'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet:

Rthges = Rth1 + Rth2 + ...

'Parallelschaltung' : ...R

1R

1R

1

2th1thgesth

++= (Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’)

Φ



4.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas)

Welche Wärmeleistung wird von einem

Festkörper auf ein Fluid abgegeben ?

hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient

des Fluids ein !

∆T = TFK - Tfluid

Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid

α: Wärmeübergangskoeffizient, [α] = W / m² K

α = α(vfließ, Medium)

TA ∆α=Φ

(WL - 14)

Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid

vgl. Wärmedurchgangswiderstand Ak

1

A

sRth =

λ=

A

1Rth

α=

(WL - 15)

Metall - Medium αααα / W/m²K

Luft : ruhend 3 - 30

langsam 30 - 60

schnell 60 - 300

Wasser 500 - 5000

Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ...

- PC mit Wasserkühlung

Hier vernachlässigt: Wärmeübergang FK auf FK

x

FK Fluid

T

TFK

TFluid

∆T

A



4.5.4.3 „Vollständiger“ Wärmedurchgang durch Wand („wichtig“)

Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt.

Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeffizient α1

Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl λ1

Wärmeübergang Wand1 - Wand 2 vernachlässigt

Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl λ2

Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeffizient α2

Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I ≡ Φ

- Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB

- Einzelwiderstände aus (WL - 15).

- Funktioniert ebenso mit 1 oder mehreren Wandkomponenten.

Wärmestrom innen → außen :

α+++

α

∆=

α+

λ+

λ+

α

∆=

∆=Φ

221122

2

1

1

1

thges 1k1

k11

TA

A1

As

As

A1

T

R

T

Näherung : ∆T des Gesamtsystems (ist aber üblich)

TA

TB

A

s1

λ1

s2

λ2

T

xinnen außen

ΦΦΦΦ

I



Beispiel (Übung):

Zimmerwand (1 m² mit α = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = λ/s = 1 W/m²K) und 1

cm Gips (k = λ/s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach innen 20 °C (20K).

Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ?

Wärmedurchgangswiderstand :

W

K83,1

²mW

K²m1

6

1

2

1

1

1

6

1

A

11

k

1

k

11R

2211thges =⋅

+++=⋅

α+++

α=

→ Wärmestrom pro m² : Φ = ∆T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W

→ Verlustwärme pro m² und sec : Q = Φ t = 11 J

Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich :

Φ = 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr

Beispiel Studibude: 25 m² bei Φ = 11 W entspricht ca. 275 W, nur ‚Wand’ ergibt 500 W



4.5.4.4 Wärmeabgabe

Statisches Abkühlen

- es wird keine Wärme nachgeliefert

- T ≠ const, gesucht: T = T(t) ?

Bsp: Eisenwürfel (Fe)

- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K

Fläche des Würfels zur Luft hin:

A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m²

Näherung:

- TEisen im Würfel räumlich konstant

- Umgebungsluft erwärmt sich nicht

- keine Volumenschrumpfung

- keine Wärmestrahlung

- Materialparameter seien T-unabhängig

- cFK >> cFluid

70°C30 cm

isoliert aufgeklebt

Luft ruhend20°CFe



Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft

einerseits: Φ = dQ / dt differentielle Schreibweise

thR

T∆=Φ (Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid)

→ dQ = α A Tdiff dt (Wärmeleitung) (i)

dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge

Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const.

kJ7s60K50²m45,0K²m

W5Q ≈⋅⋅⋅=

(vgl. mit Wärmestrahlung ! )

andererseits: dQ = c m dTdiff (im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge) (ii)

mit c = 0,55 J/gK

m = ρV

Energieerhaltung:

- Wärme kann nicht „verschwinden“, bleibt also erhalten

- Hier:

Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels

→ Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein

ΣdQ = 0 → dQauf + dQab = 0 (analog zu Kraftansatz ΣF = 0 !)

mit (i) und (ii) folgt : - dQEisen = dQLuft

Hier ist das Vorzeichen (also Richtung) essenziell für die Richtigkeit des Ergebnisses.

Relevant (für „Wissen“ und Klausur): Ansatz & Ergebnis



Berechnung der Differenztemperatur:

dtTAdTmc diffdiff α=− vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t)

diffdiff T

mcA

dt

dT α−=→ DGL 1. Ordnung (Mathe 2)

∫∫α

−= dtmc

A

T

dT

diff

diff

Ctmc

ATln diff +

α−=→ | e

→ t

mc

A

diff ekTα

−

=

k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft (hier 50 K bzw. 50°C)

→ k = TEisen(0) - TLuft

→ t

mc

A

Luft)0(Eisendiff e)TT(Tα

−

−=

t → ∞ : LuftEisendiff TT0T =→=

dann herrscht thermisches Gleichgewicht

Anwendung : - Bestimmung von α (ggf. ln - Darstellung)

- Hitzdrahtinstrument z B. als Luftmassenmesser in Vergasern

Strom um T zu halten ~ zur Geschwindigkeit (Eichung notwendig)

Vergleich mit Entladekurve RC-Glied

R : Abflußwiderstand (Rth) ≡ 1/αA

C : Speicherelement (CEisen) ≡ c m

UC ≡ Tdiff

t

CR

1

0C eUU⋅−

⋅=

Benefit:

Aufgaben aus der Wärmelehre können mit Schaltungssimulations-Software gelöst werden !

t

Tdiff

TEisen(0)

TLuft

LuftTEisenT

LuftR

thR

EisenC

(klein, Kurzschluß)





Praktisches Beispiel (Übung):

In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird nach

10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ?

Werte für t = 0: Kaffee : TK = 70°C , mK = 100 g

Milch : TM = 10°C , mM = 10 g

TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c

Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt

bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer)

a) Milch sofort hinein Berechne TMisch c mK ∆T = c mM ∆T , dann Abkühlen

cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer, cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch

Mischtemperatur zweier Stoffe : MMKK

MMMKKKMisch mcmc

TmcTmcT

+

+= (WL - 1')

→ C5,65K5,337kg11,0

K283kg01,0K343kg1,0TMisch °==

⋅+⋅=

mit

s1

106mcA

const

kg11,0m;Kkg

J4200c

)sigtvernachläselgdemzufocherStyroporbeeKaffeetassda,flächeWasserober(²m003,0A;K²m

W10

5−⋅≈α

=

==

==α

→ t.constdiff eK5,45T ⋅−⋅=

→ K44eK5,45T 04,0diff ≈⋅= −

→ TKaffee nach 10 min ≈ 64°C b) Milch erst nach 10 min hinein Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen → K48eK50T 04,0

diff ≈⋅= − → TK nach 10 min = 341 K = 68° C

Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist !

C63K336kg11,0

K283kg01,0K341kg1,0T min10nachMisch °=≈

⋅+⋅=

Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß' dazugibt ! Weitere Überlegung: „Pusten“ erhöht Wärmeübergangskoeffizienten !



Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und –abgabe (Bsp. Kochen)

Beispiel: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung

Gleichgewicht : TKühlkörper = const.

(erreicht bei Abschluss des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.)

Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const.

- kein Lüfter

Ziel: Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers

in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur

(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen

Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung)

Einerseits: Q = U I t → dQ = ∆U I dt → {

PstungVerlustlei

IUQ ⋅∆==Φ & (*)

mit ∆U : Spannungsabfall am Bauteil

Andererseits: thR

TQ

dt

dQ ∆===Φ & (**)

mit ∆T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur

→ (*) Φ = Φ (**) : Zufuhr

thth P

TR;

RT

IU∆

=∆

=⋅∆



→ Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur

KühlkörperthasteWärmeleitp,IsolierungthBauteilthth

.elekstungVerlustleieelektrisch

LuftBauelementLuftBauelementth

RRRR

PT

PTT

IUTTR

++=

∆=

−=

⋅∆

−=

Bemerkung: - der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth

- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.)

- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls

(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird.

- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar,

danach ist der Kühlkörper auszulegen!



Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , ∆U = 1V , I = 1 A

→ W

K20

W1

K20

IU

TTR LuftBauelement

th ==⋅∆

−=

Praxis: Rth (Kühlkörper) muss kleiner sein als Rth (berechnet) wegen Kontaktwiderstand

(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste) etc.

Einfaches Kühlkörperdatenblatt

Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Kühlkörper und Thermischem Widerstand:

- doppelte Kühlkörpergröße ≠≠≠≠ halber thermischer Widerstand

Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2

- 'gilt auch für Preis'

Grund: - Wärmeausbreitung von Punktquelle aus

- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers

(Einbauort und -lage beachten !)



Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der

- a) Umgebungstemperatur

- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche

a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und

Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter

b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche

mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist

höher)



Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von

Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen

Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu

genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen)

untermauert werden.

Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com)

Die Schaltung ‚reduziert‘

eine Eingangsspannung

von 12 V auf 3,3 V und

liefert ca. 2,5 A

Ohne Kühlkörper



Mit Kühlköper

Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur

‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca. 12 mm

! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, dass bei einer Umgebungstemperatur

von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht werden.

Temperaturen /°C Diode IC

Kühlkörper Ohne Mit Ohne Mit

Umgebungs- 30 62 56 61 57

Temperatur 50 82 78 78 73

Zu beachten ist, dass die Simulation mit der Stromversorgung als einziges Bauteil

durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die

Temperatur, so dass hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu

rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage!



Zur Info: Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (www.flomerics.de)

Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse

V

P1,3TT rittintEAustritt &

+=

T : Lufttemperatur /°C

P : Elektrische Verlustleistung /W

V& : Volumenstrom des Lüfters /m³/h

Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse

kAußenInnen Ak

PTT +=

T : Lufttemperatur /°C


k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K

Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660)

Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion

Mit Strahlung : 86,0

UmgebungPlatte AP

1,0TT

+=

Ohne Strahlung : 80,0

UmgebungPlatte AP

3,0TT

+=

TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C

TUmgebung : Lufttemperatur /°C


A : Fläche der Platine /m²

Temperaturänderung bei Wärmedurchgang

PA

dTT KaltWarm

λ=−

T.. : Temperatur /°C

d : Schichtdicke /m

λ : Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK

P : Wärmestrom durch Fläche A /W

A : Fläche des Wärmedurchganges /m²

TEintritt

TAustritt

Tinnen

Taußen

TUmgebung

TPlatte

P

dTkalt

Twarm



Übungsblatt Wärmelehre

1. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)

2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen

‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C

(α = 10 10-6 1/K) ? 28 mm

3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m .

Es wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wie viel höher steht das

Wasser nach dem Aufwärmen auf 30°C (γ = 0,18 10-3 1/K) ? 36 mm

4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem

Tauchsieder erwärmt.

a) Welche Energie muss dem Wasser zugeführt werden? 75 MJ

b) Wie viel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das? 21 kWh

5. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:

a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?

b) Wie viel Liter Luft muss mindestens vorhanden sein, damit der Messfehler bei

Bedingungen wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.

Weitere Aufgaben siehe „Altklausuren“



Nur zur Info: Anhang zum Weiterlesen für Interessierte:

4.3.1 Phasen

fest flüssig gasförmig

Form definiert Beliebig bel.

Volumen def def. bel.

Bsp Metall Wasser Luft

Weitere Phasen : flüssigkristalline - und Plasma - Phase

Ohne diese beiden gäbe es wohl keine flachen Displays!) � Weiterlesen



4.3.2 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition)

Phasenübergang T steigend T fallend

Fest (solid)- flüssig Schmelzen (melting) Erstarren (solodify)

Flüssig (fluid) - gasförmig Sieden (boil) Kondensieren (condense)

fest – gasförmig (gaseous) Sublimation (z.B. Schwefel) Desublimation

Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme

Energetische Betrachtung der Phasenübergänge

konstante Wärmemenge pro

Zeiteinheit wird ständig

zugeführt

Versuche: Eiswasser, Wasser

kochen, T bleibt eine Zeitlang

konstant !

T

Q bzw. tSchmelzwärme Verdampfungswärme

Schmelz T

Verdampfungs T

Phasenübergang T steigend Wärmemenge aufwenden

T fallend Wärmemenge wird frei

Schmelz-, Erstarrungswärme Siede-, Kondensationswärme

Qsm = q m

Qsd = r m

(WL - 3)

q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.)

r : " Verdampfungswärme

m : Masse

Anwendung : Wärmepumpe

- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit

- int. Wärmeabgabe: Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei !



Druck - Temperatur - Abhängigkeit

Bsp: H2O

Anmerkungen:

Sublimationsdruckkurve Eis ↔ Wasserdampf; Beispiel Trockeneis

Schmelzdruckkurve nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen

Dampfdruckkurve T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T

als am Meer, Kavitation bei Schiffsschraube

Tripelpunkt alle 3 Phasen existieren

H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa

kritischer Punkt nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich

Gase durch Druck verflüssigen

p /Pa

T /°C-100 0 100 300

1

106

" 1 at "

Eis

Wasser

Wasserdampf

kritischer

Punkt

Tripelpunkt

Schmelzdruckkurve

Sublimationsdruckkurve

Dampfdruckkurve

102



Schmelzen kann lange dauern bei guter Wärmeisolation:



4.6 Thermodynamik (Thermodynamics)

Aufgabe : Beschreibung makroskopischer (c, α, λ, k, ...) Materieeigenschaften durch

physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.

Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …

Grundlage Statistik, da sonst pro Mol ca. 1025 Gleichungen zu lösen wären !

Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad TkB21 → c = c(T)

c1atomig = TkB23 : 3 x Translation, z.B. He

c2atomig = TkB25 : 3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2

4.6.1 System-Definitionen

Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch

Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden

können.

System Definition Formel Beispiel

Ab- geschlossenes System

keine Wechselwirkung (Ww)

oder Materieaustausch

(Teilchenzahl konstant) mit

der Umgebung;

Gesamtenergie (mechanisch,

elektrisch, ...) konstant

- Eges = W = const - n = const.

Technisch angenähert

durch Dewar-Gefäß

(Thermoskanne)

kein Wärmetransport

durch Strahlung oder

Wärmeleitung

Geschlossenes

System

Energieaustausch mit der

Umgebung zugelassen,

jedoch kein Materieaustausch

- Eges = W ≠≠≠≠ const. - n = const

Wärmebad,

Kühlkörper

Offenes

System

Energieaustausch und

Materieaustausch mit der

Umgebung zugelassen

- Eges = W ≠≠≠≠ const - n ≠≠≠≠ const

Gehäuse mit Lüfter

wie geschlossenes

System mit

Materialtransport



4.6.2 Zustands-Definitionen

• Gleichgewichtszustand

- Zustand, welcher sich von selbst einstellt

- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)

Bsp: Thermisches Gleichgewicht:

Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt

(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt

(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),

z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)

• Stationärer Zustand

wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß

Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr

- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)

Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)

In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es

werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne

befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.

Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.

Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die

zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können beispielsweise

mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in Kaffee gießen

ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor Gleichgewichtsverteilung).

Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 40

°C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen irreversiblen

Prozeß (s.u.) dar.



Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)

Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende

Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen

Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.

Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis :

Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung

bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K

aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:

aus (WL - 1') FFLL

FFFLLLMisch mcmc

TmcTmcT

+

+=

hier : - Luft mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK

- Fühler mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK

→ K52,1

30053302,1TMisch

+

⋅+⋅= = 306 K

Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !

Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL

auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,

Messgenaiugkeit relativ gering.



4.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik

• Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch

untereinander im thermischen Gleichgewicht.

Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch

(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.

Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen !

Dies gilt auch für

mehrere Körper

(Systeme).

Achtung : Die

‚Umwelt’ ist hier

nicht betrachtet !

Zur Verdeutlichung als Ring →

• Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik

Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen

Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und

der Wärme Q :

U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :

Innere Energie

= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'

dU = dW + dQ

(WL - 16)

dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird

dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm

Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!

(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)

Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel), Batterie

(irreversibel)

ThermischesGleichgewicht

Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht



• Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von

einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).

Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer

Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).

Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art

Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden

('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')

physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)

Entropie (Entropy)

[ ]KJ

S =

TQd

Sd =

(WL - 17)

Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'

Fälle: dS = 0 reversibler Prozess, kann in beide Richtungen ablaufen

dS > 0 irreversibel, Prozess läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu

dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur

durch Energieaufwand erzeugt werden !

Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum

der Entropie gekennzeichnet ist.

Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein

fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)

Alle Naturvorgänge verlaufen so, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme

zunimmt.



Beispiele :

- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu

- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest

der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr

'gesagt' werden (s.o.)

Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes dS ≥≥≥≥ 0

(WL - 18)

• Dritter Hauptsatz der Thermodynamik

Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null: S(0K) = 0 J/K

Folgerungen:

- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null c (T=0) = 0

- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' ≈ 10-6 K

4.6.4 Zustandsänderungen

• reversibel

Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß

Energiezufuhr notwendig ist.

Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku

• irreversibel

Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom

Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.

Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme

2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand

ist nicht mehr möglich (s.o.) !

- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr

kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden

- Entladen Batterie



4.6.5 Thermodynamik Idealer Gase

reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz

für p V = n R T

∫=2

1

V

V

rev dVpW

(WL - 19)

Zustandsänderung Gleichung p - V - Diagramm Isochor

.constTp

=

Isobar

.constTV

=

Isotherm

p V = const.

Boyle Mariotte

Adiabatisch

hier v

p

c

c=κ

einatomiges Gas: 35

=κ

p Vκκκκ = const

Zustandsänderung Isochor isobar isotherm adiabatisch

p

V

p

V

p

V

Hyperbel p ~ 1/V

p

Visotherm

adiabatisch


Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 10.12.2014 23:13:00 51 / 62

Bedingung

V = const

p = const

T = const

S = const

dQ = 0

pVκκκκ = const

Beispiel für Ideales Gas:

Temperaturänderung in einem Behälter

'Luftpumpe' (frei) bei äußerer

T-Erhöhung

Wärmebad

Dewar-Gefäß

schnelle Prozesse in nichtisolierten

Systemen Wärmeenergie

Q = cv m ∆T

Q = cp m ∆T

Q = W

Q = 0

Arbeit ∫=2

1

V

V

rev dVpW

W = 0 (keine mechanische Arbeit, da V = const))

W = p ∆V

W = p ∆V

W = - cv m ∆T

1. Hauptsatz

dU = dQ

dU = dW + dQ

dQ = dW

dU = - dW

dU = dW + dQ

κ: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient κ = 0 isobare Prozesse κ = 1 isotherme " κ → ∞∞∞∞ isochore " sonst adiabatisch


Blankenbach / HS Pf / Physik Kinematik / WS 2012 52

4.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle)

periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als

Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor

Isotherm: T = const,

p ∼ V1

(Hyperbel)

adiabatisch: pVκκκκ = const,

T ≠≠≠≠ const

Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !

Lernziel: „Wissen, dass es Carnot gibt + Grundprinzip“

Teilzyklen:

Beschreibung Formel

a Innere Energie konstant

Wärme wird zugeführt

(Isothermal heat supply)

∆U = 0

→

=∆

1

2B V

VlnTkNQ

b durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U

entnommen, T sinkt

(isentropic expansion)

∆W = ∆U = cv m ∆T

c wie a, nur Wärme wird abgegeben

(Isothermal heat rejection)

d wie b, nur T steigt (isentropic compression)

nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein → 0T

QdS ==∆ ∫

p

V

isotherme Expansion

adiabatischeExpansion

adiabatischeKompression

a

b

c

d

T hoch

T niedrigisotherme Kompression



Definition : Entropie ∫=∆=b

a T

QdS;

T

QdSd

Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge

Energiebilanz

im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge ∆W = - ∆Q

Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt

Wirkungsgrad

[T] = K

1T

T1

hoch

niedrig<−=η

(WL - 20)

Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen

reale Maschinen : ηreal < ηcarnot

Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen

kalten und heißen Medien.

Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor

Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :

- Solarzelle bei Raumtemperatur : %95K000.6

K3001

T

T1

hoch

niedrig =−=−=η

- Durch Sonnenstrahlung erwärmte Solarzelle : %93K000.6

K4001 =−=η

Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren

Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr

versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.



Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor (nur zur Info)

Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge

Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen

in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit

Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel

eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die

Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.



Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert

werden:

I Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der

Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2

II

isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten

Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird

III

adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1

IV

isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem

zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und

Temperaturausgleich abgewartet wird

p - V – Diagramm des Kreisprozesses

Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die

Anfangszustände der vier Teilprozesse

3

2

1

4

III

I

II

IV

∆W

V2 V1 V

p



Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse

'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder V1 = 1,5 dm³

- Kompressionsverhältnis 8V

V

2

1 ==ε

- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft T1 = 303 K

- Umgebungsdruck der angesaugten Luft p1 = 1 bar

- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches T3 = 1973 K , κ = 1,4

- cV konstant angenommen

Anfangszustand 1 2 3 4

V /dm³

1,5

0,1875

0,1875

1,5

p /bar

1,0

18,38

52,10

2,84

T /K

303

696,1

1973

858,9

Prozeß Berechnung obiger Tabellendaten

I

κκ = 2211 VpVp ; bar38,188bar1pp 4,1

12 =⋅=ε⋅= κ

K1,6968K303TV

VTT 4,01

1

1

2

112 =⋅=ε=

= −κ

−κ

II

bar1,52K1,696

K0,1973bar38,18

T

Tpp

2

323 =⋅==

III

bar84,28

bar10,52p

V

Vpp

4,13

4

334 ==

ε=

=

κ

κ

IV

K9,858bar1

bar84,2K303

p

pTT

1

414 =⋅==



Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm

Arbeit 4123 QQW ∆+∆=∆

Aufgenommene Wärmemenge ( ) 0TTcmQ 23v23 >−=∆

Abgegebene Wärmemenge ( ) 0TTcmQ 41v41 <−=∆

Wärmekapazität des Arbeitsgases vv cmC =

Mit : 1s

11

TR

Vpm = ;

1

1

T

Vp

cc

c

T

Vp

R

c

T

VpC

1

11

vp

v

1

11

s

v

1

11v

−κ⋅=

−⋅=⋅=

( ) K

J238,1

mK14,1303

mN105,110C

2

335

v =−

=

Wärmemengen : ( ) J3,1580K1,6961973K

Nm238,1Q23 =−⋅=∆

( ) J688K9,858303K

Nm238,1Q23 =−⋅=∆

→ J3,892J688J3,1580W =−=∆

Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz 1min4500f −=

kW5,33s260

4500J3,892

2

fWP =

⋅=⋅∆=

denn W∆ wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !



Wirkungsgrad rev

η einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :

Thermodynamischer Wirkungsgrad ( )%6,84

K1973K3031973

TTT

3

13rev =

−=

−=η

Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors :

Effektiver Wirkungsgrad %5,56J3,1580J3,892

TTTT

1QQ

1QW

23

41

23

41

23

==−

−+=

∆

∆+=

∆

∆=η

aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:

I

1

1

221 V

VTT

−κ

=

III

1

1

234 V

VTT

−κ

=

folgt I – III %5,5681

11

1VV

TTTT

4,01

1

1

2

32

41 =−=ε

−=

=

−

−−κ

−κ

Der Wirkungsgrad η hängt nur vom Kompressionsverhältnis ε ab !



Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm

geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern

Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,

weil S eine Zustandsgröße ist.

Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :

Abgabe bei T3 = konst.: K

J801,0

K1973

J3,1580

T

QS

3

233 −=−=

∆−=∆

Aufnahme bei T1 = konst.: K

J271,2

K303

J688

T

QS

1

411 ==

∆−=∆

Resultierende Entropie – Erzeugung: ( )KJ

47,1KJ

80,027,2SSS 31 =−=∆+∆=∆

→ ∆∆∆∆S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.



Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV

Adiabatische Prozesse I und III ∆∆∆∆S = 0

Isochore Prozesse

=∆

2

3vII T

TlnCS

II4

1vIV S

T

TlnCS ∆−=

=∆

mit Division von

1

1

221 V

VTT

−κ

= durch

1

1

234 V

VTT

−κ

=

siehe Wirkungsgrad

erhält man 3

2

4

1

T

T

T

T=

→ KJ

29,1K1,696K1973

lnKJ

238,1SII =

⋅=∆

Entropie S(T) – Temperatur -

Diagramm

Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt

zu sein. Die Kurven II und IV laufen

proportional zu ln(T)

III

IIIV

I

T1 T2 T4 T3

S

T



Übungsblatt Wärmelehre

6. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)

7. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen

‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C

(α = 10 10-6 1/K) ? 28 mm

8. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es

wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wie viel höher steht das Wasser

nach dem Aufwärmen auf 30°C (γ = 0,18 10-3 1/K) ? 36 mm

9. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem

Tauchsieder erwärmt.

a) Welche Energie muss dem Wasser zugeführt werden ? 75 MJ

b) Wie viel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ? 21 kWh

10. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:

a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?

b) Wie viel Liter Luft muss mindestens vorhanden sein, damit der Messfehler bei

Bedingungen wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.



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4. Wärmelehre (Thermodynamics)eitidaten.fh-pforzheim.de/.../physik_1/Physik_Bla_WAERMELEHRE.pdf · Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik Blankenbach / PHYSIK / Wärmelehre