2. Mechanikeitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/blankenbach/...Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 2 2.1.2 Klassische Mechanik Gebiete Inhalt Beispiel

Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 1

2. Mechanik

Mechanik ist ältester Teil der Physik

Sachverhalte leicht sichtbar und greifbar, tägliche Erfahrung

→ leichtes Erlernen der physikalischen Methodik und Denkweise

Erste Erfahrungen: Pfeil + Bogen, Wurfmaschinen der alten Griechen und Römer

Erste Beschreibung durch Newton ca. 1700

2.1 Einführung

Mechanik: Gleichgewicht und Bewegung von Körpern im Raum unter dem

Einfluß von Kräften

2.1.1 Einteilung

Abgrenzung Beispiel

Klassische Mechanik "Technik" Auto

Relativitätstheorie hohe Geschwindigkeiten

(Lichtgeschwindigkeit)

Elektron in Braunscher

Röhre,

Astronomie

Quantenmechanik "kleinste Körper" Atome, Moleküle, Kristalle

Wellenmechanik Wechselwirkung von

elektromagnetischen Wellen mit

Atomen, Molekülen, Kristallen

"rote Sonne" beim Auf- und

Untergang

Klassische Mechanik:

- Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten

- Grenzfall der Quanten- und Wellenmechanik für große Körper

Diese Vorlesung: Klassische Mechanik


2.1.2 Klassische Mechanik

Gebiete Inhalt Beispiel

Statik Kräfte Balkenwaage

Kinematik Bewegungsformen Autofahrt, Wurf

Dynamik Kräfte als Ursache der Bewegung

Arbeit, Energie, Leistung, Impuls

Freier Fall, Rakete,

Schwingungen

Reale Beschreibung meist schwierig, deshalb vereinfachte Beschreibung durch Modellkörper

/ siehe auch „Aufbau der Materie – Materialkonstanten“

2.1.3 Modellkörper Definition Beispiel

Massepunkt keine Ausdehnung,nur Masse Autofahrt (Kinematik)

Starrer Körper Ausgedehnt, keine Verformung Balkenwaage (Statik, Dynamik)

Elastischer Körper * Verformung Feder

Ideale Flüssigkeit * keine Reibung Wasserströmung im Rohr

Ideales Gas * kein Eigenvolumen Luftkompression

(*): Mechanik Deformierbarer Medien

Bedeutung der Mechanik: Vorhersage von (Bewegungs-) Zuständen, wenn der

gegenwärtige Zustand (Anfangsbedingungen) bekannt ist.

Beispiel: Vorhersage der Ankunftszeit eines Autos aus Restentfernung und Geschwindigkeit

Problem:

Messung aller Anfangsbedingungen und externer Einflüsse, z.B. Flug eines Luftballons


Vorgehensweise zur erfolgreichen Lösung von Mechanik -

Aufgaben

- Skizze

- Reibung ?

- Modellkörper ?

- Aufstellen der Bewegungsgleichung

Fall: - Statik (a = v = 0)

- Kinematik, Dynamik, Schwingungen T , R , T ↔ R

Falls nicht Statik, Bewegungstyp ?

Kinematik Dynamik

Betrachte nur a:

- a = 0

- a = const.

- a ≠ const.

typisch: v, a, t gegeben

bzw. gesucht

- Kraftansatz ΣF = 0 , ΣM = 0 (typisch a gesucht)

- Energieansatz Eges = const. (meist h oder v gegeben)

- Impulsansatz Σp = const. (2 Körper stoßen aufeinander)

(Schwingungen immer mit Kraftansatz)

- Koordinatensystem festlegen und in Skizze einzeichnen und Variablen anpassen

- Lösung dann mit Differential avs;vs === &&&& bzw. Integral ∫∫∫∫ === ²dtadtvs;dtav

- Anfangs- (t=0) bzw. Endbedingungen einsetzen

PS.: Dies ist lediglich eine grobe Übersicht.


2.2 Statik des Starren Körpers

Definition: Körper mit genau definierter Form, welche sich nicht (nie) ändert

Bsp: Stange, Quader

Grenzfall: z. B. Lineal verbiegen

Anwendung des Modellkörpers „Starrer Körper“ bei technischen Bau- und Maschinenteilen

(Stein, Stange, ...) unter Vernachlässigung von Formänderungen (z.B. Biegung)

Statik umfaßt Systeme, welche sich nicht (mehr) bewegen

Bsp: Balkenwaage vor Auflegen Gewicht und wieder im eingeschwungenen (statischen)

Zustand

weiteres Bsp: Hausbau: Berechnung der Statik aber Dynamik Erdbeben � Einsturz

Definition Statik

Ein Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Wirkung aller auf ihn

angreifenden Kräfte Null ist.

Kraft kann z.B. durch Drücken (Gewicht, Lineal), Ziehen (Schnur) und Gewicht auflegen

(Balkenwaage) erzeugt werden. Ein Starrer Körper deformiert sich dabei nicht.

Versuche:

- 2 Seile an Körper: Kraft offensichtlich vektoriell

- Balkenwaage


2.2.1 Kraft als Vektorielle Größe

Die Kraftwirkung am Starren Körper hängt vom - Angriffspunkt (A, A')

- Betrag (Größe)

- Richtung

des Kraftvektors Fr

ab.

Einheit der Kraft: [F] = N = ²s

mkg

1 Ny

x

A'

F'

AF

JAVA Applett: Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten

Kräfte auf Starren Körper (ausführlich: Vorlesung MB):

- gemeinsamer Angriffspunkt : Schachtel mit 2 Schnüren in 1 Öse

- unterschiedl. " : " " 2 Ösen


2.2.2 Kräfteaddition

2.2.2.1 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Mehrere Kräfte z.B. 3 Seile an einer Befestigung

F3

F2

Fr

F1

A

Krafteck:Kraftvektoren parallelverschieben

zeichnerisch : Konstruktion mit "Krafteck"

rechnerisch : ...FFFF 321r +++=rrrr

Kräfteaddition

∑=

=n

1iir FFrr

(MS - 1)

JAVA Applett: Gesamtkraft mehrerer Kräfte (Vektoraddition)

Summationszeichen: ∑=

+++==n

1in21i a...aaaS

Bsp: ∑=

=++==3

1i

6321iS


Gleichgewicht zweier Kräfte 0Fr =r

Versuch: - Tauziehen

- Feder mit Gewicht → Federkraft = Gewichtskraft

F2 F1

0FFF 21r =+=rrr

(da Statik !)

→ 21 FFrr

−= → 21 FFrr

= F

F

Gewicht

Platte

Versuch: Gewicht auf Tisch / Lineal durchbiegen

Im Gleichgewicht ist Kraft gleich Gegenkraft: FP = - FG → FP + FG = 0 = Fr

Konsequenz: Wenn ein Körper in Ruhe ist, können trotzdem Kräfte auf ihn wirken

Newtonsches Grundgesetz der Statik

Ein Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft : actio = reactio

besser: actio + reactio = 0

andere Formulierung:

Ohne äußere Kraftwirkung verharrt ein Körper in Ruhe (oder er bewegt sich

gleichförmig

(→ Kinematik)

Grundgesetz der Statik FR = 0 bzw. ΣΣΣΣ Fi = 0

(MS - 2)

Bsp: Ball auf einem Tisch rollen lassen (Ist das noch Statik ?)


2.2.2.2 Kräfte mit unterschiedlichem Angriffspunkt

Beispiel 2 Angriffspunkte :

Schachtel mit 2 Ösen

Am Starren Körper kann eine Kraft längs ihrer

Wirkungslinie verschoben werden

Ar A2A1

F1

F2

Fr

Balkenwaage : Verfahren versagt bei parallelen Kräften, da Schnittpunkt im ∞

Parallele Kräfte

F1Fr F2

FH

F2'F1'

A 2A1

A r'

Dl1 l 2

-FH

Vorgehensweise:

1. Hilfskraft )0FF(mitF HHH =−rrr

2. Konstruiere 'Fund'F 21rr

3. Verschieben auf Wirkungslinie

4. Kräfteparallelogramm ergibt 21r FFFrrr

+=

Hebelgesetz

Die Abstände der Kräfte von der Resultierenden

verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte

F1F2

l1 l 2Gleichgew.Unterstützung

JAVA Applett: Hebelgesetz

1

2

2

1

l

l

F

F=

(MS - 3)

Bsp: l1 ≈ l2 : Balkenwaage, Kinderwippe

l1 >> l2 : Hebel zum Möbelanheben, Brechstange


Kraft auf Unterlage bei Schiefer Ebene

α

α FN

FG

FH

s

h

Neigungswinkel

Hangabtriebskraft

Normalkraft

tan α = h / s

FH = FG sin α

FN = FG cosα

(MS - 4)

(Kraft auf Unterlage,

relevant für Gleitreibung)

JAVA Applett: Schiefe Ebene


2.2.3 Drehmoment

Was bewirkt Kraft auf drehbaren Körper ? Drehung

Bsp: Schraube anziehen mit Gabelschlüssel

Autoreifen: Drehmomentschlüssel

Automotor : Drehmoment

M /Nm

U / 1/min

Wirkt auf einen drehbaren Starren Körper eine Kraft, so erzeugt sie ein Drehmoment.

Drehmoment

[M] = Nm

FrMrrr

×= (MS - 5)

Das Drehmoment steht senkrecht auf r und F,

da Vektorprodukt.

Betrag: FlsinFrMrrrrr

=α=

Anschaulich:

Drehmoment

- in Drehachsenrichtung

- erzeugt Drehbewegung

→ Kinematik der Rotation

D

Aαααα

αααα

F

M

rD


Beispiel zum Drehmoment

r

FM

x

yz

=

0

0

m1

rr

=

0

N1

0

Fr

=

×

=×=

Nm1

0

0

0

N1

0

0

0

m1

FrMrrr

Gleichgewichtsbedingung Rotation

Ein drehbarer Starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der angreifenden

Drehmomente Null ergibt, d.h. er dreht sich nicht um seinen Drehpunkt.

Bsp: Balkenwaage

Grundgesetz der Statik für Rotation

∑=

=n

1ii 0M

r

(MS - 6)

das ist Schwerpunktsbedingung ; vgl. Σ F = 0

Hieraus folgt die Bedingung für den Schwerpunkt eines Starren Körpers. Der Schwerpunkt

ist derjenige Aufhängepunkt, bei dem sich der Starre Körper unter dem Einfluß der

Schwerkraft (Erdanziehungskraft) nicht dreht.


Schwerpunkt

Bsp: Hantel mit masseloser Stange

m1 = m2

Aus Gleichgewichtsbedingung und

Hebelgesetz folgt:

1a2

2a

F

F

2

1 =⋅

⋅=

F F2

0 a xXs

al1 l2

m mS

1

11

Herleitung des Schwerpunktes mit Drehmoment und Schwergewichtsbedingung:

Gesamtdrehmoment = Summe der Einzeldrehmomente: Σ M = 0 da Frrr

⊥ genügen

Beträge

Nebenbed.: l1 + l2 = a

→ M1 + M2 - Mswp = 0 → m1 g x1 + m2 g x2 - (m1 + m2) g xs = 0 (x ≡ r)

→ 21

2211s mm

xmxmx

+

⋅+⋅=

Schwerpunkt 21

21s mm

am0mx

+

⋅+⋅= = a/2

Schwerpunkt (allgemein)

y und z analog

i

iis m

xmx

∑∑ ⋅=

(MS - 7)


Experimentelle Schwerpunktsbestimmung

durch Ausbalancieren - Aufhängen

- Unterlegen einer Stange / Walze

Schwerpunkt: wichtig bei Flugzeugen, Schiffen, Raketen , ... : "Lastverteilung"

Auftriebskraft

Hebelwirkung

Antriebsloser Flug

Gewichtskraft in Abh. von Schwerpunktlage

ideal

schwanzlastig kopflastig

Einzelgeräte-Schwerpunkte während Konstruktionsphase über Drehmoment verkoppelt

ergibt den Gesamtschwerpunkt.

Anmerkung:

Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Starren Körpers liegen. Bsp. Ring (Torus)


2.3 Kinematik

Beobachtung: Körper bewegen sich: Ball, Auto, Karusell, ...

Beschreibung dieser Bewegung durch die Kinematik = Bewegungslehre

Definition:

Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache für die Bewegung zu

betrachten.

Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, die geradlinige Bewegung d.h. die Translation

ist der einfachster Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch

Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.

Beispiel: - Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.

- Geradeausfahrt auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt

Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation

Rotation

Translation

s(t)

DR

Massepunkt

Modellkörper - Translation : Massepunkt

- Rotation : Massepunkt an steifer, gewichtsloser Stange


Versuch drehende Balkenwaage

Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung

aus.

Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden

Gegenstände wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder, ... Kreisbewegungen durchführen.

Arten Translation Rotation

Bewegung Geradlinig Drehung

Koordinatensystem Rechtwinklig Polarkoordinaten

Beschreibung Vektoren Skalare

Weg sr

ϕ

Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)

Modellkörper Massepunkt Massepunkt an gewichtloser,

drehbarer Stange

Bsp: Aufzug Karusell

Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem

z

x T1T0

t = T0 t = T1

s

yr0

s

r1

Orts-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm

t

wichtig: geeignetes Bezugssystem: kartesische- - Polarkoordinaten !


Relative Bewegungen

Windstille ! Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?


2.3.1 Geschwindigkeit Maß für Wegänderung pro Zeiteinheit : Geschwindigkeit

Def.:

Ortsänderung pro Zeiteinheit

≡ Geschwindigkeit

[ ]s

mv =

{ {

std

sd

t

sv

alDifferentiDifferenz

&≡=∆

∆=

(MK - 1)

bzw. vektoriell sv &rr

=

Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges

Bsp. Ableitung s.u.

Zusammenhang : Weg - Geschwindigkeit - Zeit

s v

v = 0 v = const v const

s

t

t

ds / dt = v


Beispiel: Ableitung (eindimensional)

geg. s(t) s

dt

dsv &== sv

dt

dva &&& ===

Beschleunigungstyp

1 0 0

t 1 0 0

t² 2t 2 const

t³ * 3t² 6t ≠ const

sinωt ω cosωt -ω²sinωt = -ω² s Schwingung

*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren

v / m/s10 10 1010-3

13 96

10

Geschwindigkeit

S

Größenordnungen Vergleich Physik - Technik

+ -


Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet werden: Aus (MK 1) : ds = v dt integrieren = umgekehrte Differentiation, daraus erhält man den Weg Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben v = ds / dt | dt v dt = ds |∫ →→→→

0

T

T

sdt)t(v)t(s1

0

rrr+= ∫

(MK - 2)

Anwendung Flugzeug: Staudruck-Messgerät mißt nur die Geschwindigkeit → Integration ergibt s ! Problem Integration und Variable t

Herleitung für v = const. : ( ) tvsTvTTvdtvs üblich1T

0T

01 = →∆=−== ∫

Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Meßbeginn !! Spezialfall: )t(vv

rr≠ , d.h. v = const: ostv)t(s

rrr+⋅=

s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0 Beispiel: Auto mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m

m1000s10010dt10dt10sdt)t(v)t(s sm

s100

0sm

s100

0sm

0

T

T

1

0

=⋅===+= ∫∫∫rrr


Weg - Zeit - Diagramm am Beispiel Zugfahrplan mit ‚Problem’ v(t)

Weg - Zeit - Diagramm

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 20 40 60 80 100 120

t / min

s / km

vm


aber: Zugzeiten nur Abfahrt - Ankunft, dort v = 0 , dazwischen max. ca. 200 km/h

t

s v

st

ds/dt = va

aktuellv

v = stmittel

Def.: Mittlere Geschwindigkeit

t

svm ∆

∆=

rr

(MK - 3)

für ∆t → 0 :

Def.:

aktuelle Momentangeschwindigkeit s

td

sdva

&rr

r≡=

(MK - 4)

z.B. die Anzeige durch Tachometer


2.3.2 Beschleunigung

Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. Auto anfährt ?

Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. ist zeitabhängig.

Def.: Beschleunigung

= Geschwindigkeitsänderung

pro Zeiteinheit

[a] = m/s

{ {

svtd

vd

t

va

werttanMomen.aktttswertDurchschni

&&r&rrr

r=≡=

∆

∆=

(MK - 5)

Technik: a > 0 : Beschleunigung ; a < 0 : Verzögerung

Zahlenbeispiel siehe obenstehende Tabelle

Zusammenhang Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung - Zeit

s v

a = 0 a = const a const

t

dv / dt = a

t

v

a

v = 0 v = const v const v const

t

s

ds/dt = v


10 10 101 39

a / m/s²

Beschleunigung

106 12

10

Größenordnungen Vergleich Physik - Technik

Elektrotechnik: Beschleunigung von geladenen Teilchen :

Strahlung nach Maxwell - Gleichungen : Synchrotonstrahlung

Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration

berechnet werden:

Geschwindigkeit 0vdt)t(a)t(vrrr

+= ∫

(MK - 6)

Weg

0sdt)t(v)t(srrr

+= ∫

(MK - 7) Analog für Rotation, statt Weg s den Winkel ϕ verwenden (s.u.) !


2.3.3 Translation Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): ss →

r (o.B.d.A.)

Def.: Bewegungstyp / -form

Art Gleichförmig gleichmäßig

beschleunigt

ungleichmäßig

beschleunigt

a 0 const. ≠ const.

v Const. Lineare Änderung, v ∼ t ≠ const.

Bsp. Auto 100 km/h Freier Fall Pendel

→ es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):

2.3.3.1 Gleichförmige Translation

Typ: a = 0 aus (MK - 6): v = vo

aus (MK - 7): s = ∫vdt = vo t + C

s v

t

a

ov

os

→ s = vo t + so (MK – 8)

JAVA Applett: Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Beispiel:

Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht mittlerer Geschwindigkeit, impliziert ∆s /

∆t


2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation

Versuch: - Ball fallen lassen

- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle

d.i. Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Typ: a(t) = const Bsp.: Freier Fall

s v

t

a

aus (MK – 6): ∫ == tadt.constv

aus (MK - 7): s = ∫vdt = a∫tdt = ½ a t2

Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7), so = 0

Geg. vo = 0 vo ≠≠≠≠ 0

a, t

v = at

s = 1/2 at²

v = at + vo

s = 1/2 at² + vo t

a, s

sa2v =

2ovsa2v +=

(MK - 9)


2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Versuch Pendelschwingungen :

Umkehrpunkt: Richtungsumkehr von Geschwindigkeit und Beschleunigung

→ ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Typ: a(t) ≠≠≠≠ const. ; a = a(t) Beispiel: Mechanische Schwingungen

t

s

v

a

Anfangsbed. für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0 geg: a ∼ cosωt

∫= dtav ∼ sinωt

∫∫= dtas2

∫= dtv ∼ cosωt � s ∼ a− , s ∼ s&&− typ. für Schwingungen

Beispiel kta = Bem: [k] = m/s²

∫∫ === kt21

dttkdtav 2

32 kt61

dttk21

dtvs === ∫ ∫


Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf

2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld

a = g = 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = const. → gleichförmig beschleunigte Bewegung,

Modellkörper : Massepunkt

NB: - Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation

- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)

- g sehr exakt mit Pendeln meßbar, so daß Höhe über Meeresspiegel bestimmbar

Dim Bez. Anfangsgeschwindigkeit *

1 Freier Fall voz = 0

Senkrechter Wurf voz > 0 nach oben

voz < 0 nach unten

2/3 Waagrechter Wurf vox ≠ 0 voz = 0

Schiefer Wurf vox und voz ≠ 0

z

x

y

V = 0oy

(*) :

=

z0

y0

x0

0

v

v

v

vr

y hier als konstant gewählt, ebenso liegt der Abwurfort im Ursprung !

Beides kann durch lineare Koordinatentransformation (und ggf. Drehung) immer erreicht

werden.

Bei Wurf mit Seitenwind ist y nicht konstant, also zu berücksichtigen !


für die beiden Beispiele gilt : - a = g aus (MK - 9): 0vtgv +=

- AB: 0)0t(v ==r

, 0)0t(s ==r

a) Freier Fall Kinematik

002 stvgt

21

s ++=

1D gas ==&&

für 0s0 = und 0v0 =

2gt21

s= gtv =

� gv

t = � g2

vgv

g21

s2

2

2

==

Energiesatz (Vorgriff)

siehe Ekin = Epot

mgh2

mv2=

� gh2gs2v == �g2

vs

2

=

2gt21

s= ; gtv = ; g2

vs

2

=

(MK – 10)

d.h. beide Wege führen zum selben Ziel !

wenn aber Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden

weiter


b) Wurf

vektorielle Betrachtung

Zusammensetzung von

- gleichförmiger Translation und

- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)

Anfangsbedingungen (t = 0) :

.Bew.beschl.gleichm

.Bew.unbeschl

g

0

0

a;

v

0

v

v;

0

0

0

s 0

oz

ox

00 −

−

=

=

=rrr

z

x

y

V0x

g

Achtung: rechtshändiges

Koordinatensystem !

Rechengang: v = ∫adt ; s = ∫vdt

→

.beschl.gleichmiggleichförmoz

ox

tg

0

0

v

0

v

v

−

+

=r

−

=

−

+

=2

oz

ox

2oz

ox

tg2

1tv

0

tv

tg2

10

0

tv

0

tv

sr

(MK - 11)

Probe: gs!

z −=&&r √

Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.


Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0

−

=

tg

0

v

vX0

r

−

=2

X0

tg2

10

tv

sr

Absolutgeschwindigkeit: ²t²gv)t(vvvvvv 2x0hier2z

2y

2x += →++==

r

Fälle: - t klein : v ≈ vx - t groß : v ≈ gt bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welche Bahn fliegt der Massepunkt ? Bahnkurve sx = vox t ≡ U (i) sz = - 1/2 gt² ≡ V (ii) aus (i) t = U / vox (i’) (i’) in (ii)

²xv2

gz.bzwU

v2

gV

2ox

22ox

−=−=

das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²

Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve

vx

x

z

t = 0

|v|vy

0 xv

²xv

²gv)z,x(vv

2ox

2ox +== (1') in v eingesetzt

x

v

0 xv

~ x

JAVA Applett: Schiefer Wurf


Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?

Olympia-Schanzen Calgary


2.3.4 Rotation

Bsp: Pendel, drehbare Balkenwaage

Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange

wichtigste Größe (analog zum Weg s):

Drehwinkel ϕ = s /r → s = r ϕ (MK 12)

r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [ϕ] = rad 180° = π

ϕ

1 Variable ϕ, da r = const.

karthesischeKoordinaten

2 Variable: x , yx

y

Polarkoordinaten

r

s

D

Winkelgeschwindigkeit

[ω] = rad/s

ϕ=ϕ

≡∆

ϕ∆=ω &

dt

d

t

(MK - 13)

Winkelbeschleunigung

[α] = rad/s² ϕ=ω=

ω=

∆

ω∆=α &&&

dt

d

t

(MK - 14)

Alle Definitionen wie Translation

ϕ , ω , α sind Skalare, keine Vektoren !!


Zusammenführung Translation - Rotation

(hier nur Skalare bzw.

Beträge)

Translation Rotation T �� R

Weg s ϕ s = r ϕ

Geschwindigkeit v ω v = r ω

Beschleunigung a α a = r α

(MK -

15)

Bewegungsformen wie Translation :

- gleichförmig α = 0

- gleichmäßig beschleunigt α = const

- ungleichmäßig beschleunigt α ≠ const.

Vektorielle Betrachtung

Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz

ωr

zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn

‚ins Blatt’ hinein

T2v

a für dt

Geschwindigkeit

Tangential zur Bahn rvrrr

×ω= (MK - 16)

Zentripetalbeschleunigung

- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)

- meist nur Betrag: a = ω² r interessant r

r

va 2

2 rr

rr

ω−==

(MK 17)

Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer

Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit. Bedingung für Schwerelosigkeit :


v²/r = g


Zentripetalkraft

Ursache der Zentralbewegung (Beschleunigung in Richtung

Mittelpunkt)

JAVA Applett: Karussell (Zentripetalkraft)

Zentrifugalkraft

ist Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von außen),

welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also vom

Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen

D

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

)am(rmr

vmF 2

2

zp ≡ω==r

zpzf FFrr

−=

(MK - 18)

Coriolis-Kraft

weitere Kraft in bewegten, rotierenden

Systemen. Tritt auf, wenn sich ein Körper

radial nach innen oder außen bewegt

(Scheinkraft)

rc vm2Frrr

×ω−=

anschauliche Erklärung: Bahngeschwindigkeit hängt vom Abstand von der Drehachse ab,

ein sich nach außen bewegender Körper muß daher Kraft aufwenden, um in Ruhe zu

bleiben.


Versuch: Kugel auf rotierender Platte läuft spiralförmig

nach außen, da sie Corioliskraft nicht aufbringen kann.

Wirkliche Bahn im ruhenden System (mitbewegter

Beobachter) ist eine Gerade

scheinbare Bahn im rotierenden System (Beobachter

ruhend, außenstehend) ist eine Spirale

v in radialerRichtung

mitbew. Beob.ruhenderBeob.

Bsp.: - ESP – Sensor

- Hochdruck auf Nordhalbkugel bedingt Ostwind in Mitteleuropa

- Wirbel in der Badewanne

Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung ωωωω = const. ; αααα = 0

z.B. gleichmäßig drehender Motor

Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit

1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2π entspricht 1 Periode

Drehwinkel (entspr. s = v t )

Periodendauer

Frequenz

Anzahl der Umdrehungen

Drehzahl

tω=ϕ

ω

π=

2T

π

ω==

2T

1f

N = ϕ / 2π

f2dt2

dN

dt

dN

t

Nn =

π

ω=

π

ϕ===

∆

∆= &

(MK - 19)

Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,

dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz

JAVA Applett: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit


Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung αααα = const.

z.B. anlaufender Motor

Winkelgeschwindigkeit

Drehwinkel

ω = α t

ϕ = ω t = 1/2 α t²

(MK - 20)

Analog gleichmäßig beschleunigte Translation Rotation in karthesischen Koordinaten

cossin

a

vr

ϕ

IM y

R RE xD

Reell:

ϕ

ϕ=ϕϕ=ϕ

sin

scoR)(r;)t(

r

rv &rr

=

ϕ

ϕ−=

cos

sinRv

r v tangential zu r

sva &&r&rr ==

rvsin

cosR

sin

cosRa

r&rr −=−=

ϕ

ϕ−=

ϕ−

ϕ−=

ar

zeigt zur Drehachse (MK - 21)

Imaginäre Schreibweise

Eulerformel : α+α=α sinjcose j

sˆeReRysinjxcosz tjj ===+= ωϕ mit ϕ = ω t

vzjz =ω=′

azz 2 =ω−=′′ vgl.Schwingung

tjeRz ω= 876

&

z

tjeRjˆvˆz ωω==

zeRˆaˆz 2

z

tj2 ω−=ω−== ω321

&&

(MK - 22)


Zusammenfassung Kinematik

Art gleichförmig Gleichförmig

beschleunigt

Ungleichförmig

beschleunigt

Beschleunigung 0 konstant nicht konstant

a = a(t) , αααα = αααα (t) nein nein ja

v , ωωωω const const * t v = ∫ a dt , ω = ∫ α dt

s , ϕϕϕϕ const * t 1/2 const * t² s = ∫ v dt , ϕ = ∫ ω dt

alle Anfangswerte hier Null : vo = ωo = so = ϕo = 0 s = r ϕ ; v = r ω ; a = r α 1D - ggf. Vektoren verwenden

Ableitungen, wenn s bzw. ϕ zeitabhängig gegeben: ϕ=ω=α== &&&&&r&rr ;sva

Def. - aktueller Momentanwert aus Differenz z.B. td

sdva =

- Mittel- bzw.Durchschnittswert aus Differential (∆t → 0) z.B. tm ∆

ϕ∆=ω


2.4 Dynamik

Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet, hier wird die

Statik

mit der Kinematik zusammengeführt.

Inhalt: Bewegungsgleichungen - Energie - Impuls, ....

Translation Rotation

Modellkörper Massepunkt Starrer Körper

Grundgesetz F = m a M = J α

Bsp Wagen mit Gewicht Motor

Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen !

2.4.1 Translation

2.4.1.1 Newtonsche Gesetze

1. Trägheitsgesetz

Ein Körper bleibt in Ruhe oder er bewegt

sich gleichförmig, wenn keine äußeren

Kräfte auf ihn einwirken oder diese in

Summe Null sind.

Bsp: Gegenstand hinlegen - aber : Erde

dreht sich um sich selbst und um Sonne

anderer Fall:

Autofahrt geradeaus, nicht angeschnallt gegen Baum: Insassen fliegen unbeschleunigt

weiter;

d.h. Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte

Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:


Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik:

zusammengeführt im


2. Grundgesetz der Mechanik

Speziell

allgemein

m = const. (Newton)

m ≠≠≠≠ const., p: Impuls

amFrr

=

( )p

dt

vmdF &

rr

r==

(MD - 1)

Allgemeine Formulierung ( )

amvmvmvmdt

vmd rr&&

rr&

r

+=+=

mit m& = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)

Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit

I = ∆Q / ∆t

Fälle: - m = m(t) : Rakete

- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)

vereinfachte Formulierung:

Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die

gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist

Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen


3. Kraft erzeugt Gegenkraft

aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Σ Fi = 0 ; Bsp. Gewicht auf Unterlage

Erweiterung auf Dynamik:

Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit

bei Fahrt in Kurve merkt man Kräfte bzw. beim Anfahren.

= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte

- Anfahrt Zug: Flasche fällt vom Tisch

- Gasballon in Auto, bremsen - wohin bewegt sich Ballon ?

nach hinten, da Luft sich nach vorne bewegt (vorne größerer Luftdruck)

Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null

Dynamisches Gleichgewicht

auch d’Alembertsches Prinzip

Σ Fi = 0

(MD - 2)

Versuche: - Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit

- Ball mit Hand unterstützen : Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.

Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?

- Gewicht an Federwage

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,

nimmt das angezeigte Gewicht zu

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,

nimmt das angezeigte Gewicht ab

Bsp. Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, aber Person fühlt sich

unbewegt !

Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !


Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertsches Prinzipes

aus ∑ = 0Fir

(d´Alembert)

Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B.Gewichtskraft

Ft : Trägheitskraft

0FF tb =−rr

Ft = m a

(MD - 3)

mit : m : Gesamtmasse des Systemes

a : Beschleunigung des Systemes, für Statik a = 0, siehe NB

Trägkeitskraft - Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)

- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen

NB: es kann auch mit bt FamFrr

== gerechnet werden. Dann ist die Dynamik auf der

linken

Seite der Gleichung und die Statik auf der rechten Seite.

Äquivalenzprinzip: Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ?

- träge Masse : Dynamik - Trägheitskraft

- schwere Masse : Statik - Gewicht in Ruhe

Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen.

Aufgabe der Dynamik:

Bewegungsgleichung aus Kraftansatz / Energiesatz erstellen und lösen

Mit Dynamik kann Beschleunigung berechnet werden, was mit der Kinematik nicht möglich

ist.


Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip

Freier Fall

m (Massepunkt)

0

x

Start

F = m at

FG

Kraftansatz

1) d’Alembert: ΣF = 0

Fb - Ft = 0

2) Kräfte bestimmen

Fb = m g = Fg

Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)

3) einsetzen

m g - m a = 0

→ a = g = x&&

gleichmäßig beschl. Bewegung

→ x&= v = g t, x = ½ g t²

→ xg2vx ==&

Energieansatz (Vorgriff)

Eges = const

Epot = Ekin

m g x = ½ m v²

→ xg2vx ==&

x(t);v(t) → schwierig

Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des

Systems !

Energieansatz erscheint 'leichter', ist aber deutlich aufwendiger aufwendiger,

wenn s(t) und v(t) gesucht ! Das geht am besten mit dem Kraftansatz und Kinematik

Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits-

Zusammenhang.

Wenn ein Ansatz nicht 'funktioniert', den anderen Ansatz verwenden !


Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle

Kraftansatz: d’Alembert: ΣF = 0

1) Fb - Ft = 0

2) Kräfte bestimmen

Fb = mG g

Ft = (mw + mG) a

mw + mG = Gesamtmasse des Systems

3) einsetzen

mG g - (mw + mG)a = 0

→ gmm

ma

GW

G ⋅+

=

Rest: Kinematik

t = 0 0x

Ft

mW

FG

Fb

mG

JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton

(Fahrbahnversuch)

Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation

Stimmt das Ergebnis ?

Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:

a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses ?

b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?

angewandt auf obiges Beispiel:

a) Einheit : [a]= m/s² √

b) Extremfälle - mw → 0 : a ≈ g √

- mw >> mG : a → 0 √

- mG = 0 : a = 0 √


2.4.1.2 Arbeit

Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, die Wirkung wird mit dem

Begriff Arbeit erfaßt:

'umgangssprachlich': Arbeit = Kraft * Weg

Bsp: Gewicht in Hand und laufen - keine Arbeit wird verrichtet, da Gewicht nur gehalten

wird

(Kraft ⊥ Weg), Maßkrug-Haltewettbewerb Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.

Kraft F Arbeit [W] = Nm = J

Konstant sFWrr

⋅=

Wegabhängig ∫ ⋅=1

o

s

s

sd)s(FW

r

r

rrr

(MD - 4)

Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden

Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies,

Sand

Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt

Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:

F = const. : sFsdF1

o

s

s

rrrrr

r

⋅=∫

SI-fremd : - kWh = 3,6 MJ (Energiewirtschaft)

- eV = 1,6 10-19 J (Atomphysik)

Arten Bsp. (Vereinfachung: 1D)

Hubarbeit Gewichtheben,

Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.

Beschleunigungsarbeit Anfahren Auto

Reibungsarbeit Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene

Verformungsarbeit Feder spannen


Hubarbeit im Schwerefeld der Erde

Annahme: g = const

→ F = const, Weg klein

Whub = ∫F ds

mit F = m g und s = h erhält man

→ h

W hub

W ~ hhub

Hubarbeit Whub = m g h (MD - 5)

Versuche:

- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle

- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft * Weg = Arbeit

- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger → Arbeit = konst.

- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-)

Weg

dafür entsprechend länger → Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.

Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodaß auch schwere Gegenstände

hochgehoben werden können

JAVA Applett: Flaschenzug


Beschleunigungsarbeit

Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und ∆v = 0

Fall: a = const Fall: a ≠≠≠≠ const

Fbeschl = m a = const

→ Wbeschl = m a s

gleichmäßig beschleunigte Translation:

sa2v =

nach a auflösen und einsetzen

Wbeschl = m s v²/2s

Wbeschl = ∫F ds = m ∫ads

∫ ∫

∫

==

=

2

1

V

V

dvvmdt

dsdvm

dsdt

dvm

→

Wbeschl = ½ m v² Wbeschl = ( )2122 vvm21

− (MD - 6)

Achtung: gilt nur, wenn

Anfangsgeschwindigkeit = 0

Immer verwenden, wenn

Anfangsgeschwindigkeit ≠ 0

Bsp: m = 2 kg

sm6v

sm5v

2

1

=

=} � sm1v =∆

� ( ) J112536m2

1Wbeschl =−=

nicht J11m2

1 2 =⋅= !

v

Wbeschl

W ~ v 2beschl

Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden,

nicht die beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren !

Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die Differenz gebildet werden.


Spannarbeit (Verformungsarbeit)

z.B. bei Feder

Aus ∫ ⋅=1

o

s

s

sd)s(FW

r

r

rrr

mit s = x

F = F(x) = FF = - D x (Hooke)

Ws

W ~ x 2s

x

D : Federkonstante, [D] = N/m

→ [ ] ( )2122xxx

x

s xx²xD21

dxxDW 12

2

1

−−=−= ∫

Spannarbeit ( )2122

x

x

Fs xxD2

1dxFW

2

1

−±== ∫ (MD - 7)

wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflußter Länge

x = x2 - x1: aktuell gedehneter Weg

+ aus Sicht von außen

- aus Sicht der Feder

- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit

Beispiel : Kraft ist wegabhängig ∼ x; Spannarbeit

1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D

2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen

Ws = [ ]∫ =−==2

1

2

1D

2

3)14(D

2

1²xD

2

1dxxD

nicht additiv wie bei Hubarbeit !!

Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen


Reibungsarbeit

Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe Schiefe Ebene: v geringer, da Reibung

Reibung Fr Beispiel

Festkörper µ FN Gleitreibung, FN : Auflagekraft, schiefe Ebene

Flüssigkeit ∼ v Strömungswiderstand (laminar)

Gas ∼ v² Luftwiderstand (turbulent)

Verformung deform. Medien Feder spannen

(MD -

8)

Reibungsarbeit

bei wegunabhängiger Reibungskraft

Wr = Fr s (MD - 9)

Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt.

Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben Formel 1

- Schutzschild Raumfähren

- Mikrowellenherd

d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft Fb - Fr - Ft = 0 (MD - 10)

Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung

Reibungsphänomene komplex: - Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren

- Luftwiderstand Golfball


Beispiel Auto:

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ...

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h : Differenz höhere

Luftreibung

Höchstgeschwindigkeit hängt nur vom Luftwiderstand ab

- Luftwiderstand

(Richtwerte) Geschwindigskeitsbereich Reibung

< 50 km/h vernachlässigbar

50 - 100 km/h 'naja', typ. ~ v

> 100 km/h typ. ~ v²

2.4.1.3 Energie

Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit

umgewandelt werden kann.

Energiesatz

[E] = J

Eges = const.

Eges (To) = Eges (T1)

(MD - 11)

Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt

sich von alleine ab und springt hoch !

Einheit wie Arbeit

→ Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt

werden!

→ kein Perpetuum mobile


Energie -

Arten

Formel Beispiel Energie-

Speicher

Energie-

Transport

Kinetisch

(Translation)

Ekin = ½ m v² Ekin bei Autounfall

Rotation

(2.4.2)

Erot = ½ J ω² Motor beim Auslaufen Schwungrad

Potentiell

(Erde)

Epot = m g h Freier Fall Speicher-

kraftwerk

Pumpstation

Reibung Siehe Arbeit Luftwiderstand

Wärme Ew = c m ∆T Kochen Wasser-

speicher

Fernwärme

Elektrisch Eel = U I t Leiter = Transport von

Energie !!

Akku Hochspannungs-

leitung

Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank

Strahlung E ∼ ω Photosynthese,

Solarenergie,

IR-Thermometer

‘Sonne’

?!?

em. Wellen


Beispiel Kinetische Energie

Setzt man die Kinetische Energie eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt sich

diese bei 140 km/h !!

Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert

ebenfalls quadratisch verlaufen könnte.

Daraus folgt dann ein doppelt so hohes Risiko, wenn die Geschwindigkeit von 100 auf 120

km/h gesteigert wird.

Kinetische Energie bei Autofahrt / -unfall

0

50

100

150

200

250

300

350

400

100 120 140 160 180 200 220

v / km/h

~ v²

~ v

physiologische Belastung ~v²*v²

Ekin /% (100%= 100 km/h)


Translativer Energiesatz ohne Reibung mit Reibung

Ekin(T0) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1)

Ekin(T0) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1)

(MD - 12)

Bem:

- Ereib ~ Wreib

- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen

- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer

Abhängigkeit !

- gilt z. B. nicht in Wasserströmung! Ernergie von A nach B kann dort wegabhängig

sein.

Bsp.: Energieumwandlung Epot1 →→→→ Ekin →→→→ Epot2

Versuch :

a) Würfel im Freien Fall

b) Würfel über schiefe Ebene

EW

h

a)b)

G

pot1

Epot2

Ekin

Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des

Gegenstandes G geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird.

Weitere Verlust durch Aufprall.

Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !

Versuch: Ball / Blatt Papier fallen lassen Ball schneller obwohl Epot gleich


Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand

a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1) mit Er = F s m g h = ½ m v² + k v² h k : Reibungskoeffizient → v² (½ m + k h) = m g h

→ hk

2m

hgmv

+=

Extremfälle: - keine Reibung (k = 0) : hg2v = √√√√

- große Reibung ( k → ∞ ) : v → 0 √√√√ aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ??? Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier

als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige

Beschleunigung.

b) Kraftansatz ΣF = 0 → Fb - Fr - Ft = 0 → mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt ‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber Endgeschwindigkeit : a = v& = 0 mg - k v² = 0

→ k

gmvend =

Extremwerte: k → 0 : vend → ∞ √ k → ∞ : vend → 0 √


Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100

Fallweg / m

v / m

/s

mit Luftwiderstand

ohne Luftwiderstand

v = const / a = 0

v durch Luftwiderstand konstant : Beschleunigung a → 0

weiteres Beispiel Energieansatz:

Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)

Epot = Ekin

mG g h = ½ * (mw + mG) v²

→ Gw

G

mm

hgm2v

+= v = v(h) !

Grenzfälle analog Kraftansatz


2.4.1.4 Leistung

weiterer Begriff aus täglichem Leben

„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : vFt

WP ==

aus vFdtds

FtsF

tW

P ====

[P] = W = J/s (Normierung auf Zeit)

„früher“: Auto : PS ; 1 PS = 0,73 kW

Leistung („Arbeit pro Zeit“)

'genaue' Formulierung { {

tanMomen

0t

ttDurchschni

td

Wd

t

WP

→∆=

∆

∆=

(MD - 13)

Durchschnittsleistung t

WPm ∆

∆=

aktuelle Momentanleistung Wtd

WdPa

&==

(Definitionen analog Kinematik Geschwindigkeit)

erweiterte Betrachtung {

vFsFtd

)sF(d

td

WdP

constFfür0

rrr&rrr

⋅+⋅=⋅

===

kinetische und potentielle Leistung

( )

( )vFxF

dt

dxgm

td

)t(xgmd

td

WdP

vFvamvvmdt

²dvm

2

1

td

)²t(vmd

td

WdP

constm

potpot

constm

21

kinkin

====

=====

=

=

=

=

&

&


Wirkungsgrad 1

P

P

gesamt

nutz


2.4.1.5 Impuls

alltägliches Beispiel: Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung

Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel

Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander

Modellkörper : 2 Massepunkte

Impuls [p] = kg m/s = Ns 321

r&r

43421

rr

Fallemeinerlgal.constmNäherung

Fp,vmp ===

(MD - 15)

allgemein: Vektor pr

JAVA Applett:

- Elastischer und unelastischer Stoß

- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung)


Einfachster Fall :

2 harte Kugeln prallen aufeinander

eine ist vor dem Stoß in Ruhe

a) Kraftansatz ΣF = 0

v = const. außer bei Zusammenprall

d.h. keine Beschleunigung Ft = 0

→ F1 + F2 = 0 ( 1: vor, 2 nach Stoß)

( )

( )

.constpp

0ppd

dt0dt

ppd

0dt

pd

dt

pdpp

21

21

21

2121

=+→

=+

=+

=+=+→

∫∫

&&

→ cpp 21 =+

b) Energieansatz Eges = const

Ekin vor = Ekin nach + Edeformation (Edeformation hier

Null)

½ m1v1² + ½ m2v2² = ½ m1v’1² + ½ m2v’2²

' : nach dem Stoß

mit 0td

Ed ges = (für m = const)

→ m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2

→ c'p'ppp 2121 =+=+

Impulserhaltung .constpi

i =∑r

(MD - 16)

Bsp.:

Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen →

Surfbrett bewegt sich vorwärts !

pStein = pSurfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt

pStein

pSurfbrett


allgemeine Impulsdefinition

aus (MD - 15)

1D, Vektoren ggf. ergänzen

{ {NewtonRakete

amvmvmvmtd

)vm(dtdpd

F +=+=== &&&

(MD - 15')

zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom { {

mtd

md

t

m

werttanMomen.aktttDurchschni

&==∆

∆

Anwendungen: - Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit'

m

t

m

t

- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des

Treibstoffes

Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : Qtd

Qd

t

QI &==

∆

∆=

rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h.

es ist 'egal', ob

- Masse (Mechanik)

- Ladung (ET)

- Wärme (Kap. 3)

- Wellenenergie (Kap. 5)

transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom.


Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen):

Masse Relevante

Größe

Stoß Merkmal Fall für

m1 = m2

v2 = 0

Bsp.

Elastisch*

‘v’ wird

weitergegeben

v1’ = 0

v2’ = v1

Stahlkugeln, Billard,

Reflexion an Wand

Material-

eigenschaften

Unelastisch*

Gemeinsames v

v1’ = v2’

= v1/2

kleben aneinander, Bsp.

Kugel in Schwamm.

Ekin wird in Verformung

umgewandelt → Wärme

Zentral

p

Massenpunkte auf

Gerade,

p ist hier ein Skalar

bleibt

konstant

Vektor-

eigenschaften

Nicht zentral

pr

Modellkörper: Starre bzw.

deformierbar Körper

Billard, seitlicher Stoß,

p ist hier ein Vektor

ändert

sich

m = m(t)

Rakete

p = dF/dt

m ändert sich

→ Rakete gibt Treibstoff

ab, v nimmt zu

* : ideale Grenzfälle


2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete

Kinematik / Kraft- / Energieansatz

Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse

- g = const., da niedrige Flughöhe

- keine Reibung

2 Antriebsphasen:

- mit Gasausstoß

- ohne ‘’ , nach Brennschluß

3 Flugphasen

a) beschleunigte Bewegung

b) Senkrechter Wurf nach oben

c) Freier Fall nach unten

b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn

Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und -

geschwindigkeit verwendet wird.

Antrieb -slos

tbeschl.Bewegung a

senkr.Wurf b

freier Fall c

h


a) Start :

beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf : FAn - FG - Ft = 0 mit FAn : Startschub FAn – mg – ma = 0

Startbeschleunigung : gm

Fa AnS −=

bei Brennschluß (t = 5 s) Geschwindigkeit : vBs = ast Höhe : hBs =

1/2 ast² hier Fan = 2N , m = 0,1kg → as = 10 m/s² vBs = 50 m/s, hBs = 125m

nach Brennschluß

b) Senkrechter Wurf Max. Steighöhe: hmax = hbs + hsw

g2

vh

2bs

sw = (z.B. aus Energiesatz hg2v = )

= 125m hmax = 250m nach Gipfelpunkt c) Freier Fall

aus Energiesatz bzw. Kinematik : s

m70hg2v maxauftreff ≈=

tatsächlich geringer, da Reibung aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz


Impulsansatz

Grundlage aus (MD - 15’): amvmvmvmtd

)vm(d

td

pdF +=+=== &&& (*)

aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 :

amvm0 += & → wmv)t(m && −=

m(t)

v = wGasv

Rakete

x

dt|wdt

dm

dt

dvm ⋅−= (DGL 2. Sem.)

C)m(lnw

v

dmm

1dv

w

1

|dmm

1dv

w

1

+−=

−=

⋅−=

∫∫

∫

Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = mo (Startmasse) → C = ln(mo)

→

=

m

mlnwv o mit m = m(t) z.B. m(t) = mo - kt > mBS

bis hierher: parallel zur Erdoberfläche

bei Start nach oben : t)h(gm

mlnwv o −

= Achtung g = g(h) !

max. Höhe: v integrieren, schwierig


Modellrakete: w = 1000 m/s, mo = 0,1 kg, mBS = 0,08 kg, t = 5 s → vBS = 173 m/s (50 m/s Kinematik) aus Formelsammlung : hBS = 550 m (125 m Kinematik) d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g)

zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz !

Reale Raketen

=

mm

lnwv o

w ≈ 3 km/s

1-stufig : typisch: 6m

m

BS

o ≈

→ vend ≈ 2w → vBS ≈ 6 km/s also schneller als Treibstoffausstoß !! aber:

Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert vmin = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht

möglich, da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht

beliebig optimiert werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern

(Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) mit einer dreistufigen Rakete:

Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe:

=

BZ

Z0

2B

02

1B

01eB M

M...

M

M

M

Mlnwv .

Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ : B

0

M

M


Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben

Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s.

Einstufenrakete

Nutzlast MH = 0,04 t

Rakete MR = 8,44 t Treibstoff Mt = 42,20 t

Startmasse M0 = 50,68 t

Brennschlußmasse MB = 8,48 t

Brennschlußgeschwindigkeit

=

48,8

68,50ln

s

km7,2vBS

vBS = 4,8 km/s

Dreistufenrakete

Nutzlast MN = 0,04 t 3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t

2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t

1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t

ΣMR = 8,44 t ; ΣMT = 42,20 t

→ Startmasse M0 = 50,68 t 1. Stufe

Masse bei Zündung M01 = 50,68 t

Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t

∆v1 = 4,21 km/s 2. Stufe



∆v2 = 3,71 km/s

3. Stufe



∆v3 = 3,39 km/s

Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe

vBS = ∆v1 + ∆v2 + ∆v3

vBS= 11,31 km/s

Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde

erreichen, da die erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer

gedachten Erdoberfläche) bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes

sind bereits 11,8 km/s nötig, die kosmische Geshwindigkeit der Erde

(„Fluchtgeschwindigkeit“).


Raketenstart und Flugstabilisierung

Schwierigkeit beim Start : vo = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken !

besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt

SWP

Kraft

SWP

Kraft

Seilrolle

SWP oberhalb Unterstützung : labil Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff

Kraft Kraft

SWP

SWP

analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist

'Auflagekraft'Seil :

SWP

Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung ( Triebwerk dreht sich – Vektorcharakter

des Impulses ) erfordert schnelle Winkelmeß und Regelstrecken.


2.4.2 Rotation

Modellkörper: Starrer Körper

Versuch Fliehkraft

Versuch: Fliehkraftregler

Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere

Kugeln

bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe ?

2.4.2.1. Zentripetalkraft

Bsp:

Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht ,

daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft'

Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp

Praxis: meist nur Betrag interessant

Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender

Beobachter spürt (Fliehkraft)

D

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

r

Zentripetalkraft Fzp

Zentrifugalkraft Fzf

Zfrv

2

zpr Fr²mrvm

amFFrr

r

rrrr

−=ω====ω=

(MD - 17)

Bem.: Fzp ~ ω²


2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz

Modellkörper: starrer Körper

Translation Kraft F →→→→ M Drehmoment Rotation :

Drehmoment

∑∑ ×== iiig FrMMrrrr

D

r1

m1

r2

m2

Herleitung eindimensional

1D : F = m a | r

r F = r m a | a = rα (Winkelbeschleunigung)

→ M = (mr²) α = J α

J : Massenträgheitsmoment,

aus Tabellen bzw. experimentelle Bestimmung

D r m

bei zusammengesetzten Körpern : ∑ ∑ α==rrr

iiges JMM

Dynamisches Grundgesetz

[J] = kgm² α=rr

JM (MD - 18)

Vergleich Translation : amFrr

=

d’Alembertes Prinzip der Rotation Σ M = 0 (MD - 19)

Vergleich Translation : Σ F = 0


Massenträgheitsmoment

hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen

Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen → Kapitel Schwingungen

Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen ∑ ∫ ρ==

i Vol

22ii dVrrmJ

rr

x

y

z

r

Kugel massiv 2

zyx rm52

JJJ ===

dünne Schale 2

zyx rm32

JJJ ===

x

y

z

l

r

r

a

i

Vollzylinder 2

x rm21

J = 22zy lm121

rm41

JJ +==

dünner Stab (l >> r) 2

x rm21

J = 2zy lm121

JJ ==

dünner Scheibe (l


Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt

Bsp: Kugel an Seil – Pendel

D

d

m

Starrer Körper

SWP

Dd

m

Satz von Steiner d : Abstand A - SWP

Ja = JSWP + m d²

(MD - 20)

Bsp.: MP an gewichtsloser Stange Ja = m d² da JSWP = 0 (s.o.)

2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation

Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad

- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten

- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch

Untersuchung : Ekin JoJo < Ekin Kugel (da v geringer) Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation ! Epot → Ekin + Erot → Energiespeicher Rotation Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen (warum gibt’s das nicht mehr?)

Arbeit

Energieerhaltung

Rotationsenergie

Leistung

(vgl. Translation)

Wrot = ∫Mdϕ

Ekin + Epot + Erot = const.

Erot = 1/2 J ω²

ω⋅=rr

MP

(MD - 21)


2.4.2.4 ‘Hookesches’ Gesetz bei Rotation : Torsionsfeder

FM

R

Hier nur Beträge, Vektoren ggf. ergänzen

Kreisförmiger Querschnitt , ϕ klein

Verdrillung klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc.

Drehmoment M ∼ ϕ (Translation F ∼ x)

bzw. F ∼ ϕ ( M = r x F)

bezogen auf Materialstärke : M ∼ ϕ R4

R4 bringt "viel Steifigkeit" : - R = 1 cm → M ∼ 14 = 1

- R = 1,2 cm → M ∼ 1,24 = 2

Drehmoment

Arbeit

Mtor = ± D ϕ

Wtor = ∫ Mdϕ = ½ D ϕ² D ≠ D(ϕ)

(MD - 22)

Vergleich Translation : FFeder = ± D x ; WFeder = ∫ Fdx = ½ D x² D ≠ D(x)

2.4.2.5 Impuls bei Rotation : Drehimpuls

Drehimpuls [L] = kg m² /s

Drehmoment - Drehimpuls

Drehimpulserhaltung

{

∑ =

α+ω==

×=ω=

=

.constL

JJLM

prJL

.constJfalls,0

v

rr&&rr

rrrr

(MD - 23)

Bsp. Drehimpulserhaltung :

- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff

- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass


2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung

hiermit erhält man aus der Translation die Formeln der Rotation durch

„Buchstabentauschen“:

s → ϕ v → ω a → α m → J F → M p → L

(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)

Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel

Weg s Winkel ϕ = s / r

Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung α

Masse m Massenträgheitsmoment J = Σ mr²

Kraft F = ma Drehmoment M = Jα

Kraftansatz ΣF = 0 Drehmomentansatz ΣM = 0

Impuls p = mv ; Fp =& Drehimpuls L = Jω ; ML =&

Impulserhaltung Σp = const. Drehimpulserhaltung ΣL = const.

Arbeit W = ∫ Fds Arbeit W = ∫ Mdϕ

Energie Ekin = 1/2 mv² Energie Ekin rot = 1/2 Jω²

Leistung P = F v Leistung P = M ω

entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.


3. Schwingungen

Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)

mechanische Schwingungen: periodische Bewegung

periodisch = sich wiederholend

Bsp: Pendel, Feder

A

t

Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.

Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik auf:

- Autofederung

- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht

- EM - Schwingungen → Funkwellen

- Schwingungen bei Regelvorgängen

- Gezeiten

- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...

- . . .

- Wirtschaft (Zinsen, Aktien, ...)

Hypotheken-Zinssatz

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004

Jahr

Zinssatz / %

Fragen: - Warum haben die (Zinssatz-) ‚Schwingungen’ ca. 2000 aufgehört ?

- Warum ist der Zinssatz 2005 auf historischem Tiefstand ?


3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel

Vorkenntnisse : - Kräftezerlegung

- Bewegung von Massepunkten

- Newtonsche Gesetz

- trigonometrische Funktionen

Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen

Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:

Mathematisches Pendel

Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld

Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :

Beobachtung: - periodische Bewegung um Ruhelage

- Auslenkwinkel ändert sich

- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da

keine anderen Kräfte von außen wirken



mit relevanten Kräften und Definitionen

JAVA Applett: Fadenpendel

γ

γ

γ

l

m

s

F = m gG

Ft

FRK

Eigenschaften des Pendels

- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage

- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l

- punktförmige Masse m

- Winkel γ aus Ruhelage

- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l

- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge

- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g

Vorgehen zur Bewegungsgleichung

- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile

- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen

- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende

Kraft FRK

in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich

- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel γ


Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : Σ F = 0

1) Fb - Ft = 0

2) beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel

Rückstellende Kraft Fb = FRK = m g sin γ

(SW - 1)

Trägheitskraft smFt &&=

(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)

Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel

s = - l γ → γ−= &&&& ls

Minuszeichen : entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel

l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel

Trägheitskraft

in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel

γ−= &&lmFt

(SW - 2)

3) einsetzen (m fällt heraus)

Bewegungsgleichung 0singl =γ+γ&&

(SW - 3)

gesucht : γγγγ(t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel


Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von ϕ und sinϕ kompliziert

für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus γ ungefähr γ (im Bogenmaß)

Vergleich: y = sin(x) zu y = x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

x /rad

y

y = sin(x)

y = x

10°

bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich

kleine Auslenkung sin γ ≈ γ [γ] = rad

→ rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel FRK ∼ γ

Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sinγ durch γ , ergibt

Harmonische Schwingungsgleichung

0l

g=γ+γ&&

(SW - 4)

Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen

Auslenkungen


Als Lösung gesucht :

periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f~f&&

Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion

Experimente

• Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der

zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel →

Sinusfunktion

• Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleinigungsmesser) zeigt ebenfalls

einen sinusförmigen Verlauf

Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel)

kann die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !

also Cosinus, da cos(0) = 1


Lösungsansatz

für zeitabhängige Winkeländerung γ (t)

γ(t) = γo cos(ωot)

(SW - 5)

mit - γo : Anfangsauslenkung

- ωo : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)

Schwingungsdauer π

ω=

ω

π==

2f;

2

f

1T 0

0

Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:

zuerst ableiten

Geschwindigkeit

ändert periodisch

)tsin( ooo ωγω−=γ&

(SW - 6)

Beschleunigung

γω−=ωγω−=γ=

γ

2ooo

2o )tcos(a 43421

&&

(SW - 6')

Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen !

Einsetzen in (SW - 4) 0lg2

o =γ+γω− → lg2

0 =ω

Eigenfrequenz ωωωωo

der Mathematischen Pendels

l

go =ω

(SW - 7)


Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da

meßbar

γγγγ

γγγγ

t

ωωωω ππππT = 2

T

Schwingungen artverwandt mit Rotation :

- Eine Periode entspricht 2 π, hier ω * T Periodendauer ≡ Schwingungsdauer T

- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied

aus SW - 7 folgt damit

Schwingungsdauer

des Mathematischen Pendels bei

kleinen Auslenkungen

g

l2TMP π=

(SW - 8)

Schwingungsdauer

- proportional zur Wurzel aus Pendellänge

- unabhängig von Masse und Amplitude

Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!

Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s

Folgerung: Harmonische Schwingungen können durch eine Cosinusfunktion mit einer

bestimmten Frequenz beschrieben werden.


Zusammenfassung

Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):

0l

g=γ+γ&&

l

g20 =ω ;

0

2T

ω

π= Lösung: ( )tcos o0 ωγ=γ

Merkmale idealer harmonischer Schwingungen - Gleichung 0xx 2o =ω+&&

- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude - Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) x~FRk - ωo beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systemes - ωo ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems

Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden

ebenfalls mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels

Koeffizientenvergleich erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer

reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)

Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.

Hinweis: Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;

mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.


3.2 Übersicht

allgemein: periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)

Bsp. Pendel: Epot → Ekin → Epot (trotzdem Kraftansatz verwenden !)

Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente

Anzahl der Komponenten Form Ausbreitung Bsp

wenige Schwingung ortsfest Pendel

1 Körper Eigenschwingung ωo im Körper Stimmgabel

viele Wellen Fortpflanzung Schallwelle

Schwingungsart harmonisch Anharmonisch

Mathematische Beschreibung 1 Sinus bzw. Cosinus beliebig

Bsp: Pendel,

LC - Schwingkreis

Rechteck, Ebbe, Flut

Pulsschlag, EKG

Schwingungsart ungedämpft gedämpft

Annahmen ideal mit Verlusten, z.B. Reibung

Bsp Math. Pendel Luftwiderstand, Federpendel

Schwingungsart frei erzwungen

Merkmal - System bleibt sich selbst überlassen

- abklingende Amplitude

- äußere Energiezufuhr

- Resonanz

Bez.: Oszillator Resonator

Schwingungsüberlagerung

Addition von Schwingungen 1D oder vektoriell

Frequenz Richtung parallel senkrecht

Gleich Verstärkung / Auslöschung Lissajous

Verschieden Schwebung


3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen

3.3.1 Physikalisches Pendel

wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz Σ M = 0 → MRK - MT = 0


γγγγ

D

r

SWP

γγγγFRKFG

Physikalisches Pendel

Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt

D

SWP

rγγγγ

Mathematisches Pendel (mit Drehmomentansatz ΣM = 0, da quasi Rotation, s. o. ): - Drehmoment γ= &&JMT - γ−=×= singmrFrMRK - Satz von Steiner: JA = Js + mr² (MD - 16) - Aufhängepunkt – Schwerpunkt = r

Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’


dann analog zu (SW 1-4) :

0.vgl0J

gmr

0gmrJ

2o

a

A

2o

=γω+γ=γ+γ→

=γ+γ

ω

&&

321

&&

&&

Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels

bei kleinen Auslenkungen

²rmJ

gmr

J

gmr

sA

2o +

==ω

(SW - 9)

Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):

Massepunkt: Js = 0 → r

go =ω √

Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten


3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit

Energieansatz

Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbed. v oder h → 1/2 mv² + mgh = const. mit - ( )γ−= cos1lh - γ klein: cosγ ≈ 1 – 1/2 γ² → h ≈ l γ² / 2 - s = l γ und v = l γ& Vorteile:

- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v2

- Ansatz einfacher

h

l

γγγγ

nur Epot

kin potE + E

v = 0

kinnur Emaxv = v

→

Schwingungsgleichung

des Mathematischen Pendels bei kleinen

Auslenkungen aus Energiesatz

const²sl

g²s =+&

(SW - 10)

Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot) ωo² so² sin²(ωot) + g/l so² cos²(ωot) = const mit ωo² = g/l g/l so²[sin²(ωot) + cos²(ωot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1 √

Vgl. Kraftansatz: 0xlg

x =+&& mit (SW-10)

aus (SW – 10) → dtd

const²slg

²s =+& → 0sslg

2ss2 =+ &&&& → 0sl

gs =+&&

Energieansatz - auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.

- nicht üblich

- inkompatibel mit LC-Schwingkreis


3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung

Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)

- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kin. Energie)

- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kin. Energie)

Allgemeine Harmonische


0xx 2o =ω+&&

(SW - 11)

Lösungsansatz : x(t) = c1 cos(ωot+ϕ) + c2 sin(ωot+ϕ)

c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen

Allgemeine Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung

( ) ( )ϕ+ωω

+ϕ+ω= tsinv

tcosx)t(x oo

ooo

(SW - 12)

Mit - xo : Anfangsamplitude

- vo : Anfangsgeschwindigkeit

- ωo : Eigenfrequenz

- ϕ : Phase

- Geschwindigkeit x~v &

- Beschleunigung xx~v~a 2oω−=&&& (ungleichm. beschleunigte

Bew.)

In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :

- nur Anfangsauslenkung : vo = 0

- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0

- gemischt : vo und xo ≠ 0


3.3.4 Komplexe Lösung der Harmonischen


eleganterer Lösungsansatz im Hinblick auf gedämpfte und erzwungene Schwingungen:

Harmonische Schwingungsgleichung 0xx 2o =ω+&&

komplexer Lösungsansatz tjooexx ω=

Ableitungen ( ) xjejedt

dx o

tjo

tj oo ω=ω== ωω&

( ) xee²dt

²dx 2o

tj2o

tj oo ω−=ω−== ωω&& √√√√

- so geht’s am schnellsten und einfachsten !

- es werden alle Fälle aus (SW - 12) erfaßt, da )tsin(j)t(cose ootj o ω+ω=ω


3.3.5 Beispiele Harmonischer Schwingungen

3.3.5.1 Federpendel

Feder anfänglich gedehnt Kraftansatz: Σ F = 0 1) Fb - Ft = 0 → FRK - Ft = 0 2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung xmFt &&=

3) {

0xm

Dx

2o

=+

ω

&&

0

Ft

xRuhelage

F = FFF RK

Feder anfänglich gestaucht

2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x

xmFt &&−= , da in -x - Richtung

Rest identisch

Probe: - m → ∞ : a → 0 √

- D → 0 : a → 0 √

0

Ft

xRuhelage

F = FFF RK

JAVA Applett: Federpendel

gilt auch für senkrechte Pendel


3.3.5.2 Torsionspendel

hier gilt nicht v = ω r ,da γ&& nicht konstant Hier: ωo = γ& Herleitung siehe Übungsaufgabe mit : MRK = - D γ und MT = J γ&& folgt :

{

0J

D

20

=γ+γ

ω

&& γ

D

J

Ruhelage

3.3.5.3 LC – Schwingkreis siehe E- Technik

{

0ILC

1I

20

=+

ω

&&

UC ebenfalls periodisch ! JAVA Applett: Elektromagnetischer Schwingkreis

LC

UC

I

3.3.5.4 Flüssigkeit in U-Rohr

siehe Übungsaufgabe

d' Alembert: FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)

FT = mges z&&

Flüssigkeit: mFL = ρ A h

mges = ρ A l , l : Gesamtlänge

mbesch = 2 ρ A z (2, da über- & unterhalb z = 0)

→ {

0zl

g2z

2o

=+

ω

&& Vgl. Mathematisches Pendel l

g2o =ω

m beschl

mges

z

0

Ft

FRK

Documents

2. Mechanikeitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/blankenbach/...Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 2 2.1.2 Klassische Mechanik Gebiete Inhalt Beispiel