(5) Barometrische Höhenformel

Meteorologie und Klimaphysik

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Luftdruck und Höhe (grob)

Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab. Je weiter man hinauf kommt, desto weniger Luft liegt noch über einem und desto geringer ist daher auch der Druck (hydrostatisches Gleichgewicht). Faustregel (nicht für den Himalaya):

Pro 1000 Höhenmeter nimmt der Druck um etwa 100 hPa ab.

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In Heiligenblut kann man also typischerweise einen Druck von etwa 870 hPa erwarten.

In etwa 5500 m Höhe ist der Druck nur noch halb so hoch wie auf Meereshöhe, entsprechend bekommt man mit einem Atemzug auch nur noch halb so viel Sauerstoff. Mit unserer Faustregel wären wir da übrigens auf 5000 m gekommen, das ist also gar nicht so schlecht (aber natürlichstreng genommen falsch).

Luftdruck und Höhenmesser

Der Höhenmesser benutzt das Prinzip der Abnahme des Luftdrucks mit zunehmender Höhe und ist eigentlich ein Barometer (außer man hat ein GPS-Gerät).

Änderungen des Drucks werden dabei immer als Höhenänderungen interpretiert, auch wenn man am gleichen Platz bleibt, und sich der Luftdruck aufgrund des Wettergeschehens ändert. Wenn man am gleichen Platz bleibt, und der Höhenmesser plötzlich eine größere Höhe anzeigt, dann bedeutet das, dass in Wirklichkeit der Luftdruck gesunken ist.

Wenn der Höhenmesser in diesem Fall z.B. 100 m mehr anzeigt, dann ist der Luftdruck um 10 hPa gefallen.

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Luftdruck und Höhe (etwas genauer)

Die Abnahme des Luftdrucks mit der Höhe erfolgt, genauer betrachtet nicht linear, sondern (annähernd) exponentiell. Das bedeutet: Der Luftdruck nimmt bis 5500 m auf die Hälfte ab. Wenn man jetzt noch einmal 5500 m weiter hinauf kommt ist der Luftdruck nicht Null (lineare Abnahme), sonder halb so groß wie auf 5500 m. Der Luftdruck hat also immer noch ein Viertel des Wertes auf Meereshöhe.

Die Druckabnahme mit der Höhe ist um so größer, je geringer die Temperatur ist. Deshalb ist z.B. der Druck am Gipfel des Denali (Mt. McKinley) so niedrig wie auf einem 7000er im Himalaya (Details später).

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Luftdruck und Höhe (genau)

Die Druckabnahme mit der Höhe ist deshalb nicht linear, weil die Luft kompressibel ist, und daher die Dichte mit zunehmendem Druck zunimmt. Für Flüssigkeiten (die praktisch inkompressibel sind) ist der Zusammenhang einfacher (Übungen).

Aus der Beobachtung wissen wir, dass Druck und Dichte mit der Höhe abnehmen.

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Wenn es in der Luftsäule keine vertikale Bewegung gibt, muss das Hydrostatische Gleichgewicht gelten: Der Luftdruck (der durch die ungeordnete Bewegung der Gasteilchen entsteht, und in alle Richtungen wirkt) ist in jedem Punkt gleich groß wie das Gewicht der darüber liegenden Luftsäule. [Aber er „ist“ nicht das Gewicht der Luft (wie vielfach ungenau zu lesen ist), sonst würde er ja nur nach unten wirken.]

Luftdruck und Höhe (genau)

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In der Höhe z ist der Druck größer als in der Höhe z + z. Der Druck-unterschied p zwischen z und z + z (der also negativ ist) muss dem Gewicht der dünnen Luftschicht entsprechen (Bild: U. Langematz, FU Berlin).

Wenn z klein genug ist (so, dass man die Dichte als konstant annehmen kann) darf man die Differenz später durch ein Differential ersetzen.

Hydrostatisches Gleichgewicht

Die Masse der Luftschicht ist:

Meteo 42

zAρVρm

In der Höhe z ist der Druck p (entgegengesetzt) gleich der Gewichtskraft Fg pro Fläche, die die gesamte darüber liegende Luftsäule ausübt. Dem Betrag nach gilt daher:

Die Gewichtskraft ist:

dabei ist g die Schwerebeschleunigung.

zAρgmgFg

pA

Fg

Hydrostatisches Gleichgewicht

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Der Druckunterschied p ist also negativ, und der Betrag ist gleich der Gewichtskraft pro Fläche, den diedünne Luftschicht ausübt.

zgρA

Fp g

In differentieller Form ist die Druckänderung mit der Höhe damit:

gρdz

dp

In der Höhe (z + z) muss der Druck (p + p) nur die Luftsäule oberhalb von

(z + z) „tragen“. Deren Gewichtskraft ist um den Wert Fg geringer.

Skalenhöhe

Für die Dichte setzen wir das Gasgesetz ein:

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gTR

pM

dz

dp*

Lösung der Differentialgleichung durchTrennung der Variablen: dz

TR

gM

p

dp*

z

z

z

z

*

p

p 000

zHdz

dzTRgM

pdp

00)(

Wir führen die Skalenhöhe H ein, die i. A. von der Höhe abhängen wird,und erhalten: gM

TRH

*

Barometrische Höhenformel

Mittlere Molmasse und Schwerebeschleunigung ändern sich in den für die Meteorologie interessanten Höhen nur geringfügig. Nimmt man auch noch an, dass sich die Temperatur mit der Höhe nicht ändert (also: H H(z)), so bekommt man als Spezialfall für eine isotherme Atmosphäre die Barometrische Höhenformel:

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H

z

p

ppp

00 lnlnln

H

zpp exp0

Für Normalbedingungen ist der Wert der Skalenhöhe sehr genau 8 km.

Luftdruck und Höhe (genau)

Abnahme des Drucks mit der Höhe für eine isotherme Atmosphäre (rot, T=15°C). In diesem Fall ist der halbe Boden-druck in einer Höhe von 5.8 km erreicht, die Skalenhöhe hat einen Wert von 8.4 km.Berücksichtigt man die Temperaturabnahme mit der Höhe, so ist der Druckabfall stärker (p0/2 in 5.5 km, p0/e: in 7.7km, Skalenhöhe variabel). (Bild: UF)

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Luftdruck und Höhe (ganz genau)

Die barometrische Höhenformel ist für viele Anwendungen eine brauchbare Näherung.

Bei einer genaueren Betrachtung muss man die Höhenabhängigkeit der Skalenhöhe berücksichtigen, in erster Linie die Temperaturänderung mit der Höhe.

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Für eine lineare Temperaturänderung mit der Höhe ist der Zusammen-hang immer noch relativ einfach (Übungen !), und diese Näherung ist in der Atmosphäre – schichtweise – sehr gut erfüllt. In diesem Fall handelt es sich um eine Polytrope Atmosphäre.

Für meteorologische Anwendungen, darf man (berechtigt) erwarten, dass die mittlere Molmasse der trockenen Luft konstant ist. Um den Wasserdampf zu berücksichtigen behilft man sich mit einem Trick, und führt die „virtuelle Temperatur“ ein (später).

Luftdruck und Höhe (ganz genau)

Die Gaskonstante ist wirklich konstant, damit bleibt als variable Größe in der Skalenhöhe die Schwerebeschleunigung über.

Die Breitenabhängigkeit der Schwerebeschleunigung (am Boden) wird durch die internationale Schwereformel beschrieben (Details: Einführung Geophysik).Betrachtet man die Verhältnisse an einem Ort, so ist in erster Linie die Abnahme der Gravitationskraft mit der Höhe zu berücksichtigen. Für Höhen, die klein gegen den Erdradius sind, „hilft“ (wie so oft) Reihenentwicklung und Abbruch nach dem ersten Term:

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Praktisch behilft man sich hier, in dem man statt mit der geometrischen Höhe mit der geopotentiellen Höhe rechnet (vielleicht später).

E0

E

E0 R

gzR

Rg

zzg 21)( 2

2