DIE NATURWISSENSCHAFTEN Jahrgang 38 Heft 4 (Zweites Februarheft) t95

50 Iahre Relativitiitstheorie~). Von HERMANN WEYL.

Einleitung. Die Historiker haben sich zuweilen der Einteilung

des Geschichtsablaufs in Jahrhunderte so bedient, als w~ire die Jahrhundertwende mehr als ein rein ~iuBer- licker, durch unsere Zeitrechnung bedingter Einschnitt. So sprach und spricht man etwa vom Geist des t 8. Jahr- hunderts. Es ist, als wolle die Geschichte der neueren Physik diesem an sich so unwissenschaftlichen Brauch recht geben. Denn wie die Quantentheorie ziemlich genau mit dem Beginn des gegenw~irtigen Jakrhunderts auf den Plan tritt, so wird um die Jakrhundertwende auch das Fundament der Relativit~itstheorie in der Form gelegt, wie sie heute gilt, und die dadurch ge- kennzeichnet ist, dab die endliche Lichtgeschwindig- keit ats die obere Grenze der Ausbreitungsgesckwin- digkeit aller Wirkungen erscheint. Die historische Stufenfolge der speziellen und der ailgemeinen Rela- tivitiitstheorie (SR und AR) ist auch sachlich wohl begrtindet. Freilich geht die SR in der AR auf, so wie ein n~herungsweise in ein exakt gfiltiges Gesetz aufgeht. Aber iene so viel leichter zu handkabende Ann~iherung ist maBgebend fiir alle physikaliscken Ph~inomene, ill denen die Gravitation vernachl~issigt werden kann, und spielt datum im aktuellen Betrieb der physikatischen Forschung, insbesondere der Atom- forsckung, die weitaus grSBere Rolle. Es ist ja eine der merkwtirdigsten Tatsachen tier Natur, dab die Gravitati0nsanziehung zweier Elektronen t04~ so klein ist wie ibre elektrostatiscke AbstoBung. Heute wird es wohl kaum einen Physiker geben, der daran zweifelt, dal3 die SR einen der wichtigsten und empi- risck am sichersten gestiitzten Grundztig e der Natur wiedergibt. Anders steht es mit der auf einem viel schmaleren Erfakrungsfundament beruhenden AR, und wenn auch die meisten Physiker ihre Grund- gedanken akzeptieren, so werden wenige anzunehmen geneigt sein, dab wir die allgemein invarianten Feld- gesetze bereits in ihrer endgtiltigen Form besitzen. Ich brauche Ihnen nickt zu erz~ihlen, dab in viel hSherem MaBe, als das in der Quantentheorie der Fall ist, Grund- lagen und Ausbau der Relativit/itstheorie das Werk eines Mannes sind: ALBERT EINSTEIN. Wie" er, un- gleich den meisten andern Physikern, sick seinerzeit mit der yon ihm errichteten speziellen Relativit~its- theorie nicht zufrieden gab und in einer an GALILEI und NEWTON gemahnenden Kombination von Empirie und Spekulation zur AR vorstieI3, so ist er auch jetzt hock unabl~issig mit dem Problem einer einheitlichen, alle Naturkr~ifte umfassenden Feldtheorie besch~if- tigt [1].

A. Spezielle Relativitgtstheorie. 1. Vorgeschichte und Begriindung.

Als MAX PLANCK t900 die Quanten zur Erkl~irung der Formel ffir die Energieverteilung im Spektrum der schwarzen Hohlraumstrahlung einfiihrte, trat, so darf man sagen, mit der Quantentheorie auck das

*) Vortrag, gehalten auf der Tagung der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und .~rzte in Mfinehen am 24. Oktober t950.

Naturwlss. ~951.

Quantenproblem zum erstenmal auf den Plan. Das Relativit~tsproblem aber ist viel /ilter als die im 20. Jahrhundert entstandene Relativit~tstheorie, in welcker wir seine L6sung sehen. Schon ARISTOTELES definiert Ort (zd~o~) relativ, n~imlick als Beziehung eines KSrpers zu den KSrpern seiner Umgebung. LOCKE gab in seinem Hauptwerk eine eingehende erkenntnistheoretische Analyse [2], GALILEI illustriert die Relativit~it der Bewegung htibsch durch das Bei- spiel des Schreibers, der an Bord eines von Venedig nach Alexandrette segelnden Schiffes seine Notizen macht und dessen Feder ,,in Wahrheit", das ist relativ zur Erde, eine lange, glatte, nut leicht gewetlte Linie beschreibt [3]. Offenkundig durch theologische l~ber- zeugungen mitbestimmt, verkiindet NEWTON am Be- ginn seiner Principia mit ehernen Worten die Lekre vom absoluten Raum und der absoluten Zeit. Er gibt das Beispiel zweier durck einen Faden verbundenen Kugeln, die um eine zum Faden senkrechte Mittel- achse rotieren: die Spannung des Fadens zeigt Existenz und Geschwindigkeit der Rotation an. Allgemein stellt er sich die Aufgabe, aus den relativen Bewegun- gen der KSrper und den bei der Bewegung auftreten- den Kr~iften ihre absolute Bewegung zu bestimmen, und erkliirt geradezu, dab sein treatise verfaBt wurde um der LSsung dieses Problems willen. ,,To this end it was that I composed it", heiBt es am SchluB der Vorrede [4]. Gelingt ihm sein Vorhaben ? Nicht v61- fig. Die von ihm aufgestellten Gesetze der Mechanik {und der Gravitation) gestatten wohl, die Bewegung eines Massenpunktes in gerader Linie mit konstanter Geschwindigkeit (gleichfSrmige Translation) von allen andern Bewegungen zu unterscheiden; hingegen ge- statten sie nicht, unter den gleichfSrmigen Transla- tionen die Ruhe auszuzeichnen. Um dies doch zu er- reichen, nimmt NEWTO~ ZU einer kosmologischen Hypotkese und einer Begriffsunterschiebung seine Zu- flucht, die sich gar fremd in dem sonst so wohlfundier- ten, herrlichen Aufbau der Principia ausnehmen. Seine Hypothese ist, dab das Weltall ein Zentrum habe und dieses sich in Ruhe befinde. Vom Schwerpunkt des Sonnensystems stellt er fest, dab es eine gleichfSrmige Translation ausfiihrt, und f~ihrt dann fort: ,,But if that center moved, the center of the world would move also against the hypothesis" [6], Beides, die Hypothese vom ruhenden Zentnim des Weltalls und diese durch nicbts begrtindete Identifizierung des- selben mit dem Schwerpunkt des Sonnensystems, sind erstaunlich. NEWTONs Bild vom Kosmos ist offenbar noch wesentlich gebundener als das, welches schon t00 Jakre friiher GIORDANO BRUNOs leiden- schaftliche Seele erftillte [6].

Raum und Zeit bilden ein vierdimensionales Kon- tinuum, das wir mit MINI~OWSKI die Welt nennen. Ein raum-zeitlich eng begrenztes Ereignis geschieht an einer bestimmten Raum-Zeit-Stelle, in einem bestimm- ten Weltpunkt, ,,hier-jetzt". Nur raumzeitliche Koin- zidenz oder unmittelbare raum=zeitliche Nact/bar- sckaft ist etwas in d e r Anschauung unzweifelhaft

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Gegebenes. Ein Massenpunkt beschreibt eine eindimen- sionale Linie in der Welt. Wenn zwei Personen sich treffen und sich die Hand reichen, so geschieht das an einer bestimmten Raum-Zeit-Stelle, in welcher sich ihre Weltlinien schneiden. Weil kein Ranmpunkt und kein Zeitpunkt von dem andern an sich physikalisch verschieden ist, entsteht das Problem NEWTONs, wie

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/ Abb. t. Raum-zeit, Koordinatensystem.

man von zwei Ereignissen entscheiden soll, ob sie am gleichen Ort (wenn anch zn verschiedenen Zeiten) oder zur gleichen Zeit (wenn anch an verschiedenen Often) geschehen. Um ein graphisches Bild entwerfen zu

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Abb. 2. Liehtkegel.

k6anen, nehmen wir dem Raum eine Dimension, stu-' dieren also nnr die Vorg~inge auf einer horizontalen Ebene E .und tragen im Bild die Zeit t senkrecht zu dieser EbeneE auf (Abb. 1). In unserem Bilde erscheinen gleichzeitige Weltpunkte als in einer I-Iorizontalebene gelegen, gleichortige auf einer vertikalen Geraden. NEWTONS Glanbe an einen absolaten Raum und an

�9 eine. absolute Zeit bedeutet also, dab er der Welt eine Struktur zusckreibt, die sich in einer (horizontalen) Schichtung und einer quer dazu verlaufenden tverti- kalen) Faserung ausdrfickt. Durch jeden Weltpunkt geht eine Schicht und eine Faser. Raum und Zeit kommt ferner eine metrische Struktur zu, auf Grund deren wir ,con der Gleickheit yon Ranmstreckea und yon geitintervallen sprechen. In unserem graphischen Bilde k6anen wir das am anschaulichsten durch eine Schar konzentrischer Kreise in der Ebene E und eine Reihe iiquidistanter Punkte auf der vertikalen Zeit- achse veranschaulichen. Gibt das Bild in dieser Weise die metrischen Verh~iltnisse getreu wieder, so stellen

(nichthorizontale) gerade Linien die m6glichen gleich- f6rmigea Translationsbewegungen dar.

Das spezielle Relativitdtsprinzip, das sich aus der NEwTo?Cschen Mechanik ergab und das NEWTON selber nur ans theologisch-spekulativen Griinden verleugnete, besagt, dab in einem in gleichf6rmiger Translation be- findlichen Eisenbatmwagen alle Vorg/inge genau so ablaufen, alle T~itigkeiten, wie Briefeschreiben oder BaUspielen, genau so ausgeffihrt werden k6nnen, wie wenn der Wagen ruhte; St6rungen treten nur bei Be- schleuaigungen auf. Schon GALILEI hatte dieses Prin- zip klar erkannt und entwickelt es in seinemDialogo sopra i dui massimi sistemi del mondo [7]. Er faBt die Bewegung auf als einen Kampf zwischen Trdgheit und Km/t; solange ein KSrper dutch keine ~iuBeren Kr~ifte abgelenkt wird, beschreibt er eine gleichf6rmige Translation. In unserem graphischen Bild k6nnen wir diese Erkenntnis dahin anssprechen, dab wohi die geradea Linien unter allen andern ausgezeichnet sind, aber nicht die vertikalen Geraden.

An der objektiven Bedeutung der Gldchzeitigkeit, der ,,horizontalen Schichtung", hatte vor EINSTEIN aiemand ernstlich gezweifelt. Indem es dem Menschen natiirlich ist, anzunehmen, dab ein Ereignis dana ge- schieht, wenn er es beobachtet, dehnt er seine eigene Zeit auf die ganze Welt ans. Dieser naive Glaube war freilich durch OLAF R•MERs Entdeckung der end- lichen Lichtgeschwindigkeit erschiittert worden. Re-

pr~isentiert man in unserem graphischen Bild I sec auf ~ler Zeitachse durch eine Strecke yon derselben L~nge wie die Ranmstrecke in der Ebene E, die das Licht in I sec durchmiBt, so wird die Ausbreitung eines in 0 gegebenen Lichtsignals durch einen geraden vertikalen Kreiskegel vom 0ffnungswinkel 90 ~ m i t Spitze in 0 dargestellt (Abb. 2) ; er gibt den,,Lichtkegel" wieder, anf welchem diejenigen Weltpunkte liegen, in denen das Signal eintrifft. Die Begriffe ~on Vergan- genheit und Zukunft haben, wie LEIBN'IZ nicht mfide wurde zu betonen, kansale Bedeutung: durch ,hier= jetzt", im Weltpunkt O, abgeschossene Kugeln kann ich CAIUS JULIUS CAESAR nicht mehr treffen, da seine Weltlinie ganz der vergangenen Welth~ilfte in bezug auf 0 angeh6rt. Und man nahm an, dab es die Ebene t =const durch 0 ist, welehe diese Trennung in eine vergangene und zukfinffige Welth~ilfte bewirkt. Die neue Erkenntnis, welche das 20. Jahrhundert brachte, war die, dab die Kausalstruktur der Welt nicht dutch die ebeaen Schichten t = coast, sondern durch die yon jedem Weltpunkt ausgehenden Licht- kege! beschrieben wird. Physikalisch heiBt das, dab keine Wirkung sich mit grSBerer als Lichtgeschwin- digkeit ausbreitet. Im Innern des ,,vorderen" yon 0 ausgehenden Lichtkegels liegen aUe Weltpunkte, anf die das, was in 0 geschieht, noch yon EinfluB sein kann; im Innern des durch riickw~irtige Verl~ngerung ent- stehenden hinteren Lichtkegels abet liegen alle Er- eignisse, die auf das, was in 0 geschieht, m6glieherweise von EinfluB waren, insbesondere solche, yon denen ich jetzt hier, in O, eine auf direkte Wahrnehmung gegrtindete Kunde haben kann. Die beiden Teile des Kegels grenzen nicht zwischenraumlos aneinander; mit dem Zwischengebiet ist 0 kausal fiberhaupt nicht verbunden.

Wenn bier zur Beschreibung der Weltstruktur (unter Streichung einer Dimension) ein Bildraum Ver- wendung fand, yon dem in den vertrauten geometri-

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schen termini der euklidischen Geometrie gesprochen wurde, so geschah das nur im Interesse der leichteren Verst/indlichkeit. In Wahrheit brauchen wir zur be- grifflichen Darstellung der Naturvorg~inge eine Ab- bildung der Welt oder des in Frage kommenden Welt- stticks auf ein Stfick des vierdimensionalen Zahlen- raums; dessert Punkte sind nichts anderes als die m6g- Iichen Zahlenquadrupel (xl, x~ x~, x4). Relativ zu einem solehen Koordinaten- oder Bezugssystem wird die Zeit eines Weltpunktes durch x4, der Ort durch (x~, x~, xa) angegeben; es legt in dieser Weise eine rein konventionelle Gleichzeitigkeit und Gleichortigkeit fest. Die Abbildung der Welt auf den Zahlenraum ist an sich ganz willkfirlich; sie dient dazu, den Welt- punkten Namen zu geben. Das Mlgemeine Relativi- t~itsprinzip ist so im Grunde nichts anderes als die Ablehnung des Namenzaubers, indem es behauptet, dal3 Ereignisse nicht davon berfihrt werden, ill welcher Nomenklatur man sie beschreibt. Wenn eine Klasse yon Koordinatensystemen objektiv herausgehoben werden soll, so kann dies nur dadurch geschehen, dab man von bestimmten physikalischei1 Vorg~ngen aus- geht und angibt, wie sie sich in einem Koordinaten- system dieser Klasse arithmetisch ausdriicken. So wird z.B. in EINSTEINs allgemein-relativistischer Gra- vitationstheorie das Gravitationsfeld eines Zentral- k6rpers gegebener Masse nach: K. SCHWARZSCHILD durch bestimmte Formeln in einem Koordinaten- system dargestellt, das eben durch diese auf dasselbe bezogene Formeldarstellung weitgehend normiert ist.

Bisher haben wir uns yon der NEWTOSIschen An- sicht fiber die Struktur der Welt zu einer solchen den Weg zu bahnen gesucht, die nicht in apriorischen Prinzipien, sondern auf Erfahrungen basiert ist. Nun mfissen wir die so gewonnene Ansicht ohne den Um- weg fiber NEWTON kurz systematisch darstellen. Wir benutzen zwei Grundvorg/inge: die Ausbreitung eines Lichtsignals und die kr~tftefreie Bewegung "eines Massenpunktes. Ffir diese gelten die folgenden beiden Grundgesetze, die, wie ich gleich bemerke, auch im Rahmen der allgemeinen Relativit~ttstheorie bestehen bleiben:

I. I)er Lichtkegel in O, das ist der geometrische Ort der Weltpunkte, in denen ein in 0 gegebenes Lichtslgnal eintrifft, ist durch 0 eindeutig bestimmt, unabhiingig von dem Zustand, insbesondere dem Be- wegungszustand der das Licht in 0 aussendenden Lichtquelle. (Dieses Gesetz wird h/iufig durch den etwas irreffihrenden Namen ,, Gesetz yon der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit" bezeichnet).

2. Die geodiitische Weltlinie, die ein krliftefrei sich bewegender Massenpunkt beschreibt, ist durch Anfangspunkt und Anfangsrichtung in der Welt ein- deutig bestimmt.

Die spezielle Relativit~itstheorie ist auf die An- nahme basiert, dab Bezugssysteme existieren, Ab- bildungen der Welt, in welcher sich diese VorgXnge in einer v61Iig determinierten Weise darstel]en: n/im- lich die geodiitischen Linien als gerade Linien und die Lichtkegel als Nullkegel, das ist als vertikale Kreis- kegel vom Offnungswinkel 90 ~ Ein solches normales Koordinatensystem ist nicht eindeutig bestimmt, son- dern nur bis auf eine LoRENTz-Trans[ormation; die Gruppe dieser Transformationen besteht aus allen solchen Abbildungen des Bildraums, welche Gerade in

Naturwiss, t95t .

Gerade und Nullkegel in Nullkegel fiberftihren. Es ist eine rein mathematische Aufgabe, diese Gruppe zu bestimmen. Die The0rie wird abgeschlossen durch die Behauptung, dab unter diesen gleichberechtigten Koordinatensystemen auch unter Berficksichtigung aller weiteren Naturvorgiinge objektiv keine engere Auswahl getroffen werden kann: die Naturgesetze sired invariant gegenfiber LORENTz-Transformationen. Unter diesen Transformationen gibt es solche, den ge- gebenen Weltpunkt 0 festlassende, welche die verti- kale Gerade durch 0 in ~ eine beliebige zeitartige Gerade durch diesen Punkt fiberffihren (d.h. in eine, die yon 0 ins Innere des Nullkegels in O hineinffihrt): darin driickt sich das spezielle Relativit~tsprinzip aus. MIN- ~OWSKI erkannte, dab die Gruppe der LORENTg- Transformationen mit der Gruppe der euklidischen Ahnlichkeiten zusammenfitllt, wenn man sich nicht scheut, der einen Koordinate x 4 statt reeller rein ima- giniire Werte zu erteilen. Die yon der speziellen Rela- tivit~tstheorie der Welt zugeschriebene Tr~igheits- und Kausalstruktur ist darum von einer metrischen Struktur abzuleiten. Und zwar 1/il3t sich die der Welt zukommende Geometrie, so wie die euklidisehe Raum- geometrie, auf den affinen Begriff des Vektors auf- bauen, und wie in der euklidischen Geometrie be- stimmen nach Wahl einer Mal3einheit je zwei Vekto- ren 5, t) ein skalares Produkt (g. t)), das eine nicht- ausgear-tete Bilinearform der beiden Argumente ist. Nur ist die zugeh6rige quadratische Form (g. g), das ,,Quadrat der L~inge" des Vektors g, nicht positiv- definit, (~- ~)> 0, sondern mit bezug auf eine geeig- nete Normalbasis ell %, %, % flit die Vektoren, die dem CARTESlschen Achsenkreuz in der euktidischen Geometrie entspricht, wird das Quadrat der L~inge des Vektors ~ = ~. x~ % durch die Formel

- - + + -

mit einem negativen Vorzeichen gegeben (quadrati- sche Form der Signatur t).

Den Zusammenhang dieser Weltgeometrie mit der physikalischen Messung yon Raumstrecken durch starre Mal3st~tbe und yon Zeitintervallen durch Uhren wollen wir erst ina" Zusammenhang der allgemeinen Relativitfitstheorie kurz erl/iutern. An dieser Stelle nur zwei Bemerkungen dariiber. St613t man einen Eisenklotz gleichzeitig an verschiedenen Stellen an, so werden sich die Umgebungen dieser Stellen in Be- wegung setzen; aber erst, wenn die mit Lichtgeschwin- digkeit sich um die Stellen ausbreitenden Wirkungs- kugeln sieh zu iiberlappen beginnen, werden diese Be- wegungen sich gegenseitig beeinfiussen. Diese einfache Bemerkung von Herrn YON LAvE zeigt, dab schon in der speziellen Relativit~itstheorie der Begriff des star- ten K6rpers im Prinzip hinffillig wird. -- Die klassische Feldphysik l~il3t K6rper beliebiger Ladung und Masse zu. Sie ignoriert damit, m6chte man sagen, die Grund- tatsaehe der Atomistik, dab die Materie aus Etementar- teilehen fester Ladung und Masse besteht. In der Feldphysik erseheint darum auch die Wahl der MaB- einhe'it, in der Raum- und Zeitstrecken gemessen wer- den, als willkfirlich; die Gruppe der LORENTZ2Trans- formationen umfal3t die Dilatationen. Die Unter- scheidung yon -~hnlichkeit und Kongruenz, auf die diese Bemerkung hinweist, ist hiiufig yon Darstellern der Relativit~tstheorie verwischt worden.

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7 ~ I"IBRMANN' WEYL" 50 Jahre Rela t iv i t~ t s theor i e . Die Natur- wissenschaften

2. An[dnge und Fortbildung der Theorie.. a) Fri~he Geschichte. Es ist meine Aufgabe, Ihnen

ein Referat tiber die Entwicklung der Relativit~,ts- theorie in der ersten H~lfte dieses Jahrhnnderts zu erstatten. Es schien mir aber zweckm~Big, zun~tchst einen knappen systematischen AbriB der Theorie vor- anzustellen, in dem ich zugleich bemtiht war, verkehrte Auffassungen abzuwehren. Holen wir nun in raschen Schritten die Historie nach [8]: Die optischen waren von MAXWELL den elektromagnetischen Erscbeinun- gen eingegliedert worden; dementsprechend spielt die Lichtgeschwindigkeit e in den MAXWELLschen Glei- chungen des elektromagnetisehen Feldes ~ine wichtige Rolle. Solange man an einen substantiellen Licht~ther gtaubte, wurde die aus diesen Gleichungen folgende Ausbreitung einer elektromagnetischen St6rung mit Lichtgeschwindigkeit in konzentrischen Kugeln als eine Beschreibung des Vorganges relativ zu dem im Ganzen ruhenden Ather aufgefal3t. Dann mnBte man aber erwarten, dal3 die Bewegung ponderabler Materie relativ zu diesem ~ther sich durch bestimmte Effekte kundgeben wfirde. Die Erfahrung hingegen zeigte, dal3 das spezielle Relativit~ttsprinzip auch bei der Aus- dehnung auf optische und elektromagnetische Vor- g~tnge seine Richtigkeit beh~tlt. Aus der yon ihm mit- begriindeten Elektronentheorie heraus-erschl0B H. A. LORENTZ zuerst die Tatsache, dab alle Effekte t. Ord- nung in dem Verh~tltnis v/c zwischen Materie- und Lichtgeschwindigkeit ffir einen mitbewegten Beobach- ter herausfallen. Als weitere Versuche, wie der be- rfihmte MIcI~ELSONSCke Interferenzversucla~ auch das Fehlen von Effektea 2. Ordnung feststellten, nahm LORENTZ ZU der Hypothese seine Zuflucht; dab ein K6rper infolge seiner Bewegung gegen den Ather eine L~ngskontraktion im Verh~tltnis 1 : el - (v/c) ~ erf~hrt. 1900 stellte er die heute allgemein ais LORENTz-Trans- formation bekannten Formeln auf. Die v611ige Ab- kl~rung brachten dann drei Arbeiten von LORENTZ, H. POINCAR~ und EINSTEIN 1904/05. EINSTEIN nahm die grunds~tzliche Wendung, dab er das spezielle Rela- tivit/itsprinzip als exakt gfiltig postulierte und nun zusah, welche Modifikationen ftir unsere Raum-Zeit 2 Vorstellungen resultieren, wenn man damit die ele- mentaren Gesetze der Ausbreitung des Lichtes und der elektromagnetischen Wellen zusammenh~lt, und we]che Gesetze ftir die Elektrodynamik bewegter K6r- per daraus folgen, wenn man die ffir ruhende K6rper geltenden aus der (ph~nomenologischen) MAXWELL- schen Theorie kerfibernimmt. Erst hierdurch kam es zu der radikalen Kritik des Begriffs der Gleichzeitig- keit. MINKOWSKI endlich gab die weltgeometrische Einkleidung, die insbesondere ffir die Weiterentwick- lung zur allgemeinen Relativit~tsttleorie bedeutungs- roll wurde (Vortrag auf der K61ner Naturforscher- versammlung t908).

b) Elektrodynamik bewegter K6rper. Leicht waren die optischen Konsequenzen des Relativitiitsprinzips zu ziehen. Aus dem einfachen Umstand, dab die Phasendifferenz einer ebenen Lichtwelle in einem ho- mogenen Medium an zwei Weltstellen A, B linear yon

dem Weltvektor A--B abtliingt, ergibt sich durch Ver- gleich zweier gleichberechtigter Spaltungen der Welt in Raum und Zeit die A berration als Geschwindigkeits- perspektive, der DOPPLER-E//ekt und der FIZEAO- sche Mit/iihrungskoe/]izient. Betreffs Ableitung der

elektromagnetisctlen Gteictmngen ftir bewegte K6rper sei die folgende methodisehe Bemerkung gemacht. Im Grunde gestattet das Prinzip, yon ruhenden KSrpern nur auf den Fall zu schlieBen, wo alle beteiligten KSr- per dieselbe gleictlf6rmige Translation erfahren. In Wahrheit interessieren aber Aussagen fiber Situafio- hen, in denen mehrere KSrper mit verschiedenen Ge- schwindigkeiten auftreten. Nehmen wir den Fall zweier dutch einen leeren Zwisehenraum getrennter K6rper, die sich (in unserem Bezugssystem)mit verschie- denen Geschwindigkeiten bewegen. Ffir den einzelnen K6rper und den ihn umgebenden leeren Raum erh~ilt man bestimmte Gleichungen, indem man die ffir den ruhenden K6rper geltenden durch LORENTz-'Transfor- mation in solche nmwandelt, die relativ zu dem zn- grunde liegenden Bezugssystem geIten. Indem man so ffir beide K6rper verf~thrt, erh~tlt man Gleichungen, die im leeren Zwischenraum miteinander fibereinstim- men, da die MAXWELLSehen Gleichungen im leeren Raum LoRENWz-invariant sind. Diese Gesetze kann man somit ohm Widerspruch als gfiltig annehmen, und man verwendet sie de facto als N~iherungsgesetze, solange wenigstens die Distanz der beiden K6rper nicht yon molekularer Gr6[3enordnung ist. Die auf diese Weise yon LORENTZ~ EINSTEIN, MINKOWSKI, BORN U. a. gezogenen Konsequenzen haben sich durch- weg in der Erfahrung bewiihrt.

c) Mechanik. Energie und Trdgheit. In der Me- chanik haben wires mit K6rpern zu tun, bei denen ~vir den von einem mitbewegten Beobachter zu mes- senden inneren Zustand von dem durch seine vekto- rielle Geschwindigkeit t) bestimmten Bewegungszustand untersctleiden k6nnen. Wir betrachten die K6rper nur im Zustand gleichf6rmiger Translation. Das Impuls- gesetz besagt, dab einem solchen K6rper ein vekto- rieller Impuls ~ zukommt, welcher der Geschwindig- keit parallel ist, ~ = m ~, und dal3 vor und nach einer Reaktion die Summe der Impulse der beteiligten K6r- per die gleiche ist. Der skalare Faktor mis t die tr/~ge Masse; so war dieser Begriff im Grunde schon yon GALILEI und HUYGENS eingefiihrt worden. Durch das Relativitiitsprinzip erkennt man, d a b das Impuls- gesetz das weitere zur Folge" hat, nach welchem auch die Massensumme ~, m dutch eine Reaktion sich nieht ~indert. Indem man den Vorgang yon zwei v6Ilig gleich beschaffenen K6rpern, die mit entgegengesetzt gleichen Geschwindigkeiten 4-~ gegeneinander geiagt werden und sich dabei Zll einem einzigen, notwendig ruhenden KSrper vereinigen, yon einem beliebigen normalen Bezugssystem aus studiert, erkennt man bei Zugrundelegung der GALILEIschen Kinematik, die aus der EINsrEINschen durch den Grenzfibergang zu c-+ oo entspringt, dab die Masse yon dem Bewegungszustand und infolgedessen auch yon dem inneren Zustand eines' KSrpers unabh~ingig ist. Hingegen ergibt sich auf Grund der EINSTEINschen Kinematik die Formel

wo m o die nut vom inneren Zustand abhlingige Ruh- masse, v der Betrag der Geschwindigkeit ist undc = t gesetzt wurde. Messungen an Kathodenstrahlen be- st/itigten die Formel um so genauer, je mehr sich die Messungsmethoden verbesserten. Man versteht aus dieser Formel, dab der Trligheitswiderstand eines K6rpers mit seiner Gesehwindigkeit so anw~ichst, dal3

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diese niemals die Lichtgeschwindigkeit erreicht. Die Ver~nderung der Masse mit dem Bewegungszustand des K6rpers hat zur Folge, dab sie auch yon inneren Zustands~nderungen 5eeinflul3t wird, z.B. be~ Erw~r- mung eines K6rpers einen Zuwachs erf~hrt. Natfirlich ist die Massen~nderung des K6rpers unabh~ngig da- yon, wie diese Zustands~nderung zustande kommt. Zusammen mit dem Faktum, dab ftir ein abgeschlos- senes KSrpersystem die Summe der Massen~nderun- gen verschwindet, zeigt dies an, erste~, dab tr~ge Masse und Energie dasselbe sind, und zweitens, dab das Energiema~3 einer Zustands~nderung als die Diffe- renz yon den einzelnen Zust~nden zukommenden Energieniveaus aufzufassen ist. Dieses Gesetz yon der Tr~gheit der Energie, das sich in den iiblichen Ein- heiten in der heute so popular gewordenen Formel, Energie E =mc ~, ausdriickt, ist zweifellos die wich- tigste Folgerung aus der Relativit~tstheorie; sie wurde yon EINSTEIN schoI1 in seiner ersten Arbeit t905 ge- zogen, und schon damals faBte er die Anwendung der- selben auf Kernreaktionen ins Auge, bei denen der der freiwerdenden Energie entsprechende Massendefekt mei3bare GrSl3enordnung erreichen mag. Das ist ein Gebiet, das inzwischen ins Zentrum der Forschung geriickt ist, yon dem damals aber nut die Erschei- nungen des spontanen radioaktiven Zerfalls bekannt waren. Um die GrSBenordnung zu kennzeichnen, gebe ich als Beispiel die Bildung eines Lithium-Atoms aus drei Protonen und drei Neutrgnen; die Masse (das Atomgewicht) des Lithiums ist 6,01692, der Massen- defekt 0,03432, entsprechend einem Energieverlust yon 5,tt �9 ~0 -~ erg je Atom. Die MAXWELLsche Theo- rie schreibt dem elektromagnetischen Felde Dichte und Stromdickte der Energie und des Impulses zu. Ein Stfick des Feldes ist nicht ein ,,K6rper", an dem man Bewegungs- und inneren Zustand unterscheiden kann. Hier drtickt sich das Gesetz v o n d e r Tr~gheit der Energie darin aus, dab der Energiestrom gleich der Impulsdichte ist. An dem Beispiel eines ruhenden K6rpers, der eine kugelfSrmige Lichtwelle vom Im- puls 0 aussendet, entdeckte EINSTEIN zuerst das Ge- setz von der Tr~gheit der Energie, indem er feststellte, dab die ausgesandte Energie durch eine entsprechende Abnahme der tr~gen Masse des lichtaussendenden K6rpers kompensiert werden mul3. Er erkannte so- gleich, dab dies Gesetz dieselbe universelle Gfiltigkeit besitzt wie das Relativit~tsprinzip, aus dem es zwin- gend hervorgeht.

8. Verbindung mit der Quantentheorie.

In eine neue Epoche tritt die SR ein durch ihre Verbindung mit der das atomare Geschehen beherr- schenden Quantentheorie, wie sie in mathematisch pr~- ziser Form um t925 yon HEISENBERG und SCHR6DIN- GEI~ aufgestellt wurde ElOt. Die Verbindung ist nicht ohne Schwierigkeiten zu vollziehen. Die als Funk- tion yon Ort (x~, xz, x~) und Impuls (p~, p~, ~b3) ausge- drfickte Energie ~h4, welche nach den HAMILTONschen Gleichungen der klassischen Mechanik die Bewegung eines freien Elektrons bestimmt, lautet

w o m die konstante Ruhmasse ist. Bei der quanten- theoretischen Lgoersetzung dieses Ausdrucks, bei wel-

Naturwiss. t951.

chef p~ durch den Operator T ~ ~--%- zu ersetzen ist

(i--- V ~ 1, ~ die durcli einen Faktor 2~ modifizierte PLANcI~sche Wirkungskonstante), macht die Quadrat- wurzel Schwierigkeiten. Schreibt man aber die Glei- chung in ihrer rationalen Form,

+ + = (1)

welche die relativistische Invarianz unmittelbar in Evidenz setzt, so ergibt die ]3bertragung nicht die von der Quantentheorie allgemein vorgeschriebene Form. DIRAC fiberwand dieses Hindernis durch die den Mathematikern wohlbekannte, aber in ihren H~nden unfruchtbar gebliebene Bemerkung, dab die quadra- tische Form der Variablen p~ auf der linken Seite yon .(t)' sich mit Hilfe gewisser hyperkomplexer Zahlen 7~, deren Multiplikation nicht kommutativ ist, als das Quadrat einer Linearform ~,~ Yk P, schreiben l~13t, und er setzte darum die Gleichung an

die der quantenmechanischen ~3bersetzung keine Schwierigkeiten in den Weg legt [11]. Die Physiker miissen" mir verzeihen, wenn ich hier um der Kiirze willen diese reichlich abstrakte Fassung von DIRACs Grundidee w~hle. Gem~J3 seinem Ansatz wird das Wellenfeld des Elektrons nicht durch eine skalare Funktion ~v der vier Weltkoordinaten x k beschrieben, sondern durch eine GrSl3e mit vier Komponenteu ~vq, die sich unter dem EinfluB einer LORENTz-Transfor- mation der Koordinaten in einer ungew6hnlichen, in der fiblichen Vel~tor- und Tensorrechnung nicht vor: gesehenen Weise transformieren. Ein gemeinsamer konstanter Phasenfaktor e -ix vom abso|uten Betrag 1 bleibt in den ~vq unbestimmt. Aus dem HAMiLTONschen P rinzip entnimmt man ferner die Regel, dab man das auf das Elektron einwirkende elektromagnetische Feld einfach dadurch berficksichtigen kann, dab man die

durch ~ Operatoren ~ ~ + i ~ ersetzt, wo ~ die

mit s/?~ multiplizierten Komponenten des elektromag- netischen Potentials sind (s = e!ektrische Elementar- ladung). Diese Dinge werden hernach im Rahmen der AR unter dem Titel Eichinvarianz yon besonderer Wichtigkeit werden. Die geschilderte LORENTz-inva- riante DIRACsche Theorie des Elektrons gibt in wunder- barer Weise Rechenschaft fiber den aus der Analyse der Atomspektren yon S. GOUDSMIT, G.E. UHLEN- BECK und W. PAULI erschlossenen Elektronenspin, fiber den anomalen ZEEMANN-Effekt, die Feinstruktur des Wasserstoffspektrums und viele andere Dinge. Man kann woh! sagen, dab die Tatsachen der Spektro- skopie heute die zuverl~ssigste Stiitze ftir das Rela- tivit~tsprinzip abgeben.

Der DI~csche Erfolg ist urn so bemerkenswerter, Ms bei dem tJbergang von einem Teilchen, Photon oder Elektron, zu einer Unbestimmten Anzahl yon in Wechselwirkung miteinander stehenden Photonen und Elektronen die Verschmelzung yon Quanten- und Relativit~tstheorie auf Hindernisse stSl3t, die, trotz vielversprechender Ans~tze, noch nicht aus dem Wege ger~umt werden konnten. Ich glaube aber, niemand denkt daran, deswegen der RelativitXtstheorie den Laufpal3 zu geben; sie ist daffir zu lest in dem ganzen Geb~iude unserer theoretischen Physik verankert.

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7 8 HERMANN WEYL: $0 Jahre . Relat ivi t i i t s theorie . Die Natur- wissenschaften

B. Allgemeine Relativit~itstheorie.

1. Der Grundgedanke. Es liell sich nicht vermeiden, dab ich bier fiir einen

Augenblick das Gebiet der gestrigen Vortr~ge, die Quantentheoriel), bertihrte. Abet nun ist es h~chste Zeit ftir mich, yon der speziellen zur allgemeinen Rela- tivit~itstheorie iiberzugehen. Es wurde schon oben gesagt, dab wir zur begrifflichen Beschreibung der Naturvorg~inge die Weltpunkte auf Koordinaten be- ziehen mtissen, dab abet die Erscheinungen selber durch diese an sich willktirliche Namengebung nattir- lich nicht beeinflullt werden. Der 13bergang yon einem zu einem andern Koordinatensystem geSchieht durch eine (stetige) Koordinatentransformation. Von was ftir Gesetzen auch immer die Natur beherrscht sein mag, ich kann deren Formulierung ein willktirliches Koordinatensystem zugrunde legen, Und sie werden alsdann invariant sein gegentibcr beliebigen Koordi- natentransformationen. Freilich mull ich dabei das Tr~igheffs- und Kausalfeld oder das metrische Feld, aus dem beide abgeleitet werden, mit unter die phy- sikalischen ZustandsgrSl3en aufnehmen. Das Prinzip tier Invarianz gegentiber beliebigen Koordinatentrans- formationen ist also an sich nichtssagend, und der physikalisch entscheidende Gedanke, der yon der spe- ziellen zur allgemeinen Relativit~itstheorie ftihrt, liegt denli auch woanders als in diesem Prinzip. Die Ein- sicht in die Relativit~it des Ortes scheint uns zu zwin- gen, alle Bewegungszust~inde und nicht nur die gleich- fSrmigen Translationen als gleichwertig zu erachten. So haben denn schon zu NEWTONs Zeit Denker wie LEIBNIZ und HUYGENS, sp~ter EULER, sich um das R~itsel bemtiht, was der offenkundigen dynamischen Ungleichwertigkeit der kinematisch gleichwertigen Bewegungszust~illde zugrunde liegt. Ia neuerer Zeit war es ERNST MACH, der mit allem Nachdruck das allgemeine Prinzip der Relativit~[t der Bewegung ver- focht, und das Studium von MAC~I (neben dem yon HUME) war auf EINSTEIN nach seinem eigenen Ge- st~indnis von maBgebendem EinfluB [12~.

Wit haben ais Tr~igheitsfeld diejenige Struktur der Welt bezeichnet, die einem K6rper eine dutch An- fangsort und -richtung in der Welt eindeutig bestimmte Bewegung aufn6tigt, in de re r zu beharren bestrebt ist, solange er nicht durch iiuBere Kr~fte abgelenkt wird. Die wirkliche Bewegung resultiert aus dem Kampf zwischen Tr~igheit (Beharrungstendenz) und Kraft. Lassen Sie mich an ein Beispiel ankntipfen, das, wenn ich reich recht besinne, PHILIPP LENARD auf der Naturforscherversammlung in Bad Nauheim i 920 in die Diskussion fiber Relativit~tstheorie' hinein- warf: Ein Zug st6llt mit einem entgegenfahrenden Zuge zusammen, wiihrend er an dem Kirchturm eines Dorfes voriiberf~ihrt; warum, fragte LENARD, geht der Zug in Trtimmer, und nicht der Kirchturm, wo dock der Kirchturm relativ zum Zug einen ebenso starken Bewegungsruck erf~ihrt wie der Zug relativ zum Kirchturm? Die unvoreingenommene, von keiner Relativit~itstheorie angekriinkelte Antwort ist wohl klar: tier Zug wird zerrissen durch den Konflikt seiner eigenen Tr~igheit mit den auf ihn von dem zusammen- stoBenden Zug ausgefibten Molekularkr~iften; w~ihre'nd der Kirchturm ruhig der ibm dutch das Tr~igheitsfeld

~) Vgl. die Vortr~ige von W. HEISE~SERG, M. YON LAUE und P. HARTEC.K, Naturwiss. ~8, 49ff. (195t).

vorgeschriebenen Bahn folgt. In dem yon der SR auf- gestellten, bis auf eine LoRENTz-Transformation nor- mierten Koordinatensystem erscheint das Tr~igheits- feld als eine starre, der Welt 'ein ftir allemal inne- wohnende geometrische Beschaffenheit: w~ihrend es enorme Wirkungen auf die Materie austibt, ist es selbst tiber alle Einwirkungen der Materie erhaben. Dagegen str~iubt sich unser Gerechtigkeitsgeffihl: was Wirkun- gen auf die Materie austibt, muB auch Wirkungen yon ihr erleiden. Wo aber stud in der Natur Anzeichen daftir vorhanden, dab das Tr~igheitsfeld nicht vor- geg_,~en, sondern den Einwirkungen der Materie gegen- fiber nachgiebig ist ? Hier setzt EINSTEINs fundamen- taler Gedanke ein: die Gravitation ist dieses Anzeichen. Wenn dies stimmt, wenn in dem Dualismus yon Kraft Und Tr~igheit die Gravitation auf die Seite der Tr~ig- heit geh6rt, so wtirde auf einmal die seltsame Tatsache der ~bereinstimmung yon schwerer und trdger Masse verst~indlich, die durch die feinsten Messungen immer wieder best~itigt wurde. Die Kraft, mit welcher ein elektrisches Feld an einem geladenen K6rper angreift, ist seiner Ladung proportional; so ist die Kraft, mit welcher das Gravitationsfeld an einem KSrper an- greift, seinem Gewicht = schwerer Masse proportio- nal. Abet w~ihrend die elektrische Ladung ponderab- ler K6rper in keiner Weise mit ihrer tr~igen Masse zusammenh~ingt, stimmt merkwtirdigerweise ihre schwere Masse, ihre Gravitationsladung, stets mit der trfigen Masse tiberein. Ist EINSTE!Ns Erkl~irung rich- tig, welche die Schwerkraft auf eine Linie mit der Zentrifugalkraft stellt, so mtissen wir die an sich un- befriedigende Vorstellung eines fest vorgegebenen Tr~igheitsfeldes fallen lassen und mtissen statt dessen nach Differentialgesetzen suchen, welche das Tr~ig- h e i t s : : Schwere-Feld so mit den vorhandenen Massen verkniipfen .wie die MAXWELLschen Gleichungen alas elektromagnetische Feld mit den dasselbe erzeugenden Ladungen. Dies war das Programm, welches EINSTEIN konzipierte.

Zu seiner Durchftihrung war er gezwungen, mit beliebigen Koordinaten und allgemeinen invarianten Differentialgleichungen zu operieren. In mathematisch zwingender Weise ergaben sich dabei die Feldgleichun- gender Gravitation, die an Stelle des NEWTONschen Gravitationsgesetzes treten. So sehr ihre mathema- tisctle Form von der NEWTONschen abweicht, ftihren sie doch in groller Anniiherung zu den gleichen Resul- taten. Nur drei kleine Abweichuagen erreichen ein der Beobachtung zug~ingliches MaB:eine St6rung des Merkur-Perihel, die sich tiber die von den andern Pla- neten der NEwToNschen Theorle gem~iB verursachten StSrungen tiberlagert [18], die Ablenkung eines nahe an der Sonne voriibergehenden Licktstrahles und die Rotverschiebung der Spektrallinien im Gravitations- feld. In allen F~illen ergaben die Messungen ~berein- stimmung mit der EINSTEINsehen Voraussage inner- halb der Fehlergrenzen. Die eklatanteste Best~tigung wird vielleickt von den Spektren jener Zwergsterne von enormer Dichte geliefert, yon denen der licht- schwache Begleiter des Sirius ein Beispiel ist. Nach meiner Meinung hat der EINSTEINsche Grundgedanke, der mit einem Schlage das alte R~itsel der Bewegung 15st, in Kombination mit diesen empir~schen Resul- taten, eine solche Durchschlagskraft, dab ich nicht glauben k~nn, daBman je zur speziellen Relativit~ts- theorie mit ihrer festen metrischen Tr~igheits- und

Heft4 .HERMANN WEYL: 50 Jahre Relativit~tstheorie. 79 t95t (Jg. 3~,)

Kausalstruktur zurfickkehren wird; wozu neuerdings E. A. MILNE und G. D. BIRKHOFF uns verleiten wall- ten [141.

Die EINSTEINsche LSsung des Bewegungsprobletns lehrt, dab es fiberhaupt nicht um den Gegensatz van absoluter und relativer Bewegung geht. L/iBt man be- liebige Koordinaten zu, so kann mail nicht nur einen, sondern alle in der Welt vorhandenen Massenpunkte simultan auf Ruhe transformieren; der Begriff der rela- riven hat so gut wie der der absoluten Bewegung seinen Sinn verloren. Dagegen bleibt die dynamische Aus- zeichnung der geod~ttischen Weltlinien als der reinen Trggheitsbewegung bestehen, aber das sie bestim mende metrische Feld steht in Wechselwirkung mit der Materie: GALILEIs dynamische Auffassung der Be-- wegung erf/thrt dadurch eine konkretere Deutung. Solche Spekulationen wie die van MACH, wonach die Sterne des Weltalls die Ebene des FOUCAULTschen Pendels fahren, die der Ausbildung der Theorie viel- leicht Vorsckub geleistet haben, sollte man nicht 1/~n- ger mit dem nfichternen physikalischen Gehalt der Theorie vermengen. Freilich ist es eine Tatsacke, dab in einem geeigneten Koordinatensystem das die Gra- vitation mitumfassende metrische Feld wenig van dem homogenen Zustand abweicht, der durch die MIN- I~OWSKIsche Geometrie beschrieben wurde. Gebrau- chen wit mit EINSTEIN das alte Wart ~ther ftir das metrische Feld, so wfirde dies darauf hinweisen, dab in der Wechselwirkung van ~ther und Materie der Ather zwar kein die Materie bewegender und van ihr unbewegter Gott ist, abet doch ein fiberm~tchtiger Riese, und dab hierauf das nahe Zusammengehen van Tr~gheitskompaB und Sternenkompal3 beruht.

2. Mathematischer und physikalischer Ausbau. RIEMANN hatte, nach dem Muster der GAossschen

Behandlung krummer Fl~chen, in der Mitre des t9. Jahrhunderts eine Infinitesimalgeometrie n-di- mensi0naler Mannigfaltigkeiten ausgebildet. Dieses Werkzeugs konnte sick EINSTEIN bei der Durckffik- rung seiner Theorie bedienen. Die Linienelemente, welcke einen Punkt P der Mannigfaltigkeit mit den unendIich benachbarten Punkten P' verbinden, bilden die unendlich kleinen Vektoren des dem Punkte P zu- geh6rigen Vektorkompasses. In der Tat erleiden bei beliebiger Transformation der Koordinaten x k die Differentiale dx~, die relativen Koordinaten des varia- blen Nackbarpunktes P' mit Bezug auf den festen Punkt P, lediglich einelineare Transformation. Indem RIEMANN im Unendlichkleinen die Gfiltigkeit der euklidischen Geometrie, das ist im wesentlichen des pythagoreischen Lehrsatzes annimmt, kann er in all- gemein invarianter Weise dem Linienelement mit den Komponenten dx~ eine Ldi~cge ds zuschreiben, deren Quadrat eine positive quadratische Form der dxi ist,

ds 2 : ~,r r gq d x~ dxfi

die Koeffizienten gr h/ingen yam Punkte P ab. EIN- STEIN konnte diesen Ansatz ohne weiteres far die vier- dimensionale Welt abernehmen, mit dem Unterschied natfirlich, dab hier die quadratische Form nickt deft- nit ist, sondern die Signatur t besitzt. Der symme- trische Tensor mit den 10Komponenten gii-~gii beschreibt das metrische Feld und figuriert zugleich als Gravitationspolential. Das metrische Feld bestimmt

Naturwiss. 1951.

eindeutig die infinitesimale Parallelverscbiebung eines beliebigen Vektors Jn P nach den unendlich benach- batten. Punkten P' und damit den. a//inen Zusammen- hang der Welt, welcher durch die 40 CHRISTOFFEI.schen Drei-Indizes-Symbole P21 = ~k (die Komponenten des Gravitationsfeldes) beschrieben wird. Aus ihnen ent- springt durck abermal]ge Differentiation der RIE- MANNsche Kriimmungstensor yam Range 4 (das fst mit vier Indizes). Das Wart Krammung hat hier oft zu Mil3deutungen Anlal3 gegeben, nnd man sollte in der Tat diesen Tensor lieber Vektorwirbel nennen. Ffihrt man n/imlich die Vektoren des Kompasses in P durch fortgesetzte infinitesimale Parallelverschiebung l~tngs einer nach P zurackfahrenden Kurve herum, so kehrt der KompaB nicht in seine Anfangslage, sondern in einer dieser gegenaber verdrehten Lage zurfick; die Vektorfibertragung ist, wie man sagt, nicht integrabel.

�9 Eben diese Drehung gibt der Vektorwirbel an. Wenn er verschwindet, hat der RIEMANNsche Raum oder die EINSTEINsche Welt die besondere homogene, ihr dutch die euklidiscbe bzw. MINKOWSKISche Geometrie zu- geschriebene Struktur. Nach dem EINSTEINSchen Gra- vitationsgesetz ist abet dieser Tensor oder vielmehr ein daraus dutch die mathematische Operation der Kontraktion her v0rgehe~xder Tensor R~ ~ vain Range 2 nicht Null, sondern gleich dem die Materieverteilung kennzeichnenden Energie-Impuls-Tensor, multipli- ziert mit einer universellen Konstanten, der Gravi- tationskonstanten ~.

Ich hoffe, ich babe hier vain Aufbau der Rela- tivit~ttstheorie ein die wesentlichen ZuSammenhiinge leidlich getreu wiedergebendes Bild entworfen. Natfir- lich muBte ich simplifizieren. So einfach, wie es hier erscheinen mag, ist die Beziehung zwischen Erfahrung und Theorie nicht: so leicht hat es die Natur dem Forscher nicht gemacht, van den beobachtbaren Gr6Ben zu den FundamentalgrSBen vorzudringen, auf welcken die Theorie aufgebaut werden muf3:! Lassen Sie es mit dieser aUgemeinen Verwakrung sein Bewen- den haben, und lassen Sie reich rain zum Ausbau und dann zu dem im Laufe der letzten Jahrzehnte vor- genommenen Erweiterungen der AR abergehen.

Beim Ausbau macbt die Einfakrung van Dichte und Stromdichte van Energie und Impuls der Gravita- tion eine gewisse Schwierigkeit. Es liegt ja geradezu in dem van EINSTEIN erkannten Wesen der Gravitation, dab sick das Gravitationsfeld, die Komponenten/~ des affinen Zusammenhangs, lokal ,,wegtransformie- ren" lassen; damit miissen dann auch jene Energie- Impuls-Gr6Ben zum Verschwinden kommen. Den- hock ergibt sick dutch Integration ein nichtverschwin- dender Totalbetrag van invarianter Bedeutung [15].

Wie die aktive elektrische Ladung eines Teilchens durch den FluB definiert werden kann, den das elek- trische Feld durch eine das Teilchen umschlieBende gedachte Halle sendet, so kann auck die aktive, die gravitationsfeld-erzeugende Masse als FluB des Gra- vitationsfeldes durch eine solche Halle gewonnen wer- den. Die Berechnung des Impulsstromes ergibt im elektromagnetischen Feld, dab die aktive Ladung zu- gleich ats passive Ladnng auftritt, an der die elektri- schen Kr~fte angreifen; dasselbe Verfahren liefert im Gravitationsfeld die Gleichheit van aktiver und pas- siver oder schwerer Masse.

Hiermit h~ngt eine andere wesentliche Leistung der allgemeinen Relativit~tstheorie zusammen: die

7c

80 HERMANN WEYL: 50 Jahre Relativit~tstheorie. Die Natur- wissenschaften

Herleitung der Bewegungsgleichungen eines mit La- dung und Masse begabten Teilchens aus den Feld- gleichungen. Gestatten Sie mir, mich einer Ausdrucks- weise zu bedienen, welche die vierdimensionale Welt mff ihrem metrischen Feld durch eine ziemlich, abet doch nicht vSllig ebene zweidimensionale !;lache er- setzt. Darin beschreibt ein Teilchen wie ein Elektron eine feine, aber tiefe Furche. Wir wissen nicht, was diese Furche birgt; doch ihre BSschung ist uns zug~ing- lich. Ohne uns also Gedanken tiber die innere Kon- stitution des Tei!chens zu mache n, kennzeichnen wir das Teilchen durch das dasselbe umgebende lokale Feld. Indem wir ausdrficken, dab dieses Feld sich in den Gesamtverlauf des den Feldgleichungen unter- worfenen Feldcs einbettet, erhalten wit die Bewegungs- gteichungen: [16].

Es ist nicht richtig, dab das Wirkungsprinzip, aus welchem die EINSTEINschen Gravitationsgesetze ent- springen, dutch die Forderung der Invarianz (zusam- men mit der Forderung einer m6glichst niedrigen Dif- ferentiationsordnung) v61lig eindeutig bestimmt ist. Zu der yon EINSTEIN urspriinglich angenommenen WirkungsgrStle kann ein zweites, besonders einfach gebautes Glied, mit einer willkiirlichen Konstanten A multipliziert, hinzugeftigt werden. EINSTEIN fiihrte dieses " ' " ,,kosmologzsche Gl, ed zuerst ein, um dell schon yon der NEWTONschen Theorie her bekannten Schwie- rigkeiten zu entgehen, die sich aus der Annahme eines im grogen ganzen gleichf6rmig mit Sternen erfiillten unendlichen Weltraums ergeben. Sp~iter hat er dieses se{n Kind wieder verleugnet; aber man wird es wohl in der Diskussion der kosmologischen Fragen zulassen miissen, solange kein zwingender formaler oder empi: fischer Grund fiir seine Ausschliel3ung ersichtlich ist. Die Ohnmacht der Gravitation im Haushalt der Atome wurde am Beginn dutch eine reine Zahl 104~ ausge- driickt. Die ungew6tmliche Gr613enordnung dieser Zahl hat zu Spekulationen Anlal3 gegeben, d ie sie mit dem Mil3verh~iltnis zwischen Ausdehnung oder Masse der Elementarteilchen einerseits; des Univer- sums andererseits, und damit letzten Endes mit der zufiilligen Anzahl der in der Welt vorhandenen Teil- chen zusammenbringen, oder die in der Gravitations- konstanten ~ eine yon dem Alter des Universums ab- hiingige und mff ihm ver~nderliche Gr6Be sehen. Aber dies Sind Fragen, deren Diskussion ich gerne meinem Nachfolger an diesem Pult iiberlasse.

3. Versuche einer einheitlichen Feldtheorie. Die MAxWELLschen Gleichungen fiir das elel~tro-

magnetische Feld im leeren Raum fliel3en aus einem sehr einfaehen Wirkungsprinzip, das sich s0fort yon der speziellen in die allgemeine Relativit~ttstheorie iibertragen liiBt. Aber beide Felder, das metrische oder Gravitationsfeld und das elektromagnetische, stehen unverbnnden nebeneinander. Es entstand natfirlicher- weise das Desideratum einer einheitlichen Feldtheorie, welche alle Erscheinungen umspannt. Von vorn- herein verband sich damit die Hoffnung, dutch eine solche Theorie auch die atomare Konstitution der Materie erklAren zu k6nnen. Noch vor der Entstehung der AR und mit Beschrankung auf die elektromagne- tischen Erscheinungen hatte GUSTAV MIE t9t2 das Programm einer reinen Feldtheorie der Materie ent- worfen. Das Ziel, das ihm vorschwebte, war, die MAx- W~-LLschen Gleichungen so zu modifizieren, dab sie

eine oder wenige singularit~itenfreie statische kugel- symmetrische LSsungen besitzen; diese wiirden dann dem Elektron und den Atomkernen der in der Natur vorkommenden Elemente entsprechen. DAVID HIL- BERT hatte zur selben Zeit, als EINSTEIN seine Grund- gleichungen des Gravitationsfeldes aufstellte, dieses MIEsche Programm auf die allgemeine Relativit~its- theorie iibertragen [171. EINSTZlN selber war weise genug, in seiner Fassung der Gravitationsgleichungen dem Beispiel der NEwroNschen Theorie zu folgen: wie

�9 hier in der Gleichung Aq~=kQ flit das Gravitations- potentialq5 auf der rechten Seite die (mit der Gravi- tationskonstanten k tnultiplizierte) Massendichte Q auftritt, so stellte er auf die rechte Seite seiner Glei- chungen (deren linke tier kontrahierte Kriimmungs- tensor !st) einen Energie-Impuls-Tensor, der, wie er sagt, ,,eine formale Zusammenfassung aller Dinge war, deren ETfassung im Sinne einer Feldtheorie noch pro- blematisch war. Natiirtich", fiigt er hinzu, ,,war ich keinen Augenblick im Zweifel, dab diese Fassung nut ein Notbehelf war" [18]. Viele Versuche sind seither unternommen worden, zu einer einheitlichen Feld- theorie zu gelangen, inSbesondere auch von EINSTEIN selbst. Ich glaube nicht, dab das Ziel erreicht ist, oder auch nuT, dab wir dem Ziel in den letzten drei Dezen- nien wesentlich n~iher gekommen sind. Jede die Gra- vitation mitumfassende Feldtheorie, welche die Atome nicht als Femdk6rper einfiihrt, steht dem R~itsel der reinen Zahl t 040 gegeniiber, des Verh~iltnisses von elek- trischemund Gravitations Radius des Elektrons. Den- noch mSchte ich mit e{ner kurzen i3bersicht fiber diese Versuctie mein Referat beschliel3en. Ich strebe keine Vollst~indigkeit an. Insbesondere soil die von EIN- STEIN eine Zeitlang verfolgte, aber dann aufgegebene Idee des Fernparalletismus unberiicksichtigt gelassen werden, well sie fast einer Riickkehr zur SR gleich- kommt.: Im iibrigen unterscheide ich drei Gruppen dutch die Stichworte: Eichinvarianz, Affintheorie, Preisgabe der Symmetrie.

a) Eichinvarianz. Die mathematische Aufgabe, als welche MIE und HILBERT das Problem angriffen, war die. Bestimmung aller Invarianten, die von d e n vier elektromagnetischen Potentialen ~ k u n d ihren ersten Ableitungen sowie Yon den 10 Gravitations- potentialen gii und deren ersten und zweiten Ablei- tungen abh~ingen. Uriter ihnen, nahmen sie an, mtisse sich die Wirkungsgr6Be befinden. Abet die Auswahl war grol3; es gait, ein Prinzip zu finden, das darunter eine engere, wom6glich eine eindeutige Wahl traf. Sprecher glaubte t918 dies im Prinzip der Eich- invarianz gefunden zu haben [19]. Beim Herumfahren eines Vektors l~ings e!ner geschlossenen Kurve durch fortgesetzte infinitesimale Parallelverschiebung kehrt dieser im allgemeinen in einer andern Lage zuriick; seine Richtung hat sich ge~indert. Warum nicht auch sein e L~inge ? Dies war mein Einfall. Ich nahm also, an die Relativit~it der Lfinge glaubend, an, dab ein willkiirliches EichmaB zur Messung der L~ingen von

�9 Linienelementen lokaI festgelegt werden mul3, und dab wohl eine infinitesimale 13bertragung desselben yon Weltpunkt zu Weltpunkt statt hat, dab aber diese so wenig integrabel zu sein brauctlt wie die Parallel- fibertragung der Richtungen von Vektoren. Es zeigte sich dann, dab zur Beschreibung des metrischen Feldes neben dem Tensorfeld g~. noch ein Vektorfeld ~, nStig ist, dab aber Invarianz statt hat bei gleichzeitiger

Heft 4 H~.,aA~ WEVL: 50 Jahre Relativit~.tstheorie. 81 195t (Jg. 38)

Ersetzung der gii durch e-~.gii und der % durch ~2

~k + aT~-xk ' wo 2 eine willktirliche Ortsfunktion in der

Welt ist (,,Eichinvarianz"). Da man weiB, dab eine solche Willkiir wie die durch die Substitution

~ -~ ~k + 0 *k (2)

ausgedrfickte in den elektromagnetischen Potentialen steckt -- eine Erfahrung, welche MIE und HILBERT beim Aufbau ihrer Theorie mlsdrficklich verleugnet hatten, -- schien es ptausibel, diese ~k mit. den (in einer unbekannten kosmisChen Einheit gemessenen) elektromagnetischen Potentialen zu identifizieren. In der Tat ergab das Wirkungsprinzip, das durch die For&rung der Eichinvarianz wenigstens nahezu ein- deutig festgelegt ist, dab die ~ diese Rolle spielen. Die resultierenden Gleichungen: sind den EINSTEIN- M2txWELLschen Gleichungen geniigend ~hntich, um das erkennen zu lassen, weichen abet doch genfigend davon ab, uln der Hoffnung Raum zu geben, dab s i e singularit~itenfreie statische kugelsymmetrische L6sungen gestatten. Die entgegenstehenden mathe- matischen Sehwierigkeiten haben es freilich verun- m6glicht, dies zu entscheiden; aber in keiner der noch zu erw~knenden konkurrierenden Theorien steht es damit besser, u n d datum sind sie alle physikalisch ohne Frucht geblieben. EINSTEIN machte sogleich den Einwand, dab mein Prinzip yon der Nichtintegrabi- litfit der L~illgentibertragung init der absoluten Sta- bilit~it der Frequenzen volt Spektratli~ien in Wider- spruch stehe. Die Definition des MaBfeldes im ~ther mit Hilfe von wirklichen MaBstfiben'und Uhren kann natiirlich nur als eine vorl~infige Ankntipfung an die Erfahrung gelten. Erst wenn die physikalischen Wir- kungsgesetze aufgeste!lt sind, muB man aus ihnen ab- leiten, in welcher Beziehung die an jenen K6rpern abgelesenen MeBresultate zu den Fundamentalgr613en der Theorie stehen. Die Erfahrungen, auf die sich EIN- STEIN mir gegeniiber berief, zeigen gewil3, dab die physikalisch gemessenen Litngen' nicht der kongru- enten Verpflanzung yon Strecken folgen, die zum Fun- dament meiner Theorie geh6rt. Ich habe keine Lust, diese Theorie, an die ich l~ingst nicht mehr glaube, zu verteidigen. Aber ich konnte damals doch mit Recht auf das Faktum hinweisen, dab s'ie im Krtimrnungs- radius der Welt, sozusagen nachtr/iglich, ein absolutes lokales EichmaB liefert, auf das sich spektrale Fre- quenzen n:nd andere Lgmgengr6Ben einstellen k6nnen und vielleicht gem~iB dem geltenden Wirkungsprinzip wirklich einstellen.

Heute, nach Einftihrung der SCHR6DINGER-DIRAC- schen ~v~ durch die Quantentheorie, glaube ich, k6nnen wir mit groBer Bestimmtheit den Finger auf den Punkt legen, in welchem meine Theorie irrte: die Eich- invarianz verbindet die elektromagnetischen Poten- time nicht mit den gi~ der Gravitation, sondern mit den ~vr des Materiefeldes. Das konnte ich freilich t918 nicht wissenl Damals waren diese ~v iloch v611ig un- bekannt. Im Rahmeia der AR wird der wilIktirliche Phasenfaktor e -ia, der den W anhaftet, von einer Konstanten zu einer willkfirlichen Ortsfunktion in der Welt. Es muB dann notwendig dem Differentiatope- rator O/Ox~, um ihm eine invariante Bedeutung zu

sichern, die allgemeinere Form ~ + i~0~ gegeben

werden, wobei die % ein Vektorfeld bilden: verwandelt

man ~vr in e =~ �9 ~r so geht ~k i n ~ -4- ~z �9 Ox~ tiber. Genau

diese Vorschrift ist es aber, nach welcher die DIRACsche Theorie die Einwirkung des elektromagnetischen Feldes auf das Elektron wiedergibt, wenn 9, als das mit e/?~ multiplizierte elektromagnetische Potential gedeutet wird. Hier sind wir nicht im Gebiet der Spekulation, sondern der Erfahrung, und die Einheit, in welcher die ~k gemessen werden, ist nicht eine unbekannte kosmische, sondern eine bekannte atomare Gr6Be. Man sollte freilich jetzt Iieber yon Phasen- start von Eichinvarianz sprechen.

Die durch (2) zum Ausdruck kommende Unbe- stimmtheit in den elektr0magnetischen Potentialen ~k ist jedenfalls, auch wenn man die 9 mit keinen anderen Gr6Ben verkntipft, eine gesicherte Tatsache, und die Illvarianz gegenfiber der Substitutior~ (2) mit der will- kfirtichen Ortsfunktion 2 ist auf die gleiche Weise mit dem Gesetz vonder Erhaltung der Ladung verkntipft wie die Invarianz gegentiber Koordinatentransfor- mation mit dem der Erhaltung von Energieimpuls.

D e m Umstand, dab nicht die Potentia!e %, sondern nur die daraus abgeleitetell Feldgr613en

3 x i ~ x k

eine physikalische Bedeutung haben, kann mail inner- halb des MIE-HILBERTSChen Schemas Rechnung tra- gen und dadurch wenigstens eine gewisse Einschr~n- kung in der Auswahl der zur Verftigung stehenden invarianten Wirkungsgr6gen erzielen. So verfuhr BORN [20]. Start der MaxwELLscben Wirkungs- gr6Be L schl~gt er insbesondere eine vor, welche unter Vernachl~ssigung der Gravitation so lautet:

V~-4 2~L - t (3)

(/5 ist eine kleine Konstante). Damit errang er wenig- stens einen partiellen Erfolg, insofern die statischen kugelsymmetrischen L6sungen seiner Gleichungen zwar nicht singularit~itenfrei sind, abet doch zu einer endlichei1 Energie ftihren.

KAL~IZA hatte 192t den Gedanken, ob sich nicht die Invarianz gegenfiber der Substitution (2) als Er- weiterung der Invarianz gegentiber Koordinatentrans- formation auf eine fiktive 5. Weltkoordinate x 0 deuten liel3e [21 I. Er machte die spezielle Annahme, dab die Koordinaten xl, x~, x 3, x 4 sich wie bei EINSTEIN nur untereillander transformieren, w~ihrend ffir x 0 ein be- liebiges Transformationsgesetz yon der besonderen Form

x0 -+ Xo + 2 (xl, x~, x3, x~) (4)

zugelassen wird. Setzt man dann eine quadratische Differentialform der fiinf Variablen ffir die Besctirei- bung des metrischen Feldes an,

ds~=~,ag~adx~,dxl~ (~,fl = 0, t, 2, 3,4),

so stellt sich heraus, .dab goo eine Invariante ist, die KALUZA durch goo = t normiert (dies scheint zul~ssig, wenn man annimmt, dab nicht die Form ds 2 selber, sondern nur die Gleichung ds 2 = 0 eiue physikalische

Die Natur- ~ HI~RMANN WI~YL : ~0 Jahre Relativitlitstheorie. wissenschafle~

Bedeutung hat), w~hrend die vier Gr6Ben ~ =gk0 sich gegenfiber Transformationen von x 1, x 2, x 3, x 4 so wie die Komponenten eines Vektors verhalten, bei der Transformation (4) aber die Substitution (2) erleiden. (Der Index k l~tuft hier immer nur von t bis 4.) Man macht die zus~ttzliche Annahme, dab alle g~8 von x o unabMngig sin& Man kommt so in der Tat auf natfir- iiche ~,Veise auf die MAXWELL-EI~STEINschen Feld- gleichungen, und die Bewegung nicht nur voI~ unge- ladenen, sondern auch yon geladenen Teilchen verl~iuft l~ings geod~itiseher Weltlinien. Dennoch liegt hier kauln mehr vor als eine formale Zusammenfassung der beiden Felder, die zu keinem Erkenntnisfortschritt ffihren kann, da sie dem yon BORN korrigierten MIE- HiL~E~rschen ~ Schema keinerlei Einschr/tnkungen auferlegt. Ei/te ansprechende geometrische Einklei- dung des Formalismus liefert die projektive Geome- tric. Anstatt der vier Weltkoordinaten x k benutzt der projektive Geometer die durcll x~ = X k / X o eingeffitir- ten fiinf homogenen Koordinaten X~. Ein Punkt be-. stimmt nut die VerMltnisse dieser Koordinaten; in- dem man diese selbst festlegt, erteilt man einem Punkt ein Gewicht. Setzt man X 0 = e ~o, so bedeutet der Urn- stand, dal? x~, x2, x3, x~ sich nur untereinander trans- formieren, dies, dab das Zusammenfallen von Punkten verschiedenen Gewichts eine invariante Bedeutung hat, w~thrend die Transformation (4) die Willkfir des Gewichts ausdrfickt. Neben KALUZA hat OSICAR KLEIN diese Ans~itze verfoigt; er ist spS.ter, im Zu- sammenhang mit quantentheoretischen Erw/tgungen, dazu tibergegaagen, die Annahme, dab ZustandsgrSBen und Transformationsfunktionen einschliel31ich ~von x 0 nic[tt abh~ingen, dahin zu verallgemeinern, dab sie periodisehe Funktionen yon x o sind, mit einer durch die universellen Naturkonstanten vorgesehriebenen Periode [29]. Die angedeutete projektive Form wurde, yon 1930 ab, ausgebaut von VAN DANTZIG und Sc~IOO- tEN, ferner yon PAULI. Sic war irt einer etwas anderen Gestalt schon vorher yon O. VEBLEN und B. HO~F- .~AI~N entwiekelt worden. PAULI t lat aucl~ die Au.s- dehnung der Theorie auf die ~0-GrSBen verfolg L EIN- STEIN zusamrnen mit W. MAYE~ hat in den gleichen Jahren eine nahverwandte Theorie konstruiert, deren Formalismus gleiehfalls Ifinf unabh~ingige Variable be- nutzt [23~. Aus jiingster Zeit w~irea Arbeiten von PASCUAL JORDAN ZU erw~ihnen.

b) Reine und gemischte A/Jintheorien. EDDINGTON dehnte meine ,,suggestion", dab der Krtimmungs- radius der Welt das Eichmal3 liefert, yon der skalaren Krtimmung auf den Krfimmungstensor R,i aus und wurde so dazu gefiihrt, der Welt yon Hause aus keine Metrik, sondern einen durch 40 Gr613en N~ = ~ aus- gedrtickten affinen Zusammenhang zuzuschreiben. In der Tat entstehen die KrfimmungsgrSl3en R~ aus ihnen allein. EINSTEIN~ Gravitationsgleichungen im leeren Raum, Rr = 0, hatten sich durch Hinzuffigung

des kosmologischen G!iede s in

R~. = A . g~j

verwandelt; diese werden nun ftir EDDINGTON alls einem Naturgesetz zu einer Definition des metrischen Tensors &i" Diesen Gedanken aufgreifend, wies Ein- STEIN alsbald darauf hin, dab dann die Gleichungen, welche die Komponenten/~ des affinen Zusammen- hangs durch die g~j ausdriicken, nicht 1/inger als Defi-

nitionen aufgefaflt werden k6nnen, sondern aus einem Wirkungsprinzip abzuleitende Naturgesetze sein mils- sen. Under fund in der Tat, dab sie sich ergeben, wenn man die einfachste Invariante, die im Rahmen der EDDINGTONschen Affintheorie m6glich ist, als Wir- kungsgr6f3e w~ihlt; dasist die Quadratwurzel aus der Determinante der R~i ~24~. Es treten dabei auch Terme auf, die sich Ms etektromagnet[sches Potential deuten liel3en, und die resultierenden Gleichungen sind einschlieBlich der kleinen kosmologischen Glieder mit ihren numerischen Koeffizienten genau mit den Fetd- gleichungen meiner metrischen Theorie identisch. Es ist mir schleierhaft, worauf diese merkwfirdige Uber- einstimmung beruht [25].

Ir~ dem Dilemma, ob man der Welt ursprtingtich eine metrische oder eine affine Struktur zuschreiben soll, ist vielleicht der beste Standpunkt der neutrale , der sowohl die g wie die F als unabh/ingige Zustands- gr6Ben behandelt. Dann werden die beiden S~tze yon Gleichungen, welche sie verbiffden, zu Naturgesetzen, ohne dab die eine oder andere Hfilfte als Definitionen eine bevorzugte Stellung bekommen. In der Tat zeigte EINSTEIN, dab ein Wirkungsprinzip von beson- ders simpler Bauart hier dieselben Gesetze liefert wie seine ursprfingliche rein-metrische Theorie [26]. Frei- lich ftihrt dieser neutrale Standpunkt auch nicht fiber die rein-metrische Theorie hinaus, setbst nicht be i Einbeziehung des ~0-Feldes der Elektronen.

c) Preisgabe der Symmarie . Ein beliebiger Ten- sor hii vom Range 2 spMtet in invarianter Weise in einen symmetris'chen und einen schiefsymmetrischen Bestandteil:

hij=g,i+/~,; g;i--gii, / j~=- / i ; . (5)

Diese kann man bzw. als Gravitationspotentiai und elektromagnetisches Feld deuten, die so zu einem ein- zigen Tensor h,i zusammengefaflt erscheinen. Bei der Aufstellung semer besonderen Wirkungsgr68e des elektromagnetischen Feldes (3) war sehon BORN yon diesem Gedanken ausgegangen [27]. Systematiseh haben dann EINSTEIN und SCI-II~6DINGER untersucht, was geschieht, wenn man Itir die /'~z (wie auch fiir die &j) die Symmetrieannahme F~ = ~% fallen l~gt. SCHRODINGER stellt sich dabei auf den rein-affinen, EINSTEIN auf den neutralen metrisch-affinen Stand- punkt [28]. SCI~RODINGER glaubt durch seine Theorie zum mindesten eine Art von Mesonen mitzuumfassen, erwartet aber wohl, dab das ganze System von Feld- gleichungen erst dem Quanti~ierungsprozeB unter- worfen werden muB, ehe es die atomaren Erscheinun- gen zu erkI~iren f~ihig ist. EINSTEI~ n~thrt in seinem Busen noch immer die kfihne Hoffnung, dab die Feld- gleichungen selber ohne quantentheoretisch e Umdeu- tung dies leisten.

Ich gestehe, dab ich als Mathematiker mir yon einer so formalen Verallgemeinerung wie dem Fallen- lassen der Symmetriebedingungen nichts versprechen kann, Die Symmetric der g,~ und der f '~ hat eine fiber das Formale welt hinausgehende Bedeutung, n~imlich die, dab die Natur der Metrik und des affinen Zusammenhangs eine und allerorten die gleiche ist. Statt an der Symmetric zu rfitteln, sollte man nach einer andersartigen reicheren Struktur fahnden, deren Natur aber wiederum fiberall die gleiche sein mfigte.

Heft4 Jr[ERMANN WI~YL: 50 ] ah re RelativitS, tstheorie. 8~ ~951 (Jg. 38)

Wenn man der Mathematik eine ffir die Anfstel!ung physikalischer Theorien wiehtige Lehre entnehmen kann, so ist es die, dab nur Gr6Ben, die unter ihrem spezifischen Transformationsgesetz unzerlegbar sind, eine einheitliche physikalische Entit/it darstellen; eine solche Gr6ge ist der symmetrische und der schief- symmetrische Tensor, g u n d / , aber nicht ihre Zusam- menfassung (5). P~ULI formutiert dieses Prinzip so: Was Gott getrennt hat, sol1 der Mensch nieht zusam- menffigen. Durcla die Preisgabe der Symmetrie ist die Mannigfaltigkeit der als Wirkungsgr613e zur Ver- ftigung stehenden Invarianten gewaltig gewachsen, w/ihrend doch das Bestreben sein sollte, die M6glich- keiten einzuschr/inken. Offenbar sind wir doch nicht klug genug, um dnrch reines Denken -- , ,aus dem hoh- ten Bauch", glaube ich, war frfiher der Ausdruck der Mfinchener Physiker dafiir -- die universelle Struktur der Welt und die sic beherrschenden Feldgesetze zu Iinden. Und ich glaube auch nicht, dab unser gegen- w~irtiges Wissen fiber die Wellenfelder der Elementar- teilchen daffir irgend zureichend ist. Hier wie anders- wo ist daffir gesorgt, dab unsere B/iume nicht in den Himmel (oder in die H611e) wachsen.

Um aber nicht mit bloBer Kritik zu enden, will ich zum SchluB noch mein Scherflein zur Spekulation beitragen [29]. Die MAxW~LLSchen Gleichungen, in denen die Potentiale cp~ als die unabh/ingigen Zustands- gr6Ben figurieren, sind linear, u n d e s besteht Invari- anz gegenfiber der Substitution (2). EINSTEINs Gra- vitationsthe0rie ergibt ffir die t0 Potentiale Yi~=7/i eines unendlich schwachen Gravitationsfeldes eben- fails lineare Gleichungen, und diese sind invariant gegenfiber der zu (2) analogen Substitution

mit vier willkttrlichen Funktionen ~i; eine Invarianz- eigenschaft, die die Koordinateninvarianz der strengen Gteiclmngen widerspiegelt. Vielleieht soltte man zu- n/ichst einmaI auf diesem lihearen Niveau nach einer Vereinigung von Yij und ~0 k fahnden. Die Quanten- theorie lfiBt die elektromagnetisclaen Potentiale % als ein vom Prinzip der Phaseninvarianz gefordertes An- h/ingsel an die das Elektron darstellenden Feldgr6Ben~0 erscheinen. Frage: Sind die y~ in analogem Sinne ein Appendix an das WellenfeldX eines unbekannten Elementarteilchens ,,Graviton"? Erst nachdem diese Frage beantwortet ist, sollte man jenen tJbergang zur nichtlinearen Theorie versuchen, bei welchem die y~i sich in die wirklichen Zustandsgr6Ben g~. des metri- schen Feldes (zurfick-)verwandeln; ein ProzeB, der dann notwendig auch die % (samt den ,/) und dem unbekannten X) mitergreilen wiirde und so in organi- scher Weise eine niehtlineare Theorie des MAXWELL- schen Feldes erg/tbe. Ich bin weft davon entfernt, dieses Programm durchffihren zu k6nnen.

Literatur. [I] l~'ber die Entwicklnng yon EINSTEtNS Ideenvgl. seine ,,Auto-

biographical Notes" in Albert Einstein Philosopher-Scientist, Bd.VII der Library of Living Philosopbers, herausgeg, yon PAUL A. SCmLPP. Evanston, Ill., t949. (In der Folge zitiert als AE.) - - [2] Enquiry

concerning Human Understanding, Book lI , Chap. 13, Sections 7--t0. - - E3] ,,Dialogo sopra i dui massimi sistemi del mondo", in Bd. VII, S. 198, der Opere, Edizione nazionale. Florenz 1890 bis 1909. Neudruck 1929--. - - [41 Siehe z. B. S.. 10--t2der englischen Ausgabe der Philosophiae naturalis principia mathematica yon F. Cajori, Berkeley, Calif., 1934, zweiter DrUek t946; auch das den Definitionen I, I I und IV foJgende Scholium auf S. 6--7; betreffs der Beziehung zu NEWTONS Theologie: COTES' Vorrede zur 2. Aufi. der Prineipia, S. XXXII , (Cajori) und Prineipia, S. 546, (Cajori) ; ferner NEWTONS Optics, S. 370, (Ausgabe yon E. T.Wtfittaker, London 193 t) u~d der Briefweehsel zwischen Leibniz u~d S. Clark6 in G. W. LEIB- mZ, Philosopbische Schriften, Bd.VII, S. 352--440, (Ansgabe yon Ger- h a r d t ) . - [5] Principia, S. 419, Ausgabe yon Cajori .-- [6] BRUNOS Del infinito universo e mondi erschien J 584, die erste Aufl. yon NEWTONS Principia 1687. - - [7] Opere, ed. naz., Bd. VII, S. 212--2t4. - - [8] Uber die Entwicklung bis 1920 orientiert am besten der Arti- kelV 19: Relativit~tstheorie yon V~;. PAUL1, in der Enzyklop/idie der mathematischen Wissenschaften, Bd. V, Tell 2, S. 539--775, 1904--t922 (zitiert als ,,Pauli, Enc."). - - [9] Ich entnehme diese Zahlangaben dem schSnen Artikel y o n MAx YON LAUE fiber Inertia and Energy, AE, S. 503--533. Andere frfihe Hinweise auf kernphysikalische Anwendungen siehe bei PAULI, Enz., S. 681. - - [10] Die grundlegenden Arbeiten yon HEISENBERG und yon ihm, BORN und JORDAN erschienen in der Z. PhYsik 53--35 (1925/26); die yon E. SCHR()DINGER sind zusammengefaBt in den Abhandlun- gen zur Wellenmechanik. Leipzig 1927. - - [11] Proc. Roy. Soc. Lond. A 117, 610; 118, 351 (1928). - - [12] SieheAE, S. 52. - - E18] Siehe die genaue Diskussion in dem Vortrag fiber Relativity Effects in Planetary Motion, den G. St. Ci.EMENCE im Rahmen des Princetoner Symposium aus Anlag yon EI~STEINS siebzigstem Ge- burtstag, hielt: Proc. Amer. Philos. Soc. 95, 532--534 (t949). [lg] Siehe ffir MILNE: AE, S.4t5~435; ffir BIRKHOFF: Proe. Nat. Acad. Sci. USA 29, 231 (1943) und die Bemerkungen yon H. WEYL fiber mSgliche lineare Theorien der Gravitation in Amer. J. Math. 66, 591--604 ( t 9 4 4 ) . - [15] EINSteIN: Sitzgsber. preuss. Akad. Wiss., Math.-naturwiss. K1. 1918, 448. - - [16] WEYL, H.: Raum, Zeit, Materie, 5. Aufl. Berlin 1923, w 38. Mit viel gr6Berer Sorgfalt, auch zur Bestimmung der Wechselwirkung mehrerer Teilchen, wurde dieser Weg dann in mehreren Arbeiten yon EINSTEIN und INFELD besehritten; vgl. die letzte absehlieflende Arbeit, die im Canadian J. Math. 1, 209--241 (t949) erschien. - - [,17] MIE, G.: Ann. Physik ~7, 39, 40 ( 1 9 t 2 / 1 3 ) . - HILBERT, D.: Die Grundlagen der Physik. Nachr. Ges. Wiss. G6ttingen, Math.-physik. K1. 1915 n. 1917. - - [,18] AE, S. 74. - - [19] Vgl. die Darstellung in Raum, Zeit, Materie, 5. Aufl., S. 298--308. - - E20] BORN, M.: Proc. Roy. Soe., Lond. A 14;~, 4t0 ( 1934 ) . - SGHRODINGER, E.~ Proc. Roy. Soc., Lond. A IS0, 465 (1935) . - [21] KALUZA: Sitzgsber. preuss. Akad. Wiss., Physik.- math. K1. 1921, 966. - - [22] KLEItr O.: Z. Physik 37, 895 (1926); 46, 188 (t927). - - Vgl. ferner: O. KLEIN, Ark. Mat., Astronom. Fysik, Set. A 54, Nr 1 (1946). Weitere Publikationen stehen in Aussicht. - - [23] SCnOOTEN U. VAN DANTZm : Proc. Amsterdam 34, t 398 (t 93 t). - - Z. Physik 78, 639 (1932). - - DANTZm, VAN: Math. Ann. 106, 400 (1932). - - PAt~Lt, W.: Ann. Physik (5) 18, 305--372 (1933). - - VEBLEN, O., U. B. HO~'FMANN: Projective relativity. Physic. Rev. 56, 810--822 (1930). - - VEI3LEN, O. : Projektive Relativit~tstheorie, Ergebnisse der Mathematik, Bd. If/1. Berlin 1933. - - EINSTEIN, A., u. W. MAYER: Sitzgsber. preuss. Akad. Wiss., Math.-naturwiss. K1. 1951, 541--557; 1932, 1 3 0 - - 1 3 7 . - [21] EINSTEIN: Sitzgsber. preuss. Akad. Wiss., Math.-naturwiss. K1. 192~, 32, 76, t37. EDDINGTON , A.S.: Mathematical Theory of Relativity, 2. Aufl., Note 14, - - [,25] Vgl. zu allen diesen Ausffihrungen H. WEYL, Geo- metric und Physik. Naturwiss. 19, 49-- 58 ( 1931). - - [,2a] EINSTEIN, A. : Sitzgsber. preuss. Akad. Wiss., Math.-naturwiss. K1. 1925, 4t4 . - - - WEYL, H.: Physic. Rev. 77, 699--701 (1950). - - [~rl BORN, M.: Proc. Roy. S()c., Loud. A 144, 425--451 ( 1 9 3 4 ) . - [281 Von SCHR6- BINGER zitiere ich die drei Arbeiten betitelt ,,The final affine Field Laws" in Proc. Roy. Irish Aead. A 51, 163--17 t, 205--216; $ 2, t - -9 (1947[48); voraufgehende Arbeiten sind dort angeffihrt. Besonders nfitzljch ist die fJbersicht der versehiedenen Theorien in der 2. Abh. EINSTEINS letzte Version seiner Theorie findet man im Appendix I i yon The Meaning of Relativity, 3. AuII., S. 109--147. Princeton, N . J . t949. Vorbereitet war sic durch die Arbeiten yon EINSTEIN und STRAUS in Amer. J. Math. 46, 578 -(1945) und 47, 73! (t946). Nach AbschluB dieses Artikels ersehien 2. SCHR6DINGERS Bueh Space-Time Structure. Cambridge t 9 5 0 . - I29] WEYL, H.: Amer. J. Math. 66, 602 (1944).

Institute [or Advanced Study Princeton, N. J. Eingegangen am 8. November 1950.

Naturwiss. 1951. 7d