DIPLOMARBEIT · 6 H. Huhn / Diplomarbeit / Bezeichnungen 2. Bezeichnungen σi ij V, , Hauptspannungen, Spannungskomponenten, Vergleichsspannung (Mises)σ σ σi ij′, deviatorische

Lastfallstudien hinsichtlich zyklischer Beanspruchungen nach exakter

Fließzonentheorie und Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie

auf das Bree-Rohr mit dem FEM-Programm ANSYS

DIPLOMARBEIT

FACHHOCHSCHULE LAUSITZ

FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN

eingereicht von : Holger Huhn, Matr. 93 BI

Betreuer : Prof. Dr.-Ing. H. Hübel

Cottbus, Februar 1998

Das vorliegende Werk ist auf der Grundlage der neuen amtlichen Rechtschreibregeln verfasst.

Fachhochschule Lausitz Fachbereich Bauingenieurwesen

Aufgabenstellung zur Diplomarbeit

für Huhn, Holger Matr. 932358

Thema: Lastfallstudien hinsichtlich zyklischer Beanspruchungen nach exakter

Fließzonentheorie und Anwendung einer vereinfachten Fließzonen-

theorie auf das Bree-Rohr mit dem FEM-Programm ANSYS

Leistungen / Bearbeitungsschwerpunkte:

• Lastfallstudien hinsichtlich der Kombinationen aus konstanten und

zyklischen Belastungen am Zwei-Stab-System nach exakter Fließzo-

nentheorie

• Untersuchung des trilinearen Werkstoffmodells am Zwei-Stab-System

• Vergleich der exakten mit einer vereinfachten Fließzonentheorie

bezüglich der Fließzonen- und Dehnungsberechnung am Bree-Rohr

bei monotoner Belastung

Ausgabetermin : 21. November 1997

Abgabetermin : 13. Februar 1998

Betreuer : Prof. Dr.-Ing. H. Hübel

(Unterschrift des Betreuers)

H. Huhn / Diplomarbeit / Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 5

2. Bezeichnungen 6

3. Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter Fließzonentheorie 7

3.1. Ratcheting-Typen 7

3.2. Das Zwei-Stab-System 8

3.3. Werkstoffmodelle für das Zwei-Stab-System 9

3.4. Belastungsannahmen für das Zwei-Stab-System 16 3.5. Parametrisierung 20

3.6. Graphische Ermittlung zu Ratcheting für den Präzedenzfall Ab 23 3.7. Nummerische Lösungsansätze über die Finite-Element-Methode und FEM-Programm ANSYS 27

3.7.1. Was ist die Finite-Element-Methode? 27

3.7.2. Das FEM-Programm ANSYS 29 3.8. Auswertungsstrategien für die nummerische Lösung 30

3.9. Lastfallstudien nach der Finite-Element-Methode 31

3.9.1. Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung 32

3.9.1.1. Fall Ab: bilineares Wekstoffverhalten 32

3.9.1.2. Fall Ab,Vord.: bil. Werkstoffverhalten und Vordehnung 36

3.9.1.3. Fall At: trilineares Werkstoffverhalten 42

3.9.2. Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung 51

3.9.3. Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung 54

3.9.3.1. Fall C1: Primär- u. Sekundärspannung sind phasengleich 55

3.9.3.2. Fall C2: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben 60

3.9.3.3. Fall C3: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben 68

3.9.3.4. Fall C4: Primär- und Sekundärspannung alternieren 71

4. Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie auf das Bree-Rohr 72

4.1. Das Bree-Modell 72

4.2. Werkstoffverhalten bei dreiachsigen Spannungszustand und monotoner

Belastung 73

4.3. Vereinfachte Fließzonentheorie nach der Zarka-Methode 78

4.3.1. Funktionsweise der Zarka-Methode 78

4.3.2. Anwendung der Zarka-Methode auf eine diskretisierte Struktur 79

4.4. Simulation der Rohrstruktur mittels des ANSYS-Elementtyps Plane 42 80

4.5. Belastungsberechnungen für die Eingabe der Belastungsparameter 82

4.6. FE-Analysen am Bree-Rohr bei monotoner und zyklischer Belastung 84

4.6.1. Fließzonen nach Zarka bei monotoner Belastung 84

4.6.2. Dehnungen nach Zarka bei monotoner Belastung 89

4.6.3. Dehnungsanalyse nach exakter Fließzonentheorie bei zyklischer

Belastung 98

5. Zusammenfassung und Ausblick 103

6. Schrifttum 104

7. Anhang 106

8. Erklärung 124

H. Huhn / Diplomarbeit / Einleitung 5

1. Einleitung

Der entscheidende Wandel im Laufe der letzten drei Jahrzehnte besteht in der Erkennt-

nis, dass die Natur, wie der Wissenschaftler Ian Stewart es formuliert hat, „erbar-

mungslos nichtlinear“ ist [8]. Nichtlineare Phänomene beherrschen die unbelebte Welt

weitaus mehr, als die Wissenschaft geglaubt hatte. Das in diesem Jahrhundert entdeckte

Phänomen Ratcheting ist eines solcher nichtlinearen Phänomene. In der Praxis begegnet

man diesem Phänomen etwa bei der Betreibung von kerntechnischen Anlagen. Hierbei

kommt es zu zyklisch-überelastischen Beanspruchungen in den Komponenten (z.B.

Rohrstrukturen) der Anlage. Das Phänomen Ratcheting entsteht grob gesagt auf

Grundlage des nichtlinearen Materialverhaltens und einer oder mehrerer schwellend

ablaufenden Beanspruchungen, deren Zusammenwirken zu einer Zunahme der elas-

tisch-plastischen Dehnungen von Zyklus zu Zyklus führt.

Ziel der hier vorliegenden Arbeit ist es, anhand eines gewählten Erklärungsmodells das

Phänomen Ratcheting detailliert zu erklären und den Einfluss unterschiedlich schwel-

lend ablaufender Beanspruchungen zu untersuchen. Weiterhin wird die Anwendbarkeit

einer vereinfachten Fließzonentheorie auf eine Rohrstruktur (Bree-Rohr) untersucht, die

das vorliegende nichtlineare Problem in ein Iterationsverfahren linearer Analysen über-

führt. Hierbei handelt es sich um die Zarka-Methode, die hier jedoch nur unter dem As-

pekt der monotonen Beanspruchung angesetzt wird. Motivation für die hier vorliegende

Arbeit gibt das derzeit von Professor Hübel durchgeführte Forschungsvorhaben SR

2226, welches auf die Präzisierung des kerntechnischen Regelwerkes hinsichtlich des

Ratcheting-Nachweises abzielt.

Das zur Verfügung stehende mathematische Werkzeug für die Lösung der in dieser

Arbeit gestellten Aufgaben ist die Finite-Element-Methode. Diese Methode, auf die

noch später eingegangen werden soll, wurde durch freundliche Unterstützung der Fach-

hochschule Lausitz in Form des kommerziellen FE-Programms ANSYS zur Verfügung

gestellt.

H. Huhn / Diplomarbeit / Bezeichnungen 6

2. Bezeichnungen

σ σ σi ij V, , Hauptspannungen, Spannungskomponenten, Vergleichsspannung (Mises)

′ ′σ σi ij, deviatorische Hauptspannungen, deviatorische Spannungskomponenten

ξi Hauptrückspannungen (Translationstensoren)

ρi Hauptrestspannungen

σ0 Primärspannung

σ t Sekundärspannung

σyi Fließgrenzen

ε ε εi ij V, , Hauptdehnungen, Dehnungskomponenten, Vergleichsdehnung (Mises)

εy elastische Grenzdehnung

ε el. elastische Dehnung

ε pl. plastische Dehnung

ε th thermische Dehnung

ε el pl. .− elastisch-plastische Dehnung

ε ε0 0, ,i Vordehnung, Vordehnungskomponenten

γ ij Gleitungskomponenten (Winkeländerung)

E Elastizitätsmodul

E ti Verfestigungsmoduln

Cti plastische Verfestigungsmoduln

ν ν, Querdehnungszahl, effektive Querdehnungszahl

V Ve p, elastische bzw. plastische Teilvolumina des Bauteils

t s Temperatur

∆T Temperaturgradient

α αt i, Wärmedehnzahl, modifizierte Wärmedehnzahlen

t Zeit

n Zyklenzahl

... .f el fiktiv elastisch berechnete Größe

...* modifizierte Materialkonstanten

H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“ 7

3. Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter Fließ-

zonentheorie

3.1. Ratcheting-Typen

Die Untersuchungen am Erklärungsmodell (Zwei-Stab-System) sowie an der Rohr-

struktur (Bree-Rohr, siehe Abschnitt 4) sind dem Ratcheting-Typ A unterzuordnen.

Neben dem Ratcheting-Typ A steht der Ratcheting-Typ B [18]. Der Typ A benötigt im

Gegensatz zum Typ B zum Entstehen des Phänomens Ratcheting zuzüglich zur zyk-

lischen Beanspruchung entweder eine konstant oder eine zyklisch primär wirkende Be-

lastung. Die Abbildungen 1 und 2 zeigen zwei elementare Modelle hinsichtlich der

Ratcheting-Typen A und B.

Der Ratcheting-Typ B wird derzeit in einer Arbeit von Olbrich untersucht. Die in

Abbildung 1 und 2 vorgestellten Modelle tragen weniger praktische Bedeutung sondern

dienen auf Grund ihrer idealen Struktur ausgezeichnet der Erklärung des hier unter-

suchten Phänomens Ratcheting.

starrer Körper starrer Körper

Stab 1 Stab 2 Stab 1

Stab 2

Stab 3

T T3T2T1

zyklisch

thermische

Dehnung

therm. Dehnungen für eine Periode t0:

T1 ( 0 < t ≤≤≤≤ 1/3 t0 )T1 ( 1/3 t0 < t ≤≤≤≤ 2/3 t0 )T1 ( 2/3 t0 < t ≤≤≤≤ t0 )

P

P = konstant

Zwei-Stab-System Drei-Stab-System

Abbildung 1: Ratcheting-Typ A Abbildung 2: Ratcheting-Typ B


3.2. Das Zwei-Stab-System

Die Erklärung und Untersuchung des Phänomens „Struktur-Ratcheting“ gelingt am

besten an einer sehr einfachen Struktur mit den zur Entstehung des Phänomens not-

wendigsten Randbedingungen und mit stark simplifizierten Materialeigenschaften und

Lasteinwirkungen. Aus Voruntersuchungen ist bekannt, dass im einfachsten Fall eine

einachsige Beanspruchung angenommen werden kann [1]. Der Fachwerk-Stab bietet

hier den idealen Ansatz. Das einfachste Ratcheting-Modell führt zum Zwei-Stab-Sys-

tem, bestehend aus zwei miteinander gekoppelten Fachwerkstäben (siehe Abbildung 3).

Das Prägnante an diesem System ist die strukturelle Kopplung der beiden Fach-

werkstäbe mit Hilfe eines starren Körpers. Diese Knotenkopplung ermöglicht in diesem

System das sogenannte „Struktur-Ratcheting“. Der starre Körper bewirkt in beiden

Stäben die gleiche Längenänderung. Die Querschnitte in den Stäben werden gleich

starrer Körper

Belastung:

- Temperatur

(konstant oder zyklisch)

- Vordehnung

Querschnitte:

A1=A2

Belastung:

Kraft (konstant oder zyklisch)

S1 S2

K1 K3

K2 K4

Länge

Abbildung 3: Zwei-Stab-System


gesetzt. Die Beanspruchungen werden durch die Kraft über die Querschnitte als

Primärspannung und im Stab 1 durch Temperatur am gesamten Stab als Sekun-

därspannung aufgetragen. Je nach Lastfall wird eine Vordehnung im Stab 1 be-

rücksichtigt.

3.3. Werkstoffmodelle für das Zwei-Stab-System

Wie schon im Abschnitt 3.2. erwähnt, werden für das Werkstoffverhalten vereinfachte

Modelle verwendet. Das Phänomen „Ratcheting“ ist weitgehend aus dem Kern-

kraftwerk- und Anlagenbau bekannt. Somit gibt die Praxis den für das Werkstoffmodell

in Ansatz zu bringenden Werkstoff vor. Grundlage bildet der Edelstahl, der sich bis zur

Höchstzugspannung durch monotones Verhalten im Spannungs-Dehnungs-Zusammen-

hang auszeichnet. Abbildung 4 zeigt eine Spannungs-Dehnungs-Linie im einachsigen

Zugversuch.

Mathematisch betrachtet ergibt sich aus der Spannungs-Dehnungs-Linie eine kompli-

zierte Funktion in Abhängigkeit von der Spannung σ und Dehnung ε. Eine solche

Funktion als Materialeigenschaft würde jedoch den Rechenaufwand, ob Handrechnung

(für einfache Strukturen) oder Computerrechnung (für komplexe Strukturen), drastisch

erhöhen. Wie oben erwähnt, werden also vereinfachte Rechenmodelle verwendet,

εεεε

σσσσ

σy

εy

σB

σH

εB

σH Höchstzugspannung

σB Bruchspannung

σy Streckgrenze

εB Bruchdehnung

εG Betrachtungsgrenze

εy elastische Dehngrenze

εG

verfestigender Bereich

elastischer Bereich

Betrachtungsbereich

Abbildung 4: verzerrte Spannungs-Dehnungs-Linie eines Edelstahls


welche die tatsächliche Funktion ersetzen, und damit den Rechenaufwand auf ein güns-

tiges Maß reduzieren. Wie in Abbildung 4 dargestellt, wurden bei Materialuntersu-

chungen, unter einmaliger monotoner Be- und Entlastung unterhalb oder bis zum Bruch,

zwei unterschiedliche Bereiche entdeckt:

• elastischer Bereich (klassisch: Hooke’sche Gerade und Gesetz)

Stähle zeigen als kristalline Stoffe bei Zug- oder Druckbeanspruchung bis zu

einer bestimmten Spannung σy (Streckgrenze) ein rein elastisches Verhalten, das

durch die im Kristallgitter herrschenden Anziehungskräfte bestimmt ist. Es treten

nur Gitterverzerrungen in den Kristalliten auf, die sich bei Entlastung voll

zurückbilden [2].

• verfestigender Bereich (plastisches Fließen)

Bei kristallinen Stoffen tritt eine nennenswerte bleibende Verformung erst

oberhalb der Streckgrenze σy auf, die durch die ersten größeren Gleitungen und

Versetzungen im Kristallgitter oder zwischen den Kristallen bestimmt ist. Dabei

nehmen die Verformungen zu, ohne dass die Spannung wesentlich erhöht

werden muss. Mit Abnahme der Gleitmöglichkeiten verfestigt sich der Stoff,

wodurch ein weiteres Fließen bei höheren Spannungen verhindert wird [2].

Bei der Wahl der im folgenden benutzten Werkstoffparameter ist zu beachten, dass die

ingenieurtechnischen Regelwerke Grenzwerte für örtliche Dehnungen festlegen. Eine

Betrachtungsgrenze εG kann danach auf 5% Dehnung festgelegt werden, obwohl die

Dehnungsreserven des Stahls das 300- bis 400-fache der elastischen Dehngrenze bis

zum Bruch betragen. Der Aufbau eines geeigneten Rechenmodells erfolgt über den

klassischen Ansatz, dem Hooke’schen Elastizitätsgesetz, und der Weiterführung eines

oder mehrerer Verfestigungsgesetze innerhalb des Betrachtungsbereichs. Eine Mög-

lichkeit zu deren Beschreibung besteht im Aneinanderreihen von linearen Funktionen,

die durch einen von Funktion zu Funktion flacher werdenden Anstieg charakterisiert

werden und die damit den Effekt der Verfestigung simulieren. Diese so entstandenen

Werkstoffmodelle werden als „multilineare Werkstoffmodelle“ bezeichnet. Die Abbil-

dungen 5 und 6 zeigen zwei Varianten, die in den nachstehenden Lastfalluntersuchung-

en zur Anwendung kommen. Das Elastizitätsmodul E beschreibt den Anstieg des elas-

tischen Bereiches und die Tangentenmoduln Eti beschreiben den Anstieg des Verfesti-


gungsbereiches. Diese Anstiegsmoduln können in ihren Bereichen wie folgt definiert

werden:

E bzw E iti. ; , , ...= =∆σ

∆ε1 2

Bei Entlastung aus dem Verfestigungsbereich oder dem elastischen Bereich tritt rein

elastisches Verhalten auf, welches ebenfalls durch den Elastizitätsmodul E beschrieben

wird. Die Entlastung erfolgt bei spannungsgesteuerter Belastung bis zum Null-

Spannungszustand. Die auf diesem Weg zurückgelegte Dehnung wird elastische Deh-

nung εel genannt. Die bleibende Verformung aus ε - ε

el nennt man plastische Dehnung

εpl

. Somit können für das bilineare [4] bzw. trilineare Werkstoffmodell bei monotoner

Be- und Entlastung im Zugbereich folgende Gesetze formuliert werden:

ε ε ε= +el pl mit

εσel

E= und ε pl =

( )0 1

1

1

2 1

2 1

1

2

2

2

,

,

,

wenn

Cwenn

C Cwenn

y

y

y y

y y y

y

σ σσ σ

σ σ σ

σ σ σ σσ σ

≤

−> ≥

−+

−≥

.

σσσσ σσσσ

εεεε εεεε

σy1 σy1

σy2

E E

Et1Et1

Et2

εpl εel εpl εel

∆σ

∆ε

E E

Abbildung 5: bilineares Werkstoffmodell Abbildung 6: trilineares Werkstoffmodell


Hierbei sind Ci die plastischen Verfestigungsmoduln, welche in einem modifizierten

plastischen Werkstoffmodell dargestellt werden können (siehe Abbildung 7).

Diese plastischen Verfestigungsmoduln können mit Hilfe der Rheologie, bei der die

Erscheinungen des Fließens fester Systeme unter Einwirkung äußerer Kräfte untersucht

werden [3], hergeleitet und wie folgt definiert werden [6]:

CE E

E EE Et

t

t11

1

10=⋅−

≤ ≤;

CE E

E EE Et

t

t t22

2

2 10=⋅−

≤ ≤; .

Einen Sonderfall stellt die Bedingung Et1 = 0 dar. Hierbei entsteht ein linear elastisch-

ideal plastisches Werkstoffverhalten, welches die Grundlage für die Fließgelenktheorie

vorgibt. Das linear elastisch-ideal plastische Werkstoffverhalten wurde für das Zwei-

Stab-System durch die FE-Analysen von Glede [1] ausreichend behandelt.

Das bisher beschriebene Materialverhalten, abgeleitet aus dem einachsigen Zugversuch,

ist jedoch für die Untersuchung am Zwei-Stab-Modell noch nicht ausreichend. Die Vor-

untersuchungen zeigen, dass im Zusammenspiel der Eigenschaften des Systems und der

Belastungen, Druckspannungen in den Fachwerkstäben erzeugt werden. Da bisher nur

die Entstehung der bleibenden plastischen Dehnung bei einem Zugversuch eines

σσσσ

εεεεpl

σy1

C1

σy2

C2

Abbildung 7: plastische Verfestigungsmoduln im modifizierten plastischen Werkstoffmodell


Probekörpers betrachtet wurde, ist also das Verhalten des Werkstoffes auch im Druck-

spannungsbereich zu prüfen. Nun stellen sich viele Fragen:

Wie verhält sich das Material bei reiner Schwellbeanspruchung oder mit Vorspannung

im Zug- und Druckbereich? Oder, wie verhält sich das Material bei Wechselbeanspru-

chungen mit oder ohne Vorspannung?

Bei den hier betrachteten Stählen wurde beobachtet, dass der sogenannte Bauschinger-

Effekt auftritt. Dieser Bauschinger-Effekt wird technisch bei der Kaltverformung der

Metalle genutzt und wird wie folgt umschrieben:

Ein über die Streckgrenze belasteter und wieder entlasteter Probekörper verhält sich bei

einer zweiten Belastung zunächst elastisch und beginnt erst zu fließen, wenn er die

Größe der ersten Belastung wieder erreicht hat (Abbildung 8 links). Die Fließgrenze

erhöht sich noch, wenn man zwischen Ent- und Zweitbelastung einige Zeit verstreichen

lässt [2] (die Erhöhung der Fließgrenze wird hier bei den Untersuchungen am Zwei-

Stab-System aus Vereinfachungsgründen nicht angesetzt). Der vorweggenommene Ver-

formungsanteil fehlt dann jedoch im Bruchzustand, das heißt das Metall ist nicht mehr

so verformungsfähig. Wird der Probekörper bei der zweiten Beanspruchung ent-

sprechend der schematischen Darstellung in Abbildung 8 rechts mit umgekehrten Vor-

zeichen (Druckspannung) belastet, so wird die Streckgrenze um den sonst gewonnenen

Betrag ∆σy vermindert, das heißt das Fließen tritt schon vor der jungfräulichen Fließ-

grenze ein [2]. Der dabei zurückgelegte elastische Spannungsbereich beträgt zwei mal

den Betrag der jungfräulichen Streckgrenze. Das gleiche Verhalten zeigt sich beim Ent-

lasten aus dem Druckspannungsbereich und dem darauf folgenden Belasten im Zug-

spannungsbereich. Bei alternierenden Zug- und Druckspannungen des gleichen Betra-

ges entwickelt sich eine sogenannte Spannungs-Dehnungs-Hysterese. Sind die Beträge

der wiederkehrenden Spannungen unterschiedlich, dann verschiebt sich die Hysterese

(siehe Abbildung 9).

Eine Hysterese kann man auch erklären als das Zurückbleiben einer Wirkung hinter dem

jeweiligen Stand der sie bedingenden Spannung [3].


σσσσ σσσσ

εεεε εεεε

σy1

σy1

−σy1

−σ−σ−σ−σ

−ε−ε−ε−ε

2σy1

∆σy1

∆σy1

∆σy1

zeitabhängige Erhöhung

der Fließgrenze

Abbildung 8: Bauschinger-Effekt und Spannungs-Dehnungs-Hysterese

σσσσ

εεεε

σy1

−σy1


−ε−ε−ε−ε

2σy1

∆σy1

∆σy1

Abbildung 9: Entwicklung von Spannungs-Dehnungs-Hysteresen


Das auf dem Bauschinger-Effekt basierende Materialverhalten wird durch das

kinematische Verfestigungsgesetz erfasst. Das heißt, die Verfestigungsgrenze (Fließ-

grenze) ist verschiebbar (beweglich; kinematisch). Dieses Gesetz ist gültig für alle

multilinearen Werkstoffmodelle, wobei die weiteren Verfestigungsgrenzen nach Ab-

schluss der Jungfräulichkeit und gegenläufiger Belastung nach dem Betrag 2•(σyi+1-σyi)

(i = 1, 2, 3, ...) zur vorherigen Verfestigungsgrenze auftreten.

Damit ist das Verhalten des Materials im einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zustand

zum Zwecke der Erklärung und Untersuchung des Phänomens Ratcheting ausreichend

dargelegt. Hinweisend ist zu beachten, dass eine sogenannte isotrope Verfestigung aus

dem realen Materialverhalten bekannt ist, jedoch hier nicht berücksichtigt wird, da die

kinematische Verfestigung die dominierende Rolle spielt [5].

Der gleiche Materialverhaltensansatz ist auch für die dehnungsgesteuerten Belastungen

(z.B. Temperatur) gültig. Zwischen der Temperaturänderung ∆ts in K und der Wärme-

dehnung εth soll ein vereinfachter linearer Zusammenhang angenommen werden. Unter

Verwendung eines Proportionalitätsfaktors αt in K-1

lässt sich dieser Zusammenhang

formulieren [7]:

ε αtht st= ∆ .

Dieser Proportionalitätsfaktor wird Wärmedehnzahl genannt und beträgt für Stahl im

Allgemeinen etwa [7]: αt = 1,2 e-5 K-1

.

Da das Zwei-Stab-Modell rein einachsiger Beanspruchung ausgesetzt ist, wird der Quer-

dehnungszahl µ keine Bedeutung beigemessen.

Die für die Berechnung des Zwei-Stab-System zur Anwendung kommenden Werkstoff-

modelle lassen sich wie folgt bezeichnen:

• bilineares Werkstoffmodell mit linear kinematischer Verfestigung

(kurz: bilineares Werkstoffmodell)

• trilineares Werkstoffmodell mit bilinear kinematischer Verfestigung

(kurz: trilineares Werkstoffmodell).


3.4. Belastungsannahmen für das Zwei-Stab-System

Der bisher am Zwei-Stab-System dargestellte Ratcheting-Belastungsfall, untersucht in

den FE-Analysen von Glede [1], beruht auf einer konstanten Primärspannung (re-

sultierend aus der am starren Körper angesetzten Kraft) und einer zyklischen Sekundär-

spannung (infolge einer im Stab 1 erzeugten Temperatur). Diese beiden Spannungen

wirken gleichzeitig. Ihr zeitliches Auftreten kann in Belastungshistogrammen gleicher

Zeitachsen übereinander dargestellt werden. Abbildung 10 zeigt hierzu einen praxis-

nahen Belastungsfall, der im Zusammenwirken mit den Materialeigenschaften und den

vorliegenden Strukturbedingungen Ratcheting erzeugen kann:

Nochmals, wie schon im Abschnitt 3.2. vorgemerkt, werden Vereinfachungen für die

Klärung des Phänomens Struktur-Ratcheting nötig. Die Idealisierung des in Abbildung

10 dargestellten Belastungsfalls führt zum allgemeinen Ratcheting-Präzedenzfall (siehe

Abbildung 11). Hierbei wird die fiktiv elastisch berechnete Primärspannung σ0 vom Be-

lastungsanfang bis zum Belastungsende konstant angesetzt. Die Sekundärspannung σt,

gleichfalls fiktiv elastisch berechnet, wird im gleichen Zeitgeschehen durch periodisch

ablaufende Spannungszustände in exakt definierten Zyklen bestimmt.

σσσσ

monotone Primärspannung

t zyklische Sekundärspannung

σσσσ

t

Zeitsprung

Abbildung 10: praxisnaher Belastungsfall in Histogrammdarstellung


Diese regelmäßig wiederkehrende Belastung nennt man zyklische Belastung. Dieser

Präzedenz-Belastungsfall wird als Fall A bezeichnet. In den nachstehenden FE-Analy-

sen wird der Fall A variiert, indem zusätzlich im Stab 1 eine Vordehnung eingebracht

wird. Erweiternd wird der Fall A unter Ansatz des trilinearen Werkstoffverhaltens

untersucht. Gledes Analysen [1] beschränkten sich auf den Ansatz des bilinearen Mate-

rialverhaltens und werden hier als Fall Ab bezeichnet. Im Fall B werden die Belastungs-

eigenschaften ausgetauscht, indem die Primärspannung zyklisch und die Sekundär-

spannung konstant angenommen wird. Unter dem Fall C werden nur zyklische Belas-

tungen bei bestimmten Phasenverschiebungen untersucht. Der Fall B und C beschränkt

sich nur auf den Ansatz des bilinearen Materialverhaltens. Die gesamt untersuchten Be-

lastungsfälle wären wie folgt zu benennen:

• Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung

• Fall Ab: bilineares Werkstoffverhalten [1] (Abb.12)

• Fall Ab,Vord.: bil. Werkstoffverhalten und Vordehnung (Abb. 13)

• Fall At: trilineares Werkstoffverhalten (Abb. 12)

σσσσ

konstante Primärspannung

t

zyklische Sekundärspannung

t t

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

Ein Zyklus

Abbildung 11: Ratcheting-Präzedenzbelastungsfall


• Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung

(bilineares Werkstoffverhalten, Abb. 14)

• Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung

(bilineares Werkstoffverhalten)

• Fall C1: Primär- und Sekundärspannung sind phasengleich (Abb. 15)

• Fall C2: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben (Abb. 16)

• Fall C3: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben (Abb. 17)

• Fall C4: Primär- und Sekundärspannung alternieren (Abb. 18)

σσσσ



σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

t

Abbildung 12: Fall Ab und At: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung

σσσσ



t

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

t Spannung aus Vordehnung

σε

Abbildung 13: Fall Ab,Vord.: konst. Primärspannung - zykl. Sekundärspannung mit Vordehnung


σσσσ

zyklische Primärspannung

t konstante Sekundärspannung

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

t

Abbildung 14: Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung

σσσσ



σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

t

Abbildung 15: Fall C1: zyklische Primär- und Sekundärspannung, phasengleich

σσσσ



σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

t

Abbildung 16: Fall C2: zyklische Primär- und Sekundärspannung, ¼ Phase verschoben


3.5. Parametrisierung

Um das Verhalten des Zwei-Stab-Systems bei verschiedenem Materialverhalten und

Beanspruchungszuständen zu studieren, ist es notwendig, die das Strukturverhalten be-

einflussenden Größen konstant festzulegen oder in einem gewissen Zusammenhang

variabel festzuhalten. Damit kann eine Einflussbegrenzung auf nur wenige Parameter

erzielt werden. Diese werden systematisch kombiniert und führen zu auswertbaren Er-

gebnissen.

σσσσ



σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

t

Abbildung 17: Fall C3: zyklische Primär- und Sekundärspannung, ½ Phase verschoben

σσσσ



σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

t

Abbildung 18: Fall C4: zyklische Primär- und Sekundärspannung, alternierend


Die beeinflussenden Größen, aus den beiden Materialien und Beanspruchungen lauten:

E Elastizitätsmodul

E ti Verfestigungsmoduln

σyi Streckgrenzen (Fließgrenzen)

σ 0 Primärspannung

σ t Sekundärspannung.

Für das bilineare Materialverhalten können folgende Parameter festgelegt werden:

• Materialkonstanten:

[ ] [ ]E N mm N mmy= ⋅ =2 10 2005 2 2/ , /σ

σε

yy

E

10 001= = , .

• Materialvariablen:

( )E

Et1 0 1 0= ... , für unterschiedliche Verfestigungsverhalten.

• Beanspruchungsvariablen:

( )σ

σ0

1

0 1 0y

= ... , für unterschiedliche Primärspannungen

( )σ

σt

y1

0 12= ... für unterschiedliche Sekundärspannungen.

Für das trilineare Materialverhalten werden folgende Parameter festgelegt:

• Materialkonstanten:

[ ] [ ]E N mm N mmy= ⋅ =2 10 2005 21

2/ , /σ

σε

yy

E

10 001= = , .

E Et t2 1

1

2= Vereinfachungskonstante 2. Verfestigungsbereich.


• Materialvariablen:

( )σ

σ

y

y

2

1

1 2 4= ... , Größenfaktor der 2. Fließgrenze zur 1. Fließgrenze

( )E

Et1 0 1 0= ... , für untersch. Verhalten im 1. Verfestigungsbereich

• Beanspruchungsvariablen:

( )σ

σ0

1

0 1 0y

= ... , für unterschiedliche Primärspannungen

( )σ

σt

y1

0 12= ... für unterschiedliche Sekundärspannungen.

Bemerkungen zu den Beanspruchungsparametern:

Die am Zwei-Stab-System aufgebrachte Primärspannung ist als spannungs-

gesteuert zu betrachten. Sie besitzt im Verfestigungsbereich wenig Spannungs-

reserven gegenüber dem Versagen des Materials. Daher lassen die ingenieur-

technischen Regelwerke hier ein Überschreiten der elastischen Grenzspannung

nicht zu.

Die Sekundärspannung als dehnungsgesteuerte Beanspruchung (z.B. Tempe-

ratur) besitzt im Verfestigungsbereich ein hohes Potential an Dehnungsreserven

gegenüber dem Versagen des Materials. Sie sind jedoch durch die Regelwerke

auf maximal 5% örtlicher Dehnung begrenzt.

Die Ergebnisse der Berechnungen können über die Beanspruchungsparameter in Form

von Ratcheting-Interaktionsdiagrammen dargestellt werden. Die Aussagen der Inter-

aktionsdiagramme sind geometriegebunden und beziehen sich somit hier rein auf das

Zwei-Stab-System. Schlussfolgerungen auf komplexere Strukturen sind nicht ohne

weitere Untersuchungen möglich.


3.6. Graphische Ermittlung zu Ratcheting für den Präzedenzfall Ab

Der Beanspruchungsfall Ab berücksichtigt, wie schon in Abschnitt 3.4. erwähnt, eine

konstante Primärspannung und eine zyklische Sekundärspannung bei bilinearen Werk-

stoffverhalten. Für eine graphische Ermittlung der Spannungs-Dehnungs-Hysteresen

beider Fachwerkstäbe ist es notwendig, die strukturellen Verträglichkeitsbedingungen

und das innere sowie äußere Gleichgewicht am Zwei-Stab-System graphisch einzuhal-

ten (siehe Abbildung 21). Die Möglichkeit einer graphischen Entwicklung wird durch

das Übereinanderschieben der Spannungs- und Dehnungsachse beider Stäbe erleichtert

(siehe Abbildung 19).

Für die graphische Lösung kann also Folgendes festgehalten werden:

• Materialgesetz: Alle Spannungs- und Dehnungszustände bewegen sich auf

den das Materialgesetz kennzeichnenden Linien (siehe

Abschnitt 3.3.).

• Verträglichkeit: Beide Stäbe erfahren die gleiche Dehnung

(siehe Abschnitt 3.2.; Knotenkopplung)

ε εStab Stab1 2=

Die Dehnungsbeträge der Stäbe müssen vertikal

übereinander stehen.

• Gleichgewicht:

äußeres Gleichgewicht (nur über Primärspannung):

Auf Grund gleicher Stabquerschnitte A und der Verträglich-

keitsbedingung kann definiert werden:

σσσσ1

εεεε1

εεεε2

σσσσi

σy1

εεεεi

σσσσ2

σy1

σy1 i = 1, 2

Abbildung19: Darstellungsvereinfachung der Materialgesetze


σ σ0 0 2 2, ,Stab1 Stab

F

A= = .

inneres Gleichgewicht (nur über Sekundärspannung):

gleiche Gründe liefern hier:

σ σ σ σt Stab1 t Stab t Stab1 t Stab, , , ,;+ = =2 20 .

Aus Kombination beider Gleichgewichte kann geschrieben werden:

σ σ σStab1 Stab1 t Stab1= +0, ,

σ σ σStab Stab t Stab2 0 2 2= +, , .

Für die graphische Lösung bedeutet dies:

Die Sekundärspannungsbeträge bewegen sich in entgegen-

gesetzte Spannungsrichtungen um die Primärspannungen.

Beim Darstellen der aus der Temperatur resultierenden Sekundärspannung ist darauf zu

achten, dass beim Auftragen der thermischen Dehnung der Werkstoff zunächst zwäng-

ungsfrei ist und danach die strukturellen Verträglichkeitsbedingungen wiederhergestellt

werden (siehe Abbildung 20).

σσσσ

εεεε

−σy


1 und 3 2

1 2

3

Temperatur ts εth = αt•ts

Zeitpunkte: 1 Ausgangszustand ohne Temperatur 2 Temperatur aufgetragen und kinematische Randbedingung (Verträglichkeit) gelöst 3 kin. Randbedingung wiederhergestellt

Abbildung 20: Beispiel für die graphische Darstellung der Spannungsentwicklung bei dehnungs-

gesteuerten Belastungen


Hiermit sind alle Kriterien für die graphische Lösung geklärt. Abbildung 21 zeigt einen

Ansatz für den Gebrauch dieser Bedingungen.

Um das Phänomen Ratcheting anhand einer graphischen Lösung zu erklären, werden

beispielhaft folgende Parameter gesetzt:

E

Eundt

y

t

y

1 0

1 1

0 1 0 8 1 0= = =, , , ,σ

σ

σ

σ

Damit ergibt sich für:

• den Verfestigungsmodul Et1 = 20000 [N/mm²]

• die Primärspannung σ0 = 160 [N/mm²]

• und die th. Dehnung aus der Sekundärspannung εth = 0,2 %

Abbildung 22 zeigt eine vollständige Hysteresenentwicklung unter den oben festge-

setzten Parametervariablen und dem anliegenden Belastungsfall Ab. Es ist zu erkennen,

dass die Stäbe 1 und 2 von Zyklus zu Zyklus fortwährend immer kleiner werdende plas-

tische Zugdehnungszuwächse erfahren (akkumulierte plastische Dehnungen). Die stän-

dig verschobenen Spannungs-Dehnungs-Hysteresen beider Stäbe bewegen sich sozusa-

gen in Richtung einer Endhysterese.

εεεεi

σσσσi

σy1

thermische Dehnung

Stab 1 (Zeit: ½)

Stab 2 (Zeit: ½)

Stab 1

Stab 2

σ0, Stab1 u. 2

σt, Stab2

σt, Stab1

inneres Gleichgewicht

Verträglichkeit

Werkstoffgesetz

Werkstoffgesetz

Stab 1, 2 (Zeit: 0)

äußeres Gleichgewicht

i = 1, 2

Abbildung 21: Ansatz der Bedingungen für die graphische Lösung


Das Materialverhalten in dieser Endhysterese ist nur noch rein elastischer Art. Man

nennt diesen Vorgang auch „elastisches Einspielen“. Bei anderen Beanspruchungspara-

metern ist auch ein „plastisches Einspielen“, oder auch rein elastisches Verhalten mög-

lich. Das plastische Einspielen zeichnet sich durch elastisch-plastisches Verhalten in der

Endhysterese aus. Bei rein elastischem Verhalten widerfahren den Stäben zu kei-nem

Zeitpunkt plastische Dehnungen. Mit den bisher gewonnenen Ergebnissen kann das

Phänomen Ratcheting im Allgemeinen wie folgt erklärt werden:

Es ist ein Vorgang, der unter nicht linearem Materialverhalten durch

zyklische Beanspruchungen zu örtlichen plastischen Dehnungszuwächsen in

Strukturen führt.

Unter der Berücksichtigung des Sonderfalls des linear elastisch-ideal plastischen Werk-

stoffverhaltens muß unterschieden werden in [1]:

• infinites Ratcheting bei Et = 0:

Die Beträge der plastischen Dehnungszuwächse sind über die Zyklen

gleich groß. Die Dehnungen würden nach unendlich vielen Zyklen

theoretisch unendlich hoch sein. Der Ansatz des linear elastisch-ideal

plastischen Werkstoffverhaltens lässt daher nur eine begrenzte Anzahl

εεεεi [[[[%]]]]

σσσσi [[[[N/mm²]]]]

0,1 0,5 0,4 0,3 0,2

200

160 εεεεth = 0,2 %

Stab 1 (Zeit: 1)

Stab 1 (Zeit: 1 ½) Stab 1 (Zeit: ½)

Stab 2 (Zeit: 2)

Stab 2 (Zeit: 1)

Stab 1 (Zeit: 2)

Stab 2 (Zeit: 1 ½)

Stab 2 (Zeit: ½)

Stab 1 (Zeit: n ½) Stab 2 (Zeit: n)

Stab 2 (Zeit: n ½) Stab 1 (Zeit: n)

Stab 1

Stab 2

Stab 1, 2 (Zeit: 0)

n = Zyklenzahl

εεεεel.-pl.

= 0,35%

Abbildung 22: Hysteresenentwicklung bis zum elastischen Einspielen


von Beanspruchungszyklen zu, da sonst die Duktilitätsgrenze des

Materials überschritten wird.

• finites Ratcheting bei 0 < Et < E:

Die Beträge der plastischen Dehnungszuwächse werden immer kleiner.

Die Anzahl der Zyklen bis zum Einspielen kann entweder unendlich mit

unendlich kleinen Dehnungszuwächsen oder endlich sein. Sie wird wei-

terhin beeinflußt durch den Wert der Verfestigungsmoduln. Im

Allgemeinen gilt: Je kleiner der Wert der Verfestigungsmoduln, desto

höher die zum Einspielen erforderliche Zyklenzahl.

3.7. Nummerische Lösungsansätze über die Finite-Element-Methode

und FEM-Programm ANSYS

3.7.1. Was ist die Finite-Element-Methode?

Eine vollständige Erklärung kann hier auf Grund des Umfangs der Methode nicht

gegeben werden. Dennoch soll in diesem Abschnitt ein kurzer Umriss für die Grundidee

und deren Ansatz dargelegt werden.

Die Finite-Element-Methode beruft sich auf eines der bedeutendsten Ereignisse in der

Wissenschaft des 20. Jahrhunderts, der Entdeckung der „Mathematik der Komplexität“

[8]. Eine entscheidende Rolle bei der neuen Beherrschung der Komplexität spielt die

Entwicklung leistungsfähiger Computer. Mit ihrer Hilfe sind die Mathematiker bereits

in der Lage, komplexe Gleichungen zu lösen, die sich bislang einer Lösung entzogen

haben, und die Lösungen als Kurven in einem Diagramm zu zeichnen. Auf diese Weise

kann man neue qualitative Verhaltensmuster komplexer Systeme entdecken, eine neue

Ebene der Ordnung, die dem scheinbaren Chaos zu Grunde liegt.

Die Grundlage für die Finite-Element-Methode gaben unabhängig voneinander die

beiden Mathematiker und Naturphilosophen Newton und Leibnitz durch ihre erfundene

Infinitesimalrechnung und des damit verbundenen Differentials. Gleichungen mit Diffe-

rentialen nennt man Differentialgleichungen, die bei der rechnerischen Simulation der

Finite-Element-Methode zur Anwendung kommen. Sie beschreiben an einem diffe-

rentiell kleinen Teil das Verhalten einer Struktur. Die Ansatzfunktion, für die die

Differentialgleichung aufgestellt wird, ist in unserem Fall eines Festigkeitsproblems


charakteristisch für die Verschiebungen in zuvor mathematisch abgegrenzten Bereichen

(Diskretisierung) einer Struktur. Primäres Ziel der Finite-Element-Methode ist nun, die

strukturumfassende Verschiebungsfunktionen mit noch unbekannten Verschiebungsko-

effizienten vorzuwählen und diese Koeffizienten näherungsweise zu bestimmen (siehe

Abbildung 23 [9]). Dies geschieht mit Hilfe eines nummerischen bzw. exakten

Lösungsverfahrens. Exakt bedeutet hier: Im Sinne der aufgestellten Theorie, die die

Wirklichkeit annähernd interpretiert. Dieses Lösungsverfahren überführt das Diffe-

rentialgleichungsproblem direkt in ein algebraisches Gleichungssystem mit den oben er-

wähnten unbekannten Koeffizienten. Dies geschieht nach dem Prinzip vom Minimum

der potentiellen Energie. Nach dem Auflösen des Gleichungssystems und dem Bestim-

men der Koeffizienten werden die gesuchten Verschiebungen an den Stützstellen der

diskretisierten Struktur exakt festgelegt. Durch Ableitung dieser Verschiebungsfunk-

tion nach den Koordinaten können für jede Stelle in der Struktur die Dehnungen und

Spannungen berechnet werden [9].

exakte Verschiebungsfunktion

Diskretisierung,Aufteilungin Elemente

Unbekannte Stützwerte an den Knoten

bereichsweiseAnsatzfunktion

Abbildung 23: Annäherung der Verschiebungsfunktion durch bereichsweise Ansatzfunktionen


3.7.2. Das FEM-Programm ANSYS

Das Computerprogramm ANSYS ist ein kommerziell angebotenes FEM-Allzweckpro-

gramm. Es ist gefächert in spezielle Anwendungsfelder, wie der klassischen Strukturan-

alysen sowie der Gebiete der Temperaturanalysen, der Magnetostatik und der elekt-

rischen Feldberechnungen. Das Programm ANSYS erfüllt die strengen Forderungen des

Kraftwerkbaus und wurde als erstes FEM-Programm nach ISO 9001 zertifiziert [10].

Die Nutzung dieses Programms für das bisher dargestellte Thema beschränkt sich auf

das Gebiet der nichtlinearen Strukturanalysen. Auf die Handhabung [11] des Pro-

gramms ANSYS soll jedoch nicht näher eingegangen werden. Die Ergebnisse aus den

ANSYS-Berechnungen werden in Diagrammform dargestellt und bieten eine günstige

Auswertung hinsichtlich des Strukturverhaltens des Zwei-Stab-Systems. Aus Über-

sichtsgründen werden in den nachstehenden FE-Analysen nur die aussagekräftigsten

Diagrammdarstellungen präsentiert.

Ein Halte-Problem, welches hier diskutiert werden muss, ergibt sich aus Abschnitt 3.6.

(graphische Ermittlung). Dort heißt es für finites Ratcheting: Die Anzahl der Zyklen

kann entweder unendlich mit unendlich kleinen Dehnungzuwächsen oder endlich sein.

Ein Computer einschließlich Software kann grundsätzlich das Problem, ob eine Maschi-

ne wie er selbst nach einem bestimmten Input anhält und ein Ergebnis erreicht oder in

einer unendlichen Schleife weiterarbeitet, nicht lösen [12]. Daher muss hier ein

Abbruchkriterium geschaffen werden. Dieses Abbruchkriterium mit der Variable

ABRKRIT kommt mit Hilfe der ANSYS-Parametersprache innerhalb einer zyklischen

Beanspruchungsschleife wie folgt zum Einsatz:

*IF,ABS(UY1-UY1ALT)/H,LT,ABRKRIT,EXIT. (ABRKRIT=9e-8)

Das bedeutet: Ist der aktuelle Dehnungszuwachs des Stabes 1 (ABS(UY1-UY1ALT)/H)

kleiner (LT) als das Abbruchkriterium (ABRKRIT), dann beende die zyklische Bean-

spruchungsschleife (EXIT). Der Ratchetingvorgang wird bei einem Dehnungszuwachs

pro Zyklus von kleiner als 9e-6 % gestoppt. Um so kleiner dieser Wert ist, um so ge-

nauer sind die aus den Verschiebungen berechneten Ergebnisse.

Um die Eingabezeiten für die Beanspruchungsparameter zu reduzieren, wurde die

Variation dieser Parameter vollständig automatisiert. Dies konnte realisiert werden

durch die Einführung einer äußeren Primärspannungsschleife und einer intern ablau-

fenden Sekundärspannungsschleife, in der die eigentliche Ratcheting-Beanspruchungs-


schleife eingebettet ist. Im Anhang dieser Arbeit ist ein vollständiges ANSYS-Eingabe-

protokoll dargestellt, welches den Präzedenzfall „konstante Primärspannung-zyklische

Sekundärspannung“ mit einem festgesetzten Verfestigungsparameter in systematischer

Kombination der Beanspruchungsparameter beinhaltet. Dieses Eingabeprotokoll stellt

die Grundlage für die weiteren Belastungsfälle dar. Die dort eingeführten Verände-

rungen beziehen sich größtenteils auf die Berechnungsschleife der zyklischen Belas-

tung.

3.8. Auswertungsstrategien für die nummerische Lösung

Um das Strukturverhalten des Zwei-Stab-Systems unter verschiedenen Beanspruchungs-

fällen zu studieren, ist es notwendig, einfache Auswertungsstrategien zu entwickeln.

Eine bewährte Methode stellt die Abfrage der zur elastischen Dehngrenze εy normierten

elastisch-plastischen Dehnung εel.-pl. des Stabes 2 oder der Zyklenzahl nach dem

Einspielen und Vollendung eines Zyklus dar [1]. Das Maß der normierten elastisch-

plastischen Dehnung εel.-pl./εy hängt von den Beanspruchungsparametern und den

Verfestigungsparametern ab. Wenn die Verfestigungsparameter konstant gesetzt wer-

den, kann die elastisch-plastische Dehnung als Fläche in einem dreidimensionalen

Diagramm in Abhängigkeit der Beanspruchungsparameter dargestellt werden. Wie sich

später herausstellen wird, lassen sich je nach Beanspruchungskombination und Verfes-

tigungseigenschaften unterschiedliche Arten des Strukturverhaltens des Zwei-Stab-Sys-

tems identifizieren. Die Projektion der so abgegrenzten Strukturverhalten auf die

Grundfläche des dreidimensionalen Diagramms ergibt das gesuchte Ratcheting-Inter-

aktionsdiagramm. Abbildung 24 zeigt diese Darstellungsvarianten, in der die normierte

elastisch-plastische Dehnung, die in Abschnitt 3.6. graphisch ermittelt wurde, einge-

tragen ist. Die Abfrage nach der Dehnung des Stabes 2 bietet sich im Zwei-Stab-System

an, weil hier im Gegensatz zu Stab 1 unabhängig von den Zyklen keine thermischen

Dehnungen auftreten.


Um die bereits schon erwähnten Verhaltensbereiche der Struktur zu erfassen, bedarf es

umfassender Parameterstudien. Dies ist mit einem hohen rechnerischen Aufwand ver-

bunden und kann mit dem in Abschnitt 3.7.2. vorgestellten FEM-Computerprogramm

gelöst werden.

3.9. Lastfallstudien nach der Finite-Element-Methode

Für die in Abschnitt 3.4. vorgestellten Belastungsfälle werden hier die folgenden Er-

gebnisse der Ratchetingberechnungen am Zwei-Stab-System vorgestellt:

• Ratcheting-Interaktionsdiagramme

• maximale normierte elastisch-plastische Dehnungen im eingespielten Zu-

stand in Abhängigkeit der Parameter

• Anzahl der Zyklen bei Erreichen des Einspielzustandes

• Normierung der Ergebnisse der Lastfälle zu den Ergebnissen des Präzedenz-

falls

ε

εStabel pl

y

2. .−

σ

σt

y

ε

εStabel pl

y

2. .−

σ

σt

y

σ

σt

y

σ

σ0

y

σ

σ0

y

3,5

3,5

1,0

1,0 0,80,8

Bereich eines

bestimmten

Strukturverhaltens

1,0

Projektion

Abbildung 24: Darstellung der elastisch-plastischen Dehnung des Stabes 2 und des Strukturver-

haltensbereichs über den Belastungsparameter der Sekundärspannung und in

den Interaktionsdiagrammen der Belastungen.


3.9.1. Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung

Wie schon in Abschnitt 3.4. vorgestellt, handelt es sich hier um den Ratcheting-

Präzedenzfall. Der bisher untersuchte Fall Ab berücksichtigte jedoch nur den Ansatz

eines bilinearen Werkstoffmodells [1]. In den hier vorliegenden FE-Analysen soll dieser

Lastfall erweitert werden. In der ersten Erweiterung soll der Ansatz einer Vordehnung

im Stab 1 und der Ansatz des bilinearen Werkstoffmodells unter dem Fall Ab,Vord. be-

trachtet werden. Die zweite Erweiterung, der Fall At, enthält eine Untersuchung, in der

das trilineare Werkstoffmodell jedoch ohne Vordehnung angesetzt wurde. Im Anfang

wird der Fall Ab aufgeführt und soll als Ausgang und zum Vergleich der Ergebnisse zu

den anderen Fällen stehen.

3.9.1.1. Fall Ab: bilineares Werkstoffverhalten

Abbildung 25 zeigt nochmals den Präzedenzbelastungsfall

Abbildung 26 zeigt die erreichten el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 nach dem Einspielen

des Systems. In Abbildung 27 sind die dafür benötigten Zyklen für das in Abschnitt

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

σσσσ


t


tt

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus

Abbildung 25: Beanspruchung für Fall Ab und Fall At


3.7.2. erwähnte Abbruchkriterium dargestellt. Variiert wurde über die Belastungs-

parameter, wobei der Verfestigungsparameter konstant blieb.

0,0

1,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,01,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

Abbildung 26: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 über dem Interaktionsdiagramm im Fall Ab

0,0

1,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,01,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Abbildung 27: benötigte Zyklen zum Erreichen der Dehnungen der Abbildung 26

ε

ε

Stab

el pl

y

2

. .−

σ

σ

t

y1

σ

σ

0

1y

S3

S2

E S1

P

E

E

t10 1= ,

n

S3

S2

σ

σ

0

1y

E S1

P

E

E

t10 1= ,

σ

σ

t

y1


Aus dem in Abbildung 26 dargestellten Dehnungsverhalten lässt sich das Ratcheting-

Interaktionsdiagramm ableiten (Abbildung 28). Weiterhin ist bekannt, dass der Ver-

festigungsmodul Einfluss auf die Bereiche des elastischen Einspielens hat [1]. Die

Zyklenzahlen der Abbildung 27 geben Aufschluss über die eigentlichen Ratcheting-

Bereiche S3 und P. Sie stellen die einzigen Bereiche, in denen nach Abschluss des ersten

Beanspruchungszyklus immer noch plastische Dehnungszuwächse auftreten.

Das Strukturverhalten in den Bereichen kann wie folgt charakterisiert werden:

elastisches Einspielen:

• Bereich S1: Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische

Druckdehnung und verhält sich danach nur noch elas-

tisch.

Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zug-

dehnung und verhält sich danach nur noch elastisch.

Nach dem 1. Halbzyklus treten für beide Stäbe keine

Dehnungszuwächse mehr auf.

σ

σt

y1

σ

σ

0

1y

1,0E

E

t1

S2

S3

S

E

P

S1

1,0

2,0

E

S

P

rein elastischer Bereich

elastisches Einspielen

plastisches Einspielen

VP

VP verschieblicher Punkt:

• verschiebt sich auf der Grenze

zwischen S und P

• wird durch Et1/E beeinflusst

und verändert Si-Bereiche

Abbildung 28: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für Fall Ab


• Bereich S2: Stab 1 bleibt immer elastisch.


dehnung.

Nach dem 1. Halbzyklus verhält sich die Gesamtstruktur

elastisch und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.

• Bereich S3: Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus und Stab 2 in

jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnung.

Eine erneute plastische Dehnung bringt zur vorherge-

henden plastischen Dehnung eines Stabes einen soge-

nannten Dehnungszuwachs mit sich. Dieser wird von

mal zu mal kleiner und geht nach unendlich vielen

Zyklen gegen Null. Nach dem Einspielen bleibt nur noch

elastisches Verhalten übrig (siehe graphische Lösung

Abbildung 22).

Der Bereich S3 stellt somit den Bereich finites Ratche-

ting mit der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.

plastisches Einspielen:

Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische Zugdehnung. In

den ungeraden Halbzyklen herrscht anfänglich elastisches Verhalten.

Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnung. In

den geraden Halbzyklen zeigt sich anfänglich elastisches Verhalten.

Die dabei auftretenden immer kleiner werdenden Dehnungszuwächse

pro Zyklus führen das übrig gebliebene elastische Materialverhalten der

beiden Stäbe über ihre elastische Grenze (Streckgrenze). Ist dies erreicht,

erhalten beide Stäbe nur noch plastische Dehnungen abwechselnd im

Zug- und im Druckbereich, wobei keine Dehnungszuwächse mehr

auftreten. Es gibt also endliche viele immer kleiner werdende Deh-

nungzuwächse.

Der Bereich P ist damit der Bereich des finiten Ratcheting mit der

Eigenschaft des „plastischen Einspielens“.


3.9.1.2. Fall Ab,Vord.: bilineares Werkstoffverhalten mit Vordehnung

Dieser Lastfall umfasst den bisher bekannten Fall Ab zuzüglich einer im Stab 1 ange-

setzten Vordehnung ε0,Stab1. Ähnlich wie bei der Sekundärspannung baut sich infolge der

Vordehnung in der Struktur des Zwei-Stab-Systems ein inneres Gleichgewicht auf.

Diese Gleichgewichtsbedingung ist wie folgt definiert:

σ σ σ σε ε ε ε0 0 0 02 20, , , ,;Stab1 Stab Stab1 Stab+ = =

Die Vordehnung erzeugt in den beiden Stäben entgegen gerichtete Spannungen. Zur

Übersichtlichkeit kann sie daher auch als Spannung im Belastungshistogramm des

Falles Ab dargestellt werden (siehe Abbildung 29).

Für den weiteren Umgang in diesem Lastfall wird die Vordehnung als hinzukommender

Belastungsparameter betrachtet. Sie kann aus Gründen der vereinfachten Behandlung

zur elastischen Dehngrenze normiert werden und bewege sich innerhalb der folgenden

Grenzen:

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

σσσσ


t


tt

σσσσ

σ0

σ t

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus

σ ε0

Spannung aus Vordehnung

Abbildung 29: Belastungshistogramm für Fall Ab, Vord.


( )ε

ε0 0 1 4, ... ,Stab1

y

= .

Abbildung 30 zeigt die Entwicklung der aus nummerischen Analysen mit ANSYS ge-

wonnenen Interaktionsdiagramme der Belastungen bei steigender Vordehnung.

In dieser Entwicklung der Interaktionsdiagramme ist zu erkennen, dass die Grenze zwi-

schen dem elastischen Einspielen und dem plastischen Einspielen durch die Vordeh-

nung nicht beeinflusst wird. Mit weiterer Steigerung der Vordehnung werden in Reihen-

folge die Bereiche E, S3 und S2 aus dem Interaktionsdiagramm der Belastungen

verdrängt. Für die Entwicklung des Interaktionsdiagrammes einer beliebigen Vordeh-

nung im Stab 1 kann die nachstehende Konstruktionsanleitung nützlich sein:

σ

σt

y1

2,0

1,0

1,0 σ

σ0

1y

0

0

σ

σt

y1

2,0

1,0

1,0 σ

σ0

1y

0

0

σ

σt

y1

2,0

1,0

1,0 σ

σ0

1y

0

0

σ

σt

y1

2,0

1,0

1,0 σ

σ0

1y

0

0

σ

σt

y1

2,0

1,0

1,0 σ

σ0

1y

0

0

ε

ε0 1 4y

= ,ε

ε0 0y

=ε

ε0 0 2y

= ,ε

ε0 0 6y

= ,ε

ε0 1 0y

= ,

P PPPP

S SSSS

E

E

E

S3S3 S3 S3 S3

S2S2 S2 S2 S2

S1S1 S1 S1 S1

VP VPVPVPVP

E

Et

y

1 01+

ε

εVP verschieblicher Punkt:

• verschiebt sich auf derGrenze zwischen S und P

• wird durch Et1/E und ε0/εybeeinflusst

• verändert die Si-BereicheP

S

E rein elastischer Bereich



Abbildung 30: Entwicklung der Interaktionsdiagramme bei steigender Vordehnung


• Zeichnen des Interaktionsdiagrammes des Falles Ab mit Si-Bereichen, die über den Parameter Et/E konstruiert werden können.

• Berechnung des Verschiebungswertes a, der über die Wahl einer beliebigen

Vordehnung wie folgt berechnet werden kann: ay

y

=+

ε ε

ε ε0

01

• Verschieben der Grenz-Primärspannung um den Betrag von a entgegen der positiven Primärspannungsrichtung im Maßstab des Ausgangs-Interaktions-diagrammes.

• Verschieben der Primärspannungsachse um den doppelten Betrag von a in Richtung der positiven Sekundärspannung ebenfalls im Maßstab des Aus-gangs-Interaktionsdiagrammes.

• Die Struktur-Verhaltensbereiche des Ausgangs-Interaktionsdiagrammes gel-ten weiterhin für das neu eingegrenzte Vordehnungs-Interaktionsdiagramm.

• Einführung eines neuen Maßstabes, wobei die Bereichsgrenze zwischen dem S- und P-Bereich unverrückbar bleibt.

Abbildung 31 zeigt die graphische Konstruktionsanleitung zur Entwicklung des Ratche-

ting-Interaktionsdiagrammes unter Berücksichtigung einer Vordehnung im Stab 1:

0

0 1,0

1,0

2,0

1,0

1,0

σσσσ

σσσσ0

1y

σσσσ

σσσσt

y1

σ

σ0

1y

P

E

S

S3

S2

S1

VP1

VP2

a

2a

E

Et1

E

S

P




VP1 verschieblicher Punkt 1:• verschiebt sich auf der Grenze

zwischen S und P• wird durch Et1/E beeinflusst und ver-

ändert die Si-Bereiche

VP2 verschieblicher Punkt 2:• verschiebt sich auf der Diagonalen im S-Bereich• wird duch a = f(ε0/εy) beeinflusst (a wird im Maßstab des Interaktions-

diagramms des Falles Ab eingetragen)

ay

y

====++++

εεεε εεεε

εεεε εεεε0

01

Abbildung 31: Entwicklung des Ratcheting-Interaktionsdiagrammes mit Vordehnung im Stab 1


Das Strukturverhalten des Zwei-Stab-Systems in den Bereichen E, S und P im Lastfall

Ab,Vord., gleicht dem Strukturverhalten in diesen Bereichen des Falles Ab (siehe Ab-

schnitt 3.9.1.1.).

Die nachstehenden Diagramme geben einen Überblick über die Entwicklung der

elastisch-plastischen Dehnungen und der benötigten Zyklenzahl bis zum Einspielen bei

steigender Vordehnung. Dabei wurden der Verfestigungsparameter und der Bean-

spruchungsparameter der Primärspannung festgesetzt. Weiterhin sind die entstandenen

Ergebnisse zum Lastfall Ab normiert worden. In Abbildung 32 ist zu erkennen, dass sich

die Dehnungen im Bereich des plastischen Einspielens ausgehend von den Dehnungen

des Lastfalles Ab (ε0/εy=0) proportional zur steigenden Vordehnung erhöhen. Da sich die

Bereiche unterhalb der Grenze des plastischen Einspielens verändern, sind auf den

ersten Blick keine Proportionalitäten in diesen Bereichen hinsichtlich der Dehnungs-

entwicklung auszumachen. Die Normierungen der elastisch-plastischen Dehnung zu der

des Falles Ab geben weitere Zusammenhänge für die durch die Vordehnung verscho-

benen Bereiche. Abbildung 33 zeigt die Normierungen der durch die Vordehnung be-

einflussten Dehnungen zum Fall Ab. In Abbildung 34 sind die bei dem in Abschnitt

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

epsv/epsy=0,0

epsv/epsy=0,2

epsv/epsy=0,6

epsv/epsy=1,0

epsv/epsy=1,4

Abbildung 32: elastisch-plastische Dehnungen im Stab 2 für verschiedene Vordehnungen im Stab1

im eingespielten Zustand am Zyklusende

ε

εStabel pl

y

2. .−

σ

σt

y1

ε0 / εy = 0,0 ε0 / εy = 0,2 ε0 / εy = 0,6 ε0 / εy = 1,0 ε0 / εy = 1,4

Bereich P Bereiche E und Si

E

Et

y

1 0

1

0 1 0 5= =, ; ,σ

σ


3.7.2. gewählten Abruchkriterium benötigten Zyklenzahlen zur Erreichung der Deh-

nungen der Abbildung 32 dargestellt. Abbildung 35 gibt Auskunft über die Entwicklung

der Zyklenzahlen bei unterschiedlicher Vordehnung in Bezug zum Fall Ab.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

epsv/epsy=0,0

epsv/epsy=0,2

epsv/epsy=0,6

epsv/epsy=1,0

epsv/epsy=1,4

Abbildung 33: Normierungen der Dehnungsentwicklung unterschiedlicher εεεε0 zum Fall Ab

0

5

10

15

20

25

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

epsv/epsy=0,0

epsv/epsy=0,2

epsv/epsy=0,6

epsv/epsy=1,0

epsv/epsy=1,4

Abbildung 34: benötigte Zyklenzahlen bis zum Einspielen bei unterschiedlicher Vordehnung

σ

σt

y1



ε

ε

ε

ε

ε

ε

St

el pl

St

el pl

y

y

. ,

. .

. ,

. .

2

2 0

0

0

−

=

−

n

E

Et

y

1 0

1

0 1 0 5= =, ; ,σ

σ


Maximum bei: σ

σ

σ

σt

y y

= −1 0

1

?


E

Et

y

1 0

1

0 1 0 5= =, ; ,σ

σ

Bereich S3: erhöhte Zyklenzahl

σ

σt

y1


Wie schon aus Fall Ab bekannt, ist zu erkennen, dass sich ein Maximum an benötigten

Zyklenzahlen zum Erreichen des Einspielzustandes im Bereich S3 einstellt. Aus Ab-

bildung 35 ist zu entnehmen, dass sich die Zyklenzahlen bei steigender Vordehnung im

Stab 1 in Bezug zum Fall Ab nicht erhöhen.

Die vorliegenden Untersuchungen zu der Dehnungs- und Zyklenentwicklung bei unter-

schiedlicher Vordehnung im Stab 1 wurden anhand einer feststehenden Parameter-

kombination von Primärspannung und Verfestigung durchgeführt. Die Erkenntnisse aus

dieser stichprobenartigen Untersuchung durch die Bereiche E, Si und P, können auf

Grund gleichartigen Strukturverhaltens in diesen Bereichen auch für andere Pri-

märspannungen und Verfestigungen gelten und auch für den hier untersuchten Bereich

S1 da in diesem Bereich das selbe Dehnungsgesetz wie im Bereich P gilt.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

epsv/epsy=0,0

epsv/epsy=0,2

epsv/epsy=0,6

epsv/epsy=1,0

epsv/epsy=1,4

Abbildung 35: Normierung der benötigten Zyklenzahlen zum Fall Ab


σ

σt

y1

n

ny

y

ε

ε

ε

ε

0

0 0=

Bereich P verschobene Bereiche E und Si

E

Et

y

1 0

1

0 1 0 5= =, ; ,σ

σ

Nicht normierbarer Bereich, da Division durch Null


3.9.1.3. Fall At: trilineares Werkstoffverhalten

Wie schon in Abschnitt 3.3. dargestellt, soll nun ein wirklichkeitsnäheres Werkstoff-

modell den Untersuchungen zu Struktur-Ratcheting unterworfen werden. Das trilineare

Werkstoffmodell beinhaltet das bisher untersuchte bilinear kinematische Werkstoff-

verhalten. Zunächst soll die Gültigkeitsgrenze des bilinearen Werkstoffmodells im

Ratcheting-Interaktionsdiagramm für unterschiedliche Parameter der zweiten Fließgren-

ze gesucht werden. Die nachstehende Untersuchung beschäftigt sich daher mit der An-

näherung der zweiten Streckgrenze an die Elastizitätsgrenze. Abbildung 36 zeigt durch

nummerische Untersuchungen mit ANSYS gewonnene Ratcheting-Interaktionsdia-

gramme bei einer solchen Annäherung, wobei der Größenfaktor der 2. Fließgrenze zur

1. Fließgrenze sukzessiv verkleinert und innerhalb dieser Variation über die Beanspru-

chungsparameter interagiert wurde. Zur Überschaubarkeit wurden die Verfestigungs-

parameter mit unrealistischen Größen besetzt. Dies bringt nur Konsequenzen für die

Dehnungen und die bis zum Einspielen erforderlichen Zyklenzahlen mit sich, ist aber

für das Studium des Srukturverhaltens unter trilinearen Werkstoffverhalten vorteilhaft.

Folgende Materialparameter werden untersucht:

( )σ

σy

y

und2

1

2 4 18 1 4 1 2 1 0= , , , , , , , ,

E

Eundt1 0 4= ,

E

Eda E Et

t t2

2 10 21

2= =, , (siehe Abschnitt 3.5.)

Die Belastungsparameter werden wie bisher unter Berücksichtigung einer konstanten

Primärspannung und einer zyklischen Sekundärspannung in ihren abgesteckten Grenzen

variiert. In Abbildung 36 ist zu erkennen, wie sich die Grenze zwischen dem bilinear

kinematischen Werkstoffverhalten und dem Bereich des trilinearen Einflusses bei klei-

ner werdendem Abstand der Streckgrenzen in Richtung des verfestigungsunabhängigen

Elastizitätsbereiches vorschiebt. Aus der in Abbildung 36 durchgeführten Untersuchung

lässt sich das in Abbildung 37 dargestellte Ratcheting-Interaktions-diagramm für

trilineares Werkstoffverhalten im Zwei-Stab-System entwickeln. Dieses Interaktions-

diagramm beinhaltet alle Strukturverhaltensbereiche die für das trilineare Werkstoff-

verhalten in diesem System möglich sind.


σσ

t

y1

2,0

1,0

1,0 σσ0

1y

0

0

σσ

t

y1

2,0

1,0

1,0 σσ0

1y

0

0

σσ

t

y1

2,0

1,0

1,0 σσ0

1y

0

0

σσ

t

y1

2,0

1,0

1,0 σσ0

1y

0

0

σσ

t

y1

2,0

1,0

1,0 σσ0

1y

0

0

Pb

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

3,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

3,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

3,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

3,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

3,0

σ

σy

y

2

1

2 4= ,σ

σy

y

2

1

1 0= ,σ

σy

y

2

1

1 2= ,σ

σy

y

2

1

1 4= ,σ

σy

y

2

1

18= ,

E

E

E

Et t2 1 E

E

E

Et t2 1 E

Et2E

E

E

Et t2 1E

E

E

Et t2 1

2

12

1

2

+

−

E

E

y

y

t

σ

σ

2

12

1

2

+

−

E

E

y

y

t

σ

σ

2

12

1

2

+

−

E

E

y

y

t

σ

σ

2

12

1

2

+

−

E

E

y

y

t

σ

σ

2

2

E

E t

2

2

E

E t

2

2

E

E t

2

2

E

E t

2

2

E

E t

Pb

E EEEE

Sb

Sb

SbSb

( )σ

σy

y

und2

1

2 4 18 1 4 1 2 0 0= , , , , , , , ,

E

Eundt1 0 4= ,

E

Et 2 0 2= ,

variable Materialparameter: Zeichenerklärung:

E

Grenze zwischen bilinearem Werkstoff-verhalten und dem Gebiet des trilinearenEinflusses

rein elastischer Bereich (unabhängig)

plastisches Einspielen des bil. WV

elastisches Einspielen des bil. WV

verschiebliche Punkte

Pb

Sb

Sb

Abbildung 36: Bereiche unterschiedlichen Strukturverhaltens bei Annährung der zweiten

Streckgrenze an die Elastizitätsgrenze im trilinearen Werkstoffverhalten


3,0

2,0

1,0

1,00

0

σσσσσσσσ0

1y

σσσσσσσσt

y1

E

Et2 E

Et1

σσ

σ

σt

y

y

y

t

E

E1

2

1

2

2

1

= +

−

E

Pt

St

Sb

Sbt3

Sb2

St2

Sb3

Sb1

St1 Sbt1 St3

Pt2

Pt1

Pt4

Grenze zw. bilinearemWerkstoffverhalten und

dem Gebiet destrilinearen Einflusses

Übergangsbereiche

Pt3

Abbildung 37: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für trilineares Werkstoffverhalten


Die in Abbildung 37 bezeichneten Bereiche können wie folgt charakterisiert werden:

Strukturverhalten des Systems im rein bilinearen Bereich:

Die Strukturverhalten der Bereiche Sb1, Sb2, Sb3 und Pb (sofern vorhanden) sind

identisch mit den in Abschnitt 3.9.1.1. (Fall Ab) vorgestellten Bereichen S1, S2,

S3 und P.

Strukturverhalten des Systems im trilinearen Einflussbereich:

elastisches Einspielen in den Übergangsbereichen:

(In den Übergangsbereichen erhält ein Stab keine plastischen Dehnungen im

Verfestigungsbereich 2)

• Bereich Sbt1:

Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Druckdehnung

im Verfestigungsbereich 1 und verhält sich danach nur noch

elastisch.

Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zugdehnung

im Verfestigungsbereich 2 und verhält sich danach nur noch

elastisch.

Nach dem 1. Halbzyklus treten für beide Stäbe keine Deh-

nungszuwächse mehr auf.

• Bereich Sbt3:

Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische

Zugdehnungen im Verfestigungsbereich 1

Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische

Zugdehnungen im Verfestigungsbereich 2

Die akkumulierten plastischen Zugdehnungen werden von

mal zu mal kleiner und gehen nach unendlich vielen Zyklen

gegen Null. Nach dem Einspielen bleibt nur noch elastisches

Verhalten übrig. Der Bereich Sbt3 stellt somit einen der finiten

Ratcheting-Bereiche mit der Eigenschaft des „elastischen

Einspielens“.

• Zwischen den Bereichen Sb2 und St2 gibt es keinen Übergangsbereich

elastische Einspielbereiche, wenn sich beide Stäbe im Verfestigungsbereich 2

befinden:


• Bereich St1:

gleiches Strukturverhalten wie in Bereich Sbt1 mit dem Unter-

schied, dass Stab 1 im 1. Halbzyklus einmalig plastische Druck-

dehnung im Verfestigungsbereich 2 erhält.

• Bereich St2:

Stab 1 bleibt immer elastisch.

Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zugdehnung.

Nach dem 1. Halbzyklus verhält sich die Gesamtstruktur elas-

tisch und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.

• Bereich St3:

Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus und Stab 2 in jedem

ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnungen im Verfesti-

gungsbereich 2.

Hinsichtlich der akkumulierten plastischen Zugdehnungen gilt

das gleiche wie im Bereich Sbt3.

Der Bereich St3 ist somit ein weiterer finiter Ratchetingbereich

mit der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.


• Bereich P1:

Im 1. Halbzyklus erhalten Stab 1 plastische Druckdehnung und

Stab 2 plastische Zugdehnung einmalig im Verfestigungs-

bereich 2

In den weiteren Halbzyklen erhalten beide Stäbe nur noch

plastische Dehnungen im Verfestigungsbereich 1 abwechselnd

im Zug- und im Druckbereich.

Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „plastisch eingespielt“

und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.

• Bereich P2:

Beide Stäbe erhalten abwechselnd im Zug- und Druckbereich

plastische Dehnungen im Verfestigungsbereich 1, wobei der


Stab 2 im 1. Halbzyklus einmalig im Verfestigungsbereich 2

des Zugbereiches plastiziert.

Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „plastisch eingespielt“

und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.

• Bereich P3:

Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische Zugdeh-

nung im Verfestigungsbereich 2. In den ungeraden Halbzyklen

herrscht anfänglich elastisches Verhalten.

Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische

Zugdehnung im Verfestigungsbereich 2. In den geraden Halb-

zyklen zeigt sich gleichfalls anfänglich elastisches Verhalten.

Die dabei auftretenden immer kleiner werdenden Dehnungszu-

wächse führen das übriggebliebene elastische Materialverhalten

über ihre elastische Grenze. Ist dies erreicht, erhalten Stab 1 in

den ungeraden Halbzyklen und Stab 2 in den geraden Halbzyklen

plastische Druckdehnungen im Verfestigungsbereich 1. Das

System ist „plastisch eingespielt“, wenn nur noch plastische

Dehnungen abwechselnd im Zug- und Druckbereich des Ver-

festigungsbereiches 1 auftreten. Der Bereich P3 ist damit ein

Bereich des finiten Ratcheting mit der Eigenschaft des „plas-

tischen Einspielens“.

• Bereich P4:

In der eingespielten Hysterese erhalten beide Stäbe plastische

Dehnungen abwechselnd im Zug- und Druckbereich des Ver-

festigungsbereiches 2.

Im 1. Halbzyklus kann der Stab 1 im 1. oder 2. Verfes-

tigungsbereich im Druckbereich plastizieren oder elastisches

Verhalten aufweisen.

Im 2. Halbzyklus kann der Stab 2 im 1. oder 2. Verfesti-

gungsbereich im Druckbereich plastizieren. Das System ist nach

dem 1. oder 3. Halbzyklus „plastisch eingespielt“.


Abbildung 38 und 39 zeigen die el.-pl. Dehnungen im eingespielten Zustand und die

erforderlichen Zyklenzahlen für eine gewählte Material-Parameterkombination.

0,01,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,0 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

Abbildung 38: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 über dem Interaktionsdiagramm im Fall At

0,01,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,0 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Abbildung 39: benötigte Zyklen zum Erreichen der Dehnungen der Abbildung 38

εεStabel pl

y

2. .−

σσt

y1

σσ0

1y

Knick

E

E

E

Et t y

y

1 2 2

1

0 2 0 1 18= = =, , , , ,σ

σ

σσt

y1

σσ0

1y

E

E

E

Et t y

y

1 2 2

1

0 2 0 1 18= = =, , , , ,σ

σ

n

E

E

Sb2

Sb2

Sb3

Sb3

Sbt3

Sbt3

St3

St3

Pt3

Pt4

Pt3

Pt1

Pt2

Pt2

Pb

Pb

Sb1

Sb1

Pt1

Pt4


Die folgenden Diagrammdarstellungen dienen einem tieferen Studium des trilinearen

Materialverhaltens am Zwei-Stab-System. Für die dargestellten Ergebnisse in Abbil-

dung 40 wurden die Materialparameter mit unrealistischen Größen besetzt. Hierbei sind

die Dehnungsverläufe über die Sekundärspannung in den abgegrenzten Struktur-

verhaltensbereichen klar zu erkennen. Der Bereich St1 wurde bei diesen Parameter-

kombinationen nicht erfaßt.

Die Diagrammdarstellungen Abbildung 41 und 42 entsprechen einem etwas realis-

tischeren Materialverhalten. Dargestellt sind die elastisch-plastischen Dehnungen im

eingespielten Zustand und die dafür benötigten Zyklen. Der Vergleich des bilinearen

und des trilinearen Materialverhaltens wird unter der folgenden Bedingung vollzogen:

E Et bilinear t trilinear1 2, ,= .

Dabei ist zu erkennen, dass beim bilinearen Materialverhalten an jeder Stelle im

Interaktionsdiagramm die größten Dehnungen auftreten. Hinsichtlich der zum Ein-

spielen benötigten Zyklen tritt speziell der Bereich Pt3 des trilinearen Materialverhaltens

mit höheren Zyklenzahlen hervor.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Abbildung 40: Dehnungsverläufe in den Strukturverhaltensbereichen im Fall At

σ σ0 1 0 1y = ,

σ σ0 1 0 2y = , σ σ0 1 0 3y = ,

σ σ0 1 0 4y = ,

σ σ0 1 0 5y = , σ σ0 1 0 6y = ,

σ σ0 1 0 7y = ,

σ σ0 1 0 8y = ,

σ σ0 1 0 9y = ,

σ σ0 1 1 0y = ,

E Sbt1

Sbt3

Sb2 Sb1

St3

Sb3 Pt2

Pt3

Pt1

Pt4

St2

Grenze zwischen bilinearem und trilinearem

Werkstoffverhalten

εεStabel pl

y

2. .−

σσt

y1

E

E

E

Et t y

y

1 2 2

1

0 4 0 2 1 4= = =, , , , ,σσ

E

E

E

Et t y

y

1 2 2

1

0 4 0 2 1 4= = =, , , , ,σσ

Bereich St1 liegt genau im gekenn-zeichneten Punkt. Die Dehnungen im Bereich St1 verlaufen konstant.


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Abbildung 41: el.-pl. Dehnungen für trilineares Materialverhalten im Zwei-Stab-System

0

5

10

15

20

25

30

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

S0/SY1=0,1

S0/SY1=0,2

S0/SY1=0,3

S0/SY1=0,4

S0/SY1=0,5

S0/SY1=0,6

S0/SY1=0,7

S0/SY1=0,8

S0/SY1=0,9

S0/SY1=1,0

Abbildung 42: zum Einspielen benötigte Zyklen bei el.-pl. Dehnungen der Abbildung 41

Grenze zwischen bilinearem und trilinearem

Werkstoffverhalten

E

E

E

Et t y

y

1 2 2

1

0 2 0 1 1 2= = =, , , , ,σ

σ

εεStabel pl

y

2. .−

σσt

y1

σ σ0 1 0 1y = , σ σ0 1 0 2y = ,

σ σ0 1 0 3y = ,

σ σ0 1 0 4y = ,

σ σ0 1 0 5y = ,

σ σ0 1 0 6y = ,

σ σ0 1 0 7y = ,

σ σ0 1 0 8y = ,

σ σ0 1 0 9y = ,

σ σ0 1 1 0y = ,

P S

E

σ σσ σσ σσ σσ σσ σσ σσ σσ σσ σ

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 10

0 20

0 30

0 40

0 50

0 60

0 70

0 80

0 90

1 00

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

σσt

y1

E

E

E

Et t y

y

1 2 2

1

0 2 0 1 1 2= = =, , , , ,σ

σ

n

S

P E

Pt4


3.9.2. Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung

Im Gegensatz zum Fall A werden in dem hier behandelten Fall B die Belastungseigen-

schaften vertauscht. Abbildung 43 zeigt noch einmal den am Zwei-Stab-System an-

liegenden Lastfall B. Die Untersuchung beschränkt sich in erster Linie auf die Prüfung

des Phänomens Ratcheting bei bilinearem Materialverhalten im Zwei-Stab-System.

Dazu wurde wie bisher der Verfestigungsparameter festgesetzt und über die Belastungs-

parameter variiert. Abbildung 44 zeigt die erreichten elastisch-plastischen Dehnungen

im eingespielten Zustand. Es wurde festgestellt, dass bei keiner Belastungskombination

akkumulierte plastische Dehnungen auftreten. Das System ist immer nach Abschluss des

1. Halbzyklus elastisch eingespielt:

Der Lastfall B erzeugt im Zwei-Stab-System kein Struktur-Ratcheting

Aus der Projektion der abgegrenzten Dehnungsverhalten in Abbildung 44 konnte das in

Abbildung 45 dargestellte Interaktionsdiagramm abgeleitet werden.

0 14

1

2

3

4 1 1 1

4 1

1

2 1

3

4 2 2 1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n 1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

0 14

1

2

3

4 1 1 1

4 1

1

2 1

3

4 2 2 1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n 1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

σσσσ


t

konstante Sekundärspannung

t t

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus

Abbildung 43: Belastungshistogramm im Lastfall B


Das Strukturverhalten, kann in den unterschiedlichen Bereichen des Ratcheting-Inter-

aktionsdiagrammes wie folgt charakterisiert werden:

0,0

1,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

13,0

Abbildung 44: elastisch-plastische Dehnungen im eingespielten Zustand im Lastfall B

σσ

t

y1

σσ

0

1y

1,0

2

1

S

E

1,0

2,0

E

S



Abbildung 45: Interaktionsdiagramm für Fall B

εεStab

el pl

y

2

. .−

σσ

0

1y

σσ

t

y1

E

E

t10 1= ,



• Bereich 1: Beide Stäbe werden durch das Auftragen der konstanten

Sekundärspannung nicht plastiziert.

Stab 1 bleibt in den folgenden Zyklen immer elastisch.


dehnung.

Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „elastisch einge-

spielt“.

• Bereich 2: Durch Auftragen der konstanten Sekundärspannung wird

Stab 1 im Druckbereich und Stab 2 im Zugbereich

plastiziert.

Stab 1 bleibt in den folgenden Zyklen immer elastisch.

Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus letztmalig plastische Zug-

dehnung.

Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „elastisch einge-

spielt“.

Im Sonderfall linear elastisch-ideal plastisches Werkstoffverhalten (Et1 = 0) wurde ein

indifferentes Gleichgewicht nach Auftragen der Sekundärspannung im Bereich 2 festge-

stellt. Das heißt: Bei Verschiebung der Verträglichkeitsbedingung werden die Energie-

verhältnisse im System nicht verändert [3]. In Abbildung 46 ist das indifferente Gleich-

gewicht graphisch erklärt.

σσσσ

−−−− σσσσ

−−−− εεεε εεεε

indifferente Verträglichkeitsbedingung

thermische Dehnung

Abbildung 46: indifferentes Gleichgewicht im Bereich 2 bei Sonderfall Et1 = 0


Die elastisch-plastischen Dehnungen nach Abschluss des 1. Vollzyklus können in Ab-

hängigkeit der Parameter wie folgt berechnet werden:

rein elastischer Bereich:

Bedingung: σ σ σ0 1+ ≤t y

εεεεσσσσ

Stabel pl t

E2

. .−−−− ====

Bereiche des „elastischen Einspielens“:

• Bereich 1:

Bedingung: σ σ σ σ σ0 1 1+ > ≤t y t yund

(((( ))))

εεεεσσσσ σσσσ εεεε σσσσ

εεεεStab

el pl t y

t

y

E

E E E2

0

1

02

. .−−−− ====⋅⋅⋅⋅ ++++ −−−− ⋅⋅⋅⋅

++++−−−− ++++

• Bereich 2:

Bedingung: σ σt y> 1

εεεεσσσσ σσσσ σσσσ

Stabel pl

t

t

E E E2

0

1

02. .−−−− ====⋅⋅⋅⋅++++

++++−−−−

3.9.3. Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung

In dem hier dargestellten Lastfall wird das Phänomen Ratcheting hinsichtlich rein

zyklischer Belastungen untersucht. Das Auftreten rein zyklischer Belastungen spielt

neben den bisher untersuchten Fällen für die Praxis eine wesentliche Rolle. Das zeit-

liche Verschieben der periodisch ablaufenden Spannungszustände einer Belastungsart

(z.B. Sekundärspannung) führt zu unterschiedlichen Lastfällen innerhalb des Falles C.

Die Verschiebung des zeitlichen Auftretens der Belastungen nennt man Phasenver-

schiebung. In den nachstehenden FE-Analysen sind vier prägnante Fälle vorgestellt, die

sich in diesen Phasenverschiebungen unterscheiden.


3.9.3.1. Fall C1: Primär- und Sekundärspannung sind phasengleich

„Primärspannung und Sekundärspannung sind phasengleich“ bedeutet hier, dass die

Phasenverschiebung gleich Null ist. Die Abbildung 47 zeigt das gleichzeitige Wirken

der Spannungsspitzen der Belastungen im Belastungshistogramm. In Abbildung 48 sind

die elastisch-plastischen Dehnungen im eingespielten Zustand bei festgesetzten

Verfestigungsparameter und der gewohnten Variation über die Belastungen dargestellt.

Im Vergleich zum Fall A, erreichen die el.-pl. Dehnungen des ersichtlichen Plateau’s in

Abbildung 48 maximal 10% der el.-pl. Dehnungen des Falles A (Abbildung 26). Es ist

festzustellen, dass in keinem Punkt des Interaktionsdiagrammes die erreichten Deh-

nungen des Falles C1 die Dehnungen des Falles A bei gleichen Verfestigungs- und

Belastungsparametern überschreiten. Hinsichtlich des Enstehens akkumulierter plas-

tischer Dehnungen konnte folgende Feststellung gemacht werden:

Der Lastfall C1 erzeugt im Zwei-Stab-System kein Struktur-Ratcheting.

0

1

4

1

2

3

4 1 1

1

4 11

2 1

3

4 2 2

1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n

1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

0

1

4

1

2

3

4 1 1

1

4 11

2 1

3

4 2 2

1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n

1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

σσσσ


t


tt

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus Phasenverschiebung = 0

Abbildung 47: Belastungshistogramm für Lastfall C1


Abbildung 49 zeigt das aus der Projektion des 3-D-Diagramms Abbildung 48 abgelei-

tete Interaktionsdiagramm.

Für die in Abbildung 48 entdeckten Bereiche konnten die folgenden Strukturverhalten

ausgemacht werden:


Die Bereiche S1 und S2 sind bezüglich des Strukturverhaltens identisch

den Bereichen S1 und S2 des Falles Ab.

elastisch-plastisches Einspielen:

• Bereich SP1: Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische

Druckdehnung und verhält sich danach nur noch

elastisch.

Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus plastische Zugdehnung

und anschließend plastische Dehnungen abwechselnd

im Zug- und Druckbereich.

Besonderheit: Nach dem 1. Halbzyklus ist der Stab 1 elastisch

eingespielt und Stab 2 plastisch eingespielt.

0,0

1,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,01,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

Abbildung 48: elastisch-plastische Dehnungen im eingespielten Zustand im Lastfall C1

ε

ε

Stab

el pl

y

2

. .−

σ

σ0

1y

σ

σt

y1

E

E

t10 1= ,

SP2

SP1

S2

P

S1

E


3,0

2,0

1,0

1,00

0

σσσσ

σσσσ0

1y

σσσσ

σσσσt

y1

E

E

t1

E

S1

11,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

12,0σ

σt

y t

E

E1 1

2= +

σσ

t

y t

E

E1 1

1= +

P

S2

S

SP

SP2

SP1

Abbildung 49: Interaktionsdiagramm für Fall C1 am Zwei-Stab-System


• Bereich SP2: Stab 1 bleibt immer elastisch.

Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus plastische Zugdehnung

und erhält anschließend plastische Dehnungen ab-

wechselnd im Zug- und Druckbereich.

Besonderheit: Nach dem 1. Halbzyklus ist der Stab 1 elastisch

eingespielt und Stab 2 plastisch eingespielt.

plastisches Einspielen: (Bereich P)

Stab 1 und Stab 2 erhalten in jedem Halbzyklus abwechselnd im

Zug- und Druckbereich plastische Dehnungen. Die Struktur ist

nach dem 1. Halbzyklus plastisch eingespielt.

Die elastisch-plastischen Dehnungen nach Abschluß des 1. Vollzyklus können in

Abhängigkeit der Parameter wie folgt berechnet werden:

rein elastischer Bereich:

Bedingung: σ σ σ0 1+ ≤t y

εεεεStabel pl

2 0. .−−−− ====

Bereiche des „elastischen Einspielens“:

• Bereich S1:

Bedingung: σ σ σ0 11+ − ≤t y

( )σ σ σt y

t t

E

E

E

E+ − ⋅ − >1 0

1 1

1

εεεεσσσσ σσσσ

Stab

el pl t

t t

tE E

E E E E2

1

1

0

1

. .−−−− ====−−−−++++

⋅⋅⋅⋅ ++++

• Bereich S2:

Bedingung: σ σ σ0 1+ >t y

σ σ σ0 11+ − ≤t y


( )σ σ σt y

t t

E

E

E

E+ − ⋅ − ≤1 0

1 1

1


εεεεStab

el pl t

t

ty

E E

E E E2

1

1

0. .−−−− ====−−−−++++

⋅⋅⋅⋅++++

−−−−

Bereiche des „elastisch-plastischen Einspielens“:

• Bereich SP1:

Bedingung: σ σ σ0 11+ − >t y

( )σ σ σt y

t t

E

E

E

E+ − ⋅ − >1 0

1 1

1

( )σ σ σt y

t t

E

E

E

E+ − ⋅ − ≤1 0

1 1

2


εεεεStab

el pl t

t t

ty

E E

E E E E2

1

1

0

1

2. .−−−− ====

−−−−++++

⋅⋅⋅⋅ −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅

• Bereich SP2:

Bedingung: σ σ σ0 11+ − >t y

( )σ σ σt y

t t

E

E

E

E+ − ⋅ − ≤1 0

1 1

1

εεεε εεεεStabel pl t

t

y

E E

E E2

1

1

. .−−−− ====−−−−++++

⋅⋅⋅⋅

Bereich des „plastischen Einspielens“:

Bedingung: ( )σ σ σt y

t t

E

E

E

E+ − ⋅ − >1 0

1 1

2

εεεεStabel pl

2 0. .−−−− ====


3.9.3.2. Fall C2: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben

Die Phasenverschiebung der Sekundärspannung um ¼ Zyklus macht das nachstehende

Belastungshistogramm deutlich (Abbildung 50). Abbildung 51 zeigt die elastisch-plas-

tischen Dehnungen im eingespielten Zustand bei festgesetzem Materialparameter und

der üblichen Variation über die Belastungsparameter. Die Abbildung 52 gibt Aufschluss

über die zum Einspielen benötigten Zyklen. Hierbei ist zu erkennen, dass in den

Bereichen SR, S3 und P1 hohe Zyklenzahlen zum Einspielen benötigt werden. In diesen

Bereichen entstehen plastische Dehnungsakkumulationen und sind damit Ratcheting-

bereiche. Der Fall C2 ist der erste Fall, der einen Ratchetingbereich (SR) mit der

Eigenschaft des elastischen Einspielens unterhalb des Verfestigungsparameters auf der

Primärspannungsachse eröffnet. Weiterhin ist zu erkennen, dass im Bereich S1A die el.-

pl. Dehnungswerte unabhängig von der Sekundärspannung sind (waagerechter Deh-

nungsverlauf über die Sekundärspannung). Aus den in Abbildung 51 dargestellten

Bereichsverläufen konnte das in Abbildung 53 dargestellte Ratchetig-Interaktions-

diagramm hergeleitet werden.

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

σσσσ


t


tt

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus Phasenverschiebung um ¼ Zyklus



0,01,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,0 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

Abbildung 51: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 im eingespielten Zustand im Fall C2

0,01,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,0 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Abbildung 52: benötigte Zyklen zum Erreichen der Dehnungen Abbildung 51

εεStabel pl

y

2. .−

σσ

t

y1

σσ

0

1y

E

Et1 0 1= , P2

P1

SR

S1A

S1B

S2

S3

E

n

σσ

0

1y

σσ

t

y1

E

Et1 0 1= , P2

SR S1A

S1B

E

S2

S3

P1


3,0

2,0

1,0

1,00

0

σσσσσσσσ

0

1y

σσσσσσσσ

t

y1

E

Et1 E

S1A

11,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

σσ

t

y

tfE

E1

1=

S2

P2

Werte bei gewähltem Et1/E:E

Et1 σ

σt

y1

0,05 20,100,10 10,180,20 5,330,30 3,80

S1B

S3

P1

SR

P

S

Abbildung 53: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für Fall C2


Das Strukturverhalten in den in Abbildung 53 dargestellten Bereichen kann wie folgt

charakterisiert werden:


• Bereich S1A: Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus und im 3. Viertelzyklus

einmalig plastische Druckdehnung und verhält sich

danach nur noch elastisch.

Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische

Zugdehnung und verhält sich danach nur noch elastisch.

Nach dem 3. Viertelzyklus ist die Struktur elastisch

eingespielt. Der Bereich S1A zeigt ähnliches Verhalten

wie im Bereich S1 vom Fall Ab.

• Bereich S1B: Gleiches Verhalten wie im Bereich S1A, jedoch erhält

Stab 1 nur im 3. Viertelzyklus einmalig plastische

Druckdehnung.

• Bereich S2: Gleiches Verhalten wie im Bereich S1 vom Fall Ab (siehe

Strukturverhalten Fall Ab).

• Bereich S3: Stab 1 erhält in jedem n ¼ -Zyklus (n = 1, 2, ...) und

Stab 2 in jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zug-

dehnung mit Dehnungsakkumulation. Das Einspielen

mit immer kleiner werdenden Dehnungszuwächsen

endet mit elastischem Verhalten. Der Bereich S3 stellt

somit einen Bereich des finiten Ratcheting mit der

Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.

• Bereich SR: Stab 1 erhält in jedem n ¾ -Zyklus (n = 0, 1, ...) plas-

tische Druckdehnung mit Dehnungsakkumulation.


dehnung. Danach erhält der Stab 1 am Ende eines jeden

Vollzyklus plastische Druckdehnung mit Dehnungs-

akkumulation.

Da beide Stäbe nur noch im Druckbereich plastiziert

werden, kommt es zum hier benannten „rückläufigen


Ratcheting“. Die dabei auftretenden Dehnungszu-

wächse im Druckbereich werden immer kleiner bis

die Struktur elastisch eingespielt ist. Der Bereich SR

stellt somit den 2. Bereich des finiten Ratcheting mit

der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.


• Bereich P1: Stab 1 erhält in jedem n ¼ -Zyklus (n = 1, 2, ...) plas-

tische Zugdehnung mit Dehnungsakkumulation. Zu

einem späteren Zeitpunkt erhält Stab 1 zusätzlich in

jedem n ¾ -Zyklus (n ∈ N, n > 1) plastische Druck-

dehnung mit Dehnungsakkumulation.

Stab 2 erhält abwechselnd in jedem Halbzyklus plas-

tische Dehnung im Zug- und Druckbereich mit Deh-

nungsakkumulation.

Die Struktur spielt sich plastisch mit immer kleiner

werdenden plastischen Dehnungszuwächsen ein.

Der Bereich P1 ist damit der Bereich des finiten Ratche-

ting mit der Eigenschaft des „plastischen Einspielens“.

• Bereich P2: Stab 1 bei jedem n ½ und n ¾ (n = 0, 1, ...) plastische

Druckdehnung und bei n und n ¼ (n = 1, 2, ...) plastische

Zugdehnung.

Stab 2 erhält in jedem Halbzyklus plastische Dehnungen

im Zug- bzw. Druckbereich.

Die Struktur ist nach dem 1. Halbzyklus „plastisch

eingespielt“.

Die in Abbildung 54 dargestellten elastisch-plastischen Dehnungen wurden für einen

Teilbereich des Interaktionsdiagrammes berechnet. In diesem Diagramm geht es haupt-

sächlich um die Dehnungsentwicklung über die Belastungen für den Bereich SR. Es ist

zu erkennen, dass die Dehnungswerte nicht von der Primärspannung abhängen.


Die Abbildung 55 zeigt eine Normierung der erreichten el.-pl. Dehnungen zum Fall Ab.

1,74

1,78

1,82

1,86

1,90

1,94

1,98

0,20

0,16

0,12

0,08

0,04

0,00

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Abbildung 54: el.-pl. Dehnungen im Bereich SR

0,01,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,0 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Abbildung 55: Normierung der erreichten el.-pl. Dehnungen zum Fall Ab

E

Et1 0 1= ,

σσ

t

y1

σσ

0

1y

P2

Maximum in S1A

Maximum in S1B

E

S2

S3

P1

Maximum zw. P1 u. S3 ε

εStab Cel pl

Stab Ael pl

b

2

2

2,. .

,. .

−

−

σσ

t

y1

σσ

0

1y

E

Et1 0 1= ,

P1

S2

S3

SR

S1A

S1B

εεStabel pl

y

2. .−

waagerechter Dehnungsverlauf über die

Primärspannung


Bei der Normierung der Dehnungen zum Fall Ab wurde in den Bereichen S1A und S1B

sowie auf der Grenze zwischen S3 und P1 ein Maximum festgestellt. Dieses Maximum

liegt immer unter 1,0. Damit überschreiten die el.-pl. Dehnungen des Lastfalles C2

niemals die el.-pl. Dehnungen des Falles Ab. Durch weitere Untersuchungen konnte eine

Dehnungsberechnung für diese Maximumstellen in Abhängigkeit des Falles Ab

aufgestellt werden, die wie folgt lautet:

ε εStab Cel pl t

tStab Ael plE E

E E b21

122,

. .,

. .− −=−+

⋅ (gilt nur für die Maximumstellen Abb. 53).

Bei der Normierung der benötigten Zyklenzahlen (Abbildung 56) wurde eine sehr hohe

Überschreitung der Zyklenzahlen im Bereich SR zum Fall Ab entdeckt. Ursache dafür ist

hier das erstmalige Auftauchen eines Ratchetingbereiches unterhalb des Parameter-

wertes der Verfestigung auf der Primärspannungsachse. Weitere Überschreitungen sind

im Bereich P1 zu finden.

Ergänzend zu den Dehnungen der Abbildung 51 und der Abbildung 54 wurden in den

zwei nachfolgenden Diagrammen die Dehnungsverläufe über die Sekundärspannung bei

0,01,0

2,03,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,0 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Abbildung 56: Normierung der benötigten Zyklen zum Fall Ab

E

Et1 0 1= ,

σσ

t

y1

σσ

0

1y

n

n

C

Ab

2

P2

P1

E

S2

S3

S1B

Maximum in SR

S1A


unterschiedlichen Primärspannungen in zweidimensionaler Darstellung zusammenge-

stellt.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

Abbildung 57: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 im eingespielten Zustand im Fall C2

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,74 1,78 1,82 1,86 1,90 1,94 1,98

Abbildung 58: el.-pl. Dehnungen für den in Abbildung 57 dargestellten Teilbereich

εεStabel pl

y

2. .−

σσ

t

y1

E

Et1 0 1= ,

σσ

t

y1

εεStabel pl

y

2. .−

E

Et1 0 1= ,

Teilbereich siehe Abbildung 58

σ σ0 1 0 1y = ,

σ σ0 1 0 2y = ,

σ σ0 1 0 3y = ,

σ σ0 1 0 4y = ,

σ σ0 1 0 5y = ,

σ σ0 1 0 6y = ,

σ σ0 1 0 7y = ,

σ σ0 1 0 8y = ,

σ σ0 1 0 9y = ,

σ σ0 1 1 0y = ,

σ σ0 1 0 02y = ,

σ σ0 1 0 04y = ,

σ σ0 1 0 06y = ,

σ σ0 1 0 08y = ,

σ σ0 1 0 10y = ,

σ σ0 1 0 12y = ,

σ σ0 1 0 14y = ,

σ σ0 1 0 16y = ,

σ σ0 1 0 18y = ,

σ σ0 1 0 20y = ,

P1

SR

S1A

S1B

S3

S2

S1A

P1

S3

S2

S1A und S1B

P2


3.9.3.3. Fall C3: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben

Der Lastfall C3 ist gekennzeichnet durch die beiden zyklischen Spannungen die gegen-

einander um einen halben Zyklus verschoben sind. Abbildung 59 zeigt den hier be-

handelten Lastfall.

Die erste Proberechnung, die nach üblicher Vorgehensweise bezüglich der ANSYS-

Programmierung durchgeführt wurde, ergab nach Abschluss des 1. Zyklus einschließ-

lich der Rücksetzung der Sekundärspannung für jede Stelle im Interaktionsdiagramm

keine bleibenden plastischen Dehnungen. Für einen normierten Sekundärspannungswert

bis 1,0 ist dieses Resultat unabhängig vom Wert der Primärspannung richtig. Steigt die

normierte Sekundärspannung über den Wert 1,0 kann man zumindest davon ausgehen,

dass durch das Superponieren der beiden momentan anliegenden Spannungen in der

Struktur innerhalb der Zyklen plastische Dehnungen auftreten. Eine genauere Unter-

suchung ergab, das die automatische Schrittweitensteuerung des Programms ANSYS

den Fall der beiden gegenläufig entwickelnden Spannungen nicht lösen kann. Bei der

Einführung benutzerdefinierter Schrittweiten konnte festgestellt werden, dass sich über

0 1

4

1

2

3

4 1 1

1

4 1

1

2 1

3

4 2 2

1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n

1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

0 1

4

1

2

3

4 1 1

1

4 1

1

2 1

3

4 2 2

1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n

1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

σσσσ


t


t t

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus Phasenverschiebung um ½ Zyklus



dem elastischen Bereich (normierte Sekundärspannung größer 1,0) akkumulierte

plastische Dehnungen auftreten. Weiterhin war festzustellen, dass bei Verfeinerung der

Schrittweiten die im Einspielzustand akkumulierten plastischen Dehnungen größer

werden. Die nachstehende Untersuchung behandelt daher die Verfeinerung der Schritt-

weiten mit dem Ziel, herauszufinden, ob sich die el.-pl. Dehnungen im eingespielten

Zustand mit steigender Verfeinerung auf einen Wert einpegeln. Die Abbildung 60 zeigt

die eingeführten Berechnungsschrittweiten im Belastungshistogramm. In der ANSYS-

Programmierung wurden für jede Schrittweite die Belastungen neu angesetzt und eine

Berechnung an der Struktur durchgeführt. Die feinste berechnete Teilung beträgt ein-

fünfhundertstel. Die Abbildungen 61 und 62 zeigen die Berechnungen mit unter-

schiedlichen Schrittweiten. Dabei wurde der Primärspannungs- und der Verfestigungs-

parameter konstant festgesetzt. In Abbildung 61 ist zu erkennen, dass sich die el.-pl.

Dehnungen im eingespielten Zustand bei Verfeinerung der Schrittweiten einem spe-

ziellen Dehnungsverlauf nähren. Bei einem normierten Sekundärspannungswert von 4,0

ist festzustellen, dass die el.-pl. Dehnung im Eingespielten Zustand gleich Null ist, dafür

aber einige Belastungszyklen gebraucht wurden. Hierbei wurde herausgefunden, dass

σσσσ t

σσσσ

σ0

σt

1 (bisher bewährte Schrittweite) 1 (bisher bewährte Schrittweite)

1

5

1

5

1

5 1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

i

1

i

1

i

1

i

1

i

1

i

1 Zyklus

t

i=(10-500) i=(10-500)

Abbildung 60: Berechnungsschrittweiten im Belastungshistogramm des Fall C3


zwar innerhalb der Berechnungsschleifen Dehnungsakkumulationen bis zum Ein-

spielzustand auftreten, aber durch das Zurücksetzen beider Spannungen nach der Be-

rechnungsschleife (siehe Abbildung 59, nach Zeitsprung) die Dehnungen in der Struktur

sich so einstellen, dass die Summe der elastischen und der plastischen Dehnungskom-

ponente im Stab 2 gleich Null ergibt.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

1 (keine Teilung)

einfünftel

einzehntel

einfünfzigstel

einhundertstel

einfünfhundertstel

Abbildung 61: Annäherung an die el.-pl. Dehnungen im Stab 2 im Fall C3

0

5

10

15

20

25

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

1 (keine Teilung)

einfünftel

einzehntel

einfünfzigstel

einhundertstel

einfünfhundertstel

Abbildung 62: Annäherung an benötigte Zyklen für die Dehnungen der Abbildung 61

εεStab

el pl

y

2

. .−

σσ

t

y1

σσ

t

y1

σσ

0

1

10 8 0 1y

tE

E= =, , ,

n

σσ

0

1

10 8 0 1y

tE

E= =, , ,


3.9.3.4. Fall C4: Primär- und Sekundärspannung alternieren

Das Alternieren der beiden Spannungen bedeutet, dass sich Primärspannung und die

Sekundärspannung innerhalb eines Zyklus einander ablösen. Die Abbildung 63 zeigt die

alternierenden Spannungen im Belastungshistogramm. Bei einem normierten Sekundär-

spannungswert über 1,0 kann das Strukturverhalten wie folgt beschrieben werden:

Nach dem 1. Halbzyklus der sich rein elastisch auf die Struktur auswirkt erhält

Stab 1 im 2. Halbzyklus plastische Druckdehnung und Stab 2 plastische Zug-

dehnung. Im 3. Halbzyklus erhält Stab 1 plastische Zugdehnung (oder bleibt

elastisch, primärspannungsabhängig) wobei Stab 2 elastisch bleibt. In den

weiteren Zyklen wiederholen sich die Vorgänge des 2. und 3. Halbzyklus ohne

dem Auftreten von Dehnungsakkumulationen.

Nach jedem abgeschlossenen Zyklus bleiben keine elastisch-plastischen Dehnungen in

der Struktur zurück. Ohne weitere Untersuchungen kann hier festgestellt werden:

Der Fall C4 erzeugt im Zwei-Stab-System kein Ratcheting und hinterlässt

nach Zyklusabschluss keine plastischen Verzerrungen.

0 1

4

1

2

3

4 1 1

1

4 1

1

2 1

3

4 2 2

1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n

1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

0 1

4

1

2

3

4 1 1

1

4 1

1

2 1

3

4 2 2

1

4 2

1

2 2

3

4 3 n n

1

4 n

1

2 n

3

4 n ++++ 1

σσσσ


t


t t

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus


H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“ 72

4. Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie auf das

Bree-Rohr

4.1. Das Bree-Modell

1966 untersuchte der Wissenschaftler J. Bree das Dehnungsverhalten eines dünn-

wandigen Rohres unter konstantem Innendruck und einer zyklischen Belastung als

Temperaturgradient über die Wanddicke des Rohres [13]. Grund dieser Untersuchung

gab zu dieser Zeit das aktuelle Ratchetingproblem an Rohrstrukturen bei der Her-

stellung von nuklearen Reaktoren (Kühlsysteme). Da Bree zu seiner Zeit nur die analy-

tische Vorgehensweise offen stand, ist es nicht verwunderlich, dass er grundsätzliche

Vereinfachungen einführen musste, um den Aufwand zu verringern. Er reduzierte das

Problem des konstant anliegenden Innendrucks darauf, dass dieser nur in Umfangs-

richtung des Rohres wirkte. Weiterhin vereinfachte er die Geometrie der Rohrstruktur,

indem er ein aus der Rohrwand herausgeschnittenes Teil als ein in Längsrichtung durch

den Innendruck beanspruchten Stab betrachtete, über den er quer den Temperatur-

gradient legte. Die Abbildung 64 zeigt Bree’s vereinfachtes Modell [13].

pi

Längsschnitt Querschnitt

σσσσ0

σσσσ0

σσσσt

Abbildung 64: vereinfachtes Modell von Bree


Als Materialverhalten nahm er den Sonderfall des bilinearen Werkstoffmodells (Et = 0)

an. Bree reduzierte durch diese Vereinfachungen das Problem auf einen einachsigen

Spannungszustand bei linear elastisch-ideal plastischem Werkstoffverhalten.

Der Ratchetingfall am Bree-Rohr wurde bis heute von weiteren Wissenschaftlern

akribisch untersucht und erweitert. Die hier vorliegende Untersuchung dient vor allen

Dingen der Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie auf eine diskrete Rohr-

struktur (FE-Modell) im mehrachsigen Spannungszustand unter monotoner Belastung.

Der grundlegende Unterschied zum Ansatz von Bree liegt in der Verwendung eines

verfestigenden Werkstoffes und der zusätzlichen Betrachtung des Innendrucks in

rohraxialer Richtung.

Bevor jedoch auf die Generierung des FE-Netzes eingegangen wird, sollen zunächst

einige Grundlagen zu mehrachsigen Spannungszuständen und zur vereinfachten Fließ-

zonentheorie dargestellt werden.

4.2. Werkstoffverhalten bei dreiachsigen Spannungszustand und

monotoner Belastung

Der hier vorgestellte Abschnitt basiert auf der Literatur [4], [11], [15] und [16].

An einem infinitesimal kleinen würfelförmigen Volumenelement der Kantenlänge di

(i=x, y, z), das durch sechs Schnitte aus einem allgemein beanspruchten Werkstoffteil

herausgetrennt wird, wirken Normalspannungen und Schubspannungen. Die allgemeine

Form des dreiachsigen Spannungszustandes ist in Abbildung 65 dargestellt.

σx

σz

σy

σxy

σzx

σyz

σyx

σzy

σxz

dx

dz

dy

Abbildung 65: allgemeine Form des dreiachsigen Spannungszustandes


Die Normalspannungen σi wirken senkrecht zu den Schnittflächen und werden durch

Indices gekennzeichnet, die den Achsenrichtungen ihrer Wirkungslinien entsprechen.

Die Schubspannungen σij wirken in der Ebene der Schnittflächen und werden durch

zwei Indizies gekennzeichnet, wobei der erste die Richtung der Flächennormalen und

der zweite die der Schubspannung selbst angibt. Identisch zum dreiachsigen Spannungs-

zustand wird der räumliche Verzerrungszustand hergeleitet. Mit diesen neun Span-

nungs- und Dehnungskomponenten lässt sich der Spannungszustand bzw. der räumliche

Verzerrungszustand in den folgenden Matrizen darstellen:

~~σσ σ σσ σ σσ σ σ

=

x xy xz

yx y yz

zx zy z

und ~~ε

ε γ γγ ε γγ γ ε

=

x xy xz

yx y yz

zx zy z

.

Dabei wird die Gleitung γ über die Schubdehnung εij definiert:

γ εij

def

ij= ⋅.

2 (i, j=x, y, z).

Durch den Ansatz dreier Gleichgewichtsbedingungen für räumliche Kräftegruppen

ergibt sich die paarweise Zuordnung der Schubspannungen und daraus abgeleitet die

Gleitungen bzw. Schubdehnungen:

σ σ γ γ ε εij ji ij ji ij ji= = ⇒ =; .

Die Spannungs- und Dehnungszustände können mit nur jeweils 6 Komponenten als

Vektoren formuliert werden:

~σ

σσσσσσ

=

x

y

z

xy

xz

yz

und ~ε

εεεγγγ

=

x

y

z

xy

xz

yz

.

Über die Elastizitätsmatrix lassen sich die Spannungs- und Dehnungskomponenten

miteinander verknüpfen. Man nennt diesen Zusammenhang auch das „Hooke’sche

Gesetz“.

Zeichenerklärung:

~σ ,~ε einstufige Matrix

(Spaltenvektor)

~~E zweistufige Matrix


~ ~~ ~.ε σel E= ⋅−1.

Diese Elastizitätsmatrix beinhaltet die Elastizitätsmoduln und Schubmoduln in Abhän-

gigkeit der Querdehnung in den einzelnen Richtungen. Sie lautet bei isotropem Werk-

stoff:

( )

( )( )

~~E

E− =

− −

− −

− −

+

+

+

1 1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 2 1 0 0

0 0 0 0 2 1 0

0 0 0 0 0 2 1

ν νν νν ν

νν

ν

.

Bei der Suche nach den extremalen Normalspannungen ist es im allgemeinen Fall

unumgänglich, die Schnittrichtungen des infinitesimalen Volumenelements zu ändern.

Sind die extremalen Normalspannungen, die auch Hauptspannungen genannt werden,

gefunden, verschwinden die Schubspannungen in den Schnittebenen. Die Abbildung 66

zeigt die Darstellung des Volumenelements mit Hauptspannungen.

σx

σz

σy

σxy

σzx

σyz

σyx

σzy

σxz

dx

dz

dy

⇒⇒⇒⇒

σσσσ3

σσσσ1σσσσ2

Abbildung 66: Transformation des allgem. Spannungszustandes in den Hauptspannungszustand


Die Hauptspannungen sowie auch die Dehnungen können aus ihren Komponenten der

folgenden kubischen Gleichungen ermittelt werden (i = 1, 2, 3):

det ,

σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

x i xy xz

xy y i yz

xz yz z i

−

−

−

= 0

det .

ε ε ε εε ε ε εε ε ε ε

x i xy xz

xy y i yz

xz yz z i

−

−

−

= 0

Sind die Hauptspannungen und Hauptdehnungen bekannt, kann die Vergleichsspannung

und Vergleichsdehnung, gebildet über die von Mises-Formel nach der Hypothese der

maximalen Gestaltänderungsenergie, berechnet werden:

( ) ( ) ( )[ ]σ σ σ σ σ σ σV = − + − + −1

21 2

22 3

23 1

2,

( ) ( ) ( )[ ]εν

ε ε ε ε ε εV = +⋅ − + − + −

1

1

1

2 1 22

2 32

3 12

.

Neben dieser Hypothese zur Ermittlung der Vergleichsspannung ist noch die Hypothese

der maximalen Schubspannung von Tresca geläufig.

Der isochore Vorgang des Plastizierens setzt ein, wenn die aus den Spannungskom-

ponenten ermittelte Vergleichsspannung die jungfräuliche Fließgrenze des Werkstoffes

überschreitet. Diese Fließbedingung kann wie folgt angesetzt werden:

σ σV y≥ .

Ist diese Bedingung erfüllte, erfolgt die weitere Beschreibung des Werkstoffverhaltens

mit Hilfe der klassischen Plastizitätstheorie. Hierbei werden kleine Verzerrungen und

die Additivität der Dehnungsarten vorrausgesetzt. Wie schon oben erwähnt, handelt es

sich beim Plastizieren um einen isochoren Vorgang, dass heißt: Für die plastischen Deh-

nungsanteile gilt Volumenkonstanz, was einer Querdehnungszahl νpl. = 0,5 entspricht.


Der plastische Vorgang ist unabhängig von dem in einem Spannungszustand vorhan-

denen hydrostatischen Spannungzustand, so dass der eigentliche plastische Vorgang

vom abweichenden Spannungszustand bezüglich des hydrostatischen Spannungszu-

standes beschrieben wird. Dieser abweichende Spannungszustand wird als Spannungs-

deviator σ′i bezeichnet und wird für die Hauptspannungen wie folgt definiert:

( )′ = − + + =σ σ σ σ σi i i1

31 2 31 2 3 ; , ,

Mit Kenntnis der deviatorischen Hauptspannungen und der Streckgrenze bei ein-

achsigem Spannungszustand kann mit Hilfe der Mises-Fließbedingung die noch jung-

fräuliche Fließfläche beschrieben werden:

( )σ σ σ σ σy V= = ′ + ′ + ′3

2 12

22

32

.

Unter Vorraussetzung kinematischer Verfestigung wird bei Spannungszuständen im

plastischen Bereich diese Fließfläche im Spannungsraum verschoben. Diese Verschie-

bung wird durch Translationstensor ξi ausgedrückt. Damit lautet die Fließfläche im ver-

schobenen Zustand über den deviatorischen Tensor der reduzierten Hauptspannung (σi-

ξi) wie folgt:

( ) ( ) ( )[ ]σ σ ξ σ ξ σ ξy = ′ − ′ + ′ − ′ + ′ − ′3

21 1

2

2 2

2

3 3

2.

Innerhalb dieser kreisförmigen Fließfläche im deviatorischen Spannungsraum ist nur

elastisches Materialverhalten möglich. Außerhalb der Fließfläche können keine Span-

nungszustände entstehen, da der sich bereits auf der Fließfläche befindliche und größer

werdende Spannungszustand die Fließfläche, wie schon erwähnt, lediglich verschiebt.

Unter Ansatz des bilinearen Werkstoffmodells können die folgenden Zusammenhänge

zwischen Vergleichsspannung und Vergleichsdehnung wie folgt definiert werden:

εσ

εσ σ

σ σVel V

Vpl V y

V yE Cwenn. ., ; ,= =

−≥

ε ε εVel pl

Vel

Vpl. . . .− = + .


4.3. Vereinfachte Fließzonentheorie nach der Zarka-Methode

4.3.1. Funktionsweise der Zarka-Methode

Die vereinfachte Fließzonentheorie nach der Berechnungsmethode des französischen

Wissenschaftlers Zarka ist ausführlich in der Literatur [4], [6] und [15] von Professor

Hübel in deutscher Sprache aufgearbeitet und erweitert worden. Auf Grund der theore-

tischen Tiefe der Methode wird hier nur ein kurzer Umriss zum Verständnis des

Prinzips der Methode im Fall monotoner Laststeigerung dargestellt. Grundlage der Me-

thode legt das bilineare Werkstoffmodell. Das Grundprinzip besteht in der Durchfüh-

rung rein elastizitätstheoretischer Berechnungen, die sich iterativ an das exakte Ergeb-

nis einer elastisch-plastischen Berechnung annähern. Dazu ist es notwendig, das elas-

tisch-plastische Problem in ein geeignet formuliertes elastisches Problem zu überführen,

so dass wie oben erwähnt diese modifizierten elastizitätstheoretischen Berechnungen

durchgeführt werden können. Dabei werden die Werkstoffparameter (nach Hooke’-

schem Gesetz) und die Belastungen (in Form von Anfangsdehnungen) modifiziert. Da

eine Struktur teilweise plastizieren kann, stellt sich hier die Frage, wo und wie die Mo-

difizierungen des Werkstoffes und der Belastungen in der Struktur angesetzt werden.

Hier setzt Zarka an den Anfang der Berechnungen eine fiktiv elastische Berechnung mit

den original elastischen Werkstoffparametern und Belastungen. Da diese fiktiv elas-

tische Berechnung keine Spannungsumlagerungen infolge plastizierter Bereiche berück-

sichtigt, dient sie lediglich als sehr grobe Startberechnung zur Einschätzung der plas-

tischen und elastischen Bereiche (Volumina). Die Einschätzung erfolgt über den Ver-

gleich der Vergleichsspannung zu der Streckgrenze des bilinearen Werkstoffgesetzes an

jeder Stelle der Struktur. Die Ungleichungen zur ersten groben Abschätzung der Volu-

mina lauten:

V wenn und V wenne Vf el

y p Vf el

yσ σ σ σ. . . .< ≥ .

Nach Kenntnis der beiden grob approximierten Teilvolumina werden nur in den plas-

tischen Volumina an jeder Stelle der Struktur die Werkstoffparameter wie folgt modi-

fiziert:

( )E E undE

Ett* * , ,= = − − ⋅110 5 0 5ν ν .


Die Belastungen werden gleichfalls an jeder Stelle im plastischen Volumen in Form von

Vordehnungen εi,0 durch die folgende Abschätzung von Zarka modifiziert:

εσ σ

σiif el

y

Vf elC,

,max. .

. .0

3

21=

⋅ ′

⋅⋅ −

.

Mit diesen Veränderungen in den plastischen Volumina wird die erste modifizierte elas-

tische Berechnung durchgeführt. Dabei ist darauf zu achten, dass die tatsächlichen Be-

lastungen durch die Vordehnung interpretiert sind und nicht mit angesetzt werden. Die

statischen und kinematischen Randbedingungen bleiben jedoch unverändert. Das

Ergebnis der modifizierten elastischen Berechnung ist die Restspannung ρi. Die

Komponenten dieser Restspannung werden zu den Komponenten der Spannung der

fiktiv elastischen Berechnung an jeder Stelle der Struktur addiert. Die aus diesen Sum-

men der Komponenten ermittelte Vergleichspannung kann durch eine hier eingeführte

zweite Voluminaprüfung zur Streckgrenze verglichen werden:

V wenn und V wenne V y p V yσ σ σ σ≤ > .

Ab der Einführung der zweiten Voluminaprüfung schließt sich der Iterationskreis und es

können so viele modifizierte elastische Berechnungen angeschlossen werden, bis von

einem Iterationschritt zum anderen keine Änderungen bezüglich der elastischen und

plastischen Volumina mehr auftreten.

Aus den Untersuchungen von Glede [1] ist bekannt, dass sich die Ergebnisse nach der

ersten modifizierten elastischen Berechnung schon stark den Ergebnissen einer exakten

Berechnung annähern. Bei weiteren Iterationen und der Anwendung der Zarka-Methode

auf eine diskontinuierliche Struktur (FE-Modell) stellte Glede fest, dass sich eine immer

kompliziertere fraktalgeometrische Fließzone einstellt, die nicht mehr realistisch ist.

4.3.2. Anwendung der Zarka-Methode auf eine diskretisierte Struktur

Die Zarka-Methode ist in ihrer ursprünglichen Konzeption für kontinuierliche Struk-

turen ausgelegt. Die Theorie der Methode geht von der Möglichkeit der Modifizierung

der Werkstoffparameter und der Belastung an jeder Stelle der Struktur aus. Da das FE-

Netz eine diskretisierte Struktur besitzt, können die Werkstoffdaten nur elementweise


angegeben werden. Bezüglich der Vordehnungen, die über den Ansatz von Tempe-

raturen simuliert werden können, ist festzustellen, dass das Programm ANSYS hier nur

das Aufbringen an den Knoten zulässt. Die aufgetragenden Vordehnungen in den Kno-

ten stehen also nicht mit den elementweise konstanten Werkstoffdaten in Beziehung.

Ein weiteres Problem besteht in der skalaren Größe der Temperatur. Sie ist ungerichtet

und damit für die Definition der unterschiedlichen deviatorischen Vordehnungen im

isotropen Werkstoff und den ersten Blick ungeeignet. Die Veränderung der Temperatur-

ausdehnungskoeffizienten in die unterschiedlichen Richtungen ist die wahrscheinlich

einzige Möglichkeit, die Vordehnungen in die unterschiedlichen Richtungen wertbe-

zogen zu steuern. Die Temperaturausdehnungskoeffizienten lassen sich über das Ver-

hältnis der über das Element gemittelten deviatorischen Hauptspannungen zueinander

wie folgt ausdrücken [17]:

α α ασσ

σσx y z

f el

f el

f el

f el: : : :. .

. .

. .

. .=′′

′′

1 2

1

3

1

.

Da die Hauptspannungen im Fall des Bree-Rohrs in Richtung der Temperaturausdeh-

nungskoeffizienten orientiert sind, ist die weitere Betrachtung einer Verdrehung eines

zuvor definierten Elementkoordinatensystems hier nicht notwendig.

4.4. Simulation der Rohrstruktur mittels des ANSYS-Elementtyps

Plane 42

Das Programm ANSYS bietet vielfältige Elementtypen zur Lösung spezifischer

Probleme an. Da in dem hier betrachteten rotationssymmetrischen Fall bei Vernach-

lässigung von Endeffekten (z.B. Biegung an den Rohrenden infolge Behinderung der

Aufweitung durch die Endscheiben) an jedem Wandteilstück des Rohres im Querschnitt

die gleichen Ergebnisse zu erwarten sind, ist es nicht unbedingt notwendig, die Struktur

über die angebotenen Rohr-Elementtypen zu simulieren. Der Elementtyp Plane 42, ein

ebenes 4-Knoten-Viereck-Element, ist mit der Option einer rotationssymmetrischen

Definition für die Untersuchung des Bree-Falles völlig ausreichend und in Bezug auf die


Anwendung der Zarka-Methode auf ein FE-Netz fast problemlos programmierbar (siehe

Abschnitt 4.3.2.). Bei der Definition der rotationssymmetrischen Struktur über das Plane

42 muss beachtet werden, dass die X-Achse die radiale Achse, die Y-Achse die axiale

Achse und die Z-Richtung die Umfangsrichtung bilden. Weiterhin ist zu be-achten, dass

die komplette Struktur in den positiven X-Quadranten modelliert wird [11]. Da das

Problem des Bree-Falls von einer dünnwandigen Rohrgeometrie ausgeht, muss das

Verhältnis von Rohrwanddicke zum mittleren Rohrdurchmesser sehr klein sein. Die

Abbildung 67 zeigt den aus dem Rohr herausgeschnittenen und für die Be-rechnungen

betrachteten Strukturteil.

Wie in Abbildung 67 zu erkennen, wurden über die Rohrwanddicke 200 Elemente ge-

legt. Diese sehr feine Einteilung soll bei der Anwendung der Zarka-Methode zu ge-

nauen Ergebnissen führen. Durch die in der oberen Knotenreihe (K202-K402) einge-

führte Knotenkopplung wird erreicht, dass diese Knoten in Y-Richtung alle die gleiche

Verschiebung erfahren, wodurch die Stützwirkung benachbarter Querschnitte simuliert

wird, so dass in Y-Richtung eine einzige Elementreihe genügt. Weiterhin macht es die

Knotenkopplung leichter, den in axialer Richtung wirkenden Innendruck gleich über die

E1 E2 E200E199E101E100K1 K2 K3

K401K400K303K302K301K204K203K202

K201K200K199K102K101K100

K402

10pi

Knotenkopplung in axialer RichtungBewegungsfreiheitder Gesamtstruktur

Nax

∆Τ10 10/E

tR=2000Ri

Dm

x (radial)

y (axial)

pi

QuerschnittLängsschnittum 90° gedreht

Ri

tR

Dm

Ri Rohrradius, innenDm Durchmesser,

Mitte RohrwandtR Rohrwanddicke

Dünnwandigkeit:

t

DeR

m

= −1 4

Abbildung 67: Bree-Rohr-Simulation über die Finite-Element-Methode


Elemente zu verteilen. Der radial wirkende Innendruck wird als Oberflächenlast an der

definierten vierten Seite des Elements 1 angesetzt. Um die Ausdehnung des Rohres in

Umfangsrichtung und damit auch in radialer Richtung freizugeben, wurden die Frei-

heitsgrade der unteren Knotenreihe (K1-K201) nur in axialer Richtung gesperrt.

4.5. Belastungsberechnungen für die Eingabe der Belastungsparame-

ter

Wie schon am Zwei-Stab-System werden auch hier fiktiv elastisch berechnete Belas-

tungsparameter zum Auftragen der Belastungen verwendet. Da der Innendruck über den

Abschluss an den Stirnseiten des Rohres in Längsrichtung und in Umfangsrichtung der

Rohrwandung wirkt, muss der Parameter für die Innendruckbelastung über die Mises-

Vergleichsspannung berechnet werden. Die Wirkung des Innendrucks kann in die be-

trachteten Richtungen wie folgt berechnet und untereinander in Abhängigkeit gebracht

werden:

Umfangsrichtung über Kesselformel: σUi m

R

p D

t=

⋅⋅2

.

Längsrichtung über Rohrabschluss: σLi m

R

p D

t=

⋅⋅4

.

Abhängigkeit der Spannungskomponenten:

σ σL U=1

2.

Mises-Vergleichsspannung für den zweiachsigen Spannungszustand:

σ σ σ σ σV U U U U= −

+ +

1

2

1

2

1

2

22

2

.

Für die Vergleichsspannung kann hier der Belastungsparameter für die Primär-

spannung eingeführt werden:


σ σ σ0

3

2= =V U .

Für das ANSYS-Eingabeprotokoll ergibt sich:

• Oberflächenlast Seite 4 Element 1 (für Wirkung in Umfangsrichtung):

pt

DiR

m

=⋅ ⋅

⋅4

30σ (siehe Eingabeprotokolle im Anhang Kap. 7)

⇒ pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3)

• Knotenlast K202 über Knotenkopplung verteilt (Längsrichtung):

ND t

axm R=

⋅ ⋅ ⋅Π σ0

3 (siehe Eingabeprotokolle).

⇒ Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3)

Für die Berechnung des Temperaturabfalls ∆T gilt gleichfalls der Ansatz über die

Mises-Vergleichsspannung. Da die Temperatur ungerichtet wirkt, gilt an jeder Stelle x:

( )ε ε ε ε ε αxth

yth

zth th

xth

t xT= = = =; .

Da in Y- und Z-Richtung gilt:

ε ε ε ε ε εy yel

yth

z zel

zth= + = = + =. .;0 0 ,

können nach der Verknüpfung von Dehnung und Spannung über die Elastizitätsmatrix

mit den folgenden Zusammenhängen die Spannungskomponenten ermittelt werden:

( )ε σ ν σyth

y zE= ⋅ − ⋅

1 und ( )ε σ ν σz

thz yE

= ⋅ − ⋅1

.

Über das Einsetzungsverfahren:

( ) ( )σν

ε ν εν

ε νy yth

zth thE E

=−

⋅ + ⋅ =−

⋅ ⋅ +1 1

12 2 ,

( ) ( )σν

ε ν εν

ε νz zth

yth thE E

=−

⋅ + ⋅ =−

⋅ ⋅ +1 1

12 2 .

⇒ ( ) ( )σ σ

ναy z t x

ET= =

−⋅ ⋅

1.


Da die Komponenten gleich sind gilt:

σ σ σy z V= = .

Als Belastungsparameter wird die Vergleichsspannung an den beiden Ober-

flächen eingeführt:

( )

σν

αt t

ET=

⋅ −⋅ ⋅

2 1∆ .

Die Simulation des Temperaturgradienten erfolgt in der ANSYS-Parametersprache

mittels einer Schleife über die 200 Elemente der Struktur mit einem Temperaturabfall

von:

( )

∆TE

t

t

=⋅ ⋅ −

⋅

2 1σ ν

α (siehe Eingabeprotokolle im Anhang).

⇒ deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT

Alle weiteren Informationen zur Simulierung des Bree-Rohrs und der Implementierung

der Zarka-Methode sind den ANSYS-Eingabeprotokollen im Anhang zu entnehmen.

4.6. FE-Analysen am Bree-Rohr bei monotoner und zyklischer

Belastung

4.6.1. Fließzonen nach Zarka bei monotoner Belastung

Die hier vorliegende Untersuchung widerspiegelt die Aussagekraft der Zarka-Methode

hinsichtlich entstehender Fließzonen und unter Berücksichtigung ihrer Anwendung auf

eine diskontinuierliche Struktur (siehe Abschnitt 4.3.2.). Zum Vergleich dienen Ergeb-

nisse, die nach der exakten Fließzonentheorie berechnet wurden. Als einmalig ange-

setzte Belastungen wirken der Innendruck und der Temperaturgradient über die Rohr-

wandung. Zur Einschätzung der Fließzonen gilt für beide Theorien die Volumina-

prüfung nach Zarka:

V wenn und V wenne V y p V yσ σ σ σ≤ > .


Da die über ein FE-Netz simulierte Struktur sehr einfach gehalten ist, kann im voraus

das folgende Postulat gestellt werden:

Fließzonen entstehen am Innenrand, am Außenrand und vom Innen- oder Aussen-

rand her über die Mittelachse der Rohrwandung. Die Kombinationen des gleich-

zeitigen Auftretens dieser Fließzonenbereiche in der Struktur bilden unterschied-

liche Bereiche in einem Interaktionsdiagramm der beiden Belastungen.

Ausgehend von dieser Annahme wurden die in Abbildung 68 dargestellten Bereiche für

einen festgesetzten Verfestigungsparameter und nach der exakten Fließzonentheorie

aufgedeckt.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Abbildung 68: Bereiche unterschiedlicher Fließzonenausprägung im Interaktionsdiagramm

1,0 0

2,0

8,0

4,0

12,0

6,0

10,0

σσσσ

σσσσ

t

y1

σσσσ

σσσσ

t

y1

B2

B1

B3

B4

E

B1

B2

B3

B4

E Elastischer Bereich: Es entstehen keine Fließzonen.

Es entstehen Fließzonen am inneren und

äußeren Rand der Rohrwandung, jedoch

nicht über Rohrwandmitte.

Nur am äußeren Rand entsteht eine

Fließzone, die nicht über die Rohr-

wandmitte reicht.

Es erstreckt sich eine Fließzone vom

äußeren Rand bis über die Mitte der

Rohrwandung. Der innere Rand wird nicht

plastiziert.

Es entstehen Fließzonen vom äußeren Rand

bis über die Mitte und am inneren Rand der

Rohrwandung.

E

E

t10 1 0 3= =, ; ,ν

0


Die weiteren Diagramme zeigen die Annäherungen über die Iterationen der Zarka-

Methode an die exakt berechneten Fließzonen. Hierfür wurde jeweils eine Analyse in

jedem der in Abbildung 68 dargestellten Bereiche durchgeführt.

0,6850,185

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,6350,135

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,6350,135

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Abbildung 69: Analyse zur Annäherung der Fließzonen über Zarka im Bereich 1

0,725

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,68

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,68

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0


0. Iteration nach Zarka




Fließzonen nach exakter FZT

Fließzone nach exakter FZT

Rohrwand, innen Rohrwand, außen Rohrwandmitte

Rohrwand, innen Rohrwandmitte Rohrwand, außen

σ

σ

σ

σν

0

1 1

10 3 2 0 0 1 0 3

y

t

y

tE

E= = = =, , , , , , ,

σ

σ

σ

σν0

1 1

10 5 12 0 1 0 3y

t

y

tE

E= = = =, , , , , , ,

Fließzone

Fließzone


0,54

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,375

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,345

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,35

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,3550,345

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,345

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,35

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,3550,345

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,335

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0










Fließzone nach exakter FZT


Fließzone σ

σ

σ

σν0

1 1

10 9 16 0 1 0 3y

t

y

tE

E= = = =, , , , , , ,


Für die Analyse im Bereich 1 und 2 (Abbildung 69 und 70) ist festzustellen, dass nach

der 1. Iteration der Zarka-Methode die Fließzonen exakt mit den Fließzonen der exakten

Berechnung übereinstimmen. Weitere Iterationen bringen immer die gleichen Ergeb-

nisse. Bei der Analyse im Bereich 3 (Abbildung 71) ist zu erkennen, dass sich das Er-

gebnis in der 3. Iteration vom exakten Ergebnis entfernt. Die 4. Iteration zeigt eine klei-

ne Fehlstelle in der Fließzone, die sich nach jeder 3. Iteration wiederholt. Bei der letzten

Analyse im Bereich 4 (Abbildung 72) zeigt sich schon nach der 2. Iteration eine sehr

0,530,37

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,3750,24

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,450,370,3150,195

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,3750,25

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,450,370,310,195

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,3750,25

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,3650,27

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0








Fließzonen nach exakter FZT


σ

σ

σ

σν0

1 1

10 7 6 0 0 1 0 3y

t

y

tE

E= = = =, , , , , , , Fließzone


große Fehlstelle in einer der beiden Fließzonen. Diese Unregelmäßigkeit tritt jede 2.

Iteration erneut auf. Solche Fehlstellen wurden schon in den Untersuchungen von Glede

[1] am Biegebalken entdeckt. Trotz der Veränderung zu Gledes Zarka-FEM-Pro-

grammierungen hinsichtlich der Entscheidung, ob in einem Element das modifizierte

Elastizitätsmoduls bei der modifiziert-elastischen Analyse eingesetzt wird, konnten hier

am Bree-Rohr keine spürbaren Ergebnisverbesserungen in Bezug auf das Entstehen der

Fehlstellen erkannt werden.

4.6.2. Dehnungen nach Zarka bei monotoner Belastung

Wie schon bei den Untersuchungen der Fließzonen nach Zarka werden in diesem Ab-

schnitt die Dehnungen für das einmalige Belasten durch den Innendruck und den Tem-

peraturgradienten ermittelt. Ein wichtiger Meßpunkt für die Einschätzung des Deh-

nungsverhaltens des Rohres liegt an der äußeren Rohrwand. Dort sind in Umfangs-

richtung die höchsten Dehnungswerte zu erwarten. Die hier vorliegende Untersuchung

beschränkt sich somit rein auf das elastisch-plastische Dehnungsverhalten des Knotens

201 in Z-Richtung (Umfangsrichtung). Weiterhin wird in diesem Abschnitt nur die 1.

und 2. Iteration der Zarka-Methode genauer untersucht. Bei der Programmierung der

exakten Berechnung wurde eine Extrapolation der elastischen und der plastischen Deh-

nungskomponenten zum äußeren Rand vorgenommen (siehe Eingabeprotokoll). Die

elastisch-plastischen Dehnungen nach der Zarka-Methode wurden für die Z-Richtung

wie folgt berechnet:

ε ε εzel pl

zel

zpl. . . .− = +

mit ( )ε σ ν σzel

z yE

. = ⋅ − ⋅1

; σ σ ρy yf el

y= +.; σ σ ρz z

f elz= +.

und ( )ε ε ρ ν ρzpl

z z yE

. *= − ⋅ − ⋅1

.

Dabei ist εz* die Dehnungskomponente, die sich aus der modifizierten elastischen Ana-

lyse ergibt und somit auch die als modifizierte Belastung aufgebrachte Vordehnung ent-

hält. Die folgenden Diagramme zeigen die Annäherungen der Dehnungen der Zarka-

Methode über die Iterationen an die Dehnungen der exakten Berechnung. Dabei wurde

der Wert für die Primärspannung (Innendruck) auf 0,5 festgelegt. Variiert wurde über


den Parameter der Sekundärspannung (Temperaturgradient) und den Verfestigungs-

parameter.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

exakte Berechnung

0. Iteration Zarka

1. Iteration Zarka

2. Iteration Zarka

Abbildung 73: Dehnungsannäherungen der Zarka-Metode für den äußeren Rohrwandrand

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

exakte Berechnung

0. Iteration Zarka

1. Iteration Zarka

2. Iteration Zarka


εK

el pl

201

. .−

σ

σt

y1

E

E

t

y

1 0

1

0 1 0 5 0 3= = =, , , , ,σ

σν

εK

el pl

201

. .−

σ

σt

y1

E

E

t

y

1 0

1

0 05 0 5 0 3= = =, , , , ,σ

σν


In den Abbildungen 73-75 ist zu erkennen, dass es im Allgemeinen nicht klar ist, ob die

1. Iteration oder die 2. Iteration näher am exakten Ergebnis liegt. Da diese erzielten

Ergebnisse für nur einen Primärspannungswert gelten, sollen die weiteren Berech-

nungen einen tieferen Einblick in die Annäherungen der Iterationen in Abhängigkeit

beider Belastungsparameter geben. Dabei wurden sogenannte Höhendiagramme ver-

wendet (Abbildungen 76-81). Ein solch dargestelltes Höhendiagramm widerspiegelt in

den Achsen das Interaktionsdiagramm der Belastungen. Die Höhenlinien geben die Ab-

weichungen der behandelten Iteration von der exakten Berechnung in 5%-Schritten

wieder. Die Abweichungen können positiv oder negativ ausfallen. Zur Orientierung ist

die Null-Prozent-Linie dicker dargestellt. Die Primärspannung wurde in ¼ Schritten und

die Sekundärspannung in ½ Schritten variiert. Weiterhin wurden verschiedene Ver-

festigungsparameter eingesetzt (0.1, 0.05, 0.01). Es ist zu erkennen, dass mit kleiner

werdendem Et - Wert die Genauigkeit der Zarka-Methode sich verschlechtert. Weiterhin

sind bei der 1. Iteration bis zu -30% Abweichung möglich. Im Allgemeinen zeigt sich,

dass es keine positiven Abweichungen unterhalb des sekundären Belastungspara-

meterwertes 2,0 gibt.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

exakte Berechnung

0. Iteration Zarka

1. Iteration Zarka

2. Iteration Zarka


εK

el pl

201

. .−

σ

σt

y1

E

E

t

y

1 0

1

0 01 0 5 0 3= = =, , , , ,σ

σν


Abbildung 76: Dehnungsabweichung Knoten 201 zur exakten Berechnung in Umfangsrichtung

-

+

σσσσ

σσσσt

y1

σσσσ

σσσσ0

1y

1,0 0

2,0

3,0

4,0

5,0

7,0

6,0

8,0

9,0

1,0

E

EIteration

t10 1 0 3 1= =, , , , .ν

0%-Linie

Maximum bei +3,51%

-5%-Linie

Minimum bei -6,41%



+

-

2,0

3,0

4,0

5,0

7,0

6,0

8,0

9,0

1,0

σσσσ

σσσσt

y1

σσσσ

σσσσ0

1y

1,0 0

E

EIteration

t10 1 0 3 2= =, , , , .ν

0%-Linie

0%-Linie

+5%-Linie

+5%-Linie

Maximum bei +7,98%

Minimum bei -2,39%



+

-

2,0

3,0

4,0

5,0

7,0

6,0

8,0

9,0

1,0

σσσσ

σσσσt

y1

σσσσ

σσσσ0

1y

1,0 0

E

EIteration

t10 05 0 3 1= =, , , , .ν

0%-Linie

-5%-Linie

-10%-Linie

Maximum bei +4,25%

Minimum bei -10,78%



+

-

2,0

3,0

4,0

5,0

7,0

6,0

8,0

9,0

1,0

σσσσ

σσσσt

y1

σσσσ

σσσσ0

1y

1,0 0

E

EIteration

t10 05 0 3 2= =, , , , .ν

0%-Linie

0%-Linie

+5%-Linie

+5%-Linie

-5%-Linie

Maximum bei +9,24%

Minimum bei -8,67%



+

-

2,0

3,0

4,0

5,0

7,0

6,0

8,0

9,0

1,0

σσσσ

σσσσt

y1

σσσσ

σσσσ0

1y

1,0 0

E

EIteration

t10 01 0 3 1= =, , , , .ν

0%-Linie

0%-Linie

+5%-Linie

+5%-Linie

-5%-Linie

-5%-Linie

-10%-Linie

-15%-Linie

-20%-Linie

-20%-Linie

Maximum bei +6,68%

Minimum bei -26,82%



+

-

2,0

3,0

4,0

5,0

7,0

6,0

8,0

9,0

1,0

σσσσ

σσσσt

y1

σσσσ

σσσσ0

1y

1,0 0

E

EIteration

t10 01 0 3 2= =, , , , .ν

0%-Linie

+5%-Linie

+10%-Linie

-5%-Linie

-5%-Linie

-10%-Linie

-10%-Linie

-15%-Linie

-20%-Linie

-20%-Linie

-25%-Linie

Maximum bei +12,72%

Minimum bei -25,35%


4.6.3. Dehnungsanalyse nach exakter Fließzonentheorie bei zyklischer Belastung

Der hier angesetzte Belastungsfall entspricht dem Fall Ab, der aus den Analysen am

Zwei-Stab-System bekannt ist (siehe Abschnitt 3.9.1.1.). Es wirken ein konstanter

Innendruck (primär) und ein zyklischer Temperaturgradient (sekundär). Die Abbildung

82 zeigt nochmals das Belastungshistogramm des Präzedenzfalls.

Das Ziel dieser Untersuchung beschränkt sich auf das Erfassen des Dehnungsverhaltens

des Knotens 201 am äußeren Rand der Rohrwandung und der Erstellung des aus dem

Dehnungsverhalten ableitbaren Ratcheting-Interaktionsdiagramms. Bei Ansatz des bi-

linearen Werkstoffmodells kann das Auftreten von akkumulierten plastischen Deh-

nungen erwartet werden. Grundlage für die Programmierung dieser Analyse (siehe Ein-

gabeprotokoll im Anhang) geben die Erfahrungen aus den Analysen am Zwei-Stab-

System. Der Ansatz für die Berechnung der normierten elastisch-plastischen Ver-

gleichsdehnung im Auswertungsteil des Eingabeprotokolls wurde wie folgt gestaltet:

Abfragen folgender Werte im eingespielten Zustand am Zyklusende:

• Vergleichsspannung am Knoten 201 über das *GET-Kommando

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

0

1

4

1

2

3

4 1 11

4 11

2 13

4 2 21

4 21

2 23

4 3 n n1

4 n1

2 n3

4 n ++++ 1

σσσσ

konst. Primärspannung (inf. konst. Innendruck)

t

zykl. Sekundärspannung (inf. zykl. Temperaturgradient)

tt

σσσσ

σ0

σt

Zeitsprung

n = Zyklenzahl

Ein Zyklus

Abbildung 82: Belastungshistogramm für Fall A am Bree-Rohr


• plastische Dehnungskomponenten (x, y, z, xy, yz, xz) am Knoten 201 über

*GET-Kommando

Berechnung der elastischen Vergleichsdehnung über die Vergleichsspannung:

εσ

Vel V

E

. = .

Berechnung der plastischen Vergleichsdehnung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε ε ε ε ε ε ε ε ε εV

pl

x

pl

y

pl

x

pl

z

pl

y

pl

z

pl

xy

pl

yz

pl

xz

pl. . . . . . . . . .= ⋅ − + − + − + ⋅ + +

2

36

2 2 2 2 2 2

.

Berechnung der normierten el.-pl. Vergleichsdehnung am Knoten 201:

( )ε

ε

ε ε

εV Kel pl

y

Vel

Vpl

y

,. . . .

201−

=+

.

Die Berechnungen der Vergleichsdehnungen sind jedoch mit Fehlern behaftet. Fälsch-

licherweise wurden die Berechnungen auf ein einachsiges Spannungsproblem mit mo-

notoner Belastung orientiert. Die ermittelten Dehnungswerte sind somit unbrauchbar,

aber bezüglich der Ermittlung des Ratcheting-Interaktionsdiagrammes über die Deh-

nungsverläufe in Abhängigkeit der Belastungsparameter nützlich. Die Abbildung 83

zeigt die elastisch-plastischen Dehnungen im eingespielten Zustand und die Abbildung

84 die dafür benötigten Zyklen. Variiert wurde über die Belastungsparameter bei

festgesetzter Verfestigung. Die Abbildung 86 zeigt die Ergebnisse der Abbildung 83 in

zweidimensionaler Darstellung. Aus der Projektion der in Abbildung 83 abgegrenzten

Dehnungsverläufe auf die Grundfläche des Diagramms lässt sich das in Abbildung 85

dargestellte Ratcheting-Interaktionsdiagramm für die gewählten Werkstoffparameter

entwickeln.

Zur Auswertung der Ergebnisse ist zu sagen, dass sich wie erwartet finite

Ratchetingbereiche einstellen. Die Bereichsabsteckungen sind ähnlich gelagert wie die

entdeckten Bereiche von Bree bei der Untersuchung am Sonderfall des bilinearen

Werkstoffmodells mit Et=0. Bei der Projektion zur Ermittlung des Ratcheting-Interak-

tionsdiagrammes wurde festgestellt, dass bei hohen Primärspannungen vermutlich num-

merische Probleme einen Einfluss auf die Ergebnisgenauigkeit ausüben. Die Stellen der

Ergebnisungenauigkeiten sind in den Diagrammen gekennzeichnet.


0,0

1,0

2,0

3,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,01,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

Abbildung 83: el.-pl. Vergleichsdehnungen des Knoten 201

0,0

1,0

2,0

3,0

4,05,0

6,07,0

8,09,0

10,011,0

12,01,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Abbildung 84: benötigte Zyklen zum Erreichen der Vergleichsdehnungen der Abbildung 83

σσ

t

y1

σσ

t

y1

σσ

0

1y

σσ

0

1y

E

E

t10 1 0 3= =, , ,ν

n

εεV K

el pl

y

,

. .

201

−

Ungenauigkeit

infolge

nummerischer

Probleme

E

E

t10 1 0 3= =, , ,ν


3,0

2,0

1,0

1,00

0

σσσσσσσσ

0

1y

σσσσσσσσ

t

y1

fE

E

t1

E

11,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

12,0

S

P

S1

P2

P1

S3

S2

Abbildung 85: Ratcheting-Interaktiondiagramm für gewählte Werkstoffparameter am Bree-Rohr

für den Knoten 201

E

E

t10 1 0 3= =, , ,ν


Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der elastisch-plastischen Vergleichsdehnung

bestände darin, die für den elastischen und plastischen Zustand unterschiedlichen Quer-

dehnungszahlen nach der Formel von Hübel in Form einer effektiven Querdehnungszahl

auszudrücken [4]. Diese effektive Querdehnungszahl steht in Abhängigkeit des

Verhältnisses der elastischen Vergleichsdehnung zur elastisch-plastischen Vergleichs-

dehnung und kann wie folgt definiert werden:

ν νε

ε ε= − −

⋅

+1

2

1

2

Vel

Vel

Vpl

.

. . .

Die elastisch-plastische Vergleichsdehnung kann unter Berücksichtigung des Einflusses

der im Elastischen und Plastischen unterschiedlichen Querdehnungszahl und der elas-

tisch-plastischen Dehnungskomponenten für den zweiachsigen Spannungszustand wie

folgt erfasst werden [4]:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))εεεενννν

εεεε εεεε νννν νννν εεεε εεεε νννν ννννV

el pl

y

el pl

z

el pl

y

el pl

z

el pl. . . . . . . . .−−−− −−−− −−−− −−−− −−−−====−−−−

⋅⋅⋅⋅ ++++

⋅⋅⋅⋅ −−−− ++++ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ++++

1

11 1 4

2

2 22 2 .

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

Abbildung 86: Dehnungsverläufe über die Sekundärspannung unterschiedl. Primärspannungen

σ σ0 1 0 1y = , σ σ0 1 0 2y = ,

σ σ0 1 0 3y = ,

σ σ0 1 0 4y = , σ σ0 1 0 5y = ,

σ σ0 1 0 6y = ,

σ σ0 1 0 7y = ,

σ σ0 1 0 8y = ,

σ σ0 1 1 0y = ,

σ σ0 1 0 0y = ,

εεV K

el pl

y

,

. .

201

−

σ σ0 1 0 9y = ,

σσ

t

y1

unzuverlässiger Kurvenverlauf

infolge nummerischer Probleme

E

E

t10 1 0 3= =, , ,ν

H. Huhn / Diplomarbeit / Zusammenfassung und Ausblick 103

5. Zusammenfassung und Ausblick

Die gewonnenen Ergebnisse aus den in Abschnitt 3 untersuchten Lastfällen und Werk-

stoffgesetzen am Zwei-Stab-System geben einen kleinen Einblick in die komplexe Welt

der Nichtlinearitäten. Selbst für das so einfach strukturierte ideale Modell des Zwei-

Stab-Systems zeigt sich für die unterschiedlichen Lastfälle ein kompliziertes unerwar-

tetes Bild bezüglich des Strukturverhaltens. Besonders deutlich ist dies zu erkennen im

Lastfall C2, in dem ein fast unmerklicher Bereich des Strukturverhaltens eines „rückläu-

figen Ratcheting“ entdeckt wurde. Hierbei wird ein Teil der Struktur einmalig in Wir-

kungsrichtung der Primärspannung plastisch gedehnt. Die darauf folgenden akkumulier-

ten plastischen Dehnungen treten für die Gesamtstruktur nur noch im Druckbereich des

Materialgesetzes auf. Das heißt die Struktur spielt sich entgegen der Wirkungsrichtung

der Primärspannung ein. Des weiteren kann als ein wesentliches Ergebnis aus den Last-

fallstudien am Zwei-Stab-System festgehalten werden, dass die erreichten elastisch-

plastischen Dehnungen im eingespielten Zustand bei beliebiger Belastungskombination

des Lastfalls Ab, von keinem der anderen untersuchten Lastfälle bei gleicher Belas-

tungskombination überschritten werden. Da das Bree-Rohr bei einem über die Rohr-

wandung zyklischen Temperaturgradienten und wirkender Primärspannung dem Rat-

cheting-Typ A entspricht und die Mechanik des Systems dem Zwei-Stab-System ähnelt,

wäre es ausblickend interessant, in wie weit die Ergebnisse aus den Untersuchungen des

Zwei-Stab-Systems mit Ergebnissen zu Lastfallstudien am Bree-Rohr Gemeinsamkeiten

bilden. Ein erster Schritt dazu ist in Abschnitt 4.6.3. durch die Untersuchung des Last-

falles Ab am Bree-Rohr eingeleitet worden. Der Vergleich der gewonnenen Interak-

tionsdiagramme zeigt deutlich, dass wesentliche Zusammenhänge und Gemeinsam-

keiten bestehen müssen.

Bezüglich der Anwendung der Zarka-Methode auf eine dikretisierte Struktur ist festzu-

stellen, dass die Implementierung der Methode in ein FE-Programm für den zweiachsi-

gen Spannungszustand programmiertechnisch wenig Probleme bereitet. Die Abwei-

chungen der Ergebnisse der Zarka-Methode zu den Ergebnissen nach dem exakten Be-

rechnungsverfahren am Bree-Rohr sind teilweise sicherlich Ausdruck der Diskreti-

sierung der Struktur. Darüber hinaus sollte jedoch auch noch untersucht werden, ob im

Falle direktionaler Spannungsumlagerungen nicht noch die Theorie der Methode ver-

bessert werden kann.

H. Huhn / Diplomarbeit / Literatur 104

6. Schrifttum

[1] Glede, M.: FE-Analysen nach exakter und vereinfachter Fließzonentheorie mit

ANSYS, Diplomarbeit, FH Lausitz, Fachbereich Bauingenieurwesen, 1997

[2] Wesche, K.: Baustoffe für tragende Bauteile, Wiesbaden, Berlin: Bauverlag. B. 1

Baustoffkenngrößen, Meßtechnik, Statistik. 2., neubearb. u. erw. Aufl. 1977

[3] Duden, Fremdwörterbuch, Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG,

6., überarbeitete und erweiterte Auflage 1997

[4] Hübel, H.: Ermittlung realistischer Ke-Faktoren (Plastizierungsfaktoren) als

Grundlage für die Präzisierung des kerntechnischen Regelwerkes hinsichtlich

der Ermüdungsanalyse, Bericht für das Bundesministerium für Umwelt, Natur-

schutz und Reaktorsicherheit, Vorhaben SR 2221, 1996

[5] Prof. Dr.-Ing. H. Hübel: Vorlesung - Grundlagen der Plastizitätstheorie,

FH Lausitz, Fachbereich Bauingenieurwesen, 1997

[6] Hübel, H.: Analyse der vereinfachten elastisch-plastischen Berechnungsmethode

zur Strukturanalyse nach Zarka als Grundlage für die Präzisierung des kern-

technischen Regelwerkes hinsichtlich des Ratcheting-Nachweises, Teil I,

Bericht für das Bundesministerium für Umwelt, Naturschutz und Reaktorsicher-

heit, Vorhaben SR 2226, Dezember 1997

[7] Bochmann, F.:Statik im Bauwesen, Band II - Festigkeitslehre, Berlin: VEB

Verlag für Bauwesen, 15., bearbeitete Auflage 1990

[8] Capra, F.: Lebensnetz, Ein neues Verständnis unserer Welt, Bern: Scherz Verlag,

1996

H. Huhn / Diplomarbeit / Literatur 105

[9] Müller, G. und Groht, C.: FEM für Praktiker, Die Methode der Finiten Elemente

mit dem FE-Programm ANSYS, expert verlag, 3.,völlig neubearb. Auflage, 1997

[10] CADFEM: Infoplaner, FEM: Software • Schulung • Entwicklung • Berechnung

im Auftrag, September 96 - Juli 97

[11] ANSYS/ED Help System, Release 5.3

• Analysis Guides • Elements Manual • Other Manuals

• Commands Manual • Theory Manual

[12] Turing, A.: 0n computable Numbers, with an Application to the Entscheidungs-

problem, In: DAVIES, M. (Hg.): The Undecidable, New York, Hewlett, 1965

[13] Bree, J.: Elastic-Plastic Behaviour of thin Tubes subjected to internal Pressure

and intermittent High-Heat Fluxes with Application to Fast-Nuclear-Reaktor

Fuel Elements, Journal of Strain Analysis, Vol 2 No 3, 1967

[14] Jiang, W.: The Elastic-Plastic Analysis of Tubes-I: General Theory, Journal of

Pressure Vessel Technology, Vol. 114, Mai 1992

[15] Hübel, H.: Vereinfachte Fließzonentheorie, Erläuterung der Zarka-Methode und

Beispiele, 1997

[16] Prof. Dr.-Ing. H. Hübel: Vorlesung - Einführung in die Finite-Element-Methode,

FH Lausitz, Fachbereich Bauingenieurwesen, 1996

[17] Hübel, H.: Verwendung der Zarka-Methode mit einem FE-Programm, 1997

[18] Hübel, H.: Basic conditions for material an structural ratcheting, Nuclear

Engineering and Design 162, Elsevier Science S.A., 1996

H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang 106

7. Anhang

7.1. ANSYS-Eingabeprotokoll zu Abschnitt 3.7.2.

Dehnungsberechnung nach exakter Fließzonentheorie

für den Präzedenzfall am Zwei-Stab-System 107

7.2. ANSYS-Eingabeprotokolle zu Abschnitt 4.6.1.

• Fließzonenberechnung nach exakter Fließzonentheorie

hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr 110

• Fließzonenberechnung nach vereinfachter Fließzonentheorie

hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr 111


• Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201

nach exakter Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner

Belastung am Bree-Rohr 115

• Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201

nach vereinfachter Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner

Belastung am Bree-Rohr 117


Vergleichsdehnungsberechnung am Knoten 201 nach exakter

Fließzonentheorie hinsichtlich zyklischer Belastung am Bree-Rohr 121



Dehnungsberechnung nach exakter Fließzonentheorie für den Präzedenzfall am

Zwei-Stab-System

DATEI='Fall_Ab' !Text fuer die Variable Datei /OUTPUT,DATEI,OUT !Schreibt alle Vorgaenge auf !"DATEI".OUT /BATCH /TITLE,Zwei-Stab-Modell /HEADER,OFF,OFF,ON,OFF,OFF,OFF !laedt die Schrittinformation laut !Voreinstellungen /CONFIG,NRES,1e5 !in ED-Version nicht moeglich !(setzt Rechnungsschritte) C*** Eingabe der Parameter ******************************************* SYzuE=0.001 !elastische Dehngrenze EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu !Elastizitaetsmodul C*** Initialisierung der Berechnungsschleifen veraend. Parameter ***** STzuSY=0.0 !normierte Sekundearspannung SPzuSY=0.0 !normierte Primaerspannung C*** Konstante Werte ************************************************* H=1e4 !Systemhoehe (mm) B=1e3 !Systembreite (mm) A=1e3 !Querschnittsflaeche (qmm) alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K) SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm) T0=0 !fuer Ruecksetzen der Temperatur(K) Kraft0=0 !fuer Ruecksetzen der Kraft (N) ABRKRIT=9e-8 !Abruchkriterium fuer Schleife bei !Genauigk. Epsilon=deltaL/L=ABRKRIT C*** Durch Parameter beeinflusste Werte ***************************** E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm) Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm) C*** Preprozessor **************************************************** /PREP7 ET,1,LINK1 !Elementtyp LINK1 R,1,A !Setzen der Querschnittsflaeche UIMP,1,EX, , ,E !Lineares Materialverhalten !(Elastizitaetsmodul) UIMP,1,ALPX, , ,alphaT !Lineares Materialverhalten !(Waermedehnzahl) TB,BKIN,1 !Bilinerar kinematisches Verhalten TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze TBMODIF,3,1,Et !Setzen Verfestigungs- !anstieg's(Verfestigungsmodul) N,1 !Definieren des Knoten 1 N,2,,H ! "-" "-" "-" 2 N,3,B ! "-" "-" "-" 3 N,4,B,H ! "-" "-" "-" 4


NUMSTR,ELEM,1 !Einrichten der Startnummer fuer !Elementzaehlung E,1,2 !Definieren des Elements 1 E,3,4 !Definieren des Elements 2 CP,1,UY,1,3 !Kopplung der FG von Kn. 1 und 3 in !Y-Richtung CP,2,UX,1,3 !Kopplung der FG von Kn. 1 und 3 in !X-Richtung FINISH !Beendet den Preprozessor C*** Erstellung der Ergebnisdatei ************************************ *CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Ergebnisdatei mit Namen !"DATEI".ERG C*** Schleife ueber Primaerspannung ********************************** *DO,SPzuSY,0,1,0.05 Kraft1=-SPzuSY*SY*2*A !Berechnung der Einzellast (N) *VWRITE,SPzuSY !schreibt Wert der Primärspannung (F4.2) !in Ergebnisdatei C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ******************************** *DO,STzuSY,0,12,0.1 T1=2*STzuSY*SY/E/alphaT !Berechnung der Temperatur (K) C*** Solution Prozessor ********************************************** /SOLU !wechselt in Solution Prozessor ANTYPE,0,NEW !Charakterisiert den Analysetyp D,1,UX !Fesseln der Freiheitsgrade D,2,ALL D,4,ALL OUTRES,ALL,ALL !Steuert, was und wie auf Daten- !basis und Ergebnisdatei !geschrieben wird PRED,ON,,OFF !Nummerische Hilfen CNVTOL,F,,0.00001,,1 !Annaehrungstoleranz der Kraft F,1,FY,Kraft1 !Ansetzen der Primaerspannung SOLVE !Kommando zum Loesen LOADSTEP=1 !Variable zum Zaehlen der SOLVE *GET,UY1,NODE,1,U,Y !setzt Y-Verschiebung von Kn.1 auf !Parameter UY1 UY1ALT=UY1 !initialisiert Parameter UY1ALT !fuer Berechnung Dehnungszuwachs C*** Schleife fuer zyklische Belastung ******************************* *DO,ZYKLEN,1,100000 !Schleife max 100000 Durchgaenge BFE,1,TEMP,1,T1,T1 !Ansetzen der Sekundaerspannung SOLVE LOADSTEP=LOADSTEP+1 BFE,1,TEMP,1,T0,T0 !Ruecksetzen der Sekundaerspannung SOLVE LOADSTEP=LOADSTEP+1 *GET,UY1,NODE,1,U,Y !setzt Y-Verschiebung von Kn.1 !erneut auf Parameter. UY1


C*** Schleifenabbruch bei Abbruchkriterium oder Et/E=0 ************** *IF,ABS(UY1-UY1ALT)/H,LT,ABRKRIT,EXIT !verlaesst Schleife, da eingespielt UY1ALT=UY1 !setzt UY1ALT auf aktuellen UY1 *IF,EtzuE,EQ,0,THEN !pruefen ob Et/E=0 *IF,LOADSTEP,GE,7,EXIT !verlaesst Schleife, da infinites !Ratcheting *ENDIF !Ende des IF-THEN-ELSE-Konstrukts *ENDDO C*** Ende der Berechnungsschleife ************************************ FINISH !Beendet den Solution Prozessor C*** Post Prozessor ************************************************** /POST26 !Auswertungsprozessor f. zeitliche !Ergebnisabfragen NUMVAR,20 !Anzahl moeglicher Ausgabevariablen C*** Definieren der Ausgabevariablen ********************************* NSOL,2,1,U,Y,UY_Kn.1 !Y-Verschiebung Knoten 1 ESOL,3,1,1,LS,1,Spn.St.1 !Hauptspannung am El.1 Knt.1 ESOL,4,2,3,LS,1,Spn.St.2 !Hauptspannung am El.2 Knt.3 ESOL,5,1,1,LEPEL,1,Eps.e.1 !el. Dehnung El.1 Knt.1 ESOL,6,1,1,LEPPL,1,Eps.p.1 !pl. Dehnung El.1 Knt.1 ESOL,7,2,3,LEPEL,1,Eps.e.3 !el. Dehnung El.2 Knt.3 ESOL,8,2,3,LEPPL,1,Eps.p.3 !pl. Dehnung El.2 Knt.3 ADD,9,5,6,,Eps.ep.1 !Add. Var. 5 und 6 (el-pl Dehn.) ADD,10,7,8,,Eps.ep.3 !Add. Var. 8 und 9 (el-pl Dehn.) !PRVAR,2,3,4,9,10 !Ausgeben der def. Variablen in !"DATEI".out *GET,EPS_ST2,VARI,10,RTIME,LOADSTEP !initialisiert Parameter EPS_ST2 !und setzt el-pl Dehn. D. Stabes 2 !der letzten Berechnung EPS2zuEY=EPS_ST2/SYzuE !normiert EPS-ST2 z. el. Dehngrenze ZYKLEN=ZYKLEN-1 !Zyklenzahl ausschl. letzter Hysth. *VWRITE,STzuSY,EPS2zuEY,ZYKLEN !schreibt Sekundaerspannung und zu- (F5.2,2X,F13.10,2X,F6.0) !gehoerige Dehnung sowie Zyklenzahl !in Ergebnisdatei FINISH !Beendet Prozessor POST26 C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung *********************** *ENDDO C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung ************************* *ENDDO *CFCLOS !Schliesst Ergebnisdat. „DATEI".ERG /EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten



Fließzonenberechnung nach exakter Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner Be-

lastung am Bree-Rohr

/BATCH /OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out /TITLE,BREE-Rohr nach exakter FZT im 2-achsigen Spannungszustand /STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch) /CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte C*** variable Parameter ********************************************** DATEI='FZONE_B3' !Text fuer Variable „Datei“ S0zuSY_A=0.9 !normierte Primaerspannung StzuSY_A=1.6 !normierte Sekundaerspannung SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos) EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1) C*** konstante Parameter ********************************************* SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm) alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K) QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm) PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis C*** beeinflusste Parameter ****************************************** E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm) Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm) Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. d. Axialkraft inf. I. -druck deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles C*** Preprozessor **************************************************** /PREP7 !Aufruf des Preprozessors ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer- UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen TB,BKIN,1 !bilinear kinemat. Mat.- verhalten TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze TBMODIF,3,1,Et !Setzen des Verfestigungsmodul N,1,Ri !Definieren des Knoten 1 N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201 FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1 EGEN,200,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1 CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung FINISH !Beenden des Preprozessors C*** Solution Prozessor ********************************************** /SOLU !Aufruf des Solution Prozessors D,1,UY,,,201,1 !Lager K 1-201 (Axialrichtung)


SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1 F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast C*** Verteilerschleife fuer Simulation des Temperaturgradienten ****** fallendT=deltaT/200 !abfallende Temp. ueber Element T1=deltaT/2 !Starttemperatur Rohrwand innen T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende *DO,allocate,1,200,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer !Simulation des Temp.gradienten BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer T2=T2-fallendT !naechstes Element *ENDDO !Ende der Temp. -Verteilerschleife SOLVE !Kommando zum Loesen FINISH !Beendet Solution Prozessor C*** Postprozessor *************************************************** /POST1 !Aufruf des Postprozessors *CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen *DO,KnoNR,1,201,1 !Schleife ueber untere Knotenreihe *GET,VSpann,NODE,KnoNr,S,EQV !Holt Vergl. -sp. f. Var. Vspann F_ZONE=0 !setzt Zeiger F_ZONE auf Null *IF,VSpann,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka F_ZONE=10 !Wenn ja, d. Zeiger a. belieb. Wert *ENDIF !Wenn nein, hier weiter FZ_KnoNr=1-(201-KnoNr)/200 !Einord. d. K. zw. 0 und 1 *VWRITE,FZ_KnoNr,F_ZONE !schreibt Ergebnisse auf Datei (F5.3,2X,F4.0) !Formate *ENDDO !Ende d. Schleife ueber Knotenreihe *CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei FINISH !Beendet Postprozessor /EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten

Fließzonenberechnung nach vereinfachter Fließzonentheorie hinsichtlich mono-

toner Belastung am Bree-Rohr

/BATCH /OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out /TITLE,BREE-Rohr nach vereinfachter FZT im 2-achsigen Spannungszustand /STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch) /CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte C*** variable Parameter ********************************************** S0zuSY=0.9 !norm. Primaersp. (bei 0: 1e-30) StzuSY=1.6 !normierte Sekundaerspannung SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos) EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1) Itr_step=7 !Anzahl der Iterationen C*** konstante Parameter ********************************************* SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm) alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K) QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm) PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis


Elemente=200 !Anzahl der Elemente C*** beeinflusste Parameter ****************************************** E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm) Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm) Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. der Axialkraft inf. I. -druck deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles C*** Preprozessor **************************************************** /PREP7 !Aufruf des Preprozessors ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer- UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen N,1,Ri !Definieren des Knoten 1 N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201 FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1 EGEN,Elemente,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1 CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung FINISH !Beenden des Preprozessors *DIM,M_El_Kno,ARRAY,Elemente,4,1 !Matrix fuer Elem. -Kn. -Zuordnung *DIM,M_S_f_el,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. fikt. el. Sp. mit 3 Ebenen *DIM,M_Sigma,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Gesamtspannungen mit 3 Eb. *DIM,M_RHO,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Restspannungen mit 3 Eb. C*** fiktiv elastische Analyse *************************************** /SOLU !Aufruf des Solution Prozessors ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp D,1,UY,,,201,1 !Lager von K 1-201 (Axialrichtung) SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1 F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast C*** Verteilerschleife für Simulation des Temperaturgradienten ******* fallendT=deltaT/Elemente !abfallende Temp. ueber Element T1=deltaT/2 !Starttemperatur (Rohrwand innen) T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende *DO,allocate,1,Elemente,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer

!Simulation des Temp. -gradienten BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer T2=T2-fallendT !naechstes Element *ENDDO !Ende der Schleife SOLVE !Kommando zum Loesen FDELE,ALL,ALL !Pkt- u. OF-last w. einm. geloescht SFEDELE,ALL,ALL,ALL !da spaeter nur noch Volumenlast FINISH !Beendet Solution Prozessor C*** Auswertung der fiktiv elastischen Analyse *********************** /POST1 !Aufruf des Postprozessors NITER=0 !zaehlt die Iterationen *VGET,M_El_Kno(1,1),ELEM,1,NODE,1 !setzt in angegebener Spalte die *VGET,M_El_Kno(1,2),ELEM,1,NODE,2 !Knotennummern in den vorhandenen *VGET,M_El_Kno(1,3),ELEM,1,NODE,3 !Reihen der Matrix M_El_Kno


*VGET,M_El_Kno(1,4),ELEM,1,NODE,4 *STATUS,M_El_Kno(1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out *DO,EL,1,Elemente,1 !Schleife ueber Elem. U. Kn. F. die *DO,K,1,4,1 !Besetzung von M_S_f_el u. M_Sigma *GET,S_fel__Y,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Y *GET,S_fel__Z,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Z *GET,S_fel_YZ,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,YZ M_S_f_el(EL,K,1)=S_fel__Y M_S_f_el(EL,K,2)=S_fel__Z M_S_f_el(EL,K,3)=S_fel_YZ M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1) M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2) M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3) *ENDDO *ENDDO *STATUS,M_S_f_el(1,1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out *STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out EPSStern=0 !0 gesetzt, da in Ausw. gefordert *GO,:AUSGABE !Sprung zum Ausgabeteil :WEITER !und wieder zurück und weiter *ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER FINISH !Beenden des Postprozessors C*** Beginn der Iterationsschleife (modifizierte el. Analyse) ******** :Iterativ !Sprungadresse f. weit. Iteration *ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER /PREP7 !Aufruf des Preprozessors BFEDELE,ALL,ALL !Loeschen vorheriger Volumenlasten *DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente) MPCHG,1,EL !alle Elemente Materialnr. 1 EMODIF,EL,ESYS,0 !alle Koord. -syst. in Ausg. -pos. ts1=0 !Setzen der Temperaturen fuer die ts2=0 !Anfangsdehnungen des elastischen ts3=0 !Volumina ts4=0 I=0 !Startwert für Einsch. pl. Volumina *DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten) sfel%K%y=M_S_f_el(EL,K,1) !fiktiv elastische Spannungs- sfel%K%z=M_S_f_el(EL,K,2) !komponenten und Vergleichspannung sfel%K%yz=M_S_f_el(EL,K,3) !im Knoten K (Schleife K=1-4) sfel%K%v=SQRT(sfel%K%y**2+sfel%K%z**2-sfel%K%y*sfel%K%z+3*sfel%K%yz**2) S%K%y=M_Sigma(EL,K,1) !Spannungskomponenten und Vergl.- S%K%z=M_Sigma(EL,K,2) !spannung aus vorhergehender S%K%yz=M_Sigma(EL,K,3)! !Iteration S%K%v=SQRT(S%K%y**2+S%K%z**2-S%K%y*S%K%z+3*S%K%yz**2) *ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten) sfelmy=(sfel1y+sfel2y+sfel3y+sfel4y)/4 !elementgemittelte el. Haupt- sfelmz=(sfel1z+sfel2z+sfel3z+sfel4z)/4 !spannungskomponenten und el. sfelmyz=(sfel1yz+sfel2yz+sfel3yz+sfel4yz)/4 !Hauptsp. (u. gedreht) PHIm=0.5*ATAN(2*sfelmyz/(sfelmy-sfelmz)) !Koord. -drehwinkel sfelmH1=sfelmy*(cos(PHIm))**2+sfelmz*(sin(PHIm))**2+2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm) sfelmH2=sfelmy*(sin(PHIm))**2+sfelmz*(cos(PHIm))**2-2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm) *DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten) *IF,S%K%v,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka I=I+1 !Wenn ja, dann Tendez zu pl. Vol. ts%K%=(1/C)*(sfelmH1-0.5*sfelmH2)*(1-SY/sfel%K%v) !Anfangsdehnung *ENDIF !W. nein, dann kein I u. Anf.-dehn. *ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten) alpha1=1 !Ber. der Ausdehn.-k. für Steuerung alpha2=(sfelmH2-0.5*sfelmH1)/(sfelmH1-0.5*sfelmH2) !der Anf. -dehn. alpha3=-alpha1-alpha2 *IF,I,GE,3,THEN !Prüfung ob Element zu plastischen UIMP,EL+1,EX,,,Et !Volumen tendiert


UIMP,EL+1,ALPX,,,alpha3 !Wenn ja, dann modifizierte UIMP,EL+1,ALPY,,,alpha1 !Materialparameter definieren UIMP,EL+1,ALPZ,,,alpha2 UIMP,EL+1,NUXY,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E UIMP,EL+1,NUXZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E UIMP,EL+1,NUYZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E MPCHG,EL+1,EL !neue Materialparameter zuweisen LOCAL,EL+10,,,,,,PHIm,, !def. neues lok. kart. Koord.-syst. ESYS,EL+10 EMODIF,EL,ESYS,EL+10 BFE,EL,TEMP,1,ts1,ts2,ts3,ts4 !Zuweisen des Koord. -syst. *ENDIF !Wenn el. Vol., dann norm. Material *ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente) FINISH !Beendet Preprozessor /SOLU !Aufruf des Solution Prozessors SOLVE !Kommando zum Loesen FINISH !Beendet Solution Prozessor /POST1 !Aufruf des Postprozessors *DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente) *DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten) *GET,rhoy,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,y !Holt Restspannungskomp. des *GET,rhoz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,z !Knoten K im Element *GET,rhoyz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,yz M_RHO(EL,K,1)=rhoy !schreibt Restspannungskomp. M_RHO(EL,K,2)=rhoz !des Knoten K in Mat. M_RHO M_RHO(EL,K,3)=rhoyz M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1)+M_RHO(EL,K,1) !Add. fikt. el. Sp. M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2)+M_RHO(EL,K,2) !und Restspannung u. M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3)+M_RHO(EL,K,3) !schr. nach M_Sigma *ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten) *ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente) STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out NITER=NITER+1 !zaehlt die Iterationen C*** Ausgabeteil ***************************************************** :AUSGABE DATEI='FZ_B3_%NITER%' !Text fuer Variable „Datei“ *CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen VorleKno=1-(201-Elemente)/Elemente !Wertzuord. fuer vorletzten Knoten *DO,EL,1,Elemente,1 !Schleife ueber Elemente FZ_KnoNr=VorleKno*(1-(Elemente-EL)/(Elemente-1))!Einord. 0 u. VorleKno S1y=M_Sigma(EL,1,1) !Holt Komponenten d. 1. Knoten S1z=M_Sigma(EL,1,2) !und bildet Vergleichsspannung S1yz=M_Sigma(EL,1,3) S1v=SQRT(S1y**2+S1z**2-S1y*S1z+3*S1yz**2) F_ZONE=0 !Setzt Zeiger F_ZONE auf Null *IF,S1v,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka F_ZONE=10 !Wenn ja, d. Zeiger a. belieb. Wert *ENDIF !Wenn nein, hier weiter *VWRITE,FZ_KnoNr,F_ZONE !schreibt Ergebnisse auf Datei (F5.3,2X,F4.0) !Formate *ENDDO !Ende Schleife uber Elemente FZ_KnoNr=1 !Macht ab hier das gleiche fuer S2y=M_Sigma(Elemente,2,1) !Knoten 201 S2z=M_Sigma(Elemente,2,2) S2yz=M_Sigma(Elemente,2,3) S2v=SQRT(S2y**2+S2z**2-S2y*S2z+3*S2yz**2) F_ZONE=0 *IF,S2v,GT,SY,THEN F_ZONE=10 *ENDIF *VWRITE,FZ_KnoNr,F_ZONE


(F5.3,2X,F4.0) *CFCLOSE !Schliesst Ergebnisdatei *IF,NITER,EQ,0,THEN !Wenn 0. Iteration, dann zu 1. mod. *GO,:WEITER !elastischer Analyse (:WEITER) *ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter FINISH !Beendet Postprozessor *IF,NITER,LT,Itr_step,THEN !Wenn kleiner als vorgeg. Iteration *GO,:ITERATIV !dann nächste Iteration *ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter /EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. Postdat


Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201 nach exakter Fließ-

zonentheorie hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr

/BATCH /OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out /TITLE,BREE-Rohr nach exakter FZT im 2-achsigen Spannungszustand /STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch) /CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte C*** variable Parameter ********************************************** DATEI='EX_Et010' !Text fuer Variable „Datei“ S0zuSY_A=0 !normierte Primaerspannung S0zuSY_E=1 !A=Anfang und E=Ende S0_STEP=0.25 !Schrittweite innerhalb A und E StzuSY_A=0 !normierte Sekundaerspannung StzuSY_E=10 !A=Anfang und E=Ende St_STEP=0.5 !Schrittweite innerhalb A und E SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos) EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1) C*** konstante Parameter ********************************************* SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm) alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K) QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm) PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis C*** beeinflusste Parameter ****************************************** E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm) Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm) Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius C*** Preprozessor **************************************************** /PREP7 !Aufruf des Preprozessors ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer- UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen TB,BKIN,1 !bilinear kinemat. Mat.- verhalten


TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze TBMODIF,3,1,Et !Setzen des Verfestigungsmodul N,1,Ri !Definieren des Knoten 1 N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201 FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1 EGEN,200,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1 CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung FINISH !Beenden des Preprozessors C*** Erstellen der Ergebnisdatei ************************************* *CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen C*** Schleife ueber Primaerspannung ********************************** *DO,S0zuSY,S0zuSY_A,S0zuSY_E,S0_STEP pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. d. Axialkraft inf. I. -druck *VWRITE,S0zuSY !schreibt Primaersp. in Datei (F4.2) !Format C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ******************************** *DO,StzuSY,StzuSY_A,StzuSY_E,St_STEP deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles C*** Solution Prozessor ********************************************** /SOLU !Aufruf des Solution Prozessors ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp D,1,UY,,,201,1 !Lager K 1-201 (Axialrichtung) SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1 F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast C*** Verteilerschleife fuer Simulation des Temperaturgradienten ****** fallendT=deltaT/200 !abfallende Temp. ueber Element T1=deltaT/2 !Starttemperatur Rohrwand innen T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende *DO,allocate,1,200,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer !Simulation des Temp.gradienten BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer T2=T2-fallendT !naechstes Element *ENDDO !Ende der Temp. -Verteilerschleife SOLVE !Kommando zum Loesen FINISH !Beendet Solution Prozessor C*** Postprozessor *************************************************** /POST1 !Aufruf des Postprozessors *GET,elZ_K200,NODE,200,EPEL,Z !Holt el. Z-Dehn. -komp. v. K 200 *GET,elZ_K201,NODE,201,EPEL,Z !Holt el. Z-Dehn. -komp. v. K 201 elast_Z=1.5*(elZ_K201-elZ_K200)+elZ_K200 !Extrapol. an den Rohrrand *GET,plZ_K200,NODE,200,EPPL,Z !Holt pl. Z-Dehn. -komp. v. K 200 *GET,plZ_K201,NODE,201,EPPL,Z !Holt pl. Z-Dehn. -komp. v. K 201 plast_Z=1.5*(plZ_K201-plZ_K200)+plZ_K200 !Extrapol. an den Rohrrand elpl_Z=elast_Z+plast_Z !Berech. d. el.-pl. Z-Dehn. -komp. *VWRITE,StzuSY,elpl_Z !schreibt Ergebnisse auf Datei (F5.2,2X,F15.10) !Formate FINISH !Beendet Postprozessor


C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung *********************** *ENDDO C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung ************************* *ENDDO *CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei /EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten

Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201 nach vereinfachter

Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr

/BATCH /OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out /TITLE,BREE-Rohr nach vereinfachter FZT im 2-achsigen Spannungszustand /STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch) /CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte C*** variable Parameter ********************************************** DATEI='ZA_Et010' !Text fuer Variable „Datei“ S0zuSY_A=0 !norm. Primaersp. (bei 0: 1e-30) S0zuSY_E=1 !A=Anfang und E=Ende S0_STEP=0.25 !Schrittweite innerhalb A und E StzuSY_A=0 !normierte Sekundaerspannung StzuSY_E=10 !A=Anfang und E=Ende St_STEP=0.5 !Schrittweite innerhalb A und E SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos) EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1) Itr_step=2 !Anzahl der Iterationen C*** konstante Parameter ********************************************* SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm) alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K) QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm) PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis Elemente=200 !Anzahl der Elemente C*** beeinflusste Parameter ****************************************** E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm) Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm) Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius C*** Preprozessor **************************************************** /PREP7 !Aufruf des Preprozessors ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer- UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen N,1,Ri !Definieren des Knoten 1 N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201


FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1 EGEN,Elemente,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1 CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung FINISH !Beenden des Preprozessors *DIM,M_El_Kno,ARRAY,Elemente,4,1 !Matrix fuer Elem. -Kn. -Zuordnung *DIM,M_S_f_el,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. fikt. el. Sp. mit 3 Ebenen *DIM,M_Sigma,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Gesamtspannungen mit 3 Eb. *DIM,M_RHO,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Restspannungen mit 3 Eb. C*** Erstellung der Ergebnisdatei ************************************ *CFOPEN,DATEI,ERG !oeffnet Datei mi oben def. Namen C*** Schleife ueber Primaerspannung ********************************** S0zuSY=S0zuSY_A !Setzt Startwert f. Primaerspannung :PRIMAER !Sprungadresse f. Schleife P. -sp. *ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :PRIMAER pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. der Axialkraft inf. I. -druck *VWRITE !schreibt Leerzeile in Datei ('') !Format ‘kein Zeichen’ *VWRITE,S0zuSY !schreibt Primaersp. In Datei (F5.2) !Format C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ******************************** StzuSY=StzuSY_A !Setzt Startwert f. Sekundaer. -sp. :SEKUND !Sprungadresse f. Schleife S. -sp. *ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :SEKUND deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles *VWRITE,StzuSY !schreibt Sekundaersp. In Datei (F5.2) !Format C*** fiktiv elastische Analyse *************************************** /SOLU !Aufruf des Solution Prozessors ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp D,1,UY,,,201,1 !Lager von K 1-201 (Axialrichtung) SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1 F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast C*** Verteilerschleife für Simulation des Temperaturgradienten ******* fallendT=deltaT/Elemente !abfallende Temp. ueber Element T1=deltaT/2 !Starttemperatur (Rohrwand innen) T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende *DO,allocate,1,Elemente,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer

!Simulation des Temp. -gradienten BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer T2=T2-fallendT !naechstes Element *ENDDO !Ende der Schleife SOLVE !Kommando zum Loesen FDELE,ALL,ALL !Pkt- u. OF-last w. einm. geloescht SFEDELE,ALL,ALL,ALL !da spaeter nur noch Volumenlast FINISH !Beendet Solution Prozessor C*** Auswertung der fiktiv elastischen Analyse *********************** /POST1 !Aufruf des Postprozessors


NITER=0 !zaehlt die Iterationen *VGET,M_El_Kno(1,1),ELEM,1,NODE,1 !setzt in angegebener Spalte die *VGET,M_El_Kno(1,2),ELEM,1,NODE,2 !Knotennummern in den vorhandenen *VGET,M_El_Kno(1,3),ELEM,1,NODE,3 !Reihen der Matrix M_El_Kno *VGET,M_El_Kno(1,4),ELEM,1,NODE,4 *STATUS,M_El_Kno(1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out *DO,EL,1,Elemente,1 !Schleife ueber Elem. U. Kn. F. die *DO,K,1,4,1 !Besetzung von M_S_f_el u. M_Sigma *GET,S_fel__Y,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Y *GET,S_fel__Z,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Z *GET,S_fel_YZ,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,YZ M_S_f_el(EL,K,1)=S_fel__Y M_S_f_el(EL,K,2)=S_fel__Z M_S_f_el(EL,K,3)=S_fel_YZ M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1) M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2) M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3) *ENDDO *ENDDO *STATUS,M_S_f_el(1,1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out *STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out EPSStern=0 !0 gesetzt, da in Ausw. gefordert *GO,:AUSGABE !Sprung zum Ausgabeteil :WEITER !und wieder zurück und weiter *ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER FINISH !Beenden des Postprozessors C*** Beginn der Iterationsschleife (modifizierte el. Analyse) ******** :Iterativ !Sprungadresse f. weit. Iteration *ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER /PREP7 !Aufruf des Preprozessors BFEDELE,ALL,ALL !Loeschen vorheriger Volumenlasten *DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente) MPCHG,1,EL !alle Elemente Materialnr. 1 EMODIF,EL,ESYS,0 !alle Koord. -syst. in Ausg. -pos. ts1=0 !Setzen der Temperaturen fuer die ts2=0 !Anfangsdehnungen des elastischen ts3=0 !Volumina ts4=0 I=0 !Startwert für Einsch. pl. Volumina *DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten) sfel%K%y=M_S_f_el(EL,K,1) !fiktiv elastische Spannungs- sfel%K%z=M_S_f_el(EL,K,2) !komponenten und Vergleichspannung sfel%K%yz=M_S_f_el(EL,K,3) !im Knoten K (Schleife K=1-4) sfel%K%v=SQRT(sfel%K%y**2+sfel%K%z**2-sfel%K%y*sfel%K%z+3*sfel%K%yz**2) S%K%y=M_Sigma(EL,K,1) !Spannungskomponenten und Vergl.- S%K%z=M_Sigma(EL,K,2) !spannung aus vorhergehender S%K%yz=M_Sigma(EL,K,3)! !Iteration S%K%v=SQRT(S%K%y**2+S%K%z**2-S%K%y*S%K%z+3*S%K%yz**2) *ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten) sfelmy=(sfel1y+sfel2y+sfel3y+sfel4y)/4 !elementgemittelte el. Haupt- sfelmz=(sfel1z+sfel2z+sfel3z+sfel4z)/4 !spannungskomponenten und el. sfelmyz=(sfel1yz+sfel2yz+sfel3yz+sfel4yz)/4 !Hauptsp. (u. gedreht) PHIm=0.5*ATAN(2*sfelmyz/(sfelmy-sfelmz)) !Koord. -drehwinkel sfelmH1=sfelmy*(cos(PHIm))**2+sfelmz*(sin(PHIm))**2+2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm) sfelmH2=sfelmy*(sin(PHIm))**2+sfelmz*(cos(PHIm))**2-2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm) *DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten) *IF,S%K%v,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka I=I+1 !Wenn ja, dann Tendez zu pl. Vol. ts%K%=(1/C)*(sfelmH1-0.5*sfelmH2)*(1-SY/sfel%K%v) !Anfangsdehnung *ENDIF !W. nein, dann kein I u. Anf.-dehn. *ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten) alpha1=1 !Ber. der Ausdehn.-k. für Steuerung


alpha2=(sfelmH2-0.5*sfelmH1)/(sfelmH1-0.5*sfelmH2) !der Anf. -dehn. alpha3=-alpha1-alpha2 *IF,I,GE,3,THEN !Prüfung ob Element zu plastischen UIMP,EL+1,EX,,,Et !Volumen tendiert UIMP,EL+1,ALPX,,,alpha3 !Wenn ja, dann modifizierte UIMP,EL+1,ALPY,,,alpha1 !Materialparameter definieren UIMP,EL+1,ALPZ,,,alpha2 UIMP,EL+1,NUXY,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E UIMP,EL+1,NUXZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E UIMP,EL+1,NUYZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E MPCHG,EL+1,EL !neue Materialparameter zuweisen LOCAL,EL+10,,,,,,PHIm,, !def. neues lok. kart. Koord.-syst. ESYS,EL+10 EMODIF,EL,ESYS,EL+10 BFE,EL,TEMP,1,ts1,ts2,ts3,ts4 !Zuweisen des Koord. -syst. *ENDIF !Wenn el. Vol., dann norm. Material *ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente) FINISH !Beendet Preprozessor /SOLU !Aufruf des Solution Prozessors SOLVE !Kommando zum Loesen FINISH !Beendet Solution Prozessor /POST1 !Aufruf des Postprozessors *DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente) *DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten) *GET,rhoy,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,y !Holt Restspannungskomp. des *GET,rhoz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,z !Knoten K im Element *GET,rhoyz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,yz M_RHO(EL,K,1)=rhoy !schreibt Restspannungskomp. M_RHO(EL,K,2)=rhoz !des Knoten K in Mat. M_RHO M_RHO(EL,K,3)=rhoyz M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1)+M_RHO(EL,K,1) !Add. fikt. el. Sp. M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2)+M_RHO(EL,K,2) !und Restspannung u. M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3)+M_RHO(EL,K,3) !schr. nach M_Sigma *ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten) *ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente) STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out NITER=NITER+1 !zaehlt die Iterationen *GET,EPSelast,NODE,201,EPEL,Z !Holt Komp. fuer Epsilon Stern in *GET,EPStherm,NODE,201,EPTH,Z !Umfangsrichtung EPSStern=EPSelast+EPStherm !Berechnung Epsilon Stern C*** Ausgabeteil ***************************************************** :AUSGABE Sigma_Y=M_Sigma(200,2,1) !Holt Spannungskomp. des Kn. 201 Sigma_Z=M_Sigma(200,2,2) EPS_el=(-QDZahl*Sigma_Y+Sigma_Z)/E !Ber. der elast Dehnung in U.-rich. RHO_Y=M_RHO(200,2,1) !Holt Restspannungskomp. des RHO_Z=M_RHO(200,2,2) !Knoten 201 EPS_pl=EPSStern-(-QDZahl*RHO_Y+RHO_Z)/E !Ber. d. pl. Deh. in U.-rich. EPSelpl=EPS_el+EPS_pl !el.-pl. Dehnung in Umfangsrichtung *VWRITE,NITER,EPSelpl !schreibt Iterationsnr. U. Dehnung (F5.2,2X,F15.10) !in Datei mit angegebenen Format *IF,NITER,EQ,0,THEN !Wenn 0. Iteration, dann zu 1. mod. *GO,:WEITER !elastischer Analyse (:WEITER) *ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter FINISH !Beendet Postprozessor *IF,NITER,LT,Itr_step,THEN !Wenn kleiner als vorgeg. Iteration *GO,:ITERATIV !dann nächste Iteration *ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung ***********************


*IF,StzuSY,LT,StzuSY_E,THEN !Pruef. ob Endwert erreicht StzuSY=StzuSY+St_STEP !Ber. der naechsten Sekundaer -sp. *GO,:SEKUND !Sprung zur Berech. d. neuen S.-sp. *ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung ************************ *IF,S0zuSY,LT,S0zuSY_E,THEN !Pruef. ob Endwert erreicht S0zuSY=S0zuSY+S0_STEP !Ber. der naechsten Primaer -sp. *GO,:PRIMAER !Sprung zur Berech. d. neuen P.-sp. *ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter *CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei /EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. Postdaten


Vergleichsdehnungsberechnung am Knoten 201 nach exakter Fließzonentheorie

hinsichtlich zyklischer Belastung am Bree-Rohr

/BATCH /OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out /TITLE,BREE-Rohr nach exakter FZT im 2-achsigen Spannungszustand /STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch) /CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte C*** variable Parameter ********************************************** DATEI='INTERAKT' !Text fuer Variable „Datei“ S0zuSY_A=0 !normierte Primaerspannung S0zuSY_E=1 !A=Anfang und E=Ende S0_STEP=0.05 !Schrittweite innerhalb A und E StzuSY_A=0 !normierte Sekundaerspannung StzuSY_E=12 !A=Anfang und E=Ende St_STEP=0.1 !Schrittweite innerhalb A und E SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos) EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1) ABRKRIT=9e-1 !Abbruchkriterium (bei eingespielt) C*** konstante Parameter ********************************************* SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm) alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K) QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm) PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis C*** beeinflusste Parameter ****************************************** E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm) Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm) Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius C*** Preprozessor **************************************************** /PREP7 !Aufruf des Preprozessors ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie


UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer- UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen TB,BKIN,1 !bilinear kinemat. Mat.- verhalten TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze TBMODIF,3,1,Et !Setzen des Verfestigungsmodul N,1,Ri !Definieren des Knoten 1 N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201 FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1 EGEN,200,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1 CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung FINISH !Beenden des Preprozessors C*** Erstellen der Ergebnisdatei ************************************* *CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen C*** Schleife ueber Primaerspannung ********************************** *DO,S0zuSY,S0zuSY_A,S0zuSY_E,S0_STEP pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. d. Axialkraft inf. I. -druck *VWRITE,S0zuSY !schreibt Primaersp. in Datei (F4.2) !Format C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ******************************** *DO,StzuSY,StzuSY_A,StzuSY_E,St_STEP deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles C*** Solution Prozessor ********************************************** /SOLU !Aufruf des Solution Prozessors ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp PRED,ON,,OFF !nummerische Hilfen CNVTOL,F,,0.00001,,1 !Annaeherungstoleranz der Kraft D,1,UY,,,201,1 !Lager K 1-201 (Axialrichtung) SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1 F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast SOLVE !Kommando zum Loesen LOADSTEP=1 !Variable zum Zaehlen der SOLVE *GET,UX201,NODE,201,U,X !X-Versch. von K 201 auf UX201 UX201alt=UX201 !UY402alt f. Ber. Dehnungszuwachs C*** Schleife fuer zyklische Belastung ******************************* *DO,ZYKLEN,1,10000 !Schleife max 10000 Durchgaenge C*** Verteilerschleife fuer Simulation des Temperaturgradienten ***** fallendT=deltaT/200 !abfallende Temp. ueber Element T1=deltaT/2 !Starttemperatur Rohrwand innen T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende *DO,allocate,1,200,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer !Simulation des Temp.gradienten BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer T2=T2-fallendT !naechstes Element *ENDDO !Ende der Temp. -Verteilerschleife SOLVE !Kommando zum Loesen LOADSTEP=LOADSTEP+1 !Zaehlt SOLVE BFEDELE,ALL,ALL !Loeschen der Temperatur


SOLVE !Kommando zum Loesen LOADSTEP=LOADSTEP+1 !Zaehlt SOLVE *GET,UX201,NODE,201,U,X !X-Versch. von K 201 auf UX201 C*** Schleifenabbruch bei Abbruchkriterium ************************** *IF,ABS(UX201-UX201alt),LT,ABRKRIT,EXIT !Abbruch da eingespielt UX201alt=UX201 !setzt UX201alt auf aktuellen UX201 *ENDDO !Ende der zykl. Belastungsschleife FINISH !Beendet Solution Prozessor C*** Postprozessor *************************************************** /POST1 !Aufruf des Postprozessors *GET,VSpann,NODE,201,S,EQV !Holt Vergl. -sp. f. Var. VSpann *GET,X,NODE,201,EPPL,X !Holt plast. Dehn.- komp. und *GET,Y,NODE,201,EPPL,Y !setzt auf entsprechende Variable *GET,Z,NODE,201,EPPL,Z *GET,XY,NODE,201,EPPL,XY *GET,YZ,NODE,201,EPPL,YZ *GET,XZ,NODE,201,EPPL,XZ el_VD=VSpann/E !Berech. elast. Vergl. -dehnung pl_VD=SQRT(2)/3*SQRT((X-Y)**2+(X-Z)**2+(Y-Z)**2+6*(XY**2+YZ**2+XZ**2)) !Berech. plast. Vergl. -dehnung elplVDEY=(el_VD+pl_VD)/SYzuE !el.-pl. Vergleichsdehnung ZYKLEN=ZYKLEN-1 !Berech. erf. Zyk.-zahl f. eingesp. *VWRITE,StzuSY,elplVDEY,ZYKLEN !schreibt Ergebnisse auf Datei (F5.2,2X,F15.10,2X,F5.0) !Formate FINISH !Beendet Postprozessor C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung *********************** *ENDDO C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung ************************* *ENDDO *CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei /EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten

H. Huhn / Diplomarbeit / Erklärung 124

8. Erklärung

Selbständigkeitserklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und unter aus-

schließlicher Verwendung der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.

Cottbus 10. Februar 1998

Holger Huhn

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DIPLOMARBEIT · 6 H. Huhn / Diplomarbeit / Bezeichnungen 2. Bezeichnungen σi ij V, , Hauptspannungen, Spannungskomponenten, Vergleichsspannung (Mises)σ σ σi ij′, deviatorische