232

7 Regelung Closed loop control

Regelungen kommen an vie len Stellen in mechatronischen Systemen vor. In der Forderanlage aus Kapitell muss z. B. die Geschwindigkeit des Bandes geregelt werden. Die Kemaufgabe in der Regelungstechnik besteht darin, fUr eine bestimmte Regelungsaufgabe den geeigneten Regier auszuwahlen und die Parameter anzupassen.

In diesem Kapitel werden zunachst Begriffe im Zusammenhang mit Regelkreisen erlautert. Danach werden Regier und Strecken getrennt betrachtet, urn im dritten Teil in ihrem Zusam­menwirken untersucht zu werden.

7.1 Grundbegriffe Fundamentals

DIN 19226 definiert: Das Regeln (die Regelung) ist ein Vorgang, bei dem eine GroBe, die Regelgro6e, fortlaufend erfasst, mit einer zweiten GroBe, der Fiihrungsgro6e, verglichen und im Sinne der Angleichung an die Ftih­rungsgroBe beeinflusst wird. Der sich daraus ergebende Wirkungsablauf fin­det im so genannten Regelkreis statt (Bild 7-1).

Bild 7-1 Vereinfachter Regelkreis im Wirkungsplan

Stell­gr6Be y

St6r­gr6Bez

Unter GrofJen werden hier physikalische GroBen wie elektrischer Widerstand, Spannung, Dichte, Druck, Temperatur verstanden. Die FtihrungsgroBe wist eine von der Regelung nicht beeinflusste GroBe, die von auBen zugefUhrt wird und der die AusgangsgroBe der Regelung in vorgegebener Abhangigkeit folgen solI. Die FtihrungsgroBe ist nicht notwendig konstant. In vielen Fallen ist sie zeitlich veranderlich. Die Angleichung der RegelgroBe an die Ftihrungs­groBe ist die eigentliche Regelaufgabe. Dabei bedeutet Angleichung nicht notwendig Dek­kungsgleichheit. Entsprechend der Regelaufgabe werden Abweichungen in festgelegten Gren­zen zugelassen. Auf Grund der ermittelten Abweichung zwischen RegelgroBe und Ftihrungs­groBe bildet die Regeleinrichtung die StellgroBe.

Diese StellgroBe muss so gewahlt werden, dass sich die RegelgroBe der FtihrungsgroBe annahert. Auf den Regelkreis wirken auch nichtplanbare StOrungen ein, die man zu einer StorgroBe zu­sarnmenfasst, die auf die Strecke einwirkt. Auch diesen Einfluss muss der Regelkreis ,ausregeln'.

Regeln ist demnach ein Kreisprozess aus

• fortlaufendem Messen der RegelgroBe,

• standigem Vergleichen mit der FtihrungsgroBe,

• Angleichen der RegelgroBe an die FtihrungsgroBe.

B. Heinrich et al. (eds.), Mechatronik© Springer Fachmedien Wiesbaden 2004

7.2 Beschreibung des Verhaltens von Regelkreisgliedem 233

7.2 Beschreibung des Verhaltens von Regelkreisgliedern Description of the behaviour of elements used in closed loop control circuits

Ein Regelkreis setzt sich aus vielen Komponenten zusammen, deren Zusammenwirken die Eigenschaften und die Wirkung des Regelkreises ausmachen. Unabhangig vom Detail ist es wichtig zu wissen, wie der Regelkreis als Gesamtheit auf veranderte EingangsgroBen reagiert, urn ggf. ungewollte Effekte beseitigen zu konnen oder auch nur, urn sein Verhalten beschrei­ben zu konnen. Meist ist der Regelkreis zu komplex, urn sein Gesamtverhalten geeignet vorhersagen und ein­stellen zu konnen. Deshalb wird methodisch so vorgegangen, dass zunachst das Verhalten der Komponenten untersucht und beschrieben wird. Aus deren Kenntnis lasst sich dann vieles tiber das Zusammenwirken in einem Kreisprozess aussagen. Es ist sinnvoll, bei diesen Untersuchungen nicht von Regel-, Stell-, Ftihrungs- und StOrgroBen zu sprechen, sondem allgemein von Eingangs- und AusgangsgroBen. Diese werden mit u und v bezeichnet.

Statisches Verhalten

Das statische Verhalten von Regelkreisgliedem wird durch Kennlinien beschrieben. Eine Kennlinie beschreibt im Beharrungszustand die Abhangigkeit der AusgangsgroBe v von der EingangsgroBe u.

Ais Beharrungszustand eines Gliedes gilt derjenige beliebig lange aufrechtzuerhaltende Zu­stand, der sichbei zeitlicher Konstanz der Eingangssignale nach Ablauf aller Einschwingungs­vorgange ergibt.

Hat ein Glied mehrere EingangsgroBen, so ergibt sich ein Kennlinienfeld. Dabei tragt man das Ausgangssignal in Abhangigkeit einer einzigen EingangsgroBe auf. Die tibrigen EingangsgroBen fasst man als Parameter auf.

Bild 7-2 zeigt die K1emmspannung V eines Stromkreises (als AusgangsgroBe v) . Diese wird in Abhangigkeit von der durch die Lage x des Abgriffkontaktes (als EingangsgroBe u I) gekennzeichneten Einstellung eines Widerstandes aufgetragen. Die im Kreis wirksame Spannung Ve (als EingangsgroBe U2) und der Belastungsstrom I (als Ein­gangsgroBe U3) sind hier die Parameter. Ein Kennlinienfeld eines Transistors findet sich auch in Kapitel 3.2.3.

Kennlinie: U=U(x,/,Ue)

U in V

1 xincm

BUd 7-2 Kennlinienfeld

Meist sind Kennlinien gekriimmt. Sie werden vielfach, vor allem zur Berechnung, durch Gera­den ersetzt. Man spricht hierbei von Linearisieren. Dabei wird im Arbeitspunkt eine Tangente an die Kennlinie gelegt. Aus der Steigung ergibt sich der so genannte Ubertragungsbeiwert K.

K=~ (1) flu

234 7 Regelung

In Bild 7-2 wurde der Arbeitspunkt bei x = 2 cm, Ue = 110 V und 1= 50 A gewahlt. An der Geraden liest man ab:

K = fl v = fl U e = 200 V = 66, 7 ~. flu flx 3cm cm

Zeitverhalten

Das Zeitverhalten der Regelkreisglieder wird dadurch untersucht, dass man die jeweiligen EingangsgroBen typisch iindert und zwar

• sprunghaft,

• ansteigend,

• impulsformig oder

• sinusfOrmig. Das Ubergangsverhalten beschreibt dann den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals bei Auf­schaltung charakteristischer zeitlicher Verliiufe des Eingangssignals.

Sprungantwort

Viele Regelvorgiinge verhalten sich so, dass die EingangsgroBe u sich sprunghaft iindert von einem Anfangswert Uo auf einen festen Endwert u I. Die Reaktion der AusgangsgroBe darauf wird hier Sprungantwort genannt. Diese kann sehr unterschiedlich ausfallen. Die Sprungant­wort kann schlagartig erfolgen, sie kann sich langsam und gleichmiiBig ihrem Endwert nahem, oder sie kann erst tiber den Endwert hinauswandem, urn sich ihm dann schwingend zu nahem.

Die Aufschaltung eines Sprunges ist - zumindest bei theoretischen Betrachtungen - eine hiiu­fig angewandte Testmethode bei der Untersuchung von Regelkreisgliedem. Urn aus der Funk­tionsgleichung den Einfluss der konstanten Eingangssprunghohe u zu eliminieren, fiihrt die DIN eine neue Funktion h(t) ein, die Ubergangsfunktion genannt wird.

h(t) = v(t) u(t)

(2)

Ftir gro8e t und stabiles Verhalten gilt h(t) = K (3),

wobei K der Dbertragungsbeiwert aus (1) ist.

u v mogliche

Sprungantwort ul-----

Eingangssprung

o Bild 7-3 Sprungantwort

Beispiel fiir die Berechnung eines Ubertragungsbeiwertes

Der Ubertragungsbeiwert des Zahnradpaares aus Bild 7-4 soli berechnet werden.

wsung Das obere Zahnrad mit der Zahnezahl Zl drehe mit der konstanten Drehzahl ne. Dieses ist die EingangsgroBe u(t). Die AusgangsgroBe vet) ist die sich einstellende konstante Drehzahl na. Flir die Ubergangsfunktion h(t) gilt nach (2)

h(t) = vet) . u(t)

Flir die Ubersetzung an einem Zahnradpaar gilt Bild 7-4 Ubergangsfunktion am Zahnradpaar

7.2 Beschreibung des Verhaltens von Regelkreisgliedem 235

~=~ (4). lie ZZ

Also ist die Ubergangsfunktion h(t) = ~ . Zz

Laut (3) ist h(t) = K, also ist der Ubertragungsbeiwert hier das umgekehrte Ubersetzungsverhliltnis.

Anstiegsantwort

Steigt die EingangsgroBe linear an, so nennt man die Reaktion des Gliedes darauf An­stiegsantwort (Bild 7-5). Diese kann wieder­urn sehr unterschiedlich sein, steigt sie iiber­proportional, nennt man ihren Verlauf pro­gressiv, steigt sie weniger als linear an, de­gressiv.

u(t) = {O K·t

Impulsantwort

fUr t S; ° fUr t > ° (5)

Ein Impuls (Bild 7-6) ist eine sprunghafte, jedoch zeitlich begrenzte Anderung. Ein kurzzeitig steil hoch schnellender Impuls heiBt Nadelimpuls. Das Ubergangsverhalten bei einem impulsfOrmigen Eingangssignal heiBt entsprechend Impulsantwort.

{o fUr t:;t: ° u(t) =

00 fUr t = ° Frequenzantwort

(6)

u

o

Eingangs­anstieg

t

Bild 7-5 Anstiegsantwort

u

o

Eingangs­impuls

t

Bild 7-6 Impulsantwort

v mogliche (progressive Anstiegs­antwort

o

v mogliche Impuls­antwort

t

t

Neben den oben beschriebenen Arten kann das Zeitverhalten eindeutig auch durch die Zuord­nung des Ausgangssignals zu einer sinusfOrmigen Anderung des Eingangssignals beschrieben werden. Dabei muss das Eingangssignal aIle Frequenzen zwischen Null und Unendlich durch­laufen.

Ein sinusfOrmiges Eingangssignal kann beschrieben werden durch

u(t) = A·sin(wt) (7),

wobei A die Amplitude und w = 21tf die

Kreisfrequenz ist (Bild 7-7).

u

A

t

Bild 7-7 Funktionsgraf bei reeller Darstellung

236

Die folgenden Rechnungen werden erheb­lich einfacher, wenn man diese Schwingung mittels komplexer Zahlen beschreibt.

!{(t) = k(cos(tm)+ j.sin(tm)), (8)

oder in Exponentialform

!{(t)=ke jliJl . (9)

Die Zusammenhange sind in Bild 7-8 darge­stellt.

7 Regelung

1m

Bild 7-8 Funktionsgraf bei komplexer Darstellung (heiEt hier Ortskurve)

Fur die hier betrachteten linearen Systeme kann man zeigen, dass die AusgangsgroBe vet) im eingeschwungenen Zustand auch einen sinusfOrrnigen Verlauf mit gleicher Frequenz hat. Allerdings ist sie meist phasenverschoben. Damit gilt

(10)

Der Verlauf der AusgangsgroBe wird auch Frequeuzantwort genannt. In Bild 7-9 sind die Zusammenhange in reeller Darstellung, in Bild 7-10 in komplexer Darstellung aufgefiihrt.

Bildet man den Quotienten

.!;(t)

!{(t)

so erhalt man

.!;(t) = B·ej(liJI+tp) = B·ej(liJI)·ej(tp) = B .ej(tp)

!{(t) kej(liJI) A-ej(liJI) A

Dieses VerhaItnis, das von t unabhangig ist, nennt man Frequenzgang und bezeichnet es mit

Q(jOJ) . Es gilt also

G(jOJ):= ~(t) = B .ej(tp). - !{(t) A

Bild 7-9 Funktionsgraf der Frequenz­antwort in reeller Darstellung

(11 )

1m

Bild 7-10 Ortskurve der Frequenzantwort bei komplexer Darstellung

7.3 Regelstrecken

Darstellung des Frequenzganges

Der Frequenzgang Q (j OJ) ist eine komple­

xe Funktion der Frequenz OJ. Der Wert einer komplexen Funktion bei einem be­stimmten OJ -Wert wird durch einen Zeiger dargestellt. Zeichnet man die Zeiger zu verschiedenen Frequenzen in ein Koordina­tensystem und verbindet die Endpunkte der Zeiger, so entsteht eine Kurve, die Ortskurve des Frequenzgangs (Bild 7-11).

237

1m

Bild 7-11 Ortskurve

Eine andere Darstellung bildet das Bode-Diagramm. Dort wird von der komplexen Funktion

Q(jOJ) einmal der Betrag IQ(jOJ)I, zum anderen der Phasenwinkel rp in Abhangigkeit von

der Frequenz OJ gezeichnet (Amplitudengang (Bild 7-12), bzw. Phasengang (Bild 7-13)).

Charakteristisch ist, dass der Betrag des Frequenzganges IQ (j OJ)I und die Frequenz OJ im

logarithrnischen MaBstab, der Phasenwinkel rp im linearen MaBstab aufgetragen werden.

q>

161 , re /4 ,

10' ..... ---

-re/4 . -I wms

10- 1 ro in s-' -re/2

Bild 7-12 Amplitudengang Bild 7-13 Phasengang

Weitere Beispiele ftir Bode-Diagramme findet man in Kapitel 3.2.6 Operationsverstarker.

7.3 Regelstrecken Controlled systems

Laut DIN 19226 gilt: Die Regelstrecke ist derjenige Teil des Wirkungsweges, welcher den aufgabengemaB zu beeinflussenden Teil der Anlage darstellt. Die regelungstechnische und auch mathematische Behandlung von Regelstrecken gibt in zwei­erlei Hinsicht Probleme auf. Einerseits ist die Art der Strecke oft durch das zu regelnde Pro­blem vorgegeben und in ihren Parametem nur wenig veranderbar. Andererseits sind die Kenn­groBen der Strecken fast immer unbekannt, sie werden meist nicht - wie bei Reglem - von den Handlem rnitgeliefert und miissen zunachst entweder durch physikalische GesetzmaBigkeiten oder experimentell errnittelt werden.

Es interessiert hierbei sowohl das Zeit- als auch das statische Verhalten. Das statische Verhal­ten dient in erster Linie zur Beurteilung der generellen Eignung, d. h., ob der Stellbereich tiberhaupt sinnvoll durch die Strecke abgedeckt werden kann. Diese Information kann aus dem Kennlinienfeld nach Wahl des Arbeitspunktes errnittelt werden. Das Zeitverhalten dient zur

238 7 Regelung

Beurteilung der Frage, ob eine gegebene Strecke im Zusammenwirken mit den anderen Teilen des Regelkreises sinnvolle Ergebnisse liefert. Notwendig dafiir ist stets eine mathematische Beschreibung des dynamischen Verhaltens der Strecke.

Das unterschiedliche dynamische Verhalten bildet auch die Grundlage fUr eine Systematisie­rung der unterschiedlichen Streckentypen. Diese erfolgt nicht nach der zu regelnden physika­lischen GroBe, sondem nach dem Zeitverhalten der Strecke.

Regelstrecken mit Ausgleicb (P-Strecken)

Die mathematisch und meist auch technisch einfachste Strecke besitzt eine RegelgroBe, die sich proportional zur StellgroBe verhalt.

x=Kps'Y (12)

Ubertragungsbeiwert

Der Proportionalitatsfaktor K ps ist der Ubertragungs-

beiwert (Index P fiir P-Ver-halten, S fUr Strecke). Er kann aus der Steigung der Kennlinie im Arbeitspunkt bestimmt werden.

Sprungantwort

Aufgrund des einfachen mathematischen Zusam­menhangs liisst sich die Sprungantwort einer solchen Strecke leicht angeben.

y

Ye 1-----

t

Bild 7-16 Sprungantwort einer P-Strecke

'l~d' I ~Y ~

L1x y Kps =

. L1y

Bild 7-14 Kennlinienfeld

Frequenzgang

Es lasst sich zeigen, dass fUr den Frequenzgang einer P-Strecke gilt

Q(jw)= Kps

Damit ergibt sich die Orts­kurve. Sie ist zu einem Punkt entartet.

1m -+1--.----. .. -Kps Re

Bild 7-17 Ortskurve einer P-Strecke

Blocksymbol

Ais Blocksymbol fUr den Wirkungsplan sind folgende Darstellungen gebrauchlich:

~~ BUd 7-15 BlocksymboJe fur

P-Strecken

Bode-Diagramm

Mit IQI = Kps und tp= 0

ergibt sich das Bode­Diagramm.

BUd 7·18 Bode-Diagramm einer P-Strecke

7.3 Regelstrecken 239

Lehrbeispiel

Fur den Spannungsteiler als P-Strecke werden die charakterisierenden GroBen und Diagramme erstellt.

Rj = 200 n R2 = 500 n U 0 = 12 V

Die Spannung Uo steige zum Zeitpunkt t = 0 sprunghaft von 0 V auf 12 V.

Bestimmen Sie • U 2 (nach dem Ohmschen Gesetz),

• Kps • die Sprungantwort • die Ubergangsfunktion

R, U,Ir:-3R • die Ortskurve • das Bode-Diagramm

LOsung

Nach dem Ohmschen Gesetz in Verbindung mit der Maschenregelliefert die Beziehung zwischen der EingangsgroBe U 0 (= xe) und der AusgangsgroBe U 2 (= Xa)

R2 500n U 2 == Rj + R2 . U 0 = 200 n + 500 n ·12 V = 0,714 ·12 V = 8,6 V .

'------.r---' Kps

Somit ist Kps = 0,714 und U2 = 8,6 V .

Sprungantwort Ubergangsfunktion Bode.Diagramm

llo in V VIVo Wegen IQI==Kps =0,714 und

auch rp = 0 ergeben sich fol-

12 Tf--- - gende Ortskurve und folgendes Kps == 0,714 Bode-Diagramm

t t \Q\

liz in V Ortskurve tf--- -0,714

~·4==~6 1m 1 0,1 1 10 OJ in S-'

• .. t 0,714 Re :1 •

1 OJ in S-'

Weitere Beispiele fUr P·Strecken

Hebel Gasrorderung

(, (2 )Q- \ ~ ! ~ t F2 Nach der Zustandsgleichung fiir ideale Gase

gilt bei konstanter Temperatur Nach dem Hebelgesetz gilt F2· h = Fi . It , P2·Q2==PI·QI,

also ist F2 = il Fi und damit Kps = il. I· QI dd· K QI 12 h a so 1St P2 == - PI un awt PS = - .

Q2 Q2

240 7 Regelung

Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken)

Bei einen I-Glied ist die Sprungantwort eine linear mit der Zeit ansteigende Gerade.

x(t) = K IS ·t· y (13)

Ftir anderes Eingangsverhalten gilt allgemein

x(t) = K IS ' f y(t)dt (14)

Ubertragungsbeiwert Blocksymbol

Der Faktor KIS ' t ist der Ubertragungsbei- Ais Blocksymbol fUr den Wirkungsplan sind

wert (Index I fUr /-Verhalten, S ftir Strecke) folgende Darstellungen gebrauchlich:

Er kann aus der Steigung der Kennlinie der ~[g Anderungsgeschwindigkeit im Arbeitspunkt

bestimmt werden. KIS ' t wachst tiber alle Bild 7-19

Grenzen.

Sprungantwort

Aufgrund des einfa­chen mathematischen Zusammenhangs lasst sich die Sprungantwort einer so1chen Strecke leicht angeben.

Y

Ye 1-----

Y

I ~. V1:e~g~n~

t

Bild 7-20 Sprungantwort einer I-Strecke

t

Frequenzgang

Es lasst sich zeigen, dass fUr den Frequenzgang einer I-Strecke gilt

G(jOJ)=

K IS . K IS (15) -.-=-j-]OJ OJ

Damit ergibt sich die Ortskurve. Sie ist rein imaginar.

/m~ () = 00 Re

Bild 7-21 Ortskurve einer I-Strecke

Blocksymbole fUr I-Strecken

Bode-Diagramm

Mit IQI = K IS und OJ

tan(lp) =

Im(Q) n --~ -00 d.h. lp = -­Re(Q)' 2

ergibt sich das Bode-Diagramm.

1 OJ

ff/:t 1[/2++------

OJ

Bild 7-22 Bode-Diagramm einer I-Strecke

Regelstrecken ohne Ausgleich sind regeltechnisch labil. Ihre Regelung ist schwierig durchzu­fUhren.

7.3 Regelstrecken 241

Lehrbeispiel

Fiir die Niveauregelstrecke werden die charakteristischen GroBen und Diagramme ermittelt.

• Behalterdurchmesser d = 0,3 m Wasserbehalter

• StellgroBe Qzu = 3 Us

• RegelgroBe h: Fiillhohe

LOsung

Da hier iiber die Geometrie der Strecke der funktionelle Zusarnmenhang zwischen x - hier die Fiillhohe h -und y - hier Qzu - bestimmbar ist, kann K1S berechnet werden.

h=~= Qzu . ( =_I_. Q . (

A A n(%Y zu

1 1 ----=-2 · Qzu .(=14,15-2 ·Qzu·( n(O,3m) ~

2 K1S

Als Sprungantwort ergibt sich damit

1 m3 h(t) = K1S · Qzu . t = 14,15-2 .3.10-3 _ . (

m s m cm = 0,042- · t = 4,2- · t s s

Weitere Beispiele fUr I-Strecken

Motorgetriebene Spindel

Eine motorgetriebene Spindel bewegt einen Tisch.

0Z" in 1/ s

31--------

h in em

12

8

4

Schlingenbahn

tin s

2 3 tin s

v

Schlingenregelung von elastischen Stoffbahnen mit groBem Durchhang

242 7 Regelung

Regelstrecken mit Verzogerung

Die Antwort einer Strecke auf Veranderungen der StellgroBe verlaufen nur in Ausnahmefiillen verzogerungsfrei. Ursache dafUr sind Glieder, welche die Eigenschaft der Speicherung be sit­zen. Sie sorgen dafiir, dass z. B. bei P-Strecken der neue Beharrungswert nicht sofort nach Anderung der EingangsgroBe voll erreicht wird, sondern dass sich die RegelgroBe erst allmah­lich diesem Wert annahert.

Der Druckluftspeicher (Bild 7-23) ist ein typisches Glied mit Verzogerungsverhalten. Der Druck im Behiilter zeigt ein degressives Anstiegsverhalten. Die Ursache liegt in dem sich aufbauenden Gegendruck im Behalter­innern. Eingangsdruck und Innendruck gelangen ins Gleichgewicht.

".----u=r,® 6 bar

(I :J)==txl== 6 bar

Bild 7-23 Druckluftspeicher

Strecken, die P-Verhalten zeigen und ein Speicherelement besitzen, werden als PT1-Strecken bezeichnet. Ihre Sprungantwort hat den Verlauf einer Exponentialfunktion und wird beschrie­ben durch

Blocksymbol X(t)~KPS.Y{I-,i) (16)

Dabei ist Tl eine Zeitkonstante, deren Wert aus dem Grafen der Sprungant­wort abgelesen werden kann. Tl ist die Zeit, nach der die Ursprungstangente an x(t) den Beharrungswert K PS . Y er-

Als Blocksymbol fUr den Wirkungsplan ist folgende Darstellung gebrauchlich

reicht.

Sprungantwort

Bild 7-25 Sprungantwort einer PT l-Strecke

Bild 7-24 Blocksymbole flir PTl-Strecken

Frequenzgang

Es lasst sich zeigen, dass fUr den Frequenzgang einer PTI-Strecke gilt

Q(jm) = ~ps (17) 1+JmI;

Damit ergibt sich die Orts­kurve.

y~ °1~W=O

Bild 7-26 Ortskurve einer PT I-Strecke

Bode-Diagramm

Mit IGI = IKpsl und - ~1+m2T?

rp = arctan ( __ 1_) ergibt m1j

sich das Bode-Diagramm.

IQJ I-Glied ',:

Kps ~Glied

1 1 1 1""=-;: 0)

~ 0,10), 110m

-7[/4 ~ 0)

-7[/2 ------1--

Bild 7-27 Bode-Diagramm einer PT l-Strecke

7.3 Regelstrecken

Lehrbeispiel

Der Ladevorgang eines Kondensators an Gleich­spannung zeigt PT 1-Verhalten

Man sieht, dass Kps in diesem Falle gleich 1 ist. Tl ist gleich RC. In der Elektrotechnik wird diese Zeitkonstante oft mit 't abgekurzt.

Fur C = 5 flF, R = 20 kQ, Uo = 100 V erhlilt man

1j =RC=20kQ ·5,uF

= 20·103Q ,5,l0-6P= O,ls.

wird eine sinusfOrmige Eingangsspannung

Uo = Uo sin (wt)

an, so wird er Prequenzgang

G(jO)) =_1_= 1 - 1 + jO)1j 1 + jwO,ls

1- jwO,ls

1+ o?O,01s2

1 , wO,ls -J

1 + 0)20,01s2 1 + 0)20,01s2

also

Re(G) = 1 - 1 + 0)20,01s2

Im(G) _ wO,ls - - 1+0)20,Ols2 '

Damit !asst sich die Ortskurve konstruieren.

Urn das Bode-Diagramm zeichnen zu konnen, wird der Betrag und der Winkel benotigt:

[ 1 ]2 [ wO,ls ]2 = 1+0)20,Ols2 + 1+0)20,Ols2

1

~1+0)20,Ols2 rp= -arctan (0), O,ls)

U in V

U. = 100V

0.1 Sprungantworf

0,2 tins

1m Kp5 = 1 Re

0 ~--------~-1---

-0,5

Ortskurve

W:I K P5 = 1 f------.;::.,...,

0,1 0,01

0.001

0) = a

0, 000 1 +:------<:---.-------0,01 0,1 10

~ 0,1 10

-n/2 Bode- Diagramm

243

244

Weitere Beispiele fur PT1-Strecken

Feder mit Dampfung (ohne Masse)

Feder mit Dampfung und vemachlassigbar kleiner Masse.

Regelstrecken mit Totzeit (Tt-Strecken)

Bei einem Totzeitglied ist die Sprungant­wort x urn die Totzeit Tt gegeniiber y ver­schoben.

x(t) = o fUr t ::; T,

18) K, . y fUr t > T,

Bild 7-28 B1ocksymbol einer Tt-Strecke

Sprungantwort Frequenzgang

7 Regelung

Stoflbahn

Regelung des Bandzuges einer Stoffbahn zwischen zwei angetriebenen Klemmstellen bei vI '" v2 '" v3 =: v .

F c·vnenn . I'1n (1 --Tt 1 . T 1 = -e rrnt =-V· Fnenn v

und I'1n = n2 - nl

Bild 7-29 PTcStrecke

Bode-Diagramm

:'C Es Iasst sich zeigen, dass fUr den Frequenzgang gilt

Mit IQI = 1 und ffJ = -OJ'rt ergibt sich das Bode­Diagramm. Q (j0)) = e-jOlTt

t Darnit ergibt sich die XLc Ortskurve.

-$;m

Re T, t

Bild 7-30 Sprungantwort bei OJ

einer PT("Strecke Bild 7-31 Ortskurve einer T("

Strecke Bild 7-32 Bode-Diagramrn einer Tt-Strecke

7.4 RegIer

Diagnose der Regelstrecke

Das Studium der zu regelnden Anlage ist sowohl ftir den Regeltechniker ais auch ftir den Anwender eine besonders wichtige Auf­gabe.

Sprung,

Ansfieg,

Impuls

245

Bild 7-33 Die Aufnahme der Sprungantwort liefert die Diagnose

Folgende Fragen helfen, die richtige Diagnose zu finden:

• Wie antwortet die Strecke auf einen Eingangssprung, einen Eingangsanstieg und einen Eingangsimpuls?

• Sind Totzeiten vorhanden, und wie konnen diese gegebenenfalls verringert werden? 1st es beispielsweise moglich, den Abstand zwischen Messglied und Stellglied klein zu hal­ten? Konnen Messglieder mit kleinen Ansprechzeiten eingesetzt werden?

• Strebt die RegelgroBe nach der Eingangsanderung einem neuen Beharrungswert zu, und hat die Strecke somit einen selbstregulierenden Charakter?

• Neigt die Strecke zur Instabilitat oder gar zur Schwingung?

7.4 Regier Controllers

In einem Modell kann man die Strecke als "Patient" und den Regelungstechniker als "Arzt" ansehen. Die "Diagnose" in Form der Klassifizierung und Parameteridentifi­zierung der Strecke ist geschehen. Nun interessiert die Frage, welche Mittel zur "Therapie" zur Verfiigung stehen. Oder: Welche Typen von Reglem gibt es?

-----------------------------1 Vergleichsg/ied

I e Regelglied

I I 1

I YRI

I 1 I

r bzw. x I 1 1 _____________________ ~~~~~J

Regeldifferenz e=w-x

Bild 7-34 FunktionsblOcke eines Reglers

246

Einteilung der Regier

Diese Ubersicht in Bild 7-35 beschreibt nur eine mogliche Einteilung der Grund­typen. Weitere Klassifizierungsmerkmale sind moglich und auch ublich. Beeinflusst die Regelabweichung die StellgroBe di­rekt, so handelt es sich urn einen Regier ohne Hilfsenergie. Diese kostengtinstige Anordnung ist nur fur kleine Stellleistun­gen, -kriifte und -geschwindigkeiten ge­eignet.

Unstetige RegIer iiben die Stellfunktion in einer Foige von Energieimpulsen, von Einwirkzeiten mit festliegender Energie­hOhe jedoch begrenzter Einwirkdauer aus Sie werden auch schaltende Regier ge­nannt und sind im technischen Alltag sehr haufig eingesetzt.

RegIer 1

I I unstetige stetige

- Zweipunkt- mit reg/er - P-,

- Dreipunkt- - 1-, reg/er - PI-,

- PID-, ... Verhalten

'DoL t

'~ t

Bild 7-35 Einteilung von Reglem

7 Regelung

I quasistetige

- mit diskreten Bauteilen

- mit SPS - mit t1ikro-

prozessoren

'. t

Unstetige Regier sind normalerweise weniger aufwandig im Aufbau und in der Wartung als stetige. Stetigkeit im allgemeinen Sinne kennzeichnet den kontinuierlichen Verlauf eines Pro­zesses, einer Handlung, einer Anderung. Unstetigkeit dagegen kennzeichnet einen Verlauf, der sich in Schritten vollzieht.

Unstetige Regier am Beispiel des Zweipunktreglers

Die in der Hausgerate- und Heizungstech-nik dominierenden Zweipunktregler wei-sen nur zwei Werte der StellgroBe auf, die Werte Ein und Aus. Kennzeichnend fur ein derartiges Stellverhalten sind die Stellglie-der Kontaktschalter und Magnetventil. Unter den Sanunelbegriff Kontaktschalter fallen hier Grenzsignalgeber, Relais und Schaltschiitze. Sie aIle haben eine Gemein-

Heiz widers f ilnd

I Wiirmestrom -----!--!------------ - ----I 1 .} c-'"-?

Bimefilllsfreifen

Isoliermilteriill

samkeit: sie operieren nicht mit Zwischen­stellungen. Zweipunktregler sind billig und anspruchslos. Nachteilig ist der stoBartige

Bild 7-36 Bimetallschalter als Zweipunktregler

Betrieb mit dem sprunghaften Einschalten der vollen Hohe der Stellenenergie sowie das unvermeidbare Schwanken des Istwer-tes urn den Sollwert. Der Zweipunktregler schaltet nicht zum selben Wert der Regel-groBe ein oder aus. Die Differenz der Wer-te der EingangsgroBe, bei denen sich die AusgangsgroBe andert, neont man Schalt-differenz Xsd .

7.4 RegIer

Tdigheit und Beharrungsverrnogen fUhren bei umkehrbaren Vorgangen oft dazu, dass zwischen dem zuruck schreitenden und dem vorwarts schreitenden Teil des Ge­samtvorganges eine Differenz entsteht, obwohl der geometrische Verlauf zumin­dest Ahnlichkeit aufweist.

Das bekannteste Beispiel hierfur ist der Ummagnetisierungsvorgang mit der Rich­tungsumkehr im Wechselstrom. Dabei ist der Hystereseverlust durch die GroBe der umschriebenen Flache gekennzeichnet.

Bei unstetigen Reglem entsteht die Hystere­se durch die Umkehr des Schaltvorganges. Sie ist die richtungsbedingte Differenz der Eingangssignale, bei denen das Ausgangssi­gnal von Ein nach Aus und von Aus nach Ein springt.

Je groBer die geregelte Last ist, umso starker wirkt sich beim Ein-Aus-Verfahren der stoBartige Betrieb aus. Fur die Schalteinrich­tung bedeutet das ein haufiges Einschalten der vollen Last und fur die RegelgroBe eine groBe Schwankungsbreite.

Bei groBen Anlagen ist es vorteilhaft, nur den fur die Lastschwankung vorausschaubar in Betracht kommenden Anteil im Zwei­punktverfahren zu regeln und den groBten Anteil der Last als Grundlast einfach durch­laufen zu lassen.

Wichtig ist dabei die Wahl des Anteils der Grundlast. Wiihlt man diesen Anteil zu groB, so konnen groBere StOrungen nicht mehr ausgeregelt werden. Bei zu kleiner Grund­last entrallt weitgehend der beabsichtigte Effekt.

247

)

Bild 7-37 Stab-Temperaturregler

Hysterese

Aus

x

Bild 7·38 Kennlinie eines Zweipunktreglers

w x

Bild 7·39 Zweipunktregler mit Grundlast

Bild 7·40 Blocksymbol eines Zweipunktreglers

248 7 Regelung

Stetige Regier

Praktische Technik ist stets ein Kompromiss zwischen der Forderung nach hOchster Prazision in der Erfiillung der gegebenen Aufgabe und dem wirtschaftlich vertretbaren MaB des Auf­wands. Die Anwendung einer unstetigen Regelung ist immer eine derartige Kompromiss­losung. Die Schwankungsbreite wird innerhalb der vertretbaren Grenzen hingenommen.

Nach der Art des regelnden Eingreifens unterscheiden sich die stetigen RegIer in grundlegen­der Weise. Da gibt es zum Beispiel eine Gruppe, die sehr schnell auf jede Anderung in der Strecke reagiert, dabei jedoch keine hOchste Prazision in der Erreichung des Sollwertes erzielt. Eine andere Gruppe benotigt eine verhaltnismiillig gro8e Operationszeit, urn dann aber auch ein sehr genaues Resultat zu bringen. Optimale Ergebnisse lassen sich oft nur durch die Kombination der Arten unter Inkaufnahme eines betrachtlichen geratetechnischen Aufwandes erzielen.

Regier mit P-Verhalten

Der mathematisch einfachste RegIer besitzt eine StellgroBe y, die mit dem Proportionalitatsfak­tor KpR proportional zur Regeldifferenz e ist:

(19)

Ubertragungsbeiwert Blocksymbol

Der Proportionalitatsfaktor y Ais Blocksymbol fUr den Wir-K PR ist der Ubertra- K ~y ~ kungsplan ist die Darstellungen

gungsbeiwert. Er kann aus PRY·y aus Bild 7-42 gebrauchlich.

der Steigung der Kennlinie

~GD bestimmt werden. / ~e

Ay K pR =- e

Ae Bild 7-42 Blocksymbole fur Bild 7-41 P-Regler Kennlinie eines P-Reglers

7.4 RegIer

Sprungantwort Frequenzgang

Auf Grund des einfachen mathemati- Es lasst sich zei-schen Zusammenhangs lasst sich die gen, dass fiir den Sprungantwort eines P-Reglers leicht Frequenzgang ei-angeben (Bild 7-43). nes P-Reglers gilt

e Q(jeo) = KpR (20)

J Sprung 1 Damit ergibt sich die Ortskurve

!leI ~e2 (Bild 7-45). Sie

I Sprung 2 ist zu einem - -I Punktentartet.

t 1m 1 y

Antwort 1 •

~(1 KpR

1- Bild 7-44

!lY2 I Ortskurve eines

! Antwort 2 t P-Reglers

KpR = !lYI = !lY2 !leI !le2

Bild 7-43 Sprungantwort eines P-Reglers

Der klassische RegIer mit P-Verhalten ist der von James Watt zuerst angewendete Fliehkraftregler. Die RegeigroBe ist die geradlinige Hubbewegung der Gleithiilse. Zwischen beiden besteht eine feste Bezie­hung. Jeder Wellendrehzahl entspricht eine bestimmte Lage der Fliehkraftpendel und dieser wiederum eine ganz bestimmte Stel-. lung der Gleithiilse.

• Re

249

Bode-Diagramm

Wei I fiir den Betrag der

Frequenzantwort IQI = K PR

und fur die Phasenverschie-bung rp = 0 gilt, ergibt sich

das Bode-Diagramm (Bild 7-45).

~t=. eo

L Bild 7-45 Bode-Diagramrn eines P-Reglers

Bild 7-46 P-Regler von James-Watt

Proportionalbereich/Stellbereich

Jeder P-Regler arbeitet nur in einem gewissen Bereich proportional. Dies wird deutlich bei der Niveauregelung (Bild 7-47 und Bild 7-48).

Der Bereich des Niveaustandes, der durchfahren werden muss, urn den Schieber zwischen den Stellungen geschlossen und voll geoffnet zu bewegen, ist der Proportionalbereich X P . Inner-

250 7 Regelung

halb dieses Bereiches lindert sich die StellgroBe (Stellbereich Yh) proportional zur Anderung der RegelgroBe.

Bild 7·47 Niveauregelung mit groBem Propor. tionalbereich

Bei groBem Proportional bereich greift der RegIer schwach ein.

I'i' --

Bild 7·48 Niveauregelung mit kleinem Propor­tionalbereich

Bei kleinem Proportionalbereich greift der RegIer stark ein.

Sind der Proportionalbereich Xp bzw. der Stellbereich Yh bekannt bzw. durch die Regelaufgabe vorgegeben, so kann der Ubertragungsbeiwert KpR berechnet werden durch

Yh KpR =- (21)

Xp

Bleibende Regelabweichung

Der P-Regler benotigt aufgrund der Beschreibungsgleichung y = KpR . e eine Regeldifferenz e. Eine StOr- oder FuhrungsgroBe, die in der Regelstrecke eine Regeldifferenz hervorruft, kann mit dem P-Regler nicht vollstlindig ausgeregelt werden. Diese so genannte bleibende Regelabwei­chung ist ein Nachteil des P-Reglers. Sie kann zwar durch Wahl eines groBen KpR klein gemacht werden, jedoch kann K PR nicht beliebig erhoht werden, da sonst der Regier instabil wird.

Weitere Beispiele fur P·Regler

In Bild 7-49 und Bild 7-50 findet man weitere Beispiele fur P-Regler.

Elektronisch

R2

Y

Bild 7·49 Operationsverstlirker als P-Regler (siehe auch Kapitel 3.2.6)

Mechanisch

I Zulu'l Vordr ossel

Sleuerdruck YR Auslrittsdiise

""- h

Bild 7·50 Prallplatte als Beispiel ftir einen P-Regler

7.4 RegIer

RegIer mit I-Verhalten

Beim RegIer mit I-Verhalten ist die Stell­groBe proportional zur Flliche, welche die Regeldifferenz e in einer bestimmten Zeit­spanne t bildet.

Ffir konstante Regeldifferenzen gilt die ver­einfachte Formel

y = KIR ·e·t (22)

KIR . t ist der Ubertragungsbeiwert K. Er wlichst ffir t ~ 00 fiber alle Grenzen. Als Sprungantwort erhlilt man daher Bild 7-52.

Frequenzgang

Es llisst sich zeigen, dass ffir den Frequenz­gang des I-Reglers gilt

Q(jlU) = ~IR = _j KIR . (23) JlU lU

Die Funktion ist rein imaginlir, d. h. die Ortskurve sieht wie Bild 7-52 aus.

Im~ f(O = 00 Re

BUd 7-52 Frequenzgang eines I-RegJers

Blocksymbol

Als Blocksymbol fUr den ist die Darstellung aus Bild 7-55 gebrliuchlich.

Bild 7-54 Blocksymbol fUr I-Regier

e

e

y

Eingangs sprung f

Sprungantwort

t

t

Bild 7-51 Sprungantwort eines I-Reglers

Bode-Diagramm

Mit dem Betrag des Frequenzganges

IQI = KIR lU

und der Phasenverschiebung cp mit

tan ( cp) = 1m (Q) ~ -00

Re(Q) p

=> cp=--2

251

ergibt sich das Bode-Diagramm (Bild 7-53).

I~I

K.~ 1+---------~----

1 lU

-x/~~ - n-/2++-~ -----

.. lU

Bild 7-53 Bode-Diagramm eines I-Reglers

252 7 Regelung

Beispiele fUr I-Regier

In Bild 7-55 und Bild 7-56 findet man Beispiele fUr I-RegIer.

Elektronisch

c

>-----oy

Bild 7-55 Operationsverstiirker ais I-RegIer (siehe auch Kapitel 3.2.6)

Regier mit D-Verhalten

Beim RegIer mit D-V erhalten ist die StellgroBe

Motorgetriebenes Ventil

Bild 7-56 Motorgetriebenes Ventil ais Beispiel flir einen I-RegIer

proportional zur Anderungsgeschwindigkeit Ve Y

der Regeldifferenz e. Fiir diese Geschwindig-keit gilt ve = /::"ej /::"t • Deshalb gilt:

/::"e y= K OR · /::"t '

wobei KOR der Ubertragungsbeiwert ist.

(24)

Bei einem Eingangssprung ist die Ande­rungsgeschwindigkeit nur bei t = 0 von Null verschieden, d. h., es ergibt sich die idea Ie Sprungsantwort (Bild 7-57) als Impuls der Breite o. In der Realitiit ergibt sich aber immer eine "abgerundete" Kurve (Bild 7-58). Ein MaS fUr die Steilheit des Abfalls ist die Zeitkon­stante To. 1m idealen Falle gilt fUr die Zeit­konstante To = O.

Der Vorteil des D-Reglers liegt im schnellen Reagieren, da er anderungsgeschwindigkeits­abhangig ist.

Bild 7-57 Ideale Sprungantwort eines D-Reglers

y

o

Bild 7-58 Reale Sprungantwort eines D-Reglers

7.4 RegIer

Frequenzgang

Es lasst sich zeigen, dass fUr den Frequenz­gang des D-Reglers gilt

Q(jw) = j·w·KOR . (25)

Die Funktion ist rein imaginiir, d. h. die Ortskurve sieht wie in Bild 7-59 aus.

1m w~oo

Bode-Diagramm

Mit dem Betrag des Frequenzganges

IQI=w.KoR

und der Phasenverschiebung rp mit

Im(G) w·KOR tan(~)=-=-= ~oo

Re(Q) 0

11:

=>~=2

253

ergibt sich das Bode-Diagramm (Bild 7-60).

0)=0 Re

Bild 7-59 Frequenzgang eines D-Reglers

Blocksymbol

. Ais Blocksymbol flir den Wirkungsplan ist die Darstellung aus Bild 7-62 gebrauchlich.

Bild 7-61 Blocksymbol flir D-Regler

I§:I ./

11---~~~~----~-,V

7r/~1 o -t--:-1-------------<;-

Bild 7-60 Bode-Diagramm eines D-Reglers

Zum Einsatz eines Operationsverstiirker als D-Glied siehe auch Kapitel 3.2.6.

Regier mit PID-Verhalten

RegIer mit PID-Verhalten veremlgen die Vorteile des P-Gliedes (Genauigkeit), des 1-Gliedes (keine bleibende Regelabweichung) und des D-Gliedes (Schnelligkeit). Sie sind aber schwerer zu handhaben. Der PID­RegIer wird gebildet aus einer Parallelschal­tung von po, 1- und D-Regler (Bild 7-62).

e y

Bild 7-62 Pill-RegIer als Parallelschaltung

Die Gleichung flir die Sprungantwort lasst sich mit den Formeln (19), (22)und (24) herleiten aus

e [KIR KOR ] Y = YP + YI + Yo = K PR . e + K IR . e· t + K OR . - = K PR· 1 + --. t + -- . e t KpR KpR·t

254 7 Regelung

mit den Abkiirzungen

KpR = Tn und KDR = Tv KIR KpR

(26) und (27)

gilt

[ lTV] y = K pR ' 1+-·(+- ·e. Tn t

(28)

Tn wird Nachstellzeit und Tv wird Vorhaltezeit genannt.

Dabei ist Tn diejenige Zeitspanne (Bild 7-63), welche bei der Sprungantwort ben6tigt wird, urn auf Grund der I-Wirkung eine gleich groBe Stellgr6Benlinderung zu erreichen, wie sie infolge des P-Anteils entsteht. Und Tv ist diejenige Zeitspanne, urn welche die Anstiegsantwort eines PD-Reglers einen bestimmten Wert der Stellgr6Be friiher erreicht, als er infolge seines P-Anteils alleine erreichen wiirde.

L e

D-AnteJ1 K .~

PR T

./r---------+-------~

Bild 7-63 Ubergangsfunktion eines PID-Reg1ers (real)

K~: ./

./

./ ./

./ ./

./ ./

./

,,/ I- Anteil

------------P-Anteil

KpR

t

7.4 RegIer

Frequenzgang

Es lasst sich zeigen, dass fiir den Frequenz­gang des PID-Reglers gilt

Q(jw) = Qp +QI +QD .KIR .

= KpR - J--+ JwKDR w

= KpR [1 + j(KDR w- KIR . ..!..)] KpR KpR w

Und mit den Abkiirzungen von oben gilt

Q(jw) = KpR [1+ {TvW- T:W)]. (29)

Da der Realteil konstant ist, ergibt sich eine Parallele zur Im-Achse als Ortskurve (Bild 7-64), welche die Re-Achse bei KpR schneidet.

Bild 7-64 Frequenzgang eines PID-Reglers

Blocksymbol

Bode-Diagramm

Mit Betrag des Frequenzganges

und Phasenverschiebung ffJ mit

Im(G) 1 tan(qJ)=---=-=TW-- (30) Re(Q) v Tow

~ qJ= arctan (TvW __ l_) Tow

255

ergibt sich das Bode-Diagramm (Bild 7-66).

IQ:I I'... real I "~-"""""""'--ideal

I I

1-+--~'--'~----....,~ W

w

Ais Blocksymbol fiir den Wirkungsplan ist Bild 7-66 Bode-Diagramm eines PID-Reglers die Darstellung aus Bild 7-65 gebrauchlich.

BUd 7-65 Blocksymbol fiir PID-Regler

256

Beispiele filr PID-Regler

In Bild 7-67 und Bild 7-68 findet man Beispiele flir PID-Regler.

Elektronisch

R cr r

Motorgetriebenes Venti!

PID - Regler

7 Regelung

---- ·- ·-, .. ,·,-;:-·- l I 1

I Bild 7-67 Operationsverstiirker als Bei pie\ fiir einen PID­RegIer

£insfellung I' ._._._., .

Rr KpR =-

Re Tn = Rr ,Cr

Tv = Re .Ce

~~~p L._ ._ .J

Bild 7-68 Motorgetriebene Venti I als Beispiel fUr einen PID-Regler

Pneumatischer Druclaegler mit verzogerter und nachgebender Riickfiihrung zum Erzeugen des PID­Verhaltens

Beispiel filr die Berechnung der Kenngro8en eines PID-Reglers

Ein PID-Regler hat die Konstanten KJR = 5 s-l, KpR = 0,255 s, KOR = 1,25 ms . Die zugehorigen Kenn­

groBen sollen berechnet werden.

LOsung

. KOR 1,25 ms KpR 0,225 s . MIt Tv = --= ---= 5,56 ms und Tn = --= ---= 45 ms erhalt man.

KpR 0,225 KJR 5

flir die Ubergangsfunktion h(t) mit Formel (28):

h(t) = l.. = KpR [1 +..!....t + Tv] = 0,225 .[1 +_I_. t + 5,56ms]. e Tn t 45ms t

fUr den Frequenzgang Q(j (0) mit Formel (29):

Q(jm) = KpR [1 + j(Tvm--1-)] = 0,225[1 + j(5,56 ms. m- 1 )] Tnm 45 ms· m

fiir den Realteil des Frequenzgangs Re (Q(j m) ) mit Formel (29):

7.4 RegIer

Re(Q(jw»)= KpR 01=0,225

flir den Imagin1irteil Im(Q(jw) des Frequenzgangs mit Formel (29):

Im(Q(jw)=KpR 0(TvW--l-)=0,2250(5,56msow- 1 ) Tnw 45ms ow

flir die Phasenverschiebung qJnach Formel (30):

0,2250 (5,56 ms 0 W ___ 1_) an(qJ) = Im(Q) = 45ms ow =5,56msow----

~0 ~m ~~ow

Quasistetige Regier

Bisher wurden analoge RegIer vorgestellt. Eine Ausnahme biideten die Zwei- bzwo Dreipunkt-Regiero Eine andere imrner mehr an Bedeutung gewinnende Gruppe von Reg­lern wird als digitale oder quasistetige RegIer bezeichnet (Bild 7-69). Hierbei wird der RegIer durch eine elektronische Schaltung, einen Mikroprozessor, eine SPS oder einen Computer ersetzt. Das Verhalten des Regiers bestimrnt ein Programrn. Dadurch ergeben sich eine Reihe von Vorteilen. Durch die Programrnsteuerung ist das Regierverhalten beliebig einstellbar. Es Hisst sich sogar zu verschiedenen Regeiphasen ein jeweils un­terschiedliches Programrn fahren, das z. B. in der Anfahrphase den I-Anteil erhOht, urn moglichst schnell zur FiihrungsgroBe zu gelangen.

Bild 7-69 Computergesteuerte Regelung

257

Auch ist ein beliebiger Verlauf der RegelgroBe einstellbar, welcher der Regelaufgabe ange­messener ist. Dadurch, dass das Regierverhalten ais Software vorliegt, ist es Ieicht linderbar, da einfach nur das Programrn ausgetauscht werden muss. Umbauarbeiten entfallen.

Durch den Einsatz von Computern ist die Moglichkeit der Vernetzung gegeben, sodass die Prozesse bzw. Daten von Feme abgefragt oder beeinflusst werden konnen. Auch die Verbin­dung und gegenseitige Beeinflussung von Regelkreislaufen wie sie z. B. bei chemischen Pro­zessen oft auftreten, ist jetzt moglich. Die oft hohen Investitionskosten verlieren gegeniiber den Vorteilen stlindig an Bedeutung.

258

Idee der Programmierung Uber den Analog-Digital-Umsetzer bekommt der Rechner eine Folge von Ist-Werten x(kT), dabei ist k die Nummer des Wertes und T die Abtastzeit. 1m Rechner gespeichert ist die Formel fUr die FiihrnngsgroBe w(kT). 1m einfach­sten Fall ist diese eine Konstante, aber auch Funktionen sind moglich. Daraus kann fiir jeden Zeitpunkt die Regel­differenz

e(kT) = w(kT) - x(kT) (31)

gebildet werden. Anhand eines im Rechner gespeicherten Prograrnmteils, dem Regelalgorithmus (Bild 7-70), kann nun die StellgroBenfolge y(kT) berechnet werden. 1m Folgenden solI kurz die Berechnung der StellgroBenfolge fiir einen PID-Regler vorgestellt werden.

Der Ubergang vom stetigen RegIer zum quasistetigen wird dadurch vollzogen, dass der I-Anteil durch eine Summe und die D-Anteil durch den Differenzenquotien­ten ersetzt wird.

y(k) =

KpR .[e(k)+~ re(i)+ Tv (e{k)-e{k -1))] Tn-l i=O T

(32)

Diese Formel kann mittels eines Unterprograrnms ausge­wertet werden. Die Grundstruktur eines PID-Algorithmus ist in Bild 7-71 abgebildet. P-, 1-, PI- und PD-Regler wer­den durch Weglassen von Prograrnmteilen gebildet.

Durch die Darstellung der Formel fiir die StellgroBe als Prograrnm liisst sich ein RegIer durch einen Rechner er­setzen.

, / x einlesen /

hi berechnen oder vorgeben

e=hI-x

~

y berechnen

L y ausgeben

I

BUd 7-70 Regelalgorithmus

PID-Algorithmus

J J

7 Regelung

KP, TN, TV, T eingeben

w eingeben (oder Forme/)

k := 0; sum := 0; e a/t := 0

x einlesen

e := w-x

yp:= e

sum := sum + e

yi := TITN * sum

dif := e - e a/t

yd := TVIT * dif

Y := KP * (yp + yi + yd)

Y ausgeben

e alt := e

wiederhole bis Prozessende

BUd 7-71 PID-Regelalgorithmus

7.5 Zusammenwirken zwischen RegIer und Strecke

Idee der Simulation (Bild 7-72)

Der Einsatz von Rechnem in der modemen Regelungs­technik zeigt sich an weiteren Anwendungsfallen. Nicht bei allen Regelstrecken ist es nlimlich moglich, die Stell­groBe sprunghaft zu iindem, urn den Verlauf der Aus­gangsgroBe aufzuzeichnen, damit man die KenngroBen der Strecke ermitteln kann. Auch die direkte Untersu­chung von vermaschten technischen Anlagen ist meist nicht durchfiihrbar. Oft sind aber die Gleichungen, die diesen Prozessen zu Grunde liegen, bekannt. Diese lassen sich wiederum als Programm in einem Rechner darstellen und bearbeiten.

Am Rechner lassen sich viele Versuche durchfiihren, aus denen dann das Verhalten der Regelstrecke und ihre KenngroBen ermittelt werden konnen. Sogar StOrungen, die in der Wirklichkeit nur sehr schwer oder gar nicht dargestellt werden konnten, sind hier simulierbar.

Bild 7-72 Simulation einer Regelstrecke

259

Die Giite der Simulation hiingt entscheidend von der Giite der Beschreibung der tatsachlichen Verhaltnisse durch die rnathematischen Gleichungen abo Je genauer diese die Wirklichkeit widerspiegeln, desto besser ist die Simulation. Und hierin liegt das Problem der Simulation. Man ist sich in vielen Fallen nicht sicher, ob man wirklich aile EinflussgroBen in den Glei­chungen beriicksichtigt hat, ob nicht die Vereinfachungen, die man notgedrungen machen musste, die Wirklichkeit doch zu stark verzerren.

7.5 Zusammenwirken zwischen Regier und Strecke Interaction of controller and path

In den vorigen Abschnitten wurden die Grundglieder von Strecken und Reglem einzeln be­handelt. Aufgabe der Regelungstechnik ist, fiir eine meist vorgegebene Strecke ein der Aufga­be gemaB passenden RegIer auszuwahlen und seine Parameter fUr ein optimales Regelverhal­ten einzustellen. Oft ist eine Strecke gegeben. Ihre Kennwerte miissen aber meist erst empirisch ermittelt wer­den. Die Ergebnisse werden entweder als Frequenzgang, im Bode-Diagramm oder in der Ortskurve dargestellt.

Folgende Fragen sind zu kliiren:

• Welche Aufgaben gibt es ffir den Regelkreis?

• Wie findet man einen zur Strecke passenden RegIer?

• Welche Giite- oder Beurteilungskriterien gibt es fUr einen Regelkreis?

• Wie kann man das Verhalten des Regelkreises beschreiben (Bild 7-73 und Bild 7-74)?

• Was heiBt ,optimales' Verhalten?

• Wie kann man die dazu gehorenden Parameter ermitteln?

260

x

hi

t

Bild 7-73 Schlechtes Regelverhalten

7.5.1 Beurteilungskriterien Assessment criteria

Die Aufgaben und Einsatzgebiete von Regelkreisen sind vielfaltig, jedoch miissen von jedem Kreis drei unter­schiedliche Aufgaben bewaltigt werden.

Anfahrverhalten (Bild 7-75)

Die Regelgro8e x solI nach dem Einschalten den Sollwert erreichen.

Dies kann auf unterschiedliche Art und Weise geschehen. So ist es bei der einen Regelaufgabe zuliissig, dass der Sol1wert auch kurzfristig iiberschritten wird (z. B. Tempe­raturregelung), bei einer Drehmaschine ist dies sicherlich unerwiinscht. In einem anderen Fall kann es daraufan­kommen, den Sollwert moglichst schnell zu erreichen.

7 Regelung

x

hi - - - - - ::-;.,;-a---

t

Bild 7-74 Gutes Regelverhalten

y

x

Bild 7-75 Anfahrverhalten bei einem Stellsprung

t

t

7.5 Zusammenwirken zwischen Regier und Strecke

Fiihrungsverhalten (Bild 7-76)

Der Regelkreis muss auf eine Veranderung der Fiihrungs­groBe w mit einer Anderung der RegelgroBe x reagieren. Vom Einfluss einer StorgroBe wird hier im Allgemeinen abgesehen.

StOrverhalten (Bild 7-77)

Tritt eine Storung z auf, so soli die RegelgroBe x mog­lichst schnell und fehlerfrei den alten Wert annehmen, den sie vor der Storung hatte. Hierbei wird meist von einer konstanten FiihrungsgroBe ausgegangen.

261

w

I I t

K. t

Bild 7-76 Fiihrungsverhalten

z

t

.. t

Bild 7-77 StOrverhalten

Zu diesen allgemeinen Aufgaben kommt noch ein weiterer Begriff, der zur Beurteilung des Regelkreises wichtig ist.

Stabilitiit (Bild 7-78)

Damit ist die Eigenschaft eines Regelkreises gemeint, aus einem schwingenden Verhalten nach einer gewissen Zeit zu einem stabilen Zustand zu gelangen, d. h., falls eine Schwingung vorliegt, muss sie eine abklingende Amplitu­de aufweisen.

y

Bild 7-78 Stabilitat

t

.. t

262

7.5.2 Regelung mit stetigen Reglem

Closed loop control with continuously variable action controllers

RegIer und Strecke (Bild 7-79) sind im Wirkungsplan in ihrem Zusammenhang durch Angabe des Frequenzganges darstell­bar. Daraus Hisst sich dann eine Gleichung filr die RegelgroBe x aufstellen.

7 Regelung

(33) Bild 7-79 Regelkreis mit ~ und Gs

Nach x aufgelOst ergibt sich. (34)

Hieraus lasst sich eine Gleichung filr das Fiihrungs- und StOrverhalten ableiten:

Fiihrungsverhalten (z = 0) Storverhalten (w = 0)

x 1 ~G (35) - = w l+~Gs s

Ebenso lasst sich hieraus eine Gleichung fOr die bleibende Regelabweichung (Bild 7-80) x ermitteln.

e=

w-x=w-( ~Gs w+ Gs Z)(37) l+~Gs l+~Gs

1 1 = w- Gs·z l+~Gs l+~Gs

x 1 G - = z l+~Gs s

t

(36)

FOr z = 0, also filr den Fall, dass keine Sto­rung vorliegt, ergibt sich eine bleibende Regelabweichung Lllb .

Bild 7-80 Bleibende Regelabweichung

1 Lll = w.

b l+~Gs (38)

1 Die GroBe wird Regelfaktor R genannt. Er kommt in der Gleichung filr die bleiben-

l+~Gs

de Regelabweichung und in denen filr das Stor- und Fiihrungsverhalten VOT.

7.5 Zusammenwirken zwischen RegIer und Strecke

Stabilitiitsuntersuchungen

Ein Regelkreis hat dann seine Stabilitiits­grenze (Bild 7-81) erreicht, wenn bei sinus­fOrmigem Eingang y( t) fiir die RegelgroBe x(t) gilt

x(t) = y(t), (39)

d. h. insbesondere fUr die Amplituden y, x und den Phasenwinkel rp

Vo = :' = 1 und rp = n· 21t , (40) x

denn in diesem Fall schwingt die Regelgro­Be genau wie die StellgroBe und zwar am­plituden- und phasengleich, d. h. es findet bei der RegelgroBe weder ein Abklingen noch ein Aufschwingen statt. Die Bedingun­gen

:' = 1 und rp = n· 21t x

nennt man Stabilitatsbedingungen.

Stabilitiitsuntersuchung mit der Ortskurve

(41)

In der Ortskurve (Bild 7-82) ist +1 auf der reellen Achse der Punkt, an dem die beiden Stabilitatsbedingungen erfUllt sind. Schnei­det nun der Frequenzgang

(42)

die reelle Achse links von dem Punkt, so ist der Regelkreis stabil, rechts davon ist er instabil. Dieses Kriterium wird das verein­fachte Nyquist.Kriterium genannt.

x

t

Bild 7·81 Regelkreis an der Stabilitatsgrenze

1m

Bild 7·82 Stabilitiitskriterien bei der Ortskurve

263

264

Stabilitiitsuntersuchung mit dem Bode-Diagramm

Addiert man namlich grafisch der Fre- IQ:I quenzgangsbetriige IQRI und 10;1 (das ent-

spricht wegen der logarithrnischen Teilung einer Multiplikation), so erhiilt man -Qo.

Addiert man die Phasenverschiebungen q:R

und IPs und realisiert die V orzeichenum-

kehr durch Addition von n, so erhiilt man lPo (Bild 7-83). Der kritische Punkt PK ist

nun der Punkt, bei dem der Phasengang lPo die w-Achse schneidet (rp = 0). 1m Fre­

quenzgang wird nun nachgesehen, welchen Wert IGo I hat. 1st dieser Wert < 1, so ist der

Regelkreis stabil, ist er > 1, instabil.

Weitere Parameter

Weitere, oft bei der Beurteilung eines Re­gelkreises herangezogene Werte sind

• Anregelzeit Tan

• Ausregelzeit Taus

• Uberschwingweite xii

An- und Ausregelzeit (Bild 7-84) beginnen, wenn der Wert der RegelgroBe nach einem Eingangssprung einen vorgegebenen Tole­ranzbereich der RegelgroBe verliisst. Die Anregelzeit endet, wenn der Wert in diesen Bereich erstrnals wieder eintritt, die Ausre­gelzeit, wenn er in diesen Bereich dauerhaft wieder eintritt. Die Uberschwingweite ist die groBte voriibergehende Sollwertabwei­chung.

Beispiel ffir eine Berechnung an einer PT l-Strecke

OJ

rp r--_ -1! /4

"\ 'Ps+f/{+1! -----,--1!/2

, ---- 'Ps

Bild 7-83 Stabilitiit im Bode-Diagramm

x

Bild 7-84 An- und Ausregelzeit, Uberschwingweite

7 Regelung

Gegeben ist eine PTI-Strecke, fiir die der dimensionslose Proportionalbeiwert KPS und die Zeitkonstante Tl durch Messungen bekannt sind: . Kps = 2, Tl = 0,2 s. Diese Strecke solI mit einem P-Regler, der auf Kps = 2,5 eingestellt ist, geregelt werden. Der Sol1wert so111oo betragen. Es solI eine Aussage zur Stabi­litiit gemacht werden.

LOsung

a) Untersuchung der Stabilitiit mithilfe des Bode-Diagramms (Bild 7-85)

7.5 Zusammenwirken zwischen RegIer und Strecke 265

Flir die PT l-Strecke gilt nach Formel (17): IQ:I G =~= 2 -"!.S 1+ jliili 1+ jW·0,2s

Kreis 10 5

sowie daraus 1.52 '-=, '-'- '-mO'-'- P-Regler

0.1 1 5 10\ OJ

0.1 (!...) \ T, •

"-',,- P T, - Strecke und

rp = arctan ( 1 J 0,2s·w . _.-2'-F'=,*~"l!!"",,== ...... - . .P-Regler

Flir den Regier gilt nach Formel (20):

QR =KpR =2,5

und damit IQR 1= 2,5 und rp= O.

Offensichtlich ist der Schwingkreis strukturstabil, da er Phasengang die w-Achse nirgends schneidet.

" 10 OJ

""-,-''I- - PT, - Sfrecke

(*J

-n/4 - n12

Bild 7-85 Bode-Diagramm

b) Untersuchung der Stabilitat rnithilfe des Nyquist-Kriteriums

Mit den Herleitungen von a) gilt nach Formel (42) flir den Frequenzgang des Regelkreises:

Qo =-QRQS

= -25. 2 , l+jw·0,2s

5 1+jw·0,2s

-5 . w --~----~+J--~----~ 1+W2 ·0,04 s2 1+W2 ·0,04 s2

Damit ergibt sich die Ortskurve in Bild 7-86, woraus ersichtlich wird, dass der Regelkreis strukturstabil ist, denn die Ortskurve schneidet die Re-Achse links von +1.

1m

2

2 Re

Bild 7-86 Ortskurve

266

Kriterien fUr die Reglerauswahl

Nachdem nun in den vorhergehenden Kapi­teln die Komponenten eines Regelkreises vorgestellt und die Beurteilungskriterien fiir die Giite und die Stabilitat angesprochen wurden, ist es nun moglich, die zu einzelnen Strecken geeigneten RegIer zu suchen und Richtlinien fiir deren Einstellung zu finden. Dabei sol1en die Vor- und Nachteile der einzelnen Kombinationen deutlich werden_ Der Prozess der Reglerauswahl geschieht meist nach dem Schema in Bild 7-87. Aus den regelungstechnischen Anforderungen des technologischen Prozesses und den - zu ermittelnden - Kenndaten der Strecke wird der fUr diese Aufgabe geeignete RegIer ausgewahlt. Die Parameter dieses Reglers werden dann zunachst grob und in der Op­timierungsphase fein eingestellt.

7 Regelung

Anforderungen Kenndaten der

aus der Technik 5trecke

an die Regelung

+ 1 Reglerauswahl

~ KOmbina-_r tionseigen- I stetig I c;J l quasi-J schaften stetig stetig

.. ~

Einstell- Einstellung regeln des Reglers

+ Optimierung

BUd 7-87 Auswahl und Einstellung eines Reglers

1m ersten Schritt muss also ermittelt werden, welcher RegIer zu welcher Strecke passt und welche Eigenschaften diese Kombination hat. Eine Ubersicht zeigt die Tabelle 7-1.

I-Strecke und P-Regler

Fiir eine Kombination aus I-Strecke und P-Regler (Bild 7-88) aus Tabelle 7-1 solI hier exem­plarisch ihr Inhalt hergeleitet werden.

LOsung

In diesem Falle gilt mit Formel (20) (QR = K PR )

K und (15) (Qs = ~ ) und Formel (37)

jliJ

also

X KpRK1S ·w+ K1S -z

jliJ(l+ Kpr: IS ) jliJ(l+ Kpr: IS )

1

-----:---w+ KpR .z 1 . __ 1_ 1 - 1 +jliJ +jliJ----

KpRK1S KpRK1S

P-Regler

/-Sfrecke

BUd 7-88 I-Strecke und P-Regler

x IV 1

f

BUd 7-89 Fiihrungsverhalten

7.5 Zusammenwirken zwischen Regier und Strecke 267

Das FUhrungsverhalten (Bild 7-90) zeigt TI-Verhalten (vgl. Formel (35»

x

1 . 1 +]aJ---

KpRKrs w

Es strebt mit einer abklingenden e-Funktion [1- e -% 1 der FUhrungsgroBe zu. 1] kann verkleinert wer­

den, wenn K PR groBer gewiihlt wird. Eine bleibende Regelabweiehung tritt nieht auf.

FUr das StOrverhalten (Bild 7-90) gilt naeh For­mel (36)

x

1 . 1 +]aJ---

KpRKrs z

Aueh hier liegt wieder T\-Verhalten vor, wobei der Einfluss der StorgroBe mit lIKpR reduziert wird, d. h. mit ausreiehend groBem KpR kann man den Einfluss der StOrung beliebig klein halten, aber nieht ganz ausregeln.

Stabilitat

Da

QO=-QRQS

=-KpR ' ~IS =j' KpR ·K1S J{O {O

gilt, die Ortskurve (Bild 7-91) sich also auf der imaginaren Aehse befindet, ist das System struk­turstabil. Also kann man die oben gestellte For­derung, dass KpR groB gewiih1t werden muss, ohne Stabilitlitsprobleme erfUllen.

Zur Regelung eines Antriebs vgl. Kap. 3.3.5.

x

z

t

Bild 7-90 StOrverhalten

1m

{O=oo

Re

Bild 7-91 Ortskurve

In Tabelle 7-1 sind die Eigenschaften einiger wichtiger Kombinationen aufgefiihrt. Die Anga­ben in den Zeilen sind von links nach rechts zu lesen, da man in den meisten Fallen versuchen wird, einen moglichst einfachen Regier zu finden. Erst wenn dieser die Regelaufgabe nicht befriedigend lost, wird man einen anderen Regier wahlen.

268 7 Regelung

Tabelle 7-1 Kombination von RegIer und Strecke

Regier

Auf-P I PI PD PID treten

I Gut, wenn KpR hoch genug Ungeeignet Sehr gut geeignet Keine Keine ist Verbesserung Verbesserung

PTo + Immer stabil; bedingt - GroBe kurzzei- + Mogliche groBe Keine Keine geeignet, falls Regelstrecke tige Regelab- kurze Regelabwei- Verbesserung Verbesserung unbegrenzten Proportional- weichung chung Hillt weg bereich besitzt moglich bei - Ausregelzeit noch

einer StOrung groBer - Ausregelzeit groB

+ Immer stabil

+ dxb=O

PT, Drehzahl + bruner stabil; gut, wenn - Macht Regel- Gut, falls KpR und Keine Keine KpR hoch genug ist kreis instabil K'R richtig gewahlt Verbesserung Verbesserung

sind

PT2 Tempera- - dxb + dxb=O + dxb =0 - dxb + Optimal tur - Kompliziert wahlt man KPR groBer, -Neigtzur + Schneller als 1- + Keine Stabili-

einzustellen wiirde dxb k1einer; Instabilitiit RegIer tiitsprobleme

gleichzeitig aber auch die - Starkes - Uberschwingweite

J;l Diimpfung und damit die Uberschwingen und Regelzeit

0 Schwinggefahr moglich schlechter als P ~ - Lange Regel- - Kann instabil '" zeit; wenig werden

geeignet

PT. + Schnell - Sehr langsam + dxb =0 + GroBe KpR + Schneller als

-~ + dxb=O moglichohne PI

+ Schneller als I Instabilitiit +D-Anteil + Einfach einzustel-

- dxb ; aber erlaubt groBeres len K, ohne Stabili-

k1einer als beim P-Regler

tiitsprobleme; daher schneller

+ Bei langsamer +I-Anteil Anderung regelt erlaubt groBeres er schneller als P KD,daher reagiert er bei langsamer Anderung schneller

-Optimale Einstellung schwierig

T, Keine Keine Verbesserung Verbesserung

7.5 Zusammenwirken zwischen Regier und Strecke 269

EinsteUregeln

Sind die KenngroBen der Strecke unbekannt oder ist der mathematische Aufwand flir die exak­te Betrachtung zu groB, gibt es ein experimentelles Niiherungsverfahren von Ziegler und Nichols, das es gestattet, die Reglereinstellung zu ermitteln.

Voraussetzung ist, dass der Kreis zu Schwingun­gen angeregt werden kann. Dann verfahrt man nach dem im Bild 7-92 beschrieben Verfahren in Verbindung mit der Tabelle 7-2.

Tabelle 7-2 Einstellregeln

Regier Kenngro8en

P-Regler KpR = 0,5 K pRkrit

PD-Regler KpR = 0,8 K pRkrit

Tv = 0,12Tkrit

PI-Regier K PR = 0,45 K PRkrit

Tn = 0,83Tkrit

PID-Regler KpR = 0,6 K PRkrit

Tn = 0,5Tkrit

Tv = 0,125Tkrit

Regier als P-Regler einstellen

KpR erhOhen, bis der Kreis ungedampfte Schwingungen ausfUhrt

Bestimme KPRkrit und Schwingungsdauer Tkrit

KenngriifJen nach Tabelle einstellen

Ggf. verbessern

Bild 7-92 Verfahren nach Ziegler und Nichols

Der V orteil dieses Verfahrens ist leicht einzusehen, der mathematische Aufwand ist sehr ge­ring. Iedoch sind die erzielten Ergebnisse nur als Naherungswerte zu verstehen. Die Reglerein­stellung ist den Anforderungen der Aufgabe entsprechend noch zu verbessem.

7.5.3 Regelung mit Zweipunktreglern

Two step control of a closed loop

Die Auslegung von Zweipunktreglem erfolgt prinzipiell nach den gleichen Gesichtspunkten. Der Zweipunktregler ist mit einem P- RegIer vergleichbar. Urn den Verlauf der RegelgroBe zu bestimmen, kann man jedoch in einfachen Hillen ein grafisches Verfahren anwenden. Aus der Kurve konnen dann auch die KenngroBen abge­lesen werden.

=tr---~-reC-ke-~ Bild 7-93 Regelung mit Zweipunkt­

regler

Ausgangspunkt ist die - experimentell aufgenommene - Sprungantwort der Strecke. Links daneben zeichnet man, urn -900 gedreht, die Kennlinie des Reglers. Unter die Sprungantwort zeichnet man ein Koordinatensystem flir die StellgroBe. Dann Hisst sich der Verlauf der Regel­groBe konstruieren, indem man die Kennlinie mit der Sprungantwort kombiniert.

270 7 Regelung

Beispiel flir die Ennittlung des Verlaufs der RegelgroBe flir einen Zweipunktregler an einer PT I-Strecke mit Totzeit (Bild 7-94)

PT I-Strecke mit Totzeit Tt ; Zweipunktregler mit Schaltdifferenz x sd.

LOsung (t- T,)

X= Kps·y (T-fr T) -- --To - - - ---i-:. ~ ~---=---

t ,,-. " ..;"r-~-----r

\ , " T

" " Schallfrequenz f = f '-

---

Bild 7-94 Ennittlung des RegelgroBenverlaufs

XcJ Schwankungs­breile

bleibende Regelobw. Kmo, ) Tu

tJxb=( -Z--W T g

Ohne Regier wiirde die RegelgroBe x nach dem Einschalten verzogert nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten TI auf den Endwert Xmax ansteigen. Wird der Sollwert auf w eingestellt, so ist nach dem Einschalten zunachst x = 0 und e = w - x = w . Daher schaltet der Zweipunktregler ein, und die Regel­groBe steigt gemaB der Einschaltkurve an.

Infolge der Schalthysterese schaltet der Zweipunktregler bei Erreiehen von w noch nieht ab, sondem erst bei x = xob. Wegen der Totzeit reagiert die Strecke nicht sofort, sondem erst nach Verlauf von Tt. Nach dieser Zeit flillt die RegelgroBe entsprechend der Ausschaltkurve (die iibrigens nieht die gleiehe Zeitkon­stante haben muss wie die Einschaltkurve, hier wird aber davon ausgegangen) bis auf x = xu. Dann wird der Regier wieder eingeschaltet. Wiederum reagiert die Strecke erst nach Tt.

Aus dem sich ergebenden Verlauf der Regelgro8e lassen sich einige allgemeine Hinweise fUr den Einsatz von Zweipunktreglem ableiten:

• Eine Verkleinerung der Schaltdifferenz Xsd erzeugt auch eine kleinere Schwankungs­breite, was hliufig erwiinscht ist. Darnit wird aber eine hohere Schaltfrequenz in Kauf genommen und darnit eine kiirzere Lebensdauer des Reglers.

• Eine Verkleinerung der Zeitkonstante TJ bringt nur eine Verringerung der Perioden­dauer und darnit der Frequenz.

• Die Verkleinerung der Totzeit hat ebenfalls direkten Einfluss auf die Schwingungs­weite und die Schaltfrequenz.

7.5 Zusammenwirken zwischen Regier und Strecke

Die Lage des Sollwerts - und das ist neu hier - hat ebenfalls Einfluss auf die Schalt­frequenz. In Bild 7-95 ist der Verlauf der RegelgroBe fUr verschiedene Sollwerte w

eingezeichnet. Man sieht, dass fUr w = 0,5xmax die hochste Schaltfrequenz auftritt. Wird w vergroBert oder verkleinert, wird die Schaltfrequenz jeweils kleiner. Zu sehen ist auch, dass die Anfahrphase bei groBem w wesentlich Hinger dauert als bei kleinem. Aber etwas anderes ist entschei­dender. Wenn w 50 % von xmax betragt, ist keine bleibende Regelabweichung vorhan­den. Das ist der groBe Vorteil dieser spezi­ellen Lage. Diese Iasst sich durch EinfUh­rung einer sog. Grundlast erreichen. SolI w bei 70 % von Xmax Iiegen und die Schwan­kungsbreite ± 10 % von Xmax betragen, so wird man eine Grundlast so auslegen, dass der ungeregelte Teil des Kreises 40 % von Xmax betragt.

271

:~l _ ---!-I D~[_ I I I I x

Xmox 1 I I

- - - -1-1-

, I 1

o I I

H I I

n BUd 7-95 Lage des Sollwertes

• t

Dann liegt narnlich der Sollwert in der Mitte des geregelten Bereichs. Dadurch wird erreicht, dass sich neben anderen Vorteilen keine bleibende Regelabweichung einstellt und die stoBwei­se Belastung des Kreises merklich kleiner wird. GroBer Nachteil ist aber das ungiinstige Stor­verhalten. Die Grundlast schrankt den Wirkungsbereich des Reglers ein. Sie muss auch bei jeder Anderung der FiihrungsgroBe neu eingestellt werden.

Auch die Riickfiihrung verbessert das Verhalten des Zweipunktreglers. Die Idee dabei ist, dass man den RegIer bereits vor Erreichen des Sollwertes abschaltet bzw. wieder einschaltet. Durch geeignete Bemessung der Riickfiihrung wird die Schwankungsbreite oft erheblich reduziert.

7.5.4 Regelung mit einer SPS

Using SPS to control closed loops

Ais Sonderfall der digitalen Regelung kann man eine SPS ais RegIer einsetzen. Die RegeigroBe wird auch hier in bestimmten Zeitabstanden T A abgeta­stet und in Form eines Zahlenwertes bis zur nach­sten Abtastung gespeichert. Ais Konsequenz ergibt sich hier, dass auch die yom Regier errnittelte Stell­groBe y fUr die Dauer der Abtastzeit auf dem gIei­chen Wert bleiben muss. Soll- und Istwerte konnen iiber eine Analogbaugruppe abgefragt werden.

Mit einer SPS konnen sowohl stetige RegIer ais auch unstetige RegIer realisiert werden. Fiir unsteti­ge RegIer stehen die bekannten binliren Signalaus­gange und fiir stetige Regelungen entsprechende Analogausgange zur Verfiigung.

y

x

t

Abtastung des Ist-Wertes

t

BUd 7-96 RegeJung mit einer SPS