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A Vektoren, Gleichungssysteme
A.1 A.1 Elemente der VektorrechnungPhysikalische Großen, die durch ihren Betrag und ihre Richtung¨festgelegt sind, heißen Vektoren. Geometrisch wird ein Vektordurch einen Pfeil dargestellt, dessen Lange ein Maß f¨ ur den Be-ff¨trag ist (Abb. A.1). Als Symbole fur Vektoren verwenden wir fetteff¨Buchstaben, zum Beispiel A. Der Betrag des Vektors A wird durch|A| oder kurz durch A angegeben. Ein Vektor mit dem Betrag Einsheißt Einheitsvektor e.
e
A=Ae
Abb.A.1
AB =λAλ > 0
Abb.A.2
Multipliziert man einen Vektor A mit einer skalaren Große¨ λ,so erhalt man den Vektor¨ B = λA (Abb. A.2) mit |B| = |λ||A|.Demnach lasst sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag¨und einem gleichgerichteten Einheitsvektor schreiben (Abb. A.1):
A = Ae . (A.1)
Die Addition zweier Vektoren A und B ergibt den Summen-vektor
C = A + B . (A.2)
Er kann zeichnerisch durch Bilden eines Parallelogramms ermitteltwerden (Abb. A.3).
Dieses Parallelogramm kann auch folgendermaßen gedeutet wer-den: ein gegebener Vektor C wird in zwei Vektoren A und B mitden vorgegebenen Wirkungslinien a und b zerlegt. Die VektorenA und B heißen dann Komponenten des Vektors C bezuglich der¨Richtungen a und b. In der Ebene ist die Zerlegung eines Vek-
A.1 Elemente der Vektorrechnung 269
Abb.A.3A
C =A+BB
a
b
tors nach zwei verschiedenen Richtungen mit Hilfe des Parallelo-gramms eindeutig moglich. Entsprechend l¨ asst sich im Raum die¨Zerlegung nach drei nicht in einer Ebene liegenden Richtungeneindeutig durchfuhren.ff¨
Des bequemeren Rechnens wegen stellen wir Vektoren haufig¨in einem kartesischen Koordinatensystem dar (Abb. A.4). Die je-weils aufeinander senkrecht stehenden Achsrichtungen (orthogo-nale Achsen) x, y und z des Koordinatensystems werden durchdie Einheitsvektoren ex, ey und ez gekennzeichnet. Die Vektorenex, ey und ez bilden dabei in dieser Reihenfolge ein Rechtssys-tem (man kann Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechtenHand in dieser Reihenfolge mit den Richtungen von ex, ey und ez
zur Deckung bringen).
Abb.A.4
y
Az
γ
β
z
x
A
eyex
α
ez
Ax
Ay
Der Vektor A kann in seine Komponenten Ax, Ay und Az
bezuglich der drei Achsrich¨ tungen zerlegt werden:
A = Ax + Ay + Az . (A.3)
270 A. Vektoren, Gleichungssysteme
Nach (A.1) gilt fur die Komponentenff¨
Ax = Ax ex , Ay = Ay ey , Az = Az ez . (A.4)
Damit wird aus (A.3)
A = Ax ex + Ay ey + Az ez . (A.5)
Die Maßzahlen Ax, Ay und Az heißen Koordinaten des Vektors A.Sie werden oft auch Komponenten des Vektors genannt, obwohldie Komponenten ja die Vektoren Aj(j = x, y, z) sind. Ordnetman die Koordinaten in einer Spalte
A =
⎛⎜⎛⎛⎝⎜⎜Ax
Ay
Az
⎞⎟⎞⎞⎠⎟⎟ (A.6)
an, so nennt man diese Darstellung von A einen Spaltenvektor.Haufig ist es zweckm¨ aßiger, die Koordinaten in einer Zeile statt¨in einer Spalte anzuordnen. Diese Darstellung von A nennt maneinen Zeilenvektor. Das Vertauschen von Zeilen und Spalten wirdals Transponieren bezeichnet und durch ein hochgestelltes ”T “gekennzeichnet. Damit schreibt man den Vektor A in der Form
A = (Ax, Ay, Az)T . (A.7)
Durch die Angabe seiner drei Koordinaten ist ein Vektor eindeutigbestimmt.
Der Betrag des Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras zu
|A| = A =√
A2x + A2
y + A2z . (A.8)
Die Richtung von A wird durch die Winkel α, β und γ charakte-risiert (Abb. A.4). Wir lesen ab:
cosα =Ax
A, cosβ =
Ay
A, cos γ =
Az
A. (A.9)
Mit (A.8) ist
A2x
A2+
A2y
A2+
A2z
A2= 1 , (A.10)
A.1 Elemente der Vektorrechnung 271
und es gilt daher
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 . (A.11)
Die drei Winkel α, β, γ sind also nicht unabhangig voneinander.¨Die Vektorgleichung
A = B (A.12)
ist gleichwertig mit den drei skalaren Gleichungen
Ax = Bx , Ay = By , Az = Bz . (A.13)
Zwei Vektoren sind somit gleich, wenn sie in den drei Koordinatenubereinstimmen.¨
Im folgenden werden einige Rechenregeln unter Verwendungder Komponentenschreibweise zusammengestellt.
A.1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors A mit einem Skalar λ (Abb. A.2)liefert mit (A.3) und (A.4) den Vektor
B = λA = A λ = λ(Ax + Ay + Az)
= λAx ex + λAy ey + λAz ez . (A.14)
Ein Vektor wird demnach mit einer Zahl multipliziert, indem jedeKoordinate des Vektors mit dieser Zahl multipliziert wird. Furλ > 0 bleibt dabei der Richtungssinn erhalten, wahrend er sich¨furff λ < 0 umkehrt. Im Sonderfall λ = −1 erhalt man den Vektor¨B = −A, der aus dem Vektor A unter Beibehaltung des Betragesdurch Umkehr des Richtungssinns entsteht. Fur λ = 0 erhalt man¨den Nullvektor 0.
A.1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren
Fur die Summe zweier Vektoren¨ A und B erhalt man¨
C = A+B = (Ax ex+Ay ey+Az ez)+ (Bx ex+By ey+Bz ez)
= (Ax + Bx)ex + (Ay + By)ey + (Az + Bz)ez
= CxCC ex + CyCC ey + CzC ez .
(A.15)
272 A. Vektoren, Gleichungssysteme
Daraus folgt
CxC = Ax + Bx , CyCC = Ay + By , CzC = Az + Bz . (A.16)
Zwei Vektoren werden also addiert, indem man jeweils die ent-sprechenden Koordinaten addiert.
Bei der Subtraktion zweier Vektoren folgt mit
C = A − B = A + (−B) (A.17)
fur die Koordinatenff¨
CxC = Ax − Bx , CyCC = Ay − By , CzC = Az − Bz . (A.18)
A.1.3 Skalarprodukt
Das skalare Produkt (inneres Produkt) zweier Vektoren A und B,die nach Abb. A.5a den Winkel ϕ einschließen, ist definiert durch
A · B = AB cosϕ . (A.19)
Das Ergebnis der Multiplikation ist ein Skalar (kein Vektor!).Das skalare Produkt lasst sich auf verschiedene Weise deuten¨(Abb. A.5b):
a) Betrag von A mal Betrag von B mal Kosinus des eingeschlos-senen Winkels,
b) Betrag von A mal senkrechter Projektion von B auf A,c) Betrag von B mal senkrechter Projektion von A auf B.
ba
A cos ϕ
ϕ
B
Aϕϕ
B
A
B
B cos ϕA
Abb.A.5
Das Skalarprodukt ist positiv, wenn die beiden Vektoren einenspitzen Winkel einschließen, wahrend es bei einem stumpfen Win-¨kel negativ ist. Im Sonderfall orthogonaler Vektoren (ϕ = π/2) istdas Skalarprodukt Null.
A.1 Elemente der Vektorrechnung 273
Aus der Definition (A.19) folgt
A · B = B · A . (A.20)
Die Reihenfolge der Vektoren darf beim skalaren Produkt ver-tauscht werden (Kommutativgesetz).
In Komponentendarstellung wird das Skalarprodukt
A ·B = (Ax ex + Ay ey + Az ez)·(Bx ex + By ey + Bz ez) . (A.21)
Unter Beachtung von
ex · ex = ey · ey = ez · ez = 1 ,
ex · ey = ey · ez = ez · ex = 0(A.22)
finden wir
A · B = AxBx + AyBy + AzBz . (A.23)
Fur den Sonderfall¨ B = A erhalten wir wegen ϕ = 0 aus (A.19)
A · A = A2 oder A =√
A · A . (A.24)
A.1.4 Vektorprodukt
Beim Vektorprodukt (außeres Produkt¨ oder Kreuzprodukt) zweierVektoren A und B verwenden wir ein ”ד als Multiplikationszei-chen:
C = A × B . (A.25)
Das Produkt ist folgendermaßen definiert:
a) Der Vektor C steht auf A und auf B senkrecht (Abb. A.6).b) Der Betrag von C ist gleich der von A und B aufgespannten
Flache:¨
|C| = C = AB sin ϕ . (A.26)
Dabei ist ϕ der von A und B eingeschlossene Winkel.c) Die Vektoren A, B und C bilden in dieser Reihenfolge ein
Rechtssystem.
274 A. Vektoren, Gleichungssysteme
C =AB sin ϕϕ
C
A
B
Abb.A.6
Daraus folgt
A × B = −B × A . (A.27)
Das Kommutativgesetz gilt fur das Vektorprodukt nicht.ff¨Sind zwei Vektoren parallel (ϕ = 0), so verschwindet nach b)
ihr Vektorprodukt.Unter Beachtung von
ex × ex = 0 , ex × ey = ez , ex × ez = −ey ,
ey × ex = −ez , ey × ey = 0 , ey × ez = ex ,
ez × ex = ey , ez × ey = −ex , ez × ez = 0
(A.28)
wird
C = A×B = (Ax ex + Ay ey + Az ez)×(Bx ex + By ey + Bz ez)
= (AyBz − AzBy)ex + (AzBx − AxBz)ey (A.29)
+ (AxBy − AyBx)ez .
Damit folgen die Koordinaten des Vektors C zu
CxC = AyBz − AzBy ,
CyCC = AzBx − AxBz , (A.30)
CzC = AxBy − AyBx .
Das Vektorprodukt kann auch in Form der Determinante
C = A × B =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ex ey ez
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (A.31)
A.2 Lineare Gleichungssysteme 275
geschrieben werden. In der ersten Zeile stehen dabei die Einheits-vektoren ex, ey und ez, wahrend die Koordinaten der Vektoren¨A und B die zweite und die dritte Zeile bilden. Entwicklung derDeterminante nach der ersten Zeile liefert (vgl. (A.29))
C =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ay Az
By Bz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ex −∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ax Az
Bx Bz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ey +
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay
Bx By
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ez
= (AyBz − AzBy)ex + (AzBx − AxBz)ey
+ (AxBy − AyBx)ez.
(A.32)
Das doppelte Vektorprodukt A× (B×C) ist ein Vektor, der inder Ebene liegt, die von B und C aufgespannt wird. Es errechnetsich nach der Beziehung
A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C , (A.33)
die sich durch Anwendung von (A.30) bestatigen l¨ aßt.¨
A.2A.2 Lineare GleichungssystemeBei der Behandlung von Problemen aus der Mechanik und ausanderen Fachgebieten wird man haufig auf Systeme von linea-¨ren Gleichungen gefuhrt. Beispiele aus der Statik sind die Ermitt-ff¨lung von Lagerreaktionen bei einem statisch bestimmt gelagertenTragwerk oder die Berechnung der Stabkrafte in einem statisch¨bestimmten Fachwerk. So liefern die Gleichgewichtsbedingungenfur einen Balken beim ebenen Problem drei Gleichungen fff¨ ur dieff¨drei unbekannten Lagerreaktionen. Bei einem raumlichen Fach-¨werk mit k Knoten fuhren sie dagegen auf 3ff¨ k = s+ r Gleichungenfur die unbekanntenff¨ s Stabkrafte und¨ r Lagerreaktionen.
Wir betrachten das System
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ,. . . . . . . . .an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
(A.34)
276 A. Vektoren, Gleichungssysteme
von n linearen inhomogenen Gleichungen fur dieff¨ n Unbekanntenx1, x2, . . . , xn (z.B. die Lagerreaktionen und/oder die Stabkrafte).¨Die Koeffizienten ajk sowie die ”rechten Seiten“ bk seien bekannt.Unter Verwendung der Matrizen
A =
⎛⎜⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
...an1 an2 . . . ann
⎞⎟⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟ , x =
⎛⎜⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜x1
x2
...xn
⎞⎟⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟ , b =
⎛⎜⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜b1
b2
...bn
⎞⎟⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟ (A.35)
lasst sich (A.34) auch kurz in der Form¨
A x = b (A.36)
schreiben. Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix A vonNull verschieden ist, d.h. wenn gilt
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
...
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣�= 0�� , (A.37)
dann sind die n Gleichungen (A.34) linear unabhangig, und das¨System hat die eindeutige Losung
Man nennt A−1 die inverse Matrix zur Koeffizientenmatrix A. Sieist durch A−1 A = 1 definiert, wobei
1 =
⎛⎜⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜1 0 . . . 0
0 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
⎞⎟⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟ (A.39)
die Einheitsmatrix ist. Da die Bestimmung der Inversen durch
A.2 Lineare Gleichungssysteme 277
Handrechnung meist aufwendig ist, gehen wir hierauf nicht ein.Sie lasst sich allerdings mit Hilfe von Programmen wie¨ Matlab
oder Mathematica immer leicht ermitteln.Die praktische Bestimmung der Unbekannten kann mit dem
Gaußschen Algorithmus (Carl Friedrich Gauß, 1777-1855) odermit der Cramerschen Regel (Gabriel Cramer, 1704-1752) erfolgen.Beim Gaußschen Algorithmus wird das Gleichungssystem (A.34)durch systematisches Eliminieren von Unbekannten in das aqui-¨valente System
a′11 x1 + a
′12 x2 + . . . + a
′1n xn = b
′1 ,
a′22 x2 + . . . + a
′2n xn = b
′2 ,
. . . . . . . . .
a′nn xn = b
′n
(A.40)
ubergef¨ uhrt. Hieraus lassen sich – beginnend mit der letzten Glei-ff¨chung – die Unbekannten der Reihe nach ermitteln. Als Beispielhierzu betrachten wir das System
2 x1 + 5 x2 + 8 x3 + 4 x4 = 3 ,
6 x1 + 16 x2 + 22 x3 + 13 x4 = 9 ,
4 x1 + 14 x2 + 28 x3 + 10 x4 = 4 ,
10 x1 + 23 x2 + 84 x3 + 25 x4 = 22
von vier Gleichungen fur vier Unbekannte. Nun wird die ersteff¨Gleichung (Zeile) mit −3 multipliziert und zur zweiten addiertsowie die erste Zeile mit −2 multipliziert und zur dritten addiertusw. Auf diese Weise wird die Unbekannte x1 aus der zweiten bisvierten Gleichung eliminiert:
2 x1 + 5 x2 + 8 x3 + 4 x4 = 3 ,
x2 − 2 x3 + x4 = 0 ,
4 x2 + 12 x3 + 2 x4 = −2 ,
− 2 x2 + 44 x3 + 5 x4 = 7 .
Auf die gleiche Weise gehen wir anschließend bei der Eliminationvon x2 und x3 vor. Es bietet sich dabei an, den Algorithmus nach
278 A. Vektoren, Gleichungssysteme
folgendem Schema durchzufuhren, bei dem nur die Koeffizientenff¨der Gleichungen angeschrieben werden:
x1 x2 x3 x4 b
2 5 8 4 3 (a)
6 16 22 13 9
4 14 28 10 410 23 84 25 22
0 1 −2 1 0 (b)0 4 12 2 −2
0 −2 44 5 7
0 0 20 −2 −2 (c)
0 0 40 7 7
0 0 0 11 11 (d)
Mit den Koeffizienten aus (a) bis (d) ergibt sich dann das ”gestaf-felte System“ nach (A.40):
2 x1 + 5 x2 + 8 x3 + 4 x4 = 3 ,
x2 − 2 x3 + x4 = 0 ,
20 x3 − 2 x4 = −2 ,
11 x4 = 11 .
Hieraus erhalt man schrittweise – beginnend mit der letzten Zeile:¨
x4 = 1 , x3 = 0 , x2 = −1 , x1 = 2 .
Nach der Cramerschen Regel folgen die Unbekannten aus
Dabei ergibt sich die Determinante det (Ak) aus der Determinanteder Matrix A, indem man die k-te Spalte durch b ersetzt. Danacherhalt man zum Beispiel beim Gleichungssystem¨
A.2 Lineare Gleichungssysteme 279
a11 x1 + a12 x2 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 = b2
die beiden Unbekannten zu
x1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 a12
b2 a22
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
b1a22 − a12b2
a11a22 − a12a21,
x2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1
a21 b2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
a11b2 − b1a21
a11a22 − a12a21.
Es sei angemerkt, dass sich die Cramersche Regel fur zwei Glei-ff¨chungen mit zwei Unbekannten und hochstens noch f¨ ur drei Glei-ff¨chungen mit drei Unbekannten eignet. Insbesondere bei hoherer¨Gleichungsanzahl wird jedoch der Gaußsche Algorithmus bevor-zugt. Hingewiesen sei auch darauf, dass bei langeren Rechnungen¨durch Abrunden großere Genauigkeitsverluste auftreten k¨ onnen.Wie man diese Rundungsfehler klein halt, soll hier nicht erl¨ autert¨werden.
Englische Fachausdrucke¨
Englisch Deutsch
active force eingepragte Kraft¨
arch Bogen
area force Flachenkraft¨
bar Stab, Pendelstutze¨
beam Balken
belt friction Seilreibung
bending moment Biegemoment
bound vector gebundener Vektor
boundary condition Randbedingung
branching point Verzweigungspunkt
cantilever beam einseitig eingespannter Balken
center of forces Kraftemittelpunkt¨
center of gravity Schwerpunkt
center of mass Massenmittelpunkt
center (centroid) of an area Flachenmittelpunkt,¨
Flachenschwerpunkt¨
center (centroid) of a line Linienschwerpunkt
center (centroid) of a volume Volumenschwerpunkt
clamped eingespannt
clockwise im Uhrzeigersinn
coefficient of kinetic friction Reibungskoeffizient
coefficient of static friction Haftungskoeffizient
component Komponente
compression Druck
concentrated force Einzelkraft
concurrent forces zentrale Kraftegruppe¨
conservative force konservative Kraft
coordinate Koordinate
coplanar forces ebene Kraftegruppe¨
counterclockwise entgegen dem Uhrzeigersinn
couple Kraftepaar¨
critical load kritische Last
cross product Vektorprodukt
282 Englische Fachausdrucke
cross section Querschnitt
curved beam Bogen
decomposition of a force Zerlegung einer Kraft
degree of freedom Freiheitsgrad
distributed force verteilte Belastung
dot product Skalarprodukt
energy Energie
equilibrium Gleichgewicht
equilibrium condition Gleichgewichtsbedingung
equilibrium position Gleichgewichtslage
external force außere Kraft¨
first moment of an area Flachenmoment erster Ordnung,¨
statisches Moment
fixed vector gebundener Vektor
force Kraft
frame Rahmen
free body diagram Freikorperbild¨
free vector freier Vektor
friction Reibung
friction law Reibungsgesetz
gravitiy Schwerkraft
hinge Gelenk, gelenkiges Lager
homogeneous homogen
inclined plane schiefe Ebene
joint Gelenk
kinematically determinate kinematisch bestimmt
kinematically indeterminate kinematisch unbestimmt
kinetic friction Reibung
law of action and reaction Wechselwirkungsgesetz
law of friction Reibungsgesetz
lever arm Hebelarm
limiting friction Grenzhaftung
line of action Wirkungslinie
line load Streckenlast
Englische Fachausdrucke 283
load Last
Macauley brackets Klammer-Symbol
matching condition Ubergangsbedingung
Maxwell (-Cremona) diagram Cremona-Plan
method of joints Knotenpunktverfahren
method of sections Rittersches Schnittverfahren
moment Moment
moment of a couple Moment eines Kraftepaars¨
moment of a force Moment einer Kraft
Newton’s law Newtonsches Axiom
normal force Normalkraft
overhanging beam Kragtrager
parallelogram of forces Krafteparallelogramm¨
pin Knoten
plate Platte
point mass Massenpunkt
polygon of forces Krafteck
position vector Ortsvektor
potential Potential
potential energy potentielle Energie
pressure Druck
principle of the lever Hebelgesetz
principle of virtual displacements Prinzip der virtuellen Verruckun-¨
gen
principle of virtual work Prinzip der virtuellen Arbeit
reaction force Reaktionskraft
reference point Bezugspunkt
resolution of a force Zerlegung einer Kraft
restraint Bindung
resultant Resultierende
rigid body starrer Korper
roller (bearing) Rollenlager
rope Seil
scalar product Skalarprodukt
shear(ing) force Querkraft
284 Englische Fachausdrucke
shell Schale
sign convention Vorzeichenkonvention
simple beam beidseitig gelenkig gelagerter
Balken
single force Einzelkraft
sliding vector linienfluchtiger Vektor¨
spring Feder
spring constant Federkonstante
stability Stabilitat¨
stable stabil
static friction Haftung
statical moment of an area statisches Moment,
Flachenmoment erster Ordnung¨
statically determinate statisch bestimmt
statically indeterminate statisch unbestimmt
statics Statik
string Seil
structure Tragwerk
superposition Uberlagerung
support Lager
symmetry Symmetrie
tension Zug
tensile force Zugkraft
three-hinged arch Dreigelenkbogen
torsion Torsion
truss Fachwerk
twisting moment Torsionsmoment
uniform gleichformigff¨
unstable instabil
vector product Vektorprodukt
virtual displacement virtuelle Verruckung¨
virtual work virtuelle Arbeit
volume force Volumenkraft
weight Gewicht
work Arbeit
Englische Fachausdrucke 285
Deutsch Englisch
Arbeit work
außere Kraft external force¨
Balken beam
beidseitig gelenkig gelagerter simple beam
Balken
Bezugspunkt reference point
Biegemoment bending moment
Bindung restraint
Bogen curved beam, arch
Cremona-Plan Maxwell (-Cremona) diagram
Dreigelenkbogen three-hinged arch
Druck compression, pressure
ebene Kraftegruppen coplanar forces¨
eingepragte Kraft active force¨
eingespannt clamped
einseitig eingespannter Balken cantilever beam
Einzelkraft concentrated force, single force
Energie energy
entgegen dem Uhrzeigersinn counterclockwise
Fachwerk truss
Feder spring
Federkonstante spring constant
Flachenkraft area force¨
Flachenmittelpunkt centroid (center) of an area¨
Flachenmoment erster Ordnung first moment of an area,¨
statical moment of an area
Flachenschwerpunkt centroid (center) of an area¨
freier Vektor free vector
Freiheitsgrad degree of freedom
Freikorperbild free body diagram¨
gebundener Vektor bound vector, fixed vector
Gelenk hinge, joint
Gewicht weight
gleichformig uniformff¨
286 Englische Fachausdrucke
Gleichgewicht equilibrium
Gleichgewichtsbedingung equilibrium condition
Gleichgewichtslage equilibrium position
Grenzhaftung limiting friction
Haftung static friction
Haftungskoeffizient coefficient of static friction
Haftungskraft static frictional force
Hebelarm lever arm
Hebelgesetz principle of the lever
homogen homogeneous
im Uhrzeigersinn clockwise
instabil unstable
kinematisch bestimmt kinematically determinate
kinematisch unbestimmt kinematically indeterminate
Klammer-Symbol Macauley brackets
Knoten pin
Knotenpunktverfahren method of joints
Komponente component
konservative Kraft conservative force
Koordinate coordinate
Kraft force
Kraftemittelpunkt center of forces¨
Kraftepaar couple¨
Krafteparallelogramm parallelogram of forces¨
Krafteck polygon of forces
Kragtrager overhanging beam¨
kritische Last critical load
Lager support
Last load
linienfluchtiger Vektor sliding vector¨
Linienkraft line load
Linienschwerpunkt centroid of a line
Massenmittelpunkt center of mass
Massenpunkt point mass
Moment moment
Moment einer Kraft moment of a force
Englische Fachausdrucke 287
Moment eines Kraftepaars moment of a couple¨
Newtonsches Axiom Newton’s law
Normalkraft normal force
Ortsvektor position vector
Parallelogramm der Krafte parallelogram of forces¨
Platte plate
Potential potential
potentielle Energie potential energy
Prinzip der virtuellen Arbeit principle of virtual work
Prinzip der virtuellen principle of virtual displacements
Verruckungen¨
Querkraft shear(ing) force
Querschnitt cross section
Rahmen frame
Randbedingung boundary condition
Reaktionskraft reaction force
Reibung kinetic friction
Reibungsgesetz law of friction, friction law
Reibungskoeffizient coefficient of kinetic friction
Reibungskraft frictional force, friction
Resultierende resultant
Rittersches Schnittverfahren method of sections
Rollenlager roller (bearing)
Schale shell
schiefe Ebene inclined plane
Schwerkraft gravity
Schwerpunkt center of gravity
Seil rope, string
Seilreibung belt friction
Skalarprodukt scalar product, dot product
Stab bar
stabil stable
Stabilitat stability¨
starrer Korper rigid body¨
Statik statics
288 Englische Fachausdrucke
statisches Moment first moment of an area,
statical moment of an area
statisch bestimmt statically determinate
statisch unbestimmt statically indeterminate
Streckenlast line load
Superposition superposition
Symmetrie symmetry
Torsion torsion
Torsionsmoment twisting moment
Tragwerk structure
Ubergangsbedingung matching condition
Uberlagerung superposition
Vektorprodukt vector product, cross product
Verzweigungspunkt branching point
virtuelle Arbeit virtual work
virtuelle Verruckung virtual displacement¨
Volumenkraft volume force
Volumenmittelpunkt centroid of a volume
Vorzeichenkonvention sign convention
Wechselwirkungsgesetz law of action and reaction
Wirkungslinie line of action
zentrale Kraftegruppe concurrent forces¨
Zerlegung einer Kraft resolution (decomposition) of a
force
Zug tension
Zugkraft tensile force
Sachverzeichnis 289
Sachverzeichnis
Arbeit 213 ff.
–, virtuelle 221
Arbeitssatz 221
Archimedes 48
außerlich statisch bestimmt 139¨
Axiom 1
– , Newtonsches 15
Balken 115, 173
– , Gelenk- 135
Balkenachse 169
Beruhrungsebene 31¨
Bezugspunkt 52
Biegemoment 170, 208
Bindung 116
Bogen 115, 171, 201 ff.
– , Dreigelenk- 132
Coulombsche Reibungsgesetze
251 ff.
Cramersche Regel 277, 278
Cremona-Plan 157
Drehfederkonstante 220
Dreigelenkbogen 132
Durchlauftrager 136¨
Dyname 82 ff.
Dynamik 3
Einheitsvektor 9, 41
Einspannung 118, 124
Energie, potentielle 219 ff.
Erstarrungsprinzip 12, 130, 133
Euler 263
Eytelwein 263
Fachwerk 146 ff.
– , einfaches 149
Faser, gestrichelte 171, 202
Feder-konstante 220
– , Dreh- 220
Flachen-moment 100¨
– -schwerpunkt 99
Foppl-Symbol 193¨
Freiheitsgrad 56, 77, 116, 123, 138,
225, 228
Freikorperbild 12¨
Freischneiden 12
Gaußscher Algorithmus 277
Gelenk 127
– -balken 135
– -kraft 127
Gerber-Trager 136, 230, 231¨
Gestrichelte Faser 171, 202
Gleichgewicht 28, 39, 59, 223 ff.,
234 ff.
– , indifferentes 235
Gleichgewichts-bedingungen 28, 39,
51, 56 ff., 76 ff., 223
– -gruppe 28
Gleichgewichtslage 223
– , instabile 236
– , Stabilitat einer 234¨
Gleitreibung 250
Grafoanalytische Losung 31, 36¨
Haftbedingung 252
Haftung 248 ff.
– , Seil- 261 ff.
290 Sachverzeichnis
Haftungs-kegel 253
– -keil 253
– -koeffizient 251, 252
– -kraft 250
– -winkel 253
Hauptpol 141
Hebelarm 52
Hebelgesetz 48, 222
Homogener Korper 96¨
Innerlich statisch unbestimmt 139
Joule 216
Kinematik 2, 225
Kinematische Bestimmtheit 119,
129, 138 ff., 148
Kinetik 3
Klammer-Symbol 193 ff.
Knoten 147
Knotenpunktverfahren 151 ff.
Kraft 7 ff.
– , außere 12¨
– , Angriffspunkt einer 8
– , Betrag 7, 9
– -eck 22
– , eingepragte 11¨
– , Einzel- 11, 169
– , Feder- 220
– , Flachen- 11¨
– , Gelenk- 127
– , Gewichts- 219
– , Haftungs- 250
– , innere 12
– -komponenten 25
– , konservative 219
– , Linien- 11
– , Normal- 170, 208
– , Potential- 219
– , Quer- 170, 208
– , Reaktions- 11, 116, 229, 250
– , Reibungs- 250
– , Richtung einer 8, 9
– , Schnitt- 229
– -schraube 83
– , Schwer- 7
– , Stab- 148 ff.
– -systeme, ebene 54
– -systeme, zentrale 20
– , Tangential- 31
– -vektor 9
– , Volumen- 11
– -winder 82
– , Wirkungslinie einer 8
– , Zwangs- 12
Krafte-dreieck 22¨
– -gruppen, ebene 20
– -gruppen, raumliche 37, 70¨
– -gruppen, zentrale 20, 37
– -mittelpunkt 91
– -paar 48, 59
– , parallele 47, 66
– -parallelogramm 21
– -plan 22, 46, 66 ff.
– -polygon 22
– -zerlegung 24
– -zusammensetzung 21, 37
Kragtrager 178¨
Kritische Last 242
Lageplan 22, 66 ff.
Lager 115 ff.
– , dreiwertige 118
– , einwertige 116
– , Fest- 117
– , funfwertiges 124ff¨
– , gelenkiges 117, 123
– , Gleit- 116
– -kraft 117
– -reaktionen 114, 116
– , Rollen- 116
Sachverzeichnis 291
– , sechswertiges 124
– , vierwertiges 124
– , zweiwertige 117
Linienschwerpunkt, 110
Macauley 193
Massenmittelpunkt 94, 96
Massenpunkt 1
Moment 49
– , Betrag 49
– , Biege- 170, 208
– , Drehsinn 49
– eines Kraftepaares 49¨
– einer Kraft 52
– , statisches 100
– , Torsions- 208
Momentanpol 140, 141
Momenten-bezugspunkt 52
– -gleichgewichtsbedingung 73
– -linie 175 ff.
– -vektor 70
Nebenpol 141
Newton 7, 15
– -sches Axiom 15
Normalkraft 31, 170, 208
Nullstab 152
Ortsvektor 71, 215
Parallelfuhrung 117, 127, 183, 190ff¨
Parallelogramm der Krafte 21¨
Pendel-stab 127
– -stutze 116, 123¨
Platte 115
Pol des Kraftecks 67
Pol-plan 141
– -strahl 67, 140
Potential 215 ff.
– der Drehfeder 221
– der Federkraft 220
– des Gewichts 219
Prinzip der virtuellen Verruckun-¨
gen 222 ff.
Querkraft 170, 208
– -gelenk 127, 190
– -linie 175
Rahmen 115, 171, 201 ff.
Randbedingungen 182
Raumliche Statik 37, 70¨
Reaktionskraft 250
Rechtsschraube 70
Reduktion 21, 54
Reibung 248 ff.
– , Seil- 261 ff.
Reibungs-gesetz 254
– -koeffizient 252, 254
– -kraft 250
Resultierende 21, 54, 59
Rittersches Schnittverfahren 162
Schale 115
Scheibe 115
Schiebehulse 117, 124, 183¨
Schnitt-großen 169 ff.¨
– -kraftlinien 174
– -prinzip 13, 121, 127, 169, 207
– , Ritterscher 162
– -ufer 170
Schwer-achsen 100
– -kraft 7
– -punkt 90 ff.
Seil 30
– -eck 65 ff.
– -haftung 261 ff.
– -polygon 66
– -reibung 261 ff.
– -strahlen 67
Skalarprodukt 272
Stab 30, 115
292 Sachverzeichnis
– -kraft 148
– , Null- 152
– -werk 147 ff.
Stabilitat 234 ff.¨
Stabilitatskriterium 236¨
Starrer Korper 1, 9¨
Statik 3
Statisch unbestimmt 120, 138
– , innerlich 139
Statische Bestimmtheit 29, 118 ff.,
124, 126 ff., 136, 147 ff.
Statisches Moment 100
Streckenlast 11
Superposition 195
Tangentialkraft 31
Torsionsmoment 208
Totalresultierende 84
Tragwerke, ebene 115, 127
– , mehrteilige 126
– , raumliche 123, 207 ff.¨
Trager, Gerber- 136¨
– , Krag- 178
Ubergangsbedingungen 187
Vektor 8, 268 ff.
– -addition 268, 271
– , Betrag 268, 270
– , Einheits- 268
– , freier 8, 73
– , gebundener 8
– -komponenten 268 ff.
– -koordinaten 270
– , linienfluchtiger 10¨
– , Orts- 71, 215
– -produkt 71, 273
Verbindungselemente 126
Verzweigungspunkt 243
Virtuelle Arbeit 221
– Verruckung 221¨
Volumenmittelpunkt 96
Vorzeichenkonvention fur Schnitt-ff¨
großen 170 ff., 202, 208¨
– fur Stabkrff¨ afte 36, 153¨
Wechselwirkungsgesetz 14, 115,
127, 170
Wirkungslinie 8
Zentralachse 82, 84
Zweigelenkbogen 132
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