Abschlussarbeit Mathematik macht Freu(n)de

Potenzsummenformel

Wintersemester 2017>David Muhlbacher BSc., Mirjam Kerschbaum, Melanie Schandl, Sophia

Kralovec <

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

1.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Geschichte von Carl Friedrich Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Eigentliche Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Beobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Wiederholung wichtiger Begriffe 10

2.1 Abstrakte Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Bestandteile eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Grad eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Polynomarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Polynome in allgemeiner Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.5 Wichtige Beobachtungen bei Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Umlegung in die abstrakte Welt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Differenzen 16

3.1 Erste Differenz von Potenzsummenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Differenzen bei linearen Erzeugnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Suche nach einer alternativen Basis 19

4.1 Faktorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Steigende und Fallende Faktorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Differenzen von steigenden Faktoriellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Anwendung der Theorie 24

5.1 Kurze Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Anwendung des Gelernten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3.1 S3(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.2 S2(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

6 Mittels CAS Losungen berechnen (Erklart fur Geogebra) 28

7 Literaturverzeichnis 31

2

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Beispiel

Die Aufgabe besteht darin die naturlichen Zahlen von 1 bis 10 zu addieren. Diese Aufgabe konnen

wir naturlich dadurch losen, indem wir die Zahlen nacheinander addieren:

11 + 21 + 31 + · · ·+ 81 + 91 + 101 =10 · 11

2= 55

Diese Losungsmoglichkeit ist aber sehr zeitintensiv und bei großeren Summen, wie zum Beispiel

von 1 bis zur Zahl m nicht mehr anwendbar. Daher suchen wir nach einer anderen Losungsmoglich-

keit fur solche Aufgaben.

In unserer 1. Aufgabe hatten die Zahlen alle den Exponent (die Hochzahl) 1. Es gibt aber auch

Aufgaben in denen die Summe der ersten 10 Quadratzahlen gebildet werden soll, oder die Summe

von Zahlen, welche einen noch großeren Exponenten haben.

Zum Beispiel:

12 + 22 + · · ·+ 102 =?

Die allgemeine Summe sieht so aus:

Seien n,m ∈ N0 = {0, 1, 2, . . . } naturliche Zahlen (inklusive 0).

Sn(m) =m∑

x=0

xn

Sn(m) = 0 + 1n + 2n + 3n + · · ·+mn

3

Nun betrachten wir die Summe von 1 bis m mit n = 1 :

S1(m) =m∑

x=0

x1

S1(m) = 01 + 11 + 21 + 31 + · · ·+m1 = 0 + 1 + 2 + 3 · · ·+m

1.2 Geschichte von Carl Friedrich Gauß

Man erzahlt sich, dass der Volksschullehrer von Carl Friedrich Gauß seinen Schulern sinngemaß

folgende Aufgabe stellte:”Addiert die Zahlen von 1 bis 100. Wie lautet diese Summe?“ Der Leh-

rer glaubte, dass seine Schuler mit dieser umfangreichen Aufgabe einige Zeit beschaftigt waren.

Zu seiner Uberraschung hatte Carl Friedrich Gauß die Antwort”5050“ sehr schnell parat.

Wie ist Carl Friedrich Gauß dabei vorgegangen?

Er schrieb die Zahlen von 1 bis 100 nebeneinander auf. Danach schrieb er die Zahlen von 100 bis

1 darunter auf, sodass die Zahl 100 in der zweiten Zeile genau unter der Zahl 1 der ersten Zeile

stand. Die beiden Zahlen, die jeweils ubereinander stehen ergeben 101. Diese beiden Summen

haben zusammen den Wert 100 · 101, und die einfache Summe von 1 bis 100 hat den Wert12· 100 · 101 = 5050

1 + 2 + 3 + · · ·+ 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + · · ·+ 3 + 2 + 1

101 + 101 + 101 + · · ·+ 101 + 101 + 101

[6]

Dieses System wenden wir nun auf die Summe von 1 bis m mit n = 1 an.

S1(m) = 01 + 11 + 21 + 31 + · · ·+m1 = 1 + 2 + 3 + · · ·+ (m− 2) + (m− 1) +m

1 + 2 + 3 + · · ·+ (m− 2) + (m− 1) +m

m+ (m− 1) + (m− 2) + · · ·+ 3 + 2 + 1

(m+ 1) + (m+ 1) + (m+ 1) + · · ·+ (m+ 1) + (m+ 1) + (m+ 1)

Wir fassen 1 mit m, 2 mit m− 1 und so weiter als Paare zusammen und erhalten fur die einfache

Summe: 12·m · (m+ 1).

S1(m) = 1 + 2 + 3 + · · ·+m =(m(m+ 1))

2

4

Dies ist nun unsere erste Potenzsummenformel fur n = 1.

Abbildung 1.1: Steine [7]

Diese Formel kann durch Steine veranschaulicht werden. Wir betrachten dazu die Summe

der naturlichen Zahlen von 1 bis 10. Dazu werden die Steine in der Form eines rechtwinklig

gleichschenkeligen Dreiecks aufgelegt und zwar fur jeden Summanden die Anzahl an Steinen(von

oben nach unten und linksbundig). Danach verdoppelt man die Anzahl der Steine und erganzt

auf ein Rechteck. Dieses Rechteck besteht aus 10 · 11 Steinen und die gesuchte Summe ist halb

so groß also: 12· 10 · 11 = 55.

1.3 Eigentliche Problemstellung

Wir haben unsere erste Potenzsummenformel fur n = 1 gefunden. Wie konnen wir jetzt die Po-

tenzsummenformeln fur n > 1 finden? Gibt es solche Formeln uberhaupt?

Ja, solche Formeln gibt es tatsachlich und ein Computeralgebra-Programm wie Mathematica kann

diese Formeln naturlich berechnen.

Diese lauten:

S0(m) = 1 +m

S1(m) =1

2m(1 +m)

S2(m) =1

6(1 +m)(1 + 2m)

S3(m) =1

4m2(1 +m)2

S4(m) =1

30m(1 +m)(1 + 2m)(−1 + 3m+ 3m2)

5

Wenn wir diese Formeln ausmultiplizieren, sehen sie so aus:

S0(m) = 1 +m

S1(m) =m

2+m2

2

S2(m) =m

6+m2

2+m3

3

S3(m) =m2

4+m3

2+m4

4

S4(m) = −m30

+m3

3+m4

2+m5

5

1.4 Beweis

Wir haben gerade gesehen, dass Potenzformeln mit dem Computeralgebra-Programm Mathema-

tica berechnet werden konnen. Nun mochten wir diese Formeln mittels vollstandiger Induktion

beweisen:

Zu zeigen ist

m∑x=0

x0 = 1 +m

Induktionsanfang: Sei m = 0. Es gilt

0∑x=0

00 = 1 = 1 + 0

Induktionsannahme: Es sei die Behauptung fur m bereits bewiesen, es gelte also

m∑x=0

x0 = 1 +m

Induktionsschritt: m→ m+ 1

m+1∑x=0

x0 =m∑

x=0

x0 + (m+ 1)

= (1 +m) + 1 =

= 1 + (m+ 1) �

Zu zeigen ist

6

m∑x=0

x1 =m

2+m2

2

Induktionsanfang: Sei m = 0. Es gilt

0∑x=0

x1 = 01 =0

2+

02

2

Induktionsannahme: Es sei die Behauptung fur m bereits bewiesen. Induktionsschritt: m→ m+1

m+1∑x=0

x1 =m+ 1

2+

(m+ 1)2

2

m+1∑x=0

x1 =m∑

x=0

x1 + (m+ 1)

=m

2+m2

2+ (m+ 1) =

=m

2+m2

2+

2(m+ 1)

2=

=m

2+m2

2+

2m+ 2

2=

=m

2+m2

2+

2m+ 1

2+

1

2=

=m+ 1

2+m2 + 2m+ 1

2=

=m+ 1

2+

(m+ 1)2

2�

Zu zeigen ist:

m∑x=0

x3 =m2

4+m3

2+m4

4

Induktionsanfang: Sei m = 0. Es gilt

0∑x=0

x3 = 03 = 0 =02

4+

03

2+

04

4

Induktionsannahme: Es sei die Behauptung fur m bereits bewiesen.

Induktionsschritt: m→ m+ 1

7

m+1∑x=0

x3 =(m+ 1)2

4+

(m+ 1)3

2+

(m+ 1)4

4

m+1∑x=0

x3 =m∑

x=0

x3 + (m+ 1)3

=m2

4+m3

2+m4

4+ (m+ 1)3 =

=m2

4+m3

2+m4

4+

2(m+ 1)3

2=

=(m+ 1)3

2+m2

4+m3

2+m4

4+

(m+ 1)3

2=

=(m+ 1)3

2+m2

4+

2m3

4+m4

4+

2(m+ 1)3

4=

=(m+ 1)3

2+m2

4+

2m3

4+m4

4+

2m3 + 6m2 + 6m+ 2

4=

=(m+ 1)3

2+m2

4+

2m3

4+m4

4+

2m3

4+

6m2

4+

4m

4+

1

4+

2m

4+

1

4=

=(m+ 1)3

2+

[m2

4+

2m

4+

1

4

]+

[m4

4+

4m3

4+

6m2

4+

4m

4+

1

4

]=

=(m+ 1)3

2+

(m+ 1)2

4+

(m+ 1)4

4=

=(m+ 1)2

4+

(m+ 1)3

2+

(m+ 1)4

4�

Beispiel:

Sei n = 2 und m = 5

S2(5) =5∑

x=1

x2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

S2(5) =1

6· 5(1 + 5)(1 + 2 · 5) = 55

1.5 Beobachtung

Wenn wir uns diese ausmultiplizierten Potenzsummenformeln anschauen erkennen wir, dass diese

Polynome in der Form

Sn(m) = fn(m) = cnmn + cn−1m

n−1 + · · ·+ c1m1 + c0

8

sind, fur cn, . . . , c0 ∈ R.

Fur die Potenzsummenformel mit n = 2 ergibt sich: c1 = 16, c2 = 1

2, c3 = 1

3.

Diese Beobachtung fuhrt zur Vermutung: Jedes Polynom in m ist vom Grad n+1 hat den fuhren-

den Koeffizienten 1n+1

; also

Sn(m) =mn+1

n+ 1+ (Terme von kleinerer Ordnung als n+ 1)

9

Kapitel 2

Wiederholung wichtiger Begriffe

2.1 Abstrakte Lineare Algebra

Damit unsere Vermutung uber die”gefundene“ Potenzsummenformel belegt werden kann, wird

ein wichtiges mathematisches Gebiet, die abstrakte Lineare Algebra, benotigt. Um dieses abstrakte

Thema besser zu verstehen und eine resultierende leichtere Anwendung auf unser Problem zu

gewahren, werden im folgenden Kapitel wichtige Begriffe aus der Schule wiederholt und erweitert.

2.2 Polynome

2.2.1 Bestandteile eines Polynoms

Zuerst stellt sich die Frage, was man unter dem Begriff”Polynom“ versteht und warum dieser

fur unsere Anwendung auf das Problem relevant ist.

8x4 + 3x3 + 9x2 − 2x+ 6 (2.1)

Die einzelnen Summanden, welche in diesem Fall von 8x4, 3x3, 9x2, −2x und 6 vertreten werden,

werden als Glieder des Polynoms bezeichnet. Die Zahlen vor den Potenzen, also 8, 3, 9, -2 und

6 werden Koeffizienten genannt. In dem obigen Beispiel ist 8 der Koeffizient von x4, 3 von x3,

9 von x2 und -2 von x. 6 ist der letzte Summand des Polynoms und wird als konstantes Glied

bezeichnet und kann als Koeffizient von x0, welches 1 ist, gesehen werden. Die zwei folgenden

Beispiele stellen das gleiche Polynom dar und zeigen, dass einzelne Koeffizienten auch 0 sein

konnen und dadurch der gesamte Summand verschwinden kann: [4]

8x4 + 0 · x3 + 9x2 − 2x+ 6 (2.2)

8x4 + 9x2 − 2x+ 6 (2.3)

10

2.2.2 Grad eines Polynoms

Die Hochzahl mit dem hochsten Wert gibt den Grad des Polynoms an. 8x4 + 3x3 + 9x2− 2x+ 6

ist daher ein Polynom vom Grad 4 und wird auch oft ,, Polynom vierten Grades ” genannt. Ein

Polynom vom Grad 1 heißt ,, Lineares Polynom ”. Ein ,, quadratisches Polynom ” ist ein Polynom

vom Grad 2 und ein Polynom vom Grad 3 wird ,,kubisches Polynom ” genannt. [4]

2.2.3 Polynomarten

Manche Polynome haben sogar besondere Namen erhalten. Ein eingliedriges Polynom wie 8x4

wird auch noch Monom genannt. 3x3 + 9x2 besteht aus zwei Gliedern und heißt Binom. Viele

uns bekannte wichtige mathematische Begriffe leiten sich von dem Wort”Binom“ ab. So gehen

die Namen”binomischer Lehrsatz“ und

”binomische Formeln“ auf dieses zuruck. 8x4 + 9x2− 2x

ist ein Trinom, weil es die Summe von drei Monomen ist. Zuletzt wird ein aus mehreren Gliedern

bestehendes Polynom als”Polynom“ bezeichnet. Das konstante Glied, wie beispielsweise die Zahl

4, kann auch als Polynom, und zwar als Polynom nullten Grades aufgefasst werden.

Falls die Koeffizienten eines Polynoms nur von reellen Zahlen sind, sprechen wir von einem reellen

Polynom oder einem”Polynom uber R“.

Um dies zu uben, folgen nun einige Beispiele: [4]

x6 + 2x4 − 2x2 + 1 (2.4)

(1, 0, 2, 0, -2, 0, 1, 0, 0, ...) sind die Koeffizienten dieses Ausdrucks. Seine Exponenten sind 6,

4, 2 (und 0) und diese Polynom ist vom Grad 6.

5a7 (2.5)

Sein Koeffizient ist 5 und dessen Exponent ist 7. Es liegt ein Monom siebten Grades vor.

r3 + 1 (2.6)

Dieses Binom hat die Koeffizienten 1 und 1. Das Binom vom Grad 3 hat die Exponenten 3 (und

0). [2]

11

2.2.4 Polynome in allgemeiner Form

Ofters ist es sehr hilfreich oder sogar essentiell die Koeffizienten von Polynomen nicht genau zu

bestimmen.

ax3 + bx2 + cx+ d (2.7)

So wird beispielsweise mit dem obigen Ausdruck jedes Polynom dritten Grades beschrieben. Wich-

tig ist, dass man versteht, dass die funf Buchstaben a, b, c, d und x nicht alle dieselbe Rolle

einnehmen. Die Ausdrucke a, b, c und d sind die Koeffizienten des Polynoms. Was Koeffizienten

sind, haben wir vorher schon geklart. Bedeutend ist nur, dass man sich bewusst macht, dass man

sich auf die konkreten Werte von a, b, c und d nicht festlegen mochte. Diese Platzhalter nehmen

dennoch fixe Zahlenwerte ein und werden Konstanten genannt. x wird als Variable bezeichnet.

Dieser Buchstabe nimmt auch bestimmte Werte ein, aber diesmal stellt man sich diese Zah-

lenwerte als variabel vor, sowie schon der Name”Variabel“ verrat. Denn eine Variable benennt

Unbekanntes mit einem Symbol und macht es mathematisch fassbar. So ermoglichen Variablen

von konkreten Zahlwerten abzusehen und allgemein zu rechnen.[2]

a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0 (2.8)

Dieser Ausdruck stellt ebenso ein allgemeines kubisches Polynom dar. Denn es kommt nicht selten

vor, dass die Koeffizienten entsprechend ihren zugehorigen Exponenten beschriftet werden. So

sind diesmal a3, a2, a1 und a0 die Koeffizienten des Polynoms.

2.2.5 Wichtige Beobachtungen bei Polynomen

Weil die Addition bezuglich der reellen Zahlen das Kommutativgesetz, das”Vertauschungsge-

setz“, erfullt, ist es sowohl moglich die Glieder eines Polynoms beginnend mit dem kleinsten Glied

aufzuschreiben, als auch sie in beliebiger Reihenfolge zu notieren.

3x3 − 2x+ 9x2 + 8x4 + 6 (2.9)

Dieser Ausdruck mit beliebiger Reihenfolge der Summanden beschreibt das gleiche Polynom wie

(2.1).

− 6

7x2 − 5

√78x+ π3 (2.10)

Dieses Polynom sieht zwar etwas anders und komplizierter aus, ist aber dennoch sowie all unsere

vorigen Beispiele ein reelles Polynom.

12

Zuletzt ist es auch noch erwahnenswert, dass die Variable nicht immer mit x bezeichnet wer-

den muss, sondern auch andere Buchstaben, wie beispielsweise s oder t, dessen Rolle einnehmen

konnen. Ein einfaches Beispiel, wie es in einem Schulbuch zu finden ist, soll dies verdeutlichen:

Ein Fahrzeug bewegt sich innerhalb von 60 Sekunden von einem Ort zu einem anderen. Seine

Geschwindigkeit wird annahernd mit der Formel

Geschwindigkeit in normaler Situation = − 3

64000t4 +

17

3200t3 − 33

160t2 +

27

8t (2.11)

beschrieben, wobei t die in Sekunden (s) angegebene Zeit ist. Dies ist ein Polynom vierten Grades

in der Variable t. Der Koeffizient von t4 ist − 364000

, jener von t3 ist 173200

, jener von t2 ist − 33160

,

jener von t ist 278

und das konstante Glied ist gleich 0.

So ergibt sich etwa fur eine angegebene Zeit t von 32 Sekunden, also t = 32 eine Geschwindigkeit

in m/s zu

− 3

64000· 324 +

17

3200· 323 − 33

160· 322 +

27

8· 32 =

2716

125= 21, 73. (2.12)

[3]

2.3 Umlegung in die abstrakte Welt

Nun haben wir viele Begriffe wiederholt, manche erweitert und vielleicht einiges neues uber Po-

lynome gelernt. Deshalb versuchen wir dieses Repertoire an Wissen mit unserer Fragestellung in

Verbindung zu setzen. Dies gelingt uns am besten, wenn wir in die etwas komplizierte und nicht

ganz anschauliche Welt des Abstrakten eintauchen und uns etwas darauf einlassen.

Am besten wir untersuchen diese ,,abstrakte Welt” anhand eines Beispiels:

22m3 + 6m2 + 9m− 71 (2.13)

m ist in unserem Beispiel die Variable und 22, 6 und 9 die Koeffizienten und -71 das konstante

Glied. Eigentlich besteht dieses kubische Polynom nur aus der Addition dreier Monome und diese

Monome besitzen jeweils reelle Zahlen als Koeffizienten. Daher sieht man, dass man Polynome

beliebigen Grades addieren und mit Zahlen, den sogenannten Skalaren, multiplizieren kann. Man

kann also unser Beispiel beliebig erweitern und neue Polynome finden. Diesen Vorgang nennen wir

”endliche Linearkombination“. Wenn wir nun alle moglichen Kombinationen bilden, was naturlich

unmoglich ist, weil es unendlich viele gibt, und versuchen all diese irgendwie zusammenzufassen,

kommen wir zu einer interessanten Entdeckung. Mit der Addition und Skalarmultiplikation, die

13

wir beliebigfach ausfuhren konnen, bildet im algebraischen Sinne die Menge all dieser Polynome

einen sogenannten”Vektorraum“. Dieser Vektorraum ist wie ein Baukasten und besteht aus einer

”Basis“. Wenn, wie in unserem Beispiel, m die Variable ist, lautet die Standardbasis:

(1,m,m2,m3,m4, ...) (2.14)

Wir konnen nun aus dieser Basis Elemente auswahlen und sie beliebig mit Hilfe der Addition

und Skalarmultiplikation zusammenfugen und erhalten als Ergebnisse wieder unsere beliebigen

Polynome.

Dies zeigen wir mit unserem Beispiel: Wir nehmen aus unserer Standardbasis die Elemente m3,

m2, m und 1 und multiplizieren diese einfach mit den Skalaren 22, 66, 9 und -71. Zuletzt vereinen

wir sie durch die Addition und erhalten wieder unser Beispiel.

Jedes Beispiel des Vektorraums aller Polynome kann also als endliche Linearkombination von Ele-

menten dieser Standardbasis gebildet werden. Jedes Polynom hat also die Form:

p(m) = c0 ·m0 + c1 ·m1 + c2 ·m2 + · · ·+ cn ·mn (2.15)

Die Koeffizienten ci sind hierbei Skalare, also Zahlen. Wir setzen nun ci 6= 0 voraus. Das Polynom

hat daher Grad n und der Koeffizient cn hat fuhrende Position. Jedes Polynom ist eindeutig und,

wenn die Koeffizienten zweier Polynome nicht genau dieselben sind, sind auch die Polynome nicht

gleich.

Naturlich ist die Standardbasis der anschaulichste und einfachste Baukasten. Dennoch kann man

neue Polynome erzeugen, indem man bereits erschaffene Polynome miteinander kombiniert. Das

machen wir mit Hilfe der”Linearkombination von Polynomen“. Beispielsweise schauen wir uns

das konstante Polynom 1 und die ersten vier Polynome der Summenformeln an, also:

1, 1 +m,1

2m(1 +m),

1

6m(1 +m)(1 + 2m),

1

4m2(1 +m)2 (2.16)

Jetzt konnen wir jedes Polynom vom Grad ≤ 4 als Linearkombination dieser 5 Polynome darstel-

len:

8 + 18m+ 19m2 + 12m3 + 3m4 =

8 · (1 +m) + 4 · (1

2m(1 +m)) +

18 · (1

6m(1 +m)(1 + 2m)) + 12 · (1

4m2(1 +m)2) (2.17)

14

Dieses”Zusammenbauen“ ist wirklich immer moglich und diese Darstellungen sind eindeutig!

Wir haben es endlich geschafft unser gelerntes Wissen in die abstrakte Welt umzulegen und damit

zu arbeiten und mochten dieses nun wiederum erweitern.

15

Kapitel 3

Differenzen

Jetzt, wo wir den Begriff Polynome geklart haben, stellt sich die Frage, wovon sich ein Polynom

p(m) von seinem Vorganger p(m−1) uberhaupt unterscheidet. Wenn unsere Vermutung stimmt,

dass Potenzsummenformeln immer von Grad n+1 erscheinen und der fuhrende Koeffizient

1

n+ 1

ist, ware der Unterschied, die sogenannte erste Differenz zwischen p(m) und p(m − 1), klarer-

weise von einem Grad kleiner als n, da die fuhrenden Koeffizienten doch einfach wegfallen. Im

folgenden Kapitel betrachten wir die Differenzen von Polynomen und versuchen uns dadurch in

langsamen Schritten an die Potenzsummenformeln heranzutasten. Ob wir eine Moglichkeit finden

ohne Computerprogramm Potenzsummenformeln zu erstellen?

3.1 Erste Differenz von Potenzsummenformeln

Betrachten wir zuerst noch einmal unsere Vermutung: Die Potenzsummenformeln erscheinen alle

im Grad n + 1 mit fuhrenden Koeffizienten 1n+1

. Was ist der Unterschied, also die Differenz,

zwischen m und m− 1?

Ganz allgemein berechnet man die absolute Anderungsrate, indem man die Differenz zweier auf-

einanderfolgender Glieder bildet:

∆p(m) := p(m)− p(m− 1) (3.1)

Wenn unser Polynom p(m) := cnxn + c(n − 1)x(n − 1) + ... + c0x

0 zum Beispiel vom Grad n

ist, wird unsere Differenz zwischen m und p(m − 1) := cn(x − 1)n + ... + c0x0 klarerweise von

einem kleineren Grad sein.

p(m)− p(m− 1) = cnxn + c(n− 1)x(n− 1) + ...+ c0x

0 − [cn(x− 1)n + ...+ c0x0]

16

Man kann sich die Differenzen von allen Potenzsummenformeln berechnen und wird immer

die selbe Gemeinsamkeit bemerken:

∆Sn(m) = mn.

Beweis:

∆Sn(m) = Sn(m)− Sn(m− 1) =

=m∑

x=0

xn −m−1∑x=0

xn = mn �

Das legt die Vermutung nahe, dass die Differenz zwischen m und m − 1 ist genau m mit dem

Exponent n ist.

3.2 Differenzen bei linearen Erzeugnissen

Nachdem wir gesehen haben, dass die erste Differenz von den Polynomen der Potenzsummen-

formeln vom Grad n, anders als bei der Potenzsummenformel, die unserer Vermutung nach den

Grad n + 1 annimmt, immer vom Grad n sind, stellt sich die Frage, welche Form nimmt die

Differenz an, wenn die Polynome linear erzeugt werden. Im vorherigen Kapitel sind wir darauf

eingegangen, dass Polynome durch ein lineares Erzeugnis entstehen konnen, indem man die Stan-

dardbasis durch Addition und Skalarmultiplikation von Elementen verandert. Im nachsten Schritt

betrachten wir die erste Differenz eines Polynoms, das aus zwei verschiedenen addierten Polyno-

men p und q multipliziert mit zwei Skalaren λ und µ entstanden ist: λ � p + µ � q. Wie wird sich

diese Skalaremultiplikation auf die Differenz auswirken? Auch hier sind wir wieder auf der Suche

nach einer Gemeinsamkeit. Betrachten wir wieder die Potenzsummenformeln vom letzten Kapitel:

p(m) =m∑

x=0

x1 =m

2+m2

2

q(m) =m∑

x=0

x2 =m

6+m2

2+m3

3

17

∆(λ � p+ µ � q)(m) =

= λ

(m

2+m2

2

)+ µ

(m

6+m2

2+m3

3

)− λ

(m− 1

2+

(m− 1)2

2

)+

µ

(m− 1

6+

(m− 1)2

2+

(m− 1)3

3

)=

(λm

2+λm2

2

)+

(µm

6+µm2

2+µm3

3

)−(λm− λ

2+λm2 − 2λm+ λ

2

)+(

µm− µ6

+µm2 − 2µm+ µ

2+µm3 − 3µm2 + 3µm− µ

3

)=λm

2+λm2

2+µm

6+

3µm2

6+

2µm3

6− λm− λ

2− λm2 − 2λm+ λ

2−

µm− µ6

− µm2 − 2µm+ µ

2− µm3 − 3µm2 + 3µm− µ

3

=λm+ λm2 − λm+ λ− λm2 + 2λm− λ

2+

µm+ 3µm2 + 2µm3 − µm+ µ− 3µm2 + 6µm− 3µ− 2µm3 + 6µm2 − 6µm+ 2µ

6

=2λm

2+

6µm2

6

= λm+ µm2

Im letzten Kapitel haben wir schon bestimmt, dass die erste Differenz der Potenzsummenformel

vom 1. Grad m und vom 2. Grad m2 ist. Wenn wir jetzt die Differenz unseres linearen Erzeugnisses

betrachten, sehen wir, dass genau λ � ∆p + µ � ∆q unser Ergebnis ist. Wir kommen immer zum

selben Ergebnis aufgrund der Linearitat von ∆:

∆(λ � p+ µ � q) = λ � ∆p+ µ � ∆q

18

Kapitel 4

Suche nach einer alternativen Basis

Bei dem Versuch Potenzsummenformeln zu erzeugen, sollten wir eine alternative Basis zu den

Potenzsummeln finden. Hier gelangen wir zu dem Begriff steigende Faktorielle. Im folgenden

Kapitel wiederholen wir den Begriff Faktorielle und versuchen damit Schritt fur Schritt eine Ver-

bindung zu unserem Thema aufzubauen. Ist das vielleicht unsere Moglichkeit, unsere Vermutung

zu bestatigen?

4.1 Faktorielle

In einem Keller werden drei verschiedenfarbige Spots in Rot, Gelb und Blau angebracht. Wie viele

verschiedene Anordnungen gibt es? Mogliche Ereignisse: (rgb) (gbr) (brg) (rbg) (grb) (brg).

Bei diesem Beispiel kann man schnell erkennen, dass es sechs Moglichkeiten gibt, die Lichter

anzuordnen. Doch bei mehr Farben ware das schon schwieriger. Es gibt auch eine andere Losung

auf die Antwort zu kommen mit Hilfe der steigenden Faktorielle. Das erste Licht hat drei verschie-

dene Losungsausgange, da wir drei Farben zu Verfugung haben. Das zweite Licht hat nur noch

zwei verschiedene Moglichkeiten, da wir eine Farbe beim ersten Licht schon gebraucht haben,

und das letzte Licht nur noch eine Moglichkeit. Multipliziert man die Ausgange miteinander, also

3 �2 �1 = 6. Diese Multiplikation von steigenden Zahlen wird Faktorielle oder Fakultat bezeichnet.

Faktorielle wird in der Regel im osterreichischen Mathematikunterricht in der 7. Klasse behan-

delt. Fakultat beschaftigt sich mit den unterschiedlichen Arten, wie man ein Objekt verschieden

anordnen kann. Objekte der Anzahl n konnen auf n! Arten angeordnet werden. Das Rufzeichen

steht im diesem Fall fur Faktorielle. Außerdem ist 0! definiert als 1. Berechnen kann man diese

Moglichkeiten, indem man n mit seinen Vorganger zahlen bis einschließlich Eins multipliziert [5,

Vgl.]

n! = n � (n− 1) � (n− 2) � ... � 2 � 1

Betrachten wir das Beispiel 9.59 aus dem Schulbuch ,,Mathematik verstehen 7”. Im Turnunter-

richt sollen 8 Schulerinnen und Schuler hintereinander aufgestellt werden. Es gibt naturlich sehr

19

viele verschiedene Moglichkeiten die Kinder zu setzen. Einmal sitzt ein Madchen auf den einen

Platz, dann wieder ein Bursche. Um uns leichter zu tun, kann man hier ganz einfach die Fakultat

als Hilfe heranziehen. Mit 8! berechne ich die verschiedenen Moglichkeiten, wie die Kinder sitzen

konnen. Also muss man nur 8 � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 rechnen, um auf die Losung zu kommen. Es

gibt 40320 verschiedene Moglichkeiten die Schulerinnen und Schuler zu setzen.[5, Vgl.]

4.2 Steigende und Fallende Faktorielle

Zusatzlich zu der Fakultat hat man dann noch eine weitere Folge bestimmt, die steigende bzw.

fallende Faktorielle. Der Unterschied zwischen der Fakultat und der steigenden bzw. fallenden

Faktorielle ist, dass bei diesen nicht die Werte von n bis 1 multipliziert werden, wie es bei n!

der Fall ist, sondern die Werte ab der Zahl n steigend bzw. fallend summiert werden. Auch hier

nehmen wir wieder an, dass 0! = 1. Die steigende Faktorielle wird in diesem Fall als Polynom in

m definiert:n−1∏k=0

(m+ k)

Hingegen die Fallende Faktorielle anders definiert wird:

n−1∏k=0

(m− k) (4.1)

Daraus folgt, wenn man 3 als Beispiel fur m nimmt und fur n = 3 die steigende Faktorielle

berechnen will, muss man 3 mit ihren zwei Nachfolgern multplizieren: 3 � 4 � 5 = 60 Ein weiteres

Beispiel ware, wenn man 5 als Zahl fur m nimmt und diesmal fur n = 3 die fallende Faktorielle

berechnen will, muss man 5 mit ihren zwei Vorgangern multiplizieren: 5 � 4 � 3 = 60

Wenn wir jetzt die steigenden Faktorielle fur m betrachten, konnen wir folgende Verallgemeinerung

treffen:

q0(m) = 1

q1(m) = m

q2(m) = m � (m+ 1) = m2 +m

q3(m) = m � (m+ 1) � (m+ 2)m = m3 + 3m2 + 2m

20

Diese Folge kann man immer so weiterfuhren. Das Gleiche konnen wir auch bei der fallenden

Faktorielle versuchen:

q0(m) = 1

q1(m) = m

q2(m) = m � (m− 1) = m2 −m

q3(m) = m � (m− 1) � (m− 2) = m3 − 3m2 + 2m

Hier kann man schon erkennen, dass die steigende bzw. fallende Faktorielle immer von dem Grad

ist, wie in diesem Fall q ist. Wurden wir unsere Folge weiter bis qn fuhren, wurden diese auch von

Grad n sein. Das bedeutet, wir konnen diese als eine Basis fur eine Linearkombination verwenden.

Versuchen wir das gleich im nachsten Schritt:

Zuerst ein einfaches Beispiel. Wir wollen m2 anhand dieser Basis darstellen. Dies kann man sich

vorstellen, wie das Bauen mit Bausteinen. Unser Grundgerust sollte naturlich vom Grad 2 sein,

das ware bei q2 der Fall. Im nachsten Schritt ziehen wir von q2 alles ab, das wir fur m2 nicht

brauchen. In diesem Fall ware ein −m zu viel, also mussten wir ein m dazu rechnen. Das m

konnte man mit Hilfe von q1 darstellen. Schon sind wir an unserem Ergebnis angelangt. Fassen

wir noch einmal zusammen:

m2 = m2 +m−m = q2(m)− q1(m)

Als nachstes werden wir ein etwas schwierigeres Beispiel versuchen. Wir versuchen m3 aus einer

Linearkombination mit dieser Basis darzustellen. Wir wenden wieder dieselben Schritte wie im

vorherigen Beispiel an. Zuerst suchen wir uns ein Polynom vom Grad 3 und ziehen alles ab, das

wir nicht benotigen. Das R steht fur das, was wir noch an unseren Polynom verandern werden.

m3 = m3 + 3m2 + 2m+R = m3 + 3m2 + 2m− 3 � (m2 +m)−R =

m3 −m+R = m3 −m+m = m3

m3 = q3 − 3q2 + q1

Hiermit haben wir gezeigt, dass wir alle Polynome als Linearkombination dieser Basispolynomvek-

toren darstellen kann. Wir haben es geschafft, eine alternative Basis zu finden. Doch wie konnen

wir mit Hilfe dieser steigenden Faktorielle zu den Potenzsummenformeln gelangen? [1, Vgl.]

4.3 Differenzen von steigenden Faktoriellen

Um unserer Vermutung naher zu kommen, betrachten wir die Differenzen der steigenden Fakto-

rielle. Beim Berechnen der ersten Differenz von m und dem Vorganger m− 1 in q2 und q3 zeigen

21

sich schon die ersten Gemeinsamkeiten.

∆q2(m) = m � (m+ 1)− ((m− 1) �m) = m2 +m− (m2 −m) = 2m = 2q1

∆q3(m) = m � (m+ 1) � (m+ 2)− ((m− 1) �m � (m+ 1)) =

m3 + 3m2 + 2m− (m3 −m) = 3m2 + 3m = 3q2

Es springt einem gleich in das Auge, dass die Differenz der steigenden Faktorielle vom Grad n

immer vom Grad n−1 ist. Wenn wir die ∆q2 betrachten, fallt einem auf, dass nicht genau q1 das

Ergebnis ist, sondern 2q1. Die selbe Beobachtung finden wir bei ∆q3 = 3q2. Fassen wir unsere

Gedanken zusammen:

∆qn = n � qn−1

Beweis: ∑cnqn(m)−

∑cnqn(m− 1) =∑

cn(qn(m)− qn(m− 1)) =∑

cn(∆qn(m))

qn = Faktoren← ∆qn = n � q(n− 1) �

Diese Eigenschaft erinnert uns formal betrachtet an die Potenzregel beim Differenzieren. Bei

dieser wird in der ersten Ableitung einer Funktion, der Term mit der Potenz multipliziert und

ebenso wird die Hochzahl um eins vermindert:

f(x) = xn

f ′(x) = n � xn−1

d

dxxn = n � xn−1

Die Umkehrung vom Differenzieren ist das Integrieren. Das bedeutet wenn ich n � xn−1 nach der

Regel∫xrdx = xr+1

r+1integriere, bekomme ich wieder xn als Ergebnis:∫n � xn−1dx = n �

xn−1+1

n− 1 + 1+ C = xn

d

dx

xn+1

n+ 1= xn

Bei der steigenden Faktorielle gilt dasselbe wie beim Differenzieren. Wenn man bei der ersten

Differenz von q2, also 2q1 die Umkehrung mochte, muss man die Differenz der nachsthoheren

steigenden Faktorielle, also in diesem Fall die der 3., bilden. Man darf naturlich nicht vergessen,

wie beim Integrieren, durch dessen Grad dividieren, also durch 3:

3q23

= q2

22

Ganz allgemein betrachtet:

∆

(qn+1

n+ 1

)= qn

23

Kapitel 5

Anwendung der Theorie

Wir haben nun verschiedene Sachen wiederholt, ein paar neue Sachen gelernt und wollen jetzt

zu der eleganten Anwendung der gemachten Arbeit kommen. Tatsachlich ist das Problem dem

wir uns am Anfang gestellt haben, mit den verschiedenen Werkzeugen, die wir nun gelernt haben

fast schon gelost. Die Schonheit dieses Kapitels ist das Verallgemeinerung eines Problems uns

schnell und elegant zu einer Losung des spezifischen Problems fuhrt.

5.1 Kurze Wiederholung

Wiederholen wir hier nochmal was wir bis jetzt gelernt haben und schließen daraus unsere Losung.

Als erstes wir haben eine Basis fur unser Problem gefunden.

qn(m) =n−1∏i=0

(1 + i)

q1 = m

q2 = m(m+ 1) = m2 +m

q3 = m(m+ 1)(m+ 2) = m3 + 3m2 +m

q4 = m(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3) = m4 + 6m3 + 11m2 + 6m

Nun nachdem wir eine Basis fur unser Problem gefunden haben, konnen wir die fur unsere Sum-

menformel Sn(m) folgenden allgemeinen Ansatz nehmen, bei dem wir gleich zwei Informationen

uber die Differenz einfließen lassen.

Sn(m) = 1n + · · ·+mn = qn+1 + cnqn + cn−1qn−1 + cn−2qn−2 + · · · c1q1 + c0 (5.1)

∆Sn = ∆qn+1 + cn∆qn + cn−1∆qn−1 + cn−2∆qn−2 + · · · c1∆q1 + c0 (5.2)

∆Sn = mn. (5.3)

24

Eine weitere Erkenntnis war der verallgemeinerte Differenzenquotient zu Erinnerung noch einmal.

∆qn+1

n+ 1= qn (5.4)

Und dessen Umkehrung : ∫qndx =

∆qn+1

n+ 1+ C (5.5)

5.2 Anwendung des Gelernten

Nun nutzen wir unser Wissen uber 5.3 und versuchen eine Linearkombination von mk zu finden

und nutzen die Basis die wir uns in den vorigen Kapiteln erarbeitet haben. So finden wir nun eine

Darstellung mit cn, . . . , c0 die eine Darstellung fur mn ist.

mn = cnqn + cn−1qn−1 + cn−2qn−2 + · · · c1q1 + c0q0

Wenden wir nun eine Art Integral auf die einzelnen Elemente an erhalten wir die tatsachliche

Linearkombination fur ∆Sn.

mn = ∆Sn = cn∆qn+1

n+ 1+ cn−1

∆qnn

+ . . .+ c0∆q1

1+ C (5.6)

Da wir nun schon wissen dass

∆Sn = cn∆qn+1

n+ 1+ cn−1

∆qnn

+ . . .+ c0∆q1

1+ C

= ∆(cnqn+1

n+ 1+ cn−1

qnn

+ . . .+ c0q11

) + C

gilt, konnen wir nun ganz einfach auf Sn schließen. Indem wir das ∆ auf beiden Seiten auflosen.

(| : ∆). C konnen wir vernachlassigen da Sn(0) = 0. Wir erhalten dadurch:

Sn = cnqn+1

n+ 1+ cn−1

qnn

+ . . .+ c0q11

(5.7)

Nachdem wir dies nun auflosen und kurzen bekommen wir dann die Koeffizienten kn+1, . . . , k1

mit denen wir die allgemeine Losung erhalten:

Sn = kn+1mn+1 + knm

n + . . .+ k1m. (5.8)

5.3 Beispiele

An Beispielen wird dies noch klarer.

25

5.3.1 S3(m)

Suche nach S3. Suche eine Linearkombination fur m3

m3 = q3 +R = m3 + 3m2 + 2m+R (5.9)

Nun um nur m3 zu erhalten muss nun 3q2 abgezogen werden und so weiter.

m3 = q3 − 3q2 +R = m3 + 3m2 + 2m− 3(m2 +m) = m3 −m

= q3 − 3q2 + q1 = m3 −m+m = m3

→ m3 = q3 − 3q2 + q1

Nun haben wir die richtigen Koeffizienten c3 = 1, c2 = −3, c1 = 1 und losen nun auf und setzen.

S3(m) = c3q44

+ c2q33

+ c1q22

= 1q44

+ (−3)q33

+ 1q22.

Nun haben wir die richtige Linearkombination fur unsere allgemeine Losung– noch nicht sehr

aussagekraftig, aber schon richtig. Wir mussen nun noch auflosen und vereinfachen.

S3(m) =m4 + 6m3 + 11m2 + 6m

4+−3(m3 + 3m2 +m)

3+

(m2 +m)

2

=3(m4 + 6m3 + 11m2 + 6m) + 4(−3(m3 + 3m2 +m)) + 6(m2 +m)

12

=3m4 + 18m3 + 33m2 + 18m− 12m3 − 36m2 − 12m+ 6m2 + 6m

12=

=3m4 + 6m3 + 3m2 + 0m

12=

1

4m4 +

1

2m3 +

1

4m2 �

5.3.2 S2(m)

m2 = q2 +R = m2 +m+R

= q2 − q1 = m2 +m−m

→ m2 = q2 − q1

Daraus folgt nun:

S2(m) =q33

+−q2

2=m3 + 3m2 + 2m

3− m2 +m

2=

=(2m3 + 6m2 + 4m)− (3m2 + 3m)

6=

2m3 + 3m2 +m

6

=1

3m3 +

1

2m2 +

1

6m �

26

Probiere nun selbst auf die Ergebnisse S4, S5 zu kommen. Es ist schon erstaunlich wie einfach

das aufgeht, obwohl der Bruch immer langer wird. Ergebnisse sind in der Fußzeile1 Nun ist dies

nicht die schnellste Variante aber wir sehen mit Verallgemeinerung finden wir ein schnelles System

zum erhalten von Losungen. Nun konnten wir dies in ein Computer Algebra System eingeben und

die Vereinfachung vom Computer ubernehmen lassen. Mit Hilfe des Computers konnen wir dann

auch schnelle diskrete direkte Formeln entwerfen. Wie das mit Geogebra geht kommt im Kapitel

6.

1

S4=1

5m

5+

1

2m

4+

1

3m

3−

1

30m

S5=1

6m

6+

1

2m

5+

5

12m

4−

1

12m

2

27

Kapitel 6

Mittels CAS Losungen berechnen

(Erklart fur Geogebra)

Nun als erstes Versuchen wir unsere Basis mittels Geogebra zu erstellen. Automatisch das

Produkt zu generieren geht in Geogebra leider nicht. Aber wir konnen zumindest mit Variablen

rechnen. Dafur gehen wir in den Algebramode. Wir mussen fur Sn, n+1 Basisvektoren erstellen.

Also fur S4 mussen wir bis q5 erstellen. Das geht zum Gluck recht einfach, da wir die in Geogebra

vordefinierte Funktion Produkt(Ausdruck,Variable,Startwert,Endwert) verwenden konnen:

q_5:=Produkt(m+i,i,0,4)

Diese Zeile ist Aquivalent zu q5 =∏4

i=0(m+ i). Sofort errechnet uns Geogebra dann folgendes:

q_5 := m^5+10m^4+35m^3+50m^2+24m

Nun geben wir nach diesem Vorbild noch die restlichen”Basisvektoren“ein:

q_4:=Produkt(m+i,i,0,3)

q_3:=Produkt(m+i,i,0,2)

q_2:=Produkt(m+i,i,0,1)

q_1:=Produkt(m+i,i,0,0)

Mit diesen Befehlen haben wir die Basis und es sollte etwa so aussehen wie in der folgenden Grafik

28

Wenn wir nun die Linearkombination fur ∆S4 herausfinden wollen, geht das durch ausprobie-

ren:

q4 = m4 + 6m3 + 11m2 + 6m

q4 − 6 · q3 = m4 − 7m2 − 6m

q4 − 6 · q3 + 7 · q2 = m4 +m

q4 − 6 · q3 + 7 · q2 − ·q1 = m4

Wir haben die Koeffizienten c4 = 1, c3 = −6, c2 = 7, c1 = −1. Jetzt mussen wir nur noch

Integrieren

S4 =

c4︷︸︸︷1 ·q5

5+

c3︷︸︸︷(−6) ·q4

4+

c2︷︸︸︷7 ·q3

3+

c1︷︸︸︷(−1) ·q2

2,

Das geben wir jetzt in Geogebra ein.

S4(m) =q55− 6 · q4

4+

7 · q33− 1 · q2

2(6.1)

Und Geogebra gibt uns das Ergebnis.

29

30

Kapitel 7

Literaturverzeichnis

[1] Aigner, Martin, .-V. Diskrete Mathematik. Vieweg-Studium ; 68 : Aufbaukurs Mathe-

matik. Vieweg, Braunschweig [u.a.], 1993.

[2] Brand, C., Dorfmayr, A., Lechner, J., Mistlbacher, A., and Nussbaumer,

A. Thema Mathematik fur die 5. Klasse AHS. Linz, 2014.

[3] Brand, C., Dorfmayr, A., Lechner, J., Mistlbacher, A., and Nussbaumer,

A. Thema Mathematik fur die 8. Klasse AHS. Linz, 2014.

[4] Embacher, F. Polynome. http://www.mathe-online.at/skripten/var/variable_

polynome.pdf.

[5] Malle, G. Mathematik verstehen.

[6] Peter Hofbauer, H. M.-S. Mathemamtik mit wirtschaftlichen Anwendungen, Band 3.

2014.

[7] Strick, H. K. Mathematik ist schon: Anregungen zum Anschauen und Erforschen fur

Menschen zwischen 9 und 99 Jahren. 2017.

31